Lista de Exercícios Resolvidos - Demonstrações e Desigualdades em Análise Real

1ª Questão Prove que 1 1 1 1 n n x x x x para todo 1 x e nN 2ª Questão Seja f R R dada por 2 f x ax bx c a 0 a Verifique que 2 2 4 b f x a x a a onde 2 4 b ac b Mostre que se a 0 então o menor valor de f x ocorre quando 2 b x a c Mostre que se a 0 então o maior valor de f x é 2 4 b f a a 3ª Questão Prove que x y x y para quaisquer x yR 4ª Questão Prove que a b a b 5ª Questão Prove que a Para quaisquer a b reais nãonegativos vale 2 a b ab com a igualdade ocorrendo se e só se a b b a 0 b 0 e c 0 8 a b a c b c abc c 4 4 4 a b c abc a b c para quaisquer a b c reais d 8 8 8 3 3 3 1 1 1 0 a b c a b c a b c a b c 6ª Questão Sejam a racional diferente de zero e x irracional Prove que ax e a x são irracionais Dê exemplo de dois irracionais x y tais que x y e xy são racionais 7ª Questão Seja 0 1 n n f x a a x a x um polinômio com coeficientes inteiros a Se um número racional p q com p e q primos entre si é tal que 0 p f q prove que p divide 0a e q divide na b Conclua que quando 1 na as raízes de f são inteiras ou irracionais c Use o resultado geral para provar que n p é irracional para todo número primo p e todo natural n d Prove que 3 2 2 é irracional 8ª Questão Sejam A B conjuntos nãovazios de números reais tais que x A e y B x y Prove que sup inf A B Prove que sup inf A B se e somente se para todo 0 dado podemse obter x A e y B tais que y x 9ª Questão Dado A R nãovazio limitado inferiormente seja A x x A Prove que A é limitado superiormente e que sup inf A A 10ª Questão Sejam B A conjuntos nãovazios de números reais Suponha que A seja limitado superiormente e que para cada x A exista um y B tal que x y Prove que nestas condições temse sup sup B A 2 Seja f ℝ ℝ dada por fx ax² bx c a 0 a Verifique que fx a x b2a ² Δ4a onde Δ b² 4ac b Mostre que se a 0 então o menor valor de fx ocorre quando x b2a c Mostre que se a 0 então o maior valor de fx é f b2a Δ4a RESOLUÇÃO a Vamos começar por por a em evidência fx ax² bx c a x² ba x ca A seguir vamos rearranjar a expressão da função de forma a obter um trinômio quadrado perfeito lembrando que expressões nesse formato são do tipo x k² x² 2kx k² Na expressão da função já temos o x² O nosso coeficiente de x é ba ou 2b2a fx a x² 2 b2a x ca Como terceiro termo precisamos de b2a² fx a x² 2 b2a x b2a ² b2a ² ca Até o sinal negativo já temos um trinômio quadrado perfeito bastanos fatorar e rearranjar os termos restantes fx a x² 2 b2a x b2a ² a b2a ² ca fx a x b2a ² a b²4a² ca Agora podemos multiplicar o a na segunda parte fx a x b2a ² b²4a c Somando temos fx a x b2a ² b²4a 4ac4a a x b2a ² b² 4ac 4a Vamos definir Δ b² 4ac fx a x b2a ² Δ4a fx a x b2a ² Δ4a Δ b² 4ac b Se a 0 temos que a primeira parte da expressão da função obtida em a é não negativa visto que o quadrado de qualquer número real é não negativo e seu menor valor é 0 Como o restante da expressão da função não depende de x o menor valor da função ocorre que o quadrado se anula a x b2a ² 0 x b2a 0 x b2a c De forma análoga ao item anterior para a 0 o maior valor que o primeiro termo pode assumir é 0 visto que um valor negativo multiplicado por um não negativo resulta em um valor não positivo fx a x b2a ² Δ4a 0 Δ4a fx Δ4a 5 Prove que a Para quaisquer a b reais nãonegativos vale ab a b2 com a igualdade ocorrendo se e somente se a b b a 0 b 0 c 0 a ba cb c 8abc c a4 b4 c4 abca b c para quaisquer a b c reais d a b c 0 1a 1b 1c a8 b8 c8a3b3c3 RESOLUÇÃO a Lembrando que o quadro de qualquer número real é não negativo temos a b2 0 Elevando ao quadrado temos a2 2ab b22 0 a 2ab b 0 Rearranjando a b 2ab ab a b2 cqp O caso em que são iguais seria quando a expressão inicial é nula a b2 0 a b a b b Temos que provar que a ba cb c 8abc Para tal vamos usar o resultado do item anterior ab a b2 a b 2ab Aplicando para cada par de constantes temos a ba cb c 2ab2ac2bc Rearranjando temos a ba cb c 8abacbc a ba cb c 8abacbc a ba cb c 8abc cqp c Do item a temos que a b 2ab Fazendo a a4 e b b4 temos a4 b4 2a2b2 4 Prove que a b ε a b ε RESOLUÇÃO Sabemos que 0 a b ε ε 0 Para o caso b a temos visto que ε 0 de forma direta que a b b ε Vamos para o caso mais complexo em que a b Do exercício anterior a b a b Juntando a expressão dada com essa temos a b a b ε Mas estamos assumindo que a b a b a b a b a b ε Podemos tirar a expressão central e deixar apenas as extremas a b ε a b ε cqp 5 3 Prove que x y x y para quaisquer x y R RESOLUÇÃO Por definição o módulo de um número é sempre maior ou igual a ele visto que é o próprio número caso ele seja positivo ou o oposto dele caso ele seja negativo x x x R Tomemos então dois números reais x e y x x y y De forma análoga isso também é valido para o produto deles xy xy Multiplicando por 2 lembrando de inverter o sinal de comparação temos 2xy 2xy Adicionando as somas dos quadrados dos dois números em ambos os lados lembrando que x2 x2 para qualquer x R temos x2 2xy y2 x2 2xy y2 Temos dois trinômios quadrados perfeitos Fatorando temos x y2 x y2 Por serem quadrados ambos são positivos mas suas raízes não necessariamente Podemos garantir o sinal positivo do resultado se usarmos seu módulo que na verdade é a definição de raiz quadrada x y x y cqp De forma análoga a4 c4 2a2c2 b4 c4 2b2c2 Somando as três expressões temos 2a4 2b4 2c4 2a2b2 2a2c2 2b2c2 Dividindo por 2 temos a4 b4 c4 a2b2 a2c2 b2c2 Voltando para a expressão inicial a b 2 ab Fazendo a a2b2 e b b2c2 temos a2b2 b2c2 2ab2c De forma análoga b2c2 c2a2 2abc2 c2a2 a2b2 2a2bc Somando as três expressões temos 2a2b2 2b2c2 2c2a2 2a2bc 2ab2c 2abc2 Dividindo por 2 temos a2b2 b2c2 c2a2 a2bc ab2c abc2 abc a b c Substituindo na outra desigualdade já obtida temos a4 b4 c4 a2b2 a2c2 b2c2 abc a b c Portanto a4 b4 c4 abc a b c cqp d Do item a temos que a b 2 ab Fazendo a a8 e b b8 temos a8 b8 2a4b4 De forma análoga a8 c8 2a4c4 b8 c8 2b4c4 Somando as três expressões temos 7 2a8 2b8 2c8 2a4b4 2a4c4 2b4c4 Dividindo por 2 temos a8 b8 c8 a4b4 a4c4 b4c4 Usando a forma geral da desigualdade entre médias para 4 valores isto é a b c d 4abcd E fazendo a a8 b b8 c a4b4 e d c8 temos a8 b8 a4b4 c8 4a8b8a4b4c8 4a3b3c2 De forma análoga temos b8 c8 b4c4 a8 4a2b3c3 c8 a8 c4a4 b8 4a3b2c3 Somando as três expressões temos 3a8 3b8 3c8 a4b4 b4c4 c4a4 4a3b3c2 4a2b3c3 4a3b2c3 Rearranjando temos 3a8 b8 c8 a4b4 b4c4 c4a4 4a2b2c2ab bc ac Como já vimos a8b8c8 a4b4a4c4b4c4 4a8 b8 c8 3a8 b8 c8a8 b8 c8 3a8 b8 c8a4b4 a4c4 b4c4 Juntando com a anterior temos 4a8 b8 c8 3a8 b8 c8 a4b4 b4c4 c4a4 4a2b2c2ab bc ac Ficando somente com as expressões extremas temos 4a8 b8 c8 4a2b2c2ab bc ac Dividindo por 4a3b3c3 temos a8 b8 c8a3b3c3 ab bc acabc 1a 1b 1c Ou 1a 1b 1c a8 b8 c8a3b3c3 cqp 6 Sejam a racional diferente de zero e x irracional Prove que ax e a x são irracionais Dê exemplos de dois irracionais x y tais que x y e xy são racionais RESOLUÇÃO Vamos considerar a pq com p p Z Vamos provar por absurdo em ambos os casos Primeiro vamos assumir que ax seja racional de forma que possa ser escrito como uma razão entre dois números inteiros ax rs com r s Z Mas a é um dos fatores desse número ax rs pq qrps a qrps Mas disso chegamos a um absurdo visto que x é irracional e portanto não pode ser escrito como uma razão de dois números inteiros x qrps Provamos portanto que ax é irracional Da mesma forma vamos provar que a x é irracional Vamos assumir que a x seja racional de forma que possa ser escrito como uma razão entre dois números inteiros a x rs com r s Z Mas a é um dos termos desse número a x rs pq rs pq pq rq psqs a rq psqs Mas disso chegamos a um absurdo visto que x é irracional e portanto não pode ser escrito como uma razão de dois números inteiros x rq psqs Provamos portanto que a x é irracional Precisamos agora de um par de números irracionais cuja soma e o produto sejam racionais A forma mais simples de fazer com que a soma de dois números irracionais seja um número racional é fazer com que o resultado seja nulo x y 0 x y Para o produto temos agora xy yy y² Então basta que tomemos o produto como um número negativo cujo seu oposto seja um número inteiro cuja raiz seja irracional por exemplo xy y² 2 y² 2 y 2 Temos então um exemplo de dois números racionais tais que seu produto e sua soma sejam racionais x 2 y 2 x y 2 2 0 xy 2 2 2 7 Seja fx a₀ a₁x aₙxⁿ um polinômio com coeficientes inteiros a Se um número racional pq com p e q primos entre si é tal que fpq 0 prove que p divide a₀ e q divide aₙ b Conclua que quando aₙ 1 as raízes de f são inteiras ou irracionais c Use o resultado geral para provar que ⁿp é irracional para todo número primo p e todo natural n d Prove que 2 ³2 é irracional RESOLUÇÃO a Vamos começar por substituir a fração na função fpq 0 a₀ a₁ pq aₙ pqⁿ 0 Multiplicando por qⁿ temos a₀qⁿ a₁pqⁿ¹ aₙpⁿ 0 Rearranjando temos p a₁qⁿ¹ aₙpⁿ¹ a₀qⁿ a₁qⁿ¹ aₙpⁿ¹ a₀qⁿp O lado esquerdo é uma soma de números inteiros logo um número interio de forma que o lado direito também tem que ser inteiro mas p e q são primos entre si de forma que qⁿ não é divisível por p logo a₀ tem necessariamente que o ser Provamos então que p divide a₀ Vamos refazer o rearranjo da expressão agora deixando q em evidência q a₀qⁿ¹ a₁pqⁿ² aₙ₁pⁿ¹ aₙpⁿ a₀qⁿ¹ a₁pqⁿ² aₙ₁pⁿ¹ aₙpⁿq O lado esquerdo é uma soma de números inteiros logo um número inteiro de forma que o lado direito também tem que ser inteiro mas p e q são primos entre si de forma que pⁿ não é divisível por q logo aₙ tem necessariamente que o ser Provamos então que q divide aₙ b Assumimos inicialmente que a raiz é no formato x pq com p e q inteiros e primos entre si e provamos que q divide aₙ dessa forma se aₙ 1 q tem necessariamente que ser 1 ou 1 de forma que x p1 p Z A outra possibilidade é que a raiz não possa ser escrita na forma x pq com p e q inteiros e primos entre si ou seja que a raiz seja um número irracional c Sabemos que ⁿp é raiz do seguinte polinômio fx p xⁿ ou seja a₀ p e aₙ 1 mas acabamos de concluir que quando aₙ 1 a raiz é inteira ou irracional mas não pode ser inteira pois se fosse p deveria ter n fatores iguais entre si mas como p é primo ele tem apenas ele mesmo com multiplicidade 1 como fator logo podemos concluir que ⁿp é irracional para todo p primo e n natural d Façamos x 2 ³2 x 2 ³2 Elevando ao cubo temos x 2³ 2 x³ 32x² 32x 2³ 2 x³ 32x² 6x 2³ 2 Rearranjando temos x³ 6x 2 32x² 2³ x³ 6x 2 2 3x² 2 Elevando ao quadrado temos x³ 6x 2² 2 3x² 2² x⁶ 36x² 4 12x⁴ 4x³ 24x 2 9x⁴ 12x² 4 x⁶ 12x⁴ 4x³ 36x² 24x 4 18x⁴ 24x² 8 x⁶ 6x⁴ 4x³ 12x² 24x 4 0 Temos o polinômio de coeficientes inteiros cuja raiz é x 2 ³2 Veja que aₙ a₆ 1 logo o valor dado pode ser inteiro ou irracional mas provamos no item anterior que raízes de números primos não são inteiras Além disso por a₀ 4 as únicas possibilidades de raízes inteiras seriam os divisores de 4 que são 4 2 1 Vamos substituílos no polinômio e ver o que obtemos x 4 4⁶ 6 4⁴ 4 4³ 12 4² 24 4 4 4096 1536 256 192 96 4 4096 1536 256 192 96 4 0 x 2 2⁶ 6 2⁴ 4 2³ 12 2² 24 2 4 64 96 32 48 48 4 0 x 1 1⁶ 6 1⁴ 4 1³ 12 1² 24 1 4 1 6 4 12 24 4 0 Logo x 2 ³2 é necessariamente um número irracional 8 Sejam A B conjuntos nãovazios de números reais tais que x A e y B x y Prove que sup A inf B Prove que sup A inf B se e somente se para todo ε 0 dado podemse obter x A e y B tais que y x ε RESOLUÇÃO Sabemos que para qualquer par x y com x A e y B x y sup A é definido como o maior elemento de A e inf B como o menor elemento de B mas independente de qualquer coisa um elemento de A é necessariamente menor ou igual a um elemento de B logo temos que particularmente sup A inf B como queríamos provar Os elementos mais próximos entre si estando x em A e y em B são x sup A e y inf B então o par cuja diferença é mínima é justamente esse de forma que podemos tratálo como o par que vamos analisar Se ele forem iguais entre si com certeza y x ε ε 0 Para a volta vamos considerar o limite da diferença L lim ε0 y x No limite em que ε 0 temos justamente que x sup A inf B y Logo provamos que sup A inf B se e somente se para todo ε 0 dado podemse obter x A e y B tais que y x ε como pedido 12 9 Dado A R nãovazio limitado inferiormente seja A x x A Prove que A é limitado superiormente e que sup A inf A RESOLUÇÃO Tomemos A ordenado em ordem crescente de forma que o primeiro elemento é inf A e o último elemento é sup A Note que ao tomarmos o oposto de cada um desses elementos conjunto A estamos tomando o oposto da sequência original de forma que a mesma se torna decrescente ou seja o primeiro elemento se torna o limite superior do conjunto obtido sup A e o último elemento se torna o limite inferior do mesmo inf A Mas o primeiro elemento nada mais é que o oposto de inf A Logo provamos que sup A inf A cqp 13 10 Sejam B A conjuntos nãovazios de números reais Suponha que A seja limitado superiormente e que para cada x A exista um y B tal que x y Prove que nessas condições temse sup A sup B RESOLUÇÃO Para resolver esse exercício é importante notar que B é subconjunto de A Dessa forma todo elemento de B está necessariamente em A também Sabemos que para qualquer elemento x de A existe um elemento y de B tal que x y Tomemos particularmente x sup A Tem que existir um elemento y de B que seja maior ou igual a sup A mas se houver um elemento y sup A em B ele também tem que estar em A o que seria um absurdo visto que o maior elemento de A por definição é sup A dessa forma provamos que não existe nenhum elemento em y que seja maior que sup A Logo a única forma de a regra dada no enunciado ser válida é que o limite superior de B seja o próprio sup A sup A sup B cqp 14