Lista de Exercícios sobre Transformações Lineares em Álgebra Linear

Álgebra linear Prof Me João Vinícius da Silva Engenharia de Software Nome Data Lista 5 Transformações lineares 1 Dentre as transformações lineares abaixo definidas pelas seguintes leis verificar quais são lineares a T R2 R2 Tx y x 3y 2x 5y b T R2 R2 Tx y x 2y c T R2 R2 Tx y x 1 y d T R2 R2 Tx y x y Reflexão em torno do eixo x e T R2 R2 Tx y senx y f T R2 R2 Tx y x y Reflexão na origem g T R2 R2 Tx y xy x y h T R2 R2 Tx y 3y 2x i T R3 R3 Tx y z x y 2z y z 2y 3z j T R3 R3 Tx y z x y z x 2y z 2 Mostre que a transformação T R2 R2 Tx y x 3y 2x 5y é linear 3 Seja a transformação linear T R2 R3 Tx y 2x y x 3y 2y a Determinar NucT e a dimensão dele b T é injetora E sobrejetora 4 Seja T R3 R2 tal que T0 1 1 1 1 T1 0 0 0 1 T1 0 1 1 1 a Encontrar a expressão de Tx y z 1 b Determinar ImT e uma base para esse subespaço c Determinar NucT e uma base base para esse subespaço d T é injetora T é sobrejetora Justificar 5 Determinar a transformação linear T R2 R3 tal que T1 1 3 2 1 e T0 1 1 1 0 Encontre v R2 tal que Tv 2 1 3 6 A expressão geral de um operador linear A R2 R2 é Ax y ax by cx dy Determine as constantes a b c d de modo que A transforme os vetores u 1 2 e v 3 4 nos vetores Au 1 1 e Av 2 2 7 Seja o operador linear T R2 R2 Tx y 2x y 4x 2y Quais dos seguintes vetores pertencem a NucT a 1 2 b 2 3 c 3 6 8 Seja a transformação linear T R2 R3 tal que T2 3 1 0 1 e T1 2 0 1 0 a Determinar Tx y b Determinar NucT e ImT c T é injetora E sobrejetora d Determine uma base e a dimensão do núcleo 9 Encontre uma transformação linear T R3 R2 tal que NucT 1 0 1 10 Encontrar uma transformação linear T R3 R4 cuja imagem é gerada por 1 3 1 2 e 2 0 1 1 11 Assinale verdadeiro V ou falso F Uma transformação linear A E F é sobrejetiva se e somente se dimNucA dimE dimF O núcleo de toda transformação linear A R5 R3 tem dimensão 3 Se NucA é gerado pelos vetores v1 v2 e v3 então a imagem do operador A R5 R5 tem dimensão 2 12 A seguir são dados operadores lineares T R2 e em R3 Determinar NucT e ImT além de uma base e a dimensão do núcleo e uma base e a dimensão para a Imagem 2 a T R2 R2 Tx y 3x 4y x 2y b T R2 R2 Tx y x 2y 2x 3y c T R2 R2 Tx y 2x y 4x 2y d T R3 R3 Tx y z x y 2z y z 2y 3z e T R3 R3 Tx y z x y z x 2y z 3