Notas de Aula: Pilares de Concreto Armado

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP Campus de BauruSP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil Disciplina 1309 ESTRUTURAS DE CONCRETO II NOTAS DE AULA PILARES DE CONCRETO ARMADO Prof Dr PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS wwwpfebunespbrpbastos ALUNOS COLABORADORES Antonio Carlos de Souza Jr Caio Gorla Nogueira João Paulo Pila DAloia Rodrigo Fernando Martins BauruSP Junho2005 APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 1309 Estruturas de Concreto II do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da Universidade Estadual Paulista UNESP Campus de BauruSP O texto apresenta parte das prescrições contidas na nova NBR 61182003 Projeto de estruturas de concreto Procedimento versão corrigida para o dimensionamento de pilares de concreto armado O dimensionamento dos pilares é feito com base nos métodos do pilar padrão com curvatura e rigidez aproximadas Outros métodos mais exatos e aqueles simplificados constantes da norma não são apresentados Ainda são estudados os pilares de seção retangular e de nós fixos contraventados com índice de esbeltez até 90 A apresentação do dimensionamento dos pilares é feita em função da classificação usual dos pilares ou seja pilares intermediários de extremidade e de canto Vários exemplos numéricos estão apresentados para cada um deles Os itens 2 e 3 Requisitos de Qualidade das Estruturas e Cobrimento da Armadura não são específicos dos pilares porém foram inseridos na apostila porque são importantes no projeto das estruturas de concreto especialmente o cobrimento e contém alterações em relação à versão anterior da norma No item 4 Conceitos Iniciais são apresentadas algumas informações básicas iniciais e os conceitos relativos ao chamado Pilar Padrão cujo modelo é utilizado pela NBR 611803 para a determinação aproximada dos momentos fletores de segunda ordem Por último são apresentados exemplos numéricos de dimensionamento de pilares de um edifício baixo e com planta de fôrma simples A apostila é uma versão inicial do estudo dos pilares de concreto armado que não esgota todas as informações Por isso o aprendizado deve ser complementado com o estudo dos textos sugeridos nas Referências Bibliográficas entre outras publicações Em versões posteriores serão acrescentadas novas informações com aplicação do estudo dos pilares nos edifícios considerando o sistema de contraventamento e a ação do vento Quaisquer críticas e sugestões serão muito bemvindas pois assim a apostila poderá ser melhorada O autor agradece aos alunos que colaboraram no estudo dos pilares de acordo com a nova norma e ao técnico Éderson dos Santos Martins pela confecção de vários desenhos SUMÁRIO Pág 1 INTRODUÇÃO 1 2 REQUISITOS DE QUALIDADE DAS ESTRUTURAS 1 3 COBRIMENTO DA ARMADURA 2 4 CONCEITOS INICIAIS 3 41 Solicitações Normais 3 42 Flambagem 4 43 NãoLinearidade Física e Geométrica 5 44 Equação da Curvatura de Peças Fletidas 6 45 Compressão Axial 8 46 Pilar Padrão 9 5 CLASSIFICAÇÃO E DEFINIÇÕES DAS ESTRUTURAS DOS EDIFÍCIOS 10 51 Contraventamento das Estruturas 10 52 Estruturas de Nós Fixos e Móveis 11 53 Elementos Isolados 13 6 ÍNDICE DE ESBELTEZ 13 7 EXCENTRICIDADES 15 71 Excentricidade de 1a Ordem 15 72 Excentricidade Acidental 15 73 Excentricidade de 2a Ordem 16 74 Excentricidade Devida à Fluência 17 8 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM 18 81 Método do PilarPadrão com Curvatura Aproximada 18 82 Método do PilarPadrão com Rigidez κ Aproximada 19 9 SITUAÇÕES BÁSICAS DE PROJETO 20 91 Pilar Intermediário 20 92 Pilar de Extremidade 21 93 Pilar de Canto 22 10 DETERMINAÇÃO DA SEÇÃO SOB O MÁXIMO MOMENTO FLETOR 23 11 SITUAÇÕES DE PROJETO E DE CÁLCULO 24 111 Pilar Intermediário 25 112 Pilar de Extremidade 25 113 Pilar de Canto 26 12 CÁLCULO DA ARMADURA COM AUXÍLIO DE ÁBACOS 27 121 Flexão Composta Normal 27 122 Flexão Composta Oblíqua 28 13 CÁLCULO DOS PILARES INTERMEDIÁRIOS 29 131 Roteiro de Cálculo 29 132 Exemplos Numéricos 30 1321 Exemplo Numérico 1 30 1322 Exemplo Numérico 2 33 14 CÁLCULO DOS PILARES DE EXTREMIDADE 36 141 Roteiro de Cálculo 36 142 Exemplos Numéricos 37 1421 Exemplo Numérico 1 37 1422 Exemplo Numérico 2 41 1423 Exemplo Numérico 3 45 1424 Exemplo Numérico 4 48 15 CÁLCULO DOS PILARES DE CANTO 51 151 Roteiro de Cálculo 51 152 Exemplos Numéricos 51 1521 Exemplo Numérico 1 51 1522 Exemplo Numérico 2 55 1523 Exemplo Numérico 3 58 16 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 61 161 Relação Entre a Dimensão Mínima e o Coeficiente de Segurança 61 162 Armadura Longitudinal 62 1621 Diâmetro Mínimo 62 1622 Distribuição Transversal 62 1623 Armadura Mínima e Máxima 63 1624 Detalhamento da Armadura 63 1625 Proteção Contra Flambagem 64 163 Armadura Transversal 65 17 ESTIMATIVA DA CARGA VERTICAL POR ÁREA DE INFLUÊNCIA 65 18 PRÉDIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL 66 19 EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE EDIFÍCIOS 67 191 Pilar Intermediário P8 69 192 Pilar de Extremidade P6 72 193 Pilar de Extremidade P5 77 194 Pilar de Extremidade P2 81 195 Pilar de Canto P1 86 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 92 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 1 PILARES DE CONCRETO ARMADO 1 INTRODUÇÃO Pilares são elementos lineares de eixo reto usualmente dispostos na vertical em que as forças normais de compressão são preponderantes NBR 611803 item 14412 Pilaresparede são elementos de superfície plana ou casca cilíndrica usualmente dispostos na vertical e submetidos preponderantemente à compressão Podem ser compostos por uma ou mais superfícies associadas Para que se tenha um pilarparede em alguma dessas superfícies a menor dimensão deve ser menor que 15 da maior ambas consideradas na seção transversal do elemento estrutural item 14424 O dimensionamento dos pilares é feito em função dos esforços externos solicitantes de cálculo que compreendem os esforços normais Nd os momentos fletores Mdx e Mdy e os esforços cortantes Vdx e Vdy no caso de ação horizontal A nova NBR 611803 fez modificações em algumas das metodologias de cálculo das estruturas de concreto armado como também em alguns parâmetros aplicados no dimensionamento e verificação das estruturas Especial atenção é dada à questão da durabilidade das peças de concreto Particularmente no caso dos pilares a nova norma introduziu várias modificações como nos valores das excentricidades acidental e de 2a ordem um maior cobrimento de concreto uma nova metodologia para o cálculo da esbeltez limite relativa à consideração ou não dos momentos fletores de 2a ordem e principalmente com a consideração de um momento fletor mínimo que pode substituir o momento fletor devido à excentricidade acidental No item 1725 Processos aproximados para o dimensionamento à flexão composta a NBR 611803 apresenta métodos simplificados de pilares retangulares ou circulares sob flexão composta normal e oblíqua Esses processos simplificados não serão apresentados porque os processos mais exatos indicados pela norma são simples de serem aplicados Os próximos dois itens não são específicos dos pilares porém foram inseridos na apostila porque são importantes no projeto das estruturas de concreto especialmente o cobrimento e contém alterações em relação à versão anterior da norma 2 REQUISITOS DE QUALIDADE DAS ESTRUTURAS A NBR 611803 item 51 propõe requisitos gerais de qualidade das estruturas de concreto e a avaliação de conformidade do projeto De um modo geral as estruturas de concreto devem atender aos requisitos mínimos de qualidade durante sua construção e ao longo de toda sua vida útil Os requisitos de qualidade de uma estrutura de concreto são a capacidade resistente consiste basicamente na segurança à ruína da estrutura b desempenho em serviço consiste na capacidade da estrutura manterse em condições plenas de utilização não devendo apresentar danos decorrentes de fissuração deformações vibrações excessivas etc que comprometam em parte ou totalmente o uso para o qual foram projetadas c durabilidade consiste na capacidade da estrutura resistir às influências ambientais previstas durante o período correspondente à sua vida útil Por vida útil de projeto 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 2 entendese o período de tempo durante o qual se mantém as características definidas para as estruturas de concreto Quanto ao projeto a qualidade da solução estrutural adotada deve considerar as condições arquitetônicas funcionais construtivas estruturais e a conformidade com os outros projetos como o elétrico o hidráulico e o de ar condicionado Um dos fatores importantes que influem na durabilidade das estruturas de concreto armado é a qualidade do concreto utilizado bem como a espessura do cobrimento da armadura 3 COBRIMENTO DA ARMADURA Definese como cobrimento de armadura item 74 da NBR 611803 a espessura da camada de concreto responsável pela proteção da armadura ao longo da estrutura Essa camada iniciase a partir da face externa das barras da armadura transversal estribos ou da armadura mais externa e se estende até a face externa da estrutura em contato com o meio ambiente Para garantir o cobrimento mínimo cmín o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal cnom que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução c c c c mín nom Eq 1 Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm Esse valor pode ser reduzido para 5 mm quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução das estruturas de concreto Em geral o cobrimento nominal de uma determinada barra deve ser n c c n feixe nom barra nom φ φ φ φ Eq 2 A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto não pode superar em 20 a espessura nominal do cobrimento ou seja nom max c 21 d Eq 3 Para determinar a espessura do cobrimento é necessário antes definir a classe de agressividade ambiental a qual a estrutura está inserida Segundo a NBR 611803 item 642 Nos projetos das estruturas correntes a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo com o apresentado na Tabela 61 e pode ser avaliada simplificadamente segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes A Tabela 61 está apresentada na Tabela 1 A Tabela 2 Tabela 72 na NBR 611803 mostra os valores para o cobrimento nominal de lajes vigas e pilares para a tolerância de execução c de 10 mm em função da classe de agressividade ambiental conforme mostrada na Tabela 1 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 3 Tabela 1 Classes de agressividade ambiental Classe de agressividade ambiental Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto Risco de deterioração da estrutura Rural I Fraca Submersa Insignificante II Moderada Urbana1 2 Pequeno Marinha1 III Forte Industrial1 2 Grande Industrial1 3 IV Muito forte Respingos de maré Elevado Notas 1 Podese admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda um nível acima para ambientes internos secos salas dormitórios banheiros cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura 2 Podese admitir uma classe de agressividade mais branda um nível acima em obras em regiões de clima seco com umidade relativa do ar menor ou igual a 65 partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde chove raramente 3 Ambientes quimicamente agressivos tanques industriais galvanoplastia branqueamento em indústrias de celulose e papel armazéns de fertilizantes indústrias químicas Tabela 2 Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para c 10 mm Classe de agressividade ambiental I II III IV2 Tipo de estrutura Componente ou Elemento Cobrimento nominal mm Laje1 20 25 35 45 Concreto Armado VigaPilar 25 30 40 50 Notas 1 Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho pisos cerâmicos pisos asfálticos e outros tantos as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7475 respeitado um cobrimento nominal 15 mm 2 Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios estações de tratamento de água e esgoto condutos de esgoto canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm 4 CONCEITOS INICIAIS 41 SOLICITAÇÕES NORMAIS Os pilares sob esforços normais podem também estar submetidos a esforços de flexão Dessa forma os pilares poderão estar sob os seguintes casos de solicitação a Compressão Simples A compressão simples também é chamada compressão centrada ou compressão uniforme A aplicação da força normal de cálculo Nd é no centro geométrico CG da peça cujas tensões na seção transversal são uniformes Figura 1 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 4 CG N N d d Figura 1 Compressão simples ou uniforme b Flexão Composta Na flexão composta ocorre a atuação conjunta de força normal e momento fletor sobre a peça Há dois casos Flexão Composta Normal ou Reta existe a força normal e um momento fletor numa direção Figura 2a Flexão Composta Oblíqua existe a força normal e dois momentos fletores em duas direções Figura 2b e x x y y N N d d e1x 1x e e1y a normal b oblíqua Figura 2 Tipos de flexão composta 42 FLAMBAGEM Flambagem pode ser definida como o deslocamento lateral na direção de maior esbeltez com força menor do que a de ruptura do material ou a instabilidade de peças esbeltas comprimidas A ruína por efeito de flambagem é repentina e violenta mesmo que não ocorram acréscimos bruscos nas ações aplicadas Uma barra comprimida feita por alguns tipos de materiais pode resistir a cargas substancialmente superiores à carga crítica Ncrít o que significa que a flambagem não corresponde a um estado limite último No entanto para uma barra comprimida de concreto armado a flambagem caracteriza um estado limite último 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 5 43 NÃOLINEARIDADE FÍSICA E GEOMÉTRICA No dimensionamento de alguns elementos estruturais especialmente os pilares é importante considerar duas linearidades que ocorrem sendo elas a nãolinearidade física Quando o material não obedece à lei de Hooke como materiais com diagramas σ x ε mostrados nas Figura 3b e 3c As Figura 3a e 3d mostram materiais onde há linearidade física b nãolinearidade geométrica Ocorre quando as deformações provocam esforços adicionais que precisam ser considerados no cálculo gerando os chamados esforços de segunda ordem como indicado na Figura 4 σ Eε HOOKE σ ε a elástico linear σ CARGA ε DESCARGA RUPTURA b elástico nãolinear CARGA σ RUPTURA DESCARGA ε CONCRETO c elastoplástico σ ε d elastoplástico ideal Figura 3 Diagramas σ x ε de alguns materiais O concreto simples apresenta comportamento elastoplástico em ensaios de compressão simples com um trecho inicial linear até aproximadamente 030 fc F l a posição inicial y F r l 2l e a y l x b posição final Figura 4 Nãolinearidade geométrica originando esforços de segunda ordem 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 6 44 EQUAÇÃO DA CURVATURA DE PEÇAS FLETIDAS A determinação dos efeitos locais de 2a ordem em barras comprimidas pode ser feita por métodos aproximados entre eles o do pilar padrão com curvatura aproximada como preconizado na NBR 611803 Com o intuito de subsidiar a apresentação do pilar padrão que se fará adiante apresentase a equação da curvatura de elementos fletidos item já estudado em Resistência dos Materiais Considerando a lei de Hooke σ E ε a equação da curvatura de peças fletidas como aquela mostrada na Figura 5 tem a seguinte dedução dx ε dx E dx dx σ Eq 4 Aplicando I y σ M na Eq 4 fica E I y M dx dx E I dx M y dx O comprimento dx pode ser escrito dx r dφ E I dx M y dx r dx d φ Eq 5 Rearranjando os termos da Eq 5 chegase a equação da curvatura E I M r 1 dx d φ Eq 6 x v y 0 dØ dx dx dx ε1 ε2 r Figura 5 Curvatura de uma peça fletida 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 7 Do cálculo diferencial temse a expressão exata da curvatura linha elástica 32 2 2 2 dx dy 1 dx y d r 1 Eq 7 Para pequenos deslocamentos pequena inclinação temse 2 dx dy 1 o que leva a 2 2 dx d y r 1 Eq 8 Juntando as Eq 6 e 8 encontrase a equação aproximada para a curvatura E I M dx d y r 1 2 2 Eq 9 A relação existente entre a curvatura e as deformações nos materiais concreto e aço da peça considerandose a lei de Navier ε y 1r como mostrado na Figura 6 é h r 1 2 1 ε ε Eq 10 s 1 ε2 c 1r ε ε ε h d Figura 6 Relação entre as deformações nos materiais e a curvatura Para o concreto armado a Eq 10 tornase d r 1 c s ε ε Eq 11 com εs deformação na armadura tracionada εc deformação no concreto comprimido d altura útil da peça 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 8 45 COMPRESSÃO AXIAL Considere a barra comprimida como mostrada na Figura 4 Como definido na Eq 8 a equação simplificada da curvatura é 2 2 dx d y r 1 O momento fletor externo solicitante é Mext F y Considerando a Eq 9 E I M dx y d 2 2 com material elástico linear e fazendo o equilíbrio entre o momento fletor externo e o momento fletor interno Mext Mint temse k y E I y F dx d y 2 2 2 0 k y dx d y 2 2 2 com k2 FEI A solução geral para a equação diferencial tem a forma y C1 sen k x C2 cos k x Eq 12 As condições de contorno para definição das constantes C1 e C2 são a para x 0 y 0 C1 0 C2 1 0 C2 0 A Eq 12 simplificase para y C1 sen k x Eq 13 b para x l 0 dx dy 0 k C cos k k C cos k x dx dy 1 x 1 x l l l Eq 14 Para barra fletida a constante C1 na Eq 14 deve ser diferente de zero o que leva a cos k l 0 k l π2 k π2l A Eq 13 toma a forma C sen 2 x y 1 l π Eq 15 Para x l o deslocamento y é igual ao valor a ver Figura 4 Portanto aplicando a Eq 15 a C sen 2 y 1 π donde resulta que C1 a Sendo 2l le le comprimento de flambagem e com a determinação da constante C1 definese a equação simplificada para a curvatura da barra comprimida e x a sen y l π Eq 16 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 9 46 PILAR PADRÃO O pilar padrão é uma simplificação do chamado Método Geral Consiste numa barra engastada na base e livre no topo com uma curvatura conhecida Figura 7 O pilar padrão é aplicável a barras de seção transversal constante e armadura constante em todo o comprimento da barra A verificação da segurança é feita arbitrandose deformações εc e εs tais que não ocorra o estado limite último de ruptura ou alongamento plástico excessivo na seção mais solicitada da peça FUSCO 1981 l e 1 2 x y e Nd Figura 7 Pilar padrão Como simplificação a linha elástica é tomada pela função senoidal definida na Eq 16 onde a é tomado igual a e2 deformação de 2a ordem conforme mostrado na Figura 7 e 2 x e sen y l π A primeira e a segunda derivada da equação fornecem x cos e dx dy e e 2 l l π π y x e sen dx y d 2 e 2 e 2 2 e 2 2 l l l π π π Considerando a Eq 8 2 2 dx d y r 1 da segunda derivada surge o valor para y em função da curvatura 1r r 1 y dx y d 2 e 2 2 2 π l r 1 y 2 e2 π l 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 10 Tomando y como o máximo deslocamento e2 temse r 1 e 2 2 e 2 π l Portanto com π2 10 o deslocamento no topo da barra é base 2 e 2 r 1 10 e l Eq 17 O deslocamento máximo e2 é chamado excentricidade de 2a ordem e será considerado no dimensionamento dos pilares como se verá adiante Tomando a Eq 11 e aço CA50 podese determinar o valor da curvatura 1r na base do pilar padrão d r 1 c s ε ε d 00557 0 d 0 0035 00207 0 d 0 0035 E f s yd A NBR 611803 item 158332 toma um valor convencional para a curvatura na base como h 0 005 50 h 0 005 r 1 ν Eq 18 com ν ni sendo um valor adimensional relativo à força normal Nd cd c d A f N ν Eq 19 onde Ac área da seção transversal fcd resistência de cálculo do concreto à compressão fckγc Daí o máximo momento fletor de segunda ordem é ν 50 h 0 005 10 N r 1 10 N N e M 2 e d base 2 e d 2 d 2d l l Eq 20 5 CLASSIFICAÇÃO E DEFINIÇÕES DAS ESTRUTURAS DOS EDIFÍCIOS 51 CONTRAVENTAMENTO DAS ESTRUTURAS Os edifícios devem ser projetados de modo a apresentarem a necessária estabilidade às ações verticais e horizontais ou seja devem apresentar a chamada estabilidade global Os pilares são os elementos destinados à estabilidade vertical porém é necessário projetar outros elementos mais rígidos que além de também transmitirem as ações verticais deverão garantir a estabilidade horizontal do edifício à ação do vento e de sismos onde existirem Ao mesmo tempo são esses elementos mais rígidos que garantirão a indeslocabilidade dos nós dos pilares menos rígidos 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 11 Com essas premissas classificamse os elementos verticais dos edifícios em elementos de contraventamento e elementos pilares contraventados Definese o sistema de contraventamento como o conjunto de elementos que proporcionarão a estabilidade horizontal do edifício e a indeslocabilidade ou quase indeslocabilidade dos pilares contraventados que são aqueles que não fazem parte do sistema de contraventamento A NBR 611803 item 1543 diz que por conveniência de análise é possível identificar dentro da estrutura subestruturas que devido à sua grande rigidez a ações horizontais resistem à maior parte dos esforços decorrentes dessas ações Essas subestruturas são chamadas subestruturas de contraventamento Os elementos de contraventamento são constituídos por pilares de grandes dimensões pilaresparede ou simplesmente paredes estruturais por treliças ou pórticos de grande rigidez núcleos de rigidez etc como mostrados na Figura 8 As lajes dos diversos pavimentos do edifício também podem participar da estabilidade horizontal ao atuarem como elementos de rigidez infinita no seu próprio plano o que se chama diafragma rígido fazendo a ligação entre elementos de contraventamento formados por pórticos por exemplo Segundo SÜSSEKIND 1984 p 175 Toda estrutura independentemente do número de andares e das dimensões em planta deve ter seu sistema de contraventamento estudado e adequadamente dimensionado Pilares ou Elementos de Contraventamentos Pilares Contraventados Figura 8 Pilares contraventados e elementos de contraventamento FUSCO 1981 52 ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS E MÓVEIS No item 1542 a NBR6118 define o que são estruturas de nós fixos e de nós móveis a Estruturas de nós fixos São aquelas em que os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e por decorrência os efeitos globais de 2a ordem são desprezíveis isto é se apresentam inferiores a 10 dos respectivos esforços de 1a ordem Figura 9 e 10 Nessas estruturas basta considerar os efeitos locais e localizados de 2a ordem 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 12 b Estruturas de nós móveis São aquelas em que os deslocamentos horizontais não são pequenos e em decorrência os efeitos globais de 2a ordem são importantes superiores a 10 dos respectivos esforços de 1a ordem Figura 9 e 10 Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2a ordem globais como os locais e localizados Pilares Contraventados Elementos de Contraventamento Flexível Rígido Figura 9 Pilares contraventados e elementos de contraventamento FUSCO 1981 As subestruturas de contraventamento podem ser de nós fixos ou de nós móveis de acordo com as definições acima Para verificar se a estrutura está sujeita ou não a esforços globais de 2a ordem ou seja se a estrutura pode ser considerada como de nós fixos lançase mão do cálculo do parâmetro de instabilidade α NBR 611803 item 1552 ou do coeficiente γz item 1553 Esses coeficientes serão estudados em profundidade na disciplina Estruturas de Concreto IV a Estrutura deslocável b Estrutura indeslocável Figura 10 Estruturas de nós fixos e móveis FUSCO 1981 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 13 Para mais informações sobre a estabilidade global dos edifícios devem ser consultados FUSCO 2000 e SÜSSEKIND 1984 53 ELEMENTOS ISOLADOS A NBR 611803 item 1544 classifica os elementos isolados como aqueles que a são elementos estruturais isostáticos b são elementos contraventados c são elementos que fazem parte das estruturas de contraventamento de nós fixos d são elementos das subestruturas de contraventamento de nós móveis desde que aos esforços nas extremidades obtidos numa análise de 1a ordem sejam acrescentados os determinados por análise global de 2a ordem Nesta apostila estudamse os chamados elementos contraventados 6 ÍNDICE DE ESBELTEZ O índice de esbeltez é a razão entre o comprimento de flambagem e o raio de giração nas direções a serem consideradas i λ le Eq 21 com o raio de giração sendo A I i Para seção retangular o índice de esbeltez é h 346 le λ Eq 22 onde le comprimento de flambagem i raio de giração da seção geométrica da peça seção transversal de concreto não se considerando a presença de armadura I momento de inércia A área da seção h dimensão do pilar na direção considerada O comprimento de flambagem de uma barra isolada depende das vinculações na base e no topo do pilar conforme os esquemas mostrados na Figura 11 Engaste A Simples A Simples A Simples Engaste Engaste E Elástico E Elástico E Móvel Livre F F F F el 07 L el 05 L e 05 L l L el 2 L l L e F B A A B A B A B B A L Figura 11 Comprimento de flambagem 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 14 Nas situações reais dos pilares contraventados nos edifícios geralmente os pilares não se encontram isolados como mostradas na Figura 11 A situação real de um pilar contraventado de edifício está mostrada na Figura 12 2 1 1 2 l l l FUNDAÇÃO 1 TETO 2 TETO n TETO n 2 TETO 1 TETO FUNDAÇÃO n n TETO l l e n l l 2 e l 2 3 l 1 e Figura 12 Situação real e simplificada para determinação do comprimento de flambagem de pilares contraventados de edifícios SÜSSEKIND 1984 Nas estruturas de nós indeslocáveis a NBR 61182003 permite a realização do cálculo de cada elemento comprimido isoladamente ou seja como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos que ali concorrem Assim o comprimento equivalente de flambagem le do elemento comprimido pilar suposto vinculado em ambas as extremidades deve ser o menor entre os seguintes valores l l l h o e Eq 23 com lo distância entre as faces internas dos elementos estruturais supostos horizontais que vinculam o pilar Figura 13 h altura da seção transversal do pilar medida no plano da estrutura em estudo l distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado h h Figura 13 Valores de l e l0 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 15 Para casos de determinação do comprimento de flambagem mais complexos recomendase a leitura de SÜSSEKIND 1984 v2 Em função do índice de esbeltez os pilares podem ser classificados como a Pilar curto se λ 35 b Pilar médio se 35 λ 90 c Pilar medianamente esbelto se 90 λ 140 d Pilar esbelto se 140 λ 200 Eq 24 Os pilares curtos e médios são a maioria dos pilares das construções Os pilares esbeltos são menos freqüentes 7 EXCENTRICIDADES Neste item são mostradas as excentricidades que podem ocorrer no dimensionamento dos pilares sendo elas excentricidade de 1a ordem excentricidade acidental excentricidade de 2a ordem e excentricidade devida à fluência 71 EXCENTRICIDADE DE 1a ORDEM A excentricidade de 1a ordem é devida à existência de momentos fletores externos solicitantes que podem ocorrer ao longo do comprimento do pilar ou devido ao ponto teórico de aplicação da força normal estar localizado fora do centro de gravidade da seção transversal Considerando a força normal de cálculo Nd e o momento fletor de cálculo Md independente de Nd a Figura 14 mostra os casos possíveis de excentricidade de 1a ordem N suposta centrada d N suposta aplicada à distância a do CG d N suposta centrada d N suposta aplicada à distância a do CG d 1e a Md e d 1 d e a 1 d M 1e 0 a a Md Md y y y y x x x x N N Nd Nd Nd Nd Figura 14 Casos possíveis de excentricidade de 1a ordem 72 EXCENTRICIDADE ACIDENTAL No caso da verificação de um lance de pilar dever ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar item 113342 da NBR 611803 Admitese que nos casos usuais a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do lance do pilar seja suficiente A imperfeição geométrica pode ser avaliada pelo ângulo 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 16 100 H 1 θ1 Eq 25 com H altura do lance em metro conforme mostrado na Figura 15 θ para estruturas de nós móveis e imperfeições locais 1300 para estruturas de nós fixos 1 400 1mín θ1máx 1200 Elemento de travamento θ θl l Hl Pilar de contraventamento Pilar contraventado l Hl2 ea θl ea θ a Elementos de travamento b Falta de retilinidade c Desaprumo do pilar tracionado ou comprimido no pilar Figura 15 Imperfeições geométricas locais A excentricidade acidental para um lance do pilar resulta do ângulo θ1 2 H e 1 a θ Eq 26 73 EXCENTRICIDADE DE 2a ORDEM Sob a ação das cargas verticais e horizontais os nós da estrutura deslocamse horizontalmente Os esforços de 2a ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2a ordem Nas barras da estrutura como um lance de pilar os respectivos eixos não se mantêm retilíneos surgindo aí efeitos locais de 2a ordem que em princípio afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas NBR 6118 item 1541 A análise global de 2a ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2a ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas Os elementos isolados para fins de verificação local devem ser formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura com comprimento le porém aplicandose às suas extremidades os esforços obtidos através da análise global de 2a ordem item 1574 Os efeitos locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valor limite λ1 item 1582 calculado pela expressão b 1 1 h 12 5 e 25 α λ Eq 27 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 17 com 90 35 λ1 onde e1 excentricidade de 1a ordem não inclui a excentricidade acidental ea e1 h excentricidade relativa de 1a ordem A NBR 611803 não define em que posição ao longo do comprimento do pilar devese considerar a excentricidade e1 para aplicação no cálculo de λ1 o que pode levar a pequenas diferenças caso se considere a excentricidade nas extremidades do pilar ou na posição onde ocorre a máxima excentricidade de 2a ordem Devese ter pilar de seção e armadura constantes ao longo do eixo longitudinal O valor de b α deve ser obtido conforme estabelecido a seguir i para pilares biapoiados sem cargas transversais A B b M M 40 60 α Eq 28 onde 10 αb 04 MA e MB são os momentos de 1a ordem nos extremos do pilar Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário ii para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura αb 1 iii para pilares em balanço 0 85 M M 20 80 A C b α Eq 29 onde MA momento de 1a ordem no engaste MC momento de 1a ordem no meio do pilar em balanço iv para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo αb 1 O fator αb consta do ACI 318 1995 com a notação Cm item 101231 Porém ao contrário da NBR 61182003 que também considera a excentricidade relativa e1h tanto o ACI como o Eurocode 2 1992 e o MC90 1990 do CEB calculam a esbeltez limite em função da razão entre os momentos fletores ou entre as excentricidades nas extremidades do pilar 74 EXCENTRICIDADE DEVIDA À FLUÊNCIA A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de esbeltez λ 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada considerando a excentricidade adicional ecc dada a seguir item 1584 ϕ 1 2 718 e N M e Sg e Sg N N N a Sg Sg cc Eq 30 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 18 2 e c ci e I 10 E N l Eq 31 onde ea excentricidade devida a inperfeições locais Msg e NSg esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente ϕ coeficiente de fluência Eci módulo de elasticidade tangente Ic momento de inércia le comprimento de flambagem 8 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM De acordo com a NBR 611803 o cálculo dos efeitos locais de 2a ordem pode ser feito pelo método geral ou por métodos aproximados O método geral é obrigatório para λ 140 item 1583 A norma apresenta quatro diferentes métodos aproximados sendo eles método do pilar padrão com curvatura aproximada item 158332 método do pilarpadrão com rigidez κ aproximada item 158333 método do pilarpadrão acoplado a diagramas M N 1r item 158334 e método do pilarpadrão para pilares de seção retangular submetidos à flexão composta oblíqua item 158335 Serão agora apresentados os métodos do pilarpadrão com curvatura aproximada e com rigidez aproximada que são simples de serem aplicados no dimensionamento dos pilares Os dois métodos baseiamse no pilarpadrão conforme demonstrado no item 46 81 MÉTODO DO PILARPADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA Neste método a nãolinearidade geométrica é considerada de forma aproximada supondo se que a deformação da barra seja senoidal A equação senoidal para a linha elástica foi definida na Eq 16 que define os valores para a deformação de 2a ordem e2 ao longo da altura do pilar A nãolinearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica A expressão aproximada da curvatura na seção mais solicitada foi mostrada nas Eq 11 e 18 O momento fletor total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão α d mín 1 1 d A 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l Eq 32 onde αb parâmetro definido no item 73 Nd força normal solicitante de cálculo le comprimento de flambagem 1r curvatura na seção crítica avaliada pela expressão aproximada Eq 18 h 0 005 50 h 0 005 r 1 ν A força normal adimensional ν foi definida na Eq 19 sendo cd c d f A N ν 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 19 O momento solicitante de 1a ordem deve ser M1dA M1dmín com M1dA valor de cálculo de 1a ordem do momento MA como definido no item 73 M1dmín momento fletor mínimo como definido a seguir Ac área da seção transversal do pilar fcd resistência de cálculo à compressão do concreto fcd fck γc h dimensão da seção transversal na direção considerada A NBR 611803 introduziu um parâmetro novo no cálculo dos pilares o momento fletor mínimo o qual consta no código ACI 318 1995 como equação 1015 Segundo o código a esbeltez é levada em consideração aumentandose os momentos fletores nos extremos do pilar Se os momentos atuantes no pilar são muito pequenos ou zero o projeto de pilares esbeltos deve se basear sobre uma excentricidade mínima dada pelo momento mínimo Na NBR 61182003 consta que o efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1a ordem dado a seguir item 113343 0 03 h N 0 015 M d 1dmín Eq 33 com h sendo a altura total da seção transversal na direção considerada em metro A NBR 61182003 ainda informa que ao se considerar o momento fletor mínimo podese desconsiderar a excentricidade acidental ou o efeito das imperfeições locais e que ao momento mínimo devem ser acrescidos os momentos de 2a ordem A rigor o momento fletor total máximo deve ser calculado para cada direção principal do pilar Ele leva em conta que numa seção intermediária onde ocorre a excentricidade máxima de 2a ordem o momento fletor máximo de 1a ordem seja corrigido pelo fator αb Isto é semelhante ao que se encontra no item 754 de FUSCO 1981 com a diferença de que novos parâmetros foram estabelecidos para αb Se o momento de 1a ordem for nulo ou menor que o mínimo então o momento mínimo constante na altura do pilar deve ser somado ao momento fletor de 2a ordem 82 MÉTODO DO PILARPADRÃO COM RIGIDEZ κ APROXIMADA Neste método a nãolinearidade geométrica é considerada de forma aproximada supondo se que a deformação da barra seja senoidal de forma idêntica ao exposto no método anterior A nãolinearidade física deve ser considerada através de uma expressão aproximada da rigidez expressa pelo coeficiente κ O momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1a ordem pela expressão κ ν λ α dmín 1 dA 1 2 1dA b dtot M M 120 1 M M Eq 34 sendo o valor da rigidez adimensional κ dado aproximadamente pela expressão 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 20 ν κ d dtot N h 32 1 5 M Eq 35 As variáveis h ν M1dA M1dmín e αb são as mesmas definidas anteriormente λ representa o índice de esbeltez e ν o coeficiente adimensional relativo à força normal Eq 19 Substituindo a Eq 35 na Eq 34 obtémse uma equação do 2o grau que serve para calcular diretamente o valor de Mdtot sem a necessidade de se fazer iterações 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840 h N 19200 M 1dA d b dtot 1dA b d 2 d 2 dtot α α λ Eq 36 9 SITUAÇÕES BÁSICAS DE PROJETO Para efeito de projeto os pilares dos edifícios podem ser classificados nos seguintes tipos pilares intermediários pilares de extremidade e pilares de canto A cada um desses tipos básicos de pilares corresponde uma situação de projeto diferente 91 PILAR INTERMEDIÁRIO Nos pilares intermediários Figura 16 considerase a compressão centrada para a situação de projeto pois como as lajes e vigas são contínuas sobre o pilar podese admitir que os momentos fletores transmitidos ao pilar sejam pequenos e desprezíveis Não existem portanto os momentos fletores MA e MB de 1a ordem nas extremidades do pilar como descritos no item 73 y x Nd Figura 16 Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares intermediários PLANTA SITUAÇÃO DE PROJETO 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 21 92 PILAR DE EXTREMIDADE Os pilares de extremidade de modo geral encontramse posicionados nas bordas dos edifícios vindo daí o termo pilar de extremidade como mostrado na Figura 17 Na situação de projeto os pilares de extremidade estão submetidos à flexão composta normal que decorre da interrupção sobre o pilar da viga perpendicular à borda de extremidade Existem portanto os momentos fletores MA e MB de 1a ordem nas extremidades do lance do pilar como descritos no item 73 Nas seções do topo e da base dos pilares de extremidade ocorrem excentricidades e1 de 1a ordem oriundas dos momentos fletores de 1a ordem MA e MB com valor d A 1 A N M e e d B 1 B N M e Eq 37 d N x y e1 Figura 17 Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares de extremidade Os momentos fletores MA e MB de 1a ordem devidos ao carregamento vertical são obtidos calculandose os pilares em conjunto com as vigas formando pórticos ou então de uma maneira mais simples e que pode ser feita manualmente com a aplicação das equações já apresentadas na apostila de Vigas de Concreto Armado de BASTOS 2005 Conforme a Figura 18 os momentos fletores inferior e superior no pilar são calculados pelas expressões viga sup inf inf eng inf r r r r M M Eq 38 viga sup inf sup eng sup r r r r M M Eq 39 PLANTA SITUAÇÃO DE PROJETO 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 22 com Meng momento fletor de ligação entre a viga e o pilar r Il índice de rigidez relativa I momento de inércia da seção na direção considerada l vão teórico da viga ou comprimento de flambagem do pilar O valor Meng nas Eq 38 e 39 pode ser calculado fazendo o vão extremo adjacente ao pilar como biengastado ou pode também ser o momento resultante da viga vinculada ao pilar por meio de um engaste elástico mola como feito em BASTOS 2005 Nos edifícios de pavimentos os momentos fletores que aparecem nos pilares são provenientes da superposição dos efeitos das vigas dos diferentes níveis Figura 18 Considerandose por exemplo o lance do pilar compreendido entre os pavimentos i e i 1 os momentos fletores na base e no topo do lance são infi 1 supi base M 50 M M supi infi 1 topo M 50 M M Eq 40 1 2 M M inf 1 2 M TRAMO EXTREMO supi1 1 2 M M supi1 infi NÍVEL i 1 infi viga inf M M 1 2 M sup sup M PILAR DE EXTREMIDADE 1 2 M 1 2 M M supi M infi1 infi1 NÍVEL i supi NÍVEL i 1 Figura 18 Momentos fletores nos pilares provenientes da ligação com as vigas FUSCO 1981 Os exemplos numéricos apresentados no item 18 mostram o cálculo dos momentos fletores solicitantes por meio das Eq 38 a 41 93 PILAR DE CANTO De modo geral os pilares de canto encontramse posicionados nos cantos dos edifícios vindo daí o termo pilar de canto como mostrado na Figura 19 Na situação de projeto os pilares de canto estão submetidos à flexão composta oblíqua que decorre da interrupção das vigas perpendiculares às bordas do pilar Existem portanto os momentos fletores MA e MB item 73 de 1a ordem nas extremidades do pilar nas suas duas direções Esses momentos podem ser calculados da forma como apresentado nos pilares de extremidade Nas seções do topo e da base dos pilares de extremidade ocorrem excentricidades e1 de 1a ordem nas duas direções do pilar 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 23 Nd e1x y x e1y Figura 19 Arranjo estrutural e situação de projeto dos pilares de canto 10 DETERMINAÇÃO DA SEÇÃO SOB O MÁXIMO MOMENTO FLETOR Sendo constante a força normal de cálculo Nd ao longo da altura do pilar no cálculo de dimensionamento deve ser analisada qual seção do pilar estará submetida ao máximo momento fletor seção essa que conduzirá a maior armadura longitudinal no pilar Normalmente basta verificar as seções de extremidade topo e base e uma seção intermediária C onde atua o máximo momento fletor de 2a ordem M2d A Figura 20 mostra os casos de momentos fletores solicitantes mais comuns nos pilares No caso do momento fletor ser variável o valor máximo deve ser nomeado MA e considerado positivo O momento na outra extremidade será nomeado MB e considerado negativo se tracionar a fibra oposta a de MA 0 MA B M A M B M A M MB M 2 máx B A A B BASE TOPO C M SEÇÃO INTERMEDIÁRIA OU OU OU Figura 20 Momentos fletores de 1a ordem com o de 2a ordem nas seções do lance do pilar PLANTA SITUAÇÃO DE PROJETO 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 24 Levandose em conta que um momento fletor mínimo como definido no item 73 deve ser obrigatoriamente considerado no pilar os valores dos momentos fletores totais a serem considerados nas seções em cada direção principal do pilar são a Seções de Extremidade topo ou base dmín 1 1dA dtot M M M Eq 41 b Seção Intermediária C 2d dmín 1 2d 1dC dtot M M M M M Eq 42 Com o momento de 1a ordem M1dC avaliado conforme as relações dA 1 1dB 1dA 1dC M 40 M 40 M 60 M Eq 43 11 SITUAÇÕES DE PROJETO E DE CÁLCULO O cálculo dos pilares pode ser feito diretamente dos valores da força normal e do momento fletor total como mostrado no item anterior sem se calcular as excentricidades relativas aos momentos fletores solicitantes Mas o cálculo pode também ser feito explicitandose as excentricidades que são função dos momentos fletores Nos itens seguintes estão mostradas as excentricidades que devem ser obrigatoriamente consideradas no dimensionamento dos pilares em função do tipo de pilar intermediário de extremidade ou de canto e para λmáx 90 As excentricidades a serem consideradas são as seguintes a Exentricidade de 1a ordem d 1 d A 1A N M e d 1dB 1B N M e Eq 44 b Excentricidade mínima e1mín 15 003 h com h em cm Eq 45 c Excentricidade de 2a ordem 50 h 0 0005 e 2 e 2 ν l Eq 46 com ν definido na Eq 19 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 25 d Excentricidade de 1a ordem na seção intermediária C A 1 1B 1A 1C e 40 e 40 e 60 e Eq 47 111 PILAR INTERMEDIÁRIO Nos pilares intermediários considerase que não atuam momentos fletores de 1a ordem de modo que na situação de projeto ocorre a compressão simples ou uniforme como mostrado na Figura 21 Se o pilar tiver λmáx λ1 não existirão excentricidades de 2a ordem neste caso basta considerar a excentricidade mínima nas duas direções x 1a situação de cálculo e y 2a situação de cálculo No caso de existir excentricidade de 2a ordem ela deve ser somada à excentricidade mínima 1 sc SP Nd e 2 sc 1ymín Nd e x y Nd 1xmín x e e 2y e ey 2x Figura 21 Situação de projeto e de cálculo para os pilares intermediários Para cada situação de cálculo deve ser calculada uma armadura para o pilar considerando se no entanto um mesmo arranjo ou distribuição da armadura na seção transversal do pilar Isso é importante porque a armadura final deve atender a todas as situações de cálculo existentes Entre todas as armaduras calculadas deve ser escolhida a maior De modo geral para os pilares retangulares fica fácil determinar qual a situação de cálculo que resultará na maior armadura pois a maior excentricidade normalmente é na direção de menor rigidez do pilar 112 PILARES DE EXTREMIDADE Nos pilares de extremidade ocorre a flexão composta normal na situação de projeto com a existência de excentricidade de 1a ordem numa direção do pilar As seções de extremidade e a seção intermediária C devem ser analisadas As Figuras 22 e 23 mostram as situações de cálculo para a seção de extremidade A e intermediária C respectivamente Devido aos apoios ou vínculos nos extremos do pilar não existe o deslocamento horizontal nas seções de extremidade ou seja não ocorre excentricidade de 2a ordem e2 Por outro lado se λmáx λ1 a excentricidade de 2a ordem é pequena e por isso pode ser desprezada segundo a NBR 611803 Se λmáx λ1 a máxima excentricidade de 2a ordem deve ser considerada na seção intermediária C onde a excentricidade de 1a ordem alterase de e1xA para e1xC na situação de projeto Do mesmo modo como no pilar intermediário a armadura final do pilar será a maior calculada para cada situação de cálculo considerandose o mesmo arranjo das barras na seção transversal 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 26 e e 1xmín 1xA e Nd d N SP 1 sc 1xA x y Figura 22 Situação de projeto e de cálculo para as seções de extremidade dos pilares de extremidade 1xC e x 1xmín 1xC e e e SP 1 sc Nd Nd e2x 1yC 1ymín e e e y d N 2 sc e2y Figura 23 Situação de projeto e de cálculo para a seção intermediária dos pilares de extremidade 113 PILARES DE CANTO Nos pilares de canto a solicitação de projeto é a flexão composta oblíqua com a existência de excentricidade de 1a ordem nas duas direções principais do pilar Na seção de extremidade A como mostrado na Figura 24 apenas uma situação de cálculo é suficiente comparandose as excentricidades de 1a ordem com as excentricidades mínimas em cada direção Na seção intermediária C as excentricidades de 1a ordem alteramse de e1A para e1C como apresentado na Figura 25 Existindo as excentricidades de 2a ordem elas devem ser acrescentadas às excentricidades de 1a ordem segundo a direção em que existir A armadura final do pilar será a maior calculada entre as situações de cálculo considerandose as barras distribuídas de modo idêntico no cálculo das armaduras 1xA 1yA e e e 1yA 1ymín e 1xA 1xmín e e d N SP 1 sc Nd y x Figura 24 Situação de projeto e de cálculo para as seções de extremidade dos pilares de canto 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 27 2 sc SP 1 sc Nd d N d N e 2y e y e e 1ymín 1yC e e 1xmín 1xC e1xC e1yC e x y x 2x e 1xC 1xmín e e 1yC 1ymín ee Figura 25 Situação de projeto e de cálculo para a seção intermediária dos pilares de canto 12 CÁLCULO DA ARMADURA COM AUXÍLIO DE ÁBACOS No dimensionamento manual dos pilares os ábacos são imprescindíveis e importantíssimos pois permitem a rápida determinação da taxa de armadura sem que haja a necessidade de aplicar as equações teóricas da Flexão Composta Normal ou Oblíqua Além disso os ábacos proporcionam o fácil cálculo com diferentes arranjos da armadura na seção transversal Nesta apostila serão adotados os ábacos de VENTURINI 1987 para a Flexão Composta Normal e de PINHEIRO 1994 para a Flexão Composta Oblíqua Para cada caso de solicitação diversos ábacos podem ser utilizados para o cálculo da armadura do pilar No entanto deve ser escolhido o ábaco que resultar na menor e portanto a armadura mais econômica 121 FLEXÃO COMPOSTA NORMAL A Figura 26 mostra a notação aplicada na utilização dos ábacos para a flexão composta normal d representa uma distância paralela à excentricidade entre a face da seção e o centro da barra do canto De modo geral temse d c φt φl2 com c cobrimento de concreto φt diâmetro do estribo e φl diâmetro da barra longitudinal Nd d h2 h2 d e b Figura 26 Notação para a flexão composta normal VENTURINI 1987 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 28 As equações para a construção dos ábacos foram apresentadas na publicação de PINHEIRO 1994 A determinação da armadura é iniciada pelo cálculo dos esforços adimensionais ν ni e µ mi O valor adimensional ν foi definido na Eq 19 sendo aqui repetido cd c d f A N ν cd c dtot A f h M µ ou Eq 48 h µ ν e Eq 49 com Nd força normal de cálculo Ac área da seção transversal fcd resistência de cálculo do concreto à compressão fckγc Mdtot momento fletor total de cálculo h dimensão do pilar na direção considerada e excentricidade na direção considerada Escolhida uma disposição construtiva para a armadura no pilar determinase o ábaco a ser utilizado em função do tipo de aço e do valor da relação dh No ábaco com o par ν e µ obtém se a taxa mecânica ω A armadura é então calculada pela expressão yd cd c s f A f A ω Eq 50 122 FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA A Figura 27 mostra a notação aplicada na utilização do ábacos para a flexão composta oblíqua dx e dy têm o mesmo significado de d porém cada um numa direção do pilar M h Mx d yd d x y h d N x y d Figura 27 Flexão composta oblíqua PINHEIRO 1994 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 29 A determinação da armadura é iniciada pelo cálculo dos esforços adimensionais ν e µ com µ segundo as duas direções principais do pilar cd c d f A N ν x x cd c x dtot x x h e A f h M ν µ Eq 51 y y cd c y dtoty y h e A f h M ν µ Eq 52 Escolhida uma disposição construtiva para a armadura no pilar determinase o ábaco a ser utilizado em função do tipo de aço e dos valores das relações dxhx e dyhy No ábaco com o trio ν µx µy obtémse a taxa mecânica ω A armadura é calculada pela Eq 50 yd cd c s f A f A ω 13 CÁLCULO DOS PILARES INTERMEDIÁRIOS Apresentase o roteiro de cálculo dos chamados pilares intermediários com a aplicação do Método do pilarpadrão com curvatura aproximada e do Método do pilarpadrão com rigidez κ aproximada Em seguida são apresentados dois exemplos numéricos de aplicação 131 ROTEIRO DE CÁLCULO No pilar intermediário devido à continuidade das vigas e lajes no pilar temse MA MB 0 em ambas as direções do pilar o que leva a M1dA 0 e e1 0 a Esforços Solicitantes A força normal de cálculo pode ser determinada como Nd γn γf Nk Eq 53 onde Nk força normal característica no pilar γn coeficiente de majoração da força normal ver Tabela 131 da NBR 611803 γf coeficiente de majoração da força normal como definido na Tabela 111 da NBR 611803 b Índice de Esbeltez Eq 21 e 22 i λ le A I i para seção retangular h 346 le λ c Momento Fletor Mínimo Eq 33 M1dmín Nd 15 003 h com h dimensão do pilar em cm na direção considerada 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 30 d Esbeltez Limite Eq 27 b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ1 e1 0 para pilar intermediário λ λ1 não considerase o efeito de 2ª ordem para a direção considerada λ λ1 considerase o efeito de 2ª ordem para a direção considerada e Momento de 2a Ordem e1 Método do PilarPadrão com Curvatura Aproximada Determinase Mdtot pela Eq 32 α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l M1dA M1dmín e2 Método do PilarPadrão com Rigidez κ Aproximada Determinase Mdtot pela Eq 36 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840 h N 19200 M 1dA d b dtot 1dA b d 2 d 2 dtot α α λ 132 EXEMPLOS NUMÉRICOS Os exemplos numéricos a seguir são de pilares intermediários biapoiados de nós fixos contraventados e sem forças transversais atuantes Os cálculos serão feitos em função dos momentos fletores solicitantes e a título de exemplo serão feitos também em função das excentricidades segundo as seções de extremidade e intermediária como mostrado no item 11 Os seguintes dados são comuns em todos os exemplos concreto C20 aço CA50 d 40 cm γc γf 14 γs 115 1321 Exemplo Numérico 1 Dimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado na Figura 28 sendo conhecidos Nk 7857 kN seção 20 x 50 Ac 1000 cm2 lex ley 280 cm d N x y h 50 cm x h 20 cm y Figura 28 Dimensões da seção transversal e situação de projeto RESOLUÇÃO Embora a armadura longitudinal resultará do cálculo segundo a direção de menor rigidez do pilar dir y a título de exemplo será demonstrado também o cálculo segundo a direção x 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 31 a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Eq 53 Nd γn γf Nk 10 14 7857 1100 kN Tratandose de um pilar intermediário não existem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem em ambas as direções do pilar b Índice de esbeltez Eq 22 O índice de esbeltez deve ser calculado para as direções x e y conforme os eixos mostrados na Figura 28 Procurouse padronizar a notação o que pode resultar diferenças em relação àquelas já estudadas nas disciplinas anteriores 19 4 50 3 46 280 h 46 3 x ex x λ l 48 4 20 3 46 280 h 46 3 y ey y λ l c Momento fletor mínimo O momento fletor mínimo em cada direção é calculado pela Eq 33 M1dmín Nd 15 003 h com h em cm Dir x M1dmínx 0 0350 51 1100 3300 kNcm e1xmín 300 cm Dir y M1dmíny 0 03 20 51 1100 2310 kNcm e1ymín 210 cm e Esbeltez limite Eq 27 b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem nas extremidades do pilar em ambas as direções x e y isto é MA MB 0 Daí resulta que αb é igual a 10 ver item 73 Assim λ1x λ1y 25 35 λ1x λ1y 35 Desse modo λx 194 λ1x não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 484 λ1y são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y e Momento de 2a ordem O momento de 2a ordem será avaliado pelos métodos do pilarpadrão com curvatura aproximada e do pilarpadrão com rigidez κ aproximada e1 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Eq 32 α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l Força normal adimensional Eq 19 77 0 41 02 1000 1100 f A N cd c d ν 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 32 Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2a ordem Eq 18 1 4 1 4 cm 10 52 20 0 005 cm 1968510 50 0 77 20 0 005 0 50 h 0 005 r 1 ν A excentricidade de 2a ordem na direção y é Eq 17 154 1968510 10 280 e 4 2 2y cm Fazendo M1dA M1dmín em cada direção temse os momentos fletores totais em cada direção principal do pilar Dir x Mdtotx M1dmínx 3300 kNcm Dir y 4 008 1968510 10 2310 1100 280 01 M 4 2 dtot y kNcm Mdtoty 4008 kNcm M1dmíny 2310 kNcm A situação de projeto e as situações de cálculo estão mostradas na Figura 29 Nd e 1xmín y x Nd SP e 364 y 1ymín e 21 2y e 154 Nd 1 sc a 2 sc a 300 Figura 29 Situações de projeto e de cálculo Com ν 077 e utilizando os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta fazse o cálculo de µ Eq 48 ou 49 e dh segundo as direções x e y Dir x µ cd c x dtotx A f h M 05 0 41 02 1000 50 3300 ou 0 05 50 0 77 3 00 h e x x µ ν x x h d 50 04 008 010 Ábaco A25 ω 005 Outros ábacos diferentes do A25 poderiam ter sido utilizados O ábaco A25 é interessante porque não fixa o número de barras a serem dispostas na seção transversal ele fixa apenas as faces do pilar que deverão alojar as barras da armadura O ábaco A25 também proporciona que as barras sejam distribuídas no lado maior do pilar Dir y µ cd c y dtoty A f h M 41 02 1000 20 4008 014 ou 014 20 0 77 3 64 h e y y µ ν 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 33 y y h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 038 Para a solicitação na direção y o ábaco A4 é compatível com o ábaco A25 da direção x pois proporciona o mesmo arranjo de barras do ábaco A25 na seção transversal ou seja as barras distribuídas ao longo do lado maior do pilar Para se chegar a essa conclusão devese comparar a direção das barras com a direção da excentricidade fazendose a analogia com a 1a sc Portanto a maior armadura é calculada para o maior valor de ω As yd c cd f ω A f 49 12 115 50 41 02 0 38 1000 cm2 e2 Método do pilarpadrão com rigidez κ aproximada Aplicando a Eq 36 numericamente para a direção y com M1dA M1dmín temse 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840 h N 19200 M 1 d A d b dtot 1 d A b d 2 d 2 d tot α α λ dtot 2 2 dtot 2310 M 19200 01 20 1100 48 4 3840 20 1100 19200 M 0 20 1100 2310 3840 01 0 1951488 10 11408320 M 19200 M 11 dtot 2 dtot 0 10164000 594 2 M M d tot 2 dtot A raiz positiva da equação de 2o grau é Mdtot 3500 kNcm M1dmíny 2310 kNcm Com ν 077 e utilizando os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta µ cd c y dtoty A f h M 41 02 1000 20 3500 012 y y h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 030 As yd c cd f ω A f 86 9 115 50 41 02 0 30 1000 cm2 1322 Exemplo Numérico 2 Este segundo exemplo Figura 30 é semelhante ao primeiro com exceção da maior força normal de compressão São conhecidos 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 34 Nk 1071 kN seção 20 x 50 Ac 1000 cm2 lex ley 280 cm d N x y h 50 cm x h 20 cm y Figura 30 Dimensões da seção transversal e situação de projeto RESOLUÇÃO a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 1071 1500 kN b Índice de esbeltez 19 4 50 3 46 280 h 46 3 x ex x λ l 48 4 20 3 46 280 h 46 3 y ey y λ l c Momento fletor mínimo O momento fletor mínimo em cada direção é M1dmín Nd 15 003 h com h em cm Dir x M1dmínx 0 0350 51 1500 4500 kNcm e1xmín 300 cm Dir y M1dmíny 0 03 20 51 1500 3150 kNcm e1ymín 210 cm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Do mesmo modo como no exemplo anterior λ1x λ1y 25 35 λ1x λ1y 35 Desse modo λx 194 λ1x não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 484 λ1y são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y e Momento de 2a ordem O momento de 2a ordem será avaliado pelos métodos do pilarpadrão com curvatura aproximada e do pilarpadrão com rigidez κ aproximada e1 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l Força normal adimensional 05 1 41 02 1000 1500 f A N cd c d ν 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 35 Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2a ordem 1 4 1 4 cm 10 52 0 20 0 005 cm 1 612910 50 20 1 05 0 005 0 50 h 0 005 r 1 ν A excentricidade de 2a ordem na direção y é 1 26 1 612910 10 280 e 4 2 2y cm Fazendo M1dA M1dmín em cada direção temse os momentos totais máximos Dir x Mdtotx M1dmínx 4500 kNcm Dir y 5 047 1 612910 10 3150 1500 280 01 M 4 2 dtot y kNcm Mdtoty 5047 kNcm M1dmíny 3150 kNcm A situação de projeto e as situações de cálculo estão mostradas na Figura 31 a a 1xmín 1ymín 2y y Nd e y x Nd SP e 336 e 210 e 126 Nd 1 sc 2 sc 300 Figura 31 Situações de projeto e de cálculo Com ν 105 e utilizando os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta Dir x µ cd c x dtotx A f h M 06 0 41 02 1000 50 4500 ou 0 06 50 1 05 3 00 h e x x µ ν x x h d 50 04 008 010 Ábaco A25 ω 038 Dir y µ cd c y dtoty A f h M 41 02 1000 20 5047 018 ou 018 20 1 05 3 36 h e y y µ ν y y h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 078 A comparação entre os ábacos A4 e A25 apresentada no exemplo anterior vale também para este exemplo A maior armadura resulta do maior valor encontrado para ω 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 36 As yd c cd f ω A f 63 25 115 50 41 02 0 78 1000 cm2 e2 Método do pilarpadrão com rigidez κ aproximada Aplicando a Eq 36 numericamente para a direção y temse 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840 h N 19200 M 1 d A d b dtot 1 d A b d 2 d 2 d tot α α λ dtot 2 2 dtot 3150 M 19200 01 20 1500 48 4 3840 20 1500 19200 M 0 20 1500 3150 3840 01 0 3 6288 10 15556800 M 19200 M 11 dtot 2 dtot 0 18900000 81025 M M dtot 2 dtot A raiz positiva da equação de 2o grau é Mdtot 4771 kNcm M1dmín 3150 kNcm Com ν 105 e utilizando os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta µ cd c y dtoty A f h M 41 02 1000 20 4771 017 y y h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 076 As yd c cd f ω A f 97 24 115 50 41 02 0 76 1000 cm2 Comparandose com o Exemplo 1 notase um aumento considerável da armadura em torno de 100 para um aumento de apenas 36 para a força normal do exemplo 2 Embora apenas dois exemplos numéricos tenham sido apresentados pelos valores obtidos podese observar que o método da rigidez aproximada resulta armaduras inferiores ao método da curvatura aproximada Para a força normal maior a diferença de armadura diminuiu de 211 para 26 14 CÁLCULO DOS PILARES DE EXTREMIDADE Apresentase a seguir um roteiro de cálculo dos chamados pilares de extremidade com a aplicação do Método do pilarpadrão com curvatura aproximada e do Método do pilarpadrão com rigidez κ aproximada Em seguida são apresentados quatro exemplos numéricos de aplicação 141 ROTEIRO DE CÁLCULO a Esforços Solicitantes A força normal de cálculo pode ser determinada como Nd γn γf Nk onde Nk força normal característica no pilar 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 37 γn coeficiente de majoração da força normal ver Tabela 131 da NBR 611803 γf coeficiente de majoração da força normal como definido na Tabela 111 da NBR 611803 b Índice de Esbeltez Eq 21 e 22 i λ le A I i para seção retangular h 346 le λ c Momento Fletor Mínimo Eq 33 M1dmín Nd 15 003 h com h dimensão do pilar em cm na direção considerada d Esbeltez Limite Eq 27 b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 1 b λ α e1 0 na direção da viga não contínua sobre o pilar de extremidade h dimensão do pilar na mesma direção de e1 λ λ1 não se considera o efeito de 2ª ordem para a direção considerada λ λ1 se considera o efeito de 2ª ordem para a direção considerada e Momento de 2a Ordem e1 Método do PilarPadrão com Curvatura Aproximada Determinase Mdtot pela Eq 32 α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l M1dA M1dmín e2 Método do PilarPadrão com Rigidez κ Aproximada Determinase Mdtot pela Eq 36 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840 h N 19200 M 1dA d b dtot 1dA b d 2 d 2 dtot α α λ 142 EXEMPLOS NUMÉRICOS Os exemplos numéricos a seguir são de pilares de extremidade biapoiados de nós fixos contraventados e sem forças transversais atuantes Os seguintes dados são comuns em todos os exemplos concreto C20 aço CA50 d 40 cm γc γf 14 1421 Exemplo Numérico 1 Este exemplo é semelhante aquele encontrado em FUSCO 1981 p 297 com a diferença das alterações do concreto de C15 para C20 e da largura do pilar de 25 cm para 20 cm Figura 32 São conhecidos 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 38 Nk 1110 kN Mdx 2170 kNcm e1x 140 cm seção 20 x 70 Ac 1400 cm2 lex ley 280 cm h 70 cm e1x x h 20 cm y Nd y x Figura 32 Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma e dimensões da seção RESOLUÇÃO a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 1110 1554 kN Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar M1dAx M1dBx 2170 kNcm que solicitam o pilar na direção x em função de existir uma viga não contínua sobre o pilar na direção x Figura 32 b Índice de esbeltez 48 4 20 3 46 280 h 46 3 x ex x λ l 13 8 70 3 46 280 h 46 3 y ey y λ l c Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 1554 15 003 20 32634 kNcm e1xmín 210 cm Dir y M1dmíny 1554 15 003 70 55944 kNcm e1ymín 360 cm 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 39 2170 kNcm 2170 kNcm 2170 kNcm 2170 kNcm 140 cm 140 cm 140 cm 140 cm 280 280 Figura 33 Momentos fletores de cálculo de 1a ordem e excentricidades no topo e na base do pilar na direção x d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Dir x A excentricidade de 1a ordem e1 na direção x é 140 cm Os momentos fletores de 1a ordem na direção x são M1dAx M1dBx 2170 kNcm menores que o momento fletor mínimo nesta direção o que leva a αb 10 Assim 25 9 01 20 125 140 25 1 x λ 35 λ1x 35 Dir y Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem portanto e1y 0 e αb 10 Assim 25 0 01 70 125 0 25 1 y λ 35 λ1y 35 Desse modo λx 484 λ1x são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 138 λ1y não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y e Momento de 2a ordem O momento fletor de 2a ordem será avaliado pelos métodos do pilarpadrão com curvatura aproximada e do pilarpadrão com rigidez κ aproximada e1 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l Força normal adimensional 78 0 41 02 1400 1554 f A N cd c d ν Curvatura segundo a direção x sujeita a esforços de 2a ordem 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 40 1 4 1 4 cm 10 52 20 0 005 cm 195310 50 0 78 20 0 005 0 50 h 0 005 r 1 ν A excentricidade de 2a ordem na direção x é 153 195310 10 280 e 4 2 2x cm Fazendo M1dA M1dmín em cada direção temse o momento total máximo Dir x Mdtotx 10 32634 4 2 195310 10 1554 280 56428 M1dmínx 32634 kNcm Mdtotx 56428 kNcm Dir y Mdtoty M1dmíny 55944 kNcm A situação de projeto e as situações de cálculo estão mostradas nas Figuras 34 e 35 SP d N y 1 sc a 210 e N x 1xmín d e 1x Figura 34 Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade e e SP 1xC 210 1xmín a1 sc d N y x 056 d N 2x e 153 363 x e 1ymín d e 360 N 2 sc a Figura 35 Situações de projeto e de cálculo para a seção intermediária Das três situações de cálculo notase que a 1ª sc da seção intermediária é a que resulta na maior armadura para o pilar pois além de ser a maior excentricidade solicita o pilar na sua direção de menor rigidez Com ν 078 e utilizandose os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta Dir x 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 41 µ cd c x dtotx A f h M 14 0 41 02 1400 20 5642 8 ou 014 20 0 78 3 63 h e x x µ ν x x h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 040 Dir y µ cd c y dtoty A f h M 41 02 1400 70 5594 4 004 ou 0 04 70 0 78 3 60 h e y y µ ν y y h d 70 04 006 005 Ábaco A24 ω 008 As yd c cd f ω A f 40 18 115 50 41 02 0 40 1400 cm2 e2 Método do pilarpadrão com rigidez κ aproximada O momento total na direção x é 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840 h N 19200 M 1 d A d b dtot 1 d A b d 2 d 2 d tot α α λ dtot 2 2 dtot 3263 4 M 19200 01 20 1554 48 4 3840 20 1554 19200 M 0 20 1554 3263 4 3840 01 0 389477652480 16116845 M 19200 M dtot 2 dtot 0 20285294 839 4 M M dtot 2 dtot A raiz positiva da equação de 2o grau é Mdtotx 49431 kNcm M1dmínx 32634 kNcm Com ν 078 e utilizandose os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta µ cd c x dtotx A f h M 41 02 1400 20 49431 012 x x h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 033 As yd c cd f ω A f 18 15 115 50 41 02 0 331400 cm2 1422 Exemplo Numérico 2 Este exemplo é também semelhante aquele encontrado em FUSCO 1981 p 311 com a diferença das alterações do concreto de C15 para C20 e da largura do pilar de 25 cm para 20 cm Figura 36 São conhecidos 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 42 h 20 cm x h 70 cm y Nd x y e1x N k 1110 kN Mdx 3260 kNcm e1x 210 cm seção 20 x 70 Ac 1400 cm2 lex ley 460 cm Figura 36 Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma e dimensões da seção RESOLUÇÃO a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 1110 1554 kN Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar M1dAx M1dBx 3260 kNcm que solicitam o pilar na direção x em função de existir uma viga não contínua sobre o pilar na direção x Figura 37 460 460 3260 kNcm 3260 kNcm 3260 kNcm 3260 kNcm 210 cm 210 cm 210 cm 210 cm Figura 37 Momentos fletores de cálculo de 1a ordem e excentricidades no topo e na base do pilar na direção x b Índice de esbeltez Fazendo o cálculo como no exemplo anterior resulta λx 227 e λy 796 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 43 c Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 1554 15 003 70 55944 kNcm e1xmín 360 cm Dir y M1dmíny 1554 15 003 20 32634 kNcm e1ymín 210 cm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Dir x A excentricidade de 1a ordem na direção x e1x é 210 cm Os momentos fletores de 1a ordem na direção x M1dAx M1dBx 3260 kNcm são menores que o momento fletor mínimo nesta direção o que leva a αb 10 Assim 25 4 01 70 125 210 25 1 x λ 35 λ1x 35 Dir y Na direção y não ocorrem momentos e excentricidades de 1a ordem portanto e1y 0 e αb 10 Assim 25 0 01 20 125 0 25 1 y λ 35 λ1y 35 Desse modo λx 227 λ1x não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 796 λ1y são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y e Momento de 2a ordem O momento de 2a ordem será avaliado pelos métodos do pilarpadrão com curvatura aproximada e do pilarpadrão com rigidez κ aproximada e1 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l A força normal adimensional e a curvatura na direção y sujeita a esforços de 2a ordem são os mesmos do exemplo anterior ν 078 e 1r 1953 104 cm1 A excentricidade de 2a ordem na direção y é 413 195310 10 460 e 4 2 2y cm Fazendo M1dA M1dmín em cada direção temse o momento total máximo Dir x Mdtotx 32600 kNcm M1dmínx 55944 kNcm Mdtotx 55944 kNcm Dir y Mdtoty 10 32634 4 2 195310 10 1554 460 96854 M1dmíny 32634 kNcm Mdtoty 96854 kNcm 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 44 A situação de projeto e as situações de cálculo estão mostradas nas Figuras 38 e 39 SP d N y 1 sc 360 e N x d e 1x 1xmín a 210 Figura 38 Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade Nd e e 623 e 210 e 413 Nd 360 1 sc a 2 sc a 1ymín 1xmín y 2y SP d N y x e 1xC 084 Figura 39 Situações de projeto e de cálculo da seção intermediária Com ν 078 e utilizandose os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta Dir x µ cd c x dtotx A f h M 04 0 41 02 1400 70 5594 4 ou 0 04 70 0 78 3 60 h e x x µ ν x x h d 70 04 006 005 Ábaco A24 ω 008 Dir y µ cd c y dtoty A f h M 41 02 1400 20 9685 4 024 ou 0 24 20 0 78 6 23 h e y y µ ν y y h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 079 As yd c cd f ω A f 34 36 115 50 41 02 0 79 1400 cm2 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 45 e2 Método do pilarpadrão com rigidez κ aproximada O momento total na direção y sujeita a momentos de 2a ordem é 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840 h N 19200 M 1 d A d b dtot 1 d A b d 2 d 2 d tot α α λ dtot 2 2 dtot 3263 4 M 19200 01 20 1554 79 6 3840 20 1554 19200 M 0 20 1554 3263 4 3840 01 0 389477652480 140237933 M 19200 M dtot 2 dtot 0 20285294 73041 M M d tot 2 dtot A raiz positiva da equação de 2o grau é Mdtot 94506 kNcm M1dmíny 32634 kNcm Com ν 078 e utilizandose os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta µ cd c y dtoty A f h M 41 02 1400 20 9450 6 024 y y h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 079 As yd c cd f ω A f 34 36 115 50 41 02 0 79 1400 cm2 1423 Exemplo Numérico 3 São conhecidos Figura 40 Nk 500 kN M1dAy M1dBy 7000 kNcm e1yA e1yB 100 cm seção 20 x 40 Ac 800 cm2 lex ley 280 cm e h 40 cm h 20 cm y x y 1 d N x y 7000 kNcm Figura 40 Dimensões da seção transversal e momentos fletores de 1a ordem 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 46 RESOLUÇÃO a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 500 700 kN Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar M1dAy M1dBy 7000 kNcm que solicitam o pilar na direção y Figura 40 b Índice de esbeltez 48 4 20 3 46 280 h 46 3 x ex x λ l e 24 2 40 3 46 280 h 46 3 y ey y λ l c Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm Assim o momento mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 700 15 003 20 14700 kNcm e1xmín 210 cm Dir y M1dmíny 700 15 003 40 18900 kNcm e1ymín 270 cm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Dir x Nesta direção não ocorrem momentos e excentricidades de 1a ordem portanto e1x 0 e αb 10 Assim 25 0 01 20 125 0 25 1 x λ 35 λ1x 35 Dir y A excentricidade de 1a ordem nesta direção e1y é 100 cm e os momentos fletores de 1a ordem são M1dAy M1dBy 7000 kNcm maiores que o momento fletor mínimo nesta direção o que leva ao cálculo de αb e de λ1y 01 7000 7000 40 60 M M 40 60 A B b α 281 01 40 125 100 25 1 y λ 35 λ1y 35 Desse modo λx 484 λ1x são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 242 λ1y não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y e Momento de 2a ordem pelo método do pilarpadrão com curvatura aproximada α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l Força normal adimensional 61 0 41 02 800 700 f A N cd c d ν Dir x 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 47 Curvatura segundo a direção x sujeita a esforços de 2a ordem 1 1 0 00025 cm 20 0 005 0 0002252 cm 50 0 61 20 0 005 0 50 h 0 005 r 1 ν A excentricidade de 2a ordem na direção x é 1 77 0 0002252 10 280 e 2 2x cm Mdtotx 10 14700 0 0002252 10 280 700 2 27059 kNcm M1dmínx 14700 kNcm Mdtotx 27059 kNcm Dir y Nesta direção o pilar deve ser dimensionado para o máximo momento fletor que ocorre nas extremidades do topo e da base sem se acrescentar o momento mínimo Mdtoty 70000 kNcm M1dmíny 18900 kNcm A situação de projeto e as situações de cálculo estão mostradas nas Figuras 41 e 42 e 1000 SP Nd y x 1y e 1000 y x d N y 1 sc a Figura 41 Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade y e 1000 e 1000 1yC SP x d N y Nd Nd 1 sc 210 a 1xmín e 177 2x e e 387 x 2 sc a Figura 42 Situações de projeto e de cálculo da seção intermediária Com ν 061 e utilizandose os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta Dir x µ cd c x dtotx A f h M 12 0 41 02 800 20 2705 9 ou 012 20 0 61 3 87 h e x x µ ν 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 48 x x h d 20 04 020 Ábaco A29 ω 020 Dir y µ cd c y dtoty A f h M 41 02 800 40 7000 0 015 ou 015 40 0 611000 h e y y µ ν y y h d 40 04 010 Ábaco A27 ω 028 As yd c cd f ω A f 36 7 115 50 41 02 0 28 800 cm2 1424 Exemplo Numérico 4 Este exemplo é semelhante ao anterior com a diferença do momento fletor que agora não é constante ao longo da altura do pilar como mostrado na Figura 43 São conhecidos Nk 500 kN M1dAy M1dBy 7000 kNcm e1yA e1yB 100 cm seção 20 x 40 Ac 800 cm2 lex ley 280 cm e h 40 cm h 20 cm y x y 1 d N x y 7000 kNcm 7000 kNcm Figura 43 Dimensões da seção transversal e momentos fletores de 1a ordem RESOLUÇÃO a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 500 700 kN Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos da base e do topo do pilar M1dAy M1dBy 7000 kNcm que solicitam o pilar na direção y Figura 43 b Índice de esbeltez Como calculados no exemplo anterior λx 48 4 e λy 24 2 c Momento fletor mínimo O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 700 15 003 20 14700 kNcm e1xmín 210 cm 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 49 Dir y M1dmíny 700 15 003 40 18900 kNcm e1ymín 270 cm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Dir x Nesta direção não ocorrem momentos e excentricidades de 1a ordem portanto e1x 0 e αb 10 Assim 25 0 01 20 125 0 25 1 x λ 35 λ1x 35 Dir y As excentricidades de 1a ordem nesta direção são e1yA 100 cm e e1yB 100 cm Os momentos fletores de 1a ordem são M1dAy M1dBy 7000 kNcm maiores que o momento fletor mínimo nesta direção o que leva ao cálculo de αb e de λ1y 20 7000 7000 40 60 M M 40 60 A B b α 04 αb 04 70 3 40 40 125 100 25 1 y λ 35 λ1y 703 Desse modo λx 484 λ1x são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 242 λ1y não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y e Momento de 2a ordem pelo método do pilarpadrão com curvatura aproximada α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l Como no exemplo anterior a força normal adimensional é ν 061 e a curvatura 1r na direção x é 00002252 cm1 A excentricidade de 2a ordem na direção x é 1 77 0 0002252 10 280 e 2 2x cm Dir x Mdtotx 10 14700 0 0002252 10 280 700 2 27059 kNcm M1dmínx 14700 kNcm Mdtotx 27059 kNcm Dir y Nesta direção o pilar deve ser dimensionado para o máximo momento fletor que ocorre nas extremidades do topo e da base sem se acrescentar o momento mínimo Mdtoty 70000 kNcm M1dmíny 18900 kNcm A situação de projeto e as situações de cálculo estão mostradas nas Figuras 44 e 45 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 50 e 1000 SP Nd y x e 1000 x Nd y 1 sc y 1y a Figura 44 Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade 1 sc a SP x e 400 1yC N y d Nd 1xmín 210 e 177 e 2x e 387 x a 2 sc e 400 y d N Figura 45 Situações de projeto e de cálculo da seção intermediária Com ν 061 e utilizandose os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta Dir x µ cd c x dtotx A f h M 12 0 41 02 800 20 2705 9 ou 012 20 0 61 3 87 h e x x µ ν x x h d 20 04 020 Ábaco A29 ω 020 Dir y µ cd c y dtoty A f h M 41 02 800 40 7000 0 015 ou 015 40 0 611000 h e y y µ ν y y h d 40 04 010 Ábaco A27 ω 028 As yd c cd f ω A f 36 7 115 50 41 02 0 28 800 cm2 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 51 15 CÁLCULO DOS PILARES DE CANTO Apresentase a seguir um roteiro de cálculo dos chamados pilares de canto com a aplicação do Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Outros métodos de cálculo constantes da nova norma não são apresentados neste trabalho Três exemplos numéricos de aplicação são apresentados na seqüência 151 ROTEIRO DE CÁLCULO a Esforços Solicitantes A força normal de cálculo pode ser determinada como Nd γn γf Nk onde Nk força normal característica no pilar γn coeficiente de majoração da força normal ver Tabela 131 da NBR 611803 γf coeficiente de majoração da força normal como definido na Tabela 111 da NBR 611803 b Índice de Esbeltez Eq 21 e 22 i λ le A I i para seção retangular h 346 le λ c Momento Fletor Mínimo Eq 33 M1dmín Nd 15 003 h com h dimensão do pilar em cm na direção considerada d Esbeltez Limite Eq 27 b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ1 e1 0 na direção da viga não contínua sobre o pilar de extremidade h dimensão do pilar na mesma direção de e1 λ λ1 não se considera o efeito de 2ª ordem para a direção considerada λ λ1 se considera o efeito de 2ª ordem para a direção considerada e Momento de 2a Ordem Determinase Mdtot pela Eq 32 α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l M1dA M1dmín 152 EXEMPLOS NUMÉRICOS Os exemplos numéricos a seguir são de pilares de canto biapoiados de nós fixos contraventados e sem forças transversais atuantes Os seguintes dados são comuns em todos os exemplos concreto C20 aço CA50 d 40 cm γc γf 14 1521 Exemplo Numérico 1 Este exemplo é semelhante aquele encontrado em FUSCO 1981 p 313 com a diferença das alterações do concreto de C15 para C20 e da largura do pilar de 25 cm para 20 cm Figura 46 São conhecidos 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 52 Nk 820 kN Mdx 2041 kNcm e1x 178 cm Mdy 1726 kNcm e1y 150 cm seção 20 x 50 Ac 1000 cm2 lex ley 280 cm e d N e1x 1y x y h 20 cm x h 50 cm y Figura 46 Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma e dimensões da seção RESOLUÇÃO a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 820 1148 kN Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar M1dAx M1dBx 2041 kNcm na direção x e M1dAy M1dBy 1726 kNcm na direção y Figura 47 em função de existirem duas vigas não contínuas sobre o pilar nas direções x e y b Índice de esbeltez 48 4 20 3 46 280 h 46 3 x ex x λ l 19 4 50 3 46 280 h 46 3 y ey y λ l c Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 1148 15 003 20 24108 kNcm e1xmín 210 cm Dir y M1dmíny 1148 15 003 50 34440 kNcm e1ymín 300 cm 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 53 x y 1726 2041 Figura 47 Momentos fletores de 1a ordem de cálculo kNcm nas direções x e y d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Dir x A excentricidade de 1a ordem e1 na direção x é 178 cm Os momentos fletores de 1a ordem nesta direção são M1dAx M1dBx 2041 kNcm menores que o momento fletor mínimo o que leva a αb 10 Assim 261 01 20 125 178 25 1 x λ 35 λ1x 35 Dir y A excentricidade de 1a ordem e1 na direção y é 150 cm Os momentos fletores de 1a ordem nesta direção são M1dAy M1dBy 1726 kNcm menores que o momento fletor mínimo o que leva também a αb 10 Assim 25 4 01 50 125 150 25 1 y λ 35 λ1y 35 Desse modo λx 484 λ1x são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 194 λ1y não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y e Momento de 2a ordem pelo método do pilarpadrão com curvatura aproximada α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 54 Força normal adimensional 80 0 41 02 1000 1148 f A N cd c d ν Curvatura segundo a direção x sujeita a esforços de 2a ordem 1 4 1 4 cm 10 52 20 0 005 cm 192310 50 0 80 20 0 005 0 50 h 0 005 r 1 ν A excentricidade de 2a ordem na direção x é 151 192310 10 280 e 4 2 2x cm Fazendo M1dA M1dmín em cada direção temse o momento total máximo Dir x Mdtotx 10 24108 0 0001923 10 280 1148 2 41416 kNcm M1dmínx 24108 Mdtotx 41416 kNcm Dir y Mdtoty 17260 kNcm M1dmíny 34440 kNcm Mdtoty 34440 kNcm A situação de projeto e as situações de cálculo estão mostradas nas Figuras 48 e 49 SP d N y 1 sc 210 e N x d e 178 1x a 1xmín e 150 1y e 300 1ymín Figura 48 Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade e 300 SP 071 e e 060 1yC x 1xC d N 1ymín a1 sc e 151 1xmín y Nd 2x e 210 e 361 x d N 2 sc e 300 1ymín 210 1xmín e a Figura 49 Situações de projeto e de cálculo da seção intermediária 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 55 Coeficientes adimensionais da flexão considerando a 1a sc da seção intermediária µx cd c x dtotx A f h M 14 0 41 02 1000 20 4141 6 ou 014 20 0 80 3 61 h e x x µ ν µy cd c y dtoty A f h M 05 0 41 02 1000 50 3444 0 ou 0 05 50 0 80 3 00 h e y y µ ν x x h d 20 04 020 y y h d 50 04 008 010 Com ν 080 e utilizando o ábaco A50 de PINHEIRO 1994 para flexão composta oblíqua a taxa de armadura resulta ω 050 A armadura é As yd c cd f ω A f 43 16 115 50 41 02 0 50 1000 cm2 1522 Exemplo Numérico 2 Este exemplo é semelhante aquele encontrado em FUSCO 1981 p 321 com a diferença das alterações do concreto de C15 para C20 e da largura do pilar de 25 cm para 20 cm Figura 50 São conhecidos Nk 820 kN Mdx 1423 kNcm e1x 124 cm Mdy 1509 kNcm e1y 131 cm seção 20 x 50 Ac 1000 cm2 lex ley 460 cm e d N e1x 1y x y h 20 cm x h 50 cm y Figura 50 Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma e dimensões da seção RESOLUÇÃO a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 820 1148 kN Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar M1dAx M1dBx 1423 kNcm na direção x e M1dAy M1dBy 1509 kNcm na 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 56 direção y Figura 51 em função de existirem duas vigas não contínuas sobre o pilar nas direções x e y b Índice de esbeltez 79 6 20 3 46 460 h 46 3 x ex x λ l 318 50 3 46 460 h 46 3 y ey y λ l 1509 x y 1423 Figura 51 Momentos fletores de 1a ordem de cálculo kNcm nas direções x e y c Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 1148 15 003 20 24108 kNcm e1xmín 210 cm Dir y M1dmíny 1148 15 003 50 34440 kNcm e1ymín 300 cm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Dir x A excentricidade de 1a ordem e1 na direção x é 124 cm Os momentos fletores de 1a ordem nesta direção são M1dAx M1dBx 1423 kNcm menores que o momento fletor mínimo o que leva a αb 10 Assim 25 8 01 20 125 124 25 1 x λ 35 λ1x 35 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 57 Dir y A excentricidade de 1a ordem e1 na direção y é 131 cm Os momentos fletores de 1a ordem nesta direção são M1dAy M1dBy 1509 kNcm menores que o momento fletor mínimo o que leva também a αb 10 Assim 25 4 01 50 125 131 25 1 y λ 35 λ1y 35 Desse modo λx 796 λ1x são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 318 λ1y não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y e Momento de 2a ordem pelo método do pilarpadrão com curvatura aproximada α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l Força normal adimensional 80 0 41 02 1000 1148 f A N cd c d ν Curvatura segundo a direção x sujeita a esforços de 2a ordem 1 4 1 4 cm 10 52 20 0 005 cm 192310 50 0 80 20 0 005 0 50 h 0 005 r 1 ν A excentricidade de 2a ordem na direção x é 4 07 192310 10 460 e 4 2 2x cm Fazendo M1dA M1dmín em cada direção temse o momento total máximo Dir x Mdtotx 10 24108 4 2 192310 10 1148 460 70821 M1dmínx 24108 kNcm Mdtotx 70821 kNcm Dir y Mdtoty 15090 kNcm M1dmíny 34440 kNcm Mdtoty 34440 kNcm A situação de projeto e as situações de cálculo estão mostradas nas Figuras 52 e 53 d N e 300 SP 124 e e 131 1y x 1x d N 1ymín a1 sc e 210 1xmín y Figura 52 Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 58 050 1xC N e SP e 052 1yC y Nd d N e 407 1 sc e 300 x d 1ymín 210 1xmín e a 2 sc e 300 2x 1ymín e 1xmín 210 a x e 617 Figura 53 Situações de projeto e de cálculo da seção intermediária Coeficientes adimensionais da flexão considerando a 1a sc da seção intermediária µx cd c x dtotx A f h M 25 0 41 02 1000 20 70821 ou 0 25 20 0 80 617 h e x x µ ν µy cd c y dtoty A f h M 05 0 41 02 1000 50 3444 0 ou 0 05 50 0 80 3 00 h e y y µ ν x x h d 20 04 020 y y h d 50 04 008 010 Com ν 080 e utilizando o ábaco A50 de PINHEIRO 1994 para flexão composta oblíqua a taxa de armadura resulta ω 091 A armadura é As yd c cd f ω A f 90 29 115 50 41 02 0 911000 cm2 1523 Exemplo Numérico 3 Este exemplo tem momentos fletores de 1a ordem superiores aos momentos fletores mínimos Figura 54 São conhecidos Nk 360 kN Mdx 2683 kNcm e1x 532 cm Mdy 1105 kNcm e1y 219 cm seção 20 x 30 Ac 600 cm2 lex ley 280 cm d N x y h 30 cm x h 20 cm y 1y e x e1 Figura 54 Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma e dimensões da seção 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 59 RESOLUÇÃO a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 360 504 kN Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar M1dAx M1dBx 2683 kNcm na direção x e M1dAy M1dBy 1105 kNcm na direção y Figura 55 em função de existirem duas vigas não contínuas sobre o pilar nas direções x e y 2683 1105 x y Figura 55 Momentos fletores de 1a ordem de cálculo kNcm nas direções x e y b Índice de esbeltez 32 3 30 3 46 280 h 46 3 x ex x λ l 48 4 20 3 46 280 h 46 3 y ey y λ l c Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 504 15 003 30 12096 kNcm e1xmín 240 cm Dir y M1dmíny 504 15 003 20 10584 kNcm e1ymín 210 cm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Dir x A excentricidade de 1a ordem e1 na direção x é 532 cm Os momentos fletores de 1a ordem nesta direção são M1dAx M1dBx 2683 kNcm maiores que o momento fletor mínimo o que leva ao cálculo de αb Assim 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 60 A B b M 0 40 M 0 60 α com 10 αb 04 20 2683 2683 0 40 0 60 b α αb 04 68 0 40 30 125 532 25 1 x λ 35 λ1x 680 Dir y A excentricidade de 1a ordem e1 na direção y é 219 cm Os momentos fletores de 1a ordem nesta direção são M1dAy M1dBy 1105 kNcm maiores que o momento fletor mínimo o que leva ao cálculo de αb que resulta também igual a 04 Assim 65 9 40 20 125 219 25 1 y λ 35 λ1y 659 Desse modo λx 323 λ1x não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 484 λ1y não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y e Momentos totais nas duas direções Como não ocorrem momentos de 2a ordem os momentos máximos ocorrem nas extremidades do pilar e correspondem aos momentos fletores de 1a ordem Dir x Mdtotx 26830 kNcm M1dmínx 12096 kNcm Dir y Mdtoty 11050 kNcm M1dmíny 10584 kNcm A situação de projeto e as situações de cálculo estão mostradas nas Figuras 56 e 57 SP 532 e e 219 x d N 1 sc y 1x 1y a 1x e 532 e 219 1y x Nd y Figura 56 Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 61 213 N e SP e 088 y d N 1 sc e 210 x d 240 e 1xC 1yC a 1xmín 1ymín Figura 57 Situações de projeto e de cálculo da seção intermediária Força normal adimensional 59 0 41 02 600 504 f A N cd c d ν Coeficientes adimensionais da flexão considerando a 1a sc da seção de extremidade µx cd c x dtotx A f h M 10 0 41 02 600 30 2683 0 ou 010 30 0 59 5 32 h e x x µ ν µy cd c y dtoty A f h M 06 0 41 02 600 20 1105 0 ou 0 06 20 0 59 219 h e y y µ ν x x h d 30 04 013 015 y y h d 20 04 020 Com ν 059 e utilizando o ábaco A66 de PINHEIRO 1994 para flexão composta oblíqua a taxa de armadura resulta ω 020 A armadura é As yd c cd f ω A f 94 3 115 50 41 02 0 20 600 cm2 16 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 161 RELAÇÃO ENTRE A DIMENSÃO MÍNIMA E O COEFICIENTE DE SEGURANÇA Os pilares com forma retangular são diferenciados dos pilaresparede em função da relação entre os lados conforme mostrado na Figura 58 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 62 b h h 5 b pilar h 5 b pilarparede Eq 54 Figura 58 Classificação dos pilares e pilaresparede A NBR 611803 item 1323 impõe que A seção transversal de pilares e pilaresparede maciços qualquer que seja a sua forma não devem apresentar dimensão menor que 19 cm Em casos especiais permitese a consideração de dimensões entre 19 cm e 12 cm desde que as ações a serem consideradas no dimensionamento sejam multiplicadas por um coeficiente adicional γn de acordo com o indicado na Tabela 3 Em qualquer caso não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2 12 x 30 cm 162 ARMADURA LONGITUDINAL As disposições relativas à armadura longitudinal dos pilares encontramse no item 1842 da NBR 611803 e são descritas a seguir Tabela 3 Coeficiente γn de majoração das ações b 19 18 17 16 15 14 13 12 n γ 100 105 110 115 120 125 130 135 Nota O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares quando do seu dimensionamento onde γn 195 005 b b menor dimensão da seção transversal 1621 Diâmetro Mínimo O diâmetro das barras longitudinais φl deve ser φ 8 b mm 10 l Eq 55 com b sendo a menor dimensão do pilar 1622 Distribuição Transversal As armaduras transversais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a adequada resistência do elemento estrutural Em seções poligonais deve existir pelo menos uma barra em cada vértice em seções circulares no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais fora da região de emendas deve ser 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 63 φ φ φ agreg máx luva feixe mín d 21 2 cm e l Eq 56 onde φl diâmetro da barra longitudinal φfeixe φn φ n dmáx agreg diâmetro máximo do agregado 19 mm para brita 1 e 25 mm para brita 2 Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por transpasse das barras O espaçamento máximo entre eixos das barras longitudinais ou do centro de feixes de barras deve obedecer 40 cm 2 b emáx Eq 57 1623 Armadura Mínima e Máxima A armadura longitudinal mínima é calculada por item 173531 c yd d s mín 0 004 A f 015 N A Eq 58 onde Nd força normal de cálculo fyd resistência de cálculo de início de escoamento do aço Ac área da seção transversal b h A armadura longitudinal máxima item 173532 é dada por c s máx 8 A A Eq 59 Na região de emenda a armadura total deve respeitar a armadura máxima 1624 Detalhamento da Armadura Um exemplo dos arranjos longitudinais típicos das armaduras dos pilares contraventados dos edifícios está mostrado na Figura 59 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 64 2T3 2T3 3T2 3T2 1T2 1T2 8T4 3T7 3T6 2T11 1T10 1T10 2T9 4T12 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 12 φ 8 φ 4 φ 8 φ 6 φ 3 φ 3 φ 6 φ 2 φ 2 φ 2 φ 4 φ 1 Andar 2 Andar 3 Andar 4 Andar Bloco de Fundação Figura 59 Arranjos longitudinais típicos em edifícios FUSCO 2000 1625 Proteção contra Flambagem No item 1824 da NBR 611803 encontrase Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas situadas no máximo à distância 20 φt do canto se nesse trecho de comprimento 20 φt não houver mais de duas barras não contando a de canto Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele deve haver estribos suplementares Figura 60 20 φt 20 φt 20 φt 20 φt Figura 60 Critério para proteção das barras contra a flambagem Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta terminada em ganchos ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à mesma 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 65 extremidade do estribo suplementar seu gancho deve envolver um estribo principal em um ponto junto a uma das barras o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado ver Figura 60 163 ARMADURA TRANSVERSAL A armadura transversal constituída por estribos e grampos suplementares deve ser colocada em toda a altura do pilar sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes item 1843 O diâmetro do estribo deve obedecer a φ φ φ 4 4 ou mm 5 feixe t l Eq 60 O espaçamento longitudinal entre os estribos medido na direção do eixo do pilar para garantir o posicionamento impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais deve obedecer a φ 50 para CA 12 menor dimensão do pilar b cm 20 smáx l Eq 61 Pode ser adotado o valor φt φl4 quando as armaduras forem constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação yk 2 t máx f 1 90000 s φ φ l com fyk em MPa Eq 62 Quando houver necessidade de armaduras transversais para forças cortantes e torção esses valores devem ser comparados com os mínimos especificados em 183 para vigas adotandose o menor dos limites especificados 17 ESTIMATIVA DA CARGA VERTICAL NO PILAR POR ÁREA DE INFLUÊNCIA Durante o desenvolvimento e desenho da planta de fôrma é necessário definir as dimensões dos pilares antes mesmo que se conheçam os esforços solicitantes atuantes Alguns processos podem ser utilizados para a fixação das dimensões dos pilares entre eles a experiência do engenheiro Um processo simples que auxilia a fixação das dimensões do pilar é a estimativa da carga vertical no pilar pela sua área de influência ou seja a carga que estiver na laje dentro da área de influência do pilar caminhará até o pilar A Figura 61 mostra como se pode de modo simplificado determinar a área de influência de cada pilar No entanto é necessário ter um valor que represente a carga total por metro quadrado de laje levandose em conta todos os carregamentos permanentes e variáveis Para edifícios de pequena altura com fins residenciais e de escritórios podese estimar a carga total de 10 kNm2 Edifícios com outros fins de utilização podem ter cargas superiores e edifícios onde a ação do vento é significativa a carga por metro quadrado deve ser majorada É importante salientar que a carga estimada serve apenas para o prédimensionamento da seção transversal dos pilares O dimensionamento final deve ser obrigatoriamente feito com os esforços solicitantes reais calculados em função das reações das vigas e lajes sobre o pilar e com a atuação das forças do vento etc 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 66 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 5 4 1 2 3 04l 06l 05l 05l 06l 04l 04l 06l 06l 04l P9 l l l l l P5 P1 P2 P3 P4 P6 P7 P8 P10 P11 P12 Figura 61 Processo simplificado para determinação da área de influência dos pilares 18 PRÉDIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL As equações para prédimensionamento da seção transversal expostas a seguir servem apenas para pilares de construções de pequeno porte baixa altura e aço do tipo CA50 Edifícios onde a ação do vento origina solicitações significativas devem ter a seção transversal majorada em relação àquelas resultantes deste prédimensionamento a Pilar Intermediário 0 42 f 60 N A ck d c Eq 63 b Pilares de Extremidade e de Canto 0 42 f 60 1 45 N A ck d c Eq 64 onde Ac área da seção transversal do pilar cm2 Nd força normal de cálculo kN fck resistência característica do concreto kNcm2 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 67 19 EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE EDIFÍCIO Nos itens seguintes apresentamse exemplos práticos do dimensionamento de pilares de edifícios A Figura 63 mostra a planta de fôrma do pavimento tipo de um edifício baixo com quatro pavimentos Por simplicidade os efeitos do vento não foram considerados As seguintes informações são conhecidas concreto C20 fck 20 MPa aço CA50 γc 14 γs 115 cnom 20 cm concreto com brita 1 sem brita 2 A largura de todos os pilares foi fixada em 20 cm Serão dimensionados os lances entre o 1 e o 2 pavimentos como indicado na Figura 62 A carga normal característica aplicada na base dos lances dos pilares a serem dimensionados está indicada na Tabela 4 Tabela 4 Carga normal característica nos pilares Pilar Nk kN P1 220 P2 500 P5 1020 P6 480 P8 1080 280 280 280 280 Cob 3 Pav 2 Pav 1 Pav Ter Figura 62 Lance a ser dimensionado 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 68 h 10 cm h 10 cm h 10 cm 500 500 500 500 480 550 520 h 11 cm h 10 cm P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 10 P 11 P 12 V 1 V 2 V 3 V4 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 x 50 20 x 50 20 x 40 20 x 40 20 x 50 20 x 40 20 x 40 V5 V6 V7 Figura 63 Planta de fôrma do pavimento tipo do edifício 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 69 191 PILAR INTERMEDIÁRIO P8 Dados Nk 1080 kN lex ley 280 cm O pilar P8 é classificado como pilar intermediário porque as vigas V3 e V6 são contínuas sobre o pilar não originando flexão no pilar a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 1080 1512 kN Tratandose de um pilar intermediário não existem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem em ambas as direções do pilar Prédimensionamento Eq 63 2 ck d c 933 cm 0 42 02 60 1512 0 42 f 60 N A Podese adotar Ac 20 x 50 1000 cm2 Figura 64 y x h 20 h 50 x y Figura 64 Dimensões da seção transversal b Índice de esbeltez 48 4 20 3 46 280 h 46 3 x ex x λ l 19 4 50 3 46 280 h 46 3 y ey y λ l c Momento fletor mínimo O momento fletor mínimo em cada direção é calculado pela Eq 33 M1dmín Nd 15 003 h com h em cm Dir x M1dmínx 0 03 20 51 1512 3175 kNcm Dir y M1dmíny 0 0350 51 1512 4536 kNcm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 70 Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem nas extremidades do pilar em ambas as direções x e y isto é MA MB 0 Daí resulta que αb é igual a 10 Assim λ1x λ1y 25 35 λ1x λ1y 35 Desse modo λx 484 λ1x são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 194 λ1y não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y e Momento de 2a ordem O momento de 2a ordem será avaliado pelos métodos do pilarpadrão com curvatura aproximada e do pilarpadrão com rigidez κ aproximada e1 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Eq 32 α d mín 1 1 d A 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l Força normal adimensional Eq 19 06 1 41 02 1000 1512 f A N cd c d ν Curvatura segundo a direção x sujeita a esforços de 2a ordem Eq 18 1 4 1 4 cm 10 52 20 0 005 cm 10 61 50 1 06 20 0 005 50 h 0 005 r 1 ν Fazendo M1dA M1dmín em cada direção temse os momentos totais máximos Dir x Mdtotx 5 072 10 61 10 1512 280 3175 01 4 2 kNcm M1dmínx 3175 kNcm Mdtotx 5072 kNcm Dir y Mdtoty M1dmíny 4536 kNcm Com ν 106 e utilizando os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta Dir x cd c x dtot x A f h M µ 18 0 41 02 1000 20 5072 x x h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 080 Dir y µ cd c y dtot y f A h M 41 02 1000 50 4536 006 y y h d 50 04 008 010 Ábaco A25 ω 040 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 71 As yd c cd f ω A f 29 26 115 50 41 02 0 801000 cm2 e2 Método do pilarpadrão com rigidez κ aproximada Aplicando a Eq 36 numericamente para a direção x temse 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840 h N 19200 M 1dA d b dtot 1dA b d 2 d 2 dtot α α λ dtot 2 2 dtot 3175 M 201512 19200 01 48 4 3840 201512 19200 M 0 3840 01 2015123175 0 3 686910 15677414 M 19200 M 11 dtot 2 dtot 0 19202400 81653 M M dtot 2 dtot A raiz positiva da equação de 2o grau é Mdtot 4810 kNcm M1dmín 3175 kNcm Com ν 106 e utilizando os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta µ cd c x dtotx f A h M 41 02 1000 20 4810 017 x x h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 077 As yd c cd f ω A f 30 25 115 50 41 02 0 77 1000 cm2 f Detalhamento Armadura mínima Eq 58 c yd d s mín 0 004 A f 015 N A 22 5 115 50 0151512 A s mín cm2 As 2629 cm2 Asmín 14 φ 16 mm 2800 cm2 A taxa de armadura resulta 82 1000 100 2800 A 100 A c s ρ ρ 28 ρmáx 4 Conforme o item 123 a taxa máxima de armadura é 8 No entanto considerando simplificadamente que a armadura do lance superior seja igual a do lance em análise na região de emenda a armadura será multiplicada por dois o que leva a taxa máxima de 4 em cada lance O diâmetro φt e espaçamento t dos estribos Eq 60 e 61 são 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 72 φ φ 5 mm 4 t l 10 cm 20 mm 5 t t φ φ φ 19 2 cm 12 61 12 cm 20 cm 20 smáx l t 19 cm A distância entre o eixo da barra do canto e a face da barra adjacente é 46 2 61 6 61 7 50 02 2 50 ev cm O estribo protege contra a flambagem as barras até 6 que estiverem dentro da distância 20 φt como mostrado na Figura 65 Existem portanto seis barras não protegidas o que justifica a colocação de um grampo suplementar o qual protege as barras adjacentes que encontramse também dentro da distância 20 φt para cada lado do grampo φ 100 20 v e 64 t h 50 y h 20 x Figura 65 Detalhamento da armadura na seção transversal 192 PILAR DE EXTREMIDADE P6 Dados Nk 480 kN lex ley 280 cm a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 480 672 kN Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar que solicitam o pilar na direção x em função de existir a viga V2 não contínua sobre o pilar Figura 62 Prédimensionamento Eq 63 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 73 2 ck d c 601cm 0 42 02 60 1 45 672 0 42 f 60 1 45 N A Podese adotar Ac 20 x 35 700 cm2 Figura 66 h 35 x x y h 20 y Figura 66 Dimensões da seção transversal b Índice de esbeltez 27 7 35 3 46 280 h 46 3 x ex x λ l 48 4 20 3 46 280 h 46 3 y ey y λ l c Excentricidade de 1a ordem d xd 1x N M e com Mxd momento fletor de ligação entre a viga V2 e o pilar P6 na direção x O momento fletor solicitante na base e no topo do pilar será avaliado pelas Eq 38 e 39 sendo p inf viga sup p pilar keng ksup kinf r r r r M M M Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo da sua altura temse 255 2 280 12 20 35 I r r r 3 ex pilar p inf p sup pilar l cm3 A rigidez da viga V2 com seção transversal 20 x 50 cm e com vão adotado simplificadamente de centro a centro dos apoios 493 cm é 208333 12 20 50 12 h b I 3 3 w viga cm4 422 6 493 208333 I r teor viga viga l cm3 Para o momento de engastamento perfeito da viga V2 no pilar P6 será adotada a carga total de 28 kNm conforme mostrado na Figura 67 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 74 28 kNm P 5 493 cm P 6 Figura 67 Esquema estático e carregamento no vão da viga adjacente ao pilar O momento de engastamento perfeito no pilar P6 é 5671 12 4 93 28 12 q M 2 2 eng l kNm 5671 kNcm Os momentos fletores na base e no topo do lance do pilar resultam 1 551 255 2 422 6 255 2 255 2 5671 M M ksup kinf kNcm Considerando a propagação dos momentos fletores no pilar conforme mostrado na Figura 68 os momentos fletores de cálculo totais na base e no topo são 3 257 2 1551 1551 41 M M dbase dtopo kNcm M 1551 x y P 5 P 6 V 2 28 kNm l sup 280 l inf 280 y x 35 20 kinf M 1551 ksup 12 M ksup 12 M kinf Mdtopo 3257 3257 dbase M Figura 68 Momentos fletores de 1a ordem kNcm no topo e na base do pilar na direção x 4 85 672 3257 e x 1 cm 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 75 d Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 672 15 003 35 17136 kNcm Dir y M1dmíny 672 15 003 20 14112 kNcm e Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Dir x A excentricidade de 1a ordem e1 na direção x é 485 cm Os momentos fletores de 1a ordem na direção x são M1dAx M1dBx 3257 kNcm maiores que o momento fletor mínimo nesta direção o que leva ao cálculo de αb 20 3257 3257 40 60 M M 40 60 A B b α 04 αb 04 67 40 35 125 485 25 x1 λ 35 λ1x 67 Dir y Na direção y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem portanto e1y 0 e αb 10 Assim 25 01 20 125 0 25 y1 λ 35 λ1y 35 Desse modo λx 277 λ1x não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 484 λ1y são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y f Momentos fletores totais O momento fletor de 2a ordem na direção y será avaliado pelo método do pilarpadrão com curvatura aproximada α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l Força normal adimensional 67 0 41 02 700 672 f A N cd c d ν Curvatura segundo a direção y sujeita a esforços de 2a ordem 1 4 1 4 cm 10 52 20 0 005 cm 2136810 50 0 67 20 0 005 0 50 h 0 005 r 1 ν Fazendo M1dA M1dmín em cada direção temse o momento total máximo Dir x Mdtotx 3257 kNcm M1dmínx 17136 kNcm 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 76 Dir y Mdtoty 10 14112 4 2 2136810 10 672 280 2537 M1dmíny 14112 kNcm Mdtoty 2537 kNcm Com ν 067 e utilizandose os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta Dir x µ cd c x dtotx A f h M 09 0 41 02 700 35 3257 x x h d 35 04 011 010 Ábaco A25 ω 012 Dir y µ cd c y dtoty f A h M 41 02 700 20 2537 013 y y h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 027 As yd c cd f ω A f 21 6 115 50 41 02 0 27 700 cm2 g Detalhamento Armadura mínima Eq 58 c yd d s mín 0 004 A f 015 N A 32 2 115 50 015 672 A mín s 0004 700 280 cm2 As 621 cm2 Asmín 8 φ 10 mm 640 cm2 A taxa de armadura resulta 0 91 700 100 6 40 A 100 A c s ρ ρmáx 4 O diâmetro e o espaçamento dos estribos são φ φ 5 mm 4 t l 10 cm 20 mm 5 t t φ φ φ 12 cm 12 01 12 cm 20 cm 20 smáx l t 12 cm A distância entre o eixo da barra do canto e a próxima barra é 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 77 29 2 01 3 01 4 50 02 2 35 eh cm h 35 x y h 20 eh 92 φt 20 100 Figura 69 Detalhamento da armadura na seção transversal 193 PILAR DE EXTREMIDADE P5 Dados Nk 1020 kN lex ley 280 cm a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 1020 1428 kN Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar que solicitam o pilar na direção y em função de existir a viga V6 não contínua sobre o pilar Figura 62 Prédimensionamento Eq 63 2 ck d c 1 278 cm 0 42 02 60 1 45 1428 0 42 f 60 1 45 N A Podese adotar Ac 20 x 65 1300 cm2 Figura 70 y x h 20 y h 65 x Figura 70 Dimensões da seção transversal b Índice de esbeltez 14 9 65 3 46 280 h 46 3 x ex x λ l 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 78 48 4 20 3 46 280 h 46 3 y ey y λ l c Excentricidade de 1a Ordem d yd 1y N M e com Myd momento fletor de ligação entre a viga V6 e o pilar P5 na direção y O momento fletor solicitante na base e no topo do pilar será avaliado pelas Eq 38 e 39 sendo p inf viga sup p pilar keng ksup kinf r r r r M M M Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo da sua altura temse 154 8 280 12 65 20 I r r r 3 ex pilar p inf p sup pilar l cm3 Rigidez da viga V6 com seção transversal 20 x 50 cm e com o vão adotado simplificadamente de centro a centro dos apoios 535 cm 208333 12 20 50 12 h b I 3 3 w viga cm4 389 4 535 208333 I r teor viga viga l cm3 Para o momento de engastamento perfeito da viga V6 no pilar P5 será adotada a carga total de 35 kNm conforme mostrado na Figura 71 35 kNm P 8 P 5 535 cm Figura 71 Esquema estático e carregamento no vão da viga adjacente ao pilar O momento de engastamento perfeito no pilar P5 é 8348 12 5 35 35 12 q M 2 2 eng l kNm 8348 kNcm Os momentos fletores na base e no topo do lance do pilar resultam 1 848 7 154 8 389 4 154 8 154 8 8348 M M ksup kinf kNcm 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 79 Considerando a propagação dos momentos fletores no pilar conforme mostrado na Figura 72 os momentos fletores de cálculo totais na base e no topo são 3 882 2 1848 7 1848 7 41 M M dbase dtopo kNcm Mksup 18487 12 M ksup P 8 35 kNm V 6 P 5 l inf 280 l sup 280 x Mkinf 18487 y 12 M kinf 3882 Mdbase 3882 dtopo M y Figura 72 Momentos fletores de 1a ordem kNcm no topo e na base do pilar na direção y 2 72 1428 3882 e y 1 cm d Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 1428 15 003 65 4927 kNcm Dir y M1dmíny 1428 15 003 20 2999 kNcm e Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Dir x Na direção x não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem portanto e1x 0 e αb 10 Assim 25 01 35 125 0 25 x1 λ 35 λ1x 35 Dir y A excentricidade de 1a ordem e1 na direção y é 272 cm Os momentos fletores de 1a ordem na direção y são M1dAy M1dBy 3882 kNcm maiores que o momento fletor mínimo nesta direção o que leva ao cálculo de αb 20 3882 3882 40 60 M M 40 60 A B b α 04 αb 04 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 80 66 8 40 20 125 272 25 y1 λ 35 λ1y 668 Desse modo λx 149 λ1x não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 484 λ1y não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y f Momento total solicitante e cálculo da armadura Como não existem excentricidades de 2a ordem o momento total é igual ao máximo momento de 1a ordem ou seja Dir x Mdtotx M1dmínx 4927 kNcm Dir y Mdtoty M1dA 3882 kNcm M1dmíny 2999 kNcm Força normal adimensional Eq 19 77 0 41 02 1300 1428 f A N cd c d ν Com ν 077 e utilizandose os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta Dir x µ cd c x dtot x A f h M 04 0 41 02 1300 65 4927 x x h d 65 04 006 005 Ábaco A24 ω 004 Dir y µ cd c y dtot y f A h M 41 02 1300 20 3882 010 y y h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 024 As yd c cd f ω A f 25 10 115 50 41 02 0 241300 cm2 g Detalhamento Armadura mínima Eq 58 c yd d s mín 0 004 A f 015 N A 93 4 115 50 0151428 A mín s 0004 1300 520 cm2 As 1025 cm2 Asmín 14 φ 10 mm 1120 cm2 A taxa de armadura resulta 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 81 0 86 1300 100 1120 A 100 A c s ρ ρmáx 4 O diâmetro e o espaçamento t dos estribos são φ φ 5 mm 4 t l 10 cm 20 mm 5 t t φ φ φ 12 cm 12 01 12 cm 20 cm 20 smáx l t 12 cm O espaçamento entre as barras é 39 2 01 6 01 7 50 02 2 65 eh cm t h 100 φ e 20 93 h 20 y x h 65 Figura 73 Detalhamento da armadura na seção transversal 194 PILAR DE EXTREMIDADE P2 Dados Nk 500 kN lex ley 280 cm a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 500 700 kN Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar que solicitam o pilar na direção y em função do carregamento oriundo da viga V1 não ser aplicado no CG do pilar Figura 62 Prédimensionamento Eq 63 2 ck d c 627 cm 0 42 02 60 1 45 700 0 42 f 60 1 45 N A Podese adotar Ac 20 x 35 700 cm2 Figura 74 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 82 h 20 x h 35 y y x Figura 74 Dimensões da seção transversal b Índice de esbeltez 48 4 20 3 46 280 h 46 3 x ex x λ l 27 7 35 3 46 280 h 46 3 y ey y λ l c Excentricidade de 1a ordem No dimensionamento do pilar P2 deve ser considerada a excentricidade de 1a ordem de origem geométrica pois o ponto de aplicação da carga da viga V1 encontrase fora do centro de gravidade da seção do pilar como podese notar na Figura 75 Essa excentricidade inicial geométrica deve ser considerada porque não há viga na direção vertical que poderia proporcionar um apoio ao pilar A laje não tem a rigidez necessária para travar o pilar CG N 20 15 20 V1 P2 e1y 75 y x d Figura 75 Excentricidade inicial de 1a ordem no pilar P2 Da Figura 75 temse a excentricidade de 1ª ordem no pilar e1y 75 cm O momento de 1a ordem é Figura 76 M1dy Nd e1y 700 75 5250 kNcm 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 83 5250 base M Mtopo 5250 Figura 76 Momentos fletores de 1a ordem de cálculo no pilar kNcm na direção y d Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 700 15 003 20 1470 kNcm Dir y M1dmíny 700 15 003 35 1785 kNcm e Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Dir x Na direção x não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem portanto e1x 0 e αb 10 Assim 25 01 20 125 0 25 x1 λ 35 λ1x 35 Dir y A excentricidade de 1a ordem e1 na direção y é 750 cm Os momentos fletores de 1a ordem na direção y são M1dAy M1dBy 5250 kNcm maiores que o momento fletor mínimo nesta direção o que leva ao cálculo de αb 20 5250 5250 40 60 M M 40 60 A B b α 04 αb 04 69 2 40 35 125 750 25 y1 λ 35 λ1y 692 Desse modo λx 484 λ1x são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 277 λ1y não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 84 f Momento de 2a ordem e momentos totais solicitantes α dmín 1 1dA 2 e d 1dA b dtot M M r 1 N 10 M M l Força normal adimensional 70 0 41 02 700 700 f A N cd c d ν Curvatura segundo a direção x sujeita a esforços de 2a ordem 1 4 1 4 cm 10 52 20 0 005 cm 2 0810 50 0 70 20 0 005 0 50 h 0 005 r 1 ν Fazendo M1dA M1dmín em cada direção temse o momento total máximo Dir x Mdtotx 10 1470 4 2 2 0810 10 700 280 2612 kNcm M1dmínx 1470 kNcm Mdtotx 2612 kNcm Dir y Mdtoty 5250 M1dmíny 1785 kNcm Com ν 070 e utilizandose os ábacos de VENTURINI 1987 para flexão reta Dir x µ cd c x dtot x A f h M 13 0 41 02 700 20 2612 x x h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 029 A33 ω 035 Dir y µ cd c y dtot y f A h M 41 02 700 35 5250 015 y y h d 35 04 011 010 Ábaco A25 ω 046 A45 ω 032 No caso de utilização dos ábacos A4 e A25 a armadura resulta maior que se utilizados os ábacos A33 e A45 onde a posição e o número de barras está préfixado previamente Armadura segundo os ábacos A4 e A25 As yd c cd f ω A f 1058 50 115 41 02 0 46700 cm2 10 φ 125 mm 1250 cm2 Armadura segundo os ábacos A33 e A45 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 85 As yd c cd f ω A f 05 8 115 50 41 02 0 35700 cm2 10 φ 10 mm 800 cm2 g Detalhamento Armadura mínima Eq 58 c yd d s mín 0 004 A f 015 N A 42 2 115 50 015 700 A mín s 0004 700 280 cm2 As 1058 cm2 Asmín g1 Armadura longitudinal composta por 10 φ 125 mm Taxa de armadura 1 79 700 100 1250 A 100 A c s ρ ρmáx 4 O diâmetro e o espaçamento t dos estribos são φ φ 5 mm 4 t l 10 cm 20 mm 5 t t φ φ φ 15 cm 12 1 25 12 cm 20 cm 20 smáx l t 15 cm O espaçamento entre as barras é Figura 77 66 2 1 25 4 5 1 25 50 02 2 35 ev cm v t h 35 y h 20 x 100 66 φ e 20 Figura 77 Detalhamento da armadura na seção transversal para 10 φ 125 mm 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 86 g1 Armadura longitudinal composta por 10 φ 10 mm Taxa de armadura 114 700 100 8 00 A 100 A c s ρ ρmáx 4 O diâmetro e o espaçamento t dos estribos são φ φ 5 mm 4 t l 10 cm 20 mm 5 t t φ φ φ 12 cm 12 01 12 cm 20 cm 20 smáx l t 12 cm O espaçamento entre as barras é Figura 78 73 2 01 3 01 4 50 02 2 20 eh cm O espaçamento mínimo entre as barras é φ cm 32 91 21 d 21 cm 01 2 cm e agreg máx hmín l ehmin 23 cm 20 t φ 100 x h 20 y h 35 eh 37 Figura 78 Detalhamento da armadura na seção transversal para 10 φ 10 mm 195 PILAR DE CANTO P1 Dados Nk 220 kN lex ley 280 cm 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 87 a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd γn γf Nk 10 14 220 308 kN Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar que solicitam o pilar nas direções x e y em função de existirem as vigas V1 e V5 não contínuas sobre o pilar Figura 62 Prédimensionamento Eq 63 2 ck d c 276 cm 0 42 02 60 1 45 308 0 42 f 60 1 45 N A Podese adotar Ac 20 x 30 600 cm2 Figura 79 h 30 h 20 x y x y Figura 79 Dimensões da seção transversal b Índice de esbeltez 32 3 30 3 46 280 h 46 3 x ex x λ l 48 4 20 3 46 280 h 46 3 y ey y λ l c Excentricidades de 1a ordem Direção x d xd 1x N M e com Mxd momento fletor de ligação entre a viga V1 e o pilar P1 na direção x O momento fletor solicitante na base e no topo do pilar será avaliado pelas Eq 38 e 39 sendo p inf viga sup p pilar keng ksup kinf r r r r M M M Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo da sua altura temse 160 7 280 12 20 30 I r r r 3 ex pilar p inf p sup pilar l cm3 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 88 Rigidez da viga V1 com seção transversal 20 x 40 cm e com o vão adotado simplificadamente de centro a centro dos apoios 495 cm 106667 12 20 40 12 h b I 3 3 w viga cm4 215 5 495 106667 I r teor viga viga l cm3 Para o momento de engastamento perfeito da viga V1 no pilar P1 será adotada a carga total de 21 kNm conforme mostrado na Figura 80 495 cm 21 kNm P 1 P 2 Figura 80 Esquema estático e carregamento no vão da viga adjacente ao pilar O momento de engastamento perfeito no pilar P1 é 4288 12 4 95 21 12 q M 2 2 eng l kNm 4288 kNcm Os momentos fletores na base e no topo do lance do pilar resultam 1 283 160 7 215 5 160 7 160 7 4288 M M ksup kinf kNcm Considerando a propagação dos momentos fletores no pilar os momentos fletores de cálculo totais na base e no topo são 2 695 2 1283 1283 41 M M dbase dtopo kNcm 8 75 308 2695 e x 1 cm Direção y d yd 1y N M e com Myd momento fletor de ligação entre a viga V5 e o pilar P1 na direção y Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo da sua altura temse 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 89 71 4 280 12 30 20 I r r r 3 ex pilar p inf p sup pilar l cm3 Rigidez da viga V5 com seção transversal 20 x 40 cm e com o vão adotado simplificadamente de centro a centro dos apoios 480 cm 106667 12 20 40 12 h b I 3 3 w viga cm4 222 2 480 106667 I r teor viga viga l cm3 Para o momento de engastamento perfeito da viga V5 no pilar P1 será adotada a carga total de 15 kNm conforme mostrado na Figura 81 480 cm P 4 15 kNm P 1 Figura 81 Esquema estático e carregamento no vão da viga adjacente ao pilar 28 8 12 84 15 12 q M 2 2 eng l KNm 2880 kNcm 563 4 71 4 222 2 71 4 71 4 2880 M M ksup kinf kNcm Considerando a propagação dos momentos fletores no pilar os momentos fletores de cálculo totais na base e no topo são 1 183 2 563 4 563 4 41 M M dbase dtopo kNcm 3 84 308 1183 eiy cm Os momentos fletores de cálculo totais nas direções x e y estão mostrados na Figura 82 d Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 308 15 003 30 7392 kNcm Dir y M1dmíny 308 15 003 20 6468 kNcm 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 90 x y 2695 Mxd Myd 1183 topo base Figura 82 Momentos fletores de cálculo de 1a ordem atuantes no pilar kNcm e Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 α λ com 90 35 λ 1 Dir x A excentricidade de 1a ordem e1 na direção x é 875 cm Os momentos fletores de 1a ordem nesta direção são M1dAx M1dBx 2695 kNcm maiores que o momento fletor mínimo o que leva ao cálculo de αb Assim 20 2695 2695 40 60 M M 40 60 A B b α 04 αb 04 71 6 40 30 125 875 25 x1 λ 35 λ1x 716 Dir y A excentricidade de 1a ordem e1 na direção y é 384 cm Os momentos fletores de 1a ordem nesta direção são M1dAy M1dBy 1183 kNcm maiores que o momento fletor mínimo o que leva ao cálculo de αb Assim 20 1183 1183 40 60 M M 40 60 A B b α 04 αb 04 68 5 01 20 125 384 25 y1 λ 35 λ1y 685 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 91 Desse modo λx 323 λ1x não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção x λy 484 λ1y não são considerados os efeitos de 2ª ordem na direção y f Momento total solicitante e cálculo da armadura Como não existem excentricidades de 2a ordem o momento total é igual ao máximo momento de 1a ordem ou seja Dir x Mdtotx M1dAx 2695 kNcm M1dmínx 7392 kNcm Dir y Mdtoty M1dAy 1183 kNcm M1dmíny 6468 kNcm Força normal adimensional Eq 19 36 0 41 02 600 308 f A N cd c d ν Coeficientes adimensionais de flexão considerando a flexão oblíqua Eq 51 e 52 µx cd c x dtot x A f h M 10 0 41 02 600 30 2695 µy cd c y dtot y f A h M 41 02 600 20 1183 007 x x h d 30 04 013 015 y y h d 20 04 020 Com ν 036 e utilizando o ábaco A67 de PINHEIRO para flexão composta oblíqua a taxa de armadura resulta da interpolação entre ν 020 e ν 040 para ν 020 ω 020 para ν 040 ω 015 para ν 036 ω 016 A armadura resulta As yd c cd f ω A f 15 3 115 50 41 02 016600 cm2 g Detalhamento Armadura mínima Eq 58 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 92 c yd d s mín 0 004 A f 015 N A 06 1 115 50 015 308 A mín s 0004 600 240 cm2 As 315 cm2 Asmín 4 φ 10 mm 320 cm2 Figura 83 A taxa de armadura resulta 0 53 600 100 3 20 A 100 A c s ρ ρmáx 4 O diâmetro e o espaçamento dos estribos são φ φ 5 mm 4 t l 10 cm 20 mm 5 t t φ φ φ 12 cm 12 01 12 cm 20 cm 20 smáx l t 12 cm h 30 h 20 x y Figura 83 Detalhamento da armadura na seção transversal REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE Building code requirements for structural concrete ACI 318 R95 Farmington Hills 1995 369p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto Procedimento NBR 6118 Rio de Janeiro ABNT 2003 170p COMITÉ EUROINTERNATIONAL DU BÉTON CEBFIP Model Code 1990 final draft Bulletim DInformation n203 204 e 205 jul 1991 BASTOS PSS Dimensionamento de vigas de concreto armado ao esforço cortante Disciplina 1309 Estruturas de Concreto II BauruSP Departamento Engenharia Civil Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista UNESP mar2005 55p wwwpfebunespbrpbastos 1309 Estruturas de Concreto II Pilares de Concreto Armado UNESP BauruSP Prof Dr Paulo Sérgio dos Santos Bastos 93 BASTOS PSS Ancoragem e emenda de armaduras Disciplina 1309 Estruturas de Concreto II BauruSP Departamento Engenharia Civil Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista UNESP abril2005 36p wwwpfebunespbrpbastos BASTOS PSS Flexão normal simples Vigas Disciplina 1288 Estruturas de Concreto I BauruSP Departamento Engenharia Civil Faculdade de Engenharia Universidade Estadual Paulista UNESP out2004 93p wwwpfebunespbrpbastos EUROPEAN COMMITTEE STANDARDIZATION Eurocode 2 Design of concrete structures Part 1 General rules and rules for buildings London BSI 1992 FUSCO PB Estruturas de concreto Solicitações normais Rio de Janeiro ed Guanabara Dois 1981 464p FUSCO PB Técnica de armar as estruturas de concreto São Paulo Ed Pini 2000 382p PINHEIRO LM BARALDI LT POREM ME Concreto Armado Ábacos para flexão oblíqua São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos USP 1994 PINHEIRO LM Instabilidade Notas de Aula São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos USP 1994 SÜSSEKIND JC Curso de concreto v 2 4a ed Porto Alegre Ed Globo 1984 280p VENTURINI WS Dimensionamento de peças retangulares de concreto armado solicitadas à flexão reta São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos USP 1987