Plano de Aula: Limite em Cálculo Diferencial e Integral

Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 1 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer os conceitos de limites por meio das suas definições para aplicação em problemas significativos 4 Tópicos 11 LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para essa aula por ser a primeira da disciplina é importante que seja apresentado ao estudante um panorama do curso verificando junto aos mesmos suas perspectivas em relação ao curso fica como sugestão a utilização do mentimeter wwwmentimetercom sendo essa uma forma de ter uma visão macro sobre as perspectivas da turma sobre o curso de Engenharia Para o desenvolvimento dos tópicos abordados na aula devese estimular o protagonismo e a participação ativa do estudante no processo de ensino e aprendizagem Situaçãoproblema O Cálculo diferencial é integral é uma disciplina que exige do estudante um entendimento que vai além dos simples cálculos que irão ser feita ao longo da sua formação como engenheiro partindo desse princípio que essa aula é proposta propondo aos estudantes alguns questionamentos que poderão nortear a aula como por exemplo 1 O que vocês compreendem por Limite de uma função Metodologia Aula expositiva e dialogada para exemplificar os conceitos de limite de uma função O professor deve apresentar o gráfico de função exponencial por exemplo f x 2x mostrando como essa função se comporta bem como os limites da função quando x tende a mais infinito e a menos infinito Uma outra forma de poder apresentar de forma intuitiva o conceito de limites é apresentar uma função por exemplo fx 2x 1 utilizando para x valores arbitrários pouco maiores que 2 e pouco menores que 2 com isso os estudantes poderão observar de maneira intuitiva o limite da função quando x tende a 2 tender a 5 Ao final desse processor acreditase que os estudantes tenham entendimento de um limite tendendo tanto pela esquerda quanto pela direita Atividade verificadora de aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios e exemplos que contemplem o conteúdo apresentado de limites 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Ensino da Teoria dos Limites Nas Engenharias Como uma Estrutura de Controle do Erro Disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos5Artigos130259pdf 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites httpswwwgeogebraorgmtkeaejYj Questão 1 A 0 B 3 C 6 D 9 E 12 Questão 2 A 110 B 15 C 125 D 130 E 135 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 2 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Reconhecer a existência dos limites por meio dos seus limites laterias para resolução de problemas significativo 4 Tópicos 12 CÁLCULO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula com a proposta de uma situação problema com foco nos conceitos Limites Laterais e Limites no infinito Situaçãoproblema Os conceitos matemáticos de finito e infinito podem ser estabelecidos através de teoremas matemáticos e leis que auxiliam a sua compreensão É importante nos estudos iniciais do cálculo diferencial e integral que tais conceitos sejam formalizados para auxiliar o desenvolvimento da disciplina como um todo Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula as seguintes questões devem ser colocadas os estudantes como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual entendimento vocês possuem sobre o infinito 2 O que seria algo indeterminado em conceitos matemáticos Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde serão expostas situações em que os conceitos matemáticos envolvendo limites sejam utilizado Esses exemplos que serão desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Para isso o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada mostrando o formalismo dos conceitos que envolvem o infinito e os casos de indeterminações existentes Após esse momento o professor deverá propor para turma um problema que utilize ao mesmo tempo o conceito de limites no infinito e a sua indeterminação Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação dos conceitos de limites no infinito e indeterminação de cálculo de limites Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo I O Homem que viu e contou o Infinito httpwwwmatematicaseedprgovbrmodulesnoticiasarticlephpstoryid101 8 Aprenda Artigo A Abordagem do Conceito de Limites Derivadas e Integral em Curso de Engenharia disponível em httpwwwabengeorgbrcobengearquivos8sessoestecart1628pdf Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 3 Tema 1 LIMITE CONCEITOS PROPRIEDADES E EXEMPLOS 3 Objetivos Identificar e reconhecer as assintotas de uma função por meio da sua abordagem gráfica eou algébrica com a finalidade de conhecer as possiveis restrições que a função venha a possuir 4 Tópicos 13 CONTINUIDADE DA FUNÇÃO E ASSÍNTOTAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retomando o conceito de limites no infinito visto na aula 2 que serão utilizados no desenvolver do conteúdo abordado A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema As assíntotas e continuidades são conceitos fundamentais para o desenvolvimento e formalização de demais conceitos da disciplina Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula o professor deve fazer os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 O que é algo contínuo 2 O que são assíntotas e qual a sua importância no gráfico de uma função 3 Todas as funções possuem assíntotas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas onde a partir das respostas às questões norteadoras em especial sobre o que é algo contínuo o professor irar transportar esse conceito para a análise gráfica das funções que devem ser desenvolvidas ao longo do percurso de aprendizagem desse encontro Partindo das definições dada pelos estudantes o professor deverá iniciar o assunto de forma expositivadialogada partindo dos conceitos que os estudantes possam ter apresentado em torno da questão norteadora dando ênfase à formalidade das funções contínuas e das assíntotas de uma função Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais conectando as respostas dos alunos às questões norteadoras com o formalismo sobre as assíntotas e continuidades Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a aplicação do conceito de continuidade e assíntotas com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Deve ser aplicado um questionário com ao menos 10 perguntas que abordem tanto questões de conceituação como questões numéricas acerca do assunto abordado Adicionalmente podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica Discussões sobre a relação entre Limites e Continuidade de Função Investigando Imagens Conceituais httpswwwscielobrpdfbolemav29n5319804415bolema29531224pdf BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo XII 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathcalculushomelimitsandcontinuitycalc Limites Lateral httpswwwgeogebraorgmNCMdtBdQ Questão 1 A 0 B 1 C 8 D Impossível E Indeterminado Questão 2 A 2 e 2 B 4 e 4 C 0 e 2 D 2 E 4 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 4 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Reconhecer e identificar a representação de uma derivada por meio da sua representação gráfica eou algébrica para resplição de problemas significativo 4 Tópicos 21 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL 22 CÁLCULO DE DERIVADA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Será que o conceito de derivada já foi visto em algum momento em disciplinas do 1º Período da graduação ou até mesmo no ensino médio 2 Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 3 Como se apresenta o Cálculo Diferencial em outras áreas Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Diferencial bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações assim como a relação existente entre representação da geométrica da derivada e o conceito de limites como o disponível em httpswwwgeogebraorgmGCDPTbUz Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades com foco em exercícios que abordem de forma prática a conceitos iniciais das derivas Com a finalidade de verificar a aprendizagem do conteúdo abordado em sala de aula Podem ser utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcdiffintro A ideia de derivada httpswwwgeogebraorgmgg3zjk5v Questão 1 A A regra da cadeira B A regra do produto C A regra do quociente D A regra da soma E A regra da subtração Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 5 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Identificar a utilização da regra da cadeia por meio das derivadas com o intuido de aplciar em problemas da engenheraria 4 Tópicos 23 REGRA DA CADEIA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos de Derivadas Compostas e Regra da Cadeia A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Um erro muito comum cometido pelos estudantes ao fazer uso da derivada é por exemplo definir que a derivada de uma função fxcos u e fxcos2 u possuem o mesmo valor Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como identificar uma função composta 2 Existe alguma diferença entre o resultado da derivada das funções fxsen x2 e gxsen2 x justifique Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Partindo da resolução das derivas das funções sugeridas o professor irá apresentar os conceitos formais da derivação da regra da cadeia bem como seus cálculos e suas possíveis aplicações Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a regra da cadeia Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Buscando verificar o entendimento dos estudantes sobre o Conceito de Cálculo Diferencial bem como o desenvolvimento do protagonismo dos estudantes em relação à sua formação Atividade Grupo de no máximo 5 integrantes onde os mesmos possam apresentar a importância do Cálculo Diferencial no contexto histórico do desenvolvimento da Matemática assim como as suas diversas aplicações Forma de Apresentação 1 A apresentação do trabalho pode ser de forma virtual por meio do microsoft team ou de forma presencial quando for possível 2 Por meio de produção de video como por exemplo em forma de documentário 3 Da forma como o professor responsável pela disciplina achar mais adequado 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica A derivada e suas aplicações na Ciências httpwwwinicepgunivapbrcdINIC2016anaisarquivosRE0230004701 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathdifferentialcalculusdcchain Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 6 Tema 2 DERIVADAS CONCEITOS PROPRIEDADES E CÁLCULOS 3 Objetivos Utilizar e reconhecer o conceito de derivada implícita por meio da sua representação algébrica para resolução de problemas de cálculo diferencial e integral 4 Tópicos 24 DERIVADA DE ORDENS SUPERIORES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos retornando as ideias de múltiplas formas da representação da derivada bem como a relação existente entre o cálculo diferencial e o ensino de física A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Derivar sucessivamente implica em repetir o processo de derivação sobre uma função que já está derivada Partido desse processo podemos encontrar valores constantes ou até mesmo o crescimento e decrescimento de uma função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos os seguintes questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Qual a relação existente entre Equação Horária Velocidade no Instante e Aceleração no Instante Existe alguma relação do Cálculo diferencial com a Física 2 Qual o seria a forma implícita de uma derivada Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada Para iniciar a aula o professor pode apresentar a animação de carros que se movimentam em sentido contrário httpswwwgeogebraorgmsrAnuWgzmaterialnjAh3rsY a partir da exposição do conteúdo o docente pode investigar juntos aos estudantes as relações existes entre st vt e at A partir das respostas que irão ser apresentadas pelos estudantes o professor irá fazer as definições dos conceitos formais de derivadas sucessivas e Derivadas Implícitas Em seguida deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as derivadas sucessivas Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer Instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo II P94 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation2newab32eimplicit differentiation Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmvtRhhaag Questão 1 Questões 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 7 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender o conceito de taxa da variação por meio do coeficiente angular da reta normal e reta tangente na resolução geometrica do conteúdo de derivadas 4 Tópicos 31 RETA TANGENTE E NORMAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar com exemplificações das aplicações das derivadas para determinação das retas tangente e normal A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição da questão norteadora inserida na situaçãoproblema Situaçãoproblema Quando temos duas retas e as analisamos entre si elas podem ser Paralelas Concorrente coincidentes o Normal O que define essas retas entre si são os seus coeficientes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula pode ser feita algum questionamento aos estudantes que servirá como norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Qual é a relação existente entre o coeficiente angular da reta tangente e o da reta normal Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das respostas que irão ser apresentada pelos estudantes o professor irá apresentar os conceitos formal sobre a aplicação da derivada no cálculo da equação da reta tangente bem como da reta normal Buscando apresentar de forma dinâmica o conceito de reta normal o professor pode fazer uso do conteúdo disponível em httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr o que entendemos que irá melhorar a compreensão do conteúdo abordado Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no cálculo das equações das retas tangentes e normais Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 104 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdifferentiation1newab22afinding tangentlineequations Derivadas de Ordem Superior httpswwwgeogebraorgmwAdj5RYM httpswwwgeogebraorgmJJhc63Rr surfe Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 8 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Compreender e relacionar as variações existentes de crescimento e decrescimento por meio das taxas relacionadas em diferentes formas de problemas seja ecônimos ou científicos 4 Tópicos 32 TAXAS DE VARIAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula apresentando os conceitos com exemplificações das aplicações das derivadas para a resolução de problemas de taxas A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Falar em previsões futuras como por exemplo crescimento ou decrescimento populacional funções marginais Receita Custo e Lucro são dados que podem ser modelados com a utilização da derivada Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como os conceitos de derivadas podem ser utilizados em problemas que envolva os conceitos de microeconomia 2 Como se relaciona os problemas de derivadas e otimização O que isso influencia na vida do engenheiro Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve a aplicação das derivadas em taxas relacionas problemas de otimização e projeções futuras Para isso pode ser utilizado questões que tratem de taxas de variação como por exemplo Estimase que daqui a t anos a circulação de um jornal será Ct100t2400t5000 Qual é a taxa de variação da circulação daqui a 5 anos Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização da derivada no em problemas de taxas e otimização Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Aplicação da Taxa de Variação httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffcontextual applicationsnewab41aanalyzingproblemsinvolvingratesofchangeinappliedcontexts Conteúdo httpwwwdmmimufrjbrprojetoprojetocprecalculosalaconteudocapitulosreta111htmltext Taxa20de20variaC3A7C3A3otext2C20pode20ser20interpretada20como2 0aque20a20variC3A1vel20x20muda Taxa de variação httpswwwgeogebraorgmNy8JsSAj Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 9 Tema 3 DERIVADAS APLICAÇÕES 3 Objetivos Saber interpretar valores de máximos e mínimos contidos em uma representação algébrica ou geometrica de uma função para resolução de problemas signifcativos 4 Tópicos 33 DERIVADA NO ESTUDO DE FUNÇÕES 34 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá iniciar a aula retornando o conceito de derivada sucessiva pois esse conceito será utilizado para o estudo de extremos da função A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Ao estudarmos a representação geométrica de uma função é comum analisarmos o crescimento e decrescimento dessa função Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo 1 Como podemos identificar os pontos de crescimento ou decrescimento de uma função 2 Como a aplicação da derivada sucessiva ajuda no entendimento do Comportamento gráfico de uma função Metodologia Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemática das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos que envolve as derivadas sucessiva e a sua aplicação no estudo de uma função Para isso o professor pode fazer uso do recurso disponível em httpswwwgeogebraorgmMHVEaSHA demonstrando assim a relação existente entre pontos extremos da função e o uso das derivadas sucessivas Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre a utilização das derivadas sucessivas e os pontos extremos de uma função Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo prédefinidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo III P 108 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababdiffanalyticalapplicationsnewab5 5eextremevaluetheorem Pontos de Máximo e Mínimo httpswwwgeogebraorgmenwKCzsTmaterialHKX2UhNC Questão 1 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 3q² 5q 10 determine a função do custo marginal Questão 2 Suponha que o custo total em reais ao se fabricar q unidades de um certo produto seja de Cq 30q² 480q 10 determine a quantidade q que maximiza essa produção Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 10 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o conceito de integral como sendo a operação inversa da derivadafazendo uso dos seus conceitos em problemas de significativos 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 42 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 43 INTEGRAÇÃO POR PARTES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor deverá apresentar os conceitos introdutórios da Integração bem como alguns métodos de resolução da integral A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema O Cálculo Integral é um estudo feito por Leibniz a partir desse estudo podemos comprovar o Teorema Fundamental do Cálculo e sua aplicação dentre outras coisas está relacionado ao cálculo de áreas e volumes Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos alguns questionamentos aos estudantes que serão os norteadores do assunto abordado como por exemplo Qual a importância do cálculo integral e quais suas possíveis aplicações Quais os métodos podemos usar para resolvermos um cálculo Integral Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir das questões norteadoras o professor irá apresentar os conceitos formais do Cálculo Integral bem como suas aplicações e seus métodos que serão usados nas resoluções de um cálculo integral No que tange as formas de resolução de cálculo integral pode ser exposto a diferença entre o método de resolução de uma integral sen2 x cosx dx para o tipo de integral x cosx dx Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integral Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 143 e Capítulo VI P 199 8 Aprenda Conteúdo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab69vusubstitution Questão 1 Questão 2 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 11 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender os métodos de resolução de uma integral cuja função sejam uma potência de seno ou cosseno por meio das transformações trigonométricas 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando questões cujas funções a serem integradas sejam trigonométricas Seno e Cosseno A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral quando as funções a serem integradas são funções trigonométricas em especial as que usem potencias de seno e cosseno o uso do recurso de identidades trigonométricas muitas das vezes se faz necessário Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo Como as identidades trigonométricas podem auxiliar na resolução de uma integral do tipo cosnx dx ou senn x dx com n maior ou igual 2 Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadoras o professor pode fazer uma avaliação prévia do conhecimento que os estudantes possuem sobre cálculos e transformações trigonométricas que servirá de base para a resolução das questões que serão propostas A partir da verificação feita pelo professor sobre o conhecimento que os estudantes possuem caso seja necessário a revisão de conteúdo pode favorecer o entendimento da resolução das integrais exemplificadas mas questões norteadoras Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 137 8 Aprenda Conteúdo Integrais Trigonométricas httpsptkhanacademyorgmathcalculushomeintegration techniquescalcintegrationusingtrigonometricidentitiescalceintegrationusingtrigonometric identities Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 12 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o método da resolução da integral por meio das frações parcais com a finaldiade de resolver problemas significativos na engenharia 4 Tópicos 44 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando o método por frações parciais A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situação problema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral dentre elas as que se apresentam em forma de frações parciais sendo necessário o desmembramento das funções a ser integrada em outras funções Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Como a divisão de polinômio pode ajudar na resolução de uma integral cuja sua representação está em forma de fração parcial Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadora o professor irá apresentar os conceitos formais da forma de integração por frações parciais podendo ser necessário apresentar aos estudantes situações que necessitem que haja fatoração de termos buscando assim a melhor forma possível para resolução Caso seja necessária o professor pode fazer uma breve revisão de conteúdo fazendo com que os estudantes possuam em suas mãos ferramentas matemáticas para desenvolvimento do conteúdo Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Ao final da aula solicitar aos alunos que acessem o conteúdo digital em seu tema 5 Integrais aplicações tópico 51 Integral cálculo de arcos como preparação para a aula da próxima semana 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais como por exemplo o geogebra disponível em httpswwwgeogebraorg que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo VI P 214 8 Aprenda Conteúdo Integração por Frações Parciais httpsptkhanacademyorgmathapcalculusbcbc integrationnewbc612vintegrationwithpartialfractions Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 13 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integração no cálculo do comprimento de arcos de curva 4 Tópicos 51 ARCOS DE CURVA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 14 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Empregar o conceito da integral na obtenção do cálculo de áreas 4 Tópicos 52 CÁLCULO DE ÁREAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 15 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 16 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital 3 Objetivos Compreender os métodos de resolução de uma integral cuja função sejam uma potência de seno ou cosseno por meio das transformações trigonométricas 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando questões cujas funções a serem integradas sejam trigonométricas Seno e Cosseno A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral quando as funções a serem integradas são funções trigonométricas em especial as que usem potencias de seno e cosseno o uso do recurso de identidades trigonométricas muitas das vezes se faz necessário Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo Como as identidades trigonométricas podem auxiliar na resolução de uma integral do tipo cosnx dx ou senn x dx com n maior ou igual 2 Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadoras o professor pode fazer uma avaliação prévia do conhecimento que os estudantes possuem sobre cálculos e transformações trigonométricas que servirá de base para a resolução das questões que serão propostas A partir da verificação feita pelo professor sobre o conhecimento que os estudantes possuem caso seja necessário a revisão de conteúdo pode favorecer o entendimento da resolução das integrais exemplificadas mas questões norteadoras Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 137 8 Aprenda Conteúdo Integrais Trigonométricas httpsptkhanacademyorgmathcalculushomeintegration techniquescalcintegrationusingtrigonometricidentitiescalceintegrationusingtrigonometric identities Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 12 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o método da resolução da integral por meio das frações parcais com a finaldiade de resolver problemas significativos na engenharia 4 Tópicos 44 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando o método por frações parciais A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situação problema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral dentre elas as que se apresentam em forma de frações parciais sendo necessário o desmembramento das funções a ser integrada em outras funções Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Como a divisão de polinômio pode ajudar na resolução de uma integral cuja sua representação está em forma de fração parcial Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadora o professor irá apresentar os conceitos formais da forma de integração por frações parciais podendo ser necessário apresentar aos estudantes situações que necessitem que haja fatoração de termos buscando assim a melhor forma possível para resolução Caso seja necessária o professor pode fazer uma breve revisão de conteúdo fazendo com que os estudantes possuam em suas mãos ferramentas matemáticas para desenvolvimento do conteúdo Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Ao final da aula solicitar aos alunos que acessem o conteúdo digital em seu tema 5 Integrais aplicações tópico 51 Integral cálculo de arcos como preparação para a aula da próxima semana 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais como por exemplo o geogebra disponível em httpswwwgeogebraorg que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo VI P 214 8 Aprenda Conteúdo Integração por Frações Parciais httpsptkhanacademyorgmathapcalculusbcbc integrationnewbc612vintegrationwithpartialfractions Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 13 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integração no cálculo do comprimento de arcos de curva 4 Tópicos 51 ARCOS DE CURVA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 14 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Empregar o conceito da integral na obtenção do cálculo de áreas 4 Tópicos 52 CÁLCULO DE ÁREAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 15 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 16 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital 3 Objetivos Compreender os métodos de resolução de uma integral cuja função sejam uma potência de seno ou cosseno por meio das transformações trigonométricas 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando questões cujas funções a serem integradas sejam trigonométricas Seno e Cosseno A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral quando as funções a serem integradas são funções trigonométricas em especial as que usem potencias de seno e cosseno o uso do recurso de identidades trigonométricas muitas das vezes se faz necessário Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo Como as identidades trigonométricas podem auxiliar na resolução de uma integral do tipo cosnx dx ou senn x dx com n maior ou igual 2 Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadoras o professor pode fazer uma avaliação prévia do conhecimento que os estudantes possuem sobre cálculos e transformações trigonométricas que servirá de base para a resolução das questões que serão propostas A partir da verificação feita pelo professor sobre o conhecimento que os estudantes possuem caso seja necessário a revisão de conteúdo pode favorecer o entendimento da resolução das integrais exemplificadas mas questões norteadoras Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 137 8 Aprenda Conteúdo Integrais Trigonométricas httpsptkhanacademyorgmathcalculushomeintegration techniquescalcintegrationusingtrigonometricidentitiescalceintegrationusingtrigonometric identities Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 12 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o método da resolução da integral por meio das frações parcais com a finaldiade de resolver problemas significativos na engenharia 4 Tópicos 44 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando o método por frações parciais A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situação problema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral dentre elas as que se apresentam em forma de frações parciais sendo necessário o desmembramento das funções a ser integrada em outras funções Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Como a divisão de polinômio pode ajudar na resolução de uma integral cuja sua representação está em forma de fração parcial Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadora o professor irá apresentar os conceitos formais da forma de integração por frações parciais podendo ser necessário apresentar aos estudantes situações que necessitem que haja fatoração de termos buscando assim a melhor forma possível para resolução Caso seja necessária o professor pode fazer uma breve revisão de conteúdo fazendo com que os estudantes possuam em suas mãos ferramentas matemáticas para desenvolvimento do conteúdo Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Ao final da aula solicitar aos alunos que acessem o conteúdo digital em seu tema 5 Integrais aplicações tópico 51 Integral cálculo de arcos como preparação para a aula da próxima semana 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais como por exemplo o geogebra disponível em httpswwwgeogebraorg que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo VI P 214 8 Aprenda Conteúdo Integração por Frações Parciais httpsptkhanacademyorgmathapcalculusbcbc integrationnewbc612vintegrationwithpartialfractions Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 13 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integração no cálculo do comprimento de arcos de curva 4 Tópicos 51 ARCOS DE CURVA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 14 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Empregar o conceito da integral na obtenção do cálculo de áreas 4 Tópicos 52 CÁLCULO DE ÁREAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 15 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 16 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital 3 Objetivos Compreender os métodos de resolução de uma integral cuja função sejam uma potência de seno ou cosseno por meio das transformações trigonométricas 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando questões cujas funções a serem integradas sejam trigonométricas Seno e Cosseno A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral quando as funções a serem integradas são funções trigonométricas em especial as que usem potencias de seno e cosseno o uso do recurso de identidades trigonométricas muitas das vezes se faz necessário Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo Como as identidades trigonométricas podem auxiliar na resolução de uma integral do tipo cosnx dx ou senn x dx com n maior ou igual 2 Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadoras o professor pode fazer uma avaliação prévia do conhecimento que os estudantes possuem sobre cálculos e transformações trigonométricas que servirá de base para a resolução das questões que serão propostas A partir da verificação feita pelo professor sobre o conhecimento que os estudantes possuem caso seja necessário a revisão de conteúdo pode favorecer o entendimento da resolução das integrais exemplificadas mas questões norteadoras Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 137 8 Aprenda Conteúdo Integrais Trigonométricas httpsptkhanacademyorgmathcalculushomeintegration techniquescalcintegrationusingtrigonometricidentitiescalceintegrationusingtrigonometric identities Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 12 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o método da resolução da integral por meio das frações parcais com a finaldiade de resolver problemas significativos na engenharia 4 Tópicos 44 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando o método por frações parciais A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situação problema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral dentre elas as que se apresentam em forma de frações parciais sendo necessário o desmembramento das funções a ser integrada em outras funções Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Como a divisão de polinômio pode ajudar na resolução de uma integral cuja sua representação está em forma de fração parcial Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadora o professor irá apresentar os conceitos formais da forma de integração por frações parciais podendo ser necessário apresentar aos estudantes situações que necessitem que haja fatoração de termos buscando assim a melhor forma possível para resolução Caso seja necessária o professor pode fazer uma breve revisão de conteúdo fazendo com que os estudantes possuam em suas mãos ferramentas matemáticas para desenvolvimento do conteúdo Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Ao final da aula solicitar aos alunos que acessem o conteúdo digital em seu tema 5 Integrais aplicações tópico 51 Integral cálculo de arcos como preparação para a aula da próxima semana 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais como por exemplo o geogebra disponível em httpswwwgeogebraorg que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo VI P 214 8 Aprenda Conteúdo Integração por Frações Parciais httpsptkhanacademyorgmathapcalculusbcbc integrationnewbc612vintegrationwithpartialfractions Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 13 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integração no cálculo do comprimento de arcos de curva 4 Tópicos 51 ARCOS DE CURVA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 14 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Empregar o conceito da integral na obtenção do cálculo de áreas 4 Tópicos 52 CÁLCULO DE ÁREAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 15 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 16 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital 3 Objetivos Compreender os métodos de resolução de uma integral cuja função sejam uma potência de seno ou cosseno por meio das transformações trigonométricas 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando questões cujas funções a serem integradas sejam trigonométricas Seno e Cosseno A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral quando as funções a serem integradas são funções trigonométricas em especial as que usem potencias de seno e cosseno o uso do recurso de identidades trigonométricas muitas das vezes se faz necessário Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo Como as identidades trigonométricas podem auxiliar na resolução de uma integral do tipo cosnx dx ou senn x dx com n maior ou igual 2 Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadoras o professor pode fazer uma avaliação prévia do conhecimento que os estudantes possuem sobre cálculos e transformações trigonométricas que servirá de base para a resolução das questões que serão propostas A partir da verificação feita pelo professor sobre o conhecimento que os estudantes possuem caso seja necessário a revisão de conteúdo pode favorecer o entendimento da resolução das integrais exemplificadas mas questões norteadoras Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 137 8 Aprenda Conteúdo Integrais Trigonométricas httpsptkhanacademyorgmathcalculushomeintegration techniquescalcintegrationusingtrigonometricidentitiescalceintegrationusingtrigonometric identities Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 12 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o método da resolução da integral por meio das frações parcais com a finaldiade de resolver problemas significativos na engenharia 4 Tópicos 44 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando o método por frações parciais A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situação problema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral dentre elas as que se apresentam em forma de frações parciais sendo necessário o desmembramento das funções a ser integrada em outras funções Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Como a divisão de polinômio pode ajudar na resolução de uma integral cuja sua representação está em forma de fração parcial Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadora o professor irá apresentar os conceitos formais da forma de integração por frações parciais podendo ser necessário apresentar aos estudantes situações que necessitem que haja fatoração de termos buscando assim a melhor forma possível para resolução Caso seja necessária o professor pode fazer uma breve revisão de conteúdo fazendo com que os estudantes possuam em suas mãos ferramentas matemáticas para desenvolvimento do conteúdo Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Ao final da aula solicitar aos alunos que acessem o conteúdo digital em seu tema 5 Integrais aplicações tópico 51 Integral cálculo de arcos como preparação para a aula da próxima semana 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais como por exemplo o geogebra disponível em httpswwwgeogebraorg que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo VI P 214 8 Aprenda Conteúdo Integração por Frações Parciais httpsptkhanacademyorgmathapcalculusbcbc integrationnewbc612vintegrationwithpartialfractions Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 13 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integração no cálculo do comprimento de arcos de curva 4 Tópicos 51 ARCOS DE CURVA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 14 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Empregar o conceito da integral na obtenção do cálculo de áreas 4 Tópicos 52 CÁLCULO DE ÁREAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 15 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 16 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital 3 Objetivos Compreender os métodos de resolução de uma integral cuja função sejam uma potência de seno ou cosseno por meio das transformações trigonométricas 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando questões cujas funções a serem integradas sejam trigonométricas Seno e Cosseno A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral quando as funções a serem integradas são funções trigonométricas em especial as que usem potencias de seno e cosseno o uso do recurso de identidades trigonométricas muitas das vezes se faz necessário Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo Como as identidades trigonométricas podem auxiliar na resolução de uma integral do tipo cosnx dx ou senn x dx com n maior ou igual 2 Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadoras o professor pode fazer uma avaliação prévia do conhecimento que os estudantes possuem sobre cálculos e transformações trigonométricas que servirá de base para a resolução das questões que serão propostas A partir da verificação feita pelo professor sobre o conhecimento que os estudantes possuem caso seja necessário a revisão de conteúdo pode favorecer o entendimento da resolução das integrais exemplificadas mas questões norteadoras Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 137 8 Aprenda Conteúdo Integrais Trigonométricas httpsptkhanacademyorgmathcalculushomeintegration techniquescalcintegrationusingtrigonometricidentitiescalceintegrationusingtrigonometric identities Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 12 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o método da resolução da integral por meio das frações parcais com a finaldiade de resolver problemas significativos na engenharia 4 Tópicos 44 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando o método por frações parciais A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situação problema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral dentre elas as que se apresentam em forma de frações parciais sendo necessário o desmembramento das funções a ser integrada em outras funções Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Como a divisão de polinômio pode ajudar na resolução de uma integral cuja sua representação está em forma de fração parcial Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadora o professor irá apresentar os conceitos formais da forma de integração por frações parciais podendo ser necessário apresentar aos estudantes situações que necessitem que haja fatoração de termos buscando assim a melhor forma possível para resolução Caso seja necessária o professor pode fazer uma breve revisão de conteúdo fazendo com que os estudantes possuam em suas mãos ferramentas matemáticas para desenvolvimento do conteúdo Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Ao final da aula solicitar aos alunos que acessem o conteúdo digital em seu tema 5 Integrais aplicações tópico 51 Integral cálculo de arcos como preparação para a aula da próxima semana 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais como por exemplo o geogebra disponível em httpswwwgeogebraorg que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo VI P 214 8 Aprenda Conteúdo Integração por Frações Parciais httpsptkhanacademyorgmathapcalculusbcbc integrationnewbc612vintegrationwithpartialfractions Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 13 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integração no cálculo do comprimento de arcos de curva 4 Tópicos 51 ARCOS DE CURVA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 14 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Empregar o conceito da integral na obtenção do cálculo de áreas 4 Tópicos 52 CÁLCULO DE ÁREAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 15 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 16 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital 3 Objetivos Compreender os métodos de resolução de uma integral cuja função sejam uma potência de seno ou cosseno por meio das transformações trigonométricas 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando questões cujas funções a serem integradas sejam trigonométricas Seno e Cosseno A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral quando as funções a serem integradas são funções trigonométricas em especial as que usem potencias de seno e cosseno o uso do recurso de identidades trigonométricas muitas das vezes se faz necessário Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo Como as identidades trigonométricas podem auxiliar na resolução de uma integral do tipo cosnx dx ou senn x dx com n maior ou igual 2 Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadoras o professor pode fazer uma avaliação prévia do conhecimento que os estudantes possuem sobre cálculos e transformações trigonométricas que servirá de base para a resolução das questões que serão propostas A partir da verificação feita pelo professor sobre o conhecimento que os estudantes possuem caso seja necessário a revisão de conteúdo pode favorecer o entendimento da resolução das integrais exemplificadas mas questões norteadoras Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 137 8 Aprenda Conteúdo Integrais Trigonométricas httpsptkhanacademyorgmathcalculushomeintegration techniquescalcintegrationusingtrigonometricidentitiescalceintegrationusingtrigonometric identities Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 12 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o método da resolução da integral por meio das frações parcais com a finaldiade de resolver problemas significativos na engenharia 4 Tópicos 44 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando o método por frações parciais A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situação problema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral dentre elas as que se apresentam em forma de frações parciais sendo necessário o desmembramento das funções a ser integrada em outras funções Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Como a divisão de polinômio pode ajudar na resolução de uma integral cuja sua representação está em forma de fração parcial Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadora o professor irá apresentar os conceitos formais da forma de integração por frações parciais podendo ser necessário apresentar aos estudantes situações que necessitem que haja fatoração de termos buscando assim a melhor forma possível para resolução Caso seja necessária o professor pode fazer uma breve revisão de conteúdo fazendo com que os estudantes possuam em suas mãos ferramentas matemáticas para desenvolvimento do conteúdo Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Ao final da aula solicitar aos alunos que acessem o conteúdo digital em seu tema 5 Integrais aplicações tópico 51 Integral cálculo de arcos como preparação para a aula da próxima semana 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais como por exemplo o geogebra disponível em httpswwwgeogebraorg que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo VI P 214 8 Aprenda Conteúdo Integração por Frações Parciais httpsptkhanacademyorgmathapcalculusbcbc integrationnewbc612vintegrationwithpartialfractions Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 13 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integração no cálculo do comprimento de arcos de curva 4 Tópicos 51 ARCOS DE CURVA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 14 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Empregar o conceito da integral na obtenção do cálculo de áreas 4 Tópicos 52 CÁLCULO DE ÁREAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 15 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 16 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital 3 Objetivos Compreender os métodos de resolução de uma integral cuja função sejam uma potência de seno ou cosseno por meio das transformações trigonométricas 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando questões cujas funções a serem integradas sejam trigonométricas Seno e Cosseno A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral quando as funções a serem integradas são funções trigonométricas em especial as que usem potencias de seno e cosseno o uso do recurso de identidades trigonométricas muitas das vezes se faz necessário Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo Como as identidades trigonométricas podem auxiliar na resolução de uma integral do tipo cosnx dx ou senn x dx com n maior ou igual 2 Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadoras o professor pode fazer uma avaliação prévia do conhecimento que os estudantes possuem sobre cálculos e transformações trigonométricas que servirá de base para a resolução das questões que serão propostas A partir da verificação feita pelo professor sobre o conhecimento que os estudantes possuem caso seja necessário a revisão de conteúdo pode favorecer o entendimento da resolução das integrais exemplificadas mas questões norteadoras Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 137 8 Aprenda Conteúdo Integrais Trigonométricas httpsptkhanacademyorgmathcalculushomeintegration techniquescalcintegrationusingtrigonometricidentitiescalceintegrationusingtrigonometric identities Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 12 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o método da resolução da integral por meio das frações parcais com a finaldiade de resolver problemas significativos na engenharia 4 Tópicos 44 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando o método por frações parciais A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situação problema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral dentre elas as que se apresentam em forma de frações parciais sendo necessário o desmembramento das funções a ser integrada em outras funções Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Como a divisão de polinômio pode ajudar na resolução de uma integral cuja sua representação está em forma de fração parcial Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadora o professor irá apresentar os conceitos formais da forma de integração por frações parciais podendo ser necessário apresentar aos estudantes situações que necessitem que haja fatoração de termos buscando assim a melhor forma possível para resolução Caso seja necessária o professor pode fazer uma breve revisão de conteúdo fazendo com que os estudantes possuam em suas mãos ferramentas matemáticas para desenvolvimento do conteúdo Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Ao final da aula solicitar aos alunos que acessem o conteúdo digital em seu tema 5 Integrais aplicações tópico 51 Integral cálculo de arcos como preparação para a aula da próxima semana 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais como por exemplo o geogebra disponível em httpswwwgeogebraorg que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo VI P 214 8 Aprenda Conteúdo Integração por Frações Parciais httpsptkhanacademyorgmathapcalculusbcbc integrationnewbc612vintegrationwithpartialfractions Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 13 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integração no cálculo do comprimento de arcos de curva 4 Tópicos 51 ARCOS DE CURVA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 14 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Empregar o conceito da integral na obtenção do cálculo de áreas 4 Tópicos 52 CÁLCULO DE ÁREAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 15 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 16 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital 3 Objetivos Compreender os métodos de resolução de uma integral cuja função sejam uma potência de seno ou cosseno por meio das transformações trigonométricas 4 Tópicos 41 INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO REAL 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando questões cujas funções a serem integradas sejam trigonométricas Seno e Cosseno A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situaçãoproblema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral quando as funções a serem integradas são funções trigonométricas em especial as que usem potencias de seno e cosseno o uso do recurso de identidades trigonométricas muitas das vezes se faz necessário Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo Como as identidades trigonométricas podem auxiliar na resolução de uma integral do tipo cosnx dx ou senn x dx com n maior ou igual 2 Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da atividade baseada em problemas e a aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadoras o professor pode fazer uma avaliação prévia do conhecimento que os estudantes possuem sobre cálculos e transformações trigonométricas que servirá de base para a resolução das questões que serão propostas A partir da verificação feita pelo professor sobre o conhecimento que os estudantes possuem caso seja necessário a revisão de conteúdo pode favorecer o entendimento da resolução das integrais exemplificadas mas questões norteadoras Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo IV P 137 8 Aprenda Conteúdo Integrais Trigonométricas httpsptkhanacademyorgmathcalculushomeintegration techniquescalcintegrationusingtrigonometricidentitiescalceintegrationusingtrigonometric identities Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 12 Tema 4 INTEGRAIS CONCEITOS PROPRIEDADES E TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 3 Objetivos Compreender o método da resolução da integral por meio das frações parcais com a finaldiade de resolver problemas significativos na engenharia 4 Tópicos 44 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Para o desenvolvimento do tópico desse encontro o professor continuará a apresentar métodos de resolução da integral dessa vez apresentando o método por frações parciais A aula se desenvolverá conforme descrito abaixo a partir da proposição de questões norteadoras inseridas na situação problema Situaçãoproblema Há diversas maneiras de se calcular uma integral dentre elas as que se apresentam em forma de frações parciais sendo necessário o desmembramento das funções a ser integrada em outras funções Para começarmos a abordagem do assunto que irá pautar a nossa aula podem ser feitos algum questionamento aos estudantes que será o norteador do assunto abordado como por exemplo 1 Como a divisão de polinômio pode ajudar na resolução de uma integral cuja sua representação está em forma de fração parcial Metodologia Para essa aula será utilizado a metodologia da aula expositiva e dialogada A partir da questão norteadora o professor irá apresentar os conceitos formais da forma de integração por frações parciais podendo ser necessário apresentar aos estudantes situações que necessitem que haja fatoração de termos buscando assim a melhor forma possível para resolução Caso seja necessária o professor pode fazer uma breve revisão de conteúdo fazendo com que os estudantes possuam em suas mãos ferramentas matemáticas para desenvolvimento do conteúdo Em seguida o professor deverá retomar às questões norteadoras iniciais abrindo a discussão sobre as situações propostas Atividade verificadora da aprendizagem Ao final da aula é indicado a realização de atividades como questionário com pelo menos 10 questões que abordem tanto questões conceituais como questões numéricas sobre as questões da integral e seus métodos de integração Essa atividade deve ser preferencialmente em grupo pré definidos ou em duplas favorecendo assim a metodologia ativa Peer instruction Pode ser também utilizados jogos para verificar a aprendizagem do tópico abordado Sugerese como aplicativo para ampliar a interação professoraluno o Kahoot Ao final da aula solicitar aos alunos que acessem o conteúdo digital em seu tema 5 Integrais aplicações tópico 51 Integral cálculo de arcos como preparação para a aula da próxima semana 6 Recursos didáticos Portal da disciplina data show para apresentação de slides quadro branco aplicativos objetos de aprendizagem multimídia livro proprietário da disciplina simulados disponíveis no SIA Avaliando Aprendizado Nova Chance Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da matemática é tornála um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais como por exemplo o geogebra disponível em httpswwwgeogebraorg que promovem um aumento no nível de percepção do comportamento das funções matemáticas das aplicações em cálculo da resolução de derivadas e integrais para citar alguns exemplos 7 Leitura específica BROCHI André Cálculo diferencial e integral I Rio de Janeiro SESES 2015 Livro Proprietário Capítulo VI P 214 8 Aprenda Conteúdo Integração por Frações Parciais httpsptkhanacademyorgmathapcalculusbcbc integrationnewbc612vintegrationwithpartialfractions Questão 1 Questão 2 Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 13 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integração no cálculo do comprimento de arcos de curva 4 Tópicos 51 ARCOS DE CURVA 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 14 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Empregar o conceito da integral na obtenção do cálculo de áreas 4 Tópicos 52 CÁLCULO DE ÁREAS 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 15 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital Plano de Aula 1 Código e nome da disciplina ARA0015 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 SemanaTema Semana 16 Tema 5 INTEGRAIS APLICAÇÕES ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA 3 Objetivos Aplicar o conceito da integral na obtenção do cálculo de volumes 4 Tópicos 53 CÁLCULO DE VOLUMES 5 Procedimentos de ensinoaprendizagem Nesta aula estaremos conectados com o conteúdo digital O aluno explora e estuda previamente o conteúdo digital disponível em seu ambiente virtual 6 Recursos didáticos A aula será realizada no ambiente virtual de aprendizagem 7 Leitura específica O aluno deverá consultar a bibliografia proposta no tema 8 Aprenda O aluno deverá aprofundar os seus estudos navegando no explore disponível no tema digital