Aplicação de Conceitos de Retas e Planos na Geometria Analítica

DEFINIÇÃO Aplicação dos conceitos de retas e planos na Geometria Analítica PROPÓSITO Definir as equações de retas e planos na Geometria Analítica e aplicar os conceitos nas posições relativas entre retas e planos bem como na distância entre pontos e estas figuras geométricas PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema tenha em mãos papel caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphonecomputador OBJETIVOS MÓDULO 1 Aplicar a definição da reta na determinação da equação da reta no plano e no espaço MÓDULO 2 Aplicar equações da reta na obtenção da interseção do ângulo e das posições relativas entre retas MÓDULO 3 Aplicar a definição do plano na determinação da equação do plano e nas posições relativas entre os planos MÓDULO 4 Aplicar o conceito de ponto reta e plano na determinação de distância entre pontos retas e planos MÓDULO 1 Aplicar a definição da reta na determinação da equação da reta no plano e no espaço INTRODUÇÃO A Geometria Analítica apresenta através de equações analíticas diversas figuras da Geometria que serão denominadas de Lugares Geométricos Neste módulo estudaremos a reta e obteremos a equação que a representa analiticamente A reta é definida por dois pontos mas existem outras formas de determinarmos a sua equação A equação de uma reta no plano ou no espaço pode ter vários tipos de apresentação simétrica geral reduzida vetorial e paramétrica Todos os tipos de equação serão equivalentes isto é representam os mesmos pontos no plano ou no espaço Fonte Sven Miekeunsplash EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO A geometria nos ensina através de um de seus axiomas que uma reta é definida por dois pontos No plano estes dois pontos podem ser representados por sua abscissa e ordenada isso é AXA YA e BXBYB Desejase obter uma equação que representa todos os pontos dessa reta Assim definese um ponto genérico P x y pertencente à reta formada pelos pontos A e B e determinase uma equação que é satisfeita por ele Na Geometria Analítica são definidos vários tipos de apresentação para a equação da reta com formatos diferentes porém representando os mesmos pontos Dizse que essas equagodes sao equivalentes Sera definida a equagao simétrica geral vetorial reduzida e paramétrica Como sera visto de uma forma podese obter as demais A figura abaixo representa a reta r formada pelos pontos Ae B y r P B AB a od lg x Fonte O autor Os pontos A B e P estao alinhados assim o vetor AB B A vetor AP P A sao paralelos consequentemente tem suas coordenadas proporcionais Xap YAP XX XBXp APIAB 8S aT FT XAB YAB YYn YBYa Atengao Para visualizagao completa da equacao utilize a rolagem horizontal Como os pontos Ae B sao dados a parcela da direita se transforma em uma fragao numérica xXX od xXXy VYa Entéo 7e freais e diferentes de zero yY f d f Obtémse assim uma equagao que representa todos os pontos xy que pertencem a reta analisada Esta equacdo é denominada de EQUAGAO SIMETRICA da reta XXy V Ya dof Os valores de d e f sao numeros reais obtidos através dos dois pontos conhecidos da reta Determine a equagao simétrica da reta que passa pelos pontos A 12 e B 3 1 Assim aplicando diretamente no modelo da equacao xX XpXq X1 34 L so simétrica da ret x4 y2 y Yer 7 2 12 ogo a equacao simetrica da reta sera Partindo da equagao simétrica da reta através de uma manipulagao matematica obtémse uma equacao da forma ax by c 0 coma bec sendo numeros reais Assim xX yYa 7 p fx dy dv 0 Atengao Para visualizagao completa da equacao utilize a rolagem horizontal Chamando de f aed b obtémse uma equagao do tipo ax by c 0 denominada de EQUAGAO GERAL da reta Cuidado se multiplicarmos ambos os lados por um numero real k ainda temos a mesma equacgao ax by c d akx bky ck 0 com k real Existe uma forma alternativa para se determinar a equagao geral da reta diretamente através dos dois pontos dados Ae B Esta forma é através de um calculo de um determinante Sejam A XY a B Xp Yp dois pontos distintos da reta r entao a equacao geral da reta sera x y 1 obtida por Xan Ya 1 0 Xp Yep 1 EXEMPLO Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A 1 2 e B 3 1 SOLUÇÃO Aplicando diretamente o determinante x y 1 XA YA 1 XB YB 1 x y 1 1 2 1 3 1 1 0 Resolvendo o determinante 21x 31y 16 0 3x 2y 7 0 Importante Condição de um Ponto Pertencer a Reta Um ponto para pertencer a reta tem que satisfazer a equação da reta Dessa forma seja a reta r ax by c 0 e um ponto P X0 Y0 Se o ponto P pertence à reta r então aX0 bY0 c 0 Se o ponto P não pertence à reta r então aX0 bY0 c 0 Esta propriedade vale para qualquer tipo de equação da reta não apenas para equação geral EXEMPLO Ache a equação geral da reta e verifique se os pontos Q 5 4 e R 2 3 pertencem à reta r dada pela equação x1 2 y2 3 SOLUÇÃO x1 2 y2 3 3x 1 2y 2 3x 3 2y 4 3x 2y 7 0 Substituindo o ponto Q 5 4 na reta se tem x1 2 51 2 2 e y2 3 42 3 2 2 2 Portanto as coordenadas do ponto satisfazem a equação da reta e o Ponto Q pertence à reta r Substituindo o ponto R 2 3 na reta se tem 32 23 7 6 5 7 0 Como as coordenadas do ponto não satisfazem a equação da reta então R não pertence à reta Fonte geraltpixabay EQUAÇÃO REDUZIDA Continuando na apresentação dos tipos das equações da reta Partindo agora da equação geral e isolando o valor de y se tem ax by c 0 y a bx c bcom ab e c reais Substituindo m a b e q c b y mx q que será a EQUAÇÃO REDUZIDA da reta Fonte O autor O parâmetro m é denominado de coeficiente angular da reta ele é igual à tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x O parâmetro q é denominado de coeficiente linear que representa o ponto onde a reta corta o eixo y Quando m 0 tg θ 0 0 θ 90 a reta será crescente Quando m 0 tg θ 0 90 θ 180 a reta será decrescente A reta horizontal do tipo y constante terá m 0 e a reta vertical do tipo x constante não terá valor de m Fonte O autor EXEMPLO Determine a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A 2 4 e B 3 1 Obter o coeficiente angular e linear da reta SOLUÇÃO Assim aplicando diretamente no modelo da equação simétrica xXA yYA XB XA YB YA x2 y4 32 14 x2 y4 5 3 5 3 3x 6 5y 20 3x 5y 14 0 Deste modo a equação reduzida será y 3 5x 14 5 Portanto o coeficiente angular vale m 3 5 e o coeficiente linear q 4 5 Então o ângulo que a reta r faz com o eixo positivo x vale θ arctg 3 5 O coeficiente linear q 4 5 Logo o ponto em que a reta corta o eixo y é o ponto 0 14 5 Se retornarmos a figura inicial além do paralelismo entre os vetores AB e AP podese dizer que o vetor AP sera proporcional ao vetor AB AP AAB PAAAB X real A equacao do tipo P A AAB sera denominada de EQUACAO VETORIAL da reta Ao invés do vetor AB poderia ter sido usado o vetor BA pois a reta tem uma diregao mas nao tem sentido O vetor AB ou vetor BA que define a diregao da reta denominado de vetor diretor da reta Na figura o vetor diretor esta representado pelo vetor V Aqui vemos mais uma alternativa para se obter a equagao da reta caso nao se conhega os dois pontos da reta Se forem conhecidos um ponto e a diregao definida pelo seu vetor diretor sera possivel obter a equagao vetorial da reta O ponto conhecido fara 0 papel do ponto Ae o vetor diretor da reta fara o papel do vetor AB ATENCAO Quaisquer dois pontos de uma reta podem ser usados para definir o vetor diretor da reta Nao existe um vetor diretor mas infinitas possibilidades pois se v é um vetor diretor da reta entao todo os vetores kv com k real diferente de zero também serdo Se substituirmos as coordenadas dos pontos A B e P genérico na equagao vetorial obtémse duas equagoes cada uma relacionada a uma das coordenadas PAAAB YYAY A REAL A AB Atengao Para visualizagao completa da equacao utilize a rolagem horizontal Esta equação é denominada de EQUAÇÃO PARAMÉTRICA da reta Ressaltase que se pode obter a equação simétrica através da equação paramétrica Basta isolar o valor de λ nas duas equações Se xXA d yYA f for a equação simétrica da reta r então o vetor df é o vetor diretor da reta r EXEMPLO Determine a equação vetorial e paramétrica da reta que passa nos pontos A 12 e B 3 1 Determine qual ponto desta reta tem ordenada igual a 5 SOLUÇÃO Determinando o vetor diretor da reta AB B A 3 1 1 2 23 Assim a equação vetorial será P A λ AB λ real ou x y 1 2 λ23 1 2λ 2 3λ λ real Separando as duas equações obtémse a equação paramétrica r x 1 2λ y 2 3λ λ real Para determinar o ponto Qx 5 que pertence à reta ele deve satisfazer a equação x 1 2λ e y 2 3λ Assim y 5 2 3 λ 3λ 2 5 3 λ 1 Portanto x 1 2λ 1 21 1 2 1 o ponto será 1 5 Fonte geraltpixabay VETOR NORMAL DA RETA Nós já vimos que o vetor diretor da reta pode ser obtido diretamente da equação paramétrica ou da equação simétrica da reta Outro vetor importante é o vetor perpendicular a ela denominado de vetor normal da reta com notação de n Para o caso do plano comparando as equações da reta simétrica e geral ax by c 0 temse a f e b d onde d f é o vetor diretor da reta Vide transformação feita no início deste item Se definirmos um vetor n a b pode ser verificado que n v ad bf fd df 0 portanto o vetor n é perpendicular ao vetor diretor da reta v As coordenadas de n serão a b que pode ser obtida diretamente da equação geral da reta ATENÇÃO Se ax by c 0 for a equação geral da reta r então o vetor ab é o vetor normal à reta r O vetor normal pode ser usado como uma terceira alternativa para se obter a equação geral da reta Ao se conhecer um ponto da reta e o vetor normal podese obter a equação geral através de um produto escalar n AP 0 pois serão vetores perpendiculares Fonte O autor n AP 0 a b x XA y YA 0 ax aXA by bYA 0 ax by c 0 EXEMPLO Determine a equação geral da reta que passa no ponto 2 3 e tem vetor normal 14 SOLUÇÃO A equação geral é dada pela equação n AP 0 1 4 x 2 y 3 1 x 2 4 y 3 0 x 2 4y 12 0 Assim a equação geral da reta é x 4y 14 0 SAIBA MAIS SAIBA MAIS Veja a demonstração da obtenção da equação geral da reta através do determinante Na equação geral da reta obtida através da equação simétrica AP AB XAP XAB YAP YAB XXA yYA XBXA YBYA YB YA x YB YA XA XB XA y XB XA YA YB YA x XB XA y YB YA XA XB XA YA 0 O determinante proposto é x y 1 XA YA 1 XB YB 1 0 Resolvendo o determinante YA x XB y XA YB XB YA YB x XA y 0 YAYB x XAXB y YA YB XA XA XB YA 0 Multiplicando ambos os lados por 1 YB YAx XB XA y YB YA XA XB XA YA 0 Que é a mesma equação definida pela transformação da equação simétrica provando assim que o determinante proposto fornece a equação geral da reta Fonte rawpixelcomFreepik EQUAÇÃO DA RETA NO ESPAÇO Como no caso do plano uma reta no espaço pode ser definida tendose dois pontos ou até mesmo um ponto e o vetor diretor A diferença é que tanto os pontos como o vetor diretor possuem três dimensões e não mais duas No caso do espaço não existem as equações geral e reduzida da reta Como será visto em módulo posterior a equação do tipo ax by cz d 0 representará um plano e não uma reta Assim seguindo raciocínio análogo da equação da reta no plano seja a reta r que passa pelos pontos AXAYAZA e BXBYBZB e tem um vetor diretor v AB XA XB YA YB ZA ZB c d f com c d e f pertencente aos reais Definimos as seguintes equações da reta no espaço Simétrica xXA XBXA yYA YB YA zZA ZB ZA xXA c yYA d zZA f Vetorial P A λ AB x y z XA YA ZA λ c d f λreal Paramétrica r x XA cλ y YA dλ λreal z ZA fλ Da mesma forma que no plano um ponto para pertencer a uma reta no espaço deve ter suas coordenadas satisfazendo a equação da reta No caso do espaço não temos nenhuma equação que nos apresenta diretamente o vetor normal da reta como no caso da equação geral da reta no plano EXEMPLO Determine a equação simétrica e paramétrica da reta que passa pelos pontos A 1 2 1 e B 0 3 1 SOLUÇÃO Assim aplicando diretamente no modelo da equação simétrica xXA XB XA yYA YBYA zZA ZB ZA x1 01 y2 32 z 1 1 1 A equação simétrica da reta será x1 1 y2 1 z 1 2 Analisando a equação verificase que o vetor diretor da reta será o vetor v 1 1 2 Escolhendo o ponto A que pertence à reta portanto a equação paramétrica será x XA cλ y YA dλ λ z ZA fλ real x 1 λ y 2 λ λ real z 1 2λ ou x a y 3 a a real z 1 2a EXEMPLO Determine o valor de k e p para que o ponto P 0 k p pertença à reta que passa pelos pontos A 2 3 4 e B 1 0 3 SOLUÇÃO Obtendo o vetor diretor da reta v AB B A 1 2 0 3 3 4 1 3 1 O ponto A 234 pertence à reta então a equação paramétrica será dada por x XA cλ y YA dλ λ z ZA fλ real x 2 λ y 3 3λ λ real z 4 λ Para que P pertença à reta ele deve satisfazer as três equações acima x 0 2 λ λ 2 y k 3 3 λ k 3 32 3 e z p 4 2 p 4 2 2 TEORIA NA PRÁTICA Um canhão se encontra em uma posição do solo e deve acertar um alvo que se encontra em cima de uma elevação Considerase por não ser uma distância muito longa que o projetil ao sair do canhão percorre a trajetória até o alvo em linha reta Sabendo que o canhão se encontra na posição 0 5 e o alvo se encontra na posição 100 400 qual deve ser o ângulo de elevação do canhão em relação ao solo para que o projetil acerte o objetivo Solução em vídeo No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão Assista MÃO NA MASSA 1 DETERMINE A EQUAÇÃO GERAL DA RETA QUE PASSA PELOS PONTOS A 35 E PONTO B 1 3 A x 2y 13 0 B x 2y 7 0 C x 2y 3 0 D x 2y 7 0 2 QUAL O PONTO QUE TEM ABSCISSA 3 E QUE PERTENCE À RETA 2X Y 10 0 A 3 10 B 3 12 C 3 16 D 3 20 3 UMA RETA FORMA UM ÂNGULO COM O EIXO POSITIVO DE X DE 45 ESTA RETA PASSA PELO PONTO 21 DETERMINE O VALOR DE P PARA QUE O PONTO 1 P PERTENÇA À RETA A 3 B 1 C 2 D 0 4 O PONTO R K 2 PERTENCE À RETA R X 5 4Λ Y 4 Λ Λ REAL DETERMINE O VALOR DE K A 19 B 17 C 15 D 13 5 SEJA A RETA DE EQUAÇÃO X 2 4 Y 3 3 O VETOR NORMAL DESTA RETA TEM COORDENADAS A B E O COEFICIENTE LINEAR DELA VALE Q MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE A B 4Q A 0 B 1 C 2 D 1 6 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA AS COORDENADAS DO PONTO P K 4 P QUE PERTENCE ÀS RETAS QUE PASSAM PELOS PONTOS A 1 1 2 E B 3 2 3 A 12 4 3 B 10 4 1 C 11 4 5 D 2 4 3 GABARITO 1 Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A 35 e ponto B 1 3 A alternativa B está correta Assim aplicando diretamente no modelo da equação xXA yYA XB XA YB YA x3 y5 13 35 4 2 4 2 Então a equação simétrica da reta será x3 4 y5 2 Assim 2x 3 4 y 5 2x 6 4y 20 2 x 4y 14 0 x 2y 7 0 2 Qual o ponto que tem abscissa 3 e que pertence à reta 2x y 10 0 A alternativa C está correta Se o ponto P xp yp pertence à reta ele satisfaz a equação da reta 2x y 10 0 Como xp 3 23 y 10 0 y 16 3 Uma reta forma um ângulo com o eixo positivo de x de 45 Esta reta passa pelo ponto 21 Determine o valor de p para que o ponto 1 p pertença à reta A alternativa D está correta Se o ângulo da reta com o eixo x vale 45 então m tg 45 1 Logo a equação da reta é y mx q x q Como o ponto P 21 pertence à reta então o ponto satisfaz a equação assim 1 2 q q 1 A reta terá equação y x 1 Como o ponto 1 p pertence à reta p 1 1 0 4 O ponto R k 2 pertence à reta r x 5 4λ y 4 λ λ real Determine o valor de k A alternativa A está correta No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão 5 Seja a reta de equação x2 4 y3 3 O vetor normal desta reta tem coordenadas a b e o coeficiente linear dela vale q Marque a alternativa que apresenta o valor de a b 4q A alternativa D está correta Transformando a equação simétrica para geral se obtém x2 4 y3 3 3x 6 4y 12 3x 4y 6 0 3x 6 4y 12 3x 4y 6 0 Analisando a equação geral verificase que o vetor normal vale 34 Transformando a equação geral na equação reduzida y 3 4x 3 2 y x Assim o coeficiente linear q 3 2 q O valor de q poderia ser obtido também fazendo x 0 na equação geral Assim a b 4 q 3 4 6 1 6 Marque a alternativa que apresenta as coordenadas do ponto P k 4 p que pertence às retas que passam pelos pontos A 1 1 2 e B 3 2 3 A alternativa C está correta x2 4 y3 3 3 4 3 2 3 2 No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 SEJA A EQUAÇÃO AX BY 16 0 DA RETA QUE PASSA PELOS PONTOS A 32 E B 24 SEJA O PONTO C DE COORDENADAS P 2 QUE TAMBÉM PERTENCE A ESTA RETA MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE A B P A 0 B 1 C 2 D 1 2 SEJA A RETA R QUE PASSA NOS PONTOS 123 E 2 4 1 SABESE QUE O PONTO P 4 T P PERTENCE A ESTA RETA QUE TEM VETOR DIRETOR DADO POR A 2 B DETERMINE O VALOR DE A B T P A 8 B 9 C 10 D 11 GABARITO 1 Seja a equação ax by 16 0 da reta que passa pelos pontos A 32 e B 24 Seja o ponto C de coordenadas p 2 que também pertence a esta reta Marque a alternativa que apresenta o valor de a b p A alternativa B está correta Aplicando diretamente o determinante para encontrar a equação da reta x y 1 XA YA 1 XB YB 1 x y 1 3 2 1 2 4 1 0 Resolvendo o determinante 2 4x 2 3y 12 4 0 2x y 8 0 Assim a equação da reta vale 2x y 8 0 mas o enunciado diz que o termo independente vale 16 logo devemos multiplicar todos os termos por 2 ficando com uma equação 4x 2y 16 0 Portanto a 4 e b 2 Se C pertence à reta ele satisfaz a equação da reta assim 2p 2 8 0 2p 10 p 5 Portanto a b p 4 2 5 1 2 Seja a reta r que passa nos pontos 123 e 2 4 1 Sabese que o ponto P 4 t p pertence a esta reta que tem vetor diretor dado por a 2 b Determine o valor de a b t p A alternativa C está correta Determinandose a equação simétrica da reta no plano xXA XB XA yYA YBYA zZA ZB ZA x1 21 y2 42 z3 13 x1 3 y2 2 z3 2 O vetor diretor será qualquer vetor proporcional a 3 2 2 No enunciado a coordenada y do vetor diretor tem valor de 2 assim o vetor diretor escolhido será 3 2 2 que foi obtido multiplicando o anterior por 1 Então a 3 e b 2 Se o ponto P pertence à reta ele satisfaz as equações da reta x1 3 y2 2 z3 2 41 3 t2 2 p3 2 Resolvendo as equações 1 t2 2 p3 2 t 0 e p 5 Portanto a b t p 3 2 0 5 10 MÓDULO 2 Aplicar equações da reta na obtenção da interseção do ângulo e das posições relativas entre retas INTRODUÇÃO No módulo anterior aprendemos a equação analítica de uma reta no plano ou no espaço Ao compararmos as equações de duas retas observase que duas retas no plano podem ter três posições relativas entre si concorrentes paralelas ou coincidentes No caso do espaço além dos três tipos anteriores temos o caso de retas reversas que são aquelas que pertencem a dois planos paralelos distintos As equações analíticas das retas podem também ser usadas para se descobrir o ângulo formado pelas retas e se for o caso o ponto de interseção que elas possuem Sergey Zolkinunsplash INTERSEÇÃO ENTRE DUAS RETAS Como já visto no módulo anterior um ponto P para pertencer a uma reta deve satisfazer a equação da reta Assim se um ponto é interseção entre duas retas ele deve obrigatoriamente obedecer simultaneamente às equações das duas retas Desta forma a coordenada do ponto de interseção caso exista será a solução do sistema linear composto pelas duas retas analisadas Se este sistema for possível e determinado a solução será o ponto de interseção entre as retas Se a solução do sistema for possível e indeterminada será o caso de as duas retas serem a mesma reta assim todos os pontos da reta são comuns entre as duas tendo portanto infinitas soluções no sistema E por fim se a solução do sistema for impossível é porque as retas não têm ponto comum POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETAS Quando se está trabalhando no plano duas retas podem ter entre si três posições relativas são elas CONCORRENTES Apresentam um ponto de interseção isto é um ponto comum COINCIDENTES São na verdade a mesma reta tendo portanto infinitos pontos comuns PARALELAS Têm a mesma direção porém são distintas não tendo nenhum ponto em comum Um caso particular das retas concorrentes é o caso das retas perpendiculares ou ortogonais que fazem 90 entre si Fonte O autor Os três casos anteriores representam retas que pertencem ao mesmo plano isto é coplanares No caso de estar se trabalhando no espaço temos uma quarta possibilidade Esta quarta possibilidade está associada com as retas que não são coplanares Em outras palavras pertencem a dois planos paralelos distintos Estas retas são denominadas de retas reversas e não apresentam pontos de interseção As retas reservas podem ser obliquas ou ortogonais veja Fonte O autor O item anterior apresentou uma forma de se obter os pontos de interseção através da resolução do sistema Ao se determinar os pontos de interseção podese avaliar as posições relativas entre as retas Se as retas tiverem apenas um ponto em comum elas só podem ser retas concorrentes Se tiverem infinitos pontos em comum as retas serão coincidentes Se as retas não tiverem pontos em comum podem ser paralelas ou reversas Para o último caso observase que apenas com a análise da interseção não se pode concluir sobre a posição entre as retas tornandose necessária a análise complementar de se observar a direção relativa das retas através dos vetores diretores RESUMINDO Assim resumidamente Retas concorrentes apenas um ponto comum Neste caso apesar de não ser necessária a análise os vetores diretores não são paralelos Retas coincidentes infinitos pontos em comum Neste caso apesar de não ser necessária a análise os vetores diretores são paralelos Retas paralelas nenhum ponto em comum e os vetores diretores são paralelos Retas Reversas nenhum ponto em comum e os vetores diretores não são paralelos A verificação se os vetores diretores são ou não paralelos é feita através da averiguação das coordenadas dos mesmos serem ou não proporcionais isto é Se v1 v2 xv1 xv2 yv1 yv2 zv1 zv2 No caso do plano a comparação das equações gerais é um método simples para se verificar a posição relativa entre duas retas Seja a reta r a1 x b1 y c1 0 e a reta s a2 x b2 y c2 0 assim Se a1 a2 b1 b2 c1 c2 então as retas r e s serão coincidentes Se a1 a2 b1 b2 c1 c2 então as retas r e s serão paralelas Se a1 a2 b1 b2 então as retas r e s serão concorrentes As condições acima estão relacionadas com as direções dos vetores normais das retas Fonte Melinda NagyShutterstock ÂNGULO ENTRE RETAS O ângulo entre as retas será o mesmo ângulo que existe entre seus vetores diretores Assim sejam as retas r com vetor diretor v1 e a reta s com vetor diretor v2 O ângulo θ formado entre as duas retas será calculado por cosθ v1 v2 v1 v2 Por definição como as retas não têm sentido o ângulo entre elas será sempre o ângulo agudo isto é menor ou igual a 90 Como o ângulo agudo tem cosseno positivo foi colocado um módulo na fórmula do cosseno do ângulo entre as retas O ângulo formado entre os vetores diretores também será o mesmo ângulo formado pelos vetores normais Isto parte de uma propriedade da Geometria Assim no cálculo do ângulo através da fórmula anterior ela pode ser usada com o vetor normal ao invés do vetor diretor Se as retas forem paralelas ou coincidentes por definição se considera como 0 o ângulo entre elas No caso das retas reversas definese ângulos entre elas como o ângulo formado pela primeira reta e uma reta paralela à segunda reta porém pertencente ao plano da primeira A fórmula apresentada já leva em conta esta definição No caso da análise no R2 o plano ao invés de usar o vetor diretor para a análise das posições relativas das retas pode ser usado alternativamente o vetor normal da reta EXEMPLO Determine caso exista o ponto de interseção entres as retas 2x y 1 0 e 3x y 6 0 e verifique as posições relativas entre as retas SOLUÇÃO Resolvendo o sistema abaixo Se o sistema for possível e determinado existirá o ponto de interseção 2x y 1 0 3x y 6 0 2x 3x y y 1 6 0 5x 5 0 x 1 y 3 2x y 1 0 3x y 6 0 2x 3x y y 1 6 0 5x 5 0 x 1 y 3 Assim o ponto 13 pertence as duas retas sendo o ponto de interseção entre elas Portanto neste caso as duas retas são concorrentes Se for verificado os coeficientes das equações das retas a1 a2 2 3 e b1 b2 1 1 1 Como a1 a2 b1 b2 então as retas r e s são concorrentes EXEMPLO Determine o ângulo existente entre as retas do exemplo anterior SOLUÇÃO Os vetores normais das retas são n121 e n231 n1 22 12 5 n2 32 12 10 e n1 n2 2 3 1 1 5 Assim cosθ n1 n2 n1 n2 5 510 2 2 θ arccos 2 2 EXEMPLO Determine caso exista o ponto de interseção entre a retas r x 2 2λ y 3 3λ z 1 2λ λ real e a reta s x4 2 y6 3 z3 6 e verifique as posições relativas entre as retas SOLUÇÃO Transformando a equação simétrica da reta s para equação paramétrica s x 4 2a y 6 3a z 3 6a a real Igualando as coordenadas s x 4 2a 2 2λ y 6 3a 3 3λ z 3 6a 1 2λ 2a 2λ 2 3a 3λ 3 6a 2λ 2 a λ 1 a λ 1 3a λ 1 Assim λ α 1 λ 1 α que substituindo na terceira equação 3α 1 α 1 2α 2 α 1 λ 2 Portanto existe apenas uma solução α 1 e λ 2 Para achar o valor do ponto de interseção substituise em qualquer uma das duas retas x 2 2λ 2 22 6 y 3 3λ 3 32 9 z 1 2λ 1 22 3 ou x 4 2a 4 2 1 6 y 6 3a 6 3 1 9 z 3 6a 3 6 1 3 Logo o ponto P 6 9 3 é o ponto de interseção e as retas são concorrentes Apenas como observação se fossem verificados os vetores diretores das retas eles seriam v1 232 e v1236 sendo portanto vetores que não são paralelos A conclusão dessa análise seria que as retas poderiam ser concorrentes ou reversas mostrando que esta análise isolada não permite neste caso concluir sobre as posições relativas tornandose necessário verificar a interseção Se na solução do sistema anterior fossem encontrados infinitos valores de α e λ então o sistema seria possível e indeterminado e as retas seriam a mesma reta Se não fosse determinado nenhum valor de α e λ para satisfazer o sistema as retas não se cortariam não tendo ponto de interseção TEORIA NA PRÁTICA Um determinado terreno tem dois de seus lados fazendo um ângulo de 60 A primeira cerca liga os pontos 41 e 11 A segunda cerca liga os pontos 11 ao ponto 4 33 1 O morador do terreno do lado diz que a segunda cerca está entrando em seu terreno isto é está fazendo um ângulo maior do que 600 com o primeiro lado do terreno Como você pode ajudar ao dono do terreno a mostrar que o ângulo está correto Solução em vídeo No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão Assista MÃO NA MASSA 1 O PONTO P A B É PONTO COMUM ENTRE AS RETAS X 2Y 2 0 E X Y 4 0 DETERMINE O VALOR DE A B A 0 B 1 C 2 D 3 2 DETERMINE A POSIÇÃO RELATIVA ENTRE AS RETAS R DEFINIDA PELA EQUAÇÃO 2X 3Y 5 0 E A RETA S DEFINIDA PELA EQUAÇÃO 4X 6Y 9 0 A Paralelas B Concorrentes C Reservas D Coincidentes 3 DETERMINE A POSIÇÃO RELATIVA ENTRE AS RETAS DEFINIDA PELA EQUAÇÃO X 1 4 Y 2 5 E A RETA S 10X 8Y 6 0 A Paralelas B Concorrentes C Reservas D Coincidentes 4 DETERMINE O PONTO DE INTERSEÇÃO ENTRE A RETAS R X 2 2Λ Y 4 10Λ Z 2 3Λ Λ REAL E A RETA S X 4 2 Y 6 4 Z 3 2 A 14 1 0 B 1 14 2 C 0 14 1 D 3 11 14 5 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O COSSENO DO ÂNGULO FORMADO PELAS RETAS R X 1 Λ Y 3 3Λ Λ REAL Z 2 2Λ E A RETA S X 7 3 Y 2 2 Z 4 1 A 5 14 B 8 14 C 3 14 D 1 6 DETERMINE O COSSENO DO ÂNGULO FORMADO ENTRE AS RETAS R X 3 4A Y 5 4A A REAL Z 4 4A E S X 2 3Λ Y 1 6Λ Λ REAL Z 2 9Λ A 30 7 B 37 5 C 42 7 23 5 GABARITO 1 O ponto P a b é ponto comum entre as retas x 2y 2 0 e x y 4 0 Determine o valor de a b A alternativa A está correta Resolvendo o sistema abaixo Se o sistema for possível e determinado existirá o ponto de interseção x 2y 2 0 x y 4 0 0 Subtraindo uma equação da outra 2y y 2 4 0 3y 6 y 2 a Então x y 4 2 4 2 b Portanto a b 2 2 0 2 Determine a posição relativa entre as retas r definida pela equação 2x 3y 5 0 e a reta s definida pela equação 4x 6y 9 0 A alternativa A está correta Verificandose os coeficientes das equações das duas retas observase que a1 a2 2 4 1 2 b1 b2 3 6 1 2 e c1 c2 5 9 5 9 Como a1 a2 b1 b2 c1 c2 as retas r e s são paralelas Se fosse resolvido o sistema 2x 3y 5 0 4x 6y 9 0 verificase que ele é impossível Não se tem nenhum ponto que atende as duas equações 3 Determine a posição relativa entre as retas definida pela equação x1 4 y2 5 e a reta s 10x 8y 6 0 A alternativa D está correta No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão 4 Determine o ponto de interseção entre a retas r x 2 2λ y 4 10λ z 2 3λ λ real e a reta s x4 2 y6 4 z3 2 A alternativa C está correta Transformando a equação simétrica da reta s para equação paramétrica s x 4 2a y 6 4a z 3 2a a real Igualando as coordenadas x 4 2a 2 2λ y 6 4a 4 10λ z 3 2a 2 3λ 2a 2λ 6 4a 10λ 2 2a 3λ 1 a λ 3 2a 5λ 1 2a 3λ 1 Assim λ α 3 λ 3 α que substituindo na terceira equação 2 α 33 α 1 2α 3α 1 9 10 α 105 α 2 e λ 3 α 3 2 1 Portanto existe apenas uma solução α 2 e λ 1 Para achar o valor do ponto de interseção substituise em qualquer uma das duas retas x 2 2λ 2 21 0 y 4 10λ 4 10 1 14 z 2 3λ 2 3 1 1 ou x 4 2a 4 2 2 0 y 6 4a 6 4 2 14 z 3 2a 3 2 2 1 Então o ponto P 0 14 1 é o ponto de interseção entre as retas 5 Marque a alternativa que apresenta o cosseno do ângulo formado pelas retas r x 1 λ y 3 3λ λ real z 2 2λ e a reta s x7 3 y2 2 z4 1 A alternativa A está correta Verificase que os vetores diretores são 1 3 2 e 3 2 1 que não são paralelos assim as retas serão concorrentes ou reversas Logo o ângulo é obtido pela fórmula cosθ v1 v2 v1 v2 v1 12 32 22 14 v2 32 22 12 14 v1 v2 1 3 3 2 2 1 5 Assim cosθ v1 v2 v1 v2 5 1414 5 14 6 Determine o cosseno do ângulo formado entre as retas r x 3 4a y 5 4a a real z 4 4a e s x 2 3λ y 1 6λ λ real z 2 9λ A alternativa C está correta No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 SEJAM AS RETAS R DE EQUAÇÃO 3X 5Y 8 0 E A RETA S DE EQUAÇÃO X 1 4 Y 2 6 O PONTO P A B É O PONTO COMUM AS DUAS RETAS MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE A B A 1 B 2 C Infinitos valores D Não existe a e b 2 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A POSIÇÃO RELATIVA ENTRE AS RETAS DETERMINE CASO EXISTA O PONTO DE INTERSEÇÃO ENTRE A RETAS R X 1 Λ Y 3 3Λ Λ REAL Z 2 2Λ E A RETA S X 7 3 Y 1 2 Z 4 1 E VERIFIQUE AS POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE AS RETAS A Coincidentes B Paralelas C Concorrentes D Reversas GABARITO 1 Sejam as retas r de equação 3x 5y 8 0 e a reta s de equação x1 4 y2 6 O ponto P a b é o ponto comum as duas retas Marque a alternativa que apresenta o valor de a b A alternativa B está correta Transformando a equação da reta s para equação geral 6x 6 4y 8 6x 4y 2 0 3x 2y 1 0 Repare que a1 a2 3 3 e b1 b2 5 2 Como a1 a2 b1 b2 então as retas r e s são concorrentes Resolvendo o sistema 3x 5y 8 0 3x 2y 1 0 subtraindo as duas equações 7y 7 0 y 1 Assim 3x 51 8 0 3x 3 x 1 Portanto o ponto comum é P 11 assim a b 1 1 2 2 Marque a alternativa que apresenta a posição relativa entre as retas Determine caso exista o ponto de interseção entre a retas r x 1 λ y 3 3λ λ real z 2 2λ e a reta s x7 3 y1 2 z4 1 e verifique as posições relativas entre as retas A alternativa C está correta Verificase que os vetores diretores são 1 3 2 e 2 3 1 que não são paralelos assim as retas serão concorrentes ou reversas Transformando a equação da reta s para paramétrica s x 7 3a y 1 2a a real z 4 a Igualando coordenada a coordenada 1 λ 7 3a 3 3λ 1 2a 2 2λ 4 a λ 3a 6 3λ 2a 4 2λ a 2 Resolvendo o sistema obtémse o valor de λ 0 e α 2 que atende as três equações Assim x 1 λ 1 0 1 y 3 3λ 3 0 3 z 2 2λ 2 0 2 é o ponto comum As retas serão portanto concorrentes MÓDULO 3 Aplicar a definição do plano na determinação da equação do plano e nas posições relativas entre os planos INTRODUÇÃO Abordamos anteriormente a figura geométrica da reta no plano e no espaço Neste módulo estudaremos o lugar geométrico denominado de plano Como visto na Geometria um plano é definido por três pontos não colineares Apesar disso existem diversas maneiras de se definir a sua equação De forma similar à reta o plano terá alguns tipos de equações equivalentes para representar os seus pontos geral vetorial e paramétrica Por fim além de definirmos a equação que representa um plano no espaço serão analisadas também as posições relativas e o ângulo entre os planos de forma similar ao feito na reta agsandrewShutterstock EQUAÇÃO DO PLANO NO ESPAÇO Não há sentido em falar de equação do plano no R2 pois todo R2 é um plano particular isto é o plano xy com equação z 0 A equação do plano vai ser estudada no espaço ou seja no R3 Para se definir um plano necessitase de três pontos que não pertençam à mesma reta não colineares porém para se definir uma equação de um plano algumas alternativas são possíveis É importante termos a seguinte noção Um ponto para pertencer a um plano deve satisfazer a equação do plano Um vetor para pertencer ao plano deve ser paralelo ao plano Assim vetor paralelo ao plano ou pertencente ao plano serão sinônimos Uma reta para pertencer ao plano deve ter no mínimo dois pontos distintos da reta que satisfaça a equação do plano EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Assim podese definir uma equação do plano conhecendose no mínimo Um ponto e o vetor normal ao plano Dois pontos e um vetor do plano Três pontos não colineares Um ponto e dois vetores não paralelos que pertencem ao plano A primeira equação analisada é a EQUAÇÃO GERAL do plano que tem forma similar à equação geral da reta ax by cz d 0 com a b c e d reais Uma das formas para se determinar esta equação parte do conhecimento de um ponto A XAYAZA que pertence ao plano e um vetor normal perpendicular ao plano nabc A metodologia é similar à que fizemos na reta Definese um ponto genérico do plano P x y z e calculase o vetor AP P A x XA y YA z ZA O vetor normal n por ser perpendicular ao plano π será perpendicular a qualquer vetor deste plano então n perpendicular a AP n AP 0 n AP 0 a b c x XA y YA z ZA 0 ax aXA by bYA cz cZA 0 ax by cz d 0 com d aXA bYA cZA Fonte O autor Se multiplicarmos ambos os lados por um número real k ainda temos a mesma equação a x b y c z d 0 ak x bk y ck z dk 0 k R EXEMPLO Determine a equação geral e paramétrica do plano que passa pelos pontos A 1 4 2 e é perpendicular ao vetor 2 1 2 SOLUÇÃO Resolvendo a equação n AP 0 será obtida a equação geral do plano P x y z é um ponto genérico n AP 0 2 1 2 x 1 y 4 z 2 0 2x 2 y 4 2z 4 0 2x y 2z 2 0 Para obter a equação paramétrica façamos x α e y λ com α e λ reais Assim 2α λ 2z 2 0 2z 2 2α λ Desta forma π x a y λ z 1 a 1 2λ com a e λ reais A segunda possibilidade caso se conheça dois pontos A e B e um vetor do plano transforma se no caso anterior pois podese obter o vetor normal através de um produto vetorial com dois vetores que pertencem ao plano Um já é conhecido e o outro é obtido através dos dois pontos dados isto é AB ou BA Dessa forma teremos novamente um ponto e o vetor normal ao plano Na terceira possibilidade são dadas as coordenadas de 3 pontos do plano A B e C Neste caso podemos ter duas alternativas Através dos três pontos definese dois vetores que pertenceram ao plano por exemplo AB e AC Com estes dois vetores obtémse o vetor normal pelo produto vetorial entre eles e se repete o primeiro caso analisado neste tópico A segunda alternativa é lembrar a condição de coplanaridade entre três vetores que é o produto misto igual a zero Assim através dos 3 pontos acrescentamos um ponto genérico Pxyz e fazemos que AP AB AC0 Ressaltase que pode ser escolhido qualquer vetor que liga os pontos apenas se escolhendo um vetor com o ponto P genérico O último caso no qual se é conhecido um ponto e dois vetores do plano também recai no primeiro pois o vetor normal pode ser obtido pelo produto vetorial destes dois vetores dados Existe porém uma segunda alternativa para este caso definindose o outro tipo de equação do plano EXEMPLO Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A 1 1 1 B 2 0 3 e C 0 4 2 SOLUÇÃO A primeira forma é fazer o produto misto AP AB AC0 AP x1y1z1x1y1z1 AB 210131114 AC 01412113 3 3 1 x 1 1 3 z 1 1 4 y 1 1 z 1 4 3 x 1 3 1 y 1 0 15x 7y 2z 24 0 15x 7y 2z 24 0 Outra opção é achar o vetor normal n AB AC e usar a mesma solução do exemplo anterior EQUAÇÃO VETORIAL E PARAMÉTRICA DO PLANO Além da equação geral pode ser definida a equação paramétrica do plano Para isso tornase necessário conhecer um ponto do plano e dois vetores pertencentes ou paralelos a ele O conceito é que qualquer ponto P x y z que pertença ao plano π obrigatoriamente é obtido partindo do ponto dado A por uma combinação linear dos dois vetores do plano Em outras palavras seja o ponto A XA YA ZA e dois vetores não paralelos v1cdf e v2 pqr que pertencem ao plano π E seja o ponto genérico Pxyz do plano assim AP α v1 β v2 com α e β reais Fonte O autor AP α v1 β v2 x XA z ZA y YA αc d f βp q r A equação P A α v1 β v2 com α e β reais é denominada de EQUAÇÃO VETORIAL da reta Separando a mesma para cada uma das coordenadas definese a EQUAÇÃO PARAMÉTRICA do plano como π x XA cα pβ y YA dα qβ para α e β reais z ZA fα rβ Podese obter a equação paramétrica através da equação geral do plano basta fazer x α y β na equação geral e obter o valor de z Assim se produz uma equação paramétrica π x α y β z d c b cβ a cα para α e β reais Para se obter a equação geral através da equação paramétrica do plano pegue duas das três equações e ache o valor de α e β em relação as duas coordenadas escolhidas por exemplo x e y Depois substitua o valor de α e β na terceira equação então obtémse a equação geral Fonte RawpixelcomShutterstock POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS Você sabia que dois planos no espaço apresentam entre si posições relativas que podem ser classificadas como concorrentes paralelos ou coincidentes A seguir veja detalhadamente cada um CONCORRENTES Apresentam uma reta de interseção COINCIDENTES São na verdade o mesmo plano tendo portanto infinitos pontos comuns PARALELOS Não têm nenhum ponto em comum Um caso particular dos planos concorrentes são os planos ortogonais isto é fazem 90 entre si Fonte O autor A posição relativa entre os planos é dada pela análise do vetor normal aos mesmos Como visto no item anterior um plano de equação geral ax by cz d 0 tem um vetor normal dado por n a b c Sejam dados dois planos π a1x b1y c1z d1 0 com vetor normal nπ a1 b1 c1 e μ a2x b2y c2z d2 0 com vetor normal nμ a2 b2 c2 Se a1 a2 b1 b2 c1 c2 d1 d2 as duas equações representam o mesmo plano assim os planos π e μ serão planos coincidentes a1 a2 b1 b2 c1 c2 d1 d2 representam que os dois vetores normais são paralelos mas não são equações do mesmo plano assim os planos π e μ serão planos paralelos Os demais casos vão denotar que os planos π e μ serão planos concorrentes No caso dos planos concorrentes podese obter a equação da reta que há a interseção dos planos Os pontos da reta de interseção devem satisfazer as duas equações do plano π a1x b1y c1z d1 0 μ a2x b2y c2z d2 0 Uma solução é resolver o sistema para duas variáveis em relação a terceira Dessa forma teremos por exemplo y e z em função de x Logo definese x como um parâmetro λ e teremos as equações paramétricas EXEMPLO Determine a posição relativa interseção e ângulo entre os planos 2x 3y z 4 0 e 6x 9y 3z 3 0 SOLUÇÃO Comparando os coeficientes das equações gerais dos planos a1 a2 6 2 3 b1 b2 9 3 3 c1 c2 3 1 3 e d1 d2 3 4 Como a1 a2 b1 b2 c1 c2 d1 d2 assim os planos π e μ serão planos paralelos Desta forma não existe interseção entre os planos e o ângulo formado entre eles é zero ÂNGULOS ENTRE PLANOS De forma similar às retas o ângulo entre os planos será o mesmo ângulo entre seus vetores normais Assim sejam os planos π e μ com vetores normais nπ e nμ O ângulo θ formado entre os planos será calculado por cosθ nπ nμ nπ nμ Por definição o ângulo entre os planos será sempre o ângulo agudo isto é menor ou igual a 90 Se o produto escalar n1 n2 0 então os dois planos serão ortogonais Se os planos forem paralelos ou coincidentes o ângulo é dito como 0 EXEMPLO Determine a posição relativa interseção e ângulo entre o plano 2y 4x 4z 2 0 e o plano x 1 α β y 7 6α 4β α e β reais z 2 2α β SOLUÇÃO Convertendo a equação do segundo plano para equação geral Separando duas das três equações e achando o valor de β e α em relação às coordenadas x 1 α β z 2 2α β na primeira equação α x 1 β Substituindo na segunda z 2 2x 2 2β β 2x β β 2x z Assim α x 1 β x 1 2x z z x 1 Substituindo na equação do y 2x 2z 1 2x y 2z 1 0 Comparando agora os coeficientes das equações gerais dos planos a1 a2 4 2 2 b1 b2 2 1 2 c1 c2 4 2 2 e d1 d2 2 1 2 Como a1 a2 b1 b2 c1 c2 d1 d2 as duas equações representaram o mesmo plano portanto os planos π e μ serão coincidentes A interseção entre eles é o próprio plano e o ângulo formado entre eles é zero EXEMPLO Determine a posição relativa interseção e ângulo entre o plano x y 3 0 e o plano 2x y z 1 0 SOLUÇÃO Comparando os coeficientes das equações gerais dos planos a1 a2 1 2 e b1 b2 1 1 1 Como a1 a2 b1 b2 c1 c2 os dois planos são concorrentes Para se obter o ângulo entre os planos cosθ n1 n2 n1 n2 n1 1 10e n2 2 1 1 n1 12 12 2 n2 22 12 12 6 e n1 n2 1 2 1 1 0 1 1 Assim cosθ n1 n2 n1 n2 1 26 3 6 portanto θ arccos 3 6 x y 3 0 2x y z 1 0 y 3 x e z 1 y 2x 1 3 x 2x 4 3x Fazendo x λ então y 3 λ e z 4 3λ λ real A reta de interseção dos planos será r x λ y 3 λ z 4 3λ λ real TEORIA NA PRÁTICA Na interseção entre duas elevações existe um rio que segue uma trajetória retilínea A primeira elevação é modelada como plano x 3y 5 0 e a segunda elevação é modelada pela equação do plano 3y z 8 0 Qual a equação que modela a trajetória do rio No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão MÃO NA MASSA 1 DETERMINE A POSIÇÃO RELATIVA ENTRE OS PLANOS 2X 3Y Z 4 0 E 7X Y 3Z 2 0 A Coincidentes B Paralelos C Concorrentes D Reversos 2 DETERMINE A EQUAÇÃO DO PLANO QUE PASSA PELOS PONTOS A 2 3 1 E É PERPENDICULAR AO VETOR 1 1 2 A x 2y z 1 0 B x y 2z 7 0 C x y 3z 9 0 D 2x y z 1 0 3 DETERMINE O VALOR DA EQUAÇÃO GERAL DO PLANO QUE PASSA PELOS PONTOS A 0 1 3 B 1 1 2 E C 1 2 1 A 3x y 3z 5 0 B 3x y 2z 8 0 C 3x y 3z 8 0 D 2x y 3z 8 0 4 DETERMINE O COSSENO DO ÂNGULO FORMADO PELOS PLANOS X Y 2 0 E 2Y Z 3 0 A 1 B 2 3 C 10 2 D 10 5 5 SEJAM OS PLANOS 2X KY 0 E X PZ 3 0 COM K E P REAIS SABESE QUE O ÂNGULO ENTRE OS PLANOS VALE 60 E QUE O PONTO P 0 1 1 PERTENCE AO PRIMEIRO PLANO DETERMINE O VALOR DE K P2 A 0 B 1 C 2 D 3 6 DETERMINE A POSIÇÃO RELATIVA ENTRE OS PLANOS X 1 Α Β Y 7 6Α 4Β Z 2 2Α Β E X 3 Α 3Β Y 1 4Α 2Β Z 4 Α 2Β A Coincidentes B Paralelos C Concorrentes D Reversos GABARITO 1 Determine a posição relativa entre os planos 2x 3y z 4 0 e 7x y 3z 2 0 A alternativa C está correta Comparando os coeficientes entre os planos a1 a2 2 7 e b1 b2 3 1 a1 a2 Assim os planos são concorrentes 2 Determine a equação do plano que passa pelos pontos A 2 3 1 e é perpendicular ao vetor 1 1 2 A alternativa B está correta Resolvendo a equação n AP 0 será obtida a equação geral do plano P x y z é um ponto genérico n AP 0 11 2x 2y3z10 x 2 y 3 2z 1 0 x y 2z 7 0 3 Determine o valor da equação geral do plano que passa pelos pontos A 0 1 3 B 1 1 2 e C 1 2 1 A alternativa C está correta No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão 4 Determine o cosseno do ângulo formado pelos planos x y 2 0 e 2y z 3 0 A alternativa D está correta Comparando os coeficientes das equações gerais dos planos a1 a2 1 0 b1 b2 1 2 c1 c2 0 1 e d1 d2 2 3 a1 a2 b1 b2 c1 c2 os dois planos são concorrentes Para se obter o ângulo entre os planos cosθ n1 n2 n1 n2 n1 1 10 e n2 0 2 1 n1 12 12 2 n2 02 22 12 5 e n1 n2 1 0 1 2 0 1 2 Assim ccosθ n1 n2 n1 n2 2 25 10 5 5 Sejam os planos 2x ky 0 e x pz 3 0 com k e p reais Sabese que o ângulo entre os planos vale 60 e que o ponto P 0 1 1 pertence ao primeiro plano Determine o valor de k p2 A alternativa D está correta No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão 6 Determine a posição relativa entre os planos x 1 α β y 7 6α 4β z 2 2α β e x 3 α 3β y 1 4α 2β z 4 α 2β A alternativa B está correta Pela equação paramétrica do primeiro plano podese obter dois vetores paralelos a este plano 1 6 2 e 1 4 1 Assim seu vetor normal será n v1 x v2 ˆx ˆy ˆz 1 6 2 1 4 1 6ˆx 4ˆz 2ˆy 6ˆz ˆy 8x 2ˆx ˆy 2ˆz 2 1 2 e um ponto deste plano será o ponto 1 7 2 portanto a equação geral será dada por n AP 0 n AP 0 21 2x 1y7z2 0 2x 2 y 72z 2 0 2x y 2z 1 0 Pela equação paramétrica do segundo plano podese obter dois vetores paralelos a este plano 1 4 1 e 3 2 2 Dessa forma seu vetor normal será n v1 x v2 ˆx ˆy ˆz 1 4 1 3 2 2 8ˆx 2ˆz 3ˆy 12ˆz 2ˆy 2ˆx 10 ˆx 5ˆy 10ˆz 10 5 10 e um ponto deste plano será o ponto 3 1 4 Assim a equação geral será dada por n AP 0 n AP 0 10 5 10x 3 y 1 z 4 0 10x 3 5y 1 10z 4 0 10x 5y 10z 65 0 2x y 2z 13 0 Comparandose as duas equações gerais dos planos verificase que a1 a2 b1 b2 c1 c2 d1 d2 Assim sendo os planos são paralelos VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 O PLANO AX BY CZ D 0 PASSA NO PONTO A 2 3 2 E É PARALELO AOS VETORES V1 1 0 1 E VETORES V2 1 1 2 DETERMINE O VALOR DE A B C D A 3 B 4 C 5 D 6 2 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A POSIÇÃO RELATIVA ENTRE O PLANO 2X Y 4Y 8 0 E O PLANO X 2 2Α Β Y 1 3Α Β Α E Β REAIS Z 2 Α 2Β Α E Β REAIS A Coincidentes B Paralelas C Concorrentes D Reversas GABARITO 1 O plano ax by cz d 0 passa no ponto A 2 3 2 e é paralelo aos vetores v1 1 0 1 e vetores v2 1 1 2 Determine o valor de a b c d A alternativa B está correta Obtendo o vetor normal n v1 x v2 ˆx ˆy ˆz 1 0 1 1 1 2 ˆx ˆy ˆz 1 1 1 Resolvendo a equação n AP 0 será obtida a equação geral do plano n AP 0 11 1x 2 y 3 z 2 0 x y z 3 0 a b c d 4 2 Marque a alternativa que apresenta a posição relativa entre o plano 2x y 4y 8 0 e o plano x 2 2α β y 1 3α β α e β reais z 2 α 2β α e β reais A alternativa C está correta Convertendo a equação do segundo plano para equação geral x 2 2α β z 2 α 2β x 2 2α β 2z 4 2α 4β Subtraindo 2z x 4 2 4β β 2 3 β Então β 2 3z 1 3x 2 3 e substituindo na equação x 2 2α β 2 2α 2 3z 1 3x 2 3 Dessa forma 2α 4 3x 2 3z 1 3 7x 3y 5z 1 0 Substituindo na equação do y y 1 3α β 1 3 2 3x 1 3z 2 3 2 3z 1 3x 2 3 y 7 3x 5 3z 1 3 7x 3y 5z 1 0 Comparando agora os coeficientes das equações gerais dos planos a1 a2 2 7 b1 b2 1 3 1 3 c1 c2 4 5 4 5 e d1 d2 8 1 8 dois planos são concorrentes MÓDULO 4 Aplicar o conceito de ponto reta e plano na determinação de distância entre pontos retas e planos INTRODUÇÃO Nos módulos anteriores introduzimos os conceitos de ponto reta e plano Neste módulo aplicaremos estes conceitos na determinação da distância entre pontos entre ponto e reta e entre reta e plano Fonte ImageFlowShutterstock DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Sejam dois pontos no espaço A XA YA ZA e B XB YB ZB A distância entre A e B será dada pelo módulo do vetor AB Assim AB B A XA XB YA YB ZA ZB 2 2 2 Dap ae xp Xq Yg Ya ZeZa Atengao Para visualizagao completa da equacao utilize a rolagem horizontal No caso particular do R os pontos so terao abscissa e ordenada assim lanl 2 2 dag aa Xe Xa Ye Ya w EXEMPLO Determine a distancia entre os pontos A 2 1 2e B1 1 O SOLUCGAO dap ae 12 1 1 02 V1 2 2 V9 3 Sejam o ponto P Xp Yp Zp e o plano Tr com vetor normal abc e equagdo ax by cz d 0 Adistancia do Ponto P ao plano sera dada pela projegao vertical do vetor AP na diregao do vetor normal 7 sendo portanto o mdédulo do vetor PQ Fonte O autor dPπ PQ PROJn AP AP ˆn AP ˆn ˆn aXPbYPcZP d a2b2c2 EXEMPLO Determine a distância entre os pontos A 3 2 2 e o plano 2x y z 2 0 SOLUÇÃO A equação do plano já está na forma geral Se estivesse em outro formato teríamos que converter para geral para obtermos o vetor normal O vetor normal é n211 assim dAπ aXAbYAcZA d a2b2c2 3221 2 1 2 2212 1 2 12 6 26 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Seja um ponto P XP YP ZP e a reta r A distância entre o ponto P e a reta r é dada pelo módulo do vetor PQ no qual o ponto Q pertence à reta r e o segmento PQ é perpendicular à reta A distância entre o ponto e a reta no espaço será dPr TP x TR TR ou dPr PR x v v em que T e R são dois pontos quaisquer da reta e v é o vetor diretor desta reta No caso do R2 o raciocínio pode ser análogo ao feito para determinar a distância do ponto ao plano Seja o ponto P XPYP e a reta r de equação ax by c 0 com vetor normal nab a distância entre o ponto P e a reta r vai ser dada pela projeção vertical do vetor AP na direção do vetor normal n Que será o módulo do vetor PQ dPπ PQ PROJn AP AP ˆn AP n n aXPbYP c a2b2 EXEMPLO Determine a distância entre os pontos P 1 3 1 e a reta x3 2 y2 1 z1 1 SOLUÇÃO Da equação da reta obtémse o vetor diretor v 2 1 1 e v 22 12 12 6 Escolhese um ponto arbitrário que pertence à reta r R 3 21 assim PR R P 252 PR v ˆx ˆy ˆz 2 5 2 2 1 1 3ˆx 6ˆy 12ˆz 3 6 12 PR v 32 62 122 189 321 A fórmula será dada por dPr PR x v v 321 6 314 2 TEORIA NA PRÁTICA Duas estações de telecomunicações se encontram em uma posição do planeta Através de uma medição em coordenadas cartesianas obtevese sua localização como sendo E1 200 100 1000 e E2 500 800 2200 As coordenadas estão medidas em metros Para realizar o projeto de propagação entre elas necessitase medir a distância entre as estações Determine esta distância para que seja possível a realização do projeto No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão MÃO NA MASSA 1 DETERMINE A DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS A 2 1 3 E B 0 2 4 A 6 B 26 C 36 D 46 2 DETERMINE A DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS A 2 4 E A RETA 2X 3Y 6 0 A 213 13 B 13 13 C 713 13 D 1113 13 3 A DISTÂNCIA ENTRE O PONTO 1 K E 5 5 VALE 5 DETERMINE O VALOR DE K SABENDO QUE É MAIOR DO QUE 6 A 7 B 8 C 9 D 10 4 A DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS PARALELOS É DADA PELA DISTÂNCIA DE UM PONTO DO PRIMEIRO PLANO E O SEGUNDO PLANO OU VICEVERSA DETERMINE A DISTÂNCIA ENTRE OS PLANOS 2X 3Y Z 5 0 E 4X 6Y 2Z 12 0 A 714 14 B 514 14 C 314 14 D 14 14 5 DETERMINE O TRIPLO DA DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS P 1 1 1 E A RETA X 1 Y 1 2 Z 1 A 5 B 22 C 3 D 23 6 DETERMINE A EQUAÇÃO DA RETA QUE É EQUIDISTANTE DAS RETAS X 3Y 4 0 E 2X 6Y 18 0 A 2x 6y 10 0 B 2x 6y 15 0 C 2x 6y 13 0 D 2x 6y 17 0 GABARITO 1 Determine a distância entre os pontos A 2 1 3 e B 0 2 4 A alternativa C está correta dAB AB 0 22 2 12 4 32 22 12 72 54 36 2 Determine a distância entre os pontos A 2 4 e a reta 2x 3y 6 0 A alternativa A está correta A equação da reta na forma geral Se estivesse em outro formato teríamos que converter para geral para obtermos o vetor normal O vetor normal é n23 assim dAr aXAbYAc a2b2 22436 2232 2 13 213 13 3 A distância entre o ponto 1 k e 5 5 vale 5 Determine o valor de k sabendo que é maior do que 6 A alternativa B está correta dAB AB 5 12 5 k2 42 5 k2 5 16 5 k2 25 5 k2 25 16 9 5 k 3 k 2 ou k 8 4 A distância entre dois planos paralelos é dada pela distância de um ponto do primeiro plano e o segundo plano ou viceversa Determine a distância entre os planos 2x 3y z 5 0 e 4x 6y 2z 12 0 A alternativa D está correta No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão 5 Determine o triplo da distância entre os pontos P 1 1 1 e a reta x 1 y1 2 z 1 A alternativa D está correta No vídeo a seguir o professor vai desenvolver o cálculo que resultará na resposta desta questão 6 Determine a equação da reta que é equidistante das retas x 3y 4 0 e 2x 6y 18 0 A alternativa C está correta Este problema só tem sentido porque as duas retas são paralelas A reta que apresenta a mesma distância para as outras duas retas equidistante é composta dos pontos x y que têm a mesma distância para as retas dadas assim dPr aXPbYPc a2b2 1x3y4 1232 x3y4 10 dPs aXP bYP c a2b2 2x6y18 2262 2x6y18 40 2x6y18 210 x3y9 10 dPr dPs x3y4 10 x3y9 10 x 3y 4 x 3y 9 x 3y 4 x 3y 9 x 3y 4 x 3y 9 A primeira equação é impossível pois fica 4 9 A segunda equação 2x 6y 13 0 que é a reta equidistante das duas retas originais VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 DETERMINE A DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS A 0 3 1 E B 1 2 1 A 1 B 2 C 3 D 5 2 DETERMINE A DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS A 1 3 0 E O PLANO Y X 2Z 4 0 A 6 B 5 C 3 D 1 GABARITO 1 Determine a distância entre os pontos A 0 3 1 e B 1 2 1 A alternativa B está correta dAB AB 1 02 2 32 1 12 12 12 02 2 2 Determine a distância entre os pontos A 1 3 0 e o plano y x 2z 4 0 A alternativa A está correta A equação do plano já está na forma geral O vetor normal é n112 assim dAπ aXAbYAcZA 4 a2b2c2 1 1 31024 1 21222 6 6 6 CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao longo deste tema foi possível determinar os diversos tipos da equação da reta no R2 e no R3 bem como a equação do plano no R3 Analisamos também as posições relativas entre as retas e entre os planos e os ângulos que existem entre duas retas e dois planos Por fim examinamos a distância entre pontos entre ponto e reta e entre ponto e plano Vimos os principais conceitos relacionados a reta e plano suas representações e aplicamos os conceitos nas posições relativas distâncias e ângulos AVALIAÇÃO DO TEMA REFERÊNCIAS PEREIRA P Curso Geometria Analítica YouTube Consultado em meio eletrônico em 02 jul 2020 SANTOS R J Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 ed Belo Horizonte Imprensa Universitária da UFMJ 2012 cap 4 p 209278 STEINBRUNCH A WINTERLE P Geometria Analítica 2 ed São Paulo McGrawHill 1987 cap 4 p 99 132 cap 5 p 143178 cap 6 p190201 EXPLORE Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema leia IEZZI G Fundamento de Matemática Elementar 7 4 ed São Paulo Atual 1978 cap 2 p 2545 cap 3 cap 4 p 7782 Para aprofundar os conhecimentos adquiridos neste tema veja mais alguns conteúdos complementares CONTEUDISTA Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira CURRÍCULO LATTES