Fundamentos da Matemática

Lógica matemática 1 1 Prove que 9x225 y 30 e y x2 3 x y R Dica 3x 5 y2 0 mas não se esqueça de justificarmotivar údose essa identidade 2 Segundo a b números ímpares e c um número par Sem admitir nenhuma propriedade complicada para pares ou ímpares que nós seguem as definições dessas conceitos prove que a a b é um número par b a b c é um número ímpar c c a b é um número ímpar 3 Um número inteiro m é dito um múltiplo de um número inteiro d quando que m d q Prove rigorosamente que 74 é um múltiplo de 37 3 2 Prove que todo múltiplo de 6 é múltiplo de 3 3 Prove que todo número inteiro que seja múltiplo de 6 é múltiplo de 2 e de 3 4 Um número inteiro m é dito um quadrado de perfeito se existe m Z tais que m² m 7 Prove que 70 é uma quadrado perfeito mais duplo deste 6 Prove que o produto dos quadrados perfeitos e do multiplos deste sendo um quadrado perfeito um quadrado perfeito 5 Escreva a área de quadrado B C D E de duas formas diferentes para provar o teorema de Pitágoras Obs Não se preocupe em justificar que os elementos dos itens dos quadrados são da mesma figura e que cada figura etc e que aparece na figura ① 9x² 25y² 30xy x⁴ pode ser reescrito como 9x² 25y² 30xy x⁴ 0 3x 5y² x⁴ 0 como 3x 5y² 0 e x⁴ 0 então a inequação 9x² 25 y² 30xy x⁴ 0 é isso torna a inequação 9x² 25y² 30xy x⁴ verdadeira para xy Z Explicação 9x² 25y² 30xy 3x 5y² propriedade a b² a² 2ab b² temos que a² 9x² 2ab 30xy b² 25y² os únicos valores que satisfazem é se a 3x e b 5y e podemos afirmar portanto que 9x² 25y² 30xy 3x 5y² por isso nós o encontramos ali na inequação ② Admitindo apenas as definições a2k1 b2j1 números ímpares são definidos nessa forma c2n definição de um número par a cab é um número par utilizando apenas as definições acima teremos c a b 2n 2k 1 2j 1 2n 2k 1 2j 1 2n 2k 2j 2 n k j a definição de um número par c2n prova que 2 n k j vai resultar em um número par se n k j Z b a b c é um número par Utilizando apenas as definições a b c 2k 1 2j 1 2n 2k 2j 2n 2 2 k j n 1 a definição de um número par c 2n prova que 2 k j n 1 vai resultar em um número par se k j n 1 Z c c a b é um número ímpar utilizando apenas as definições c a b 2n 2k12j1 2n 4kj 2k 2j 1 2n 4kj 2k 2j 1 1 2n 4kj 2k 2j 1 2 n 2kj k j 1 a definição de um número ímpar é a 2k 1 e se n 2kj k j Z é provado que 2n 2kj k j 1 vai resultar em um número ímpar ③ a sendo que um número inteiro m é dito múltiplo de um número inteiro d quando q Z tal que n d q para que 74 seja múltiplo de 37 deve existir um número inteiro q tal que 74 37 q resolvendo teremos q 74 37 e q 2 e como o q encontrado é um número inteiro comprovamos que 74 é um múltiplo de 37 b números múltiplos de 6 tem a forma a 6 9 e que podem ser reescritos na forma n 3 2q que representa um múltiplo de 3 c Um número múltiplo de 2 e 3 tem a forma n 2 3 9 e é também representado com n 6 q que define um múltiplo de 6 4 a Sendo que n é um inteiro dito quadrado perfeito módulo sete quando 7 m k Z tal que m² n 7 k para que 70 seja um quadrado perfeito módulo sete deve existir m e k tal que m² 70 7 k onde é verdadeiro para m 0 e k 10 que são inteiros m² 70 7 k 0² 70 7 10 0 70 70 0 0 b Sejam a e b números quadrados módulo sete temos que m² a 7k n² b 7j ou a m² 7k b n² 7j o produto ab será m² 7kn² 7j m² n² 7m² j 7k n² 49k j mn² 7m² j k n² 7kj e isso satisfaz a definição de um número quadrado perfeito módulo sete já que mn é inteiro e m² j k n² 7 k j também é inteiro ⑤ Um dos lados do quadrado CB c e sua área pode ser descrita por c² que relaciona o teorema de Pitágoras c² a² b² Da mesma forma a área dos 4 triângulos retângulos o quadrado IHGF em que a área dos triângulos é ab2 e o quadrado IHGF tem área b a² Então 4 ab2 b a² A teremos A 2 a b b² 2 ab a² A b² a² e também é provado com c² a² b² sendo 4ab2 a soma das 4 áreas dos 4 triângulos e b a² a área do triângulo IHGF