Introdução aos Conceitos de Probabilidade: Teoria e Prática

DESCRIÇÃO Conceitos de probabilidade pela definição clássica e frequentista cálculo de probabilidades simples regras da adição e da multiplicação eventos condicionais PROPÓSITO Compreender os conceitos de probabilidade proporcionando desde a resolução de problemas simples até o embasamento teórico para realizações de inferências estatísticas sobre determinada população PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema tenha em mãos uma calculadora científica ou use a de seu smartphonecomputador OBJETIVOS MÓDULO 1 Definir os conceitos básicos de probabilidade MÓDULO 2 Aplicar cálculos para resolução de problemas simples de probabilidade MÓDULO 3 Reconhecer as principais regras da teoria das probabilidades MÓDULO 4 Identificar eventos condicionais com base na resolução de problemas associados a eles BEMVINDO AO ESTUDO DAS PROBABILIDADES No vídeo a seguir o professor vai apresentar alguns detalhes sobre o que será abordado no tema Assista MÓDULO 1 Definir os conceitos básicos de probabilidade INTRODUÇÃO Neste módulo abordaremos os fundamentos necessários para que possamos definir e compreender o conceito de probabilidade Iniciaremos com a definição de experimentos aleatórios passando pelas definições de espaço amostral evento eventos mutuamente exclusivos e partição de espaço amostral até chegarmos à definição de probabilidade A partir desses conceitos fundamentais veremos duas definições de probabilidade Relacionada ao conceito de frequência relativa Embasada nos axiomas básicos de probabilidade EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS São experimentos que mesmo repetidos sob as mesmas condições podem apresentar diferentes resultados EXEMPLOS Lançamento de uma moeda Lançamento de dois dados Medição do comprimento de uma peça em um lote de produção Medição da temperatura em determinado lugar e horário ESPAÇO AMOSTRAL S É o conjunto dos possíveis resultados de um experimento aleatório Considerando os exemplos listados anteriormente temos LANÇAMENTO DE UMA MOEDA a S c c c k k c k k em que c representa cara e k representa coroa Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal LANÇAMENTO DE DOIS DADOS b S 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MEDIÇÃO DO COMPRIMENTO DE UMA PEÇA EM UM LOTE DE PRODUÇÃO c S ℝ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MEDIÇÃO DA TEMPERATURA EM DETERMINADO LUGAR E HORÁRIO d S ℝ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EVENTO Definição1 É um subconjunto do espaço amostral Definição2 Seja S o espaço amostral de um experimento Todo subconjunto A S chamado evento Nesse caso S é denotado como o evento certo e como o evento impossível EXEMPLOS FonteShutterstock I Considere o experimento de dois lançamentos de uma moeda a Seja o evento A1 o primeiro resultado é cara A1 c c c k FonteShutterstock II Considere o experimento do lançamento de dois dados a b A3 a soma dos resultados é 7 𝐴3 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal OPERAÇÕES COM EVENTOS Consideremos o espaço amostral 𝑆 finito Sejam A e B dois eventos de 𝑆 Assim usando operações com esses eventos podemos formar novos eventos tais como 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴𝐶 ou 𝐴 representa o complemento do evento 𝐴 PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES IDEMPOTENTES COMUTATIVA ASSOCIATIVA DISTRIBUTIVA LEIS DE MORGAN 𝐴 𝐴 𝐴 e 𝐴 𝐴 𝐴 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 𝑒 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝑒 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 𝑒 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 𝐴 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 𝑒 𝐴 𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝐵𝐶 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ATENÇÃO EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES OU DISJUNTOS Dizemos que dois eventos digamos A e B serão mutuamente excludentes se eles não puderem ocorrer simultaneamente ou seja 𝐴 𝐵 PARTIÇÃO DE UM ESPAÇO AMOSTRAL Dizemos que os eventos 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 formam uma partição do espaço amostral se I 𝐴𝑖 𝑖 1 2 𝑛 II 𝐴𝑖 𝐴𝑗 𝑖 𝑗 III 𝑖 1 𝑛 𝐴𝑖 𝑆 A figura a seguir mostra a representação de uma partição do espaço amostral Fonte O autor PROBABILIDADE FREQUENTISTA A frequência relativa de um evento qualquer A é definida por 𝑓𝐴 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑛𝐴𝑛 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Baseado nessa ideia definese probabilidade de um evento A como 𝑃𝐴 𝑛𝐴 𝑛𝑆 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑎𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐴 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Na qual S é o espaço amostral EXEMPLOS a Considere novamente o experimento de dois lançamentos de uma moeda e o evento A1 O primeiro resultado é cara A probabilidade desse evento A1 é dada por 𝑃𝐴1 𝑛𝐴1 𝑛𝑆 2 4 1 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Afinal vimos que tínhamos 2 elementos favoráveis ao evento A1 de 4 possíveis b Considere o experimento do lançamento de dois dados e o evento A3 A soma dos resultados é 7 Dessa forma a probabilidade desse evento A3 é dada por 𝑃𝐴3 𝑛𝐴3 𝑛𝑆 6 36 1 6 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Afinal vimos que tínhamos 6 elementos favoráveis ao evento A1 de 36 possíveis PROBABILIDADE CLÁSSICA Considere um experimento aleatório E e um espaço amostral S associado a esse experimento Definese probabilidade de um evento A PA como uma função definida em S que associa a cada evento de S um número real devendo satisfazer os seguintes axiomas de probabilidade a 0 𝑃𝐴 1 b 𝑃𝑆 1 c 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 se A e B forem mutuamente excludentes Generalizando o item C temos Se os 𝐴𝑖 𝑠 1 𝑖 𝑛 são mutuamente excludentes Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Se os 𝐴𝑖 𝑠 1 𝑖 são mutuamente excludentes Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal TEOREMAS DE PROBABILIDADE TEOREMA 1 TEOREMA 2 TEOREMA 3 TEOREMA 4 TEOREMA 1 Sejam os 𝐴𝑖 𝑠 1 𝑖 𝑛 partições de um espaço amostral 𝑛 𝑖1 𝑃𝐴𝑖 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Prova 𝑛 𝑖 1 𝐴𝑖 𝑆 𝑃 𝑛 𝑖 1 𝐴𝑖 𝑃𝑆 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal TEOREMA 2 Se é o conjunto vazio então 𝑃 0 Prova Sabemos que 𝑆 𝑆 𝑃𝑆 𝑃𝑆 𝑃 𝑃𝑆 𝑃 0 TEOREMA 3 Se 𝐴𝐶 é o complemento do evento A logo 𝑃𝐴𝐶 1 𝑃𝐴 Prova Temos que 𝐴𝐶 𝐴 𝑆 𝑃𝐴𝐶 𝑃𝐴 𝑃𝑆 1 𝑃𝐴𝐶 1 𝑃𝐴 TEOREMA 4 Se 𝐴 𝐵 então 𝑃𝐴 𝑃𝐵 Prova Note que podemos escrever B como 𝐵 𝐴 𝐴𝑐 𝐵 Assim 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐴𝑐 𝐵 pois A e Ac B são disjuntos Como uma probabilidade é sempre maior ou igual a 0 zero temos que PA PB MÃO NA MASSA 1 SUPONHA PA 13 E PB 12 SE A E B SÃO MUTUAMENTE EXCLUDENTES DETERMINE PAB A 16 B 13 C 12 D 34 E 56 2 SABEMOS QUE GENÓTIPOS DE CERTA CARACTERÍSTICA HUMANA SÃO FORMADOS PELOS ELEMENTOS AA AA AA E AA SENDO AA O GENE DOMINANTE E AA O GENE RECESSIVO QUAL É A PROBABILIDADE DE UM CASAL CUJO HOMEM É DOMINANTE E A MULHER TEM GENE AA TER UM FILHO COM GENE DOMINANTE A 13 B 12 C 23 D 34 E 56 3 SUPONHA QUE UM CASAL QUER TER 3 FILHOS 1 MENINO E 2 MENINAS QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE ISSO OCORRA A 38 B 12 C 58 D 34 E 78 4 UM NÚMERO É ESCOLHIDO ALEATORIAMENTE ENTRE OS NÚMEROS 1 2 3 100 QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE ESSE NÚMERO SEJA DIVISÍVEL POR 7 A 14 B 12 C 320 D 750 E 920 5 CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR QUAL É A PROBABILIDADE DE ESSE NÚMERO SER PRIMO A 625 B 14 C 35 D 34 E 45 6 O ESTUDO ANTROPOMÉTRICO EM UMA AMOSTRA DE 100 FUNCIONÁRIOS DE DETERMINADA EMPRESA RESULTOU NA SEGUINTE TABELA QUE RELACIONA OS PESOS COM AS ALTURAS ABAIXO DE 170M ACIMA DE 170M ABAIXO DE 80KG 30 15 ACIMA DE 80KG 10 45 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL CONSIDERANDO QUE UM FUNCIONÁRIO FOI ESCOLHIDO ALEATORIAMENTE QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE ELE TENHA PESO ABAIXO DE 80KG E ALTURA ABAIXO DE 170M A 110 B 15 C 310 D 410 E 12 GABARITO 1 Suponha PA 13 e PB 12 Se A e B são mutuamente excludentes determine PAB No vídeo a seguir o professor vai apresentar a resolução da questão Assista 2 Sabemos que genótipos de certa característica humana são formados pelos elementos AA Aa aA e aa sendo AA o gene dominante e aa o gene recessivo Qual é a probabilidade de um casal cujo homem é dominante e a mulher tem gene Aa ter um filho com gene dominante Observe que o espaço amostral que é o conjunto de todos os possíveis resultados é formado pelos seguintes elementos quando fazemos as combinações dos pares AA e Aa S AA Aa AA Aa Assim considere o evento A Ter um filho com gene dominante Dessa maneira segundo o conceito de probabilidade frequentista 𝑃𝐴 𝑛𝐴 𝑛𝑆 2 4 1 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Logo a chance de o casal ter um filho com gene dominante é de 50 3 Suponha que um casal quer ter 3 filhos 1 menino e 2 meninas Qual é a probabilidade de que isso ocorra No vídeo a seguir o professor vai apresentar a resolução da questão Assista 4 Um número é escolhido aleatoriamente entre os números 1 2 3 100 Qual é a probabilidade de que esse número seja divisível por 7 Já sabemos que nosso espaço amostral é composto por esses 100 números Portanto nS 100 Agora vejamos o evento de interesse Seja A O número escolhido é divisível por 7 então 𝑛𝐴 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Logo 𝑃𝐴 𝑛𝐴 𝑛𝑆 14 100 7 50 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim para cada 50 números escolhidos 7 são divisíveis por 7 5 Considerando o enunciado da questão anterior qual é a probabilidade de esse número ser primo Solução Seja P O número escolhido é primo logo nA 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 e 97 Então 𝑃 25 100 1 4 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim para cada 25 números escolhidos 6 são números primos 6 O estudo antropométrico em uma amostra de 100 funcionários de determinada empresa resultou na seguinte tabela que relaciona os pesos com as alturas Abaixo de 170m Acima de 170m Abaixo de 80kg 30 15 Acima de 80kg 10 45 Atenção Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal Considerando que um funcionário foi escolhido aleatoriamente qual é a probabilidade de que ele tenha peso abaixo de 80kg e altura abaixo de 170m Solução Seja o evento A Ter peso abaixo de 80kg portanto 𝑃𝐴 𝑛𝐴 𝑛𝑆 30 100 3 10 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto a cada 10 funcionários 3 têm peso abaixo de 80kg GABARITO TEORIA NA PRÁTICA Um professor usa dois dados não viciados para um experimento Um dos dados tem o formato de um octaedro com faces numeradas de 2 a 9 o outro um dado comum cúbico possui as faces numeradas de 5 a 10 Modele um espaço amostral para determinar a probabilidade de em uma jogada simultânea dos dois dados se obter 1 O mesmo número nos dois dados 2 A soma das faces igual a 7 RESOLUÇÃO No vídeo a seguir o professor vai apresentar a resolução da questão Assista VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 UMA FÁBRICA TÊXTIL PRODUZ LOTES DE 100 CAMISAS SABEMOS QUE EM GERAL CADA LOTE APRESENTA 5 CAMISAS COM DEFEITOS NO TAMANHO E 7 DELAS TÊM DEFEITO NO FIO UMA CAMISA É ESCOLHIDA AO ACASO QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE ELA TENHA DEFEITOS A 120 B 7100 C 325 D 320 E 825 2 VAMOS RETOMAR O ENUNCIADO DE UM EXERCÍCIO FEITO AO LONGO DO CONTEÚDO O ESTUDO ANTROPOMÉTRICO EM UMA AMOSTRA DE 100 FUNCIONÁRIOS DE DETERMINADA EMPRESA RESULTOU NA SEGUINTE TABELA QUE RELACIONA OS PESOS COM AS ALTURAS ABAIXO DE 170M ACIMA DE 170M ABAIXO DE 80KG 30 15 ACIMA DE 80KG 10 45 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL CONSIDERANDO QUE UM FUNCIONÁRIO FOI ESCOLHIDO ALEATORIAMENTE QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE ELE TENHA ALTURA ACIMA DE 170M A 040 B 045 C 055 D 060 E 065 GABARITO 1 Uma fábrica têxtil produz lotes de 100 camisas Sabemos que em geral cada lote apresenta 5 camisas com defeitos no tamanho e 7 delas têm defeito no fio Uma camisa é escolhida ao acaso Qual é a probabilidade de que ela tenha defeitos A alternativa C está correta Sejam os eventos A camisas com defeitos no tamanho e B camisas com defeitos no fio Observe que não temos camisas com os dois tipos de defeito Assim podemos afirmar que os eventos são disjuntos 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 5 100 7 100 12 100 3 25 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Vamos retomar o enunciado de um exercício feito ao longo do conteúdo O estudo antropométrico em uma amostra de 100 funcionários de determinada empresa resultou na seguinte tabela que relaciona os pesos com as alturas Abaixo de 170m Acima de 170m Abaixo de 80kg 30 15 Acima de 80kg 10 45 Atenção Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal Considerando que um funcionário foi escolhido aleatoriamente qual é a probabilidade de que ele tenha altura acima de 170m A alternativa D está correta Seja o evento B Ter altura acima de 170m então 𝑃𝐵 𝑛𝐵 𝑛𝑆 60 100 060 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÓDULO 2 Aplicar cálculos para resolução de problemas simples de probabilidade INTRODUÇÃO No cálculo de probabilidade há diversas formas de resolver os problemas que vão desde a utilização de técnicas elementares conforme vimos no módulo anterior até o uso de técnicas mais sofisticadas Entre as diversas técnicas empregadas para a resolução de problemas simples de probabilidade podemos citar Princípios de contagem Análise combinatória combinação arranjo e permutação Diagrama de árvore Teoria dos conjuntos A escolha da técnica correta pode facilitar muito a solução do problema Portanto a seguir faremos uma revisão dos princípios de contagem e de análise combinatória a fim de facilitar a compreensão de algumas questões resolvidas PRINCÍPIOS DE CONTAGEM PRINCÍPIO DA ADIÇÃO Se um elemento pode ser escolhido de m formas e outro elemento pode ser escolhido de n formas então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m n formas desde que tais opções sejam independentes isto é nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com a do outro EXEMPLO Em uma sala há 2 homens e 3 mulheres De quantas formas é possível selecionar uma pessoa Fonte Shutterstock SOLUÇÃO 2 3 5 formas PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO Se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes a escolha do par HM nesta ordem poderá ser realizada de m x n formas EXEMPLO Em uma sala há 2 homens e 3 mulheres De quantas formas é possível selecionar um casal SOLUÇÃO Veja que temos 2 x 3 6 formas de selecionar um casal que equivale aos pares H1M1 H1M2 H1M3 H2M1 H2M2 H2M3 ANÁLISE COMBINATÓRIA ARRANJOS São agrupamentos formados com k elementos de um total de n elementos de forma que os k elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie Os arranjos podem ser simples ou com repetição ARRANJOS SIMPLES Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de k elementos Logo 𝐴𝑛 𝑘 𝐴𝑛 𝑘 𝑛 𝑛 𝑘 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Se A A1 A2 A3 A4 Quantos grupos de 2 elementos podem ser formados de modo que não possam apresentar a repetição de qualquer elemento mas possam aparecer na ordem trocada SOLUÇÃO 𝐴4 2 4 4 2 4𝑥3𝑥2 2 12 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ARRANJOS COM REPETIÇÃO Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de k elementos então 𝐴𝑟 𝑛 𝑘 𝐴𝑛 𝑘 𝑟 𝑛𝑘 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Se A A1 A2 A3 A4 Quantos grupos com repetição de 2 elementos podem ser formados de modo que possam apresentar a repetição de qualquer elemento e aparecer na ordem trocada SOLUÇÃO 𝐴2 42 42 16 PERMUTAÇÕES Quando formamos agrupamentos com n elementos de forma que sejam distintos entre si pela ordem As permutações podem ser simples com repetição ou circulares PERMUTAÇÃO SIMPLES É a ordenação de n elementos distintos Dessa forma o número de modos de ordenar n elementos distintos é dado por 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 1 𝑛 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Ou simplesmente 𝑃𝑛 𝑃𝑛 𝑛 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO De quantos modos 4 administradores 3 economistas e 2 engenheiros podem ser dispostos em uma fila de maneira que os de mesma profissão fiquem juntos Fonte Shutterstock SOLUÇÃO Como queremos que os indivíduos de mesma profissão fiquem juntos consideraremos cada profissão como um bloco Assim o número de maneiras para que as três profissões fiquem juntas na fila será 3 6 maneiras Logo como os profissionais podem ser permutados entre si teremos 3432 1728 formas PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO O número de permutações de n elementos dos quais n1 são iguais n2 são iguais nk são iguais é 𝑛 𝑛1 𝑛2 𝑛𝑘 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Quantos anagramas podemos formar com a palavra Arara SOLUÇÃO 𝑛 𝑛1 𝑛2 𝑛𝑘 5 32 5 4 3 32 10 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal PERMUTAÇÃO CIRCULAR Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando um círculo 𝑃𝑐 𝑛 𝑛 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO De quantos modos podemos formar uma roda com 4 crianças SOLUÇÃO 41 3 3 x 2 x 1 6 modos COMBINAÇÕES As combinações podem ser de dois tipos simples ou com repetição COMBINAÇÃO SIMPLES Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de k elementos 𝐶𝑛 𝑘 𝐶𝑛 𝑘 𝑛𝑘 𝑛 𝑘𝑛 𝑘 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Seja A A1 A2 A3 A4 Quantas combinações de 2 elementos podem ser formadas SOLUÇÃO 𝑛𝑘 𝑛 𝑘𝑛 𝑘 42 4 24 2 4 3 2 22 6 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Veja que o caso da combinação A1 A2 não é distinto de A2 A1 COMBINAÇÃO COM REPETIÇÃO Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até k vezes 𝐶𝑟 𝑛 𝑘 𝐶𝑛 𝑘 1 𝑘 𝑛 𝑘 1 𝑘 𝑛 𝑘 1 𝑘𝑛 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Seja A A1 A2 A3 A4 Quantas combinações com repetição de 2 elementos podem ser formadas SOLUÇÃO 𝑛 𝑘 1 𝑘 𝑛 𝑘 1 𝑘𝑛 1 4 2 1 24 1 5 23 5 4 3 23 10 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÃO NA MASSA 1 QUAL É A PROBABILIDADE DE FORMARMOS UM CÓDIGO QUE CONTENHA 2 NÚMEROS E 3 LETRAS DE MODO QUE NÃO TENHA NEM NÚMEROS NEM LETRAS REPETIDAS A 29323 B 71323 C 111169 D 135169 E 149169 2 SUPONHA QUE EM UM CONGRESSO TENHAMOS 20 ENGENHEIROS E 10 MATEMÁTICOS DESEJAMOS FORMAR UMA COMISSÃO COM 5 CONGRESSISTAS PARA COMPOR A ORGANIZAÇÃO DO PRÓXIMO CONGRESSO QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE ESSA COMISSÃO SEJA FORMADA POR 3 ENGENHEIROS E 2 MATEMÁTICOS A 019 B 036 C 052 D 067 E 070 3 EM UMA CLASSE EXISTEM 3 ALUNOS COM MÉDIA GERAL ACIMA DE 9 7 ALUNOS COM MÉDIA GERAL ENTRE 7 E 9 E MAIS 5 ALUNOS COM MÉDIA GERAL ABAIXO DE 7 QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE SE SELECIONARMOS 5 ALUNOS 2 TENHAM MÉDIA GERAL ENTRE 7 E 9 2 TENHAM MÉDIA GERAL ABAIXO DE 7 E 1 TENHA MÉDIA GERAL ACIMA DE 9 A 0210 B 0191 C 0330 D 0505 E 0555 4 UMA URNA CONTÉM 6 BOLAS GRAVADAS COM AS LETRAS D L N N O O EXTRAINDO AS BOLAS UMA POR UMA SEM REPOSIÇÃO A PROBABILIDADE DE OBTERMOS A PALAVRA LONDON É A 160 B 190 C 1180 D 1270 E 1360 5 UM JOGO CONSISTE EM LANÇAR UMA MOEDA HONESTA ATÉ OBTER 3 CARAS CONSECUTIVAS NA PRIMEIRA SITUAÇÃO QUANDO OBTEMOS 3 CARAS CONSECUTIVAS GANHAMOS O JOGO QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE O JOGO TERMINE NO TERCEIRO LANCE A 18 B 14 C 12 D 58 E 78 6 OBSERVAMOS QUE UMA ACADEMIA RECEBE POR HORA CERCA DE 200 CLIENTES DESTES 90 SE DIRIGEM AO SETOR DE MUSCULAÇÃO 80 AO SETOR DE PISCINAS 75 AO SETOR DE ATIVIDADES AERÓBICAS 30 AOS SETORES DE MUSCULAÇÃO E DE PISCINAS 30 AOS SETORES DE MUSCULAÇÃO E DE ATIVIDADES AERÓBICAS 25 AOS SETORES DE PISCINAS E ATIVIDADES AERÓBICAS SABEMOS AINDA QUE 20 CLIENTES SE DIRIGEM A OUTROS SETORES QUE NÃO MUSCULAÇÃO PISCINAS OU ATIVIDADES AERÓBICAS E QUE 10 CLIENTES SE DIRIGEM AOS TRÊS SETORES QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE UM CLIENTE DA ACADEMIA SE DIRIJA EXCLUSIVAMENTE À MUSCULAÇÃO A 110 B 15 C 14 D 12 E 34 GABARITO 1 Qual é a probabilidade de formarmos um código que contenha 2 números e 3 letras de modo que não tenha nem números nem letras repetidas Solução Apesar de a ideia de probabilidade frequentista estar sempre presente nas soluções de problemas que envolvem probabilidade para encontrarmos o número de eventos no qual estamos interessados poderemos recorrer a técnicas de contagem como no caso desta questão Assim definimos o evento A como Formar um código que contenha 2 números e 3 letras de modo que não tenha nem números nem letras repetidas Dessa forma considerando que podemos atribuir 10 números e 26 letras para o código temos 𝑛𝐴 10𝑥9𝑥26𝑥25𝑥24 𝑒 𝑛𝑆 102 𝑥263 𝑃𝐴 𝑛𝐴 𝑛𝑆 10 9 26 25 24 10 10 26 26 26 135 169 07988 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Suponha que em um congresso tenhamos 20 engenheiros e 10 matemáticos Desejamos formar uma comissão com 5 congressistas para compor a organização do próximo congresso Qual é a probabilidade de que essa comissão seja formada por 3 engenheiros e 2 matemáticos Solução Para resolver este problema podemos utilizar os conceitos de combinação tópico inerente à análise combinatória Primeiro vamos fazer o cálculo do total de comissões satisfatórias Seja o evento A Formar comissão com 3 engenheiros e 2 matemáticos Veja que para escolher 3 engenheiros escolheremos dos 20 existentes Portanto combinação de 20 escolhe 3 O mesmo raciocínio vale para a escolha dos 2 matemáticos combinação de 10 escolhe 2 portanto 20 3 𝐸𝑛𝑔𝑒𝑛ℎ𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 10 2 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 20 317 10 28 1140 45 51300 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Por isso nA 51300 Agora vamos fazer o cálculo do total de comissões possíveis 20 10 5 𝐸𝑛𝑔𝑒𝑛ℎ𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 30 5 30 525 142506 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Logo nS 142506 Por fim vamos fazer o cálculo da probabilidade 𝑃𝐴 51300 142506 0359984842 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim sendo a chance de termos uma comissão formada por 3 engenheiros e 2 matemáticos é de aproximadamente 36 3 Em uma classe existem 3 alunos com média geral acima de 9 7 alunos com média geral entre 7 e 9 e mais 5 alunos com média geral abaixo de 7 Qual é a probabilidade de que se selecionarmos 5 alunos 2 tenham média geral entre 7 e 9 2 tenham média geral abaixo de 7 e 1 tenha média geral acima de 9 Solução Este problema segue a mesma ideia do exercício anterior Dessa forma seja o evento A Selecionar 5 alunos sendo que 2 têm média geral entre 7 e 9 2 têm média geral abaixo de 7 e 1 tem média geral acima de 9 então 𝑃𝐴 725231 15 5 30 143 02097 0210 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Por isso a chance de esse evento ocorrer é de aproximadamente 21 4 Uma urna contém 6 bolas gravadas com as letras D L N N O O Extraindo as bolas uma por uma sem reposição a probabilidade de obtermos a palavra LONDON é Solução No vídeo a seguir o professor vai apresentar a resolução da questão Assista 5 Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta até obter 3 caras consecutivas Na primeira situação quando obtemos 3 caras consecutivas ganhamos o jogo Qual é a probabilidade de que o jogo termine no terceiro lance Solução Este é o típico caso em que podemos utilizar o diagrama de árvore para resolver a questão Fonte O autor Observe que a sequência em vermelho é aquela em que o jogo termina no terceiro lance Como em cada lançamento as probabilidades são as mesmas ou seja 12 temos que para terminar no terceiro lançamento a probabilidade será 123 que é igual a 18 6 Observamos que uma academia recebe por hora cerca de 200 clientes Destes 90 se dirigem ao setor de musculação 80 ao setor de piscinas 75 ao setor de atividades aeróbicas 30 aos setores de musculação e de piscinas 30 aos setores de musculação e de atividades aeróbicas 25 aos setores de piscinas e atividades aeróbicas Sabemos ainda que 20 clientes se dirigem a outros setores que não musculação piscinas ou atividades aeróbicas e que 10 clientes se dirigem aos três setores Qual é a probabilidade de que um cliente da academia se dirija exclusivamente à musculação No vídeo a seguir o professor vai apresentar a resolução da questão Assista GABARITO TEORIA NA PRÁTICA Estatísticas apontam que 5 entre 6 brasileiros sonham em ganhar na MegaSena Usando probabilidade mostre por que a MegaSena é considerada um jogo de azar RESOLUÇÃO No vídeo a seguir o professor vai apresentar a resolução da questão Assista VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 DOS 10 PROFESSORES DE UMA UNIVERSIDADE QUE SE CANDIDATARAM A UMA PROMOÇÃO 7 TÊM PÓSDOUTORADO E OS DEMAIS NÃO SELECIONANDO ALEATORIAMENTE 3 DESSES CANDIDATOS PARA DETERMINADA AVALIAÇÃO A PROBABILIDADE DE QUE EXATAMENTE 2 TENHAM PÓSDOUTORADO É A 0515 B 0525 C 0560 D 0575 E 0667 2 OS ESTÁGIOS FORAM CLASSIFICADOS EM 3 GRUPOS DEPENDENDO DO TEMPO DE DURAÇÃO SÃO ELES ESTÁGIOS DE CURTA DURAÇÃO TEMPO DE DURAÇÃO INFERIOR A 80 HORAS ESTÁGIOS DE MÉDIA DURAÇÃO TEMPO DE DURAÇÃO COM MAIS DE 80 HORAS E MENOS DE 300 HORAS ESTÁGIOS DE LONGA DURAÇÃO DEMAIS ESTÁGIOS EXPERIÊNCIAS ANTERIORES ESTIMAM QUE AS PROBABILIDADES DE SE CONSEGUIR UM ESTÁGIO DE CURTA MÉDIA E LONGA DURAÇÃO SÃO RESPECTIVAMENTE 05 03 E 02 SELECIONANDO K ESTAGIÁRIOS A PROBABILIDADE DE HAVER X ESTAGIÁRIOS DE CURTA DURAÇÃO Y ESTAGIÁRIOS DE MÉDIA DURAÇÃO E Z ESTAGIÁRIOS DE LONGA DURAÇÃO SENDO 𝑥 𝑦 𝑧 𝑛 E 𝑥 0 𝑦 0 E 𝑧 0 É A k xyz0 5 x 0 3 y 0 2 z B k xyz0 5 x0 3 y0 2 z C 0 5 x 0 3 y 0 2 z D nxyz0 5 x 0 3 y 0 2 z E 𝑥𝑦𝑧05𝑥 03𝑦 02𝑧 GABARITO 1 Dos 10 professores de uma universidade que se candidataram a uma promoção 7 têm pósdoutorado e os demais não Selecionando aleatoriamente 3 desses candidatos para determinada avaliação a probabilidade de que exatamente 2 tenham pósdoutorado é A alternativa B está correta Seja o evento A Selecionar 3 candidatos dos quais exatamente dois tenham pósdoutorado assim 𝑃𝐴 7231 10 3 21 40 0525 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Os estágios foram classificados em 3 grupos dependendo do tempo de duração São eles Estágios de curta duração Tempo de duração inferior a 80 horas Estágios de média duração Tempo de duração com mais de 80 horas e menos de 300 horas Estágios de longa duração Demais estágios Experiências anteriores estimam que as probabilidades de se conseguir um estágio de curta média e longa duração são respectivamente 05 03 e 02 Selecionando k estagiários a probabilidade de haver x estagiários de curta duração y estagiários de média duração e z estagiários de longa duração sendo 𝑥 𝑦 𝑧 𝑛 e 𝑥 0 𝑦 0 e 𝑧 0 é A alternativa A está correta Para resolver esta questão lembrese da permutação com repetição a fim de determinar o número de maneiras para escolher n elementos dos quais x são iguais y são iguais e z são iguais que é dada por 𝑘 𝑥𝑦𝑧 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Agora multiplique por suas respectivas probabilidades elevadas ao número de elementos de cada estágio ou repetição Assim essa probabilidade é 𝑘 𝑥𝑦𝑧05𝑥 03𝑦 02𝑧 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÓDULO 3 Reconhecer as principais regras da teoria das probabilidades INTRODUÇÃO Neste módulo adicionaremos duas regras que complementam o desenvolvimento do conceito de probabilidade visto no primeiro módulo PRIMEIRA REGRA SEGUNDA REGRA PRIMEIRA REGRA A primeira regra trata do cálculo da probabilidade da união de quaisquer eventos SEGUNDA REGRA A segunda regra chamada de regra da multiplicação por alguns autores mas também conhecida como independência estatística trata do cálculo da interseção de eventos quando estes são independentes REGRA DA ADIÇÃO Esta regra permite calcular a probabilidade de ocorrência de um evento A ou de um evento B ou ainda de ambos Na teoria dos conjuntos a conjunção ou está relacionada à união de eventos Consequentemente na regra da adição estamos interessados em determinar 𝑃𝐴 𝐵 DOIS EVENTOS Considere dois eventos quaisquer digamos A e B 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Prova Fonte O autor ATENÇÃO Note que no evento A em cinza e no evento B em azul a interseção é contada duas vezes Portanto para calcular 𝑃𝐴 𝐵 subtraímos uma vez 𝑃𝐴 𝐵 N EVENTOS Generalizando o caso para dois eventos temos que para n eventos essa probabilidade é dada por 𝑃𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 𝑖 1 𝑛 𝑃𝐴1 𝑖 𝑗 𝑃𝐴𝑖 𝐴𝑗 𝑖 𝑗 𝑘 𝑃𝐴𝑖 𝐴𝑗 𝐴𝑘 1𝑛 1 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 𝐴𝑖 𝐴𝑗 𝐴𝑘 𝐴𝑛 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal REGRA DA MULTIPLICAÇÃO INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA Diferente da regra da adição na regra da multiplicação o interesse é calcular a probabilidade de que os eventos ocorram simultaneamente isto é desejamos determinar a ocorrência do evento A e do evento B SAIBA MAIS Nesse caso a conjunção e está associada à interseção Desse modo queremos determinar 𝑃𝐴 𝐵 Logo se a ocorrência do evento A não interfere na ocorrência do evento B temos 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como consequência surge o conceito de independência estatística Assim dizemos que dois eventos são independentes se a probabilidade da interseção é igual ao produto das probabilidades individuais conforme a igualdade anterior Podemos ainda estender esse conceito para n eventos digamos A1 A2 An então 𝑃𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 𝑃𝐴1 𝑃𝐴2 𝑃𝐴𝑛 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal No entanto para que os n eventos sejam de fato independentes essa igualdade tem de valer para todos os subconjuntos desses n eventos ou seja a igualdade tem de ser satisfeita para n 1 eventos 𝑃𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 1 para n 2 eventos 𝑃𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 2 inclusive para apenas dois eventos 𝑃𝐴1 𝐴2 EXEMPLO Uma urna contém 5 bolas azuis e 3 bolas brancas Retiramos dessa urna 2 bolas de forma sucessiva e com reposição Qual é a probabilidade de que a primeira bola seja azul e a segunda seja branca SOLUÇÃO Considere os eventos Ai a bola na iésima retirada é azul e Bi a bola na iésima retirada é branca Observe que como a retirada é sem reposição a retirada da primeira bola não afeta a probabilidade da segunda bola Portanto 𝑃𝐴1 𝐵2 𝑃𝐴1 𝑃𝐵2 5 8 3 8 15 64 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ATENÇÃO O caso em que a ocorrência de um evento afeta a do outro será tratado no próximo módulo de eventos condicionais MÃO NA MASSA 1 A PROBABILIDADE DE UM FÍSICO RESOLVER UMA QUESTÃO DE CÁLCULO É DE 34 E A DE UM ENGENHEIRO RESOLVER A MESMA QUESTÃO É DE 57 QUAL É A PROBABILIDADE DE A QUESTÃO SER RESOLVIDA A 17 B 27 C 914 D 1114 E 1314 2 CONSIDERE AS INFORMAÇÕES DA TABELA A SEGUIR QUE TRATA DA PREFERÊNCIA DE DUAS MARCAS DE UM PRODUTO DE BELEZA POR SEXO PREFERÊNCIA SEXO HOMENS MULHERES MARCA A 7 3 MARCA B 8 12 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL HOUVE A SELEÇÃO DE UMA PESSOA AO ACASO QUAL É A PROBABILIDADE DE ESSA PESSOA SER MULHER OU PREFERIR A MARCA A A 215 B 715 C 1115 D 1315 E 1415 3 CONSIDERANDO OS DADOS DA QUESTÃO ANTERIOR OS EVENTOS PREFERIR A MARCA A E SER MULHER SÃO INDEPENDENTES A Sim B Não C Sim mas somente se PA 0 D Sim mas somente se PB 0 E Podem ser 4 CONSIDERANDO NOVAMENTE OS DADOS DA QUESTÃO 2 QUAL É A PROBABILIDADE DE A PESSOA SELECIONADA PREFERIR A MARCA B E SER HOMEM A 415 B 715 C 1115 D 1315 E 1415 5 UMA GAVETA CONTÉM 3 MOEDAS DE 1 REAL E 2 MOEDAS DE CINQUENTA CENTAVOS RETIRAMOS DE UMA CAIXA DUAS MOEDAS DE FORMA SUCESSIVA E COM REPOSIÇÃO QUAL É A PROBABILIDADE DE A PRIMEIRA MOEDA SER DE 1 REAL E A SEGUNDA SER DE CINQUENTA CENTAVOS A 15 B 25 C 625 D 1225 E 1425 6 AS PROBABILIDADES DE DOIS TIMES CARIOCAS A E B JOGANDO CONTRA TIMES PAULISTAS VENCEREM SUAS PARTIDAS É DE 13 E 25 RESPECTIVAMENTE SABEMOS AINDA QUE A PROBABILIDADE DE OS DOIS TIMES EMPATAREM SEUS JOGOS COM TIMES PAULISTAS É IGUAL A 13 SE A E B JOGAM UMA PARTIDA NO MESMO DIA CONTRA ADVERSÁRIOS PAULISTAS DIFERENTES QUAL A PROBABILIDADE DE QUE AMBOS VENÇAM SUAS RESPECTIVAS PARTIDAS A 115 B 215 C 415 D 715 E 1115 GABARITO 1 A probabilidade de um físico resolver uma questão de cálculo é de 34 e a de um engenheiro resolver a mesma questão é de 57 Qual é a probabilidade de a questão ser resolvida Solução Sejam os eventos A O físico resolve a questão e B O engenheiro resolve a questão Veja que os eventos A e B são independentes pois o fato de o físico resolver a questão não interfere no fato de o engenheiro resolver a questão Logo 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 3 4 5 7 15 28 26 28 13 14 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Considere as informações da tabela a seguir que trata da preferência de duas marcas de um produto de beleza por sexo Preferência Sexo Homens Mulheres Marca A 7 3 Marca B 8 12 Atenção Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal Houve a seleção de uma pessoa ao acaso Qual é a probabilidade de essa pessoa ser mulher ou preferir a marca A No vídeo a seguir o professor vai apresentar a resolução da questão Assista 3 Considerando os dados da questão anterior os eventos preferir a marca A e ser mulher são independentes Considere novamente os eventos A Preferir a marca A e M Ser mulher Para que os eventos sejam independentes devemos saber que 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Mas vimos que 𝑃𝐴 𝐵 3 30 1 10 e 𝑃𝐴 𝑃𝐵 10 30 15 30 1 6 Logo 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 Portanto A e B não são independentes 4 Considerando novamente os dados da questão 2 qual é a probabilidade de a pessoa selecionada preferir a marca B e ser homem Sejam os eventos B Preferir a marca B e H Ser homem assim 𝑃𝐴 𝐵 8 30 4 15 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5 Uma gaveta contém 3 moedas de 1 real e 2 moedas de cinquenta centavos Retiramos de uma caixa duas moedas de forma sucessiva e com reposição Qual é a probabilidade de a primeira moeda ser de 1 real e a segunda ser de cinquenta centavos Solução Considere os eventos Ai A moeda na iésima retirada é de 1 real e Bi A moeda na iésima retirada é de cinquenta centavos Observe que como a retirada é sem reposição a retirada da primeira moeda não afeta a probabilidade da segunda Por isso 𝑃𝐴1 𝐵2 𝑃𝐴1 𝑃𝐵2 3 5 2 5 6 25 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6 As probabilidades de dois times cariocas A e B jogando contra times paulistas vencerem suas partidas é de 13 e 25 respectivamente Sabemos ainda que a probabilidade de os dois times empatarem seus jogos com times paulistas é igual a 13 Se A e B jogam uma partida no mesmo dia contra adversários paulistas diferentes qual a probabilidade de que ambos vençam suas respectivas partidas No vídeo a seguir o professor vai apresentar a resolução da questão Assista GABARITO TEORIA NA PRÁTICA Uma pesquisa eleitoral apresenta o resultado da preferência para presidente segundo a classe social Os dados estão apresentados na tabela a seguir CLASSE SOCIAL PREFERÊNCIA Candidato X Candidato Y Classe A 150 50 Classe B 170 130 Classe C 220 280 Atenção Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal Houve a seleção de um eleitor ao acaso Qual é a probabilidade de esse eleitor ser da classe C ou preferir o candidato X RESOLUÇÃO No vídeo a seguir o professor vai apresentar a resolução da questão Assista VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 SE PA 12 E PB 14 E A E B SÃO INDEPENDENTES DETERMINE 𝑃𝐴 𝐵𝑐 EM QUE 𝐴 𝐵𝑐 É O COMPLEMENTO DO EVENTO 𝐴 𝐵 A 58 B 38 C 14 D 12 2 CONSIDERANDO A QUESTÃO ANTERIOR QUAL É A 𝑃𝐴 𝐵 A 34 B 12 C 14 D 18 GABARITO 1 Se PA 12 e PB 14 e A e B são independentes determine 𝑃𝐴 𝐵𝑐 em que 𝐴 𝐵𝑐 é o complemento do evento 𝐴 𝐵 A alternativa B está correta Vamos ao raciocínio 𝑃𝐴 𝐵𝑐 1 𝑃𝐴 𝐵 1 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Mas como A e B são independentes temos que 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 Logo 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 1 2 1 4 1 2 1 4 3 4 1 8 5 8 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto 𝑃𝐴 𝐵𝑐 1 𝑃𝐴 𝐵 1 5 8 3 8 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Considerando a questão anterior qual é a 𝑃𝐴 𝐵 A alternativa D está correta Como A e B são independentes temos que 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 então 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 1 2 1 4 1 8 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÓDULO 4 Identificar eventos condicionais com base na resolução de problemas associados a eles INTRODUÇÃO Neste módulo serão vistos todos os conceitos relacionados a eventos condicionais Iniciaremos com a definição clássica de probabilidade condicional utilizada quando a probabilidade de um evento é afetada por outros eventos que aconteceram anteriormente Em seguida passaremos pelos teoremas do produto multiplicação e da probabilidade total Esses dois tópicos são importantes para o entendimento do Teorema de Bayes principal teorema associado a eventos condicionais PROBABILIDADE CONDICIONAL Dados dois eventos digamos A e B denotase 𝑃𝐴 𝐵 a probabilidade condicional do eventoA quando B já tiver ocorrido e é dada por 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐵 com 𝑃𝐵 0 pois B já ocorreu Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal TEOREMA DO PRODUTO Este teorema também conhecido como regra da multiplicação serve para determinar a probabilidade da interseção entre dois eventos usando o conceito de probabilidade condicional Dessa forma temos 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 ou 𝑃𝐵 𝐴 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝐴 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL Este teorema utiliza o teorema do produto para obter a probabilidade de um evento que permeia todos os outros eventos da partição do espaço amostral PARA DOIS EVENTOS Fonte O autor Observe que podemos escrever B da seguinte forma 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴𝐶 𝐵 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐴𝐶 𝐵 𝑃𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝐵 𝐴 𝑃𝐴𝑐 𝑃𝐵 𝐴𝑐 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÚLTIPLOS EVENTOS Fonte O autor Reescrevendo o evento B temos 𝐵 𝐴1 𝐵 𝐴𝑛 𝐵 𝑃𝐵 𝑃𝐴1 𝐵 𝑃𝐴𝑛 𝐵 𝑃𝐵 𝑃𝐵 𝐴1 𝑃𝐴1 𝑃𝐵 𝐴𝑛 𝑃𝐴𝑛 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal TEOREMA DE BAYES Sejam 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴𝑛 n eventos mutuamente excludentes em que a probabilidade de cada 𝐴𝑖 é conhecida tal que 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 𝑆 Seja B um evento qualquer de S e considere que as probabilidades condicionais 𝑃𝐵 𝐴𝑖 também sejam conhecidas 𝑃𝐴𝑖 𝐵 𝑃𝐴𝑖 𝑃𝐵 𝐴𝑖 𝑖 1 𝑛 𝑃𝐴𝑖 𝑃𝐵 𝐴𝑖 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Prova PAi B Teorema do Produto PAi B PB Teorema da Probabilidade Total PAi PB Ai i 1 n PAi PB Ai Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÃO NA MASSA 1 50 AMOSTRAS DE UM MATERIAL FORAM ANALISADAS QUANTO À RESISTÊNCIA AO CHOQUE E RESISTÊNCIA AO ARRANHÃO OS RESULTADOS OBTIDOS ESTÃO DISPOSTOS NA TABELA A SEGUIR RESISTÊNCIA AO ARRANHÃO RESISTÊNCIA AO CHOQUE ALTA BAIXA TOTAL ALTA 40 5 45 BAIXA 2 3 5 TOTAL 42 8 50 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL DETERMINE A PROBABILIDADE DE TERMOS UMA RESISTÊNCIA AO ARRANHÃO ALTA DADO QUE A RESISTÊNCIA AO CHOQUE É BAIXA A 18 B 38 C 58 D 34 E 78 2 CONSIDERANDO OS DADOS DA QUESTÃO ANTERIOR CALCULE A PROBABILIDADE DE TERMOS UMA RESISTÊNCIA AO CHOQUE ALTA DADO QUE A RESISTÊNCIA AO ARRANHÃO É BAIXA A 15 B 25 C 35 D 45 E 910 3 EM UM LOTE COM 50 PARAFUSOS 5 SÃO CONSIDERADOS DEFEITUOSOS SE RETIRARMOS 2 PARAFUSOS UM APÓS O OUTRO SEM REPOSIÇÃO QUAL SERÁ A PROBABILIDADE DE QUE AMBOS SEJAM DEFEITUOSOS A 2245 B 7245 C 11245 D 19245 E 21245 4 UMA CAIXA CONTÉM BOLAS DAS QUAIS 4 SÃO AZUIS E 3 SÃO VERDES RETIRAMOS 2 BOLAS SEM REPOSIÇÃO QUAL É A PROBABILIDADE DA SEGUNDA BOLA RETIRADA SER AZUL A 28 B 17 C 47 D 12 E 27 5 A FÁBRICA A PRODUZIU 500 COMPONENTES ELETRÔNICOS E A FÁBRICA B PRODUZIU 1000 DESSES COMPONENTES SABEMOS QUE DE UM LOTE DE 100 COMPONENTES RETIRADOS DA FÁBRICA A 5 ESTAVAM COM DEFEITO E QUE DE UM LOTE DE 100 COMPONENTES RETIRADOS DA FÁBRICA B 8 ESTAVAM DEFEITUOSOS ESCOLHEMOS AO ACASO UM COMPONENTE DOS 1500 PRODUZIDOS PELAS FÁBRICAS A E B QUAL A PROBABILIDADE DE O COMPONENTE TER SIDO FABRICADO POR A SABENDOSE QUE O COMPONENTE É DEFEITUOSO A 521 B 821 C 1121 D 1321 E 1721 6 A PROBABILIDADE DE UM INDIVÍDUO DA CLASSE A COMPRAR UM NOTEBOOK É 34 DA CLASSE B É 15 E DA CLASSE C É 120 AS PROBABILIDADES DE OS INDIVÍDUOS DE CADA CLASSE COMPRAREM UM NOTEBOOK DA MARCA Y SÃO 110 35 E 310 RESPECTIVAMENTE CERTA LOJA VENDEU UM NOTEBOOK DA MARCA Y QUAL É A PROBABILIDADE DE QUE O INDIVÍDUO QUE COMPROU O NOTEBOOK SEJA DA CLASSE B A 17 B 14 C 12 D 47 E 67 GABARITO 1 50 amostras de um material foram analisadas quanto à resistência ao choque e resistência ao arranhão Os resultados obtidos estão dispostos na tabela a seguir Resistência ao arranhão Resistência ao choque Alta Baixa Total Alta 40 5 45 Baixa 2 3 5 Total 42 8 50 Atenção Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal Determine a probabilidade de termos uma resistência ao arranhão alta dado que a resistência ao choque é baixa No vídeo a seguir o professor vai apresentar a resolução da questão Assista 2 Considerando os dados da questão anterior calcule a probabilidade de termos uma resistência ao choque alta dado que a resistência ao arranhão é baixa Solução Considerando os eventos da questão anterior temos que Ac Ter resistência ao arranhão baixa e Bc Ter resistência ao choque alta Assim a probabilidade pedida é 𝑃𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝑃𝐵𝐶 𝐴𝐶 𝑃𝐴𝐶 𝑃𝑐ℎ𝑜𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛ℎã𝑜 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎 2 50 1 25 𝑃𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛ℎã𝑜 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎 5 50 1 10 𝑃𝑐ℎ𝑜𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑛ℎã𝑜 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎 1 25 1 10 10 25 2 5 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3 Em um lote com 50 parafusos 5 são considerados defeituosos Se retirarmos 2 parafusos um após o outro sem reposição qual será a probabilidade de que ambos sejam defeituosos Solução Seja o evento D O parafuso é defeituoso Desse modo o que queremos determinar é 𝑃𝐷1 𝐷2 Então usando o teorema do produto temos 𝑃𝐷1 𝐷2 𝑃𝐷1 𝑃𝐷2 𝐷1 5 50 4 49 2 245 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4 Uma caixa contém bolas das quais 4 são azuis e 3 são verdes Retiramos 2 bolas sem reposição Qual é a probabilidade da segunda bola retirada ser azul No vídeo a seguir o professor vai apresentar a resolução da questão Assista 5 A fábrica A produziu 500 componentes eletrônicos e a fábrica B produziu 1000 desses componentes Sabemos que de um lote de 100 componentes retirados da fábrica A 5 estavam com defeito e que de um lote de 100 componentes retirados da fábrica B 8 estavam defeituosos Escolhemos ao acaso um componente dos 1500 produzidos pelas fábricas A e B Qual a probabilidade de o componente ter sido fabricado por A sabendose que o componente é defeituoso Sejam os eventos A O componente foi produzido pela fábrica A B O componente foi produzido pela fábrica B e D O componente é defeituoso Empregando o teorema de Bayes temos 𝑃𝐴𝐷 𝑃𝐴 𝑃𝐷 𝐴 𝑃𝐴 𝑃𝐷𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝐷 𝐵 500 1500 5 100 500 1500 5 100 1000 1500 8 100 5 21 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6 A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um notebook é 34 da classe B é 15 e da classe C é 120 As probabilidades de os indivíduos de cada classe comprarem um notebook da marca Y são 110 35 e 310 respectivamente Certa loja vendeu um notebook da marca Y Qual é a probabilidade de que o indivíduo que comprou o notebook seja da classe B Sejam os eventos Y Comprar um notebook da marca Y A Classe A B Classe B e C Classe C Usando o teorema de Bayes temos 𝑃𝐵 𝑌 𝑃𝐵 𝑌 𝑃𝑌 𝑃𝐵 𝑌 𝑃𝐵 𝑃𝑌 𝐵 𝑃𝐴 𝑃𝑌 𝐴 𝑃𝐵 𝑃𝑌 𝐵 𝑃𝐶 𝑃𝑌 𝐶 𝑃𝐵 𝑌 1 5 3 5 3 4 1 10 1 5 3 5 1 20 3 10 4 7 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal GABARITO TEORIA NA PRÁTICA Sabemos que 60 da população de certa cidade do interior do Brasil é formada por mulheres Sabemos ainda que a taxa de desemprego se o indivíduo for homem é de 25 e se for mulher é de 20 Sabendo que o indivíduo está desempregado qual é a probabilidade de ele ser homem RESOLUÇÃO No vídeo a seguir o professor vai apresentar a resolução da questão Assista VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 EM CERTA EMPRESA 10 DOS HOMENS E 5 DAS MULHERES GANHAM MAIS DE 10 SALÁRIOS MÍNIMOS ALÉM DISSO 60 DOS EMPREGADOS SÃO HOMENS SE ESTIVÉSSEMOS INTERESSADOS EM DETERMINAR A PROBABILIDADE DE QUE O EMPREGADO SEJA MULHER DADO QUE GANHA MAIS DE 10 SALÁRIOS MÍNIMOS QUE TEOREMA DE PROBABILIDADE SERIA USADO PARA RESOLVER A QUESTÃO A Probabilidade da soma B Teorema do produto C Teorema da probabilidade total D Teorema de Bayes E Regra da adição 2 UM GRUPO DE 100 CLIENTES DE UMA EMPRESA DE TELEFONIA ESTÁ DIVIDIDO POR SEXO E PELO PLANO PRÉPAGO E PÓSPAGO DE ACORDO COM A TABELA A SEGUIR PRÉPAGO PÓSPAGO HOMENS 15 33 MULHERES 17 35 ATENÇÃO PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL UM CLIENTE FOI SORTEADO AO ACASO QUAL É A PROBABILIDADE DE ESSE CLIENTE SER HOMEM DADO QUE PERTENCE AO PLANO PRÉ PAGO A 320 B 825 C 1532 D 817 E 2332 GABARITO 1 Em certa empresa 10 dos homens e 5 das mulheres ganham mais de 10 salários mínimos Além disso 60 dos empregados são homens Se estivéssemos interessados em determinar a probabilidade de que o empregado seja mulher dado que ganha mais de 10 salários mínimos que teorema de probabilidade seria usado para resolver a questão A alternativa D está correta Observe que queremos determinar a probabilidade de que o empregado seja mulher dado que ganha mais de 10 salários mínimos Como conhecemos as probabilidades individuais do sexo dos empregados e as probabilidades condicionais dos empregados que ganham mais de 10 salários mínimos dado o sexo o teorema mais apropriado para resolver a questão seria o teorema de Bayes 2 Um grupo de 100 clientes de uma empresa de telefonia está dividido por sexo e pelo plano prépago e póspago de acordo com a tabela a seguir Prépago Póspago Homens 15 33 Mulheres 17 35 Atenção Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal Um cliente foi sorteado ao acaso Qual é a probabilidade de esse cliente ser homem dado que pertence ao plano prépago A alternativa C está correta Considere os eventos H O cliente é homem e P O cliente pertence ao plano prépago logo 𝑃𝐻𝑃 𝑃𝐻 𝑃 𝑃𝑃 15 100 32 100 15 32 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Aqui abordamos os conceitos fundamentais para o bom entendimento da definição clássica de probabilidade Apresentamos as principais técnicas usadas na resolução de problemas simples de probabilidade e as regras que complementam os conceitos abordados Por fim introduzimos todas as definições referentes a eventos condicionais Temos certeza de que através de todos os conceitos essenciais adquiridos neste tema você está apto para o estudo mais avançado da teoria das probabilidades AVALIAÇÃO DO TEMA REFERÊNCIAS FONSECA J S MARTINS G A Curso de Estatística 6 ed São Paulo Atlas 1996 MORETTIM P A BUSSAB W O Estatística básica 9 ed São Paulo Saraiva 2017 OVALLE I I TOLEDO G L Estatística básica 2 ed São Paulo Atlas 2010 EXPLORE Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema pesquise Instituto de Matemática Pura e Aplicada IMPA no Youtube CONTEUDISTA Paulo H C Maranhão CURRÍCULO LATTES