Vibrações Mecânicas - Sistemas com Dois Graus de Liberdade e Equações de Lagrange

VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Moema Lima RESUMO DA AULA Sistema com dois graus de liberdade Sistemas lineares e discretos com mais de 1 grau de liberdade Equações de Lagrange SISTEMA COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE Sistema com dois graus de liberdade massa tem dois tipos de movimentos possíveis Regra para o cálculo do número de graus de liberdade Número de massas no sistema Número de tipos de movimentos possíveis de cada massa Número de graus de liberdade do sistema Características importantes de sistemas com dois graus de liberdade são Um sistema com dois graus de liberdade possui duas frequências naturais de vibração associadas a seus modos de vibração Os modos de vibração podem ser identificados como modos simétricos ou modos antissimétricos Nos sistemas com dois graus de liberdade as massas estão acopladas entre si o que significa que o movimento de uma massa influencia o movimento da outra SISTEMA COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE SISTEMA COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE Equações do movimento para vibrações forçadas 𝒎𝟐 ሷ𝒙𝟐 𝒄𝟐 ሶ𝒙𝟏 𝒄𝟐 𝒄𝟑 ሶ𝒙𝟐 𝒌𝟐𝒙𝟏 𝒌𝟐 𝒌𝟑 𝒙𝟐 𝑭𝟐 𝒎𝟏 ሷ𝒙𝟏 𝒄𝟏 𝒄𝟐 ሶ𝒙𝟏 𝒄𝟐 ሶ𝒙𝟐 𝒌𝟏 𝒌𝟐 𝒙𝟏 𝒌𝟐𝒙𝟐 𝑭𝟏 Equações do movimento SISTEMA COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE Equações do movimento para vibrações forçadas 𝒎𝟐 ሷ𝒙𝟐 𝒄𝟐 ሶ𝒙𝟏 𝒄𝟐 𝒄𝟑 ሶ𝒙𝟐 𝒌𝟐𝒙𝟏 𝒌𝟐 𝒌𝟑 𝒙𝟐 𝑭𝟐 𝒎𝟏 ሷ𝒙𝟏 𝒄𝟏 𝒄𝟐 ሶ𝒙𝟏 𝒄𝟐 ሶ𝒙𝟐 𝒌𝟏 𝒌𝟐 𝒙𝟏 𝒌𝟐𝒙𝟐 𝑭𝟏 ሻ 𝑀 ሷ𝒙 𝑡 𝐶 ሶ𝒙 𝑡 𝐾𝒙 𝑡 𝑭𝑡 𝑀 𝑚1 0 0 𝑚2 𝐶 𝑐1 𝑐2 𝑐2 𝑐2 𝑐2 𝑐3 𝐾 𝑘1 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘2 𝑘3 Matrizes de massa Matrizes de rigidez Matrizes de amortecimento 𝒙 𝑡 𝑥1 𝑥2 𝑭 𝑡 𝐹1 𝐹2 SISTEMAS LINEARES E DISCRETOS COM MAIS DE 1 GRAU DE LIBERDADE Equações de Lagrange SISTEMAS LINEARES E DISCRETOS COM MAIS DE 1 GRAU DE LIBERDADE Equações de Lagrange Equações diferencias do tipo 𝑀 ሷ𝑥 𝐶 ሶ𝑥 𝐾𝑥 𝐹 Para n graus de liberdade as equações de Lagrange podem ser expressas como 𝑑 𝑑𝑡 𝑦 ሶ𝑥𝑖 𝐿 𝑥𝑖 𝑄𝑖 𝑖 123 𝑛 SISTEMAS LINEARES E DISCRETOS COM MAIS DE 1 GRAU DE LIBERDADE Equações de Lagrange Obter as equações Energia cinética T 𝑥1 𝑥𝑛 ሶ𝑥1 ሶ𝑥𝑛ሻ Energia potencial V 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛ሻ 𝑇 1 2 𝑚𝑖 ሶ𝑥𝑖 2 1 2 𝐼𝑖 ሶ𝜃𝑖 2 𝑉 1 2 𝑘𝑖𝑥𝑖 Lagrangiano L 𝐿 𝑇 𝑉 𝑑 𝑑𝑡 𝑇 ሶ𝑥𝑖 𝑇 𝑥𝑖 𝑉 𝑥𝑖 𝑄𝑖 𝑖 123 𝑛 SISTEMAS LINEARES E DISCRETOS COM MAIS DE 1 GRAU DE LIBERDADE Encontrando a dinâmica do sistema Primeiro parâmetro Segundo parâmetro Sistemas nãoamortecidos de múltiplos graus de liberdade Obtidas essas duas equações podemos reescrever o problema na forma matricial SISTEMAS LINEARES E DISCRETOS COM MAIS DE 1 GRAU DE LIBERDADE SISTEMAS LINEARES E DISCRETOS COM MAIS DE 1 GRAU DE LIBERDADE Encontrando a dinâmica do sistema Primeiro parâmetro Segundo parâmetro Sistemas amortecidos de múltiplos graus de liberdade Obtidas essas duas equações podemos reescrever o problema na forma matricial SISTEMAS LINEARES E DISCRETOS COM MAIS DE 1 GRAU DE LIBERDADE ATÉ A PRÓXIMA AULA Transformando vidas pela EDUCAÇÃO FACULDADE Prominas un1ca FACULDADE