Vibrações Mecânicas - Resumo da Disciplina e Equações

VIBRAÇÕES MECÂNICAS Prof Moema Lima RESUMO DA DISCIPLINA Vibrações livres em sistema com 1 grau de liberdade Vibrações livres nãoamortecidas Equação do movimento Solução da equação do movimento Valor da amplitude máxima de vibração livre em sistemas não amortecidos Vibrações livres amortecidas Sistema subamortecido 0 ξ 1 Sistema superamortecido ou supercritico 𝜉 1 Sistema amortecido criticamente 𝜉 1 VIBRAÇÕES LIVRES EM SISTEMA COM 1 GRAU DE LIBERDADE Oscila somente sob uma perturbação inicial sem a ação de força após a perturbação inicial Sistema massamola Sistema de um grau de liberdade Sistema sofre vibração livre Vibrações livres não amortecidas VIBRAÇÕES LIVRES EM SISTEMA COM 1 GRAU DE LIBERDADE Vibração não amortecida não há dissipação de energia VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS EQUAÇÃO DO MOVIMENTO 𝑭 𝑚𝒂 𝐹 𝑡 𝑘𝑥 𝑚 ሷ𝒙 𝒎 ሷ𝒙 𝒌𝒙 𝟎 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO 𝒎 ሷ𝒙 𝒌𝒙 𝟎 𝑥𝑡 𝐶 𝑒𝑠𝑡 Derivando a equação duas vezes e substituindo na equação do movimento 𝐶 𝑒𝑠𝑡 𝑚 𝑠2 𝑘 0 𝑚 𝑠2 𝑘 0 𝑠 𝑘 𝑚 Onde 𝑖 1 Τ 1 2 𝑠 𝑖 𝑘 𝑚 𝝎𝒏 𝒌 𝒎 Frequência angular natural 𝜔𝑛 A solução geral da equação 𝒙𝒕 𝑪 𝒆𝒔𝒕 pode ser expressa por 𝑥𝑡 𝐶1 𝑒𝑖𝑡𝜔𝑛 𝐶2 𝑒𝑖𝑡𝜔𝑛 Relação de Euler 𝑒𝑖𝑡 cos 𝑡 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑥 𝑡 𝐴1 cos 𝜔𝑛𝑡 𝐴2𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO 𝐴1𝑥0 𝐴2 𝑣0 𝜔𝑛 𝑥 𝑡 𝑥0 cos 𝜔𝑛𝑡 𝑣0 𝜔𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑛𝑡 𝑥 𝑡 𝐴 cos𝜔𝑛𝑡 𝜑 𝐴 𝑥0 2 𝑣0 𝜔𝑛 2 𝜑 tan1 𝑣0 𝑥0𝜔𝑛 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO VIBRAÇÕES LIVRES AMORTECIDAS Presença de mecanismos de amortecimento que dissipam energia do sistema vibratório O movimento de uma vibração livre com amortecimento viscoso pode ser descrito pela seguinte equação 𝒎 ሷ𝒙 𝒌𝒙 𝒄 ሶ𝒙 0 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO 𝑥𝑡 𝐶 𝑒𝑠𝑡 Derivando a equação duas vezes e substituindo na equação do movimento 𝒎 ሷ𝒙 𝒌𝒙 𝒄 ሶ𝒙 0 𝑚 𝐶 𝑠2 𝑒𝑠𝑡 𝑐 𝐶 𝑠 𝑒𝑠𝑡 𝑘 𝐶 𝑒𝑠𝑡 0 Colocando em evidencia os fatores semelhantes temse que resolver a 𝑚 𝑠2 𝑠 𝑐 𝑘 0 𝑠12 𝑐 𝑐2 4𝑚𝑘 2𝑚 𝑐 2𝑚 𝑐 2𝑚 2 𝑘 𝑚 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO Assim a solução do sistema será 𝑥 𝑡 𝐶1𝑒𝑠1𝑡 𝐶2𝑒𝑠2𝑡 ൨ 𝑥 𝑡 𝑒 𝑐 2𝑚𝑡𝐶1𝑒 𝑐 2𝑚 2 𝑘 𝑚𝑡 𝐶2𝑒 𝑐 2𝑚 2 𝑘 𝑚𝑡 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO ൨ 𝑥 𝑡 𝑒 𝑐 2𝑚𝑡𝐶1𝑒 𝑐 2𝑚 2 𝑘 𝑚𝑡 𝐶2𝑒 𝑐 2𝑚 2 𝑘 𝑚𝑡 𝑐𝑐 Constante de amortecimento crítico 𝑐𝑐 2𝑚 2 𝑘 𝑚 0 𝑐𝑐 2𝑚 𝑘 𝑚 𝑐𝑐 2𝑚𝜔𝑛 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO Fator de amortecimento ξ ξ 𝑐 𝑐𝑐 c 𝑐𝑐ξ ξ2𝑚𝜔𝑛 𝑐 2𝑚 ξ𝜔𝑛 𝑥 𝑡 𝐶1𝑒ቀξ ξ21𝜔𝑛 𝑡 𝐶2𝑒ቀξ ξ21𝜔𝑛 𝑡 Sistema subamortecido 0 𝛏 1 Sistema superamortecido ou supercritico 𝛏 1 Sistema amortecido criticamente 𝛏 1 Sistema subamortecido 0 𝛏 1 𝑠12 ξ i 1 ξ2𝜔𝑛 ቁ 𝒙 𝒕 𝒆𝛏𝝎𝒏 𝒕𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝝎𝒅 𝒕 𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒅 𝒕 Lembrando que a relação de Euler 𝑒𝜃𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃 e substituindo na equação Outra forma comum de resposta ao movimento é 𝒙 𝒕 𝑿𝒆𝛏𝝎𝒏 𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒅 𝒕 𝝓 𝐴 𝑥0 𝐵0 𝑣0 ξ𝜔𝑛𝑥0 𝜔𝑛 1 ξ² 𝜔𝑑 𝜔𝑛 1 ξ² SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO Sistema amortecido criticamente 𝛏 1 𝑐𝑐 𝑐 Teremos duas raízes iguais 𝑠12 1 i 1 12𝜔𝑛 𝜔𝑛 𝑥 𝑡 𝐶1𝐶2𝑡𝑒𝜔𝑛 𝑡 ቃ 𝒙 𝒕 𝒆𝛏𝝎𝒏 𝒕 𝒗𝟎 𝝎𝒏𝒙𝟎 𝒕 𝒙𝟎 𝐶1 𝑥0 𝐶2 𝑣0 𝜔𝑛𝑥0 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO Sistema superamortecido ou supercritico 𝛏 1 𝑐𝑐 𝑐 Teremos duas raízes distintas 𝑠12 ξ ξ2 1𝜔𝑛 𝒙 𝒕 𝑨𝒆ቀ𝛏 𝝃𝟐𝟏𝝎𝒏 𝒕 𝑩𝒆ቀ𝛏 𝝃𝟐𝟏𝝎𝒏 𝒕 𝐴 𝑣0 ξ ξ2 1𝜔𝑛𝑥0 2𝜔𝑛 ξ2 1 𝐵 𝑣0 ξ ξ2 1𝜔𝑛𝑥0 2𝜔𝑛 ξ2 1 Massamola Livre com Super Amortecimento γ 2km Reginaldo J Santos DMatICExUFMG Sistema Massamola Livre com Amortecimento Crítico γ 2km Reginaldo J Santos DMatICExUFMG Massamola Livre com Subamortecimento γ 2km Reginaldo J Santos DMatICExUFMG Figura 3 Ilustração dos fatores de amortecimento ATÉ A PRÓXIMA AULA Transformando vidas pela EDUCAÇÃO FACULDADE Prominas Un1ca FACULDADE