Lista de Exercícios Resolvidos - Lógica Matemática e Teoria dos Conjuntos

2 Prove que um número inteiro z é múltiplo de 10 se e somente se z é simultaneamente múltiplo de 5 e múltiplo de 2 Lógica matemática ① 1 Sejam p q números inteiros Prove que se p é par ou q² é par então 3pq² é par Obs Nesta questão você não deverá assumir como previamente conhecida nenhuma propriedade dos números pares tudo aqui deverá ser deduzido estritamente a partir da definição de número par 2 Sejam A B C conjuntos Prove grosso modo que x AB C x A c menos B 3 Um elemento a b Z x Z e chamado quase primo se satisfaz 7a 22b 31b² a³ Prove que se a₁ b₁ a₂ b₂ são quase primos então a₁ a₂ b₁ b₂ é um quase primo 4 Um número inteiro z é dito múltiplo de outro número inteiro d quando existir um inteiro q tal que z q d a Prove rigorosamente que 70 é um múltiplo de 35 1 Sejam p q inteiros Prove que se p é par ou q² é par então 3pq² é par Prova Vamos partir da definição 339 Primeiramente suponha que p é par Então existe k Z tal que p 2k Logo 3pq² 32kq² 23kq² 2k com k 3kq² Z Portanto 3pq² é par pela definição Agora suponha que q² é par Então existe m Z de modo que q² 2m Daí 3pq² 3p2m 23pm 2m com m 3pm Z Logo 3pq² é par Obs Podemos provar um resultado melhor Se p é par ou q é par então 3pq² é par De fato se p é par segue como acima Caso q seja par existe m Z tal que q 2m A partir disso 3pq² 3p2m² 3p4m² 23p2m 26pm 2m m 6pm Z e 3pq² é par Obs Outra maneira de provar 1 é a seguinte Suponha que p é par Então 2p 2 divide p Então temos a propriedade que a Z 2ap ap é par Analogamente para o caso em que q² é par Mas a maneira mais usual é a apresentada no topo da página 2 Sejam ABC conjuntos Vamos provar que x AB C x A C B Prova Suponha AB C Seja x AB C Então x AB C x A x B x C x A x B x C x A x C x B x A x C x B x A C B Obs Na prática estamos provando que AB C A C B Inclusão de conjuntos Uma ilustração do que ocorre x A x C x B Explicações x AB é o mesmo que x A x B x A B é o mesmo que x A x B AB conjuntos quaisquer Sejam a1b1 a2b2 pares quasipi Provar que a1a2 b1b2 é quasipi Prova Vamos explorar a definição de quasipi ab Z X Z 7a22b b0 31b3 a3 ab 227 31 a3b3 Aqui podemos supor sem perda de generalidade ab0 pois se ab devem ter o mesmo sinal Note que a potência x3 preserva o sinal logo se a3b3 31 então ab3 31 ab ³31 Ou seja para que ab seja quasipi devemos ter ab 227 e ab ³31 Isto é ³31 ab 227 b0 b ³31 a 227 b Sejam a1b1 a2b2 quasipi Então b1³31 a1 227 b1 e b2³31 a2 227 b2 somando as desigualdades vale para a1a2 b1b2 b1³31 b2³31 b1b2³31 a1 a2 227 b1 227 b2 227 b1 b2 Portanto a1a2 b1b2 é quasipi Obs A definição de quasipi é uma forma de aproximar por números racionais ab o número pi Para isso devese ter as limitações de 227 superior e ³31 inferior sendo tais limitações boas aproximações de pi 4 a Vamos provar que 70 é um múltiplo de 35 Prova Queremos mostrar que existe q Z tal que 70 35q Tome q 2 Então 35270 o número desejado Logo 70 é um múltiplo de 35 Obs A demonstração acima está correta mas podemos apresentar uma mais formal sem necessidade Provaremos que existe q Z tal que 70 35q e desse modo 70 é um múltiplo de 35 Com efeito tomando em nota que 353570 e 3535352 temos 35270 Logo tomando q 2 Z 70 352 e assim 70 é um múltiplo de 35 b Vamos provar que z Z é múltiplo de 10 se e somente se z é simultaneamente múltiplo de 5 e de 2 Prova Suponha que z é múltiplo de 10 z Z Então existe q Z tal que z 10q Logo i z 10q 52q 5q q2q Z ii z 10q 25q 2q q5q Z A partir de i temos que z 5q ou seja z é múltiplo de 5 Em ii z 2q provando que z é múltiplo de 2 Suponha que z seja simultaneamente múltiplo de 2 e 5 Ou seja Existem q1 q2 Z de modo que z 5q1 z 2q2 Logo 5q1 2q2 Dessa igualdade temos pela definição de número par que 5q1 é um número par Note que 5 NÃO é um número par Vamos provar que q1 é par Ou seja vamos mostrar que k Z tal que q1 2k Suponha por absurdo que q1 seja ímpar ou seja q1 2p 1 para algum p Z Daí 2q2 5q1 52p 1 10p 5 e 10p 5 é ímpar soma de par e ímpar Então 2q2 10p 5 contradição par ímpar Ou seja q1 2k com k Z Logo z 5q1 52k 10k k Z Portanto z é múltiplo de 10