Conceitos de Vetores e Espaço Vetorial

DEFINIÇÃO O conceito de vetores e espaço vetorial no plano e no espaço PROPÓSITO Compreender o conceito de vetor e espaço vetorial aplicando as propriedades e operações vetoriais no plano e no espaço PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema tenha em mãos papel caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphonecomputador OBJETIVOS Identificar o conceito de vetor suas caracterizações e operações básicas Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço Aplicar os produtos escalares vetoriais e misto Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade Identificar o conceito de vetor suas caracterizações e operações básicas INTRODUÇÃO Em várias aplicações da ciência e da Matemática tornase necessária a definição de um elemento que requer na sua concepção além de seu tamanho sua orientação direção e sentido Por exemplo ao se afirmar que um veículo está se locomovendo a uma velocidade de 80kmh falta a informação de direção e sentido que ele está se encaminhando para que se tenha um dado completo do problema Este elemento que tem na sua concepção o tamanho e a orientação é o vetor O conjunto dos vetores atendendo a algumas operações básicas irá definir o espaço vetorial FontePixabay Neste estudo vamos definir o espaço vetorial o vetor e as suas operações básicas e posteriormente aplicar estes conceitos na resolução de alguns problemas ESPAÇO VETORIAL O espaço vetorial V consiste em um conjunto não vazio de elementos objetos que atendem a operações da adição e de multiplicação por um número real SEJAM U E V ELEMENTOS DE V NÃO VAZIO ASSIM V SERÁ UM ESPAÇO VETORIAL SE E SOMENTE SE Se u e v pertencem a V então u v pertence a V Se u pertence a V e k é um número real então ku pertence a V Estas duas propriedades nos dizem que o espaço vetorial é fechado para operação da adição e multiplicação por real pois ao operarmos com elementos do espaço o resultado fornece um outro elemento do mesmo conjunto Na Álgebra podemos definir espaços vetoriais de vários tipos de elementos como por exemplo de matrizes de n linhas e m colunas de funções reais de variável real e o espaço vetorial real de n dimensões Rn Um espaco vetorial muito trabalhado nas aplicagdes em Geometria Analitica e de Algebra Linear é 0 espaco vetorial R Este espaco vetorial sera composto por elementos de ndimensGes reais isto é RN X1X2XN ERN 12N N21 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Para n 2 en 3 conseguese associar uma analise geométrica ao estudo analitico do R A partir de n 3 as representagdes geométricas nao sao mais possiveis Desta forma particularmente para problemas no plano e no espago trabalharemos com R2 eR respectivamente R2 XY R2 XE Y REAIS R3 X YZ R3 X YE Z REAIS Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 1 Seja o conjunto C x 5 x numero real Verifique se o conjunto C é um espaco vetorial SOLUGAO Para ser espaco vetorial deve ser um conjunto nao vazio de elementos que atende a duas operacoées basicas Quando x 2 0 elemento 25 pertence a C assim provase que 0 conjunto C é um conjunto nao vazio Seja um numero real k 2 Se u 2 5 entao 2u 22 52 4 10 v Mas v 4 10 x5 para todo x Portanto v nao pertence ao conjunto C Desta forma a operacao de multiplicagao por real nao é fechada para o conjunto C Entao C nao é espaco vetorial Podese também verificar que a operagao de adigao igualmente nao é fechada para o conjunto C Se u 2 5 e v 3 5 ambos pertencem a C Mas u v 23 55 5 10 nao pertencera a C 2 Seja o conjunto M composto de todas as Matrizes 2 x 2 com elementos reais Verifique se o conjunto C é um espaco vetorial SOLUGAO Para ser espaco vetorial deve ser um conjunto nao vazio de elementos que atende a duas operacoées basicas xy Seja m w o elemento do conjunto M onde x y z e Ww so reais Fazendo x y z w 1 temse o elemento m 1 1 1 1 demonstrando que pelo menos um elemento existe no conjunto m portanto ele não é vazio Vamos supor k real Ao multiplicarmos uma matriz por um número real multiplicase cada elemento da matriz por este número Assim n Mas kx ky kz e kw são número reais portanto n também é um elemento do conjunto M demostrando que a operação de multiplicação por real é fechada no conjunto M Sejam 𝑚 𝑥𝑦 𝑧𝑤 e 𝑛 𝑎𝑏 𝑑𝑐 dois elementos de M e p m n Ao somarmos duas matrizes somamos elemento a elemento assim 𝑝 𝑚 𝑛 𝑥 𝑎𝑦 𝑏 𝑧 𝑑𝑤 𝑐 Como x a y b z d e w c são número reais então p pertence a M demonstrando também que a operação da adição é fechada para o conjunto M Desta forma verificase que o conjunto M é um espaço vetorial VETORES E OPERAÇÕES BÁSICAS Existem dois tipos de grandeza escalares e vetoriais GRANDEZA ESCALAR A grandeza escalar é um ente matemático definido completamente pelo seu valor magnitude módulo valor ou amplitude A temperatura de uma sala ou a massa de um objeto são exemplos de grandezas escalares GRANDEZA VETORIAL A grandeza vetorial denominada de vetor é um ente matemático que para ser definido completamente necessita além da sua magnitude módulo valor ou amplitude da definição da direção e do sentido A velocidade de um carro ou a força atuante em um objeto são exemplos de grandeza vetorial O vetor é amplamente utilizado na Geometria Analítica e na Álgebra Linear e será o objeto elemento do espaço vetorial Rn definido no item anterior O vetor será representado pelos seus componentes ATENÇÃO Assim sendo um vetor de Rn será definido por n componentes reais representado por x1 x2 xn Cada componente real xi representa um tamanho da projeção do vetor na iésima dimensão A combinação das ncomponentes do vetor irá definir a orientação deste dentro do espaço vetorial Rn Para nosso caso particular do R2 e R3 podemos dar uma definição geométrica para o vetor através de um segmento de reta orientado Seja o seguimento orientado de reta 𝐴 𝐵 no plano ou no espaço que seria um segmento de reta que apresenta um sentido definido O ponto A é denominado de origem ou ponto inicial O ponto B é chamado de extremidade ou ponto final Este segmento orientado é definido pelo seu módulo tamanho direção e sentido SE DOIS SEGMENTOS ORIENTADOS TIVEREM MÓDULOS DIREÇÕES E SENTIDOS IGUAIS SERÃO SEGMENTOS EQUIPOLENTES OU EQUIVALENTES FonteAutor 𝐴𝐵 𝐷𝑖𝑟𝑒çã𝑜 𝑅𝑒𝑡𝑎 𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐵 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝐴𝐵 IMPORTANTE O conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes é denominado de vetor Assim vetor será representado geometricamente por um segmento orientado que apresenta um módulo uma direção e um sentido determinado O vetor será representado por vetor 𝑣 ou pelos dois pontos que são suas extremidades na ordem do seu sentido vetor 𝐴𝐵 Dessa forma os vetores 𝐴𝐵 e 𝐵𝐴 são dois vetores diferentes Eles terão mesmo módulo mesma direção mas sentidos opostos OPERAÇÕES BÁSICAS Como já visto os vetores são objetos do espaço vetorial Logo podemos definir algumas operações básicas contidas no espaço vetorial 1 IGUALDADE ENTRE VETORES Sejam 𝑢 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑒 𝑣 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛 vetores do Rn Assim 𝑢 𝑣 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥𝑛 𝑦𝑛 para todo i 1 2 n 2 ADIÇÃO ENTRE VETORES Sejam 𝑢 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 e 𝑣 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛 dois vetores pertencentes ao Rn Se 𝑤 𝑢 𝑣 𝑤1 𝑤2 𝑤𝑛 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥𝑛 𝑦𝑛 para todo i 1 2 n w também pertence ao Rn 3 MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL Seja 𝑢 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 vetor do Rn e k um número real Se 𝑤 𝑘 𝑢 𝑤1 𝑤2 𝑤𝑛 𝑘𝑥1 𝑘𝑥2 𝑘𝑥𝑛 para todo i 1 2 n w também pertence ao Rn Algumas propriedades podem ser definidas através da adição e multiplicação por um número real k Associativa na Adição 𝑤 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 Comutativa 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 Existência do Elemento Neutro na Adição 0 denominado de elemento nulo 𝑢 0 𝑢 Existência do Elemento Oposto na Adição 𝑢 𝑢 0 Distributiva por Vetor 𝑘 𝑢 𝑣 𝑘 𝑢 𝑘 𝑣 Distributiva por Escalar 𝑘 ℎ 𝑢 𝑘 𝑢 ℎ 𝑢 Associativa na Multiplicação por Real 𝑘ℎ 𝑢 𝑘ℎ 𝑢 ℎ𝑘 𝑢 Existência do Elemento Neutro na Multiplicação 1 denominado de elemento unitário 1 𝑢 𝑢 IMPORTANTE Para realizar a subtração de dois vetores 𝑢 𝑣 seria semelhante a multiplicar o vetor 𝑣 por 1 e somar ao vetor 𝑢 EXEMPLO 1 Determine o valor de b e d para que os vetores 𝑢 4 b d 0 1 e 𝑣 4 5 0 b d sejam iguais SOLUÇÃO Para que dois vetores sejam iguais todos os seus elementos devem ser iguais Assim 𝑏 𝑑 5 𝑏 𝑑 1 Resolvendo o sistema através da segunda equação temse b 1 d Substituindo na primeira 1 d d 5 2d 5 1 4 d 2 Então b 1 d 1 2 3 ATENÇÃO Este exercício só foi possível porque o primeiro componente que vale 4 e o terceiro que vale 0 eram iguais nos dois vetores Se um dos dois fosse diferente o exercício seria impossível TEORIA NA PRÁTICA Em uma determinada região do espaço um avião tem velocidade em kmh dada por vetor 𝑣1 100 b 300 Um segundo avião apresenta uma velocidade em kmh dada por 𝑣2 50a 80 300 Determine o valor de a b para que os aviões tenham a mesma velocidade Clique no botão para ver as informações SOLUÇÃO No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão MÃO NA MASSA 1 UM CONJUNTO B É UM ESPAÇO VETORIAL MARQUE A ALTERNATIVA QUE NÃO ESTÁ CORRETA EM RELAÇÃO AO CONJUNTO B A Tem pelo menos um elemento B É fechado em relação à operação de adição C Se u e v pertencem a V então u v pode não pertencer a V D Se u pertence a V e k é um número real então ku pertence a V 2 SEJAM OS VETORES 𝑢2 3 0 1 1 E 𝑣 1 2 1 3 0 DETERMINE O VALOR DE 𝑤 2 𝑣 𝑢 A 4 1 2 7 1 B 4 2 1 6 0 C 2 3 2 1 1 D 0 2 7 1 1 3 A FORÇA 𝐹 10 𝑥 𝑦 AGE EM UM OBJETO ESTE OBJETO DE MASSA M DE 1KG ADQUIRE UMA ACELERAÇÃO IGUAL À 𝑎 2𝑥 𝑦 5 SABENDO QUE 𝐹 𝑚 𝑎 DETERMINE O VALOR DE X E Y RESPECTIVAMENTE A 5 e 0 B 0 e 5 C 10 e 15 D 2 e 4 4 SEJAM OS VETORES 𝑢𝑎 𝑏 𝑣𝑏 𝑎 𝑒 𝑤2 2𝑏 0 COM A E B NÚMEROS REAIS DETERMINE A E B RESPECTIVAMENTE SABENDO QUE 3 𝑢 𝑣 𝑤 0 A 0 e 0 B 1 e 1 C 1 e 1 D 0 e 1 5 QUATRO VETORES DO 𝑅3 𝑢 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 𝑣 1 𝑐 𝑏 𝑤 1 0 2𝑐 𝑏 𝑒 𝑚 𝑏 8 5 COM A E B REAIS SATISFAZEM A SEGUINTE EQUAÇÃO 𝑢 3 𝑣 2 𝑤 𝑚 DETERMINE O VALOR DE A B C A 12 B 13 C 14 D 15 6 SEJAM OS VETORES 𝑢𝑎 𝑏 𝑐 𝑣𝑏 𝑎 𝑐 𝑒 𝑤2B 0 𝑏 𝑐 COM A B E C NÚMEROS REAIS DETERMINE A SOMA DE A B C SABENDO QUE O VETOR 𝑚 2 𝑢 3 𝑣 2 𝑤 É EQUIVALENTE AO VETOR 2 3 3 A 1 B 2 C 3 D 4 GABARITO 1 Um conjunto B é um espaço vetorial Marque a alternativa que NÃO está correta em relação ao conjunto B A alternativa C está correta Parabéns Você entendeu o conceito de espaço vetorial Se o conjunto B é um espaço vetorial então consiste em um conjunto não vazio de elementos objetos que atendem a operações da adição e de multiplicação por um número real Assim a letra A B e D são verdadeiras Em relação à letra C u v é uma operação de multiplicar um elemento por 1 e depois somar dois elementos do conjunto logo obrigatoriamente este resultado pertence ao conjunto B Esta afirmativa é verdadeira 2 Sejam os vetores 𝑢2 3 0 1 1 e 𝑣 1 2 1 3 0 Determine o valor de 𝑤 2 𝑣 𝑢 A alternativa A está correta Parabéns Você entendeu a operação de vetores 𝑤𝑥 𝑦 𝑧 𝑚 𝑛 2 𝑣 𝑢 1 2 2 2 1 2 3 2 0 2 2 3 0 1 1 Assim 𝑥 2 2 4 𝑦 4 3 1 𝑧 2 0 2 𝑚 6 1 7 𝑛 0 1 1 Portanto 𝑤 4 1 2 7 1 3 A força 𝐹 10 𝑥 𝑦 age em um objeto Este objeto de massa m de 1kg adquire uma aceleração igual à 𝑎 2𝑥 𝑦 5 Sabendo que 𝐹 𝑚 𝑎 determine o valor de x e y respectivamente A alternativa A está correta No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão 4 Sejam os vetores 𝑢𝑎 𝑏 𝑣𝑏 𝑎 𝑒 𝑤2 2𝑏 0 com a e b números reais Determine a e b respectivamente sabendo que 3 𝑢 𝑣 𝑤 0 A alternativa B está correta Parabéns Você entendeu a operação de vetores Usando as propriedades vistas 3 𝑢 𝑣 𝑤 0 3 𝑢 3 𝑣 𝑤 0 Usando as operações vetoriais e sabendo que 0 é representado por 00 3𝑎 3𝑏 2 2𝑏 0 3𝑏 3𝑎 0 0 3𝑎 𝑏 2 0 3𝑏 3𝑎 3𝑎 𝑏 2 𝑏 𝑎 Assim substituindo a segunda questão na primeira se tem 3𝑎 𝑎 2 𝑎 1 𝑏 𝑎 𝑏 1 5 Quatro vetores do 𝑅3 𝑢 𝑎 𝑎 𝑏 𝑎 𝑐 𝑣 1 𝑐 𝑏 𝑤 1 0 2𝑐 𝑏 𝑒 𝑚 𝑏 8 5 com a e b reais satisfazem a seguinte equação 𝑢 3 𝑣 2 𝑤 𝑚 Determine o valor de a b c A alternativa C está correta No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão 6 Sejam os vetores 𝑢𝑎 𝑏 𝑐 𝑣𝑏 𝑎 𝑐 𝑒 𝑤2b 0 𝑏 𝑐 com a b e c números reais Determine a soma de a b c sabendo que o vetor 𝑚 2 𝑢 3 𝑣 2 𝑤 é equivalente ao vetor 2 3 3 A alternativa B está correta Parabéns Você entendeu a operação de vetores Usando as propriedades vistas se o vetor 𝑚 é equivalente ao vetor 2 3 3 eles terão as mesmas coordenadas Usando as operações vetoriais para se obter as coordenadas do vetor 𝑚 2 𝑢 3 𝑣 2 𝑤 2𝑎 3𝑏 22𝑏 2𝑎 3𝑏 4𝑏 2𝑎 𝑏 2𝑏 3𝑎 20 2𝑏 3𝑎 2𝑐 3𝑐 2𝑏 𝑐 2𝑐 3𝑐 2𝑏 2𝑐 3𝑐 2𝑏 Igualando ao vetor 2 3 3 2𝑎 𝑏 2 2𝑏 3𝑎 3 3𝑐 2𝑏 3 Multiplicando a primeira equação por 2 4a2b4 somando a segunda equação 4 𝑎 3 𝑎 4 3 7 𝑎 7 𝑎 1 𝑒 𝑏 2 𝑎 2 2 2 0 Substituindo na terceira equação 3 𝑐 3 2 𝑏 3 0 3 𝑐 1 Assim a b c 2 VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 SEJA O VETOR 𝑚1 150 𝑎 𝑏 100 E O VETOR 𝑚2 150 450 𝑎 𝑏 DETERMINE O VALOR DE 2A B ONDE A E B SÃO NÚMEROS REAIS PARA QUE 𝑚1 𝑚2 A 175 B 215 C 375 D 470 2 SEJAM OS VETORES U V E W ELEMENTOS DO ESPAÇO VETORIAL R4 SABESE QUE 2U 3V W É EQUIVALENTE AO ELEMENTO NULO DEFINIMOS U0 1 A B C V1 B 2 B C E W3 13A 8C 0 COM A B E C NÚMEROS REAIS DETERMINE O VALOR DE A B C A 1 B 3 C 5 D impossível 2u 3v w 0 GABARITO 1 Seja o vetor 𝑚1 150 𝑎 𝑏 100 e o vetor 𝑚2 150 450 𝑎 𝑏 Determine o valor de 2a b onde a e b são números reais para que 𝑚1 𝑚2 A alternativa C está correta Parabéns Você entendeu a operação de vetores Para que 𝑚1 𝑚2 as componentes devem ser iguais nas três dimensões Assim a b 450 e a b 100 Somando as duas equações 2a 550 a 275 Então b 450 a 450 275 175 Assim 2a b 2275 175 375 2 Sejam os vetores u v e w elementos do espaço vetorial R4 Sabese que 2u 3v w é equivalente ao elemento nulo Definimos u0 1 a b c v1 b 2 b c e w3 13a 8c 0 com a b e c números reais Determine o valor de a b c A alternativa C está correta Parabéns Você entendeu a operação e propriedades dos vetores Para que 𝑣1 𝑣2 as componentes devem ser iguais nas três dimensões 2𝑢 3𝑣 𝑤 0 Assim 2 0 3 1 3 0 0 0 ok se aqui desse algo diferente disso a resposta seria impossível 2 1 3 𝑏 13𝑎 0 3𝑏 13 𝑎 2 2 𝑎 3 2 8𝑐 0 2𝑎 8𝑐 6 2 𝑏 𝑐 3 𝑏 𝑐 0 0 2𝑏 2𝑐 3𝑏 3𝑐 0 5𝑐 𝑏 0 𝑏 5𝑐 Substituindo a quarta equação na segunda se tem 3 5𝑐 13 𝑎 2 15𝑐 13𝑎 2 Mas na terceira equação 2𝑎 6 8𝑐 𝑎 3 4𝑐 Substituindo na anterior 15𝑐 133 4𝑐 2 15 𝑐 39 52 𝑐 2 37 𝑐 37 𝑐 1 Se 𝑐 1 𝑎 3 4 1 3 4 1 E 𝑏 5𝑐 5 1 5 Portanto 𝑎 𝑏 𝑐 1 5 1 5 Identificar o conceito de vetor no plano e no espaço INTRODUÇÃO NAS APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA UTILIZASE UMA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA ALÉM DO CÁLCULO ANALÍTICO ASSIM PARA SE TRABALHAR NO PLANO OU NO ESPAÇO USASE OS ESPAÇOS VETORIAIS R2 E R3 Os vetores sujeitos às mesmas operações descritas no módulo anterior terão neste caso uma representação por segmento orientado de reta e necessitarão de referências para serem definidos Dessa forma será apresentado o sistema cartesiano como um sistema de representação e referência para nossos estudos Por fim a definição de direções e sentidos é importante em várias aplicações sendo necessária portanto a definição de vetores unitários que terão este objetivo VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO Como já visto no módulo anterior a representação geométrica de um vetor será um segmento orientado de reta Desse modo tornase necessário definir direções e sentidos isto é definir referências Estas referências devem ser tanto para posição quanto para direçãosentido Por isso vamos adotar o sistema cartesiano para referenciarmos o espaço vetorial R2 e R3 No caso do R3 serão utilizados três eixos ortogonais x y e z com valores reais para referenciar as três dimensões Qualquer direçãosentido no espaço pode ser definida por três direções ortogonais A origem do sistema será definida no cruzamento dos eixos ponto 0 O eixo x é denominado de abscissa o eixo y de ordenada e o eixo z de cota A seta de cada eixo define o sentido positivo de cada direção de referência FonteAutor No caso do R2 serão utilizados apenas dois eixos ortogonais x e y com valores reais para referenciar as suas duas dimensões Qualquer direçãosentido no plano pode ser definida por duas direções ortogonais ATENÇÃO Antes de definirmos como representar um vetor no plano ou no espaço necessitamos definir a representação de um ponto nestas regiões Um ponto P do R3 será representado por 3 componentes que denominaremos de coordenadas Cada coordenada representa as distâncias que o ponto tem em relação aos três planos que definem o espaço Seja o Ponto P X Y Z com X Y e Z números reais X representa a distância de P ao plano YZ Y a distância de P ao plano XZ e Z a distância de P ao plano XY Se o ponto estiver do lado oposto do plano antes da origem os sinais serão negativos Na figura ao lado estão representados os pontos P 1 2 2 Q 1 2 1 R 1 2 2 e S 1 2 2 A origem dos eixos será representada por O 0 0 0 FonteAutor O R2 é um caso particular do R3 assim os pontos no R2 apresentam apenas valores para abscissa e ordenada ou seja PXY Para representarmos um vetor é preciso conhecer a sua projeção nas três direções representadas pelos eixos que definem o sistema de coordenadas Veja a figura o vetor 𝑣 projetado na direção do eixo x apresenta um tamanho vx na direção do eixo y apresenta um tamanho vy e na direção do eixo z um tamanho vz FonteAutor Caso a projeção em relação a um dos eixos seja contrária ao sentido positivo do eixo o sinal da coordenada será negativo Portanto o vetor 𝑣 terá coordenadas vx vy vz em que vx vy e vz são número reais No caso do R2 caso particular do R3 o vetor não terá a componente vz Podemos representar também as coordenadas de um vetor através de uma matriz coluna ou seja 𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧 Na figura a seguir temos a representação no plano dos vetores 𝑣 3 1 𝑤 1 1 e 𝑢 1 3 FonteAutor Podemos observar que os segmentos 𝑂𝑃 e 𝐴𝐵 apresentam o mesmo módulo mesma direção e mesmo sentido sendo representações portanto do mesmo vetor 𝑣 Por isso terão as mesmas coordenadas 3 1 IMPORTANTE A notação de Grassmann nos mostra que as coordenadas de um vetor podem ser obtidas com as coordenadas dos seus pontos extremos isto é sua origem e sua extremidade Assim 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 Se a origem do vetor for a origem dos eixos coordenados O0 0 0 a coordenada do vetor será igual à coordenada de sua extremidade Logo 𝑂𝑃 𝑃 𝑂 𝑃 HERMANN GRASSMANN 18091877 Matemático e físico alemão responsável pela criação da Álgebra Linear EXEMPLO 1 Represente no sistema cartesiano os pontos P1 2 Q1 2 e R1 1 SOLUÇÃO FonteAutor 2 Represente no sistema cartesiano os vetores a 𝑣1 0 com ponto inicial no ponto 1 2 b 𝑤0 2 com ponto inicial no ponto 1 0 c 𝑢1 1 com ponto inicial no ponto 1 2 SOLUÇÃO FonteAutor 3 Determine as coordenadas do vetor 𝑢 que tem origem no ponto A2 3 1 e extremidade no ponto B0 2 1 Determine também o vetor 𝑣 𝑢 SOLUÇÃO Usando a notação de Grassmann 𝑢 𝐴𝐵 𝐵 𝐴 0 2 2 3 1 1 2 1 2 𝑣 𝑢 𝐵𝐴 𝐴 𝐵 2 0 3 2 1 1 2 1 2 Como 𝑣 𝑢 poderia também se usar a propriedade de multiplicação por real 𝑣 𝑢 𝐵𝐴 𝐴 𝐵 2 0 3 2 1 1 2 1 2 MÓDULO OU NORMA DE UM VETOR DENOMINAMOS O TAMANHO DE UM VETOR POR MÓDULO OU NORMA O MÓDULO DO VETOR 𝑣 SERÁ REPRESENTADO POR 𝑣 OU 𝑣 Observe a figura do item anterior que apresenta as componentes do vetor O módulo do vetor será dado pelo tamanho do segmento OP assim 𝑣 𝑂𝑃 ey Oe We 5 Vx ea ze y 1 f cecumuucmumaes sree R Q Xx FonteAutor Ao aplicar o Teorema de Pitagoras no triangulo OPQ e verificar que o tamanho de PQ é a componente z do vetor v isto é v temse que 2 2 2 2 2 2 v PO PQ 0Q vw OQ Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Aplicando agora o Teorema de Pitagoras no tridngulo OQR obtémse 2 2 2 OQ QR OR Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal O tamanho de OR sera a componente x do vetor v isto é Vv 0 tamanho de QR sera igual ao tamanho de OS que a componente y do vetor v isto é Vy Desta forma 2 2 2 2 2 OQ QR OR vy ov 2 2 v v OQ v vy v Obtendose assim a formula que determina o mddulo ou norma através das componentes do vetor 2 2 v Vu vy Vv Determine o módulo dos vetores 𝑢0 3 4 𝑒 𝑣2 1 3 SOLUÇÃO 𝑢 𝑢𝑧 2 𝑢𝑦 2 𝑢𝑧 2 02 32 42 9 16 25 5 𝑣 𝑣𝑧 2 𝑣𝑦 2 𝑣𝑧 2 22 12 3 3 4 1 3 8 22 SAIBA MAIS Seja um triângulo ABC FonteAutor Na Geometria existe um teorema que diz que o comprimento de um dos lados é sempre menor do que a soma dos outros dois lados Repare que se um dos lados fosse a soma dos outros não haveria um triângulo formado Se 𝑢 𝐴𝐵 e 𝑣 𝐵𝐶 então AC será a soma dos dois vetores 𝑢 𝑣 𝐴𝐶 Dessa forma os lados dos triângulos serão os módulos dos vetores 𝑢 𝑣 e 𝑢 𝑣 Usando o mesmo teorema da Geometria obtemos 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 que é denominada de Desigualdade Triangular Desta desigualdade podemos definir outras a Se substituirmos 𝑣 por 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 Então 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 b Se substituirmos o vetor 𝑢 por 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 OPERAÇÕES BÁSICAS NO PLANO OU NO ESPAÇO Retornando às operações básicas dos vetores vistas no módulo anterior vamos agora aplicálas para o caso do R2 e R3 Assim temos MULTIPLICAÇÃO POR NÚMERO REAL Seja 𝑢 𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 𝑒 𝑤 𝑥𝑤 𝑦𝑤 𝑧𝑤 𝑘𝑢 onde k é o número real Então 𝑥𝑤 𝑘𝑥𝑢 𝑦𝑤 𝑘𝑦𝑢 𝑧𝑤 𝑘𝑧𝑢 𝑘 𝑟𝑒𝑎𝑙 FonteAutor A multiplicação por um número real positivo tem como resultado um vetor de mesma direção mesmo sentido e de tamanho alterado para k vezes o módulo do vetor original Caso o k seja negativo o vetor altera também o sentido Se 𝑘 1 o novo vetor aumenta em relação ao anterior porém se 𝑘 1 ocorre uma redução do tamanho ADIÇÃO ENTRE VETORES Seja 𝑢 𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 𝑣 𝑥𝑣 𝑦𝑣 𝑧𝑣 𝑒 𝑤 𝑥𝑤 𝑦𝑤 𝑧𝑤 𝑢 𝑣 Então 𝑥𝑤 𝑥𝑢 𝑥𝑣 𝑦𝑤 𝑦𝑢 𝑦𝑣 𝑧𝑤 𝑧𝑢 𝑧𝑣 Se 𝑤 𝑥𝑤 𝑦𝑤 𝑧𝑤 𝑢 𝑣 seria semelhante a multiplicar o vetor 𝑣 por 1 e somar ao vetor 𝑢 Então 𝑥𝑤 𝑥𝑢 𝑥𝑣 𝑦𝑤 𝑦𝑢 𝑦𝑣 𝑧𝑤 𝑧𝑢 𝑧𝑣 Geometricamente podemos representar a soma e a subtração de vetores no plano ou no espaço pela regra do paralelogramo FonteAutor Podese usar a Lei de Cossenos para calcular o módulo da soma dos vetores 𝑢 𝑣 𝑄𝑆 e da diferença dos vetores 𝑢 𝑣 𝑅𝑃 𝑢 𝑣 2 𝑢 2 𝑣 2 2 𝑢 𝑣cos𝜋 𝛼 𝑢 𝑣 2 𝑢 2 𝑣 2 2 𝑢 𝑣cos 𝛼 e 𝑢 𝑣 2 𝑢 2 𝑣 2 2 𝑢 𝑣cos 𝛼 EXEMPLO 1 Determine o módulo do vetor 𝑤 2 𝑢 𝑣 sendo 𝑢1 2 1 e 𝑣 0 1 3 SOLUÇÃO 𝑤 2 𝑢 𝑣 2 1 0 2 2 1 2 1 3 2 5 1 Assim 𝑤 𝑤𝑧 2 𝑤𝑦 2 𝑤𝑧 2 22 52 12 4 25 1 30 VERSOR DE UM VETOR ÀS VEZES TORNASE NECESSÁRIO DEFINIRSE UM VETOR UNITÁRIO EM UMA DETERMINADA DIREÇÃO E SENTIDO ESTE VETOR UNITÁRIO É CONHECIDO POR VERSOR Um vetor 𝑣 pode ser representado pela forma 𝑣 𝑣 𝑣 isto é seu módulo multiplicado pelo versor que define a sua direção e sentido Por exemplo imagine que eu queira um vetor 𝑤 que tenha a mesma direção e sentido do que o vetor 𝑣 mas que tenha módulo k Se eu definir 𝑤 𝑘 𝑣 estaria errado pois 𝑤 𝑘 𝑣 e o módulo de 𝑤 só seria k se o módulo de 𝑣 fosse unitário Preciso portanto definir o vetor unitário que tenha a direção e o sentido do vetor 𝑣 com notação 𝑣 ou 𝑣 que é denominado de versor 𝑣 𝑣 𝑣 Como 1 𝑣 é uma constante positiva 𝑣 terá a mesma direção e sentido do que 𝑣 mas com módulo 𝑣 𝑣 𝑣 1 Retornando ao nosso exemplo o correto então é definir que 𝑤 𝑘 𝑣 pois 𝑤 𝑘 𝑣 𝑘 Agora sim ele teria a mesma direção e sentido do que 𝑣 que são os mesmos do que 𝑣 e módulo k ATENÇÃO Uma aplicação direta do versor é a definição dos vetores unitários canônicos que definem as direções e sentidos do sistema cartesiano Desse modo a direção de x é definida pelo vetor 𝑥 1 0 0 a direção de y por 𝑦 0 1 0 e a direção de z por 𝑧 0 0 1 No caso do plano haveria os vetores 𝑥 1 0 𝑒 𝑦 0 1 Qualquer vetor pode ser representado através dos vetores unitários canônicos pois podemos considerar um vetor como sendo a soma de três vetores ortogonais Seja 𝑣 𝑥𝑣 𝑦𝑣 𝑧𝑣 vamos definir os vetores 𝑣𝑥 𝑥𝑣 0 0 𝑣𝑦 0 𝑦𝑣 0 e 𝑣𝑧 0 0 𝑧𝑣 assim 𝑣 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧 Mas podemos definir estes vetores através dos vetores unitários 𝑣 𝑣𝑥 𝑥 𝑣𝑦 𝑦 𝑣𝑧 𝑧 EXEMPLO 1 Determine o versor do vetor 𝑢3 0 4 SOLUÇÃO 𝑢 𝑢𝑧 2 𝑢𝑦 2 𝑢𝑧 2 32 02 42 9 16 25 5 𝑢 𝑢 𝑢 1 530 4 3 5 0 4 5 TEORIA NA PRÁTICA Uma caixa de 22𝑘𝑔 de massa percorre um piso liso com uma aceleração de 2ms2 A direção e o sentido do movimento são definidos pelo vetor unitário 2 2 2 2 A força que gera o movimento tem vetor representado por 𝐹𝑎 𝑏 com a real Determine o valor de a e b Clique no botão para ver as informações SOLUÇÃO No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão MÃO NA MASSA 1 O VETOR 𝑢 TEM ORIGEM NO PONTO D 4 6 2 E EXTREMIDADE NO PONTO C 2 0 1 DETERMINE O VETOR 𝑣 𝑢 A 2 6 3 B 0 6 3 C 2 6 3 D 6 1 3 2 DETERMINE O MÓDULO DO VETOR 2 4 5 A 3 5 B 45 C 1 D 5 3 3 SEJA û O VERSOR DO VETOR 𝑢 3 0 4 DETERMINE AS COORDENADAS DO VETOR û A 3 0 4 B 3 5 1 5 4 5 C 3 5 0 4 5 D 3 5 0 4 5 4 DETERMINE O VETOR 𝑤 QUE TEM MÓDULO 6 E TEM A MESMA DIREÇÃO E SENTIDO DO VETOR 𝑢 2𝑥 𝑦 𝑧 A 26 6 6 B 26 6 6 C 26 6 6 D 26 6 6 5 DETERMINE O MÓDULO DA DIFERENÇA DE 𝑣 POR 𝑢 SABESE QUE O MÓDULO DE 𝑢 VALE 5 E O MÓDULO DE 𝑣 VALE 12 OS DOIS VETORES SÃO ORTOGONAIS A 12 B 15 C 13 D 10 6 DETERMINE O MÓDULO DA DIFERENÇA DE 𝑢 POR 𝑣 SABESE QUE O MÓDULO DE 𝑢 VALE 3 O MÓDULO 𝑣 VALE 4 E O ÂNGULO FORMADO POR ELES VALE 60 A 15 B 13 C 17 D 11 GABARITO 1 O vetor 𝑢 tem origem no ponto D 4 6 2 e extremidade no ponto C 2 0 1 Determine o vetor 𝑣 𝑢 A alternativa C está correta Parabéns Você entendeu o conceito de vetores no plano e espaço 𝑢 𝐷𝐶 𝐶 𝐷 2 4 0 6 1 2 2 6 3 𝑣 𝑢 2 6 3 Outra forma de fazer é que como 𝑣 𝑢 𝐶 𝐷 𝐷 𝐶 4 2 6 0 2 1 2 6 3 2 Determine o módulo do vetor 2 4 5 A alternativa A está correta Parabéns Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor Se 𝑣 2 4 5 𝑣 22 44 52 4 16 25 45 35 3 Seja û o versor do vetor 𝑢 3 0 4 Determine as coordenadas do vetor û A alternativa C está correta No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão 4 Determine o vetor 𝑤 que tem módulo 6 e tem a mesma direção e sentido do vetor 𝑢 2 𝑥 𝑦 𝑧 A alternativa D está correta Parabéns Você entendeu o conceito de versor de um vetor 𝑢 2 𝑥 𝑦 𝑧 2 1 1 𝑢 𝑢𝑧 2 𝑢𝑦 2 𝑢𝑧 2 22 12 12 4 1 1 6 𝑢 𝑢 𝑢 1 62 1 1 2 6 1 6 1 6 𝑤 6 𝑢 6 2 6 1 6 1 6 26 6 6 5 Determine o módulo da diferença de 𝑣 por 𝑢 Sabese que o módulo de 𝑢 vale 5 e o módulo de 𝑣 vale 12 Os dois vetores são ortogonais A alternativa C está correta No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão 6 Determine o módulo da diferença de 𝑢 por 𝑣 Sabese que o módulo de 𝑢 vale 3 o módulo 𝑣 vale 4 e o ângulo formado por eles vale 60 A alternativa B está correta Parabéns Você entendeu o conceito de módulo ou norma de um vetor Usando a Lei dos cossenos 𝑢 𝑣 2 𝑢 2 𝑣 2 2 𝑢 𝑣𝑐𝑜𝑠 𝛼 32 42 23 4𝑐𝑜𝑠 60 9 16 2405 37 Assim 𝑢 𝑣 37 𝑢 𝑣 2 𝑢 2 𝑣 2 2 𝑢 𝑣𝑐𝑜𝑠 𝛼 32 42 23 4𝑐𝑜𝑠 60 9 16 2405 13 Assim 𝑢 𝑣 13 VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 DETERMINE O MÓDULO DO VETOR 𝑢 QUE TEM ORIGEM NO PONTO A2 4 1 E EXTREMIDADE NA ORIGEM DOS EIXOS A 21 B 21 C 3 D 3 2 O VETOR 𝑤0 2A 2B COM A E B REAIS POSITIVOS TEM MÓDULO 10 E APRESENTA A MESMA DIREÇÃO E SENTIDO DO QUE O VETOR 𝑣 DETERMINE O VALOR DE A B SABENDO QUE O VETOR 𝑣0 𝑝 4 TÊM MÓDULO 5 A 1 B 7 C 9 D 11 GABARITO 1 Determine o módulo do vetor 𝑢 que tem origem no ponto A2 4 1 e extremidade na origem dos eixos A alternativa B está correta Parabéns Você entendeu o conceito de vetores no plano e no espaço e módulo de um vetor 𝑢 𝐴𝑂 𝑂 𝐴 2 4 1 𝑢 𝑢𝑧 2 𝑢𝑦 2 𝑢𝑧 2 22 42 12 4 16 1 21 2 O vetor 𝑤0 2a 2b com a e b reais positivos tem módulo 10 e apresenta a mesma direção e sentido do que o vetor 𝑣 Determine o valor de a b sabendo que o vetor 𝑣0 𝑝 4 têm módulo 5 A alternativa B está correta Parabéns Você entendeu o conceito de módulo de um vetor 𝑣 𝑣𝑧 2 𝑣𝑦 2 𝑣𝑧 2 02 𝑝2 42 𝑝2 16 5 𝑝2 16 25 𝑝2 9 𝑝 3 𝑣 𝑣 𝑣 1 50 𝑝 4 1 50 3 4 𝑤 10 𝑣 10 5 0 3 4 0 6 8 mas como a e b são positivos 2a 6 e 2b 8 então a 3 e b 4 Assim a b 7 Aplicar os produtos escalares vetoriais e misto INTRODUÇÃO A operação matemática de multiplicação produto entre dois vetores não é definida Em compensação definimos três tipos de produtos entre dois elementos vetoriais PRODUTO ESCALAR PRODUTO VETORIAL PRODUTO MISTO Neste módulo iremos definir estes produtos e apresentar algumas de suas aplicações PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO Sejam os vetores 𝑢 𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 e 𝑣 𝑥𝑣 𝑦𝑣 𝑧𝑣 do R3 Definese o produto escalar entre 𝑢 e 𝑣 como 𝑢 𝑣 𝑥𝑢 𝑥𝑣 𝑦𝑢 𝑦𝑣 𝑧𝑢 𝑧𝑣 COMO FOI OBSERVADO O PRODUTO ESCALAR TEM COMO RESULTADO UM ESCALAR ISTO É UM NÚMERO QUE PODE SER POSITIVO NEGATIVO OU ZERO O PRODUTO ESCALAR PODE SER DEFINIDO PARA VETORES DO RN PARA N 3 ESTA OPERAÇÃO SERÁ DENOMINADA APENAS DE PRODUTO INTERNO O produto escalar apresenta algumas propriedades COMUTATIVA MULTIPLICAÇÃO POR REAL DISTRIBUTIVA 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑘 𝑢 𝑣 𝑘 𝑢 𝑣 𝑢 𝑘 𝑣 onde k é real 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤 IMPORTANTE Repare que 𝑢 𝑢 𝑥𝑢 𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑦𝑢 𝑥𝑢 2 𝑦𝑢 2 𝑢 2 Assim 𝑢 𝑥𝑢 2 𝑦𝑢 2 𝑢 𝑢 EXEMPLO 1 Dados os vetores 𝑢2 2 e 𝑣 1 3 determine o produto escalar entre os vetores 3 𝑢 e 𝑣 SOLUÇÃO 3 𝑢 𝑣 31 𝑢 𝑣 32 1 23 32 6 12 PRODUTO VETORIAL OU PRODUTO EXTERNO Sejam os vetores 𝑢𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 e 𝑢𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 do R3 Considere que o ângulo entre 𝑢 e 𝑣 vale 𝛼 Definese o produto vetorial entre 𝑢 e 𝑣 com notação 𝑢 X 𝑣 tal que 𝑢 x 𝑣 𝑢 𝑣 𝑠𝑒𝑛 direção 𝑢 X 𝑣 ortogonal a 𝑢 e a 𝑣 sentido regra da mão direita COMO O NOME INFORMA O RESULTADO DO PRODUTO VETORIAL É UM VETOR QUE TEM DIREÇÃO PERPENDICULAR AOS DOIS VETORES INICIAIS SENDO PORTANTO UM VETOR PERPENDICULAR AO PLANO FORMADO PELOS VETORES 𝑢 E 𝑣 FonteShutterStock A regra da mão direita permite identificarmos o sentido do vetor 𝑢 x 𝑣 FonteShutterStock Na regra da mão direita o dedo indicador fica na direçãosentido do primeiro vetor do produto e o dedo médio do segundo vetor Assim 𝑣 x 𝑢 será apontado para baixo diferente de 𝑢 x 𝑣 O produto vetorial de forma diferente do produto escalar só é definido para o R3 IMPORTANTE O vetor 𝑢 x 𝑣 𝑣 x 𝑢 Eles terão mesmo módulo e mesma direção mas pela regra da mão direita mudando a ordem de 𝑢 e 𝑣 terão sentidos contrários O produto vetorial apresenta algumas propriedades a Multiplicação por real k 𝑢 x 𝑣 k 𝑢 x 𝑣 𝑢 x k 𝑣 onde k é real b Distributiva pelo produto vetorial 𝑢 x 𝑣 𝑤 𝑢 x 𝑣 𝑢 x 𝑤 c Se 𝑣 𝑘 𝑢 isto é se 𝑣 é paralelo a 𝑢 𝑢 x 𝑣 0 d 𝑢 x 𝑢 0 e 𝑢 x 𝑣 𝑢 x 𝑣 Seja 𝑤 𝑢 x 𝑣 ao se resolver analiticamente a busca do vetor 𝑤 que atende às definições de produto vetorial obtêmse que 𝑥𝑤 𝑦𝑢 𝑧𝑣 𝑧𝑢 𝑦𝑣 𝑦𝑤 𝑧𝑢 𝑥𝑣 𝑥𝑢 𝑧𝑣 𝑧𝑤 𝑥𝑢 𝑦𝑣 𝑦𝑢 𝑥𝑣 DICA O sistema acima pode ser representado pelo cálculo de um determinante 𝑢 x 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 𝑥𝑣 𝑦𝑣 𝑧𝑣 EXEMPLO 1 Determine o vetor 𝑢 x 𝑣 sabendo que 𝑢 1 2 1 e 𝑣 0 1 2 SOLUÇÃO Você pode aplicar diretamente as equações mas fazendo através do determinante fica mais prático 𝑢 x 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 121 012 2 2 𝑥 0 1 𝑦 11 𝑧 1 1 𝑥 1 2 𝑦 02 𝑧 3 𝑥 2 𝑦 𝑧 3 2 1 PRODUTO MISTO Sejam os vetores 𝑢𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 𝑣 𝑥𝑣 𝑦𝑣 𝑧𝑣 𝑤 𝑥𝑤 𝑦𝑤 𝑧𝑤 do R3 O produto misto cuja notação é 𝑢 𝑣 𝑤 é definido através de uma combinação entre produto escalar e produto vetorial 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 x 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 x 𝑤 ATENÇÃO O produto misto só é definido no R3 e por ser o resultado de um produto escalar fornece como resultado um escalar Ao se resolver analiticamente o produto misto obtémse uma expressão que pode ser representada pelo cálculo do seguinte determinante 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 𝑥𝑣 𝑦𝑣 𝑧𝑣 𝑥𝑤 𝑦𝑤 𝑧𝑤 IMPORTANTE Se o produto misto é nulo quer dizer que um dos três vetores é combinação linear dos outros dois Em outras palavras os três vetores fazem parte de um mesmo plano no espaço Assim três vetores serão coplanares isto é pertencerão ao mesmo plano se e somente se 𝑢 𝑣 𝑤 0 O produto misto apresenta algumas propriedades a Multiplicação por real k 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 𝑘 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑘 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑘 𝑤 b 𝑢 𝑣 𝑤 𝑤 𝑢 𝑣 𝑣 𝑤 𝑢 c 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑤 𝑣 𝑣 𝑢 𝑤 𝑤 𝑣 𝑢 EXEMPLO 1 Dados os vetores 𝑢0 2 5 𝑣1 1 2 e 𝑤2 0 1 Determine o produto misto entre os vetores 𝑢 𝑣 e 𝑤 nesta ordem SOLUÇÃO 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 𝑥𝑣 𝑦𝑣 𝑧𝑣 𝑥𝑤 𝑦𝑤 𝑧𝑤 0 2 5 11 2 2 0 1 0 1 1 5 1 0 2 2 2 0 0 2 1 1 2 5 1 2 8 2 10 0 TEORIA NA PRÁTICA Três aeronaves que realizam um movimento retilíneo têm velocidades dadas pelos vetores 𝑢a 1 1 𝑣0 2 1 e 𝑤1 0 2 Elas desejam voar de tal forma que as direções de seus movimentos formem um plano Determine o valor de a real para que isso ocorra Clique no botão para ver as informações SOLUÇÃO No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão MÃO NA MASSA 1 SEJAM 𝑢1 2 3 E 𝑣2 2 4 DETERMINE O PRODUTO ESCALAR ENTRE 2 𝑢 E 3 𝑣 A 14 B 70 C 84 D 84 2 DETERMINE O MÓDULO DO VETOR 𝑢 𝑣 SABENDO QUE QUE 𝑢0 12 5 E 𝑣0 4 3 A 68 B 78 C 144 D 68 3 DETERMINE O VALOR DE 2 𝑢 X 4 𝑣 SENDO 𝑢1 1 0 E 𝑣2 2 1 A 8 8 32 B 8 8 32 C 24 24 32 D 8 12 32 4 DADOS OS VETORES 𝑢1 2 3 𝑣1 1 0 𝑒 𝑤2 1 1 DETERMINE O PRODUTO MISTO ENTRE OS VETORES 𝑢 𝑣 𝑒 𝑤 NESTA ORDEM A 2 B 4 C 2 D 4 5 SEJAM OS VETORES 𝑢𝑘 𝑘 𝑘 𝑣2 2 1 𝑒 𝑤2 1 2 DETERMINE O VALOR DE 𝑘 SABENDO QUE O PRODUTO MISTO 𝑢 𝑤 𝑣 VALE O PRODUTO ESCALAR 𝑢 𝑣 SOMADO A 6 A 3 4 B 3 C 3 D 1 2 6 SEJAM OS VETORES 𝑢1 2 1 E 𝑣2 1 1 SABESE QUE 𝑤 VALE DUAS VEZES O PRODUTO VETORIAL DE 𝑢 COM 𝑣 DETERMINE O MÓDULO DO VETOR 𝑤 A 11 B 211 C 213 D 13 GABARITO 1 Sejam 𝑢1 2 3 e 𝑣2 2 4 Determine o produto escalar entre 2 𝑢 e 3 𝑣 A alternativa D está correta Parabéns Você entendeu o conceito do produto escalar 2 𝑢 3 𝑣 2 3 𝑢 𝑣 6 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 12 2 2 3 4 2 4 12 14 Assim 2 𝑢 3 𝑣 𝑢 𝑣 6 14 84 2 Determine o módulo do vetor 𝑢 𝑣 sabendo que que 𝑢0 12 5 e 𝑣0 4 3 A alternativa A está correta Parabéns Você entendeu o conceito do produto escalar 𝑢 𝑣 0 012 4 5 3 08 2 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 00 88 2 2 64 4 68 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 68 3 Determine o valor de 2 𝑢 x 4 𝑣 Sendo 𝑢1 1 0 e 𝑣2 2 1 A alternativa A está correta Parabéns Você entendeu o conceito do produto vetorial 2 𝑢 x 4 𝑣 2 4 𝑢 x 𝑣 8 𝑢 x 𝑣 𝑢 x 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 𝑥𝑣 𝑦𝑣 𝑧𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 110 2 2 1 1 1 𝑥 20 𝑦 12 𝑧 02 𝑥 11 𝑦 2 1 𝑧 𝑥 𝑦 4 𝑧 8 𝑢 x 𝑣 8 1 8 1 9 4 8 8 32 4 Dados os vetores 𝑢1 2 3 𝑣1 1 0 𝑒 𝑤2 1 1 determine o produto misto entre os vetores 𝑢 𝑣 𝑒 𝑤 nesta ordem A alternativa C está correta No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão 5 Sejam os vetores 𝑢𝑘 𝑘 𝑘 𝑣2 2 1 𝑒 𝑤2 1 2 Determine o valor de 𝑘 sabendo que o produto misto 𝑢 𝑤 𝑣 vale o produto escalar 𝑢 𝑣 somado a 6 A alternativa B está correta 𝑢 𝑤 𝑣 𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 𝑥𝑤 𝑦𝑤 𝑧𝑤 𝑥𝑣 𝑦𝑣 𝑧𝑣 𝑘 𝑘 𝑘 212 2 2 1 𝑢 𝑣 𝑤 𝑘 1 1 22 𝑘 22 𝑘 12 𝑘 22 𝑘 2 1𝑘 3𝑘 𝑢 𝑣 𝑘 2 𝑘 2 𝑘 1 5𝑘 Assim 3𝑘 5𝑘 6 2 𝑘 6 𝑘 3 6 Sejam os vetores 𝑢1 2 1 e 𝑣2 1 1 Sabese que 𝑤 vale duas vezes o produto vetorial de 𝑢 com 𝑣 Determine o módulo do vetor 𝑤 A alternativa B está correta No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 SENDO 𝑢1 3 2 𝑣2 0 2 E 𝑤1 1 1 DETERMINE O PRODUTO ESCALAR ENTRE O VETOR 2 𝑢 𝑣 E O VETOR 𝑤 A 4 B 6 C 10 D 8 2 SENDO 𝑢𝑏 𝑎 1 E 𝑣2 0 2 DETERMINE O VALOR DE AB SABENDO QUE 𝑢 𝑣 2 4 2 A 2 B 4 C 2 D 4 GABARITO 1 Sendo 𝑢1 3 2 𝑣2 0 2 e 𝑤1 1 1 determine o produto escalar entre o vetor 2 𝑢 𝑣 e o vetor 𝑤 A alternativa D está correta Parabéns Você entendeu o conceito do produto escalar 2 𝑢 𝑣 𝑤 2 𝑢 𝑤 𝑣 𝑤 𝑢 𝑤 11 31 2 1 1 3 2 2 𝑣 𝑤 21 01 21 2 0 2 4 Assim 22 4 8 2 Sendo 𝑢𝑏 𝑎 1 e 𝑣2 0 2 determine o valor de ab sabendo que 𝑢 𝑣 2 4 2 A alternativa A está correta Parabéns Você entendeu o conceito do produto vetorial 𝑢𝑥 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥𝑢 𝑦𝑢 𝑧𝑢 𝑥𝑣 𝑦𝑣 𝑧𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 𝑏𝑎1 20 2 2 𝑎 𝑥 2 1 𝑦 0 𝑏 𝑧 0 1 𝑥 2 𝑏 𝑦 2 𝑎𝑧 2𝑎 𝑥 2 2𝑏 𝑦 2𝑎𝑧 2𝑎 2 2𝑏 2𝑎 2 4 2 Assim 2𝑎 2 𝑎 1 2 2 𝑏 4 2𝑏 6 𝑏 3 𝑒 2𝑎 2 𝑎 1 𝑎 𝑏 1 3 2 Aplicar o conceito do ângulo vetorial nas condições de paralelismo e ortogonalidade INTRODUÇÃO O CONHECIMENTO DO ÂNGULO FORMADO POR DOIS VETORES PODE TER ALGUMAS APLICAÇÕES PRÁTICAS POR EXEMPLO A VERIFICAÇÃO SE OS VETORES SÃO PARALELOS OU ORTOGONAIS Assim tornase necessária uma forma de obter o ângulo através das coordenadas vetoriais ÂNGULO ENTRE VETORES O ângulo entre dois vetores é aquele definido entre suas orientações positivas ou seja suas setas FonteAutor No módulo anterior aprendemos a usar a Lei de Cossenos então uma forma para obter o ângulo dos vetores é através desta solução 𝑢 𝑣 2 𝑢 2 𝑣 2 2 𝑢 𝑣𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑣 2 𝑢 2 𝑣 2 2 𝑢 𝑣 ou 𝑢 𝑣 2 𝑢 2 𝑣 2 2 𝑢 𝑣𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝑢 2 𝑣 2 𝑢 𝑣 2 2 𝑢 𝑣 No entanto existe uma forma mais simples para cálculo do ângulo entre vetores através do produto escalar Pode ser provado que 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣𝑐𝑜𝑠 Assim 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 Se conhecemos o ângulo entre dois vetores podemos verificar o sinal do produto escalar através da equação dada a Se 0 𝛼 900 se tem cos 𝛼 0 então 𝑢 𝑣 0 b Se 𝛼 900 se tem cos 𝛼 0 então 𝑢 𝑣 0 c Se 900 𝛼 1800 se tem cos 𝛼 0 então 𝑢 𝑣 0 EXEMPLO 1 Determine o cosseno do ângulo formado entre os vetores 𝑢2 2 e 𝑣1 3 SOLUÇÃO 𝑢 𝑣 2 1 23 2 6 4 𝑢 𝑢𝑧 2 𝑢𝑦 2 22 22 4 4 22 𝑣 𝑣𝑧 2 𝑣𝑦 2 12 32 1 9 10 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 4 22 10 2 20 2 25 5 5 PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO Uma aplicação direta do produto escalar versor e ângulo entre vetores é a determinação da projeção de um vetor sobre o outro Sejam dois vetores 𝑢 e 𝑣 que formam um ângulo α entre si A projeção de 𝑢 sobre 𝑣 será denominada de 𝑃𝑢𝑣 FonteAutor 𝑃𝑈𝑉 𝑢𝑐𝑜𝑠 𝑒 𝑃𝑈𝑉 𝑃𝑈𝑉 𝑣 Mas 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑢 𝑣 𝑢𝑣 𝑃𝑈𝑉 𝑢𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑣 𝑢 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑣 EXEMPLO 1 Determine a projeção do vetor 𝑢1 1 1 sobre o vetor 𝑣 3 0 4 SOLUÇÃO 𝑣 𝑣𝑧 2 𝑣𝑦 2 𝑣𝑧 2 32 02 42 9 16 25 5 𝑣 𝑣 𝑣 1 53 0 4 3 5 0 4 5 𝑢 𝑣 1 3 1 0 1 4 3 4 1 Assim 𝑃𝑈𝑉 𝑢 𝑣 𝑣𝑣 3 5 0 4 5 CONDIÇÃO DE PARALELISMOS E ORTOGONALIDADE A equação dada no item anterior nos permite conhecer o ângulo através do produto escalar assim 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 Desse modo se dois vetores 𝑢 e 𝑣 são ortogonais isto é com ângulo entre si de 90𝑜 então 𝑢 𝑣 0 sendo esta a condição de ortogonalidade Se dois vetores u e v sao paralelos entre si entao v ku com k real Como ja visto neste caso u x v 0 Sendo esta uma possivel condicao de paralelismo Outra opgao é que se v k u k real usando as propriedades basicas do vetor IMPORTANTE As condicées de ortogonalidade e paralelismo podem ser extrapoladas para a dimensdo do R Assim dois vetores em R serao ortogonais se seu produto interno for zero e serao paralelos se suas coordenadas forem proporcionais 1 Determine o valor de b para que os vetores 12 b 0 e vA 1 3 sejam ortogonais SOLUCGAO Uv21b103 2b Para serem ortogonais uv0 2b0b2 2 Determine o valor de a e b para que os vetores u2 b ae v1 1 3 sejam paralelos SOLUCGAO Se u e v sao paralelos entao XY 2 b Assim b2ea326 O trabalho de uma forga w medido em Joule J 6 um conceito de Fisica que mede o efeito de uma forga sobre um deslocamento logo w F d em que F é a forga aplicada ao objeto e d o vetor deslocamento feito pelo objeto Uma caixa de massa 2kg sofre o efeito de uma forcga F2 2 2N Com a aplicagao desta forcga a caixa se desloca do ponto A 1 0 2 até o ponto B 3 0 1 Determine o trabalho provocado por esta forga na caixa durante este deslocamento Clique no botao para ver as informacées SOLUCGAO No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão MÃO NA MASSA 1 DETERMINE O ÂNGULO FORMADO PELOS VETORES 𝑢 1 1 1 E 𝑣 1 2 1 2 0 A 𝑎𝑟𝑐cos3 2 B 𝑎𝑟𝑐cos2 2 C 𝑎𝑟𝑐cos6 3 D 𝑎𝑟𝑐cos2 3 2 DETERMINE K P PARA QUE OS VETORES 𝑢3 𝑘 𝑝 1 𝑒 𝑣1 2 2 SEJAM PARALELOS A 0 B 1 C 1 D 2 3 DETERMINE K PARA QUE OS VETORES 𝑢3 𝑘 𝑘 1 𝑒 𝑣1 2 1 SEJAM ORTOGONAIS A 0 B 1 C 1 D 2 4 DETERMINE O MÓDULO DA PROJEÇÃO DO VETOR 𝑢4 0 2 SOBRE O VETOR 𝑣2 1 1 A sqrt5 B sqrt3 C sqrt6 D sqrt8 5 DOIS VETORES 𝑘 𝑒 ℎ SÃO ORTOGONAIS ENTRE SI SABE QUE 𝑘2 1 2 E QUE 𝑘 ℎ VALE 5 DETERMINE O VALOR DA CONSTANTE A SABENDO QUE ℎ𝑎 0 𝑏 COM A E B REAIS A 23 B 2 C 22 D 3 6 O ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES 𝑢 𝑒 𝑣 VALE 45 O MÓDULO DO VETOR 𝑢 VALE 2 QUANTO VALE O PRODUTO ESCALAR ENTRE 𝑢 E O VERSOR DO VETOR 𝑣 A 2 B 1 C 0 D 1 GABARITO 1 Determine o ângulo formado pelos vetores 𝑢 1 1 1 e 𝑣 1 2 1 2 0 A alternativa C está correta No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão 2 Determine k p para que os vetores 𝑢3 𝑘 𝑝 1 𝑒 𝑣1 2 2 sejam paralelos A alternativa C está correta Se u e v são paralelos então 𝑥𝑣 𝑥𝑢 𝑦𝑣 𝑦𝑢 𝑧𝑣 𝑧𝑢 1 3 2 𝑘 2 𝑝 1 Assim 𝑘 2 3 6 𝑒 𝑝 1 2 3 6 𝑝 7 Então 𝑘 𝑝 6 7 1 3 Determine k para que os vetores 𝑢3 𝑘 𝑘 1 𝑒 𝑣1 2 1 sejam ortogonais A alternativa D está correta No vídeo a seguir o professor vai mostrar como solucionar essa questão 4 Determine o módulo da projeção do vetor 𝑢4 0 2 sobre o vetor 𝑣2 1 1 A alternativa C está correta Parabéns Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores Primeiramente precisamos calcular o módulo do vetor vecv sendo assim vecvsqrtvx2vy2vz2sqrt221212sqrt6 Agora vamos determinar o versor hatv hatvfracvecvvecvfrac211sqrt6leftfracsqrt63 fracsqrt66fracsqrt66right Feito isso agora precisamos do produto escalar entre os vetores vecu e vecv vecu cdot vecv4 cdot 20 cdot 12 cdot16 Agora que temos todas as informações podemos calcular a projeção de vecu sobre vecv da seguinte maneira Pvecu vecvvecu cdot vecv frachatvvecv6 cdot fracleftfracsqrt63 fracsqrt66 fracsqrt66rightsqrt6211 O módulo dessa projeção então tem valor de leftPvecu vecvrightsqrt221212sqrt6 5 Dois vetores 𝑘 𝑒 ℎ são ortogonais entre si Sabe que 𝑘2 1 2 e que 𝑘 ℎ vale 5 Determine o valor da constante a sabendo que ℎ𝑎 0 𝑏 com a e b reais A alternativa C está correta Parabéns Você entendeu o conceito de ortogonalidade entre os vetores Se os vetores são ortogonais então 𝑘 ℎ 0 Assim 2 𝑎 1 0 2 𝑏 0 2𝑎 2𝑏 0 𝑎 𝑏 𝑘 22 12 22 4 1 4 9 3 Se os vetores são ortogonais usando o teorema de Pitágoras ℎ 52 32 4 Fonte Autor Assim ℎ 𝑎2 02 𝑏2 4 𝑎2 𝑏2 16 𝑎2 𝑎2 16 𝑎2 8 𝑎 22 Se não fosse observado o triângulo retângulo poderia ser achado o vetor 𝑘 ℎ 2 𝑎 1 2 𝑏 Assim 𝑘 ℎ 2 𝑎2 1 2 𝑏2 5 2 𝑎2 1 2 𝑏2 25 2 𝑎2 2 𝑏2 24 2 𝑎2 2 𝑎2 24 4 4𝑎 𝑎2 4 4𝑎 𝑎2 24 8 2𝑎2 24 2𝑎2 16 𝑎 22 Dando o mesmo resultado 6 O ângulo entre dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 vale 45 O módulo do vetor 𝑢 vale 2 Quanto vale o produto escalar entre 𝑢 e o versor do vetor 𝑣 A alternativa B está correta Parabéns Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠 450 2 2 𝑢 𝑣 𝑣 2 2 2 1 Mas 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝑣 𝑣 1 VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 DETERMINE O COSSENO DO ÂNGULO FORMADO PELOS VETORES 𝑢1 3 2 E 𝑣2 0 2 A 7 14 B 7 14 C 3 14 D 37 14 2 DETERMINE O VALOR DA CONSTANTE K PARA QUE OS VETORES 𝑢1 𝑘 2 E 𝑣 1 1 1 SEJAM ORTOGONAIS A 0 B 1 C 2 D 3 GABARITO 1 Determine o cosseno do ângulo formado pelos vetores 𝑢1 3 2 e 𝑣2 0 2 A alternativa A está correta Parabéns Você entendeu o conceito de ângulo entre vetores 𝑢 𝑣 12 30 2 2 2 4 2 𝑢 𝑢𝑧 2 𝑢𝑦 2 𝑢𝑧 2 12 32 22 1 9 4 14 𝑣 𝑣𝑧 2 𝑣𝑦 2 𝑣𝑧 2 22 02 22 4 0 4 8 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 2 148 2 47 7 14 2 Determine o valor da constante k para que os vetores 𝑢1 𝑘 2 e 𝑣 1 1 1 sejam ortogonais A alternativa B está correta Parabéns Você entendeu a condição de ortogonalidade 𝑢 𝑣 11 𝑘 1 2 1 1 𝑘 2 𝑘 1 Para serem ortogonais 𝑢 𝑣 0 𝑘 1 0 𝑘 1 CONCLUSÃO AVALIAÇÃO DO TEMA CONTEUDISTA Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira CURRÍCULO LATTES REFERÊNCIAS ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 p 119180 APOSTOL T M Cálculo Volume 1 Espanha Editorial Reverte SA 1985 p 519536 HOFFMAN K KUNZE R Linear Algebra 2 ed Nova Jersey PrenticeHall 1971 p 2839 PEREIRA Paulo Cálculo é fácil Cálculo 1 aulas 2 a 15 In Equaciona com Paulo Pereira Youtube Publicado em 8 mar 2019 SANTOS R J Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear Belo Horizonte Imprensa Universitária da UFMJ 2012 p 132208 EXPLORE Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema pesquise na internet