Definição e Aplicação de Matrizes e Determinantes na Álgebra Linear

DEFINIÇÃO Aplicação dos conceitos de matrizes e determinantes na Álgebra Linear PROPÓSITO Definir matrizes e determinantes e aplicar seus conceitos nos problemas da Álgebra Linear OBJETIVOS MÓDULO 1 Aplicar a definição e representação de matrizes MÓDULO 2 Aplicar as operações básicas das matrizes MÓDULO 3 Calcular determinantes de uma matriz MÓDULO 4 Aplicar o conceito de matrizes inversas MÓDULO 1 Aplicar a definição e representação de matrizes DEFINIÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE MATRIZES Em várias aplicações da nossa vida prática utilizamos uma forma de organizar e apresentar os dados empregando linhas e colunas Esta forma retangular é denominada de matriz a qual tem grande importância e aplicação na Álgebra Linear além de ser muito utilizada nos meios computacionais permitindo a resolução de sistemas e transformações lineares complexas Fonte Por benjaminec Shutterstock Apesar de ter um caráter organizacional a matriz também é um objeto matemático de grande relevância Sua importância aumentou atualmente com o avanço da era computacional sendo um elemento muito empregado pelos computadores que têm grande habilidade de trabalhar com linhas e colunas VAMOS AGORA DEFINIR FORMALMENTE UMA MATRIZ Sejam m e n dois inteiros positivos e Mmn o conjunto de todos os pares ordenados ij tais que 1 i m 1 j n Definese M como uma matriz m x n m por n com elementos aij que pertencem a um conjunto específico Assim a matriz M m x n será uma tabela com mn elementos disposta em m linhas e n colunas Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ATENÇÃO M a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn Matriz é um agrupamento conjunto de elementos ordenados em uma forma retangular com linhas e colunas Dizemos que aij é o elemento entrada ou termo da matriz M na posição ij Outra forma de representar o elemento da matriz M que se encontra na linha i e coluna j é Mij aij Além da representação apresentada uma matriz M m x n pode ser representada de uma forma mais compacta como com i j m e n inteiros positivos e 1 i m e 1 j n Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Os elementos serão localizados pelos valores de i e j que serão denominados de ordem Por exemplo o elemento que se encontra na coluna de ordem 2 e linha de ordem 3 da matriz N vale 45 Os elementos das matrizes podem ser oriundos de qualquer conjunto de dados quantitativo ou qualitativo No caso dos quantitativos podem ser números reais ou complexos Para o caso da Álgebra Linear abordada neste tema os elementos serão números reais A simbologia adotada utiliza letras maiúsculas para se denotar uma matriz e letras minúsculas para os elementos de uma matriz Por exemplo Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal O tamanho da matriz é definido pelo número de linhas m e de colunas n que ela possui A iésima linha da matriz M ou linha de ordem i será ai1 ai2 ain com n elementos A jésima coluna da matriz M ou coluna de ordem j será com m elementos EXEMPLO Uma sala de aula tem 5 alunos com número de matrículas 1 2 3 4 e 5 que cursam três matérias Matemática M Português P e Ciências C A tabela abaixo apresenta a média dos alunos em cada matéria M aijmxn C a n n d f b a f d f b c a1j a2j amj MatériaAluno 1 3 4 2 5 M 72 81 56 91 53 C 89 71 51 90 74 P 83 75 64 89 66 Organize os dados em uma matriz denominada de N em que cada coluna representa a média de uma matéria na ordem Matemática Português e Ciências e cada linha seguindo a ordem da matrícula representa o aluno responda a Qual é o tamanho da matriz b Qual é a linha de ordem 3 c Qual é a coluna de ordem 2 d Que elemento se encontra na quarta linha e segunda coluna e Qual é o elemento n13 Atenção pois a matriz pedida é diferente da ordem da tabela apresentada Solução Coletando os dados na tabela se tem Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A A matriz N terá tamanho de 5 x 3 isto é 5 linhas e 3 colunas B Sua linha de ordem 3 será 81 75 71 que corresponde à nota do aluno de matrícula nº 3 C Sua coluna de ordem 2 será cujos elementos correspondem às médias obtidas em português pelos cinco alunos N 7 2 8 3 8 9 9 1 8 9 9 0 8 1 7 5 7 1 5 6 6 4 5 1 5 3 6 6 7 4 8 3 8 9 7 5 6 4 6 6 D O elemento que se encontra na quarta linha e segunda coluna é o 64 que corresponde à nota obtida em português pelo aluno de matrícula nº 4 E Por fim o elemento n1 x 3 corresponde ao elemento da primeira linha e terceira coluna que tem o valor 89 correspondendo à nota em Ciências do aluno de número de matrícula 1 As matrizes cujas entradas são números reais serão objetos de um espaço vetorial Assim pode se definir um espaço vetorial cujos elementos são matrizes m x n com elementos entradas reais Logo será um conjunto não vazio fechado para adição e multiplicação por um real e atenderá a todas as propriedades de espaço vetoriais já estudadas MATRIZES Em outras palavras são uma classe de objetos matemáticos que apresentam propriedades algébricas CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES Dependendo do seu tamanho eou valores de seus elementos as matrizes podem receber algumas denominações Serão descritas as principais e será dado um exemplo de cada MATRIZ OU VETOR LINHA Quando m 1 dizse que a matriz será uma matriz ou vetor linha L 3 4 5 8 com L1 x 4 MATRIZ OU VETOR COLUNA Quando n 1 dizse que a matriz será uma matriz ou vetor coluna com C3 x 1 C 38 41 67 MATRIZ QUADRADA Quando m n dizse que a matriz é uma matriz quadrada com N3 ou N3x3 SAIBA MAIS Para o caso da matriz quadrada de ordem n os elementos do tipo a11a22ann formam a diagonal principal da matriz Os elementos a1na2n1an1 formam a diagonal secundária da matriz Repare que os elementos da diagonal secundária têm i j n 1 A soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada é denominada de traço da matriz MATRIZ NULA Matriz nula será aquela na qual todos elementos são iguais a zero com O3x2 MATRIZ OPOSTA Matriz oposta será a matriz obtida pela multiplicação de todos os termos de uma matriz por 1 MATRIZ DIAGONAL Matriz diagonal será a matriz quadrada na qual todos os elementos fora da diagonal principal são nulos com D3 ou D3x3 MATRIZ IDENTIDADE Matriz identidade é uma matriz diagonal com todos os termos da diagonal principal iguais a um Assim será uma matriz quadrada na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a um e os demais elementos zero N 1 4 6 0 2 1 2 3 4 O 0 0 0 0 0 0 D 1 0 0 0 2 0 0 0 4 com I3 ou I3x3 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Matriz triangular superior é a matriz quadrada na qual todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos isto é para todo i j se tem aij 0 triangular superior de ordem 4 ou 4 x 4 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Matriz triangular inferior é a matriz quadrada na qual todos os elementos acima da diagonal principal são nulos triangular inferior de ordem 4 ou 4 x 4 MATRIZ SIMÉTRICA Matriz simétrica é uma matriz quadrada com elementos aij aji isto é os termos situados simetricamente em relação à matriz principal são iguais com S3 ou S3x3 MATRIZ ANTISSIMÉTRICA Matriz antissimétrica é uma matriz quadrada com elementos aij aji assim todos os termos simétricos em relação à matriz principal são números reais simétricos entre si e os elementos da diagonal principal serão nulos com S3 ou S3x3 IGUALDADE ENTRE MATRIZES I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 D 2 1 0 4 0 4 3 7 0 0 2 2 0 0 0 1 D 1 0 0 0 5 2 0 0 3 4 3 0 1 3 3 1 S 4 3 4 3 2 8 4 8 1 S 0 3 4 3 0 8 4 8 0 Uma primeira operação definida para matrizes é a igualdade entre elas Duas matrizes serão iguais se tiverem todos os seus elementos iguais Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim obrigatoriamente duas matrizes iguais terão o mesmo tamanho EXEMPLO Determine o valor de a b sabendo que a matriz é igual à matriz Solução Pela definição de igualdades entre matrizes de M N todos os elementos na mesma posição devem ser iguais Assim comparando as duas matrizes a 2 e b 3 Portanto a b 2 3 5 TEORIA NA PRÁTICA Um pesquisador coletou alguns dados referentes à temperatura média diária de quatro cidades durante uma semana CidadeDia da Semana Seg Qua Dom Ter Sab Sex Qui Diamantina 189 189 190 191 192 193 193 Amarantes 231 235 240 238 238 236 234 Cuíca 181 179 178 177 178 180 182 Mmxn Nmxn mij nij i j tal que 1 i m e 1 j n M 1 1 a 3 2 0 N 1 1 2 b 2 0 Bom Pastor 323 321 320 319 320 322 323 Atenção Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal Obs Temperaturas medidas em graus Celsius Organize os dados em uma matriz denominada de T em que cada coluna representa as temperaturas médias diárias de uma cidade pela ordem alfabética das cidades e cada linha seguindo a ordem do dia da semana iniciando no domingo a Qual é o tamanho da matriz b Qual é a linha de ordem 4 c Qual é a coluna de ordem 3 d Que elemento se encontra na quarta linha e segunda coluna e Qual é o elemento t24 MÃO NA MASSA 1 QUAL O TAMANHO DA MATRIZ A 5 x 3 B 3 x 5 C 15 x 1 D 1 x 15 2 MARQUE UMA ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA MATRIZ IDENTIDADE DE ORDEM 3 A B C D 3 MARQUE A ALTERNATIVA QUE NÃO APRESENTA UMA CARACTERÍSTICA DA MATRIZ B 1 4 1 7 5 0 3 3 1 9 2 4 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C 1 2 3 2 1 0 3 0 1 A É uma matriz quadrada B Os elementos de sua diagonal principal são todos iguais a 1 C O elemento c21 vale 2 D É uma matriz antissimétrica 4 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA MATRIZ QUE TEM AS SEGUINTES CARACTERÍSTICAS QUADRADA TRIANGULAR INFERIOR E TRAÇO IGUAL A 7 A B C D 5 DETERMINADA MATRIZ É TRIANGULAR SUPERIOR DE ORDEM 3 SABE SE QUE OS ELEMENTOS DA MATRIZ SEGUEM AS SEGUINTE REGRAS DETERMINE O VALOR DA SOMA M13 M22 M31 A 11 B 9 C 21 D 13 3 0 0 1 4 0 3 0 0 1 5 0 0 3 1 3 1 2 0 5 1 0 0 1 7 0 0 7 7 0 mij i j se i j mij i 2j se j i 6 DETERMINADA MATRIZ B É UMA MATRIZ OPOSTA À MATRIZ A SABESE QUE A MATRIZ A É UMA MATRIZ SIMÉTRICA DE ORDEM 3 ALGUNS ELEMENTOS DE A SÃO DEFINIDOS POR DETERMINE O VALOR DO TRAÇO DA MATRIZ B MAIS O ELEMENTO B13 A 4 B 3 C 4 D 3 GABARITO 1 Qual o tamanho da Matriz A alternativa B está correta O tamanho da matriz é dado pelo número de linhas 3 e o número de colunas 5 2 Marque uma alternativa que apresenta uma matriz identidade de ordem 3 A alternativa C está correta Uma matriz identidade de ordem 3 é uma matriz quadrada 3 x 3 na qual os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais nulos 3 Marque a alternativa que não apresenta uma característica da matriz A alternativa D está correta A matriz é quadrada pois o número de linha 3 é igual ao número de colunas 3 Os elementos da diagonal principal são os elementos cii com i 1 2 3 assim são todos iguais a 1 O elemento c21 é o elemento da segunda linha e primeira coluna sendo 2 aij 2i j para i j aij j 2i 2 para i j B 1 4 1 7 5 0 3 3 1 9 2 4 1 1 0 C 1 2 3 2 1 0 3 0 1 A matriz não é antissimétrica Apesar dos elementos simétricos em relação à diagonal principal terem mesmo módulo e sinal contrário para ser antissimétrica a diagonal principal deve ter todos os elementos nulos 4 Marque a alternativa que apresenta uma matriz que tem as seguintes características quadrada triangular inferior e traço igual a 7 A alternativa B está correta 5 Determinada matriz é triangular superior de ordem 3 Sabese que os elementos da matriz seguem as seguinte regras Determine o valor da soma m13 m22 m31 A alternativa A está correta Se a matriz é triangular superior de ordem 3 então tem tamanho 3 x 3 e todos os elementos abaixo da diagonal principal isto é j i são nulos Pela regra dos elementos m13 1 23 7 m22 2 2 4 e m31 0 Assim m13 m22 m31 7 4 0 11 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6 Determinada matriz B é uma matriz oposta à matriz A Sabese que a matriz A é uma matriz simétrica de ordem 3 Alguns elementos de A são definidos por mij i j se i j mij i 2j se j i aij 2i j para i j aij j 2i 2 para i j Determine o valor do traço da matriz B mais o elemento b13 A alternativa B está correta GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA MATRIZ QUE TENHA UM TAMANHO 3 X 2 E CUJOS ELEMENTOS MIJ I 2J A B C D 3 4 5 5 6 7 3 5 7 4 6 8 3 5 4 6 5 7 3 4 5 6 7 8 2 UMA MATRIZ A É SIMÉTRICA DE ORDEM 3 COM ELEMENTOS DA DIAGONAL PRINCIPAL IGUAL A 1 E A12 A13 3 E A23 4 A MATRIZ B É IGUAL À MATRIZ A DETERMINE A SOMA B32 B33 B12 EM QUE BIJ É O ELEMENTO DA MATRIZ B LOCALIZADO NA LINHA I E COLUNA J A 7 B 8 C 9 D 10 GABARITO 1 Marque a alternativa que apresenta uma matriz que tenha um tamanho 3 x 2 e cujos elementos mij i 2j A alternativa C está correta Você entendeu o conceito da definição e representação de matrizes Se observarmos o tamanho da matriz pedida de 3 x 2 as únicas opções possíveis seriam a letra C ou D As matrizes da letra A e B são matrizes de tamanho 2 x 3 Calculando os elementos i é a ordem da linha e j a ordem da coluna assim Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto a opção correta só pode ser a letra C 2 Uma matriz A é simétrica de ordem 3 com elementos da diagonal principal igual a 1 e a12 a13 3 e a23 4 A matriz B é igual à matriz A a11 1 2 1 3 a12 1 2 2 5 a21 2 2 1 4 a22 2 2 2 6 a31 3 2 1 5 a32 3 2 2 7 Determine a soma b32 b33 b12 em que bij é o elemento da matriz B localizado na linha i e coluna j A alternativa B está correta Pelo enunciado temos Como A é simétrica ela apresenta os elementos aij ajii Assim Como B A assim bij aij Portanto b32 a32 4 b33 a33 1 e b12 a12 3 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim b32 b33 b12 4 1 3 8 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÓDULO 2 Aplicar as operações básicas das matrizes INTRODUÇÃO A matriz m x n será objeto de um espaço vetorial matricial que conterá todas as matrizes de tamanho m x n Desta forma como em qualquer espaço vetorial a operação da adição e multiplicação por real será definida e fechada no referido espaço A 1 3 3 1 4 1 A 1 3 3 3 1 4 4 4 1 Fonte Por Wachiwit Shutterstock Neste módulo apresentaremos estas operações assim como a operação da transposição e a operação da multiplicação de matrizes ressaltando que esta última para ser definida requer que as matrizes tenham certas características OPERAÇÕES BÁSICAS COM MATRIZES Vimos que duas matrizes serão iguais somente se tiverem o mesmo tamanho e se todos os seus elementos termos ou entradas forem iguais Como as matrizes m x n serão um objeto de um espaço vetorial matricial m x n assim este espaço apresentará a operação da adição e da multiplicação por um número real além de ser fechado para as tais Vamos agora definir estas duas operações MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL Seja a matriz M de tamanho m x n e um número real k A multiplicação da matriz M pelo número real k terá como resultado uma matriz de mesmo tamanho que M na qual cada elemento será obtido pela multiplicação do elemento da matriz M pelo número k EXEMPLO Seja a matriz N 3M com obtenha a matriz N Solução Usando a definição da operação por um número real a matriz N também será uma matriz 2 x 3 e seus elementos serão Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ADIÇÃO DE MATRIZES Se as matrizes M e N tiverem o mesmo tamanho então a adição soma entre as matrizes M e N simbolizada por M N terá como resultado uma matriz de mesmo tamanho com termos obtidos pela soma dos termos correspondentes em cada matriz Assim a adição de matrizes será uma operação comutativa isto é M N N M Além disso M 0 0 M M em que 0 é a matriz nula SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Se for desejada a subtração entre duas matrizes M e N simbolizada por M N a operação será obtida pela multiplicação da matriz N por 1 e depois somada à matriz M Assim cada termo da matriz obtido pela subtração será a subtração do termo correspondente da matriz M pelo termo correspondente da matriz N COMENTÁRIO Só é definida adição e subtração de duas matrizes se elas tiverem o mesmo tamanho e o resultado será uma matriz de mesmo tamanho das que fazem parte da operação M 1 0 1 2 1 3 N 3M N 3 1 0 1 2 1 3 3 1 3 0 3 1 3 2 3 1 3 3 3 0 3 6 3 9 EXEMPLO Seja a Matriz e Obtenha M N M N e N M Solução ETAPA 1 ETAPA 2 ETAPA 3 Seja a matriz Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Seja a matriz Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Seja a matriz Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Observe que as três matrizes têm o mesmo tamanho da matriz M e N Além disso a matriz Q 1 R R como era o esperado pois Q M N 1 N M 1R M 1 2 3 1 0 4 N 3 1 1 0 1 2 P M N 1 3 2 1 3 1 1 0 0 1 4 2 4 3 2 1 1 6 Q M N 1 3 2 1 3 1 1 0 0 1 4 2 2 1 4 1 1 2 R N M 3 1 1 2 1 3 0 1 1 0 2 4 2 1 4 1 1 2 COMENTÁRIO A próxima operação a ser definida será a multiplicação entre matrizes É óbvio que poderia ser determinada uma operação usando o mesmo critério de multiplicar termo a termo correspondente como foi o caso da adição de matrizes porém este tipo de operação não teria muita utilidade nos problemas que envolvem matrizes Desta forma a operação de multiplicação de matrizes é definida de uma forma um pouco diferente com grande aplicação no cálculo de sistemas lineares de equações MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Seja uma matriz M de tamanho m x p e uma matriz N de tamanho p x n O produto entre as matrizes M e N simbolizado por P MN será uma matriz de tamanho m x n com o elemento da linha de ordem i e coluna j obtido pela regra abaixo Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos explicar esta regra de montagem de outra forma Para calcular o elemento da matriz produto que se encontra na linha de ordem i e coluna de ordem j ETAPA 1 Separase a linha i da primeira matriz mix com x variando de 1 até p ETAPA 2 Separase a coluna j da segunda matriz nxj com x variando de 1 até p pij mi1 n1j mi2 n2j mip npj ETAPA 3 Depois multiplicase elemento a elemento isto é mixnxj para o mesmo valor de x ETAPA 4 O elemento pij será obtido pela soma destes produtos Uma observação só existe produto de matrizes nas quais o número de colunas da primeira matriz p é igual ao número de linhas da segunda matrizp Fonte Produção interna EXEMPLO Determine a multiplicação das matrizes e Solução M 1 0 2 2 2 1 N 2 3 1 0 2 1 Observe que a matriz M é do tamanho 2 x 3 e a matriz N de tamanho 3 x 2 assim é possível se executar o produto P MN e a matriz P terá um tamanho 2 x 2 Calculando os termos da matriz P I II III IV I Para se obter o termo da primeira linha i 1 e primeira coluna j 1 Separase a linha da matriz M 1 0 2 e a coluna da matriz N e executase o produto termo a termo Assim p11 12 01 22 2 0 4 6 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal II Para se obter o termo da primeira linha i 1 e segunda coluna j 2 Separase a linha da matriz M 1 0 2 e a coluna da matriz N e executase o produto termo a termo Assim p12 13 00 21 3 0 2 1 III Para se obter o termo da segunda i 2 e primeira coluna j 1 Separase a linha da matriz M 2 2 1 e a coluna da matriz N e executase o produto termo a termo Então p21 22 21 12 4 2 2 4 IV Para se obter o termo da segunda linha i 2 e segunda coluna j 2 Separase a linha da matriz M 2 2 1 e a coluna da matriz N e executase o produto termo a termo Logo p22 23 20 11 6 0 1 7 2 1 2 3 0 1 2 1 2 3 0 1 Assim COMENTÁRIO Repare no exemplo que também seria possível calcular a multiplicação de N por M NM pois o número de colunas de N vale 2 e o número de linhas de M vale 2 A diferença é que o resultado daria uma matriz 3 x 3 Além disso pela definição da operação da multiplicação de matrizes podemos obter as seguintes propriedades MN NM MI M em que I é uma matriz identidade que tem o número de linhas igual ao número de colunas da matriz M MNP MNP MNP MN MP 0M M0 0 A última operação apresentada neste módulo será a transposição de uma matriz TRANSPOSIÇÃO DE UMA MATRIZ CÁLCULO MATRIZ TRANSPOSTA Seja uma matriz M de tamanho m x n obtémse a matriz transposta de M com simbologia MT trocandose ordenadamente as linhas pelas colunas e as colunas pelas linhas da matriz Desta forma a matriz transposta de M MT terá ordem n x m P 6 1 4 7 EXEMPLO Seja a matriz determine a matriz transposta de M Solução Assim modificandose ordenadamente as linhas pelas colunas e as colunas pelas linhas se obtém Uma matriz que é igual à sua matriz transposta M MT será uma matriz simétrica Uma propriedade importante envolve a multiplicação de matrizes e a matriz transposta MNT NTMT EXEMPLO Sejam e Obtenha a transposta do produto de M por N Solução RESPOSTA 1 RESPOSTA 2 RESPOSTA 1 Um caminho seria se obter o produto P MN e depois se retirar a transposta Assim Desta forma M 1 3 1 2 0 8 M T 1 2 3 0 1 8 M 1 1 0 1 2 3 N 1 2 1 0 1 2 P 1 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 2 0 1 1 0 0 2 1 1 0 1 1 2 2 1 3 0 2 2 3 1 2 1 3 2 1 3 3 0 1 2 2 7 5 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal RESPOSTA 2 A outra forma seria obter inicialmente as matrizes transposta e posteriormente executar a multiplicação e Assim Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Existem outras propriedades da matriz transposta A BT AT BT kAT kAT com k real ATT A Se A é matriz simétrica então AT A TEORIA NA PRÁTICA Em uma escola existem 3 disciplinas Em cada disciplina os alunos realizam 2 provas A média dos alunos é obtida em cada disciplina pela soma das duas provas e dividindose o resultado por 2 Use as operações de matrizes para calcular a matriz M das médias dos alunos através das duas P T 1 0 2 3 1 7 3 2 5 M T 1 0 2 1 1 3 N T 1 0 2 1 1 2 P T N T M T 1 1 0 1 1 0 0 1 1 2 0 2 2 1 1 1 2 0 1 1 2 2 1 3 1 1 2 1 1 0 2 1 1 2 2 3 1 0 2 3 1 7 3 2 5 tabelas de notas de prova Na coluna devem ser colocados os alunos por ordem alfabética e nas linhas as disciplinas também em ordem alfabética Prova 1 AlunoDisciplinas Matemática Álgebra Trigonometria João 89 91 78 Amélia 65 69 71 Teresa 78 81 65 Pedro 55 68 71 Atenção Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal Prova 2 AlunoDisciplinas Matemática Álgebra Trigonometria João 77 81 90 Amélia 55 35 89 Teresa 56 71 81 Pedro 71 70 73 Atenção Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal Solução Montando as matrizes através dos dados obtidos nas tabelas e Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÃO NA MASSA 1 SABESE QUE A MATRIZ P DE TAMANHO 3 X 4 É IGUAL A MN SE A MATRIZ M TEM TAMANHO P X Q E A MATRIZ N TEM TAMANHO 2 X W COM P Q E W NÚMEROS INTEIROS DIFERENTES DE ZERO MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DE P Q W A 7 B 8 C 9 D 10 2 SABESE QUE A MATRIZ MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A MATRIZ E QUE É A MATRIZ OPOSTA DA TRANSPOSTA DA MATRIZ D A B C P1 6 9 9 1 6 8 8 1 6 5 8 9 5 5 7 8 7 1 7 8 7 1 6 5 P2 3 5 8 1 7 0 7 1 5 5 7 7 7 1 5 6 8 9 9 0 7 3 8 1 M P1 P2 10 4 17 2 13 8 15 2 12 0 16 6 12 6 13 4 16 0 16 8 14 4 14 6 5 2 8 6 6 9 7 6 6 0 8 3 6 3 6 7 8 0 8 4 7 2 7 3 1 2 1 2 D 1 0 1 4 3 2 1 0 1 4 3 2 1 0 1 4 3 2 1 4 0 3 1 2 D 3 SABESE QUE R M0 AIBT AB BATT EM QUE 0 É A MATRIZ NULA E I A MATRIZ IDENTIDADE TODAS AS MATRIZES SÃO QUADRADAS DE ORDEM 3 ASSINALE A OPÇÃO CORRETA A BT AT B AB C AT BT D BA 4 SEJAM AS MATRIZES E DETERMINE A MATRIZ D TAL QUE D 2A B 3CT A B C D 4 1 3 0 2 1 A 1 1 0 3 2 1 B 2 2 1 1 0 1 C 2 3 4 0 2 1 7 9 9 11 4 5 6 8 7 14 4 4 9 1 7 17 4 3 8 8 9 11 4 4 5 DETERMINE A MATRIZ Q AB SABENDO QUE E A B C D 6 A MATRIZ É TAL QUE M2 IM 0 SABENDO QUE M NÃO É UMA MATRIZ NULA DETERMINE A ALTERNATIVA QUE POSSUI O INTERVALO PARA TODOS OS POSSÍVEIS VALORES DA SOMA DE A B A 1 a b 1 B 2 a b 0 C 0 a b 1 D 1 a b 2 GABARITO 1 Sabese que a Matriz P de tamanho 3 x 4 é igual a MN Se a matriz M tem tamanho p x q e a matriz N tem tamanho 2 x w com p q e w números inteiros diferentes de zero Marque a alternativa que apresenta o valor de p q w A 1 1 2 3 1 1 0 1 0 B 0 1 0 1 1 1 1 2 0 3 1 1 4 1 3 7 1 4 1 2 1 2 0 1 1 1 1 0 1 1 2 1 3 1 1 2 1 2 2 4 2 0 1 3 0 M a 0 0 b 1 A alternativa C está correta Como P MN e P tem tamanho 3 x 4 então obrigatoriamente p 3 e t 4 Além disso 2 w Portanto p q w 3 4 2 9 2 Sabese que a matriz Marque a alternativa que apresenta a matriz E que é a matriz oposta da transposta da matriz D A alternativa C está correta Justificativa Assim Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3 Sabese que R M0 AIBT AB BATT em que 0 é a matriz nula e I a matriz identidade Todas as matrizes são quadradas de ordem 3 Assinale a opção correta A alternativa D está correta 4 Sejam as matrizes e Determine a matriz D tal que D 2A B 3CT A alternativa B está correta D 1 0 1 4 3 2 D 1 0 1 4 3 2 DT 1 4 0 3 1 2 E D 1 4 0 3 1 2 A 1 1 0 3 2 1 B 2 2 1 1 0 1 C 2 3 4 0 2 1 5 Determine a matriz Q AB sabendo que e A alternativa B está correta 6 A matriz é tal que M2 IM 0 Sabendo que M não é uma matriz nula determine a alternativa que possui o intervalo para todos os possíveis valores da soma de a b A alternativa A está correta Justificativa Se Assim Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim as possíveis matrizes M são com a 0 e b 0 a 1 e b 0 e a 1 e b 1 Portanto A 1 1 2 3 1 1 0 1 0 B 0 1 0 1 1 1 1 2 0 M a 0 0 b 1 M a 0 0 b 1 M 2 M M a2 0 0 b 12 IM M a 0 0 b 1 a2 a a 0 a 1 e b 12 b 1 b 1 0 b 1 b 1 1 b 0 a b 0 1 GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 SEJAM AS MATRIZES E DETERMINE A MATRIZ C 2A I BT EM QUE I É A MATRIZ IDENTIDADE DE ORDEM 3 A B C D 2 DETERMINE O VALOR DE MN SABENDO QUE E A B A 1 2 3 3 2 1 4 1 0 B 0 1 2 2 1 3 1 3 4 C 3 3 8 8 6 5 9 7 5 C 3 4 8 8 6 6 9 7 6 C 3 6 7 5 6 5 10 5 5 C 1 2 4 0 6 5 3 7 6 M 1 1 2 0 3 1 N 1 1 3 1 0 3 2 6 9 6 1 8 2 7 C D Impossível executar o produto de M com N GABARITO 1 Sejam as matrizes e Determine a matriz C 2A I BT em que I é a matriz identidade de ordem 3 A alternativa C está correta Justificativa Lembrando que e que 𝐶 2𝐴 𝐼 𝐵𝑇 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Determine o valor de MN sabendo que e A alternativa A está correta Justificativa Seja P MN Como M tem tamanho 2 x 3 e N tem tamanho 3 x 2 então p terá tamanho 2 x 2 2 6 9 6 A 1 2 3 3 2 1 4 1 0 B 0 1 2 2 1 3 1 3 4 A 1 2 3 3 2 1 4 1 0 2A 2 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 4 2 1 2 0 2 4 6 6 4 2 8 2 0 B 0 1 2 2 1 3 1 3 4 BT 0 2 1 1 1 3 2 3 4 I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 C 2 1 0 4 0 2 6 0 1 6 0 1 4 1 1 2 0 3 8 0 2 2 0 3 0 1 4 3 6 7 5 6 5 10 5 5 M 1 1 2 0 3 1 N 1 1 3 1 0 3 P 1 1 1 3 2 0 1 1 1 1 2 3 0 1 3 3 1 0 0 1 3 1 1 3 2 6 9 6 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÓDULO 3 Calcular determinantes de uma matriz DETERMINANTES DE UMA MATRIZ Uma operação matemática que envolve todos os elementos de uma matriz quadrada é o determinante de uma matriz Assim toda matriz quadrada terá um número que representa o seu determinante e terá grandes aplicações na Álgebra Linear e Geometria Analítica Fonte Por Juliann Shutterstock O determinante de uma matriz será um número real A simbologia adotada para um determinante de uma matriz A é substituir os pelas Cuidado não confunda esta simbologia com módulo O determinante de uma matriz pode ser positivo zero ou negativo Existem regras práticas para se obter determinantes de uma matriz quadrada de ordem n 4 Existem também regras gerais que permitem calcular o determinante para uma matriz quadrada de qualquer ordem n Neste módulo estudaremos a regra obtida pelo Teorema de Laplace porém a regra de Chió pode ser estudada através das nossas referências Atenção as regras gerais englobam os três casos práticos que serão vistos para n 4 porém a forma mais prática apresentada facilita o cálculo do determinante REGRA PRÁTICA N 4 Iniciaremos a definição de um determinante por uma matriz quadrada de ordem 1 Seja uma matriz quadrada A isto é 1 x 1 o determinante da matriz será o valor do seu único termo assim detA a11 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Para uma matriz quadrada A de ordem 2 isto é 2 x 2 o determinante será definido pelo produto dos termos da diagonal principal menos o produto dos termos da diagonal secundária Assim seja Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Calcule o determinante das matrizes Solução Como A tem ordem 1 x 1 detA a11 2 Como B tem ordem 2x2 Para uma matriz quadrada A de ordem 3 isto é 3 x 3 o determinante da matriz será definido por Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A p det A p A a b c d detA a b c d ad bc A1x1 2 e B 1 1 3 2 detB 1 1 3 2 1 2 1 3 2 3 2 3 1 A a b c d e f g h i det A a b c d e f g h i aei cdh bfg afh bdi ceg Podemos obter estes seis termos de uma forma mais prática denominada de regra de Sarrus fazendo o seguinte Repita as duas primeiras colunas após a terceira coluna Faça a multiplicação das seis diagonais completas isto é que tenham 3 termos existem três diagonais para a direita direção da diagonal principal e três diagonais para a esquerda direção da diagonal secundária Multiplique o resultado do produto das diagonais da esquerda por 1 O determinante será a soma dos seis termos Observação O valor obtido pela regra de Sarrus é igual ao valor da definição do determinante EXEMPLO Calcule o determinante da matriz Solução Desejase calcular ETAPA 1 ETAPA 2 ETAPA 3 ETAPA 4 Usando a regra de Sarrus Repare que se tem 3 diagonais para a direita C 1 1 1 1 3 2 2 1 1 det C 1 1 1 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 3 2 2 1 1 1 1 1 3 2 1 Fonte Produção interna Os termos serão 13 1 3 122 4 e 111 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Repare também que se tem 3 diagonais para a esquerda Fonte Produção interna Os termos serão estes três termos 132 6 121 2 e 1 1 1 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal devem ser multiplicados por 1 assim ficarão 6 2 e 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Desta forma o determinante será a soma dos seis termos det C 3 4 1 6 2 1 15 TEOREMA DE LAPLACE O Teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas linha ou coluna da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores Então necessitamos definir o que é um menor complementar e um cofator de um elemento de uma matriz MENORES COMPLEMENTARES Denominase menor complementar ou apenas menor de um elemento mij de uma matriz M quadrada de ordem n o determinante da matriz obtida pela exclusão da linha i e da coluna j da matriz M isto é excluise a linha e coluna correspondente ao elemento mi j A simbologia adotada será MCi j EXEMPLO Determine as menores complementares para os elementos m13 e m21 sendo Solução ETAPA 1 ETAPA 2 Pela definição a obtenção do MC13 será feita pela exclusão da linha de ordem 1 e a coluna de ordem 3 da matriz M assim Fonte Produção interna Usando a regra de Sarrus MC13 172 207 121 271 220 117 14 2 14 7 5 Pela definição a obtenção do MC21 será feita pela exclusão da linha de ordem 1 e a coluna de ordem 3 da matriz M assim Fonte Produção interna M 1 3 3 1 1 2 1 2 0 7 2 1 1 7 0 2 Pela regra de Sarrus MC21 322 170 731 127 237 310 12 21 14 42 23 Repare que o menor complementar será o determinante de uma matriz de ordem n 1 sendo n a ordem da matriz original COFATOR Denominase de cofator de um elemento mij de uma matriz M quadrada de ordem n o número Ci j tal que Ci j 1ij Mi j EXEMPLO Determine os cofatores para os elementos m13 e m21 sendo Solução Pela definição C13 113 M13 O valor de M13 foi obtido no exemplo anterior e vale 5 Portanto C13 15 5 Pela definição C21 121 M21 O valor de M21 foi obtido no exemplo anterior e vale 23 Portanto C21 123 23 O Teorema de Laplace diz que o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila linha ou coluna qualquer pelo respectivo cofator Assim o determinante pode ser calculado por dois caminhos Fixando determinada coluna j0 1 j0 n da matriz M ou M 1 3 3 1 1 2 1 2 0 7 2 1 1 7 0 2 detMn n i1 mij0Cij0 Fixando determinada linha i0 1 i0 n da matriz M Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Calcule o determinante da matriz ETAPA 1 ETAPA 2 ETAPA 3 ETAPA 4 Devemos escolher uma fila que tenha o maior número de zeros pois isto diminuirá o número de cálculos realizados Assim podemos escolher a segunda linha ou a terceira coluna Escolhendo a terceira coluna Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como m23 m43 0 o somatório recai em apenas dois termos Obtendo C13 Fonte Produção interna Pela regra de Sarrus MC13 023 221 324 224 021 332 6 Portanto detMn n j1 mi0jCi0j M 1 2 1 4 0 3 0 2 2 2 1 2 4 1 0 3 detMn n i1 mi3Ci3 C13 113 M13 16 6 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Obtendo C33 Fonte Produção interna Pela regra de Sarrus MC33 133 401 422 434 320 121 25 Portanto C33 133 M33 125 25 Assim Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Como exercício repita este exemplo utilizando a segunda linha e obtenha o mesmo resultado ATENÇÃO O Teorema de Laplace consiste em se calcular determinantes com uma ordem menor do que o original No exemplo calculamos um determinante de ordem 4 reduzindo para cálculo de determinantes de ordem 3 Como sabemos a regra prática para determinantes com ordem n 4 conseguimos obter Se o determinante desejado fosse por exemplo de ordem 5 os menores complementares seriam de ordem 4 Desta forma teríamos que aplicar o Teorema de Laplace para cada menor complementar necessário aumentandose muito a quantidade de cálculos Raciocínio análogo seria feito para qualquer determinante de ordem n 5 detM3 4 i1 mi3Ci3 1 C13 0 C23 1 C33 0 C43 1 6 11 25 19 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES DE UMA MATRIZ O determinante atende a algumas propriedades que serão aqui listadas As demonstrações destas propriedades podem ser vistas em qualquer uma das referências no fim deste tema Nestas propriedades considerase fila como uma linha ou uma coluna Quando todos os termos de uma fila da matriz quadrada forem nulos então o determinante da matriz é nulo Se duas filas paralelas de uma matriz são iguais então seu determinante é nulo Se os elementos de uma fila são combinações lineares de duas outras filas paralelas então seu determinante é nulo EXEMPLO Calcule o determinante da matriz Solução Observe que a segunda linha L2 pode ser obtida pela combinação linear da primeira linha L1 e a terceira linha L3 L2 3L1 2L3 Veja a21 3a11 2a31 31 22 1 a22 3a12 2a32 3221 4 a23 3a13 2a33 3122 1 Assim detA 0 Como exercício complementar use a regra de Sarrus e verifique que este determinante é nulo Continuando com as propriedades A 1 2 1 1 4 1 2 1 2 Multiplicando todos os elementos de uma fila por um número real o determinante fica multiplicado por este número det kA kn det A n é a ordem da matriz A Se alterarmos a posição de duas filas paralelas o determinante muda de sinal Para as matrizes triangulares superiores e triangulares inferiores o determinante será igual ao produto dos elementos da diagonal principal EXEMPLO Calcule o determinante da matriz Solução Como B é uma matriz triangular superior det B 142 8 Como exercício complementar use a regra de Sarrus e verifique que este determinante vale 8 Continuando com as propriedades det A detAT det AB det A det B Cuidado det A B det A det B TEORIA NA PRÁTICA Um dos passos utilizados no método de Cramer para resolução de um sistema linear é verificar o determinante da matriz composta pelos coeficientes que multiplicam as variáveis do sistema Se B 1 2 1 0 4 1 0 0 2 este determinante for diferente de zero o sistema será possível e determinado Seja o sistema que possui a matriz dos coeficientes dada por Verifique se este sistema é possível e determinado Solução MÃO NA MASSA 2x y 3z 3 x y z 4 x 2y z 7 2 1 3 1 1 1 1 2 1 1 DETERMINE O VALOR DE K REAL SABENDO QUE O DETERMINANTE DA MATRIZ VALE 6 SABESE TAMBÉM QUE O TRAÇO DA MATRIZ M É POSITIVO A 4 B 1 C 1 D 4 2 SEJAM AS MATRIZES A B E C TODAS QUADRADAS DE ORDEM 4 A MATRIZ A TEM TODOS OS ELEMENTOS IGUAIS A 1 E A MATRIZ B 2 C SABENDO QUE DET C 3 DETERMINE RESPECTIVAMENTE O DETERMINANTE DE A E DE B A 0 e 6 B 1 e 48 C 0 e 48 D 1 e 6 3 SEJA UMA MATRIZ QUADRADA M COM 3 LINHAS E 3 COLUNAS CUJO DETERMINANTE VALE 5 REALIZASE ALGUMAS OPERAÇÕES NA MATRIZ M UMA APÓS A OUTRA MULTIPLICASE TODOS OS ELEMENTOS DA SEGUNDA LINHA POR 2 MULTIPLICASE TODOS OS ELEMENTOS DA TERCEIRA COLUNA POR 4 E POR FIM ACHASE A TRANSPOSTA DA MATRIZ CALCULE O DETERMINANTE DA MATRIZ OBTIDA APÓS AS TRÊS OPERAÇÕES A 2560 B 1280 C 120 M k 2 1 k 3 D 40 4 A MATRIZ P MNT DETERMINE O VALOR DO DETERMINANTE DA MATRIZ N SABENDO QUE O DETERMINANTE DE P VALE 9 E A MATRIZ A 3 B 3 C 6 D 6 5 A MATRIZ A É TRIANGULAR SUPERIOR DE ORDEM 3 SABESE QUE O DETERMINANTE DE A VALE 4 O TRAÇO VALE 3 E O ELEMENTO DA PRIMEIRA LINHA E PRIMEIRA COLUNA VALE 2 DETERMINE RESPECTIVAMENTE O VALOR DE A22 E A33 SABENDO QUE A33 A22 A 2 e 1 B 1 e 2 C 2 e 2 D 1 e 2 6 SEJA A MATRIZ CUJO DETERMINANTE VALE 24 DETERMINE O VALOR DE K A 1 B 2 M 1 2 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 5 2 0 2 3 2 0 8 5 0 k 4 1 C 3 D 4 GABARITO 1 Determine o valor de k real sabendo que o determinante da matriz vale 6 Sabese também que o traço da matriz M é positivo A alternativa B está correta Justificativa Então Como o traço é positivo assim a única resposta possível é k 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Sejam as matrizes A B e C todas quadradas de ordem 4 A matriz A tem todos os elementos iguais a 1 e a matriz B 2 C Sabendo que det C 3 determine respectivamente o determinante de A e de B A alternativa C está correta Como A tem todos os elementos iguais usando a propriedade do determinante se duas filas paralelas são proporcionais neste caso iguais o determinante é nulo Assim detA 0 Como B 2C então detB 2n det C em que n é a ordem das matrizes Assim detB 24 detC 243 48 3 Seja uma matriz quadrada M com 3 linhas e 3 colunas cujo determinante vale 5 Realiza se algumas operações na matriz M uma após a outra multiplicase todos os elementos da segunda linha por 2 multiplicase todos os elementos da terceira coluna por 4 e por fim achase a transposta da matriz Calcule o determinante da matriz obtida após as três operações M k 2 1 k 3 M k 2 1 k 3 kk 3 21 k2 3k 2 6 k2 3k 4 0 k k 4 k 1 332414 2 35 2 k k 3 0 2k 3 k 3 2 A alternativa D está correta Ao multiplicar todos elementos da segunda linha de M por 2 seu determinante fica multiplicado por 2 Ao multiplicar todos os elementos da terceira coluna da nova matriz por 4 seu determinante fica multiplicado por 4 O determinante da transposta tem o mesmo valor do determinante da matriz Assim o determinante da mesma matriz será 24 detM 245 40 4 A matriz P MNT Determine o valor do determinante da matriz N sabendo que o determinante de P vale 9 e a matriz A alternativa A está correta Calculado o determinante da matriz pela regra de Sarrus det M 111 121 020110 101 122 3 Se P MNT detP detM det NT detM detNT Mas det det NT det det N então det det P det det Mdet det N 9 3det N det N 3 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 5 A matriz A é triangular superior de ordem 3 Sabese que o determinante de A vale 4 o traço vale 3 e o elemento da primeira linha e primeira coluna vale 2 Determine respectivamente o valor de a22 e a33 sabendo que a33 a22 A alternativa B está correta M 1 2 1 2 1 0 0 1 1 M 1 2 1 2 1 0 0 1 1 6 Seja a matriz cujo determinante vale 24 Determine o valor de k A alternativa C está correta GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 CALCULE O DETERMINANTE DA SOMA DA MATRIZ COM A MATRIZ A 5 B 3 C 2 D 1 4 0 1 5 2 0 2 3 2 0 8 5 0 k 4 1 A 1 2 2 1 B 2 0 1 1 2 CALCULE O VALOR DE K SABENDO QUE O DETERMINANTE DE VALE8 A Apenas 3 B 1 C Apenas 1 D 3 GABARITO 1 Calcule o determinante da soma da matriz com a matriz A alternativa C está correta Justificativa Seja Assim detC 30 2 1 2 Verifique que como C A B Repare que detAB detA det B Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Calcule o valor de k sabendo que o determinante de vale8 A alternativa D está correta Usando a regra de Sarrus det P 1k21 201 121 2k21120 111 k2 2 2k2 1 8 Assim k2 9 k 3 P 1 2 2 0 k2 1 1 1 1 A 1 2 2 1 B 2 0 1 1 C A B C 1 2 2 0 2 1 1 1 3 2 1 0 P 1 2 2 0 k2 1 1 1 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÓDULO 4 Aplicar o conceito de matrizes inversas INTRODUÇÃO A matriz inversa tem uma aplicação direta na resolução de sistemas lineares Toda matriz que tem um determinante diferente de zero terá uma matriz inversa isto é terá uma matriz inversa relacionada a ela Fonte Por ShutterStockStudio Shutterstock MATRIZ INVERSA Na Aritmética definimos um número como inverso de outro quando o produto dos dois é igual à unidade Assim o inverso do número k real vale No espaço vetorial das matrizes quadradas definese matriz inversa de uma matriz M de ordem n de uma forma análoga 1 k Seja uma matriz quadrada M de ordem n definese a sua matriz inversa N com mesmo tamanho de M a matriz tal que MN NM In em que I é a matriz identidade de mesma ordem n Simbolicamente a função inversa é representada por M1 Não são todas as matrizes quadradas M que apresentam matrizes inversas Se existe a inversa de M dizse que M é invertível ou não singular Se não existir a matriz inversa dizse que M não é invertível ou singular COMENTÁRIO Observação Se N M1 então M N1 A determinação da matriz inversa requer a solução de um sistema Quanto maior a ordem da matriz quadrada maior o número de variáveis envolvidas no sistema O número de variáveis será dado por n2 em que n é a ordem da matriz Se o sistema for impossível dizse que a matriz não apresenta inversa Pode ser provado que uma matriz que tem determinante diferente de zero é invertível da mesma forma se o determinante da matriz for nulo ela é não invertível EXEMPLO Determine a matriz inversa da matriz Solução Assim pretendese achar a matriz Tal que ETAPA 1 ETAPA 2 ETAPA 3 M 1 3 2 1 N a b c d MN I 1 0 0 1 Logo Realizando o produto das matrizes Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Obtémse o sistema Assim e Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Portanto Para matriz quadrada de ordem 2 existe uma forma prática baseada na solução do sistema Se Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Uma matriz será denominada de ortogonal se sua inversa for igual à sua matriz transposta Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA A matriz inversa atende a algumas propriedades que serão aqui listadas As demonstrações destas propriedades podem ser vistas em qualquer uma das referências no fim deste tema As propriedades valem desde que M e N sejam invertíveis 1 3 2 1 a b c d 1 0 0 1 MN 1 a 3 c 1 b 3 d 2 a 1 c 2 b 1 d 1 0 0 1 a 3c 1 b 3d 0 2a c 0 2b d 1 b 3d c 2a a 32a 1 a 6a 1 a 23d d 1 5d 1 d 1 5 1 5 b 3d 3 1 5 3 5 c 2a 2 1 5 2 5 N M 1 1 5 3 5 2 5 1 5 M a b c d M 1 d b c a 1 adbc M 1 M T detM 1 1 detM MN 1 N 1 M 1 com k real diferente de zero MT 1 M 1T TEORIA NA PRÁTICA O método da matriz inversa é um método a partir do qual se obtém a resolução de um sistema linear através da obtenção da matriz inversa da matriz dos coeficientes da equação Assim seja o sistema este terá uma matriz de coeficientes dada por Determine a matriz inversa desta matriz de coeficiente para permitir a utilização do referido método Solução MN 1 M kM 1 1 M 1 k 2x y 4 x y 1 2 1 1 1 MÃO NA MASSA 1 SABESE QUE A MATRIZ B É A INVERSA DA TRANSPOSTA DA MATRIZ A SE O DETERMINANTE DA MATRIZ A VALE CALCULE O DETERMINANTE DE B A 2 B 4 C 05 D 025 2 SABESE QUE A MATRIZ B 2A MATRIZES QUADRADAS DE ORDEM 2 SE A MATRIZ A TEM DETERMINANTE IGUAL A 8 QUAL O DETERMINANTE DA MATRIZ INVERSA DE B A 32 B C 16 D 1 2 1 32 1 16 3 CALCULE A MATRIZ INVERSA DA MATRIZ A B C D 4 SEJA A MATRIZ SE A MATRIZ R É A INVERSA DA MATRIZ P CALCULE O DETERMINANTE DA MATRIZ R TRANSPOSTA A 2 B 05 C 1 D 1 5 CALCULE O TRAÇO DA MATRIZ Q QUE É A INVERSA DA MATRIZ A B C D M 0 1 1 2 2 1 1 1 2 0 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 P 1 1 2 0 1 0 1 2 3 N 2 1 1 2 3 4 7 4 1 4 4 3 6DETERMINE A MATRIZ INVERSA DA MATRIZ A B C D GABARITO 1 Sabese que a matriz B é a inversa da transposta da matriz A Se o determinante da matriz A vale calcule o determinante de B A alternativa A está correta Justificativa Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Sabese que a matriz B 2A matrizes quadradas de ordem 2 Se a matriz A tem determinante igual a 8 qual o determinante da matriz inversa de B A alternativa B está correta Justificativa Como B 2A então Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3 Calcule a matriz inversa da matriz A 1 1 1 1 0 1 0 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 2 2 3 1 1 1 0 2 2 1 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 1 1 1 0 0 2 1 1 2 B AT 1 então detB 2 1 det AT 1 det det A B1 A1 detB1 ndetA1 2 1 2 1 2 1 2 1 det A 1 32 M 0 1 1 2 A alternativa C está correta Justificativa Se N M1 então Assim Portanto temse o sistema Assim Logo a alternativa correta é letra C Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 4 Seja a matriz Se a matriz R é a inversa da matriz P calcule o determinante da matriz R transposta A alternativa C está correta 5 Calcule o traço da matriz Q que é a inversa da matriz A alternativa D está correta Justificativa Se Q N1 então MN I 1 0 0 1 MN 0 1 1 2 a b c d c d a 2c b 2d 1 0 0 1 c 1 a 2c 0 d 0 b 2d 1 a 2c 2 b 1 2d 1 N 2 1 1 0 P 1 1 2 0 1 0 1 2 3 N 2 1 1 2 NQ I 1 0 0 1 Assim Portanto temse o sistema Como Portanto Como e Assim Traço Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 6Determine a matriz inversa da matriz A alternativa B está correta GABARITO VERIFICANDO O APRENDIZADO NQ 2 1 1 2 a b c d 2a c 2b d a 2c b 2d 1 0 0 1 2a c 1 a 2c 0 2b d 0 b 2d 1 a 2c d 2b 2a c 1 e a 2c 4c c 1 c 1 3 a 2c 2 1 3 2 3 b 2d 1 e d 2b b 22b 1 3b 1 b 1 3 d 2 3 Q 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 Q 2 3 2 3 4 3 A 1 1 1 1 0 1 0 2 1 1 CALCULE A MATRIZ INVERSA DA MATRIZ A B C D 2 SABESE QUE P MN1 ESTABELEÇA O DETERMINANTE DA MATRIZ TRANSPOSTA DE P PT SABENDO QUE O DETERMINANTE DE M VALE 3 E O DETERMINANTE DE N VALE 2 A B C 6 D 3 GABARITO 1 Calcule a matriz inversa da matriz A alternativa B está correta Justificativa Se N M1 então Assim Portanto temse o sistema M 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 6 2 1 1 1 1 6 1 6 2 3 M 1 1 1 2 MN I 1 0 0 1 MN 1 1 1 2 a b c d a c b d a 2c b 2d 1 0 0 1 Como Portanto Como Assim Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Sabese que P MN1 Estabeleça o determinante da matriz transposta de P PT sabendo que o determinante de M vale 3 e o determinante de N vale 2 A alternativa A está correta Justificativa Se Mas e Assim Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS a c 1 a 2c 0 b d 0 b 2d 1 a 2c b d a c 1 e a 2c 2c c 1 c 1 3 a 2c 2 1 3 2 3 b 2d 1 e b d b 2b 1 3b 1 b d 1 3 N 2 1 1 1 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 P MN 1 P N 1M 1 detP T detP detN 1M 1 detN 1 detN 1 det detN 1 1 detN detM 1 1 detM det detP T 1 detN 1 detM 1 2 1 3 1 6 Apresentamos o conceito da matriz como um objeto matemático de um espaço vetorial que permite a organização de dados e a realização de diversas operações matemáticas de grande aplicação prática Dito isso temos certeza de que a partir de agora você saberá definir classificar e operar uma matriz além de utilizála em diversas aplicações matemáticas como na resolução de sistemas lineares AVALIAÇÃO DO TEMA REFERÊNCIAS ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 caps 3 e 4 p 119180 APOSTOL T M Cálculo Volume 1 1 ed Barcelona Espanha Editorial Reverte SA 1985 cap 12 p 519536 HOFFMAN K KUNZE R Linear Algebra 2 ed Nova Jersey PrenticeHall 1971 cap 2 p 28 39 SANTOS R J Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 ed Belo Horizonte Imprensa Universitária da UFMJ 2012 cap 1 p 128 e cap 2 p70123 EXPLORE Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema pesquise na internet e nas referências Sobre matrizes e suas aplicações Regra de Chió CONTEUDISTA Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira CURRÍCULO LATTES