Parametrização de uma Elipse - Geometria Analítica II

Parametrização de uma elipse Adaptado do texto de K Frensel e J Delgado IMUFF httpwwwprofessoresuffbrkatiafrenselwpcontentuploads sites115201708ga2aula1pdf 2 Geometria Analitica II Aula 1 Parametrizacgao de uma elipse x y Seja é a2 b2 1 uma elipse de centro na origem Seja C 7 8 1 ocirculo de centro na origem e raio r 1 Como xy se e 0 Se x Y acost a Bp 2 ECeC teRéumaparametrizagao de C temos que ab 6 sent x acost E teR y bsent é uma possivel parametrizacgao da elipse O significado geométrico do parametro t R pode ser visto do seguinte modo Sejam C x2 y a o circulo de centro na origem e raio a e Cy x y b ocirculo de centro na origem e raio b OY Ca Les p OX Fig 3 Circulos Ca eCh ab0 K Frensel J Delgado IMUFF Geometria Analítica II Aula 1 3 Considere para cada t R os pontos Pa a cos t a sen t Ca e Pb b cos t b sen t Cb tais que os vetores OPa e OPb fazem um ângulo t medido em radianos no sentido anti horário com o semieixo positivo OX A interseção da reta ra x a cos t paralela ao eixoOY que passa pelo ponto Pa com a reta rb y b sen t paralela ao eixoOX que passa pelo ponto Pb nos dá o ponto P a cos t b sen t pertencente à elipse E x2 a2 y2 b2 1 Fig 4 Construção da elipse E Seja agora a elipse E x x02 a2 y y02 b2 1 de centro x0 y0 Por uma translação dos eixos coordenados obtemos um sistema de eixos O X Y onde O x0 y0 é o centro da elipse Nas novas coordenadas x e y a equação cartesiana da elipse fica na forma E x2 a2 y2 b2 1 e portanto E x a cos t y b sen t t R é uma parametrização da elipse nas coordenadas x e y Como x x x0 e y y y0 obtemos que E x x0 a cos t y y0 b sen t t R é uma parametrização da elipse nas coordenadas x e y Exemplo 2 Parametrize a elipse x2 4y2 2x 16y 1 IMUFF K Frensel J Delgado 4 Geometria Analitica II Aula 1 Solucao Completando os quadrados x2x4yl6y 1 x14y214141616 x1 y2 16 1 obtemos que a elipse tem centro no ponto 12 retafocal y 2 paralela ao eixoOX a 4 e b 2 Entao x14cost teR y242sent é uma parametrizagao de 5 Exemplo 6 2 oy Considere a elipse Er ata Colocando em evidéncia a variavel y obtemos 2 2 2 2 yo x 212 x br 2 b 2 x2 2 1 v1 4a2 a2 x2 b2 oY I way qa x y to a x Note que a expressao que aparece no radicando no lado direito da ultima igualdade esta defi nida somente para os valores de x tais que a x 0 ou seja a x a Para cada escolha de sinal na expressao de y descrevemos uma parte da elipse Fazendo x t obtemos as equacgoes paramétricas e xt 1 xt 4 b te aa i b te aa yiVaet y Va x onde 6 asemielipse contida no semiplano superior incluindo o vértice V a 0 e excluindo 0 vértice V2 a0 Analogamente 6 a semielipse contida no semiplano inferior incluindo 0 vértice V2 a0 e excluindo o vértice V a 0 Veja as Figuras 11 12 e 13 Nos exemplos abaixo veremos como parametrizar cénicas que nao estao na forma canénica OY OY OY b rt b Pzy y2Ve Ex t a a Yi a a a a O x aOox OX OX oa 572 2 y va t E t a a b Pzy E Fig 11 Semielipse Fig 12 Semielipse Fig 13 Elipse UE K Frensel J Delgado IMUFF