Medidas de Dispersão em Estatística e Probabilidade

Estatística e Probabilidade Medidas de Dispersão Desenvolvimento do material Gregório Dalle Vedove Nosaki 1ª Edição Copyright 2021 Unigranrio Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Unigranrio Sumário Medidas de Dispersão Para início de conversa 3 Objetivos 3 1 Variância e Desvio Padrão 4 2 Coeficiente de variação 7 3 Desvio Médio 8 Referências 12 Para início de conversa Já trabalhamos com as medidas de posição de tendência central que de maneira geral tentavam descrever o comportamento dos valores de uma variável em uma amostra Vimos que nem sempre essa informação é suficiente para dar uma ideia de como os valores estão distribuídos Neste capítulo vamos trabalhar com as medidas de dispersão Essas medidas juntamente com as medidas de posição fornecem uma visão mais completa para uma análise rápida de um conjunto de dados Começaremos apresentando os conceitos de amplitude variância e desvio padrão Esses dois últimos são os mais utilizados em estudos estatísticos de banco de dados Veremos como as unidades de medidas estão relacionadas para essas duas medidas de dispersão Trabalharemos ainda com o coeficiente de variação e o desvio médio de uma coleção de valores e como interpretálos dentro da nossa amostra Todas as definições serão exemplificadas com exemplos numéricos e também com situaçõesproblemas comentadas para que fiquem mais claros todos os conceitos que serão introduzidos neste capítulo Objetivos Calcular e interpretar as medidas de dispersão amplitude total variância desvio padrão e coeficiente de variação Entender as propriedades da média e o desvio padrão Estatística e Probabilidade 3 1 Variância e Desvio Padrão Uma medida de tendência central pode não fornecer informações suficientes sobre o nosso conjunto de dados Veja por exemplo as seguintes listas de observáveis A 6 6 6 6 6 6 B 1 2 3 3 12 15 C 1 3 3 7 10 12 A média aritmética das três coleções de dados A B e C é igual a 6 mas apenas essa medida nos dá pouquíssima informação sobre o conjunto dos dados que estamos trabalhando Até mesmo a moda e a mediana não fornecem informações suficientes a moda e a mediana do conjunto A é igual a 6 a mediana e a moda do conjunto B é 3 e a moda do conjunto C também é 3 e a mediana é 6 Complementando as medidas de tendência central vamos apresentar as medidas de dispersão Definição chamamos de amplitude de um conjunto de dados a diferença entre o maior e o menor valor dos dados Ainda trabalhando com os conjuntos A B e C apresentados anteriormente a amplitude do conjunto A é igual a 0 a do conjunto B é igual a 14 e a do conjunto C é igual a 11 Baseado na amplitude já podemos ter uma noção melhor de como os valores do nosso conjunto estão distribuídos Apresentaremos agora de maneira intuitiva as duas principais medidas de dispersão a variância e o desvio padrão Considere o conjunto de dados B dado anteriormente ou seja estamos considerando os valores 1 2 3 3 12 15 Para determinarmos o grau de variação que os valores na nossa coleção têm em relação à média uma primeira abordagem seria subtrair a média de cada um desses valores Dessa forma obtemos 1 6 5 2 6 4 3 6 3 3 6 3 12 6 6 15 6 9 Estatística e Probabilidade 4 Esses valores podem ser interpretados como as distâncias entre os valores reais da amostra e o valor da média aritmética da coleção Tais valores serão chamados de desvios Note que ao realizarmos tal tipo de análise a soma dos desvios é igual a zero 5 4 3 3 6 9 0 Essa propriedade é sempre válida para qualquer que seja a coleção de observáveis Realize as verificações para os conjuntos A e C apresentados anteriormente Para que possamos ter uma visão mais objetiva e sem sinais negativos nos valores que obtivemos anteriormente elevamos ao quadrado todos os valores dos desvios obtidos anteriormente Dessa forma 1 62 52 25 2 62 42 16 3 62 32 9 3 62 32 9 12 62 62 36 15 62 92 81 A média da soma dos quadrados dos desvios é o que chamamos de variância No caso do conjunto B a variância é igual a Utilizaremos o sinal para denotar um arredondamento realizado entre os valores ou seja indica que um valor é aproximadamente igual a outro Vamos definir de maneira generalizada como obter a variância para uma coleção qualquer de valores Para as próximas definições considere um conjunto de dados com elementos dada como sendo Denotaremos por a média aritmética da coleção Definição dado um conjunto de dados a variância do conjunto é dada por O desvio padrão é igual à raiz quadrada de valor positivo da variância No caso do conjunto B vale que o desvio padrão é igual a Estatística e Probabilidade 5 Definição dado um conjunto de dados o desvio padrão do conjunto é dado por A unidade de medida do desvio padrão é igual à unidade de medida das variáveis enquanto que a unidade de medida da variância é igual à unidade de medida das variáveis ao quadrado Vejamos um exemplo dos cálculos dessas medidas de dispersão em um exemplo Exemplo 1 para a realização de uma mesma tarefa o tempo de realização de seis funcionários diferentes são apresentados na tabela a seguir Funcionário Tempo de realização min A 52 B 45 C 50 D 54 E 52 F 42 A primeira medida que devemos calcular é a média aritmética entre os valores apresentados Seja o tempo do funcionário A o tempo do funcionário B e assim por diante Denotando a média do tempo de realização desta tarefa por temos que A partir dessa medida de posição podemos determinar os desvios de cada um dos funcionários e proceder com o cálculo da variância e do desvio padrão Observe a tabela abaixo com os valores correspondentes aos desvios de cada funcionário e o quadrado dos desvios Funcionário Tempo de realização min A 52 2 4 B 45 5 25 C 50 0 0 D 54 4 16 E 52 2 4 F 42 8 64 Estatística e Probabilidade 6 A variância dos valores apresentados é igual à média dos valores da quarta coluna ou seja e portanto o desvio padrão é igual a Note que a unidade de medida da variância é min2 minutos ao quadrado e a unidade de medida do desvio padrão é min minutos Utilizamos geralmente o desvio padrão para estudar a dispersão de uma amostra pois ele é dado na mesma unidade de medida que as variáveis analisadas tornando essa comparação mais fácil e intuitiva É comum adicionar colunas como feito no exemplo anterior para representar os desvios e o quadrado dos desvios Dessa forma fica mais claro e evita erros de cálculo quando estamos trabalhando com uma amostra com muitos valores Em algumas bibliografias a variância e o desvio padrão são representados por e respectivamente Outra notação que é bastante comum é para a variância e para o desvio padrão Na notação apresentada anteriormente e fica claro sobre qual conjunto de valores estamos nos referindo mas caso não haja confusão as notação apresentadas aqui também podem ser utilizadas 2 Coeficiente de variação O coeficiente de variação de uma amostra é calculado baseado no desvio padrão dessa amostra com relação à média Apresentaremos aqui uma definição na qual o coeficiente de variação é dado em porcentagem para que fique mais simples a análise dos seus resultados Considere um conjunto de dados sendo a média aritmética entre os valores e o desvio padrão de Definição dado uma coleção definimos o coeficiente de variação como sendo Interpretaremos o coeficiente de variação segundo as faixas Estatística e Probabilidade 7 até 15 diremos que há uma baixa dispersão ou seja que os dados são mais homogêneos entre 15 e 30 diremos que a dispersão é moderada acima de 30 diremos que há uma alta dispersão ou seja os dados são mais heterogêneos Vamos calcular o coeficiente de dispersão para o Exemplo 1 Temos que o desvio padrão é igual a 434 e a média é igual a 50 portanto o coeficiente de variação é igual a Neste exemplo os dados têm uma baixa dispersão o que significa que eles tendem a ficar próximos ao valor da média No caso do conjunto de valores 1 2 3 3 12 15 temos que a média é igual a 6 e o desvio padrão é de aproximadamente 54157 e portanto o coeficiente de variação é igual a O conjunto de dados tem uma alta dispersão de valores em comparação com a média que neste caso é 6 O coeficiente de variação será sempre apresentado em porcentagem independentemente da unidade da variável que estaremos trabalhando Antes de apresentarmos mais exemplos com o cálculo dessa medida de dispersão iremos definir a última medida de dispersão a ser abordada neste capítulo 3 Desvio Médio A última medida de dispersão que trabalharemos é o desvio médio Considere novamente um conjunto de dados sendo a média aritmética entre os valores Definição dado uma coleção definimos o desvio médio como sendo Estatística e Probabilidade 8 No Exemplo 1 temos que o desvio médio é igual a No exemplo do conjunto B 1 2 3 3 12 15 o desvio médio é igual a O desvio padrão e o desvio médio são medidas de dispersão distintas mas podem ser interpretadas da mesma forma ou seja quanto maior o valor desses desvios mais variada será nossa base de dados considerada pois existe uma maior variação entre os valores com relação à média aritmética Vejamos mais alguns exemplos do cálculo das medidas de dispersão que foram apresentadas neste capítulo Exemplo 2 considere as médias finais de 10 alunos de uma sala nas disciplinas de Matemática Física e Química apresentadas na tabela a seguir Nome Matemática Física Química Márcio 85 9 8 Roberta 75 85 9 Felipe 6 7 7 Guilherme 55 6 9 Gustavo 9 85 8 Paula 95 7 85 Sabrina 8 8 8 Mônica 85 75 6 Fernando 7 8 75 Tiago 65 9 55 Vamos calcular a média aritmética de cada uma das disciplinas e depois as medidas de dispersão apresentadas neste capítulo Denotaremos as médias de Matemática Física e Química como e respectivamente Efetuando os cálculos obtemos que Estatística e Probabilidade 9 Efetuamos agora detalhadamente o cálculo das medidas de dispersão para a disciplina de Matemática Vamos construir uma tabela com o nome dos alunos suas médias finais em Matemática e adicionaremos duas colunas uma com a diferença entre a média do aluno e a média e outra coluna como essa diferença elevada ao quadrado Dessa forma obtemos a seguinte tabela Nome Matemática Márcio 85 09 081 Roberta 75 01 001 Felipe 6 16 256 Guilherme 55 21 441 Gustavo 9 14 196 Paula 95 19 361 Sabrina 8 04 016 Mônica 85 09 081 Fernando 7 06 036 Tiago 65 11 121 Considerando o conjunto de notas finais em Matemática como a variância desse conjunto é igual a e o desvio padrão é Podemos calcular ainda o coeficiente de variação e o desvio médio para as notas de Matemática O coeficiente de variação é e o desvio médio é Deixaremos como exercício o cálculo das medidas de dispersão para as notas finais das disciplinas de Física e Química Para que você possa comparar seus resultados finais apresentaremos os valores finais desses cálculos Denotaremos o conjunto de notas finais de Física por e o conjunto de notas finais de Química por Estatística e Probabilidade 10 Exemplo 3 considerando ainda a tabela de notas finais apresentada no Exemplo 2 vamos determinar qual aluno tem a maior e a menor variação entre as notas das três disciplinas apresentadas Para realizar essa análise vamos tomar como exemplo as notas do aluno Márcio Nome Matemática Física Química Márcio 85 9 8 Primeiramente devemos determinar a média entre as três disciplinas para Márcio Obtemos que a média de Márcio é A partir daí podemos calcular a variância e o desvio padrão de Márcio Seja a variação das notas de Márcio e o desvio padrão das notas de Márcio Obtemos que e Podemos também calcular o coeficiente de variação das notas de Márcio e o desvio médio como apresentado e Repetindo os cálculos para todos os alunos obtemos os resultados aproximados apresentados na tabela a seguir Nome Variação Desvio Padrão Coeficiente de Variação Desvio Médio Márcio 016 04 47 033 Roberta 039 0624 748 055 Felipe 022 047 707 044 Guilherme 239 1546 2261 144 Estatística e Probabilidade 11 Gustavo 016 04 47 033 Paula 105 1025 123 088 Sabrina 0 0 0 0 Mônica 105 1025 14 088 Fernando 016 04 544 033 Tiago 216 147 21 133 Analisando os valores da tabela podemos concluir que a aluna Sabrina tem a menor variação entre as notas das três disciplinas e o aluno Guilherme é o que apresenta maior variação entre as notas das disciplinas consideradas As medidas de dispersão nos fornecem informações importantes sobre a distribuição dos valores da nossa amostra Com base nessas medidas e nas medidas de posição introduzidas no capítulo anterior podemos ter uma visão mais completa dos nossos dados Trabalhamos inicialmente com os conceitos de amplitude de uma amostra variância e desvio padrão O desvio padrão e a variância têm fórmulas gerais muito similares e são as principais medidas de dispersão consideradas em estudos estatísticos Além dessas medidas introduzimos os conceitos de coeficiente de variação e desvio médio que também ajudam a estabelecer uma relação entre a distribuição dos valores das observáveis Apresentamos exemplos comentados e deixamos alguns exercícios com o cálculo dessas medidas para fixar suas definições e realizar o cálculo de cada uma delas Referências FONSECA J S MARTINS G A Curso de estatística 6 ed São Paulo Atlas 2012 MOORE D NOTZ W FLIGNER M A estatística básica e sua prática 7 ed Rio de Janeiro LTC 2017 MORETTIN P BUSSAB W Estatística básica 9 ed São Paulo Saraiva 2017 RIGONATTO M Coeficiente de variação Cálculo de coeficiente de variação Mundo Educação online Disponível em httpsmundoeducacaouol combrmatematicacoeficientevariacaohtm Acesso em 28 jun 2021 SPIEGEL M SCHILLIER J SRINIVASAN A Probabilidade e estatística 3 ed Porto Alegre Bookman 2013 TRIOLA M Introdução à estatística 12 ed Rio de Janeiro LTC 2017 VIEIRA S Fundamentos de estatística 6 ed São Paulo Atlas 2019 Estatística e Probabilidade 12