Análise de Sistemas Lineares e Transformações Lineares

DEFINIÇÃO Aplicação dos conceitos de sistemas lineares e transformações lineares no plano PROPÓSITO Definir e aplicar sistemas lineares e transformações lineares no plano PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema tenha em mãos papel caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphonecomputador OBJETIVOS MÓDULO 1 Classificar os sistemas de equações lineares MÓDULO 2 Aplicar métodos de resolução para obter a solução dos sistemas de equações lineares MÓDULO 3 Empregar o conceito de transformação linear no plano MÓDULO 4 Aplicar o conceito de autovalores e autovetores em sistemas e transformações lineares MÓDULO 1 Classificar os sistemas de equações lineares INTRODUÇÃO Em diversas ocasiões tornase necessária a análise de um problema por meio de diversas equações Essas equações formam um sistema que deve ser resolvido para se obter a solução do problema Este módulo define e classifica um sistema de equações lineares FonteFreepik DEFINIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Vamos começar entendendo o que é uma equação linear Uma equação linear em n variáveis x1x2 xn é uma equação da forma A1X1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Onde 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 𝑒 𝑏 são números reais Ela utiliza as seguintes nomenclaturas 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 variáveis ou incógnitas 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 coeficientes das variáveis 𝑏 termo independente ATENÇÃO Cuidado na equação linear as incógnitas estão com expoentes unitários assim as equações abaixo não são equações lineares 𝑥𝑦 3 𝑥2 2𝑦 4 Se relacionarmos mais do que uma equação linear teremos o que chamamos de um sistema de equações lineares ou simplesmente um sistema linear Assim seja um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas ele terá uma forma 𝑎11 𝑥1 𝑎12 𝑥2 𝑎13 𝑥3 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 𝑏1 𝑎21 𝑥1 𝑎22 𝑥2 𝑎23 𝑥3 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 𝑏2 𝑎𝑚1 𝑥1 𝑎𝑚2 𝑥2 𝑎𝑚3 𝑥3 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑏𝑚 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Onde todos os coeficientes e termos independentes são constantes reais A solução desse sistema é o conjunto de valores reais ordenados 𝑐1 𝑐2 𝑐𝑛 que satisfazem simultaneamente todas as equações do sistema Este conjunto é denominado de conjunto solução ou solução geral do sistema O sistema linear pode ser representado por um produto matricial 𝐴𝑋 𝐵 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A X B A matriz A é denominada matriz incompleta matriz dos coeficientes ou matriz do sistema dada por 𝐴𝑚 𝑛 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎2𝑛 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 𝑎𝑚𝑛 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A matriz X é denominada matriz das variáveis ou incógnitas dada por 𝑋𝑛 1 𝑥1 𝑥1 𝑥𝑛 E a matriz B dos termos independentes definida por 𝐵𝑚 1 𝑏1 𝑏2 𝑏𝑚 Quando todos os termos independentes do sistema forem nulos o sistema é dito homogêneo Existe também a matriz completa dos coeficientes para um sistema linear que junta a matriz A com a matriz B assim 𝐶𝑚 𝑛 1 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎1𝑛 𝑏1 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎1𝑛 𝑏1 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎1𝑛 𝑏1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Os sistemas lineares de acordo com as suas soluções podem ser classificados como POSSÍVEL E DETERMINADO Apresenta uma única solução POSSÍVEL E INDETERMINADO Apresenta infinitas soluções IMPOSSÍVEL Não apresenta soluções Existem vários métodos para buscar a solução de um sistema de equações lineares COMENTÁRIO Para os sistemas mais simples podemos usar os métodos da substituição e o da adição ou cancelamento Vale lembrar que sistemas mais simples são sistemas de até três equações e três incógnitas Em ambos os métodos trabalhamos com as equações de forma a tentar ficar apenas com uma incógnita Em outras palavras podemos multiplicar as equações por números reais e realizar operações de soma ou subtração entre elas para tentarmos eliminar as variáveis e obtermos os seus valores Os exemplos a seguir apresentam aplicação desses métodos simples Na solução de sistemas de duas variáveis podese fazer uma analogia com as posições relativas de retas vistas na geometria analítica Da mesma forma para sistemas de três variáveis a analogia será com os planos Observe SISTEMAS POSSÍVEIS E DETERMINADOS SISTEMAS IMPOSSÍVEIS SISTEMA POSSÍVEL E INDETERMINADO Seriam o caso em que as retas ou planos teriam apenas um ponto em comum Seriam o caso de as retas ou os planos não terem pontos em comum Seria o caso de as retas e planos terem infinitos pontos em comum por exemplo uma reta ou mesmo um plano em comum Para sistemas maiores e mais complexos existem métodos mais eficientes que serão vistos posteriormente EXEMPLOS 1 Analise a solução do sistema 2x y 4 x 2y 7 Solução Ao usar o método da substituição obtemos na primeira equação y 2x 4 Substituímos então o valor de y na segunda equação e obtémse assim uma equação apenas com a variável x x 2y 7 x 2 2x 4 7 x 4x 8 7 5x 7 8 15 x 15 5 3 Portanto ficamos com um sistema 2x y 4 x 3 logo y 2x 4 2 3 4 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Por isso o sistema é possível e determinado com a solução x y 3 2 Fazendo uma analogia esse sistema pode ser visto como a interseção de duas retas que por serem concorrentes possui apenas um ponto em comum 32 2 Analise a solução do sistema 2x y 2 4x 2y 5 RESOLUÇÃO Vamos usar o método do cancelamento Multiplique a primeira equação por 2 e some as duas equações 2x y 2 4x 2y 5 2x 2 y 2 2 2 4x 2y 5 4x 2y 4 4x 2y 5 Somando as duas equações chegamos a 0 1 Repare que caímos em uma contradição Assim não há valor de x e y que satisfaça as duas equações de forma simultânea O sistema portanto é um sistema linear impossível Fazendo uma analogia esse sistema pode ser visto como a interseção de duas retas que por serem paralelas não possui ponto em comum Observe que 2x y 2 4x 2y 5 2x y 2 2x y 5 2 é impossível atender as duas equações simultaneamente 3 Analise a solução do sistema 2x1 3x2 1 6x1 9x2 3 Solução Vamos usar o método do cancelamento Multiplique a primeira equação por 3 e some as duas equações 2x1 3x2 1 6x1 9x2 3 2 x1 3 3x2 3 1 3 6x1 9x2 3 6x1 9x2 6x1 9x2 3 Somando as duas equações chegamos a 0 0 Então ficamos com um sistema 2x1 3𝑥2 1 0 0 que vai ser atendido sempre que a primeira equação for atendida Assim existem infinitos valores que atendem ao sistema O sistema portanto é um sistema linear possível e indeterminado Qualquer ponto do tipo 𝑥1 𝑥2 𝑎 2 3𝑎 1 3 com a real ou 𝑥1 𝑥2 1 2 3 2𝑏 𝑏 com b real é solução do sistema Por exemplo 𝑥1 𝑥2 1 1 3 𝑜𝑢 𝑥1 𝑥2 2 1 Repare que 2𝑥1 3𝑥2 1 6𝑥1 9𝑥2 3 2𝑥1 3𝑥2 1 6 3𝑥 1 9 3𝑥2 3 3 2𝑥1 3𝑥2 1 2𝑥1 3𝑥2 1 2𝑥1 3𝑥2 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Fazendo uma analogia esse sistema pode ser visto como a interseção de duas retas que por serem coincidentes possuem infinitos pontos em comum Para se verificar se um conjunto de valores é solução de um sistema basta substituir o mesmo nas equações e todas devem ser atendidas de forma simultânea Repare que sistemas possíveis e determinados terão apenas um conjunto de soluções possíveis Assim os sistemas podem ser Os possíveis e determinados única solução Os possíveis e indeterminados infinitas soluções Os impossíveis nenhuma solução atende a todas as equações EXEMPLO 4 Verifique se os valores de x y z 1 2 1 e x y z 1 0 1 são soluções do sistema 2𝑥 𝑦 𝑧 3 𝑥 𝑦 𝑧 2 𝑥 2𝑦 𝑧 2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal RESOLUÇÃO Basta substituir os valores nas equações e verificar se as atendem x y z 1 2 1 2𝑥 𝑦 𝑧 2 1 2 1 3 𝑜𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 1 2 2 𝑜𝑘 𝑥 2𝑦 𝑧 1 2 2 1 2 𝑜𝑘 Como o conjunto 1 2 1 atendeu todas as equações ele é uma solução desse sistema x y z 1 0 1 2𝑥 𝑦 𝑧 2 1 0 1 3 𝑜𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 1 0 1 2 𝑜𝑘 𝑥 2𝑦 𝑧 1 2 0 1 0 𝑛ã𝑜 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑢 Como o conjunto 1 0 1 não atendeu a última equação ele não é uma solução desse sistema ATENÇÃO Os sistemas lineares homogêneos isto é todos os termos independentes são nulos sempre apresentam a solução trivial de todas as variáveis iguais a zero Assim para esse tipo de sistema não existe o caso de sistemas impossíveis Ou apresenta a solução trivial sendo possível e determinado ou apresenta infinitas soluções TEORIA NA PRÁTICA Um pai quer dividir entre seus três filhos 37 moedas de ouro Porém ele quer atender a seguinte regra O filho mais velho deve ter o dobro de moedas do filho mais novo O segundo filho deve ter um número de moedas igual ao filho mais novo mais 5 Resolva o sistema de equações e ajude esse pai a solucionar seu problema RESOLUÇÃO MÃO NA MASSA 1 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO LINEAR PARA AS VARIÁVEIS REAIS X Y E Z A 2𝑥 3𝑦2 𝑧 5 0 B 2𝑥 3𝑧 8 0 C 𝑦 2 𝑧 3 0 D 𝑥 2𝑦 𝑦𝑧 2 0 2 VERIFIQUE QUAL ALTERNATIVA APRESENTA UMA SOLUÇÃO PARA O SISTEMA 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 5 𝑥 2𝑦 𝑧 3 A x y z 1 1 1 B x y z 2 2 1 C x y z 1 2 2 D x y z 2 1 1 3 VERIFIQUE A ALTERNATIVA QUE NÃO É UMA SOLUÇÃO PARA O SISTEMA 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 5 𝑥 𝑧 3 A x y z 1 2 3 B x y z 2 2 1 C x y z 1 2 2 D x y z 3 2 0 4 CLASSIFIQUE O SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 5 3𝑥 3𝑦 3𝑧 2 A Impossível B Possível e determinado com x y z 2 2 1 C Possível e determinado com x y z 1 2 2 D Possível e indeterminado 5 CLASSIFIQUE O SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 5 𝑥 2𝑦 𝑧 3 A Impossível B Possível e determinado com x y z 2 2 1 C Possível e determinado com x y z 1 2 2 D Possível e indeterminado 6 MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA QUANTO AO SISTEMA 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 5 𝑥 𝑧 3 A Impossível B Possível e determinado com solução x y z 0 2 3 C Possível e determinado com solução x y z 2 2 1 D Possível e indeterminado GABARITO 1 Marque a alternativa que apresenta uma equação linear para as variáveis reais x y e z A alternativa a possui um termo da variável y ao quadrado não sendo então uma equação linear A alternativa c possui um termo da variável z no denominador isso é 𝑧1 não sendo uma equação linear A alternativa d possui um termo da yz não sendo uma equação linear A alternativa b só possui termos das variáveis na primeira ordem isso é elevados a unidade sendo portanto uma equação linear 2 Verifique qual alternativa apresenta uma solução para o sistema 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 5 𝑥 2𝑦 𝑧 3 Basta testar as alternativas diretamente no sistema e verificar qual delas satisfaz as três equações Assim verificamos que a alternativa a atende apenas a primeira equação A alternativa b atende apenas as duas primeiras e a alternativa d atende apenas a terceira não sendo nenhuma delas a solução do sistema Por outro lado a alternativa c atende as três equações 𝑥 𝑦 𝑧 1 2 2 1 𝑜𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 1 2 2 5 𝑜𝑘 𝑥 2𝑦 𝑧 1 2 2 2 3 𝑜𝑘 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto 1 2 2 é solução do sistema 3 Verifique a alternativa que NÃO é uma solução para o sistema 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 5 𝑥 𝑧 3 Basta testar as alternativas diretamente no sistema e verificar qual delas satisfaz as três equações As alternativas b c e d atendem as três equações sendo solução do sistema A alternativa a não atende nenhuma das três equações não sendo solução do sistema 4 Classifique o sistema de equações lineares 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 5 3𝑥 3𝑦 3𝑧 2 5 Classifique o sistema de equações lineares 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 5 𝑥 2𝑦 𝑧 3 Resolvendo o sistema pela técnica da adição e cancelamento somase a primeira com a segunda equação x y z x y z 1 5 2x2z 6 x z 3 Em seguida multiplicase a segunda equação por dois e se subtrai da terceira equação 2x 2y 2z x 2y z 25 3 x 3z 7 Assim temos 𝑥 𝑧 3 𝑥 3𝑧 7 𝑥 3 𝑧 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 3 𝑧 3𝑧 7 2𝑧 4 𝑧 2 Como sua substituição na segunda equação do sistema leva a Portanto o sistema é possível e determinado e tem solução única x y z 1 2 2 6 Marque a alternativa verdadeira quanto ao sistema 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 5 𝑥 𝑧 3 GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES PARA AS VARIÁVEIS REAIS X E Y A 2𝑒𝑥 𝑦 4 2𝑥 𝑦 7 B 3𝑥 𝑦 4 2𝑥 𝑦 7 C 3x y 4 2ln x xy 7 D 3ln 𝑥 𝑦 4 2𝑥 𝑥𝑦 7 2 VERIFIQUE A ALTERNATIVA QUE NÃO É UMA SOLUÇÃO PARA O SISTEMA 𝑥 2𝑦 𝑧 4 𝑥 2𝑦 𝑧 8 𝑥 𝑧 6 A x y z 6 1 1 B x y z 2 1 4 C x y z 4 1 2 D x y z 0 1 6 GABARITO 1 Marque a alternativa que apresenta um sistema de equações lineares para as variáveis reais x e y A alternativa B está correta A alternativa a possui um termo de exponencial da variável x não sendo portanto uma equação linear A alternativa c e d possuem termo de ln x e um termo xy não sendo uma equação linear A alternativa b só possui termos das variáveis na primeira ordem isso é elevados a unidade sendo assim uma equação linear 2 Verifique a alternativa que NÃO é uma solução para o sistema 𝑥 2𝑦 𝑧 4 𝑥 2𝑦 𝑧 8 𝑥 𝑧 6 A alternativa A está correta Basta testar as alternativas diretamente no sistema e verificar qual delas satisfaz as três equações As alternativas b c e d atendem as três equações sendo solução do sistema A alternativa a não atende nenhuma das três equações não sendo solução do sistema Este sistema tem mais de uma solução sendo possível e indeterminado Qualquer solução do tipo x y z a 1 6 a ou x y z 6 b 1 b é solução do sistema apresentado com a e b reais MÓDULO 2 Aplicar métodos de resolução para obter a solução dos sistemas de equações lineares INTRODUÇÃO Para sistemas lineares com um número maior de variáveis os métodos mais simples de substituição e cancelamentos não são mais eficientes pois complicariam bastante os cálculos a serem resolvidos Assim existem outros métodos de resolução que podem ser aplicados a sistemas lineares mais complexos Neste módulo será estudado o método da eliminação de GaussJordan e a Regra de Cramer para resolução dos sistemas lineares Fontefreepik MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES Existem métodos de simples aplicação como o de substituição de variáveis e o de cancelamento que permitem resoluções rápidas em sistemas lineares com duas variáveis e duas equações ou três variáveis e três equações SAIBA MAIS Quando o número de equações e variáveis cresce no sistema a aplicação desses métodos se complica perdendo portanto sua eficiência Existem diversos métodos que podem ser encontrados na literatura de álgebra linear vide o Explore no fim deste tema Neste módulo analisaremos dois métodos que são práticos e podem ser aplicados em qualquer sistema até mesmo nos sistemas lineares menores método da eliminação de GaussJordan e a Regra de Cramer Nestes dois métodos será importante representar o sistema linear como um produto matricial conforme visto no módulo anterior MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSSJORDAN Este método consiste em transformar o sistema linear em um sistema linear escalonado reduzido Inicialmente precisamos definir o que é um sistema linear escalonado Seja um sistema de m equações e n variáveis ele apresentará uma matriz completa de coeficientes C terá tamanho m x n1 Este sistema será escalonado se a matriz C referente a este sistema atender as seguintes propriedades Se uma linha não for de elementos todos nulos o primeiro elemento não nulo deve ser 1 Este elemento é denominado pivô Para todas as linhas o primeiro elemento não nulo deve estar à esquerda do primeiro elemento não nulo da linha seguinte Se uma linha tiver apenas elementos nulos ela deve estar abaixo de todas as demais linhas Observe que ao seguir essas propriedades cada coluna que contém um pivô tem todos os demais elementos iguais a zero abaixo do pivô EXEMPLO São exemplos de matrizes C de sistemas escalonados 131 2 012 0 001 1 ou 12 01 10 1 03 2 00 00 00 0 00 0 Um sistema será escalonado na forma reduzida por linha ou simplesmente reduzida se atender as propriedades do sistema escalonado e além disso se a coluna que tiver um pivô apresentar todos os demais elementos nulos As duas matrizes apresentadas como exemplo são escalonadas mas não são reduzidas por linha EXEMPLO Exemplos de matrizes escalonadas reduzidas por linha 100 2 010 0 001 1 ou 12001 00102 00010 00000 Um sistema linear que apresenta matriz completa escalonada reduzida mostra de uma forma visível a solução do sistema Por exemplo A O sistema que tem matriz completa 1002 0100 0011 𝑠𝑒𝑟á 𝑥 2 𝑦 0 𝑧 1 Assim o sistema será possível e determinado com solução x y z 2 0 1 B O sistema que tem matriz completa 1002 0120 0001 𝑠𝑒𝑟á 𝑥 2 𝑦 2𝑧 0 0 1 Assim o sistema será impossível C O sistema que tem matriz completa 1032 0122 0000 𝑠𝑒𝑟á 𝑥 3𝑧 2 𝑦 2𝑧 2 0 0 Assim o sistema será possível e indeterminado Qualquer combinação de dados do tipo x y z 2 3a 2 2a a com a real é solução do sistema Dessa forma o método de eliminação de GaussJordan buscará transformar todo sistema linear em um sistema escalonado reduzido para obter então a sua solução QUANDO UM SISTEMA NÃO ESTIVER NA FORMA ESCALONADA ELE PODE SER COLOCADO NESSA FORMA SENDO CONVERTIDO A UM SISTEMA EQUIVALENTE POR MEIO DE ALGUMAS OPERAÇÕES ALGÉBRICAS Troca de posição de equações linhas na matriz Multiplicação de uma equação linha por um número real diferente de zero Realizar uma combinação linear Multiplicação por números reais e soma de equações linhas O método de Eliminação de Gauss seguirá os seguintes passos Localize a primeira coluna mais à esquerda que não é composta apenas de elementos nulos Permute se for o caso a primeira linha com outra linha de forma que o primeiro elemento da coluna selecionada no passo anterior não seja nulo Se este primeiro elemento for diferente de 1 devese dividir toda linha pelo valor dele para transformálo em um pivô Some múltiplos da primeira linha com as demais para transformar todos os elementos da coluna do pivô como nulos Separe a primeira linha e refaça as etapas anteriores a partir da segunda linha e assim sucessivamente No fim desses passos a matriz do sistema estará na sua forma escalonada EXEMPLOS 1 Coloque a matriz completa referente ao sistema linear 2y 3z 8 2x 4y z 6 3x y 2 z 5 em sua forma escalonada SOLUÇÃO A matriz será 0 2 3 8 2 4 1 6 3 1 2 5 Não existe neste caso a necessidade do primeiro passo pois a primeira coluna tem elementos diferentes de zero Com isso vamos permutar a primeira pela segunda linha de forma a ter um elemento diferente de zero na primeira coluna 0 2 3 8 2 4 1 6 3 1 2 5 2 4 1 6 0 2 3 8 3 1 2 5 Divida a primeira linha por 2 para transformar o primeiro elemento em pivô 2416 0238 31 2 5 120 53 02 3 8 31 2 5 A segunda linha já tem um zero no elemento abaixo do pivô porém a terceira não tem Assim vamos multiplicar a primeira linha por 3 e somar a terceira linha 1 2 0 5 3 0 2 3 8 3 3 11 3 22 3 0 55 3 3 1 2 0 5 3 0 2 3 8 05 3 5 4 Agora repetiremos o procedimento para segunda linha Vamos dividila toda por 2 para criar o segundo pivô 1 2 0 5 3 0 2 3 8 05 3 5 4 1 2 0 5 3 0 1 1 5 4 05 3 5 4 Precisamos transformar todos os elementos da coluna abaixo deste pivô em zero Assim multiplicamos a segunda linha por 5 e somamos a terceira 1 2 0 5 3 0 1 1 5 4 05 5 13 5 5 1 54 5 4 120 5 3 011 5 4 00 4 16 Para finalizar dividiremos a terceira linha por 4 assim a matriz equivalente ficará escalonada 120 5 3 011 5 4 00 4 16 120 5 3 011 5 4 00 4 4 Vamos dar continuidade ao método agora transformando uma matriz escalonada em uma matriz escalonada reduzida Comece pela última linha não nula Multiplique a última linha não nula por um número e some à linha de cima para que o elemento acima do pivô seja zero Repita até chegar à primeira linha Ao finalizar faça outra vez o passo para a segunda linha de cima para baixo não nula e assim sucessivamente No fim teremos uma matriz escalonada reduzida 2 Transforme a matriz 120 5 3 011 5 4 00 1 4 em uma matriz escalonada reduzida RESOLUÇÃO A última linha não nula é a terceira linha Multipliquea por 15 e some à segunda linha 12 0 5 3 0115 1154 415 00 1 4 120 5 3 01 0 2 00 1 4 Multiplique agora a terceira linha por 05 e a some com a primeira linha 1205 1053 405 01 0 2 00 1 4 120 1 0102 0014 Esquecemos agora a última linha e passamos para a segunda de cima para baixo Multiplique por 2 e some à primeira linha 12 1 20 1 2 2 0 1 0 2 0 0 1 4 100 5 0102 0014 Assim ficamos com uma matriz escalonada reduzida e obtemos a solução do sistema pois pela matriz equivalente obtida 100 5 0102 0014 𝑥 5 𝑦 2 𝑧 4 Veja que esta solução 5 2 4 é solução do sistema original 2𝑦 3𝑧 8 2𝑥 4𝑦 𝑧 6 3𝑥 𝑦 2𝑧 5 2 2 3 4 4 12 8 2 5 4 2 4 10 8 4 6 3 5 2 2 4 15 2 8 5 REGRA DE CRAMER Este método é um dos mais tradicionais para a resolução de sistemas lineares apresentando vantagens e desvantagens em relação ao método anterior VANTAGEM Ele resolve o sistema diretamente por um quociente de determinantes DESVANTAGEM Normalmente dá mais trabalho calcular todos os determinantes necessários do que apenas escalonar a matriz completa do sistema Para um número de incógnitas maior do que 3 com certeza o método de GaussJordan é menos trabalhoso do que a regra de Cramer Vamos nos limitar a apresentar o método Sua demonstração pode ser encontrada nas obras listadas nas referências no fim deste tema Seja um sistema linear com três variáveis x y e z e três equações O primeiro passo é obter o determinante da matriz incompleta do sistema que denominaremos de Após esse cálculo calculase o determinante referente a cada variável do sistema Ele é obtido pela substituição da coluna referente à variável pelos termos independentes Assim teremos 𝑥 para variável x 𝑦 para variável y e 𝑧 para variável z Dessa forma poderemos classificar o sistema linear de acordo com os valores obtidos Se 0 o sistema será possível e determinado e sua solução será dada por 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑒 𝑧 𝑧 Se 0 e 𝑥 𝑦 𝑧 0o sistema será possível e indeterminado Se 0 e um dos valores de 𝑥 𝑦 𝑒 𝑧 for diferente de zero o sistema será impossível ATENÇÃO Outra desvantagem da regra de Cramer é que para o caso possível e indeterminado ele apenas classifica mas não fornece o conjunto de soluções para o sistema EXEMPLOS 3 Classifique o sistema de equações lineares x y z 1 x y z 5 x 2y z 3 SOLUÇÃO A matriz incompleta será 11 1 1 1 1 1 2 1 cujo determinante vale 11 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 4 Já sabemos que o sistema é possível e determinado Para calcular o valor da primeira variável substituise a coluna correspondente aos coeficientes de x pelos termos independentes 𝑥 1 53 1 12 111 1 1 1 1 5 2 3 1 1 1 1 3 1 1 2 1 1 5 4 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑥 𝑥 4 4 1 Para calcular y substituindo a segunda coluna da matriz principal pelos termos independentes 𝑦 11 1 1 5 3 111 1 5 1 1 1 1 1 1 3 1 5 1 1 1 3 1 1 1 8 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑦 𝑦 8 4 2 Para z substituindo a terceira coluna da matriz principal pelos termos independentes 𝑧 1 1 1 1 1 2 153 1 1 3 1 1 2 1 1 5 1 1 1 3 1 1 1 5 2 8 𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑧 𝑧 8 4 2 Dessa forma a solução do sistema será x y z 1 2 2 4 Classifique o sistema de equações lineares x y z 1 x y z 5 x z 3 RESOLUÇÃO A matriz incompleta será 1 1 1 110 111 cujo determinante vale 111 110 111 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 Assim o sistema será possível e indeterminado ou impossível 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑦 𝑒 𝑧 𝑥 153 110 111 1 1 1 1 5 0 3 1 1 1 1 3 1 1 0 1 1 5 0 1 1 1 𝑦 111 153 111 1 5 1 1 3 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 3 1 0 𝑧 111 110 153 1 1 3 1 1 0 1 1 5 1 1 1 1 5 0 3 1 1 0 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑥 𝑦 𝑧 0 𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑟á 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 5 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑠𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑥 𝑦 𝑧 1 𝑥 𝑦 𝑧 5 3𝑥 3𝑦 3 𝑧 2 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑟𝑎𝑚𝑒𝑟 RESOLUÇÃO A matriz incompleta será 111 1 1 1 333 Basta perceber que a terceira linha é a primeira multiplicada por 3 assim pela propriedade do determinante ele será nulo Portanto o sistema será possível e indeterminado ou impossível x 111 5 1 1 233 11 3 15 3 2 1 1 11 2 11 3 3 1 5 2 Não precisamos sequer calcular os demais pois como já há um diferente de zero e 0 o sistema será impossível ATENÇÃO Quando o sistema linear é homogêneo os valores de x y z 0 Assim o valor do determinante da matriz incompleta determinará o tipo do sistema Se Se 0 o sistema será possível e determinado e o sistema só terá a solução trivial que é x y z 0 Se 0 o sistema será possível e indeterminado TEORIA NA PRÁTICA Um fazendeiro estava comentando sobre sua fazenda Ele informou que A fazenda tem 27 animais Na fazenda só há três tipos de animais porcos galinhas e vacas O número de patas de animais na fazenda vale 84 O número de porcos da fazenda vale o número de vacas e galinhas menos 5 O fazendeiro pediu para que você descobrisse qual a quantidade de cada animal na fazenda RESOLUÇÃO MÃO NA MASSA 1 CLASSIFIQUE O SISTEMA LINEAR x y z 0 x 2y z 0 x 2y z 0 A Impossível B Possível e indeterminado C Possível e determinado com solução 000 D Possível e determinado com solução 001 2 DETERMINE PARA QUE VALORES DE K REAL O SISTEMA LINEAR 𝑥 𝑦 𝑧 3 𝑥 𝑘𝑦 𝑧 7 𝑥 𝑘𝑧 5 SERÁ POSSÍVEL E DETERMINADO A k real k 1 B k real k 1 e k 1 C k real k 1 e k 2 D k real k 1 e k 2 3 DETERMINE PARA QUE VALORES DE K REAL O SISTEMA LINEAR 𝑥 𝑦 𝑧 3 𝑥 𝑘𝑦 𝑧 7 𝑥 𝑘𝑧 5 SERÁ POSSÍVEL E INDETERMINADO A 𝑘 1 B 𝑘 5 3 C 𝑘 5 3 D 𝑘 1 4 Determine para que valores de k real o sistema linear x x y z 3 x ky z 7 x kz 5 será impossível A 𝑘 1 B 𝑘 5 3 C 𝑘 2 3 D 𝑘 2 5 Obtenha a solução do sistema 2x y z 0 x y z 1 x 2y z 6 A x y z 3 2 1 B x y z 1 3 1 C x y z 1 2 1 D x y z 3 0 1 6 Obtenha a solução do sistema x y z w 2 x y z 0 x 2z w 2 3y 2z w 1 A x y z w 3 2 1 0 B x y z w 1 2 1 0 C x y z w 2 1 1 2 D x y z w 3 0 1 1 GABARITO 1 Classifique o sistema linear x y z 0 x 2y z 0 x 2y z 0 Como o sistema é homogêneo ele só pode ser possível determinado ou possível indeterminado 111 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 6 0 Assim o sistema é possível e determinado tendo apenas a solução trivial 000 2 Determine para que valores de k real o sistema linear 𝑥 𝑦 𝑧 3 𝑥 𝑘𝑦 𝑧 7 𝑥 𝑘𝑧 5 será possível e determinado Para o sistema ser possível e determinado o determinante principal deve ser diferente de zero 111 1k0 11k k2 0 1 k k 0 k2 1 0 k2 1 k 1 ou k 1 Assim para ser possível e determinado 0 k 1 e k 1 3 Determine para que valores de k real o sistema linear 𝑥 𝑦 𝑧 3 𝑥 𝑘𝑦 𝑧 7 𝑥 𝑘𝑧 5 será possível e indeterminado Vídeo 2 Cálculo de Sistemas regra de Cramer 4 Determine para que valores de k real o sistema linear x x y z 3 x ky z 7 x kz 5 será impossível Para o sistema ser impossível o determinante principal deve ser nulo 111 1 k 0 11k k2 0 1 k k 0 k2 1 0 k2 1 k 1 ou k 1 Mas todos os determinantes das variáveis devem também dar zero x 375 1 k 0 11k 3k2 0 5 5k 7k 0 3k2 2k 5 0 Resolvendo a equação do segundo grau k 2 4 4 53 6 2 8 6 1 5 3 y 111 375 11k 7k 5 3 7 3k 5 4k 4 0 k 1 𝑧 111 1 𝑘 0 375 5𝑘 0 7 3𝑘 5 0 2𝑘 2 0 𝑘 1 Como deve ter 0 e pelo menos um dos 𝑥 𝑦 𝑧 diferente de zero então o valor será de k 1 5 Obtenha a solução do sistema 2x y z 0 x y z 1 x 2y z 6 A matriz completa 2 1 1 0 1 1 1 1 12 1 6 Ao escalonar a matriz 1 211 112 1 11 016 121 112 1 11 106 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 0 2 1 6 1 100 11 3 112 12 7 100 113 1 12 127 100 11 3 3 1 1 1 2 3 1 12 7 3 2 100 110 1 1 1 1 2 1 100 110 1 1 1 121 Transformando agora em escalonada reduzida 1111 0112 00 1 1 111 11 1 011 12 1 00 1 1 1102 0103 0011 1102 0103 0011 11 10 02 3 0 1 0 3 0 0 1 1 1001 010 3 001 1 Dessa forma achamos o sistema equivalente 𝑥 1 𝑦 3 𝑧 1 O exercício também poderia ter sido feito pela regra de Cramer 6 Obtenha a solução do sistema x y z w 2 x y z 0 x 2z w 2 3y 2z w 1 Parabéns Você entendeu o conceito da Eliminação de Gauss Jordan GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 Determine para que valor de k real para que o sistema 2x y z 2 x ky 3z 2 x 2y z 1 seja possível e determinado A 𝑘 16 3 k real k 16 3 B k real k 16 3 C D 𝑘 16 3 2 Obtenha a solução do sistema x y z 4 2x y 3z 5 x 2y z 0 A x y z 3 2 1 B x y z 3 2 1 C x y z 3 2 1 D x y z 3 0 1 GABARITO 1 Determine para que valor de k real para que o sistema 2x y z 2 x ky 3z 2 x 2y z 1 seja possível e determinado A alternativa B está correta Para o sistema ser possível e determinado o determinante da matriz incompleta deve ser diferente de zero 2 1 1 1 𝑘 3 1 2 1 2 𝑘 1 1 1 2 1 1 3 1 𝑘 1 1 1 1 2 2 1 1 1 𝑘 3 1 2 1 2𝑘 2 3 𝑘 1 12 3𝑘 16 3𝑘 16 0 𝑘 16 3 2 Obtenha a solução do sistema x y z 4 2x y 3z 5 x 2y z 0 A alternativa A está correta A matriz completa 1 1 14 2 1 35 12 1 0 Ao escalonar a matriz 121 1 1 2 1 4 3 5 1 0 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 2 1 1 1 4 5 2 4 0 4 100 11 3 1 4 1 3 2 4 100 1 1 3 1 1 2 4 3 4 100 1 1 3 1 4 1 3 2 4 100 11 3 3 1 1 1 2 3 1 43 4 3 3 100 110 1 4 1 3 5 5 100 110 1 1 1 431 Transformando agora em escalonada reduzida 1114 01 1 3 00 1 1 111 14 1 01 1 1 3 1 00 1 1 1105 0102 0011 1105 0102 0011 11 10 05 2 0 1 0 2 0 0 1 1 1003 0102 0011 𝐷𝑒𝑠𝑠𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎𝑐ℎ𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 1 O exercício também poderia ter sido feito pela regra de Cramer MÓDULO 3 Empregar o conceito de transformação linear no plano INTRODUÇÃO Uma função que tem seu domínio e contradomínio em um Espaço Vetorial V e W respectivamente é denominada de Transformação de V em W As transformações lineares serão uma transformação que atende as propriedades da Aditividade e da Homogeneidade Este módulo estudará essas transformações lineares no plano isto é no R2 e suas interpretações geométricas Autor pikisuperstar FonteShutterstock TRANSFORMAÇÃO LINEAR NO PLANO Sejam V e W dois conjuntos usaremos o símbolo T V W para representar uma função cuja entrada está no conjunto V e cujos valores saídas da função estão no conjunto W Se v é um elemento de V então Tv w será a imagem de v obtida por meio da função T V será domínio de T e W será o contradomínio de T Se V e W são espaços vetoriais a função T será denominada de Transformação de V em W Dentre as transformações de V em W definimos as transformações lineares como uma transformação que possui as propriedades da aditividade e da homogeneidade DEFINIÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO LINEAR Seja V e W dois espaços vetoriais a transformação T V W será uma transformação linear se e somente se atender as seguintes propriedades ADITIVIDADE Se u e v pertencem a V então Tu v Tu Tv HOMOGENEIDADE Se v pertence a V e k é um real então T kv k Tv Em outras palavras a transformação linear preserva a adição e a multiplicação por real Podemos combinar as duas propriedades em uma só afirmando que 𝑇au bv aT𝑢 bT𝑣 para qualquer 𝑎 𝑒 𝑏 reais 𝑒 𝑢 𝑒 𝑣 𝑉 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Uma primeira conclusão que pode ser tirada é que se T é uma transformação linear obrigatoriamente T0 0 onde 0 é o elemento nulo de V Se assim não fosse T não conseguiria atender a propriedade da aditividade Quando W V a transformação linear é denominada de operador linear do espaço vetorial V As transformações lineares onde o espaço vetorial V é do tipo 𝑅𝑛 e o espaço vetorial W é do tipo 𝑅𝑚 podem ser representadas de uma forma matricial Assim a transformação Tv w será uma função que associará um vetor v do 𝑅𝑛 a um vetor w Tv de 𝑅𝑚 podendo ser representada por Tv Av O vetor v terá dimensão de n e o vetor w Tv terá dimensão de m assim a matriz A terá tamanho m x n e será denominada de matriz canônica da transformação A matriz A é uma matriz de elementos reais EXEMPLO Seja 𝑇 𝑅2 𝑅3 a transformação linear tal que T x y 2x y x y x 2y Repare que a imagem de T será o vetor do 𝑅3 u v w 2x y x y x 2y Podese representar essa transformação linear pelas equações 𝑢 2𝑥 𝑦 𝑣 𝑥 𝑦 𝑤 𝑥 2𝑦 ou pela operação matricial onde 211 112 𝑥𝑦 𝑢 𝑣 𝑤 A matriz 3 x 2 será a matriz canônica da transformação linear TRANSFORMAÇÃO NO PLANO Dentre as transformações lineares este módulo estudará as transformações lineares que acontecem no plano assim tanto o domínio da transformação como a imagem serão 𝑅2 Como já mencionado analisaremos um operador linear no 𝑅2 Portanto T R2 R2 onde Tx y u v e terá uma matriz canônica de tamanho 2 x 2 EXEMPLO 1 Determine a imagem de v 3 5 obtida por meio da Transformação T R2 R2 onde a Matriz canônica de T é dada por 2 0 0 2 RESOLUÇÃO 𝑇𝑣 𝐴𝑣 20 02 𝑥𝑦 2𝑥 2𝑦 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑇3 5 3 2 2 5 6 10 ATENÇÃO Algumas transformações lineares no plano podem ser analisadas de uma forma geométrica Por exemplo a transformação linear apresentada no exemplo anterior é uma transformação de expansão Em outras palavras ela transforma o elemento de entrada em um elemento com comprimento duas vezes maior O exemplo a seguir apresenta um efeito dessa transformação EXEMPLO 2 Seja um triângulo no plano cartesiano com vértices nos pontos A 0 0 B 1 0 e C 0 1 Determine a área da figura formada pelo triângulo após aplicarmos o operador linear representado pela matriz canônica 20 02 Solução Ao analisarmos o triângulo original iremos verificar que é um triângulo retângulo cuja área será 𝐴 1 21 1 1 2 Os pontos de coordenadas x y podem ser analisados como extremidades de vetores que se iniciam em 0 0 e terminam nesse ponto Assim ao aplicarmos a transformada T essas extremidades sofreram alteração Vamos determinar as imagens dos vértices pela transformação T T OA 2 0 0 200 0 0 T OB 2 0 0 210 2 0 e T OC 2 0 0 201 0 2 Agora o triângulo terá novos vértices em 0 0 2 0 e 0 2 tendo uma área dada por 1 22 2 2 Repare que cada lado do triângulo foi dobrado provocando um aumento de área em 4 vezes Portanto é possível por meio de operadores lineares produzir transformações geométricas no plano Podem ser citadas por exemplo as reflexões as rotações os cisalhamentos bem como as contrações ou expansões O exemplo a seguir mostra uma rotação no plano gerada por uma transformação linear EXEMPLO 3 Seja T R2 R2 tal que 𝑇𝑢 𝑣 2 2 𝑥 2 2 𝑦 2 2 𝑥 2 2 𝑦 determine a figura formada pela imagem do quadrado de vértices nos pontos 1 1 1 1 1 1 e 1 1 SOLUÇÃO A matriz canônica será A 2 2 2 2 2 2 2 2 Dessa forma 2 2 2 2 2 2 2 2 11 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 11 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 2 Repare que o quadrado de lado 2 foi transformado em outro quadrado de lado 2 porém rotacionado em relação ao eixo x por um ângulo de 45 no sentido antihorário Para você verificar que o lado do quadrado inclinado é do mesmo tamanho basta fazer a distância entre dois vértices usando a fórmula da distância entre dois pontos e verificar que ainda vale 2 Um exemplo de aplicação da transformação de rotação seria transformar equações de figuras cônicas que fossem inclinadas em relação ao eixo x e y em equações canônicas sem termos retângulo facilitando assim o cálculo dos elementos da figura geométrica EXEMPLOS DE TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO PLANO E SUA PROPRIEDADE GEOMÉTRICA a Rotação Antihorária de um ângulo cos 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 cos b Rotação horária de um ângulo cos 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 cos c Reflexão em relação à origem 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 1 0 0 1 d Reflexão em relação ao eixo x 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 1 0 01 e Reflexão em relação ao eixo y 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 10 0 1 f Reflexão em relação à reta x y 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 01 10 g Reflexão em relação à reta x y 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 0 1 1 0 h Expansão ou Contração por k real 𝑘 0 𝑥 𝑦 𝑘𝑥 𝑘𝑦 𝑘0 0𝑘 Obs se 𝑘 1 expansão e se 0 𝑘 1 contração Se 𝑘 0 além de contrairexpandir o elemento será refletido em relação à origem i Expansão ou Contração por k real 𝑘 0 no sentido de x 𝑥 𝑦 𝑘𝑥 𝑦 𝑘0 00 Obs se 𝑘 1 expansão e se 0 𝑘 1 contração Se 𝑘 0 além de contrairexpandir o elemento será refletido em relação ao eixo y j Expansão ou Contração por k real 𝑘 0 no sentido de y 𝑥 𝑦 𝑥 𝑘𝑦 00 0𝑘 Obs se 𝑘 1 expansão e se 0 𝑘 1 contração Se 𝑘 0 além de contrairexpandir o elemento será refletido em relação ao eixo x k Cisalhamento Horizontal com k real 𝑘 0 𝑥 𝑦 𝑥 𝑘𝑦 𝑦 1𝑘 01 Obs Se 𝑘 0 o deslocamento será no sentido do x e se 𝑘 0 o deslocamento será no sentido negativo de x l Cisalhamento Vertical com k real 𝑘 0 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑘𝑥 10 𝑘1 Obs Se 𝑘 0 o deslocamento será no sentido do y e se 𝑘 0 o deslocamento será no sentido negativo de y TRANSFORMAÇÕES ORTOGONAIS Pela teoria de matrizes uma matriz será ortogonal quando a inversa da matriz é igual à sua transposta Quando a matriz canônica de uma transformada linear for ortogonal dizse que a Transformação linear é ortogonal As transformações ortogonais têm uma propriedade importante pois mantêm os comprimentos e ângulos entre os elementos transformados Essa propriedade tem grandes aplicações pois não distorce a figura plana que está sendo transformada Veja os exemplos anteriores A matriz canônica 20 02 não é ortogonal e provocou após a sua aplicação uma alteração no tamanho da figura triângulo não mantendo os comprimentos De forma contrária a matriz 2 2 2 2 2 2 2 2 é ortogonal pois sua inversa é igual a sua transposta Repare que mesmo com a rotação os comprimentos distâncias e ângulos foram mantidos DICA Uma dica importante para relembramos é que o determinante de uma matriz ortogonal é igual a 1 Assim se a matriz tiver determinante diferente disso não será ortogonal TEORIA NA PRÁTICA Um programador precisa criar um programa que altere uma figura plana O programa precisa rodar uma figura de 30 no sentido horário e depois ampliála por 3 na direção horizontal Determine a matriz da transformação linear que realiza simultaneamente estas operações RESOLUÇÃO Vídeo 1 Transformação Linear no Plano MÃO NA MASSA 1 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A IMAGEM DO VETOR 3 5 PELA TRANSFORMAÇÃO T R2 R2 TAL QUE T X Y Y Y X A 52 B 25 C 41 D 14 2 A IMAGEM DO VETOR 1 2 EM RELAÇÃO À TRANSFORMADA T DE MATRIZ CANÔNICA 1 𝑘 12 VALE 33 OBTENHA O VALOR DE K REAL A 0 B 1 C 2 D 3 3 ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 𝑇 𝑅2 𝑅2 ORTOGONAL A Txy 1 2𝑥3 2 𝑦 3 2 𝑥 B Tx y x y x C Tx y 1 2x3 2 y 3 2 x 1 2y D Tx y 2x 3y 4 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O MÓDULO DA IMAGEM DO VETOR 1 1 VIA OPERADOR LINEAR COM MATRIZ CANÔNICA 1 2 3 2 3 2 1 2 A 1 B 2 C 3 D 2 5 APLICASE A UM RETÂNGULO DE VÉRTICES 3 2 3 2 3 2 E 3 2 UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR T R2 R2 TAL QUE Tu v 1 2u 3 2 v 3 2 u 1 2v MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A IMAGEM DO RETÂNGULO APÓS A SUA TRANSFORMAÇÃO POR T A Um retângulo com mesmo tamanho de lados porém rotacionado 300 no sentido horário em relação ao original B Um retângulo com tamanho de lados alterado porém rotacionado 300 no sentido antihorário em relação ao original C Um retângulo com mesmo tamanho de lados porém rotacionado 600 no sentido antihorário em relação ao original D Um retângulo com tamanho de lados alterado porém rotacionado 600 no sentido horário em relação ao original 6 UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR T É APLICADA A UM QUADRADO CENTRADO NA ORIGEM COM LADOS PARALELOS AO EIXO E DE LADO 2 SABESE QUE ESSA TRANSFORMAÇÃO LINEAR T TEM UMA MATRIZ CANÔNICA 14 01 MARQUE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA A IMAGEM OBTIDA PELA APLICAÇÃO DE T NO REFERIDO QUADRADO A Um retângulo B Um quadrado C Um paralelogramo D Um triângulo GABARITO 1 Marque a alternativa que apresenta a imagem do vetor 3 5 pela transformação T R2 R2 tal que T x y y y x Tu 0 1 1 1 xy Assim T3 5 0 1 1 135 535 52 2 A imagem do vetor 1 2 em relação à transformada T de matriz canônica 1 𝑘 12 vale 33 Obtenha o valor de k real 𝑇𝑢 1 𝑘 12 𝑥𝑦 Assim 𝑇 1 2 0 𝑘 1212 12𝑘1 4 12𝑘 3 33 Logo 12k 3 2k 2 k 1 3 Assinale a alternativa que apresenta uma transformação linear 𝑇 𝑅2 𝑅2 ortogonal As alternativas a e d apresentam matrizes canônicas com determinantes diferentes de 1 assim estas TL não são ortogonais Repare que a alternativa b não é uma matriz ortogonal pois sua transposta é diferente de sua matriz inversa A alternativa c é a única que apresenta uma matriz canônica ortogonal pois Se A 1 2 3 2 3 2 1 2 AT 1 2 3 2 3 2 1 2 A1 1 ab bc d c ba 1 1 4 3 4 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 2 AT Assim Tx y 1 2x3 2 y 3 2 x 1 2y é a única transformação ortogonal 4 Marque a alternativa que apresenta o módulo da imagem do vetor 1 1 via operador linear com matriz canônica 1 2 3 2 3 2 1 2 𝑇𝑢 1 2 3 2 3 2 1 2 11 Assim 𝑇 1 1 1 2 3 2 3 2 1 2 11 1 3 2 1 3 2 𝑇1 1 1 3 2 2 1 3 2 2 2 Essa é uma solução mais rápida pois como a matriz canônica é ortogonal e a TL é ortogonal não se alteram os comprimentos Assim o módulo se mantém e vale 12 12 2 5 Aplicase a um retângulo de vértices 3 2 3 2 3 2 e 3 2 uma transformação linear T R2 R2 tal que Tu v 1 2u 3 2 v 3 2 u 1 2v Marque a alternativa que apresenta a imagem do retângulo após a sua transformação por T Vídeo 2 Transformação Linear no Plano 6 Uma transformação linear T é aplicada a um quadrado centrado na origem com lados paralelos ao eixo e de lado 2 Sabese que essa transformação linear T tem uma matriz canônica 14 01 Marque a alternativa que representa a imagem obtida pela aplicação de T no referido quadrado Vídeo 3 Transformação Linear no Plano GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 𝑇 𝑅2 𝑅2 TAL QUE TX Y 3X Y X 2Y DETERMINE A IMAGEM TU COM U IGUAL A 7 1 A 8 12 B 9 20 C 20 9 D 12 8 2 UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR T É APLICADA A UM RETÂNGULO DE LADOS 1 2 1 4 2 2 E 2 4 SABESE QUE ESSA TRANSFORMAÇÃO LINEAR T É DE CISALHAMENTO VERTICAL POSSUINDO UMA MATRIZ CANÔNICA 10 31 MARQUE A ALTERNATIVA QUE REPRESENTA A IMAGEM OBTIDA PELA APLICAÇÃO DE T NO REFERIDO RETÂNGULO A Um retângulo B Um quadrado C Um paralelogramo D Um triângulo GABARITO 1 Uma transformação linear 𝑇 𝑅2 𝑅2 tal que Tx y 3x y x 2y Determine a imagem Tu com u igual a 7 1 A alternativa C está correta 𝑇𝑢 31 1 2 𝑥𝑦 Assim 𝑇7 1 31 1 2 71 3 7 1 11 7 2 1 209 2 Uma transformação linear T é aplicada a um retângulo de lados 1 2 1 4 2 2 e 2 4 Sabese que essa transformação linear T é de cisalhamento vertical possuindo uma matriz canônica 10 31 Marque a alternativa que representa a imagem obtida pela aplicação de T no referido retângulo A alternativa C está correta 𝑇𝑣 10 31 𝑥𝑦 Assim 𝑇𝐴 10 31 12 15 𝑒 𝑇𝐵 10 31 14 17 𝑇𝐶 10 31 22 28 𝑒 𝑇𝑄 10 31 24 210 Portanto a nova figura formada será um paralelogramo MÓDULO 4 Aplicar o conceito de autovalores e autovetores em sistemas e transformações lineares INTRODUÇÃO Este módulo apresenta o conceito de autovalor e autovetor e suas aplicações nas teorias matriciais O conceito de autovalores e autovetores está associado a uma transformação linear ou a uma matriz O autovetor será o vetor que tem a propriedade de ao ser multiplicado pela matriz ter como resultado ele mesmo vezes um número real que será denominado de autovalor Autor macrovector Fonte Freepik AUTOVALOR E AUTOVETOR Seja T uma Transformação Linear dizse que um vetor w não nulo é um autovetor da transformação T se existir 𝜆 𝑅 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑇𝑤 𝜆𝑤 O número real λ relacionado ao autovetor w é denominado de autovalor de T associado ao autovetor w ATENÇÃO Cuidado normalmente cada autovalor está associado a um conjunto de autovetores e não apenas a um autovetor Como a transformada T está associada a uma matriz canônica A então os autovetores e autovalores também podem ser associadas a uma matriz A tal que Aw λw com w vetor não nulo EXEMPLO 1 Seja a transformação linear T R2 R2 definida por Tx y y 9x para x y 0 0 Determine os autovetores e autovalores associados da transformação T SOLUÇÃO Se w é autovetor de T então Tw λw λ real 𝜆𝑥 𝑦 𝜆𝑦 9𝑥 𝜆𝑥 𝑦 0 𝜆𝑦 9𝑥 0 Como esse sistema é homogêneo para ter uma solução além da solução trivial 0 0 o determinante incompleto do sistema deve ser nulo λ 1 9 λ λ λ 1 9λ2 9 0 λ3 𝑆𝑒 𝜆 3 3𝑥 𝑦 3𝑦 9𝑥 𝑦 3𝑥 𝑤𝑥 𝑦 𝑎 3𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑆𝑒 𝜆 3 3𝑥 𝑦 3𝑦 9𝑥 𝑦 3𝑥 𝑤𝑥 𝑦 𝑎 3𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙 Assim a transformada T tem por exemplo os autovetores w 1 3 associados ao autovalor 3 e o autovetor w 1 3 associado ao autovalor 3 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO Seja A uma matriz quadrada de ordem n dizse que polinômio característico de A é um polinômio tal que pA 𝜆 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝜆𝐼 onde I é a matriz identidade de ordem n EXEMPLO 2 Seja a matriz 𝐴 1 2 31 determine o polinômio característico da matriz A SOLUÇÃO 𝑝𝐴 𝜆 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝜆𝐼 1 𝜆 2 2 1 𝜆 1 𝜆 1 𝜆 2 2 1 𝜆 𝜆 𝜆2 4 𝑝𝐴 𝜆 𝜆2 5 O polinômio característico é importante pois é por ele que é possível obter os autovalores de uma matriz A Um número real λ só será autovalor da matriz A se for raiz do polinômio característico de A isto é 𝑝𝐴 𝜆 0 A demonstração disso é simples pois se 𝑝𝐴 λ 0 det A λI Assim 𝐴 𝜆𝐼 𝑤 0 para todo w não nulo logo 𝐴𝑤 𝜆𝐼𝑤 0 𝐴𝑤 𝜆𝑤 0 Então 𝐴𝑤 𝜆𝑤 portanto w é autovetor de A Existem algumas aplicações dos autovalores na teoria de matrizes Se 𝜆1 𝜆2 𝜆𝑛 são autovalores da matriz A então 𝑑𝑒𝑡 𝐴 𝜆1 𝜆2 𝜆𝑛 1 𝜆𝑛 Se 𝜆1 𝜆2 𝜆𝑛 são autovalores da matriz A então traço de 𝐴 𝜆1 𝜆2 𝜆𝑛 Se a matriz A for uma matriz diagonal ou triangular superior ou inferior os autovalores de A são então os elementos de sua diagonal principal Uma matriz só vai ser invertível se λ 0 não for um de seus autovalores TEORIA NA PRÁTICA Uma forma de achar a solução de um sistema linear com matriz canônica A é resolver o sistema Ax b pela solução 𝑥 𝐴1 𝑏 onde b é a matriz de termos independentes Um sistema linear tem matriz canônica dada pela matriz 𝐴 101 011 112 Verifique se a matriz A apresenta matriz inversa por meio da análise de seus autovalores para buscar a solução do sistema RESOLUÇÃO Vídeo 1 Autovalores e Autovetores MÃO NA MASSA 1 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O POLINÔMIO CARACTERÍSTICO NA MATRIZ RELACIONADA AO SISTEMA LINEAR 2𝑥 𝑦 4 4𝑦 3𝑥 7 A 2𝜆 3 B 𝜆2 8𝜆 1 C 𝜆2 6𝜆 11 D 𝜆2 6𝜆 4 2 SEJA W 363 UM AUTOVETOR DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR COM MATRIZ CANÔNICA 401 232 104 DETERMINE O SEU AUTOVALOR CORRESPONDENTE A 5 B 4 C 3 D 2 3 UMA MATRIZ 2 X 2 APRESENTA TRAÇO IGUAL A 4 E DETERMINANTE IGUAL A 5 SE 𝜆1 𝑒 𝜆2 SÃO OS AUTOVALORES DESTA MATRIZ COM 𝜆1 𝜆2 DETERMINE 2𝜆1 𝜆2 A 9 B 11 C 13 D 15 4 MARQUE ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM AUTOVETOR DA MATRIZ 24 42 A 3 0 B 1 2 C 2 2 D 0 3 5 MARQUE ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM AUTOVETOR E SEU AUTOVALOR ASSOCIADO RESPECTIVAMENTE PARA A TRANSFORMAÇÃO LINEAR 4𝑥 𝑦 9 2𝑥 𝑦 1 A 1 1 e 2 B 4 4 e 3 C 2 1 e 3 D 1 2 e 2 6 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM AUTOVETOR E SEU AUTOVALOR ASSOCIADO RESPECTIVAMENTE PARA A TRANSFORMAÇÃO LINEAR 𝑥 𝑦 2𝑧 2 𝑥 2𝑦 𝑧 1 2𝑥 𝑦 𝑧 1 A 2 1 2 e 0 B 2 0 2 e 3 C 2 2 2 e 3 D 2 0 2 e 3 GABARITO 1 Marque a alternativa que apresenta o polinômio característico na matriz relacionada ao sistema linear 2𝑥 𝑦 4 4𝑦 3𝑥 7 A matriz referente ao sistema vale 21 3 4 Seu polinômio característico é obtido por PA λ det A λI Assim Paλ 2 λ 1 3 4 λ Paλ 2 λ 4 λ 1 3 8 2λ 4λ λ2 3 Logo PA λ λ2 6λ 11 2 Seja w 363 um autovetor da transformação linear com matriz canônica 401 232 104 Determine o seu autovalor correspondente Se w e autovalor de T então Tw λw Assim 401 232 104 𝑤 𝜆𝑤 401 232 104 363 𝜆363 4 3 0 6 1 3 3𝜆 2 3 3 6 2 3 6𝜆 1 3 0 6 4 3 3𝜆 𝜆 5 3 Uma matriz 2 x 2 apresenta traço igual a 4 e determinante igual a 5 Se 𝜆1 𝑒 𝜆2 são os autovalores desta matriz com 𝜆1 𝜆2 determine 2𝜆1 𝜆2 Se a matriz é 2 x 2 ela possui 2 autovalores Como o traço vale 4 a soma dos autovalores vale 4 e como o determinante vale 5 o produto dos autovalores vale 5 𝜆1 𝜆2 4 𝜆1 𝜆2 5 𝜆1 5 𝜆1 4 𝜆1 2 5 4𝜆1 𝜆1 2 4𝜆1 5 0 𝜆1 4 16 20 2 4 6 2 51 𝑆𝑒 𝜆1 5 𝜆2 5 𝜆1 5 5 1 𝑒 𝜆2 1 𝜆2 5 𝜆1 5 1 5 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝜆1 𝜆2 𝜆1 5 𝑒 𝜆2 1 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 2𝜆1 𝜆2 10 1 11 A única alternativa que tem um autovetor é a letra b 4 Marque alternativa que apresenta um autovetor da matriz 24 42 Se w e autovalor de T então Tw λw Vamos obter os autovalores da matriz 2 𝜆 4 4 2 𝜆 2 𝜆2 𝜆 16 0 4 4𝜆 𝜆2 16 0 𝜆2 4𝜆 12 0 𝜆 4 16 48 2 4 8 2 62 Assim os autovalores são 6 e 2 Para λ 6 24 42 𝑥𝑦 6𝑥𝑦 2𝑥 4𝑦 6𝑥 4𝑥 2𝑦 6𝑦 4𝑥 4𝑦 𝑥 𝑦 Portanto qualquer vetor do tipo k k k real é um autovetor associado ao autovalor 6 Para λ 2 24 42 𝑥𝑦 2𝑥𝑦 2𝑥 4𝑦 2𝑥 4𝑥 2𝑦 2𝑦 𝑥 𝑦 Assim qualquer vetor do tipo k k k real é um autovetor associado ao autovalor 2 A única alternativa que tem um autovetor é a letra c 5 Marque alternativa que apresenta um autovetor e seu autovalor associado respectivamente para a transformação linear 4𝑥 𝑦 9 2𝑥 𝑦 1 Vídeo 2 Autovalores e Autovetores 6 Marque a alternativa que apresenta um autovetor e seu autovalor associado respectivamente para a transformação linear 𝑥 𝑦 2𝑧 2 𝑥 2𝑦 𝑧 1 2𝑥 𝑦 𝑧 1 GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 SEJA W 222 UM AUTOVETOR DA TRANSFORMAÇÃO LINEAR COM MATRIZ CANÔNICA 1 2 1 11 2 2 11 DETERMINE O SEU AUTOVALOR CORRESPONDENTE A 3 B 2 C 1 D 0 2 MARQUE ALTERNATIVA QUE APRESENTA UM AUTOVETOR DA MATRIZ 6 0 162 A 3 0 B 1 2 C 4 2 D 3 3 GABARITO 1 Seja w 222 um autovetor da transformação linear com matriz canônica 1 2 1 11 2 2 11 Determine o seu autovalor correspondente A alternativa D está correta Se w e autovalor de T então Tw λw 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 1 2 1 1 1 2 2 1 1 𝑤 𝜆𝑤 1 2 1 1 1 2 2 1 1 222 𝜆222 1 2 2 2 1 2 2𝜆 1 2 1 2 2 2 2𝜆 𝜆 0 2 2 1 2 1 2 2𝜆 2 Marque alternativa que apresenta um autovetor da matriz 6 0 162 A alternativa C está correta Se w e autovalor de T então Tw λw Vamos obter os autovalores da matriz 6 𝜆 0 16 2 𝜆 6 𝜆 2 𝜆 0 0 6 𝜆 2 𝜆 𝜆 6𝜆 2 0 Os autovalores são 6 e 2 Para λ 2 6 0 16 2 𝑥𝑦 2𝑥𝑦 6𝑥 2𝑥 16𝑥 2𝑦 2𝑦 𝑥 0 𝑒 𝑦 Assim qualquer vetor do tipo 0 k k real é um autovetor associado ao autovalor 2 Não existe nenhuma alternativa com autovetor do tipo 0 k k real Para λ 6 6 16 0 2 𝑥𝑦 6𝑥𝑦 6𝑥 6𝑥 16𝑥 2𝑦 6𝑦 16𝑥 8𝑦 2𝑥 𝑦 Assim qualquer vetor do tipo 2k k k real é um autovetor associado ao autovalor 6 A única alternativa que tem vetor do tipo 2k k é a letra c CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao longo dos quatro módulos foi apresentado o conceito de sistemas lineares e de transformações lineares Nos dois primeiros módulos foi definido e classificado um sistema linear e foram apresentados métodos de resolução para um sistema No terceiro módulo foi estudada a transformação linear no plano e analisada a sua visualização geométrica com diversas aplicações práticas Por fim os conceitos de autovalor e autovetor de uma matriz ou de uma transformação foram analisado AVALIAÇÃO DO TEMA REFERÊNCIAS ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 APOSTOL T M Cálculo Volume 1 1 ed Barcelona Editorial Reverte SA 1985 HOFFMAN K KUNZE R Linear Algebra 2 ed Nova Jersey PrenticeHall 1971 EXPLORE Pesquise mais sobre sistemas lineares e transformações lineares nas obras das nossas referências CONTEUDISTA Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira CURRÍCULO LATTES