Lista de Exercícios: Regra da Cadeia e Derivação Implícita - Cálculo Diferencial e Integral II

Lista1 Regra da Cadeia e Derivação Implícita EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 1 Use a regra da cadeia para encontrar 𝑑𝑧 𝑑𝑡 ou 𝑑𝑤 𝑑𝑡 a 𝑧 𝑥𝑦 𝑥2𝑦 𝑥 𝑒𝜋𝑡 𝑦 𝑒𝜋𝑡 b 𝑧 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑥 𝑡 𝑦 1 𝑡 c 𝑧 𝑡𝑔1𝑦 𝑥 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 1 𝑒𝑡 2 Use a regra da cadeia para encontrar 𝑧 𝑠 ou 𝑧 𝑡 a 𝑧 𝑥 𝑦5 𝑥 𝑠2𝑡 𝑦 𝑠𝑡2 b 𝑧 𝑥𝑒𝑥𝑦 𝑥 1 𝑠𝑡 𝑦 𝑠2 𝑡2 c 𝑧 𝑒𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟 𝑠𝑡 𝜃 𝑠² 𝑡² 3 Seja 𝑝𝑡 𝑓𝑔𝑡 ℎ𝑡 onde 𝑓 é diferenciável 𝑔2 4 𝑔2 3 ℎ2 5 ℎ2 6 𝑓𝑥45 2 𝑓𝑦45 8 Encontre 𝑝2 4 Suponha que 𝑓 seja uma função diferenciável de x e y e 𝑔𝑟 𝑠 𝑓2𝑟 𝑠 𝑠2 4𝑟 Use a tabela de valores abaixo para calcular 𝑔𝑟12 𝑒 𝑔𝑠12 f g 𝒇𝒙 𝒇𝒚 00 3 6 4 8 12 6 3 2 5 5 Determine 𝑧 𝑥 e 𝑧 𝑦 a 𝑥² 2𝑦² 3𝑧² 1 b 𝑦𝑧 𝑥𝑙𝑛𝑦 𝑧² 6 A temperatura em um ponto 𝑥 𝑦 é 𝑇𝑥 𝑦 medida em graus Celsius Um inseto rasteja de modo que sua posição após t segundos é dada por 𝑥 1 𝑡 𝑦 2 1 3 𝑡 onde 𝑥 e 𝑦 são medidos em centímetros A função da temperatura satisfaz 𝑇𝑥23 4 𝑇𝑦23 3 Quão rápido a temperatura aumenta no caminho do inseto depois de três segundos 7 O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 46 cms enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de 65 cms Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é 300 cm e a altura é 350 cm Lista1 Regra da Cadeia e Derivação Implícita EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II 8 A pressão de 1 mol de um gás ideal está aumentando em uma taxa de 005 kPas e a temperatura está aumentando em uma taxa de 015 Ks Use a equação 𝑃𝑉 831𝑇 para determinar a taxa de variação do volume quando a pressão for 20 kPa e a temperatura for 320K 9 Se 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 onde 𝑥 𝑠 𝑡 e 𝑦 𝑠 𝑡 Mostre que 𝑧 𝑥 2 𝑧 𝑦 2 𝑧 𝑠 𝑧 𝑡 10 Uma função 𝑓 é chamada homogênea de nésimo grau se satisfaz a equação 𝑓𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝑡𝑛𝑓𝑥 𝑦 para todo 𝑡 onde n é um inteiro positivo e 𝑓 tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas a Verifique se 𝑓𝑥 𝑦 𝑥²𝑦 2𝑥𝑦² 5𝑦³ é homogênea de grau 3 b Mostre que se 𝑓 é homogênea de grau n então x f x y f y nfx y 𝐷𝑖𝑐𝑎 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑒 𝑎 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝐶𝑎𝑑𝑒𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑟 𝑓𝑡𝑥 𝑡𝑦 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎 𝑡 Lista1 Regra da Cadeia e Derivação Implícita EFB109 Cálculo Diferencial e Integral II Gabarito 1 a 𝑑𝑧 𝑑𝑡 6𝜋 𝑒𝜋𝑡2𝑒𝜋𝑡2 b 𝑑𝑧 𝑑𝑡 1 2𝑡 cos𝑡 cos 1 𝑡 1 𝑡2 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑠𝑒𝑛 1 𝑡 c 𝑑𝑧 𝑑𝑡 2𝑒𝑡 𝑒2𝑡1𝑒𝑡2 2 a 𝑧 𝑠 5𝑠2𝑡 𝑠𝑡242𝑠𝑡 𝑡2 𝑧 𝑡 5𝑠2𝑡 𝑠𝑡24𝑠2 2𝑠𝑡 b 𝑧 𝑠 𝑒1𝑠𝑡𝑠2𝑡2 21𝑠𝑡 𝑠2 𝑡21 𝑠𝑡𝑒1𝑠𝑡𝑠2𝑡2 𝑡 1 𝑠𝑡𝑒1𝑠𝑡𝑠2𝑡22𝑠 𝑧 𝑡 𝑒1𝑠𝑡𝑠2𝑡2 21𝑠𝑡 𝑠2 𝑡21 𝑠𝑡𝑒1𝑠𝑡𝑠2𝑡2 𝑠 1 𝑠𝑡𝑒1𝑠𝑡𝑠2𝑡22𝑡 c 𝑧 𝑠 𝑒𝑠𝑡 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑠2 𝑡2 𝑠 𝑠2𝑡2 𝑠𝑒𝑛𝑠2 𝑡2 𝑧 𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑐𝑜𝑠𝑠2 𝑡2 𝑡 𝑠2𝑡2 𝑠𝑒𝑛𝑠2 𝑡2 3 𝑝2 42 4 𝑔𝑟12 24 e 𝑔𝑠12 28 5 a 𝑧 𝑥 𝑥 3𝑧 e 𝑧 𝑦 2𝑦 3𝑧 b 𝑧 𝑥 𝑙𝑛𝑦 𝑦2𝑧 e 𝑧 𝑦 𝑧𝑥 𝑦 𝑦2𝑧 6 2 Cs 7 127000𝜋 cm3s 8 𝑑𝑉 𝑑𝑡 027 𝐿𝑠