Limites de Funções: Conceitos e Propriedades com Exemplos

Paula Castro ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS Intuitivamente dizemos que uma função fx tem limite L quando x tende para a se é possível tomar fx arbitrariamente próximo de L desde que tomamos valores de x x a suficientemente próximos de a Formalmente temos Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a Seja f uma função definida em I exceto possivelmente no próprio a Dizemos que o limite de fx quando x tende a a é L e escrevemos lim fx L se para todo ε 0 existir um δ 0 tal que se 0 xa δ então fxL ε Em símbolos temos lim fx L ε 0 δ 0 0 xa δ fxL ε Observação Para a definição do limite quando x tende a a não é necessário que a função esteja definida em a e pode ocorrer que a função esteja definida em a e lim fx fa O que interessa é o comportamento de fx quando x se aproxima de a e não o que ocorre com f quando x a 1 Considere a função fx 2x1x1x1 definida para todo x real e x 1 Assim se x 1 então fx 2x 1 Vamos mostrar usando a definição que lim fx 3 Devemos mostrar que dado ε 0 existe δ 0 tal que se 0 x1 δ então fx3 ε Dado ε 0 tomemos δ ε2 Logo obtemos 0 x1 δ 0 x1 ε2 fx3 2x13 2x2 2x1 2ε2 ε Portanto lim fx 3 2 Seja f R R definida por fx 2x 1 se x 1 5 se x 1 Temos lim fx lim2x 1 3 f1 Demonstre usando a definição que lim3x2 4 UNICIDADE DO LIMITE LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL PROPRIEDADES DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL Teorema 2 O limite de uma função polinomial fx a₀ a₁x a₂x² aₙxⁿ i0 to n aᵢxⁱ aᵢ R para x tendendo para a é igual ao valor numérico de fx para x a ou seja lim xa fx fa Demonstração É claro que lim xa x a pois dado ε 0 tome δ ε e se 0 xa δ ε então xa ε Assim lim xa xⁱ lim xa xⁱ aⁱ para i123n Temos então lim xa fx lim xa i0 to n aᵢxⁱ i0 to n lim xa aᵢxⁱ i0 to n aᵢ lim xa xⁱ i0 to n aᵢ aⁱ fa EXERCÍCIOS CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL EXERCÍCIOS CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL EXERCÍCIOS CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL EXERCÍCIOS CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL FORMA INDETERMINADA CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL EXEMPLOS CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL LEMBRANDO CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL Obrigada