Lógica Matemática

1 Definição e Objetivo A definição dada nos diz que um número inteiro n é par se existe um número inteiro q tal que n 2q Nosso objetivo é provar que 16 é um número par ou seja mostrar que existe algum inteiro q tal que 16 2q Passo a Passo 1 Identificação de n e da equação n 16 Precisamos encontrar q tal que 16 2q 2 Isolando q Podemos isolar q na equação 16 2q Dividindo ambos os lados da equação por 2 q 16 2 3 Cálculo de q Fazendo a divisão q 8 4 Conclusão Como q 8 é um número inteiro e satisfaz a equação 16 2q podemos afirmar que 16 é de fato um número par 2 Definição e Objetivo Queremos provar que a diferença entre dois números pares é sempre um número par 1 Passo a Passo 1 Definição de números pares Seja a um número par Então por definição existe um inteiro q1 tal que a 2q1 Seja b um outro número par Então por definição existe um inteiro q2 tal que b 2q2 2 Diferença entre os números pares A diferença entre a e b é a b 2q1 2q2 3 Fatoração Podemos fatorar o lado direito da equação a b 2q1 q2 4 Conclusão Como q1 q2 é um número inteiro pois a subtração de inteiros é um inteiro podemos afirmar que a b é da forma 2 inteiro o que prova que a b é um número par 3 Definição e Objetivo Precisamos provar que o produto de um número par por qualquer número inteiro é sempre um número par 2 Passo a Passo 1 Definição de número par Seja n um número par Então por definição existe um inteiro q tal que n 2q 2 Multiplicação de n por um número inteiro Seja m qualquer número inteiro Consideramos o produto n m n m 2q m 3 Reorganização do produto Podemos reescrever o produto como n m 2 q m 4 Conclusão Como q m é um número inteiro pois a multiplicação de inteiros é um inteiro o produto n m é da forma 2 inteiro o que prova que n m é um número par 4 Definição e Objetivo Precisamos provar que o produto de dois números pares é sempre um número par Passo a Passo 1 Definição de números pares Seja a um número par Então por definição existe um inteiro q1 tal que a 2q1 3 Seja b um outro número par Então por definição existe um inteiro q2 tal que b 2q2 2 Multiplicação de a e b O produto de a e b é a b 2q1 2q2 3 Reorganização do produto Podemos reescrever o produto como a b 4 q1 q2 E podemos escrever 4 como 2 2 a b 2 2 q1 q2 4 Conclusão Como 2 q1 q2 é um número inteiro pois a multiplicação de inteiros é um inteiro o produto a b é da forma 2 inteiro o que prova que a b é um número par A dica mencionada na questão sugere que como no exercício anterior já foi provado que o produto de um número par por qualquer inteiro é par este resultado segue diretamente pois b também é um número par e portanto um caso particular 5 Primeira Forma Usando a Definição de Par 1 Definição de número par Seja m um número par Então por definição existe um inteiro q tal que m 2q 4 2 Negação de m Consideramos agora o número m m 2q 3 Reescrevendo m Podemos escrever 2q como 2 q onde q é claramente um número inteiro pois a negação de um inteiro é um inteiro m 2q 4 Conclusão da primeira forma Como q é um número inteiro podemos afirmar que m é da forma 2 inteiro o que prova que m é um número par Segunda Forma Usando o Exercício 3 1 Observação sobre m Note que m pode ser escrito como m 1 2 Aplicação do Exercício 3 No exercício 3 provamos que o produto de um número par por qualquer número inteiro é par Como m é par e 1 é um inteiro o produto m 1 m também é par 3 Conclusão da segunda forma Usando o resultado anterior podemos concluir que m é um nú mero par 5 6 Primeira Forma Usando a Definição de Par 1 Definição de número par Seja n um número par Então por definição existe um inteiro q tal que n 2q 2 Quadrado de n O quadrado de n é dado por n2 2q2 3 Expansão do quadrado Expansão do quadrado de n n2 4q2 4 Reescrevendo n2 Podemos escrever 4q2 como 2 2q2 onde 2q2 é um número inteiro n2 2 2q2 5 Conclusão da primeira forma Como 2q2 é um número inteiro n2 é da forma 2 inteiro o que prova que n2 é um número par Segunda Forma Baseada no Resultado do Exercício 4 1 Observação sobre o quadrado de n Note que n2 n n 2 Aplicação do Exercício 4 6 No exercício 4 provamos que o produto de dois números pares é par Como n é par n n n2 também é par 3 Conclusão da segunda forma Usando o resultado do exercício 4 podemos concluir que n2 é um número par 7 Definição e Objetivo Precisamos provar que 1 é um número ímpar Pela definição um número inteiro n é ímpar se ele pode ser escrito na forma n 2q 1 onde q é um número inteiro Passo a Passo 1 Definição de número ímpar Um número n é ímpar se existe um inteiro q tal que n 2q 1 2 Aplicando a definição para n 1 Considerando n 1 queremos mostrar que podemos encontrar um q inteiro que satisfaça 1 2q 1 3 Isolando q Subtraindo 1 de ambos os lados 0 2q Dividindo ambos os lados por 2 q 0 7 4 Verificação Com q 0 substituímos na definição 1 20 1 0 1 1 Como q 0 é um número inteiro isso mostra que 1 pode ser escrito como 2q 1 onde q é inteiro 5 Conclusão Portanto 1 é um número ímpar 8 Definição e Objetivo Precisamos provar que a diferença entre um número ímpar e um número par é sempre um número ímpar Passo a Passo 1 Definição de número ímpar Um número m é ímpar se ele pode ser escrito na forma m 2q1 1 onde q1 é um número inteiro 2 Definição de número par Um número n é par se ele pode ser escrito na forma n 2q2 onde q2 é um número inteiro 3 Diferença entre m e n Consideramos agora a diferença entre m e n 8 m n 2q1 1 2q2 4 Simplificação Simplificando a expressão m n 2q1 1 2q2 2q1 q2 1 5 Conclusão Como q1 q2 é um número inteiro a expressão m n está na forma 2inteiro 1 que é a definição de um número ímpar Portanto a diferença entre um número ímpar e um número par é sempre ímpar 9 Definição e Objetivo Precisamos provar que a soma entre dois números ímpares é sempre um número par Passo a Passo 1 Definição de números ímpares Seja m um número ímpar Então por definição existe um inteiro q1 tal que m 2q1 1 Seja n um outro número ímpar Então por definição existe um inteiro q2 tal que n 2q2 1 2 Soma de m e n A soma de m e n é m n 2q1 1 2q2 1 9 3 Simplificação Simplificando a expressão m n 2q1 2q2 2 2q1 q2 1 4 Conclusão Como q1 q2 1 é um número inteiro a expressão m n está na forma 2 inteiro que é a definição de um número par Portanto a soma entre dois números ímpares é sempre par 10 Definição e Objetivo Precisamos provar que o produto de dois números ímpares é sempre um número ímpar Passo a Passo 1 Definição de números ímpares Seja m um número ímpar Então por definição existe um inteiro q1 tal que m 2q1 1 Seja n um outro número ímpar Então por definição existe um inteiro q2 tal que n 2q2 1 2 Produto de m e n O produto de m e n é m n 2q1 1 2q2 1 3 Expansão do produto Expansão do produto 10 m n 2q1 2q2 2q1 2q2 1 Simplificando m n 4q1q2 2q1 2q2 1 Reescrevendo em termos de um inteiro m n 22q1q2 q1 q2 1 4 Conclusão Como 2q1q2 q1 q2 é um número inteiro m n está na forma 2 inteiro 1 que é a definição de um número ímpar Portanto o produto de dois números ímpares é sempre ímpar 11