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Cursos Gerais ·

Métodos Quantitativos Aplicados

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PESQUISA OPERACIONAL COMO FERRAMENTA DE TOMADA DE DECISÃO DESCRIÇÃO A Pesquisa Operacional e sua aplicação na análise de decisões a Programação Linear na solução de problemas complexos e o método gráfico para a solução de modelos de Programação Linear PROPÓSITO Compreender o conceito a origem e as aplicações da Pesquisa Operacional para fins de apoio ao processo de tomada de decisão na atuação como gestor em especial na solução de problemas complexos PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo tenha em mãos uma régua para aplicar o método gráfico Também são necessários uma calculadora ou um software editor de planilhas eletrônicas para realizar as operações matemáticas necessárias OBJETIVOS MÓDULO 1 Descrever conceitos gerais de Pesquisa Operacional e sua importância no processo de tomada de decisão MÓDULO 2 Descrever as principais características e propriedades de um modelo de Programação Linear MÓDULO 3 Aplicar o método gráfico para a solução de problemas de Programação Linear INTRODUÇÃO É comum termos dificuldades para identificar a melhor solução quando nos deparamos com um problema complexo Afinal são tantos os dados e possíveis cenários que não conseguimos processar sozinhos tantas informações Esse tipo de situação é comum em nossas vidas pessoais e especialmente nos negócios Acabamos nesses casos tomando decisões com base em opiniões intuições ou em experiências passadas nossas ou mesmo de outras pessoas ou empresas Sem dúvidas esses caminhos são importantes e devem ser sempre considerados no processo de tomada de decisão No entanto em situações complexas o desenvolvimento de modelos pode ser uma poderosa ferramenta de auxílio à tomada de decisão Modelos são simplificações do objeto ou do problema de decisão que representam A grande vantagem em adotar um modelo para apoio ao processo de tomada de decisão é a possibilidade de examinar diferentes cenários em geral de forma mais rápida e barata do que se fosse analisado na realidade Entre os diversos tipos de modelo que podem ser utilizados destacamse os modelos matemáticos que adotam a lógica e a formulação matemática para representar o problema estudado A Pesquisa Operacional PO é o campo do conhecimento que trata do desenvolvimento de modelos matemáticos e algoritmos para auxiliar o decisor na análise de problemas complexos A PO se destaca por fornecer uma ferramenta quantitativa para apoio ao processo de tomada de decisão para problemas complexos No primeiro módulo iremos abordar os principais conceitos da Pesquisa Operacional sua origem e a importância de sua aplicação no ambiente gerencial A PO compreende diferentes técnicas como programação matemática simulação cadeias de Markov métodos estatísticos Teoria das Filas Teoria dos Jogos Teoria dos Grafos heurística e metaheurísticas Neste conteúdo iremos focar em programação matemática mais precisamente na Programação Linear No segundo módulo conheceremos as técnicas de Programação Linear para o desenvolvimento de modelos matemáticos e da aplicação do método gráfico para a solução de problemas de Programação Linear MÓDULO 1 Descrever conceitos gerais de Pesquisa Operacional e sua importância no processo de tomada de decisão APRESENTAÇÃO DO TEMA Neste vídeo você conhecerá o conceito de Pesquisa Operacional sua origem e as áreas de aplicação Para assistir a um vídeo sobre o assunto acesse a versão online deste conteúdo PESQUISA OPERACIONAL A Pesquisa Operacional PO é definida pela Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional SOBRAPO como A ÁREA DE CONHECIMENTO QUE ESTUDA DESENVOLVE E APLICA MÉTODOS ANALÍTICOS AVANÇADOS PARA AUXILIAR NA TOMADA DE MELHORES DECISÕES NAS MAIS DIVERSAS ÁREAS DE ATUAÇÃO HUMANA SOBRAPO 2021 A Pesquisa Operacional fornece ferramentas quantitativas ao processo de tomada de decisões PRADO 2016 Dessa forma a PO auxilia o decisor na análise de variados aspectos e situações de um problema complexo por meio de uso de técnicas de modelagem matemática e eficientes algoritmos computacionais Isso permite a tomada de decisões efetivas e a construção de sistemas mais produtivos SOBRAPO 2021 O estudo da PO permite o domínio de diversas técnicas relacionadas à programação e modelagem matemática Por meio desses conceitos e das ferramentas quantitativas poderemos analisar os mais variados tipos de problemas e fornecendo dados e informações concretos para auxiliar no processo de tomada de decisão SAIBA MAIS Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional Fundada em 1969 a Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional SOBRAPO reúne os profissionais de Pesquisa Operacional que atuam no País em universidades na iniciativa privada e no setor público com o objetivo de incentivar o desenvolvimento desse campo do conhecimento Além de organizar simpósios anuais a SOBRAPO mantém as revistas Pesquisa Operacional e Pesquisa Operacional para Desenvolvimento buscando incentivar a publicação sobre o tema ORIGEM CIRCO DE BLACKETT A PO teve seus primeiros casos de aplicação no meio militar durante a Segunda Guerra Mundial Na ocasião foram formados grupos de cientistas de diferentes especialidades a fim de oferecer apoio quantitativo aos comandantes das operações militares inglesas e norteamericanas para a solução de complexos problemas de natureza logística e de tática e estratégia militar BELFIORE FÁVERO 2012 SAIBA MAIS Entre os grupos formados destacouse o aquele liderado por Patrick Maynard Stuart Blackett o Barão de Blackett A equipe do Barão de Blackett composta por membros de formações diversas físicos matemático topógrafos astrofísicos e fisiólogos era conhecida como o Circo de Blackett A equipe foi responsável pela publicação de um dos primeiros artigos sobre Pesquisa Operacional O artigo apresentava um modelo matemático para analisar o emprego dos meios antiaéreos das tropas aliadas para fazer frente aos bombardeiros alemães Stuckas Outros problemas típicos abordados na ocasião se referiam ao tamanho e roteamento de comboios ao gerenciamento da produção e à distribuição de armamentos e munições à coleta e distribuição de correspondência ao problema de escala e à localização de radares de modo a maximizar as áreas de cobertura Foto Shutterstockcom Os bons resultados obtidos com a aplicação das técnicas de Pesquisa Operacional durante a Segunda Guerra levaram à disseminação desse conhecimento entre organizações de diversas áreas após o fim do período de combate A partir de 1947 é crescente o interesse das indústrias na utilização das técnicas desenvolvidas na área militar para auxiliar no planejamento e controle da produção ATENÇÃO A disseminação da Pesquisa Operacional na área de planejamento e controle no entanto só foi possível devido aos avanços que ocorriam no campo da informática Tais avanços permitiram o advento de microcomputadores bem como o aumento da velocidade e de capacidade de processamento computacional APLICAÇÃO DA PO NA ANÁLISE DE DECISÃO Empresas dos mais diversos setores atualmente empregam técnicas de Pesquisa Operacional com intuito de tornar seu processo de tomada de decisão mais eficiente e assertivo Além do meio militar a PO é aplicada em indústrias de manufaturas empresas de transporte empresas de construção de telecomunicações bancos em assistência médica e até no serviço público Veja algumas empresas que utilizam a PO PETROBRÁS A Petrobrás é uma empresa petroleira que possui diversos especialistas em pesquisa operacional em seu quadro de funcionários Esses especialistas utilizam modelos matemáticos para analisar e criar cenários para diferentes problemas de natureza complexa Entre os problemas resolvidos com auxílio da PO podemos citar o dimensionamento da frota e a roteirização de helicópteros para o transporte de pessoal para as plataformas offshore a previsão de reservas de petróleo a programação de operações em poços de petróleo a alocação de equipes em diversas atividades ou o gerenciamento da distribuição de derivados de petróleo MRS LOGÍSTICA A MRS Logística operador ferroviário que atua na Malha Regional Sudeste da antiga Rede Ferroviária Federal SA também é um exemplo de empresa brasileira que adota diferentes técnicas de pesquisa operacional para apoiar seus diferentes processos de tomada de decisão A MRS possui especialistas em diversas técnicas de PO que utilizam seu conhecimento para apoiar a solução de problemas complexos Entre esses problemas estão a alocação eficiente da tripulação nos trens a alocação de locomotivas e vagões nas diferentes composições de trens a programação de manutenção preventiva de seus ativos ou o processo de planejamento e programação do transporte ferroviário de carga CONSULTORIA ESPECIALIZADA Existem empresas de consultoria especializadas em Pesquisa Operacional que fornecem seus serviços para auxiliar outras organizações na solução em seus processos de tomada de decisão Tais empresas utilizam conceitos das diversas áreas da PO como programação matemática simulação ou Inteligência Computacional para modelar os problemas de seus clientes As empresas conseguem com isso rodar diversas análises fornecendo dados aos seus clientes sobre como o evento em estudo se comportaria em diversos cenários sujeito a alterações dos parâmetros PROBLEMAS DO COTIDIANO É evidente a importância da Pesquisa Operacional na análise de decisão em especial no ambiente gerencial No entanto as técnicas de pesquisa operacional também podem auxiliar a tomar decisões no seu dia a dia EXEMPLO Vamos supor que você queira comprar seu primeiro carro Para isso tem economizado a remuneração que recebe no estágio e deseja selecionar investimentos para obter o melhor rendimento possível Nesse caso o planejamento financeiro pode ser modelado por um modelo matemático que auxiliará a maximizar os seus rendimentos O planejamento financeiro é apenas um exemplo de como você pode aplicar conceitos de PO em sua vida cotidiana Ao aplicar conceitos de PO para a solução de um problema desenvolvemos um modelo matemático para representar o fenômeno estudado Dessa forma conseguimos analisar diversos cenários e ter estimativas baseadas em uma análise quantitativa As decisões portanto não serão tomadas apenas com base em opiniões intuições ou experiências passadas de outras pessoas ou empresas Ao modelar um problema temos um processo decisório mais criterioso e com menos incertezas MODELO UM MODELO É UMA REPRESENTAÇÃO ABSTRATA E SIMPLIFICADA DE UM SISTEMA REAL COM O QUAL SE PODE EXPLICAR REPRODUZIR SIMULAR OU TESTAR SEU COMPORTAMENTO NO TODO OU EM PARTES COUGO 1997 Um mapa é um modelo assim como uma maquete que o arquiteto utiliza para que seus clientes consigam ter noção da visão espacial em 3D do projeto desenvolvido Uma formulação matemática usada para expressar um fenômeno físico também é um modelo É importante ter em mente que os modelos são versões simplificadas do objeto ou problema de decisão que representam Entretanto para que seja válido o modelo precisa representar de forma precisa as características relevantes do objeto ou problema de decisão estudado Afinal esperase que o modelo melhore os processos de tomada de decisão ao ser implementado ATENÇÃO A modelagem permite explicitar objetivos bem como a possibilidade de ganhar conhecimento e entendimento sobre o problema investigado Além disso a implantação de um modelo quantifica as decisões permitindo a análise de cenários que seriam impossíveis de serem analisados na realidade Outra vantagem da construção de modelos é a economia de recursos e de tempo Na PO modelamos os problemas matematicamente e a partir do modelo obtido usamos algoritmos para encontrar soluções para diferentes cenários do problema a ser analisado Podemos utilizar diferentes tipos de modelos como veremos a seguir nesta aula Os diferentes tipos de modelo nos levam a adotar diferentes técnicas de PO como Programação Linear Programação Não Linear Teoria das Filas Simulação Inteligência Computacional e Teoria dos Jogos Nesta aula vamos conhecer os modelos de Programação Linear Veja o posicionamento da Associação Brasileira de Pesquisa Operacional ABEPRO sobre Disciplinas da pesquisa Operacional DISCIPLINAS DA PESQUISA OPERACIONAL DISCIPLINAS DA PESQUISA OPERACIONAL A Associação Brasileira de Pesquisa Operacional ABEPRO é a instituição representativa de docentes discentes e profissionais de Engenharia de Produção no País Em 2017 a ABEPRO organizou as áreas do conhecimento relacionadas à Engenharia de Produção tanto na graduação quanto na PósGraduação na pesquisa e nas atividades profissionais A Pesquisa Operacional por ser uma importante área do conhecimento para a Engenharia de Produção foi incluída na organização da ABEPRO De acordo com o documento da ABEPRO a PO envolve resolução de problemas reais envolvendo situações de tomada de decisão por meio de modelos matemáticos processados computacionalmente Aplica conceitos e métodos de outras disciplinas científicas na concepção no planejamento ou na operação de sistemas para atingir seus objetivos Procura assim introduzir elementos de objetividade e racionalidade nos processos de tomada de decisão sem descuidar dos elementos subjetivos e de enquadramento organizacional que caracterizam os problemas O documento ainda organiza as principais disciplinas de PO em Modelagem Simulação e Otimização Programação Matemática Processos Decisórios Processos Estocásticos Teoria dos Jogos Análise de Demanda Inteligência Computacional O foco deste tema é a Programação Matemática MODELOS MATEMÁTICOS Ragsdale 2009 define um modelo matemático como Conjunto de relacionamentos matemáticos e suposições lógicas geralmente implementados em um computador como representação de algum problema ou fenômeno de decisão do mundo real O modelo matemático usa a lógica e a formulação matemática para obter uma representação do problema ou do evento a ser analisado e a partir de então analisar desenvolver cenários e obter soluções para a situação modelada O uso de modelos matemáticos é mais barato do que replicar a estrutura real além de permitir testar todas as possíveis soluções para diferentes cenários RODRIGUES et al 2014 COMPOSIÇÃO Um modelo matemático em pesquisa operacional é composto basicamente por variáveis de decisão funções objetivo e restrições O modelo de otimização busca os valores das variáveis de decisão que otimizam maximizam ou minimizam a função objetivo ao mesmo tempo em que atendem às restrições às quais o problema é submetido Vejamos alguns exemplos FUNÇÃO OBJETIVO MAXIMIZAR OU MINIMIZAR Maximizar lucro de uma empresa SUJEITO A RESTRIÇÕES Disponibilidade de matériasprimas de mão de obra etc Por exemplo para aplicar o dinheiro que você conseguiu economizar com a remuneração de seu estágio você vai ao banco verificar as diferentes opções de investimento disponíveis Nesse problema você deseja maximizar seu rendimento função objetivo Os recursos que você aplicará em cada opção de investimento são as variáveis de decisão Além disso você está sujeito às restrições relativas ao total de recurso disponíveis e às exigências do banco para que sejam realizadas as diferentes aplicações CLASSIFICAÇÃO Os modelos matemáticos de otimização segundo Winston 2004 podem ser classificados em MODELOS ESTÁTICOS OU DINÂMICOS As variáveis de decisões nos modelos estáticos não envolvem sequências de decisões em múltiplos períodos de tempo ao contrário do que ocorre em modelos dinâmicos Em outras palavras em um modelo estático analisamos o problema em um único intervalo de tempo Já em um modelo dinâmico analisamos o problema ao longo do tempo MODELOS LINEARES OU NÃO LINEARES Quando as funções objetivo e restrições envolvem apenas equações lineares temos um modelo linear Quando a função objetivo ou alguma restrição é função polinomial ou de qualquer outro tipo temos modelos não lineares A solução de modelos não lineares é mais complexa do que a de modelos lineares MODELOS INTEIROS OU NÃO INTEIROS Quando todas as variáveis de decisão estão livres para assumir valores fracionais temos um modelo não inteiro No entanto se uma ou mais variáveis de decisão adotadas no modelo matemático necessitam ser inteiras temos um modelo inteiro MODELOS DETERMINÍSTICOS OU ESTOCÁSTICOS Os componentes são definidos a priori ou seja sem aleatoriedade No entanto quando os elementos apresentam probabilidade de ocorrência ou seja há aleatoriedade temos um modelo estocástico Neste conteúdo abordaremos apenas os modelos determinísticos FASES DE UM ESTUDO DE PESQUISA OPERACIONAL Winston 2004 propõe um procedimento composto por sete passos para o desenvolvimento de modelos matemáticos em estudos de pesquisa operacional conforme apresentado na imagem abaixo Imagem Operations research applications and algorithms WINSTON W L GOLDBERG J B 2004 página 5 Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira e Rodrigo Pessôa Procedimento para desenvolvimento de modelos matemáticos em estudos de pesquisa operacional FORMULAÇÃO DO PROBLEMA O passo inicial do procedimento proposto por Winston 2004 consiste em entender e definir o problema a ser analisado Para tanto é preciso identificar os objetivos e processos organizacionais que precisam ser estudados antes de resolver o problema De tal forma é fundamental ouvir aquele que lida com o problema A comunicação com o cliente nesse momento é indispensável para entender a situação real a ser modelada No exemplo da seleção dos investimentos a serem realizados com a remuneração de seu estágio o problema consiste em maximizar os rendimentos de suas aplicações financeiras OBSERVAÇÃO DO SISTEMA É necessário em seguida observar o sistema para descobrir o que deve ser determinado as variáveis do problema e aquilo que está disponível os dados do problema Nessa etapa devem ser coletados os dados necessários para estimar os valores das variáveis e os parâmetros que afetam o problema analisado Tais estimativas são adotadas no desenvolvimento do modelo passo 3 e em sua análise passo 4 É nesse momento que coletamos os dados para nossos parâmetros e as variáveis de entrada É importante ressaltar a importância do processo de coleta de dados pois a qualidade dos dados de entrada é fundamental para a qualidade dos resultados obtidos pelo modelo No exemplo da seleção dos investimentos a serem realizados com a remuneração de seu estágio é preciso que você conheça as taxas de administração do banco o rendimento de cada opção de investimento e o valor mínimo que deve ser aplicado em cada opção FORMULAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO O modelo matemático é desenvolvido nessa etapa com a identificação das variáveis de decisão sua função objetivo e suas restrições Ao longo desta aula desenvolveremos a formulação de vários modelos matemáticos para a solução de problemas VERIFICAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO E USO PARA PREDIÇÃO Após o desenvolvimento do modelo matemático é necessário se certificar de que o modelo é válido e representa a realidade de forma fidedigna Devese ter em mente que não basta aplicar cegamente o modelo desenvolvido Caso ocorram modificações na situação real que está sendo analisada é necessário que tais modificações possam ser incorporadas no modelo No exemplo da seleção dos investimentos novas opções de investimento poderiam ser oferecidas pelo banco e você deve poder incorporálas em sua análise SELEÇÃO DA MELHOR ALTERNATIVA Este é o momento de selecionar a alternativa ou as alternativas afinal podemos ter mais de uma solução ótima que otimiza a função objetivo do problema analisado APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS E CONCLUSÃO As melhores alternativas e os diferentes cenários devem ser apresentados ao decisor para que ele tenha todas as informações necessárias para uma tomada de decisão mais assertiva Nesse momento pode ser que o decisor não esteja contente com os resultados apresentados Isso pode ocorrer em função de alguma definição incorreta do problema analisado devido a problemas na etapa de formulação do problema etapa 1 ou mesmo à falha por parte do modelador em envolver o decisor no projeto desde o início Desse modo pode ser necessário retornar para os passos 1 2 ou 3 IMPLANTAÇÃO E ANÁLISE DAS RECOMENDAÇÕES O sistema deve ser constantemente monitorado e qualquer alteração deve ser incorporada ao modelo de modo que as recomendações permitam que a organização atinja seus objetivos VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 A MODELAGEM MATEMÁTICA CONSISTE NA ARTE OU TENTATIVA DE DESCREVER UM FENÔMENO PELA REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS A FIM DE PREVER O COMPORTAMENTO DELES OU PROPOR SOLUÇÕES NÃO PREVISTAS COM RELAÇÃO AO PROCESSO DE MODELAGEM MATEMÁTICA EM PESQUISA OPERACIONAL ASSINALE A ALTERNATIVA INCORRETA FONTE QUESTÃO ADAPTADA DO CONCURSO DA FUNDAÇÃO O DE DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA UFMG FUNDEP PARA INDÚSTRIAS NUCLEARES DO BRASIL INB 2018 PARA O CARGO DE ENGENHEIRO DE PRODUÇÃO A A qualidade da solução do modelo depende da qualidade dos dados de entrada no modelo B Modelos matemáticos são objetos abstratos que procuram representar as principais características de um objeto real C Modelos matemáticos podem ser classificados como estáticos ou dinâmicos em função de como a variação do tempo é considerada no processo de modelagem D Uma das vantagens relacionadas à modelagem matemática é a possibilidade testar todas as possíveis soluções para diferentes cenários geralmente a um custo reduzido e em menor intervalo de tempo E Todas as variáveis de decisão devem ser inteiras para que um modelo matemático seja considerado inteiro 2 A QUALIDADE DA SOLUÇÃO DE UM MODELO MATEMÁTICO DEPENDE DA QUALIDADE DOS DADOS DE ENTRADA NO MODELO PARA O DESENVOLVIMENTO DE MODELOS MATEMÁTICOS EM ESTUDOS DE PESQUISA OPERACIONAL O PROCESSO DE COLETA DE DADOS OCORRE NO SEGUINTE PASSO A Formulação do problema B Observação do sistema C Formulação do modelo matemático D Verificação do modelo matemático e uso para predição E Seleção da melhor alternativa GABARITO 1 A modelagem matemática consiste na arte ou tentativa de descrever um fenômeno pela representação de sistemas a fim de prever o comportamento deles ou propor soluções não previstas Com relação ao processo de modelagem matemática em Pesquisa Operacional assinale a alternativa INCORRETA Fonte questão adaptada do Concurso da Fundação o de Desenvolvimento da Pesquisa UFMG FUNDEP para Indústrias Nucleares do Brasil INB 2018 para o cargo de Engenheiro de Produção A alternativa E está correta Basta que apenas uma variável de decisão seja inteira para termos um modelo inteiro Todas as variáveis de decisão precisam estar livres para assumir valores fracionais para o modelo ser não inteiro 2 A qualidade da solução de um modelo matemático depende da qualidade dos dados de entrada no modelo Para o desenvolvimento de modelos matemáticos em estudos de Pesquisa Operacional o processo de coleta de dados ocorre no seguinte passo A alternativa B está correta Após a formulação do problema os dados necessários devem ser coletados na fase de observação do sistema para que sejam estimados os valores das variáveis e os parâmetros a serem adotados na modelagem do problema analisado Tais estimativas são adotadas no desenvolvimento do modelo passo 3 e em sua análise passo 4 MÓDULO 2 Descrever as principais características e propriedades de um modelo de Programação Linear PROGRAMAÇÃO LINEAR A Programação Matemática geralmente chamada de otimização pode ser definida como UM CAMPO DA CIÊNCIA DE GERENCIAMENTO QUE ENCONTRA A MANEIRA IDEAL OU MAIS EFICIENTE DE USAR RECURSOS LIMITADOS PARA ATINGIR OS OBJETIVOS DE UM INDIVÍDUO OU DE UMA EMPRESA RASGADALE 2009 A Programação Linear por sua vez é uma das técnicas mais difundidas de otimização e sua aplicação é indicada para a solução de problemas de otimização que podem ser modelados por meio de equações lineares SAIBA MAIS A Programação Linear vem sendo aplicada em problemas de indústrias de diferentes setores como bancos petroleiras empresas de educação ou em operadores de transportes Empresas como a Fedex e a Amazon por exemplo utilizam essas técnicas para programar as rotas e determinar o caminho mínimo na gestão de suas cadeias de distribuição No processo de modelagem é preciso entender as características do problema a fim de traduzilas para uma linguagem matemática No caso específico da Programação Linear essa tradução ocorre por meio do desenvolvimento de uma série de equações lineares que representam as características do problema analisado ATENÇÃO A Programação Linear em suma é uma técnica de solução de problemas que visa determinar o máximo ou o mínimo de uma função linear cujas variáveis estão sujeitas a um conjunto de restrições representadas por um sistema de equações ou inequações lineares CARACTERÍSTICAS As principais características de problemas de Programação Linear são Todas as equações são da forma linear ou seja Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Há sempre um objetivo a ser otimizado maximizado ou minimizado Isso significa que há sempre a busca pela melhor solução entre várias alternativas Apenas um objetivo pode ser otimizado por vez sendo representado pela função objetivo No problema há fatores controláveis que serão analisados verificandose os valores desses fatores que levam ao melhor resultado para otimizar o objetivo Tais fatores controláveis são as variáveis de decisão x1 x2 xm A função objetivo é escrita em termos das variáveis de decisão No problema há fatores não controláveis que influenciam os resultados encontrados para as variáveis de decisão Esses fatores não controláveis são os parâmetros a1 a2 am ELEMENTOS Um modelo de Programação Linear apresenta elementos principais as variáveis de decisão os parâmetros a função objetivo e o conjunto de restrição A seguir vejamos cada um deles VARIÁVEIS DE DECISÃO São os fatores controláveis do problema a ser analisado Tratase portanto das incógnitas a serem definidas na solução do problema de otimização Podemos citar como exemplo a quantidade de um produto a ser transportado da origem i para o destino j xij sendo x a quantidade do produto a ser transportado de i para j PARÂMETROS São os fatores não controláveis do problema a ser analisado ou seja os dados de entrada que devem ser coletados antes da etapa de modelagem do problema Os parâmetros influenciam diretamente os valores obtidos para a solução ótima do problema de otimização Como exemplo podemos citar o custo de transportar uma unidade de um produto por quilômetro cij Nesse caso c corresponde ao custo por quilômetro percorrido no transporte de um determinado produto de i para j Rkm FUNÇÃO OBJETIVO É a expressão matemática do objetivo a ser maximizado ou minimizado na situação analisada Por exemplo podese desejar minimizar o custo total do transporte de um produto de n origens i para m possíveis destinos j Dessa forma a função objetivo seria Min Custo ᵢ₁ⁿ ⱼ₁ᵐ cᵢⱼxᵢⱼ RESTRIÇÕES É um conjunto de equações lineares que traduzem o limite físico à solução do problema ou seja são os limitantes dos valores das variáveis de decisão Por exemplo a quantidade total de um produto que pode ser transportado da origem i para o destino j não pode ser infinita Esse total é limitado pela disponibilidade de produtos na origem i Desse modo temos que ⱼ₁ᵐ xᵢⱼ Si i sendo Si a disponibilidade de produto na origem i REPRESENTAÇÃO Podemos representar um modelo de Programação Linear da seguinte forma Otimizar z f x1 x2 xn sujeito a g1x1 x2 xn g2x1 x2 xn gmx1 x2 xn Os valores das variáveis de decisão devem satisfazer um conjunto de restrições ONDE AS FUNÇÕES SÃO LINEARES Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal PASSO A PASSO PARA A CONSTRUÇÃO DE UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Uma vez compreendidas as principais características e os principais elementos de problemas de Programação Linear podemos passar para a construção de modelos matemáticos de Programação Linear No processo de modelagem devemos transformar a linguagem do problema em uma linguagem matemática Para isso devemos começar definindo as variáveis de decisão e posteriormente a função objetivo e as restrições Sugerimos que seja seguida uma sequência de três passos para a modelagem de um problema de Programação Linear conforme apresentado na imagem a seguir IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO IDENTIFICAÇÃO DO CONJUNTO DE RESTRIÇÕES Imagem Renata Albergaria de Mello Bandeira Procedimento para desenvolvimento de modelos de Programação Linear IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO O passo inicial do procedimento proposto consiste em identificar as variáveis desconhecidas a serem determinadas variáveis de decisão IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO Nessa etapa devese identificar o objetivo a ser atingido e representálo como uma função linear das variáveis de decisão Conforme Rodrigues et al 2014 orientam essa etapa é explicitada no enunciado do problema bastando uma leitura atenta do texto Devese prestar especial atenção a alguns sinalizadores como Desejase minimizar o custo total de transporte minimização Desejase maximizar o lucro da empresa maximização IDENTIFICAÇÃO DO CONJUNTO DE RESTRIÇÕES Nessa etapa devem ser listadas todas as restrições do problema sendo expressas como equações ou inequações lineares em termos das variáveis de decisão Tal como na identificação da função objetivo uma leitura atenta do enunciado é a melhor forma de identificar os limitantes à função objetivo Segundo Rodrigues et al 2014 devese dar especial atenção a passagens do problema em que aparecem expressões como A quantidade transportada não poderá ultrapassar A quantidade recebida não poderá ser menor do que O máximo de horas disponíveis é entre outras PROGRAMAÇÃO LINEAR No vídeo a seguir você conhecerá o conceito de Programação Linear os principais elementos de um modelo de Programação Linear e os passos para a construção desse tipo de modelo APLICAÇÃO DO PASSO A PASSO PARA A CONSTRUÇÃO DE UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Agora iremos revisar os conceitos de Programação Linear estudados até aqui a partir de um exemplo Com isso serão reforçados os elementos e as principais características de um problema de Programação Linear por meio da construção de um modelo Para isso seguiremos os passos apresentados previamente EXEMPLO A Fitwear SA é uma confecção de roupas esportivas e tem uma linha fitness feminina Essa linha produz roupas de ginástica exclusivas para mulheres como tops e calças de lycra Cada top de ginástica é vendido por R 8000 e utiliza R 2000 de matériaprima como tecido e alinhamentos e R 3200 com mão de obra Além disso são demandados 30 minutos de corte e 15 minutos de costura para a confecção de um top de ginástica Cada calça de ginástica é vendida por R 12000 e utiliza R 3500 de matériaprima como tecido e alinhamentos e R 4000 de mão de obra São demandados 15 minutos de corte e 30 minutos de costura para a confecção de uma calça de ginástica A Fitwear só pode contar com 100 horas de corte por semana e 160 horas de costura A confecção não tem problemas no fornecimento de matériasprimas de modo que o seu suprimento pode ser considerado ilimitado assim como a demanda semanal de seus produtos A Fitwear deseja planejar sua produção semanal de modo a maximizar seus lucros Vamos usar a seguir os passos do procedimento proposto para construção do modelo de Programação Linear para o caso da Fitwear SA IDENTIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO As variáveis de decisão devem descrever completamente as decisões a serem tomadas No caso da Fitwear a empresa deve decidir os produtos a serem confeccionados Com isso a definição da Variável de Decisão seria xi quantidade de produto i confeccionada Desse modo temos x1 Número de tops de ginástica confeccionados a cada semana x2 Número de calças de ginástica confeccionadas a cada semana IDENTIFICAÇÃO DA FUNÇÃO OBJETIVO Em qualquer problema de Programação Linear o analista sempre deseja maximizar ou minimizar alguma função das variáveis de decisão No enunciado do problema devemos procurar pelo propósito que se procura atingir Dessa forma saberemos o que deve ser maximizado ou minimizado a fim de definirmos a função objetivo No caso da Fitwear a empresa deseja maximizar seu lucro semanal A Fitwear deseja planejar sua produção semanal de modo a maximizar seus lucros ATENÇÃO Lucro semanal lucro semanal oriundo da venda de tops lucro semanal oriundo da venda de calças Precisamos portanto determinar o ganho semanal obtido com a venda dos produtos e subtrair destes os gastos semanais com matériaprima e mão de obra Vejamos GANHO SEMANAL DA VENDA DE TOPS E CALÇAS Cada top é vendido por R 8000 e cada calça é vendida por R 12000 Logo o ganho semanal é igual a 80x1 120x2 Observe que também devemos considerar os custos Vejamos GASTO SEMANAL COM MATÉRIAPRIMA Cada top utiliza R 2000 em matériaprima e cada calça utiliza R 3500 Logo o gasto semanal com matériaprima é igual a 20x1 35x2 GASTO SEMANAL COM MÃO DE OBRA Para confeccionar cada top gastase R 3200 em mão de obra Para cada calça gastase R 4000 Logo o gasto semanal com mão de obra é igual a 32x1 40x2 Desse modo para determinar a função objetivo temse GANHO SEMANAL COM VENDAS 80X1 120X2 CUSTO DE MATÉRIAPRIMA 20X1 35X2 CUSTO DE MÃO DE OBRA 32X1 40X2 80X1 120X2 20X1 35X2 32X1 40X2 28X1 40X2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A função objetivo portanto é Imagem Renata Albergaria de Mello Bandeira adaptada por Rodrigo Pessôa Os coeficientes da função objetivo indicam a contribuição de cada variável nos lucros da Fitwear IDENTIFICAÇÃO DO CONJUNTO DE RESTRIÇÕES Observase que os valores dos coeficientes da função objetivo para o problema de Programação Linear do caso da Fitwear são positivos e este é um problema de maximização Desse modo à medida que x1 e x2 crescem o valor da função objetivo aumenta No entanto x1 e x2 não podem crescem indefinidamente pois existem as restrições COMENTÁRIO No caso do problema da Fitwear foram consideradas ilimitadas a demanda por seus produtos e a oferta de matériaprima de modo que não entram como restrições no modelo matemático Existem no entanto duas restrições relacionadas ao tempo disponível para corte e ao tempo disponível para a costura Essas restrições devem ser definidas em termos das variáveis de decisão x1 e x2 Com isso temos RESTRIÇÃO 1 100 HORAS DE CORTE POR SEMANA Cada top de ginástica requer 30 minutos de corte e cada calça de ginástica requer 15 minutos de corte para sua confecção Além disso a Fitwear só pode contar com 100 horas de corte por semana total de horas de corte semana horas de corte top tops produzidos semana horas de corte calça calças produzidas semana Observe que todos os termos da restrição devem ter a mesma unidade de medida Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal total de horas de cortesemana 05x1 025x2 Logo a restrição 1 é dada por 05x1 025x2 100 RESTRIÇÃO 2 160 HORAS DE COSTURA POR SEMANA Cada top de ginástica requer 15 minutos de costura e cada calça de ginástica requer 30 minutos de costura para sua confecção Além disso a Fitwear só pode contar com 160 horas de corte por semana total de horas de costurasemana horas de costuratop tops produzidossemana horas de costuracalça calças produzidassemana total de horas de cortesemana 025x1 05x2 Logo a restrição 2 é dada por 025x1 05x2160 RESTRIÇÃO 3 RESTRIÇÃO DE NÃO NEGATIVIDADE DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO Há ainda a restrição de não negatividade das variáveis de decisão uma vez que não se pode produzir um número negativo de calças e tops de ginástica Logo a restrição 3 é dada por x1 x20 Após seguirmos os passos indicados para a construção de um modelo de Programação Linear temos a formulação matemática para o problema da Fitwear SA conforme apresentado a seguir Máx Z 28x1 40x2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Devemos considerar que o modelo está sujeito a 05x1 025x2 100 restrição de horas de corte 025x1 05x2 160 restrição de horas de costura x1 x2 0 restrição de não negatividade das variáveis de decisão VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 ENTRE OS PRINCIPAIS ELEMENTOS DE UM MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR OS FATORES NÃO CONTROLÁVEIS DO PROBLEMA A SER ANALISADO OU SEJA OS DADOS DE ENTRADA QUE DEVEM SER COLETADOS PREVIAMENTE A ETAPA DE MODELAGEM DO PROBLEMA SÃO DENOMINADOS A Variáveis de decisão B Variáveis condicionantes C Parâmetros D Função objetivo E Restrições 2 UM SAPATEIRO CONSERTA 3 SAPATOS POR HORA SE SOMENTE CONSERTAR SAPATOS PARA FAZER UM PAR DE SAPATOS NOVOS O SAPATEIRO LEVA 2 HORAS SE FIZER SOMENTE SAPATOS ELE GASTA 4 UNIDADES DE COURO PARA FABRICAR UM PAR DE SAPATOS PARA CONSERTAR UMA UNIDADE DE SAPATO ELE GASTA UMA UNIDADE DE COURO SABESE QUE O TOTAL DISPONÍVEL DE COURO É DE 12 UNIDADES E QUE O SAPATEIRO TRABALHA 10 HORAS POR DIA O LUCRO UNITÁRIO POR PAR DE SAPATOS É DE 8 UNIDADES MONETÁRIAS E O DO CONSERTO DE UMA UNIDADE DE SAPATO É DE 2 UNIDADES MONETÁRIAS O SAPATEIRO DESEJA PLANEJAR SEU SISTEMA DE PRODUÇÃO DIÁRIO DE MODO A MAXIMIZAR SEU LUCRO POR HORA PEDIDO 1 A FUNÇÃO OBJETIVO DO PROBLEMA É A Max Z x₁ 2x₂ sendo x₁ a unidade de sapato consertada e x₂ a unidade de sapato fabricada B Max Z 2x₁ 8x₂ sendo x₁ a unidade de sapato consertada e x₂ a unidade de sapato fabricada C Max Z 2x₁ 8x₂ sendo x₁ a unidade de sapato fabricada e x₂ a unidade de sapato consertada D Max Z 2x₁ 4x₂ sendo x₁ a unidade de sapato consertada e x₂ a unidade de sapato fabricada E Max Z 2x₁ 4x₂ sendo x₁ a unidade de sapato fabricada e x₂ a unidade de sapato consertada 3 PEDIDO 2 A RESTRIÇÃO EM REFERENTE À DISPONIBILIDADE DE COURO É A x₁ 2x₂ 12 sendo x₁ a unidade de sapato consertada e x₂ a unidade de sapato fabricada B x₁ 2x₂ 12 sendo x₁ a unidade de sapato fabricada e x₂ a unidade de sapato consertada C x₁ 4x₂ 12 sendo x₁ a unidade de sapato consertada e x₂ a unidade de sapato fabricada D x₁ 4x₂ 12 sendo x₁ a unidade de sapato fabricada e x₂ a unidade de sapato consertada E 3x₁ x₂ 12 sendo x₁ a unidade de sapato consertada e x₂ a unidade de sapato fabricada 4 PEDIDO 3 A RESTRIÇÃO REFERENTE ÀS HORAS TRABALHADAS É A 3x₁ x₂ 10 sendo x₁ a unidade de sapato consertada e x₂ a unidade de sapato fabricada B 3x₁ 2x₂ 10 sendo x₁ a unidade de sapato consertada e x₂ a unidade de sapato fabricada C x₁3 x₂ 10 sendo x₁ a unidade de sapato consertada e x₂ a unidade de sapato fabricada D x₁3 2x₂ 10 sendo x₁ a unidade de sapato consertada e x₂ a unidade de sapato fabricada E 3x₁ x₂ 10 sendo x₁ a unidade de sapato consertada e x₂ a unidade de sapato fabricada GABARITO 1 Entre os principais elementos de um modelo de programação linear os fatores não controláveis do problema a ser analisado ou seja os dados de entrada que devem ser coletados previamente a etapa de modelagem do problema são denominados A alternativa C está correta Os principais elementos de um modelo de programação linear são as variáveis de decisão os parâmetros a função objetivo e o conjunto de restrição As variáveis de decisão são os fatores controláveis do problema a ser analisado ou seja são as incógnitas a serem definidas na solução do problema de otimização Os parâmetros são os fatores não controláveis do problema a ser analisado ou seja são os dados de entrada que devem ser coletados previamente à etapa de modelagem do problema É importante ressaltar que os parâmetros influenciam diretamente os valores obtidos para a solução ótima do problema de otimização 2 Um sapateiro conserta 3 sapatos por hora se somente consertar sapatos Para fazer um par de sapatos novos o sapateiro leva 2 horas se fizer somente sapatos Ele gasta 4 unidades de couro para fabricar um par de sapatos Para consertar uma unidade de sapato ele gasta uma unidade de couro Sabese que o total disponível de couro é de 12 unidades e que o sapateiro trabalha 10 horas por dia O lucro unitário por par de sapatos é de 8 unidades monetárias e o do conserto de uma unidade de sapato é de 2 unidades monetárias O sapateiro deseja planejar seu sistema de produção diário de modo a maximizar seu lucro por hora Pedido 1 A função objetivo do problema é A alternativa D está correta Para modelar o problema o primeiro passo é definir as variáveis de decisão que no caso são x₁ unidade de sapato consertada x₂ unidade de sapato fabricada O lucro por unidade de sapato fabricada é de 400 unidades monetárias 800 pelo par O lucro por unidade de sapato consertado é de 200 unidades monetárias Logo a função objetivo é Max Z 2x₁ 4x₂ 3 Pedido 2 A restrição em referente à disponibilidade de couro é A alternativa A está correta Para modelar o problema o primeiro passo é definir as variáveis de decisão Nesse caso as variáveis de decisão são x₁ unidade de sapato consertada x₂ unidade de sapato fabricada O sapateiro tem disponível um total de 12 unidades de couro de modo que a restrição será uma inequação do tipo O sapateiro gasta uma unidade de couro para consertar uma unidade de sapato e 4 unidades de couro para fabricar um par de sapatos Com isso para fabricar uma unidade de sapato o sapateiro precisa de 2 unidades de couro Podemos afirmar portanto que a restrição referente à disponibilidade de couro para a produção ou conserto de sapatos é x₁ 2x₂ 12 4 Pedido 3 A restrição referente às horas trabalhadas é A alternativa C está correta Para modelar o problema o primeiro passo é definir as variáveis de decisão que são x₁ unidade de sapato consertada x₂ unidade de sapato fabricada A jornada diária do sapateiro é de 10 horas Logo ele trabalha um total de 10 horas diárias no máximo e podemos concluir que a restrição será uma inequação do tipo O sapateiro conserta 3 sapatos por hora se somente consertar sapatos Logo ele leva 20 minutos 13 da hora para consertar cada unidade de sapato O sapateiro leva 2 horas para fazer um par de sapatos novos Desse modo ele fabrica uma unidade de sapato por hora levando 1 hora para fabricar cada unidade de sapato Podemos afirmar portanto que a restrição referente às horas trabalhadas para a produção ou o conserto de sapatos é x₁3 x₂ 10 MÓDULO 3 Aplicar o método gráfico para a solução de problemas de Programação Linear APLICAÇÃO DO MÉTODO GRÁFICO PARA A SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR No módulo anterior aprendemos a modelar um problema de Programação Linear e aplicamos o conhecimento adquirido para o caso da Fitwear SA Dessa forma conseguimos construir o modelo de Programação Linear Agora temos outra questão a resolver Como podemos solucionar o modelo de Programação Linear de modo a definir a solução que corresponde ao melhor valor possível da função objetivo Em outras palavras como encontramos essa solução ótima ESPAÇO DE SOLUÇÕES As restrições de um modelo de Programação Linear delimitam a região de suas possíveis soluções ou seja definem o conjunto de soluções viáveis Nesse sentido o conjunto de restrições delimita o chamado espaço de soluções O espaço de soluções é formado por todos os pontos que satisfazem as restrições do problema Vamos determinar a seguir o espaço de soluções para o caso da Fitwear Voltando ao problema da Fitwear temos Max Z 28x₁ 40x₂ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Sujeito a 05x₁ 025x₂ 100 restrição de horas de corte 025x₁ 05x₂ 160 restrição de horas de costura x₁ x₂ 0 não negatividade das variáveis de decisão RESTRIÇÃO DE HORAS DE CORTE A figura a seguir mostra a área delimitada pela restrição referente ao número de horas de corte disponíveis pela Fitwear por semana considerando a condição de não negatividade das variáveis de decisão Imagem Renata Albergaria de Mello Bandeira Espaço de soluções para a restrição de horas de corte RESTRIÇÃO DE HORAS DE COSTURA Já a figura a seguir mostra a área delimitada pela restrição referente ao número de horas de corte disponíveis pela Fitwear por semana considerando a condição de não negatividade das variáveis de decisão Imagem Renata Albergaria de Mello Bandeira Espaço de soluções para a restrição de horas de costura DELIMITAÇÃO DO ESPAÇO DE SOLUÇÕES A figura a seguir destaca em roxo o espaço de soluções para o problema da Fitwear Desse modo a figura mostra a área delimitada pelo conjunto de restrições para o caso em análise 05X₁ 025X₂ 100 RESTRIÇÃO DE HORAS DE CORTE 025X₁ 05X₂ 160 RESTRIÇÃO DE HORAS DE COSTURA X₁ X₂ 0 NÃO NEGATIVIDADE DAS VARIÁVEIS DE DECISÃO Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Imagem Renata Albergaria de Mello Bandeira Espaço de soluções para problema da Fitwear Conseguimos visualizar na figura acima o espaço de soluções para o problema da Fitwear que consiste no quadrilátero formado pelos pontos ABCD Desse modo sabemos que todas as possíveis soluções viáveis para o problema da Fitwear se encontram nesse quadrilátero É preciso responder no entanto a duas questões fundamentais Qual ponto corresponde ao melhor valor possível da função objetivo Como determinar a solução ótima ou seja aquela que maximiza o lucro da confecção Já conhecemos o espaço de soluções no caso da Fitwear Agora só é preciso determinar qual dos pontos do quadrilátero ABCD nos proporciona o maior valor de Z 28x₁ 40x₂ No caso da Fitwear Max Z 28x₁ 40x₂ Se Z 10 28x₁ 40x₂ 10 x₂ 025 07x₁ Se Z 20 28x₁ 40x₂ 20 x₂ 05 07x₁ Se Z 30 28x₁ 40x₂ 30 x₂ 075 07x₁ Essas retas são paral Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Repare que para qualquer Z temos que x₂ 025 Z 07x₁ Essas são as linhas de isocusto que são paralelas entre si ATENÇÃO Retas paralelas Duas retas são paralelas quando ocupam o mesmo plano e não possuem nenhum ponto em comum Desse modo as retas paralelas nunca se cruzam Duas retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular Logo se o coeficiente angular de uma reta s é ms e esta reta é paralela a uma reta r cujo coeficiente angular corresponde a mr podemos afirmar que ms mr Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Perceba ainda que a reta x₂ 025 Z 07x₁ é perpendicular ao vetor 2840 formado pelos coeficientes da função objetivo Vejamos Z 28X₁ 40X₂ VETOR 2840 X₂ 4028 X₁ 107 X₁ Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ATENÇÃO Retas perpendiculares No ponto de intersecção de duas retas perpendiculares é formado um ângulo reto de medida igual a 90 Duas retas perpendiculares têm os seus coeficientes angulares opostos e inversos Logo se o coeficiente angular de uma reta s é ms e esta reta é perpendicular a uma reta r cujo coeficiente angular corresponde a mr podemos afirmar que MS 1 MR OU MS MR 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal SOLUÇÃO ÓTIMA O passo para finalizar o problema da Fitwear consiste em escolher o ponto no espaço viável que maximiza o valor da função objetivo Para tanto devemos plotar o vetor 2840 no espaço de soluções e determinar a reta perpendicular que pertence ao espaço de soluções quadrilátero ABCD e possui o maior valor para Z A figura a seguir apresenta o espaço de soluções e o vetor 2840 Ao se desenhar as retas paralelas linhas de isocusto perpendiculares ao vetor 2840 temos que a reta que possui maior valor de z e ainda pertence ao espaço de soluções corresponde a z 1322667 linha destacada em vermelho sendo x₁ igual a 5333 e x₂ igual a 29333 Imagem Renata Albergaria de Mello Bandeira Solução ótima para o problema da Fitwear Para o problema da Fitwear temos que o planejamento de produção semanal que traz o maior lucro possível para a empresa é a confecção de 5333 tops e 29333 calças de ginástica Dessa forma a Fitwear teria um lucro semanal equivalente a R 1322667 Note que o problema da Fitwear possui apenas duas variáveis de decisão Esse tipo de problema mais simples com apenas duas variáveis de decisão pode ser resolvido com relativa facilidade por meio de um método chamado de Método Gráfico Logo para encontrar a solução ótima precisamos seguir os passos do Método Gráfico apresentados a seguir 1 Desenhe as retas correspondentes às restrições do problema e encontre o espaço de soluções 2 Desenhe o vetor z 3 Desenhe linhas ortogonais ao vetor z Essas são as linhas de isocusto isto é são as retas que possuem o mesmo valor de z 4 Calcule o valor de z no ponto ótimo ou seja a linha de isocusto com maior z que ainda toca o espaço de soluções SITUAÇÕES PARTICULARES DA SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PELO MÉTODO GRÁFICO Após resolver um problema de otimização seja pelo Método Gráfico seja por qualquer outro método podemos chegar a quatro situações particulares Solução ótima única e identificada Inviável ou seja não existem soluções viáveis para o problema apresentado Ilimitado ou seja a função objetivo pode crescer infinitamente Múltiplas soluções ou seja o problema possui mais de uma solução ótima infinitas Vejamos a seguir cada uma dessas situações representados graficamente Solução ótima única Na figura a seguir vemos um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema com uma única solução ótima Imagem Métodos quantitativos OLIVEIRA 2015 página 26 Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira Solução ótima única Problema inviável Esta figura apresenta um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema inviável Nesses casos as restrições não formam nenhum espaço de soluções viáveis Imagem Renata Albergaria de Mello Bandeira Problema inviável Problema ilimitado Veja um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema ilimitado ou seja com solução tendendo ao infinito Nesses casos as restrições formam um espaço aberto de soluções viáveis conforme pode ser observado no exemplo da figura a seguir Observe que se trata de um problema de maximização Imagem Métodos quantitativos OLIVEIRA 2015 página 19 Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira Problema limitado Problema de múltiplas soluções Aqui vemos um exemplo da aplicação do Método Gráfico para um problema de múltiplas soluções ou seja com mais de uma solução ótima Esse tipo de problema também pode ser denominado de problemas com soluções alternativas Nesses casos a linha de isocusto ao abandonar o espaço de soluções viáveis intersecciona com uma linha inteira e não somente um ponto desse conjunto Isso ocorre porque a linha de isocusto é na verdade paralela à reta dessa restrição conforme pode ser observado no exemplo da figura a seguir Observe que várias soluções são simultaneamente ótimas nesse tipo de problema Imagem Métodos quantitativos OLIVEIRA 2015 página 21 Adaptado por Renata Albergaria de Mello Bandeira Problema com múltiplas soluções MÉTODO GRÁFICO No vídeo a seguir você verá os principais passos a serem seguidos na solução de um problema de Programação Linear pelo Método Gráfico e as situações particulares dos resultados que podem ser obtidos Para assistir a um vídeo sobre o assunto acesse a versão online deste conteúdo VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 UTILIZE O MÉTODO GRÁFICO PARA A SOLUÇÃO DO PROGRAMAÇÃO LINEAR A SEGUIR MAX 350X1 300X2 SUJEITO A 1X1 1X2 200 9X1 6X2 1566 12X1 16X2 2880 X1 0 X2 0 O VALOR DE Z PARA A SOLUÇÃO ÓTIMA PARA O PROBLEMA APRESENTADO É IGUAL A A Zero B 54000 C 60900 D 64000 E 66100 2 AO SOLUCIONAR UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR PELO MÉTODO GRÁFICO FOI OBTIDO O SEGUINTE GRÁFICO IMAGEM RENATA ALBERGARIA DE MELLO BANDEIRA Solução PARA UM PROBLEMA DE PROGRAMAÇÃO LINEAR DE ACORDO COM O GRÁFICO PODEMOS AFIRMAR QUE SE TRATA DE UM PROBLEMA DE A Minimização com uma solução ótima B Maximização com uma solução ótima C Maximização com múltiplas soluções alternativas D Maximização ilimitado E Maximização inviável GABARITO 1 Utilize o Método Gráfico para a solução do Programação Linear a seguir MAX 350X1 300X2 Sujeito a 1X1 1X2 200 9X1 6X2 1566 12X1 16X2 2880 X1 0 X2 0 O valor de z para a solução ótima para o problema apresentado é igual a A alternativa E está correta A resposta correta é 66100 conforme pode ser verificado na solução obtida pelo Método Gráfico apresentada na figura a seguir Imagem Rodrigo Pessôa Solução pelo método gráfico 2 Ao solucionar um problema de Programação Linear pelo Método Gráfico foi obtido o seguinte gráfico Imagem Renata Albergaria de Mello Bandeira Solução para um problema de programação linear De acordo com o gráfico podemos afirmar que se trata de um problema de A alternativa D está correta Tratase de um problema de maximização ilimitado Observe que o vetor Z está apontando para cima na direção oposta da origem o que nos mostra que este é um problema de maximização Não há uma região de espaço de soluções delimitada pelo cruzamento das retas do conjunto de restrições Dessa forma as restrições formam um espaço aberto de soluções viáveis de modo que a solução tende ao infinito caracterizando um problema ilimitado CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste conteúdo visitamos os principais conceitos da Pesquisa Operacional abordando a sua origem e evolução como campo do conhecimento Verificamos a sua importância e a aplicabilidade de suas técnicas e ferramentas no apoio ao processo de tomada de decisão em diferentes campos de atuação e setores Trabalhamos o conceito de modelo e vimos como um modelo nos traz benefícios na análise de decisão Nesse sentido um modelo é uma simplificação do problema a ser analisado de modo que nos permite avaliar diferentes cenários em um menor tempo e com menos recursos Para que possamos de fato usufruir desses benefícios é fundamental que o modelo e a qualidade dos dados de entrada sejam fidedignos Nesse contexto foram apresentados os principais passos a serem seguidos para o desenvolvimento de um modelo matemático em estudos de Pesquisa Operacional Uma das técnicas mais difundidas de Pesquisa Operacional é a Programação Linear cujos conceitos também foram apresentados Aprendemos sobre os principais elementos de um modelo de Programação Linear e vimos como construir esse tipo de modelo e encontrar sua solução por meio do Método Gráfico Todo esse conhecimento foi apresentado por meio do desenvolvimento do modelo matemático para o exemplo da Fitwear REFERÊNCIAS COUGO P Modelagem conceitual e projeto de banco de dados Rio de Janeiro Elsevier Brasil 2013 FÁVERO L P BELFIORE P Pesquisa operacional para cursos de administração Rio de Janeiro Elsevier Brasil 2012 OLIVEIRA F Métodos quantitativos Rio de Janeiro 2016 Notas de aula PRADO D Programação linear Vol 1 São Paulo Falconi 2016 RAGSDALE C T Modelagem e análise de decisão São Paulo Cengage Learning 2009 RODRIGUES L H AHLERT F LACERDA D P CAMARGO L F R LIMA P Pesquisa operacional programação linear passo a passo do entendimento do problema à interpretação da solução São Leopoldo Unisinos 2014 SOBRAPO Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional 2021 O que é Pesquisa Operacional Disponível em meio eletrônico Consultado em 04 fev 2021 WINSTON W L GOLDBERG J B Operations research applications and algorithms Vol 3 Belmont Califórnia ThomsonBrooksCole 2004 EXPLORE Assista ao vídeo O que é Pesquisa Operacional da Sociedade Britânica de Pesquisa Operacional OR Society disponível no YouTube para entender melhor o que é a Pesquisa Operacional o desenvolvimento desse campo do conhecimento e suas possibilidades de aplicação Leia os capítulos 1 e 2 do livro Pesquisa operacional na tomada de decisões de G Lachtermacher publicado em 2016 Leia os capítulos 1 e 2 do livro Modelagem e análise de decisão de C T RAGSDALE publicado em 2009 CONTEUDISTA Renata Albergaria de Mello Bandeira CURRÍCULO LATTES