Parametrização do Círculo em Geometria Analítica

Parametrização de círculo Adaptado do texto de K Frensel e J Delgado IMUFF httpwwwprofessoresuffbrkatiafrenselwpcontentuploads sites115201708ga2aula1pdf 2 Geometria Analitica II Aula 1 Ao estudarmos as retas no plano vimos que a reta r que passa por dois pontos distintos P x1U1 P2 x2 y2 dada pelas seguintes equacdes parameétricas XX1UxX2x T 2 v teR y yitty2y1 Essas equagoes expressam os valores das coordenadas cartesianas x e y de um ponto qual quer da reta r em fungao de apenas uma variavel a variavel t denominada parametro As retas nao sao as Unicas curvas planas que podem ser representadas por equag6es paramétricas Definicao 1 Seja C uma curva plana Dizemos que uma aplicacao y D R yt xt yt 6 uma parametrizacao de C se a sua imagem yD coincide com C ou seja CyD xt ytt Dj onde D é um subconjunto de R geralmente um intervalo ou uma reuniao finita de intervalos A imagem yD C R 6 também chamada o traco dey Parametrizacao de um circulo Seja C x y r 0 circulo de centro na origem e raio r 0 Seja t a medida em radianos do angulo PoOP tomada no sentido antihorario onde O é a origem do sistema cartesiano de coordenadas Po 10 é a intersegao do circulo com o semieixo positivo OX e P xy um ponto pertencente aC Considere o ponto P x0 Como o triangulo OPP é retangulo em P as expressdes das coordenadas x e y em fungao do parametro t sao x xt rcost e yyt rsent IMUFF K Frensel J Delgado Geometria Analítica II Aula 1 3 Fig 1 Círculo C x2 y2 r2 Fazendo t percorrer os valores do intervalo 0 2π obtemos todos os pontos do círculo Se quisermos podemos considerar t percorrendo tam bém todos os valores reais Isto implica realizar um nú mero infinito de voltas sobre o círculo Portanto uma possibilidade de equações paramétricas para o círculo C é C x r cos t y r sen t t R Note que para qualquer valor real a 0 as equa ções x r cosat e y r senat com t R também são equações paramétricas para o círculo C pois x2 y2 r2 cos2at r2 sen2at r2 Observe que as equações paramétricas C x r cos t y r sen t t 0 π definem apenas o semicírculo de P0 r 0 a P1 r 0 percorrido no sentido positivo anti horário Seja agora o círculo C x x02 y y02 r2 de centro x0 y0 e raio r 0 Fig 2 Círculo C xx02 yy02 r2 Por uma translação do sistema de eixos OXY obte mos um novo sistema de eixos O X Y com O x0 y0 Nas coordenadas x e y onde x x x0 e y y y0 a equação cartesiana do círculo é dada por x2y2 r2 pois no sistema de eixos O X Y o círculo C tem raio r e está centrado na origem Sendo x r cos t e y r sen t t R as equações paramétricas de C nas coordenadas x e y temos que C x x0 r cos t y y0 r sen t t R são equações paramétricas do círculo C nas coordenadas x e y IMUFF K Frensel J Delgado 4 Geometria Analítica II Aula 1 Exemplo 1 Parametrize o círculo C x2 y2 4x 6y 12 Solução Completando o quadrado x2 4x y2 6y 12 x 22 y 32 12 4 9 25 obtemos que C é o círculo de centro C 2 3 e raio r 5 Logo pelo visto acima C x 2 5 cos t y 3 5 sen t t R são equações paramétricas do círculo C K Frensel J Delgado IMUFF