Vibracoes Mecanicas - Resumo Aula Vibracoes Forcadas

VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Moema Lima RESUMO DA AULA Introdução a vibrações forçadas Equação do movimento vibrações forçadas harmônicas Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica Resposta de um sistema amortecido à força harmônica INTRODUÇÃO A VIBRAÇÕES FORÇADAS Essa vibração se refere ao comportamento vibratório de um sistema sob a ação de uma força externa Comportamento da força força harmônica a excitação obedece uma função harmônica força periódica força aleatória 𝑭 𝒕 𝑭𝟎𝒆𝒊𝝎𝒕𝝋 VIBRAÇÕES FORÇADAS Equação do movimento Diagrama de corpo livre 2ª lei de Newton 𝒎 ሷ𝒙 𝒄 ሶ𝒙 𝒌𝒙 𝑭𝒕 Eq do Movimento Equação diferencial linear e nãohomogênea 𝒎 ሷ𝒙 𝒄 ሶ𝒙 𝒌𝒙 𝑭𝟎𝒔𝒆𝒏𝝎𝒕 𝝋 VIBRAÇÕES FORÇADAS 𝒙 𝒕 𝒙𝒉 𝒕 𝒙𝒑 𝒕 VIBRAÇÕES FORÇADAS SISTEMA NÃO AMORTECIDO Solução da equação do movimento 𝒎 ሷ𝒙 𝒌𝒙 𝑭𝟎𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 Solução homogênea dessa equação será dada por 𝑥ℎ 𝑡 𝐶1 cos 𝜔𝑛𝑡 𝐶2 sen 𝜔𝑛𝑡 A solução particular 𝑥𝑝 𝑡 ൯ 𝑥𝑝 𝑡 𝑋 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑋 𝛿𝑠𝑡 1 𝜔 𝜔𝑛 2 𝐹0 𝑘 𝑚𝜔2 Substituindo na 1ª equação 𝒙 𝒕 𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒏𝒕 𝑪𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒏𝒕 𝑭𝟎 𝒌 𝒎𝝎² 𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 Solução geral 𝒙 𝒕 𝒙𝒉 𝒕 𝒙𝒑 𝒕 VIBRAÇÕES FORÇADAS SISTEMA NÃO AMORTECIDO A máxima amplitude X também pode ser expressa como 𝑋 𝛿𝑠𝑡 1 𝜔 𝜔𝑛 2 𝑥 𝑡 𝑥0 𝐹0 𝑘 𝑚𝜔2 cos 𝜔𝑛𝑡 ሶ𝑥0 𝜔𝑛 sen 𝜔𝑛𝑡 𝐹0 𝑘 𝑚𝜔2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑋 𝛿𝑠𝑡 1 1 𝜔 𝜔𝑛 ² No qual 𝑿 𝜹𝒔𝒕 representa a razão entre a amplitude dinâmica e a amplitude estática do movimento também chamada de fator de amplitude 𝑟 VIBRAÇÕES FORÇADAS SISTEMA NÃO AMORTECIDO 1ª situação Quando 0 𝜔 𝜔𝑛 1 2ª situação Quando 𝜔 𝜔𝑛 1 3ª situação Quando 𝜔 𝜔𝑛 1 Ressonância VIBRAÇÕES FORÇADAS SISTEMA AMORTECIDO Seja 𝐹 𝑡 𝐹0𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 agindo sobre a massa m de um sistema amortecido a equação de movimento será dada por 𝒎 ሷ𝒙 𝒄 ሶ𝒙 𝒌𝒙 𝑭𝟎𝒄𝒐𝒔𝝎𝒕 Solução particular harmônica ൯ 𝑥𝑝 𝑡 𝑋 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 𝜑 𝑋 𝐹0 𝑘 𝑚𝜔2 2 𝑐2𝜔2 12 𝜑 tan1 𝑐𝜔 𝑘 𝑚𝜔2 Amplitude Ângulo de fase VIBRAÇÕES FORÇADAS SISTEMA AMORTECIDO 𝑋 𝐹0 𝑘 𝑚𝜔2 2 𝑐2𝜔2 12 𝜑 tan1 𝑐𝜔 𝑘 𝑚𝜔2 Amplitude Ângulo de fase 𝑋 𝐹0 𝑘 1 𝑚 𝜔2 𝑘 2 𝑐 𝜔 𝑘 2 tan 𝜑 𝑐𝜔 𝑘 1 𝑚𝜔2 𝑘 𝑀 𝑟 𝜉 𝑋𝑘 𝐹0 1 1 𝑟² 2 2𝜉𝑟 2 VIBRAÇÕES FORÇADAS SISTEMA AMORTECIDO 𝑀 𝑟 𝜉 𝑋𝑘 𝐹0 1 1 𝑟² 2 2𝜉𝑟 2 Para um sistema não amortecido 𝜉 0 a equação de 𝑋 reduzse a 𝑋 𝛿𝑠𝑡 1 1 𝜔 𝜔𝑛 2 e M quando r1 Qualquer quantidade de amortecimento 𝜉 0 reduz a fator de amplitude 𝑀 𝑟 𝜉 para todos os valores da frequência excitadora Para qualquer valor especificado de r um valor mais alto de amortecimento reduz o valor de 𝑀 𝑟 𝜉 No caso degenerado de uma força cortante quando r 0 o valor de 𝑀 𝑟 𝜉 1 A redução de M na presença de amortecimento é muito significativa na ressonância ou próximo da ressonância VIBRAÇÕES FORÇADAS SISTEMA AMORTECIDO Respostas total A solução completa é dada por 𝑥 𝑡 𝑥ℎ 𝑡 𝑥𝑝 𝑡 onde temse 𝑥 𝑡 𝑋0𝑒𝜉𝜔𝑛𝑡 cos 𝜔𝑛𝑡 𝜑0 𝑋𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝜑 𝑥0 𝑋0 cos 𝜑0 𝑋𝑐𝑜𝑠𝜑 ሶ𝑥0 𝜉𝜔𝑛𝑋0 cos 𝜑0 𝜔𝑑𝑋0 sen 𝜑0 𝜔𝑋𝑠𝑒𝑛 𝜑 Onde 𝑋0 e 𝜑0 podem ser determinados pelas condições iniciais Para as condições iniciais 𝑥 𝑡 0 𝑥0 e ሶ𝑥 𝑡 0 ሶ𝑥0 ATÉ A PRÓXIMA AULA Transformando vidas pela EDUCAÇÃO Faculdade Prominas UN1CA FACULDADE