Sistemas de Equacoes Lineares - Classificacao e Solucao

Sistemas de Equações e Transformações Lineares MÓDULO 1 Classificar os sistemas de equações lineares a1 a2 an coeficientes das variáveis b termo independente Quando todos os termos independentes do sistema forem nulos o sistema é dito homogêneo Existe também a matriz completa dos coeficientes para um sistema linear que junta a matriz A com a matriz B assim Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Os sistemas lineares de acordo com as suas soluções podem ser classificados como POSSÍVEL E DETERMINADO Apresenta uma única solução POSSÍVEL E INDETERMINADO Apresenta infinitas soluções IMPOSSÍVEL Não apresenta soluções Existem vários métodos para buscar a solução de um sistema de equações lineares COMENTÁRIO Para os sistemas mais simples podemos usar os métodos da substituição e o da adição ou cancelamento Vale lembrar que sistemas mais simples são sistemas de até três equações e três incógnitas Em ambos os métodos trabalhamos com as equações de forma a tentar ficar apenas com uma incógnita Em outras palavras podemos multiplicar as equações por números reais e realizar operações de soma ou subtração entre elas para tentarmos eliminar as variáveis e obtermos os seus valores Os exemplos a seguir apresentam aplicação desses métodos simples Na solução de sistemas de duas variáveis podese fazer uma analogia com as posições relativas de retas vistas na geometria analítica Da mesma forma para sistemas de três variáveis a analogia será com os planos Observe SISTEMAS POSSÍVEIS E DETERMINADOS SISTEMAS IMPOSSÍVEIS SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO Seriam o caso em que as retas ou planos teriam apenas um ponto em comum Seriam o caso de as retas ou os planos não terem pontos em comum Seria o caso de as retas e planos terem infinitos pontos em comum por exemplo uma reta ou mesmo um plano em comum Para sistemas maiores e mais complexos existem métodos mais eficientes que serão vistos posteriormente EXEMPLOS 1 Analise a solução do sistema Solução Ao usar o método da substituição obtemos na primeira equação y 2x 4 Substituímos então o valor de y na segunda equação e obtémse assim uma equação apenas com a variável x Portanto ficamos com um sistema logo y 2x 4 2 23 4 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Por isso o sistema é possível e determinado com a solução x y 3 2 Fazendo uma analogia esse sistema pode ser visto como a interseção de duas retas que por serem concorrentes possui apenas um ponto em comum 32 RESOLUÇÃO Vamos usar o método do cancelamento Multiplique a primeira equação por 2 e some as duas equações Somando as duas equações chegamos a 0 1 Repare que caímos em uma contradição Assim não há valor de x e y que satisfaça as duas equações de forma simultânea O sistema portanto é um sistema linear impossível Fazendo uma analogia esse sistema pode ser visto como a interseção de duas retas que por serem paralelas não possui ponto em comum Observe que é impossível atender as duas equações simultaneamente Solução Vamos usar o método do cancelamento Multiplique a primeira equação por 3 e some as duas equações Somando as duas equações chegamos a 0 0 Então ficamos com um sistema que vai ser atendido sempre que a primeira equação for atendida Assim existem infinitos valores que atendem ao sistema O sistema portanto é um sistema linear possível e indeterminado Qualquer ponto do tipo com a real ou com b real é solução do sistema Por exemplo ou Repare que Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Fazendo uma analogia esse sistema pode ser visto como a interseção de duas retas que por serem coincidentes possuem infinitos pontos em comum Para se verificar se um conjunto de valores é solução de um sistema basta substituir o mesmo nas equações e todas devem ser atendidas de forma simultânea Repare que sistemas possíveis e determinados terão apenas um conjunto de soluções possíveis Assim os sistemas podem ser Os possíveis e determinados única solução Os possíveis e indeterminados infinitas soluções Os impossíveis nenhuma solução atende a todas as equações EXEMPLO 4 Verifique se os valores de x y z 1 2 1 e x y z 1 0 1 são soluções do sistema Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal RESOLUÇÃO Basta substituir os valores nas equações e verificar se as atendem Como o conjunto atendeu todas as equações ele é uma solução desse sistema Como o conjunto não atendeu a última equação ele não é uma solução desse sistema ATENÇÃO Os sistemas lineares homogêneos isto é todos os termos independentes são nulos sempre apresentam a solução trivial de todas as variáveis iguais a zero Assim para esse tipo de sistema não existe o caso de sistemas impossíveis Ou apresenta a solução trivial sendo possível e determinado ou apresenta infinitas soluções TEORIA NA PRÁTICA Um pai quer dividir entre seus três filhos 37 moedas de ouro Porém ele quer atender a seguinte regra O filho mais velho deve ter o dobro de moedas do filho mais novo O segundo filho deve ter um número de moedas igual ao filho mais novo mais 5 Resolva o sistema de equações e ajude esse pai a solucionar seu problema RESOLUÇÃO Para assistir a um vídeo sobre o assunto acesse a versão online deste conteúdo MÃO NA MASSA 1 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO LINEAR PARA AS VARIÁVEIS REAIS X Y E Z A 2x 3y2 z 5 0 B 2x 3z 8 0 C y 2z 3 0 D x 2y yz 2 0 2 VERIFIQUE QUAL ALTERNATIVA APRESENTA UMA SOLUÇÃO PARA O SISTEMA X Y Z 1X Y Z 5X 2Y Z 3 A x y z 1 1 1 B x y z 2 2 1 C x y z 1 2 2 D x y z 2 1 1 3 VERIFIQUE A ALTERNATIVA QUE NÃO É UMA SOLUÇÃO PARA O SISTEMA X Y Z 1X Y Z 5 X Z 3 B x y z 2 2 1 C x y z 1 2 2 D x y z 3 2 0 4 CLASSIFIQUE O SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES X Y Z 1X Y Z 5 3X 3Y 3Z 2 A Impossível B Possível e determinado com x y z 2 2 1 C Possível e determinado com x y z 1 2 2 D Possível e indeterminado 5 CLASSIFIQUE O SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES X Y Z 1X Y Z 5 X 2Y Z 3 A Impossível B Possível e determinado com x y z 2 2 1 C Possível e determinado com x y z 1 2 2 D Possível e indeterminado 6 MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA QUANTO AO SISTEMA X Y Z 1XY Z 5 X Z 3 A Impossível B Possível e determinado com solução x y z 0 2 3 C Possível e determinado com solução x y z 2 2 1 D Possível e indeterminado GABARITO 1 Marque a alternativa que apresenta uma equação linear para as variáveis reais x y e z A alternativa a possui um termo da variável y ao quadrado não sendo então uma equação linear A alternativa c possui um termo da variável z no denominador isso é z1 não sendo uma equação linear A alternativa d possui um termo da yz não sendo uma equação linear A alternativa b só possui termos das variáveis na primeira ordem isso é elevados a unidade sendo portanto uma equação linear 2 Verifique qual alternativa apresenta uma solução para o sistema x y z 1x y z 5x 2y z 3 Basta testar as alternativas diretamente no sistema e verificar qual delas satisfaz as três equações Assim verificamos que a alternativa a atende apenas a primeira equação A alternativa b atende apenas as duas primeiras e a alternativa d atende apenas a terceira não sendo nenhuma delas a solução do sistema Por outro lado a alternativa c atende as três equações x y z 1 2 2 1 okx y z 1 2 2 5 okx 2y z 1 22 2 3 ok Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto 1 2 2 é solução do sistema 3 Verifique a alternativa que NÃO é uma solução para o sistema x y z 1x y z 5 x z 3 Basta testar as alternativas diretamente no sistema e verificar qual delas satisfaz as três equações As alternativas b c e d atendem as três equações sendo solução do sistema A alternativa a não atende nenhuma das três equações não sendo solução do sistema 4 Classifique o sistema de equações lineares x y z 1x y z 5 3x 3y 3z 2 Para assistir a um vídeo sobre o assunto acesse a versão online deste conteúdo 5 Classifique o sistema de equações lineares x y z 1x y z 5 x 2y z 3 Resolvendo o sistema pela técnica da adição e cancelamento somase a primeira com a segunda equação x y z x y z 1 5 2x2z 6 x z 3 Em seguida multiplicase a segunda equação por dois e se subtrai da terceira equação 2x 2y 2z x 2y z 25 3 x 3z 7 Assim temos x z 3x3z 7 x 3 z então 3 z 3z 7 2z 4 z 2 Como sua substituição na segunda equação do sistema leva a Portanto o sistema é possível e determinado e tem solução única x y z 1 2 2 6 Marque a alternativa verdadeira quanto ao sistema x y z 1xy z 5 x z 3 Para assistir a um vídeo sobre o assunto acesse a versão online deste conteúdo GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES PARA AS VARIÁVEIS REAIS X E Y A 2ex y 42x y 7 B 3x y 42x y 7 C 3x y 42ln x xy 7 D 3ln x y 42x xy 7 2 VERIFIQUE A ALTERNATIVA QUE NÃO É UMA SOLUÇÃO PARA O SISTEMA X 2Y Z 4X 2Y Z 8 X Z 6 A x y z 6 1 1 B x y z 2 1 4 C x y z 4 1 2 D x y z 0 1 6 GABARITO 1 Marque a alternativa que apresenta um sistema de equações lineares para as variáveis reais x e y A alternativa B está correta A alternativa a possui um termo de exponencial da variável x não sendo portanto uma equação linear A alternativa c e d possuem termo de ln x e um termo xy não sendo uma equação linear A alternativa b só possui termos das variáveis na primeira ordem isso é elevados a unidade sendo assim uma equação linear 2 Verifique a alternativa que NÃO é uma solução para o sistema x 2y z 4x 2y z 8 x z 6 A alternativa A está correta Basta testar as alternativas diretamente no sistema e verificar qual delas satisfaz as três equações As alternativas b c e d atendem as três equações sendo solução do sistema A alternativa a não atende nenhuma das três equações não sendo solução do sistema Este sistema tem mais de uma solução sendo possível e indeterminado Qualquer solução do tipo x y z a 1 6 a ou x y z 6 b 1 b é solução do sistema apresentado com a e b reais MÓDULO 2 Aplicar métodos de resolução para obter a solução dos sistemas de equações lineares INTRODUÇÃO Para sistemas lineares com um número maior de variáveis os métodos mais simples de substituição e cancelamentos não são mais eficientes pois complicariam bastante os cálculos a serem resolvidos Assim existem outros métodos de resolução que podem ser aplicados a sistemas lineares mais complexos Neste módulo será estudado o método da eliminação de GaussJordan e a Regra de Cramer para resolução dos sistemas lineares Fontefreepik MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES Existem métodos de simples aplicação como o de substituição de variáveis e o de cancelamento que permitem resoluções rápidas em sistemas lineares com duas variáveis e duas equações ou três variáveis e três equações SAIBA MAIS Quando o número de equações e variáveis cresce no sistema a aplicação desses métodos se complica perdendo portanto sua eficiência Existem diversos métodos que podem ser encontrados na literatura de álgebra linear vide o Explore no fim deste tema Neste módulo analisaremos dois métodos que são práticos e podem ser aplicados em qualquer sistema até mesmo nos sistemas lineares menores método da eliminação de GaussJordan e a Regra de Cramer Nestes dois métodos será importante representar o sistema linear como um produto matricial conforme visto no módulo anterior MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSSJORDAN Este método consiste em transformar o sistema linear em um sistema linear escalonado reduzido Inicialmente precisamos definir o que é um sistema linear escalonado Seja um sistema de m equações e n variáveis ele apresentará uma matriz completa de coeficientes C terá tamanho m x n1 Este sistema será escalonado se a matriz C referente a este sistema atender as seguintes propriedades Se uma linha não for de elementos todos nulos o primeiro elemento não nulo deve ser 1 Este elemento é denominado pivô Para todas as linhas o primeiro elemento não nulo deve estar à esquerda do primeiro elemento não nulo da linha seguinte Se uma linha tiver apenas elementos nulos ela deve estar abaixo de todas as demais linhas Observe que ao seguir essas propriedades cada coluna que contém um pivô tem todos os demais elementos iguais a zero abaixo do pivô EXEMPLO São exemplos de matrizes C de sistemas escalonados 131 2012 0001 1 ou 1201 10 103 20000 00 000 0 Um sistema será escalonado na forma reduzida por linha ou simplesmente reduzida se atender as propriedades do sistema escalonado e além disso se a coluna que tiver um pivô apresentar todos os demais elementos nulos As duas matrizes apresentadas como exemplo são escalonadas mas não são reduzidas por linha EXEMPLO Exemplos de matrizes escalonadas reduzidas por linha 100 2010 0001 1 ou 12001001020001000000 Um sistema linear que apresenta matriz completa escalonada reduzida mostra de uma forma visível a solução do sistema Por exemplo A O sistema que tem matriz completa 100201000011 será x 2y 0z 1 Assim o sistema será possível e determinado com solução x y z 2 0 1 B O sistema que tem matriz completa 100201200001 será x 2y 2z 00 1 Assim o sistema será impossível C O sistema que tem matriz completa 103201220000 será x 3z 2y 2z 20 0 Assim o sistema será possível e indeterminado Qualquer combinação de dados do tipo x y z 2 3a 2 2a a com a real é solução do sistema Dessa forma o método de eliminação de GaussJordan buscará transformar todo sistema linear em um sistema escalonado reduzido para obter então a sua solução QUANDO UM SISTEMA NÃO ESTIVER NA FORMA ESCALONADA ELE PODE SER COLOCADO NESSA FORMA SENDO CONVERTIDO A UM SISTEMA EQUIVALENTE POR MEIO DE ALGUMAS OPERAÇÕES ALGÉBRICAS Troca de posição de equações linhas na matriz Multiplicação de uma equação linha por um número real diferente de zero Realizar uma combinação linear Multiplicação por números reais e soma de equações linhas O método de Eliminação de Gauss seguirá os seguintes passos Localize a primeira coluna mais à esquerda que não é composta apenas de elementos nulos Permute se for o caso a primeira linha com outra linha de forma que o primeiro elemento da coluna selecionada no passo anterior não seja nulo Se este primeiro elemento for diferente de 1 devese dividir toda linha pelo valor dele para transformálo em um pivô Some múltiplos da primeira linha com as demais para transformar todos os elementos da coluna do pivô como nulos Separe a primeira linha e refaça as etapas anteriores a partir da segunda linha e assim sucessivamente No fim desses passos a matriz do sistema estará na sua forma escalonada EXEMPLOS 1 Coloque a matriz completa referente ao sistema linear 2y 3z 82x 4y z 6 3x y2 z 5 em sua forma escalonada SOLUÇÃO A matriz será 0 2 3 82 4163 125 Não existe neste caso a necessidade do primeiro passo pois a primeira coluna tem elementos diferentes de zero Com isso vamos permutar a primeira pela segunda linha de forma a ter um elemento diferente de zero na primeira coluna 0 2 3 82 41 63 1252 4 1 60 23 83 1 2 5 Divida a primeira linha por 2 para transformar o primeiro elemento em pivô 2416023831251205302383125 A segunda linha já tem um zero no elemento abaixo do pivô porém a terceira não tem Assim vamos multiplicar a primeira linha por 3 e somar a terceira linha 120530238331132230553312053023805354 Agora repetiremos o procedimento para segunda linha Vamos dividila toda por 2 para criar o segundo pivô 12053023805354120530115405354 Precisamos transformar todos os elementos da coluna abaixo deste pivô em zero Assim multiplicamos a segunda linha por 5 e somamos a terceira 1205301154055135515454120530115400416 Para finalizar dividiremos a terceira linha por 4 assim a matriz equivalente ficará escalonada 12053011540041612053011540044 Vamos dar continuidade ao método agora transformando uma matriz escalonada em uma matriz escalonada reduzida Comece pela última linha não nula Multiplique a última linha não nula por um número e some à linha de cima para que o elemento acima do pivô seja zero Repita até chegar à primeira linha Ao finalizar faça outra vez o passo para a segunda linha de cima para baixo não nula e assim sucessivamente No fim teremos uma matriz escalonada reduzida 2 Transforme a matriz 12053011540014 em uma matriz escalonada reduzida RESOLUÇÃO A última linha não nula é a terceira linha Multipliquea por 15 e some à segunda linha 120530115115441500141205301020014 Multiplique agora a terceira linha por 05 e a some com a primeira linha 1205105340501020014120101020014 Esquecemos agora a última linha e passamos para a segunda de cima para baixo Multiplique por 2 e some à primeira linha 12120 12201020014100501020014 Assim ficamos com uma matriz escalonada reduzida e obtemos a solução do sistema pois pela matriz equivalente obtida 100501020014x5y2z4 Veja que esta solução 5 2 4 é solução do sistema original 2y 3z 82x 4y z 63x y 2z 5 22 34 4 12 82542 4 10 8 4 635 2 24 15 2 8 5 REGRA DE CRAMER Este método é um dos mais tradicionais para a resolução de sistemas lineares apresentando vantagens e desvantagens em relação ao método anterior VANTAGEM Ele resolve o sistema diretamente por um quociente de determinantes DESVANTAGEM Normalmente dá mais trabalho calcular todos os determinantes necessários do que apenas escalonar a matriz completa do sistema Para um número de incógnitas maior do que 3 com certeza o método de GaussJordan é menos trabalhoso do que a regra de Cramer Vamos nos limitar a apresentar o método Sua demonstração pode ser encontrada nas obras listadas nas referências no fim deste tema Seja um sistema linear com três variáveis x y e z e três equações O primeiro passo é obter o determinante da matriz incompleta do sistema que denominaremos de Δ Após esse cálculo calculase o determinante referente a cada variável do sistema Ele é obtido pela substituição da coluna referente à variável pelos termos independentes Assim teremos Δx para variável x Δy para variável y e Δz para variável z Dessa forma poderemos classificar o sistema linear de acordo com os valores obtidos Se Δ0 o sistema será possível e determinado e sua solução será dada por xΔxΔ yΔyΔ e zΔzΔ Se Δ0 e ΔxΔyΔz0o sistema será possível e indeterminado Se Δ0 e um dos valores de ΔxΔy e Δz for diferente de zero o sistema será impossível ATTENÇÃO Outra desvantagem da regra de Cramer é que para o caso possível e indeterminado ele apenas classifica mas não fornece o conjunto de soluções para o sistema EXEMPLOS 3 Classifique o sistema de equações lineares x y z 1x y z 5 x 2y z 3 SOLUÇÃO A matriz incompleta será 111111121 cujo determinante vale 111111121 111 112 111 112 111 4 Já sabemos que o sistema é possível e determinado Para calcular o valor da primeira variável substituise a coluna correspondente aos coeficientes de x pelos termos independentes Δx 1 531 12111 111 152 311 113 112 115 4 Assim x ΔxΔ 44 1 Para calcular y substituindo a segunda coluna da matriz principal pelos termos independentes Δy 111 1 5 3 111 151 111 113 151 113 111 8 Logo y ΔyΔ 84 2 Para z substituindo a terceira coluna da matriz principal pelos termos independentes Δz 1 1 1 1 1 2 153 113 112 115 111 3 11 152 8 Portanto z ΔzΔ 84 2 Dessa forma a solução do sistema será x y z 1 2 2 4 Classifique o sistema de equações lineares x y z 1x y z 5 x z 3 RESOLUÇÃO A matriz incompleta será 11 1 110 111 cujo determinante vale 111 110 111 111 110 111 111 11 1 110 0 Assim o sistema será possível e indeterminado ou impossível Calculando Δx Δy e Δz Δx 153 110 111 111 150 311 113 110 115 0 Δy 111 153 111 151 131 111 151 111 131 0 Δz 111 110 153 113 110 115 111 150 311 0 Como Δ Δx Δy Δz 0 o sistema será possível e indeterminado 5 Classifique o sistema de equações lineares x y z 1x y z 5 3x 3y 3 z 2 aplicando a regra de Cramer RESOLUÇÃO A matriz incompleta será 111111333 Basta perceber que a terceira linha é a primeira multiplicada por 3 assim pela propriedade do determinante ele será nulo Portanto o sistema será possível e indeterminado ou impossível Δx1115112331131532111121133152 Não precisamos sequer calcular os demais pois como já há um diferente de zero e Δ 0 o sistema será impossível ATENÇÃO Quando o sistema linear é homogêneo os valores de Δx Δy Δz 0 Assim o valor do determinante da matriz incompleta Δ determinará o tipo do sistema Se Se Δ 0 o sistema será possível e determinado e o sistema só terá a solução trivial que é x y z 0 Se Δ 0 o sistema será possível e indeterminado TEORIA NA PRÁTICA Um fazendeiro estava comentando sobre sua fazenda Ele informou que A fazenda tem 27 animais Na fazenda só há três tipos de animais porcos galinhas e vacas O número de patas de animais na fazenda vale 84 O número de porcos da fazenda vale o número de vacas e galinhas menos 5 O fazendeiro pediu para que você descobrisse qual a quantidade de cada animal na fazenda RESOLUÇÃO Para assistir a um vídeo sobre o assunto acesse a versão online deste conteúdo MÃO NA MASSA 1 CLASSIFIQUE O SISTEMA LINEAR X Y Z 0X 2Y Z 0 X 2Y Z 0 A Impossível B Possível e indeterminado C Possível e determinado com solução 000 D Possível e determinado com solução 001 2 DETERMINE PARA QUE VALORES DE K REAL O SISTEMA LINEAR X Y Z 3X KY Z 7 X KZ 5 SERÁ POSSÍVEL E DETERMINADO A k real k1 B k real k1 e k1 C k real k1 e k2 D k real k1 e k2 3 DETERMINE PARA QUE VALORES DE K REAL O SISTEMA LINEAR X Y Z 3X KY Z 7 X KZ 5 SERÁ POSSÍVEL E INDETERMINADO A k1 B k53 C k53 D k1 4 DETERMINE PARA QUE VALORES DE K REAL O SISTEMA LINEAR X X Y Z 3X KY Z 7 X KZ 5SERÁ IMPOSSÍV A k1 B k53 C k23 D k2 5 OBTENHA A SOLUÇÃO DO SISTEMA 2X Y Z 0X Y Z 1 X 2Y Z 6 A x y z 3 2 1 B x y z 1 3 1 C x y z 1 2 1 D x y z 3 0 1 6 OBTENHA A SOLUÇÃO DO SISTEMA XYZW2XYZ0X2ZW23Y2ZW1 A x y z w 3 2 1 0 B x y z w 1 2 1 0 C x y z w 2 1 1 2 D x y z w 3 0 1 1 GABARITO 1 Classifique o sistema linear x y z 0x 2y z 0 x 2y z 0 Como o sistema é homogêneo ele só pode ser possível determinado ou possível indeterminado Δ 111 1 2 2 1 11 221212 60 Assim o sistema é possível e determinado tendo apenas a solução trivial 000 2 Determine para que valores de k real o sistema linear x y z 3x ky z 7 x kz 5 será possível e determinado Para o sistema ser possível e determinado o determinante principal deve ser diferente de zero Δ 111 1k0 11k k201k k0 k2 1 0 k2 1 k 1 ou k 1 Assim para ser possível e determinado Δ0k1 e k1 3 Determine para que valores de k real o sistema linear x y z 3x ky z 7 x kz 5 será possível e indeterminado Vídeo 2 Cálculo de Sistemas regra de Cramer 4 Determine para que valores de k real o sistema linear x x y z 3x ky z 7 x kz 5será impossível Para o sistema ser impossível o determinante principal deve ser nulo Δ 111 1 k 0 11k k201k k0 k2 1 0 k2 1 k 1 ou k 1 Mas todos os determinantes das variáveis devem também dar zero Δx 375 1 k 0 11k 3k2055k 7k0 3k2 2k 5 0 Resolvendo a equação do segundo grau k24536 286 153 Δy 111 375 11k 7k5373k 5 4k 4 0 k 1 Δz 111 1 k 0 375 5k073k 5 0 2k 2 0 k 1 Como deve ter Δ0 e pelo menos um dos Δx Δy Δz diferente de zero então o valor será de k 1 5 Obtenha a solução do sistema 2x y z 0x y z 1 x 2y z 6 A matriz completa 211011111216 Ao escalonar a matriz 211 112 111 016 121 112 111 106 122111 1 12121 112111 102161 100 113 112 127 100 113 112 127 100 11331 11231 12732 100 110 1 1 1 1 21 100 110 11 1 121 Transformando agora em escalonada reduzida 1111011200111111110111210011110201030011 110201030011111002301030011100101030011 Dessa forma achamos o sistema equivalente x 1y 3 z 1 O exercício também poderia ter sido feito pela regra de Cramer 6 Obtenha a solução do sistema xyzw2xyz0x2zw23y2zw1 Parabéns Você entendeu o conceito da Eliminação de Gauss Jordan VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 DETERMINE PARA QUE VALOR DE K REAL PARA QUE O SISTEMA 2XYZ2XKY3Z2X2YZ1 SEJA POSSÍVEL E DETERMINADO A k163 k real k163 B k real k163 C D k163 2 OBTENHA A SOLUÇÃO DO SISTEMA XYZ42XY3Z5X2YZ0 A x y z 3 2 1 B x y z 3 2 1 C x y z 3 2 1 D x y z 3 0 1 GABARITO 1 Determine para que valor de k real para que o sistema 2xyz2xky3z2x2yz1 seja possível e determinado A alternativa B está correta Para o sistema ser possível e determinado o determinante da matriz incompleta deve ser diferente de zero 2 1 11 k 31 2 1 2k11121131k11112 2 1 11 k 31 2 1 2k23k1123k16 3k160k163 2 Obtenha a solução do sistema xyz42xy3z5x2yz0 A alternativa A está correta A matriz completa 111421351210 Ao escalonar a matriz 121 1 12 1 43 5 1 0 122111 112121 132111 452404 100 113 1 41 3 2 4 100 1 13 1 1 2 4 34 100 1 13 1 4 1 3 2 4 100 11331 1 1231 43433 100 110 1 4 1 3 5 5 100 110 1 1 1 431 Transformando agora em escalonada reduzida 1114011300111111410111310011110501020011 110501020011111005201020011100301020011 Dessa forma achamos o sistema equivalente x3y2z1 O exercício também poderia ter sido feito pela regra de Cramer MÓDULO 3 Empregar o conceito de transformação linear no plano INTRODUÇÃO Uma função que tem seu domínio e contradomínio em um Espaço Vetorial V e W respectivamente é denominada de Transformação de V em W As transformações lineares serão uma transformação que atende as propriedades da Aditividade e da Homogeneidade Este módulo estudará essas transformações lineares no plano isto é no R2 e suas interpretações geométricas Autor pikisuperstar FonteShutterstock TRANSFORMAÇÃO LINEAR NO PLANO Sejam V e W dois conjuntos usaremos o símbolo T V W para representar uma função cuja entrada está no conjunto V e cujos valores saídas da função estão no conjunto W Se v é um elemento de V então Tv w será a imagem de v obtida por meio da função T V será domínio de T e W será o contradomínio de T Se V e W são espaços vetoriais a função T será denominada de Transformação de V em W Dentre as transformações de V em W definimos as transformações lineares como uma transformação que possui as propriedades da aditividade e da homogeneidade DEFINIÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO LINEAR Seja V e W dois espaços vetoriais a transformação T V W será uma transformação linear se e somente se atender as seguintes propriedades ADITIVIDADE Se u e v pertencem a V então Tu v Tu Tv HOMOGENEIDADE Se v pertence a V e k é um real então T kv k Tv Em outras palavras a transformação linear preserva a adição e a multiplicação por real Podemos combinar as duas propriedades em uma só afirmando que TAUBV ATU BTV PARA QUALQUER A E B REAIS E U E V V Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Uma primeira conclusão que pode ser tirada é que se T é uma transformação linear obrigatoriamente T0 0 onde 0 é o elemento nulo de V Se assim não fosse T não conseguiria atender a propriedade da aditividade Quando W V a transformação linear é denominada de operador linear do espaço vetorial V As transformações lineares onde o espaço vetorial V é do tipo Rⁿ e o espaço vetorial W é do tipo Rᵐ podem ser representadas de uma forma matricial Assim a transformação Tv w será uma função que associará um vetor v do Rⁿ a um vetor w Tv de Rᵐ podendo ser representada por Tv Av O vetor v terá dimensão de n e o vetor w Tv terá dimensão de m assim a matriz A terá tamanho m x n e será denominada de matriz canônica da transformação A matriz A é uma matriz de elementos reais EXEMPLO Seja T R2 R3 a transformação linear tal que T x y 2x y x y x 2y Repare que a imagem de T será o vetor do R3 u v w 2x y x y x 2y Podese representar essa transformação linear pelas equações u2xyvxywx2y ou pela operação matricial onde 211 112 xy u v w A matriz 3 x 2 será a matriz canônica da transformação linear TRANSFORMAÇÃO NO PLANO Dentre as transformações lineares este módulo estudará as transformações lineares que acontecem no plano assim tanto o domínio da transformação como a imagem serão R2 Como já mencionado analisaremos um operador linear no R2 Portanto T R2R2 onde Tx y u v e terá uma matriz canônica de tamanho 2 x 2 EXEMPLO 1 Determine a imagem de v 3 5 obtida por meio da Transformação TR2R2 onde a Matriz canônica de T é dada por 2 00 2 RESOLUÇÃO TvAv2002 xy 2x 2y Assim T3 5 32 25 610 ATENÇÃO Algumas transformações lineares no plano podem ser analisadas de uma forma geométrica Por exemplo a transformação linear apresentada no exemplo anterior é uma transformação de expansão Em outras palavras ela transforma o elemento de entrada em um elemento com comprimento duas vezes maior O exemplo a seguir apresenta um efeito dessa transformação EXEMPLO 2 Seja um triângulo no plano cartesiano com vértices nos pontos A 0 0 B 1 0 e C 0 1 Determine a área da figura formada pelo triângulo após aplicarmos o operador linear representado pela matriz canônica 2002 Solução Ao analisarmos o triângulo original iremos verificar que é um triângulo retângulo cuja área será A 121112 Os pontos de coordenadas x y podem ser analisados como extremidades de vetores que se iniciam em 0 0 e terminam nesse ponto Assim ao aplicarmos a transformada T essas extremidades sofreram alteração Vamos determinar as imagens dos vértices pela transformação T TOA 2 00 20000 TOB 2 00 21020 e TOC 2 00 20102 Agora o triângulo terá novos vértices em 0 0 2 0 e 0 2 tendo uma área dada por 12222 Repare que cada lado do triângulo foi dobrado provocando um aumento de área em 4 vezes Portanto é possível por meio de operadores lineares produzir transformações geométricas no plano Podem ser citadas por exemplo as reflexões as rotações os cisalhamentos bem como as contrações ou expansões O exemplo a seguir mostra uma rotação no plano gerada por uma transformação linear EXEMPLO 3 Seja TR2R2 tal que Tu v 22x22y 22x22y determine a figura formada pela imagem do quadrado de vértices nos pontos 1 1 1 1 1 1 e 1 1 SOLUÇÃO A matriz canônica será A 22 2222 22 Dessa forma 22222222110 2 2222222112 0 22222222112 022222222110 2 Repare que o quadrado de lado 2 foi transformado em outro quadrado de lado 2 porém rotacionado em relação ao eixo x por um ângulo de 45 no sentido antihorário Para você verificar que o lado do quadrado inclinado é do mesmo tamanho basta fazer a distância entre dois vértices usando a fórmula da distância entre dois pontos e verificar que ainda vale 2 Um exemplo de aplicação da transformação de rotação seria transformar equações de figuras cônicas que fossem inclinadas em relação ao eixo x e y em equações canônicas sem termos retângulo facilitando assim o cálculo dos elementos da figura geométrica EXEMPLOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO PLANO E SUA PROPRIEDADE GEOMÉTRICA a Rotação Antihorária de um ângulo cossensencos b Rotação horária de um ângulo cossensencos c Reflexão em relação à origem xyxy 1001 d Reflexão em relação ao eixo x xyxy 1001 e Reflexão em relação ao eixo y xyxy 1001 f Reflexão em relação à reta x y xyxy 0110 g Reflexão em relação à reta x y xyyx 0110 h Expansão ou Contração por k real k0 xykxky k00k Obs se k1 expansão e se 0k1 contração Se k0 além de contrairexpandir o elemento será refletido em relação à origem i Expansão ou Contração por k real k0 no sentido de x xykxy k000 Obs se k1 expansão e se 0k1 contração Se k0 além de contrairexpandir o elemento será refletido em relação ao eixo y j Expansão ou Contração por k real k0 no sentido de y xyxky 000k Obs se k1 expansão e se 0k1 contração Se k0 além de contrairexpandir o elemento será refletido em relação ao eixo x k Cisalhamento Horizontal com k real k0 xyxky y 1k01 Obs Se k0 o deslocamento será no sentido do x e se k0 o deslocamento será no sentido negativo de x l Cisalhamento Vertical com k real k0 xyx ykx 10k1 Obs Se k0 o deslocamento será no sentido do y e se k0 o deslocamento será no sentido negativo de y TRANSFORMAÇÕES ORTOGONAIS Pela teoria de matrizes uma matriz será ortogonal quando a inversa da matriz é igual à sua transposta Quando a matriz canônica de uma transformada linear for ortogonal dizse que a Transformação linear é ortogonal As transformações ortogonais têm uma propriedade importante pois mantêm os comprimentos e ângulos entre os elementos transformados Essa propriedade tem grandes aplicações pois não distorce a figura plana que está sendo transformada Veja os exemplos anteriores A matriz canônica 2002 não é ortogonal e provocou após a sua aplicação uma alteração no tamanho da figura triângulo não mantendo os comprimentos De forma contrária a matriz 2222222 é ortogonal pois sua inversa é igual a sua transposta Repare que mesmo com a rotação os comprimentos distâncias e ângulos foram mantidos DICA Uma dica importante para relembramos é que o determinante de uma matriz ortogonal é igual a 1 Assim se a matriz tiver determinante diferente disso não será ortogonal TEORIA NA PRÁTICA Um programador precisa criar um programa que altere uma figura plana O programa precisa rodar uma figura de 30 no sentido horário e depois ampliála por 3 na direção horizontal Determine a matriz da transformação linear que realiza simultaneamente estas operações RESOLUÇÃO Vídeo 1 Transformação Linear no Plano Para assistir a um vídeo sobre o assunto acesse a versão online deste conteúdo MÃO NA MASSA 1 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A IMAGEM DO VETOR 3 5 PELA TRANSFORMAÇÃO TR2R2 TAL QUE T X Y Y Y X A 52 B 25 C 41 D 14 2 A IMAGEM DO VETOR 1 2 EM RELAÇÃO À TRANSFORMADA T DE MATRIZ CANÔNICA 1K12 VALE 33 OBTENHA O VALOR DE K REAL A 0 B 1 C 2 D 3 3 ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR T R2R2 ORTOGONAL A Txy 12x32y32x B Txy x y x C Txy 12x32y32x 12y D Txy 2x 3y 4 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O MÓDULO DA IMAGEM DO VETOR 1 1 VIA OPERADOR LINEAR COM MATRIZ CANÔNICA 12323212 A 1 B 2 C 3 D 2 5 APLICASE A UM RETÂNGULO DE VÉRTICES 3 2 3 2 3 2 E 3 2 UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR TR2R2 TAL QUE TU V 12U32V 32U12V MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A IMAGEM DO RETÂNGULO APÓS A SUA TRANSFORMAÇÃO POR T A Um retângulo com mesmo tamanho de lados porém rotacionado 300 no sentido horário em relação ao original B Um retângulo com tamanho de lados alterado porém rotacionado 300 no sentido antihorário em relação ao original C Um retângulo com mesmo tamanho de lados porém rotacionado 600 no sentido antihorário em relação ao original D Um retângulo com tamanho de lados alterado porém rotacionado 600 no sentido horário em relação ao original 6 UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR T É APLICADA A UM QUADRADO CENTRADO NA ORIGEM COM LADOS PARALELOS AO EIXO E DE LADO 2 SABESE QUE ESSA TRANSFORMAÇÃO LINEAR T TEM UMA MATRIZ CANÔNICA 1401 MARQUE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA A IMAGEM OBTIDA PELA APLICAÇÃO DE T NO REFERIDO QUADRADO A Um retângulo B Um quadrado C Um paralelogramo D Um triângulo GABARITO 1 Marque a alternativa que apresenta a imagem do vetor 3 5 pela transformação TR2R2 tal que T x y y y x Tu 0 11 1xy Assim T35 0 11 135535 52 2 A imagem do vetor 1 2 em relação à transformada T de matriz canônica 1k12 vale 33 Obtenha o valor de k real Tu 1k12xy Assim T 12 0k121212k14 12k 3 33 Logo 12k 3 2k 2 k 1 3 Assinale a alternativa que apresenta uma transformação linear T R2R2 ortogonal As alternativas a e d apresentam matrizes canônicas com determinantes diferentes de 1 assim estas TL não são ortogonais Repare que a alternativa b não é uma matriz ortogonal pois sua transposta é diferente de sua matriz inversa A alternativa c é a única que apresenta uma matriz canônica ortogonal pois Se A 12 3232 12AT 12 3232 12 A1 1abbcdcba11434 12 3232 12 12 3232 12 AT Assim Txy 12x32y 32x 12y é a única transformação ortogonal 4 Marque a alternativa que apresenta o módulo da imagem do vetor 1 1 via operador linear com matriz canônica 12323212 Tu 1232321211 Assim T 11 1232321211132 132 T11 1322 1322 2 Essa é uma solução mais rápida pois como a matriz canônica é ortogonal e a TL é ortogonal não se alteram os comprimentos Assim o módulo se mantém e vale 1212 2 5 Aplicase a um retângulo de vértices 3 2 3 2 3 2 e 3 2 uma transformação linear TR2R2 tal que Tu v 12u32v 32u12v Marque a alternativa que apresenta a imagem do retângulo após a sua transformação por T Vídeo 2 Transformação Linear no Plano 6 Uma transformação linear T é aplicada a um quadrado centrado na origem com lados paralelos ao eixo e de lado 2 Sabese que essa transformação linear T tem uma matriz canônica 1401 Marque a alternativa que representa a imagem obtida pela aplicação de T no referido quadrado Vídeo 3 Transformação Linear no Plano Para assistir a um vídeo sobre o assunto acesse a versão online deste conteúdo Para assistir a um vídeo sobre o assunto acesse a versão online deste conteúdo GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR T R2 R2 TAL QUE TX Y 3X Y X 2Y DETERMINE A IMAGEM TU COM U IGUAL A 7 1 A 8 12 B 9 20 C 20 9 D 12 8 2 UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR T É APLICADA A UM RETÂNGULO DE LADOS 1 2 1 4 2 2 E 2 4 SABESE QUE ESSA TRANSFORMAÇÃO LINEAR T É DE CISALHAMENTO VERTICAL POSSUINDO UMA MATRIZ CANÔNICA 1031 MARQUE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA A IMAGEM OBTIDA PELA APLICAÇÃO DE T NO REFERIDO RETÂNGULO A Um retângulo B Um quadrado C Um paralelogramo D Um triângulo GABARITO Para assistir a um vídeo sobre o assunto acesse a versão online deste conteúdo 6 Uma transformação linear T é aplicada a um quadrado centrado na origem com lados paralelos ao eixo e de lado 2 Sabese que essa transformação linear T tem uma matriz canônica 1401 Marque a alternativa que representa a imagem obtida pela aplicação de T no referido quadrado Vídeo 3 Transformação Linear no Plano Para assistir a um vídeo sobre o assunto acesse a versão online deste conteúdo 1 Uma transformação linear T R2 R2 tal que Tx y 3x y x 2y Determine a imagem Tu com u igual a 7 1 A alternativa C está correta Tu 3112xy Assim T71 311271 37111721 209 2 Uma transformação linear T é aplicada a um retângulo de lados 1 2 1 4 2 2 e 2 4 Sabese que essa transformação linear T é de cisalhamento vertical possuindo uma matriz canônica 1031 Marque a alternativa que representa a imagem obtida pela aplicação de T no referido retângulo A alternativa C está correta Tv 1031xy Assim TA 103112 15 e TB 103114 17 TC 103122 28 e TQ 103124 210 Portanto a nova figura formada será um paralelogramo MÓDULO 4 Aplicar o conceito de autovalores e autovetores em sistemas e transformações lineares INTRODUÇÃO Este módulo apresenta o conceito de autovalor e autovetor e suas aplicações nas teorias matriciais O conceito de autovalores e autovetores está associado a uma transformação linear ou a uma matriz O autovetor será o vetor que tem a propriedade de ao ser multiplicado pela matriz ter como resultado ele mesmo vezes um número real que será denominado de autovalor AUTOVALOR E AUTOVETOR Autor macrovector Fonte Freepik Seja T uma Transformação Linear dizse que um vetor w não nulo é um autovetor da transformação T se existir λ R tal que Tw λw O número real λ relacionado ao autovetor w é denominado de autovalor de T associado ao autovetor w ATENÇÃO Cuidado normalmente cada autovalor está associado a um conjunto de autovetores e não apenas a um autovetor Como a transformada T está associada a uma matriz canônica A então os autovetores e autovalores também podem ser associadas a uma matriz A tal que Aw λw com w vetor não nulo EXEMPLO 1 Seja a transformação linear TR2 R2 definida por Tx y y 9x para x y 0 0 Determine os autovetores e autovalores associados da transformação T SOLUÇÃO Se w é autovetor de T então Tw λw λ real λxyλy9xλxy0λy9x0 Como esse sistema é homogêneo para ter uma solução além da solução trivial 0 0 o determinante incompleto do sistema deve ser nulo λ 19 λ λλ19λ290λ3 Se λ 3 3xy3y9xy3x wxya3a com a real Se λ 3 3xy3y9xy3x wxya3a com a real Assim a transformada T tem por exemplo os autovetores w 1 3 associados ao autovalor 3 e o autovetor w 1 3 associado ao autovalor 3 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO Seja A uma matriz quadrada de ordem n dizse que polinômio característico de A é um polinômio tal que pA λ det A λI onde I é a matriz identidade de ordem n EXEMPLO 2 Seja a matriz A 1231 determine o polinômio característico da matriz A SOLUÇÃO pA λ det A λI 1λ221λ 1λ1λ221λλλ24 pA λ λ25 O polinômio característico é importante pois é por ele que é possível obter os autovalores de uma matriz A Um número real λ só será autovalor da matriz A se for raiz do polinômio característico de A isto é pAλ 0 A demonstração disso é simples pois se pAλ 0 det A λI Assim A λI w 0 para todo w não nulo logo Aw λIw 0 Aw λw 0 Então Aw λw portanto w é autovetor de A Existem algumas aplicações dos autovalores na teoria de matrizes Se λ1 λ2 λn são autovalores da matriz A então det A λ1 λ2 λn1 λn Se λ1 λ2 λn são autovalores da matriz A então traço de A λ1 λ2λn Se a matriz A for uma matriz diagonal ou triangular superior ou inferior os autovalores de A são então os elementos de sua diagonal principal Uma matriz só vai ser invertível se λ 0 não for um de seus autovalores TEORIA NA PRÁTICA Uma forma de achar a solução de um sistema linear com matriz canônica A é resolver o sistema Ax b pela solução x A1b onde b é a matriz de termos independentes Um sistema linear tem matriz canônica dada pela matriz A 101011112 Verifique se a matriz A apresenta matriz inversa por meio da análise de seus autovalores para buscar a solução do sistema RESOLUÇÃO Vídeo 1 Autovalores e Autovetores Para assistir a um vídeo sobre o assunto acesse a versão online deste conteúdo MÃO NA MASSA 1 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O POLINÔMIO CARACTERÍSTICO NA MATRIZ RELACIONADA AO SISTEMA LINEAR 2XY44Y3X7 A 2λ3 B λ28λ1 C λ26λ11 D λ26λ4 2 SEJA W 363 UM AUTOVETOR DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR COM MATRIZ CANÔNICA 401232104 DETERMINE O SEU AUTOVALOR CORRESPONDENTE A 5 B 4 C 3 D 2 3 UMA MATRIZ 2 X 2 APRESENTA TRAÇO IGUAL A 4 E DETERMINANTE IGUAL A 5 SE Λ1 E Λ2 SÃO OS AUTOVALORES DESTA MATRIZ COM Λ1 Λ2 DETERMINE 2Λ1 Λ2 A 9 B 11 C 13 D 15 4 MARQUE ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM AUTOVETOR DA MATRIZ 2442 A 3 0 B 1 2 C 2 2 D 0 3 5 MARQUE ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM AUTOVETOR E SEU AUTOVALOR ASSOCIADO RESPECTIVAMENTE PARA A TRANSFORMAÇÃO LINEAR 4X Y 92X Y 1 A 1 1 e 2 B 4 4 e 3 C 2 1 e 3 D 1 2 e 2 6 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM AUTOVETOR E SEU AUTOVALOR ASSOCIADO RESPECTIVAMENTE PARA A TRANSFORMAÇÃO LINEAR XY2Z 2X2YZ12XYZ1 A 2 1 2 e 0 B 2 0 2 e 3 C 2 2 2 e 3 D 2 0 2 e 3 GABARITO 1 Marque a alternativa que apresenta o polinômio característico na matriz relacionada ao sistema linear 2xy44y3x7 A matriz referente ao sistema vale 2134 Seu polinômio característico é obtido por PAλ det A λI Assim Paλ 2λ134λPaλ 2λ 4λ1382λ4λλ23 Logo PAλ λ2 6λ 11 2 Seja w 363 um autovetor da transformação linear com matriz canônica 401232104 Determine o seu autovalor correspondente Se w e autovalor de T então Tw λw Assim 401232104 w λw401232104363 λ363 4306133λ2336236λ1306433λλ5 3 Uma matriz 2 x 2 apresenta traço igual a 4 e determinante igual a 5 Se λ1 e λ2 são os autovalores desta matriz com λ1 λ2 determine 2λ1 λ2 Se a matriz é 2 x 2 ela possui 2 autovalores Como o traço vale 4 a soma dos autovalores vale 4 e como o determinante vale 5 o produto dos autovalores vale 5 λ1 λ2 4λ1λ2 5λ1 5λ14λ1254λ1λ124λ150 λ141620246251 Se λ1 5λ2 5λ1551 e λ2 1λ2 5λ1515 Como λ1 λ2 λ1 5 e λ2 1 Assim 2λ1 λ2 10 1 11 A única alternativa que tem um autovetor é a letra b 4 Marque alternativa que apresenta um autovetor da matriz 2442 Se w e autovalor de T então Tw λw Vamos obter os autovalores da matriz 2λ442λ 2λ2λ16044λλ2160 λ24λ120 λ41648248262 Assim os autovalores são 6 e 2 Para λ 6 2442xy 6xy2x 4y 6x4x 2y 6y4x4yxy Portanto qualquer vetor do tipo k k k real é um autovetor associado ao autovalor 6 Para λ 2 2442xy 2xy2x 4y 2x4x 2y 2yxy Assim qualquer vetor do tipo k k k real é um autovetor associado ao autovalor 2 A única alternativa que tem um autovetor é a letra c 5 Marque alternativa que apresenta um autovetor e seu autovalor associado respectivamente para a transformação linear 4x y 92x y 1 Vídeo 2 Autovalores e Autovetores 6 Marque a alternativa que apresenta um autovetor e seu autovalor associado respectivamente para a transformação linear xy2z 2x2yz12xyz1 GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 SEJA W 222 UM AUTOVETOR DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR COM MATRIZ CANÔNICA 121112211 DETERMINE O SEU AUTOVALOR CORRESPONDENTE A 3 B 2 C 1 D 0 2 MARQUE ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM AUTOVETOR DA MATRIZ 60162 A 3 0 B 1 2 C 4 2 D 3 3 GABARITO 1 Seja w 222 um autovetor da transformação linear com matriz canônica 121112211 Determine o seu autovalor correspondente A alternativa D está correta Se w e autovalor de T então Tw λw Assim 1 2 11 1 2211 wλw 1 2 11 1 2 2 1 1222λ222 1222122λ 1212222λ λ0 2212122λ 2 Marque alternativa que apresenta um autovetor da matriz 60162 A alternativa C está correta Se w e autovalor de T então Tw λw Vamos obter os autovalores da matriz 6λ 016 2λ 6λ2λ00 6λ2λλ6λ20 Os autovalores são 6 e 2 Para λ 2 6 016 2xy2xy6x 2x16x 2y 2yx0 e vy Assim qualquer vetor do tipo 0 k k real é um autovetor associado ao autovalor 2 Não existe nenhuma alternativa com autovetor do tipo 0 k k real Para λ 6 6 016 2xy6xy6x 6x16x 2y 6y16x8y2xy Assim qualquer vetor do tipo 2k k k real é um autovetor associado ao autovalor 6 A única alternativa que tem vetor do tipo 2k k é a letra c CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao longo dos quatro módulos foi apresentado o conceito de sistemas lineares e de transformações lineares Nos dois primeiros módulos foi definido e classificado um sistema linear e foram apresentados métodos de resolução para um sistema No terceiro módulo foi estudada a transformação linear no plano e analisada a sua visualização geométrica com diversas aplicações práticas Por fim os conceitos de autovalor e autovetor de uma matriz ou de uma transformação foram analisado REFERÊNCIAS ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 APOSTOL T M Cálculo Volume 1 1 ed Barcelona Editorial Reverte SA 1985 HOFFMAN K KUNZE R Linear Algebra 2 ed Nova Jersey PrenticeHall 1971 EXPLORE Pesquise mais sobre sistemas lineares e transformações lineares nas obras das nossas referências CONTEUDISTA Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira CURRÍCULO LATTES