Séries Numéricas-Convergência-e-Soma

1 Prove que para todo aR a série 2 2 2 2 2 2 1 1 a a a a a é convergente e calcule sua soma 2 Se 2 na e 2 nb convergem prove que n a bn converge 3 Prove que se 1 1 x então lim 0 n n n x m para todo mN 4 Calcule a soma da série 1 2 3 1 2 3 4 n n 5 Calcule a soma da série 1 1 4 14 4 k k k Questão 1 1 Prove que para todo a R a série a² a²1a² a²1a²² é convergente e calcule sua soma Resolução Primeiramente façamos a seguinte consideração x a apenas por ajuste de notação Com isso vamos ter a seguinte soma x² x²1x² x²1x²² Assumamos que a estrutura acima se repita caso isso aconteça é possível ver que o termo geral da série tem a forma an x²1 x²n1 e a série compactamente pode ser escrita como Σn1 x²1x²n1 podemos ajustar a série acima da seguinte forma Σn1 x²1x²n1 x² Σn1 11x²n1 Com isso posto vamos a algumas análises Primeiramente vamos avaliar o caso em que a x 0 nesse caso temos que a série acima é identicamente nula portanto convergente com soma igual a 0 Agora vamos supor que x 0 nesse caso temos o seguinte x 0 x² 0 x² 1 1 0 11x² 1 por outro lado se supormos que x 0 teremos que x 0 x² 0 x² 1 1 0 11x² 1 Logo em ambos os casos temos que o termo 11x² é um número entre zero e um De fato isso é significativamente importante pois a série x² Σn1 11x²n1 consiste numa PG infinita de razão 0 11x² 1 logo como a razão dessa PG é um número entre zero e um conforme mostrado anteriormente temos que essa série é convergente pelo teste critério da série geométrica Ademais por ser uma PG infinita com razão entre zero e um 1 temos que sua soma é conhecida portanto podemos calculála com efeito temos x² Σn1 11x²n1 x² Σn0 11x²n x² 11 11x² x² 1x²1x² x² 1 x²x² 1 x² que valse se x 0 Com isso temos na variável original a que a soma da série pode ser posta da seguinte forma a² a²1a² a²1a²² 0 se a0 1 a² se a 0 Questão 2 2 Se Σ an² e Σ bn² convergem prove que Σ an bn converge Resolução Tomemos os termos gerais an e bn associados a cada uma das séries De posse disso desenvolvamos o seguinte termo an bn² com efeito temos 0 an bn² an² 2anbn bn² an² 2anbn bn² an² 2an bn bn² e disso temos o seguinte desenvolvimento an² 2an bn bn² 0 2an bn an² bn² an bn 12 an² bn² 2 com isso obtemos a seguinte desigualdade an bn 12 an² bn² Agora note que a desigualdade acima foi obtida para n de forma arbitrária em verdade ela vale para todo n N Portanto podemos obtêla para todo n isto é a1 b1 12 a1² b1² a2 b2 12 a2² b2² a3 b3 12 a3² b3² ai bi 12 ai² bi² Então somando sobre todos os índices temos Σn1 an bn 12 Σn1 an² bn² Σn1 an bn 12 Σn1 an² 12 Σn1 bn² Com isso podemos estabelecer a convergência da série de termo geral anbn pois como temos a hipótese de que as séries de termos gerais an² e bn² são convergentes então pela desigualdade acima temos do teste da comparação que a série Σn1 an bn é convergente No entanto como a série Σn1 an bn é convergente segue que a série Σn1 an bn é absolutamente convergente e como toda série absolutamente convergente é convergente então temos que a série Σn1 an bn é convergente assim provando o desejado Questão 3 3 Prove que se 1 x 1 então limn n choose m xⁿ 0 para todo m N Resolução Primeiramente é interessante reescrevermos o limite desejado Com efeito temos que limn n choose m xⁿ limn n n m m xⁿ onde por definição do binômio de Newton devemos ter que m n Com isso temos ainda o seguinte desenvolvimento lim n n m xⁿ lim n n n m m xⁿ lim n nn 1n 2 n m 1n m n m m xⁿ lim n nn 1n 2 n m 1 m xⁿ lim n nᵐ aₘ₁nᵐ¹ aₘ₂nᵐ² aₘn m xⁿ lim n nᵐxⁿ aₘ₁nᵐ¹xⁿ aₘ₂nᵐ²xⁿ aₘnxⁿ m 1m lim n nᵐxⁿ lim n aₘ₁nᵐ¹xⁿ lim n aₘ₂nᵐ²xⁿ lim n aₗnxⁿ onde l n m 1 e cada aᵢ com i m 1 m 2 m 3 l são coeficientes que dependem de m que aparecem no cálculo dado ao desenvolvimento da propriedade distributiva De posse disso estamos prontos para provar o desejado No entanto antes disso provaremos que lim n xⁿ 0 Com efeito consideremos a 1x como 1 x 1 temos que x 1 ou seja x 1 1 1x a e temos então que a 1 Então vamos ao cálculo do limite lim n xⁿ lim n 1aⁿ lim n 1aⁿ 1 0 o sinal de aparece pois aⁿ pode ir tanto para infinito se for positivo isto é a 0 e para menos infinito se for negativo isto é a 0 Com isso em mãos provaremos agora que lim n nxⁿ 0 com efeito temos que lim n nxⁿ lim n n 1xⁿ lim n n 1xⁿ lim n ddn n ddn 1xⁿ lim n 1 n xⁿ¹ lim n xⁿ¹ n lim n xⁿ¹ lim n 1n 0 onde empregamos a regra de Lhospital Com isso provamos que os limites da forma lim n nxⁿ são todos nulos Evidentemente se o termo que acompanha xⁿ for menor do que n o resultado valerá continuamente De fato essa demonstração nos mostra que a exponencial tende a zero mais rapidamente que um monômio Portanto aplicando esse resultado a cada um dos termos de lim n n m xⁿ 1m lim n nᵐxⁿ lim n aₘ₁nᵐ¹xⁿ lim n aₘ₂nᵐ²xⁿ lim n aₗnxⁿ teremos que lim n n m xⁿ 1m 0 0 0 0 0 0 consequentemente teremos que lim n n m xⁿ 0 que prova o desejado Questão 4 4 Calcule a soma da série 12 23 34 n 1n Resolução Pela soma acima podemos escrever a série da seguinte forma 12 23 34 n 1n Σ n2 n 1n A série acima é convergente em verdade mostraremos isso explicitando o valor da série acima isto é calcularemos sua soma Para isso vamos expandir o termo geral da série acima com efeito n 1n nn 1n e logo podemos escrever a série da seguinte forma Σ n2 n 1n Σ n2 nn 1n Então com isso temos uma série similar a uma série telescópica e podemos expandir seus termos de tal a termos Σ n2 n 1n Σ n2 nn 1n 1 12 12 16 16 124 124 1120 1 12 12 16 16 124 124 1 pois todos os termos diferentes de 1 começam a anularse Portanto temos que a soma da série desejada vale 1 isto é Σ n2 n 1n 1 Questão 5 5 Calcule a soma da série Σ k1 14k 14k 4 Resolução O cálculo da soma série acima é feito modificando o termo geral acima com efeito note que o termo geral pode ser expresso da seguinte forma 14k 14k 4 15 14k 1 14k 4 Com isso temos que Σ k1 14k 14k 4 15 Σ k1 14k 1 14k 4 Então de posse disso temos que a soma da série é a seguinte Σ k1 14k 14k 4 15 Σ k1 14k 1 14k 4 Observação A série acima não pode ser efetuada de forma simples pois por mais que tenha a forma de uma série telescópica os termos da mesma não cancelamse veja k1 to 1 4k 14k 4 15 k1 to 14k 1 14k 4 15 13 18 17 112 111 116 115 120 isso ocorre pois a parte da soma 144k 4 sozinha corresponde a uma série do tipo da série harmônica logo divergente Nesse sentido a forma factível de desenvolver essa soma é através de métodos numéricos eou com emprego de funções especiais como a função digama os quais em ambos os casos divergem consideravelmente do conteúdo abordado num primeiro curso de análise matemática Em verdade se empregarmos métodos numéricos teremos a partir do termo 144 os termos seguintes tornamse suficientemente pequenos de tal modo a não interferirem mais na soma da série nos conduzindo a seguinte estimativa numérica k1 to 1 4k 14k 4 00075 a seguir apresentamos algumas tabela com os valores calculados para a série Termo de iteração k Termo geral da série ak 1 4k 14k 4 Soma parcial k 1 a1 0041666666666666664 s1 0041666666666666664 k 2 a2 0011904761904761904 s2 005357142857142857 k 3 a3 0005681818181818182 s3 005925324675324675 k 4 a4 00033333333333333335 s4 006258658008658008 k 5 a5 00021929824561403508 s5 006477956254272044 k 6 a6 00015527950310559005 s6 006633235757377634 k 7 a7 00011574074074074073 s7 006748976498118375 k 8 a8 00008960573476702509 s8 0068385822328854 k 9 a9 00007142857142857143 s9 006910010804313971 k 10 a10 00005827505827505828 s10 006968285862589028 k 11 a11 000048449612403100775 s11 007016735474992129 k 12 a12 00004091653027823241 s12 007057652005270362 k 13 a13 000035014005602240897 s13 007092666010872603 k 14 a14 000030303030303030303 s14 007122969041175634 k 15 a15 000026483050847457627 s15 007149452092023091 k 16 a16 000023342670401493932 s16 007172794762424585 k 17 a17 000020729684908789387 s17 007193524447333374 k 18 a18 000018532246108228317 s18 007212056693441603 k 19 a19 000016666666666666666 s19 007228723360108269 k 20 a20 00001506931886678722 s20 007243792678975056 k 21 a21 000013691128148959474 s21 007257483807124016 k 22 a22 00001249375312343828 s22 007269977560247454 k 23 a23 000011446886446886447 s23 00728142444669434 k 24 a24 000010526315789473685 s24 007291950762483813 k 25 a25 9712509712509713e 05 s25 007301663272196324 k 26 a26 8989572096368213e 05 s26 007310652844292692 k 27 a27 8344459279038718e 05 s27 007318997303571731 k 28 a28 7766387076731904e 05 s28 007326763690648463 k 29 a29 7246376811594203e 05 s29 007334010067460058 k 30 a30 677690431011114e 05 s30 007340786971770169 k 31 a31 6351626016260163e 05 s31 007347138597786429 k 32 a32 5965163445478406e 05 s32 007353103761231908 k 33 a33 5612932195779075e 05 s33 007358716693427687 k 34 a34 5291005291005291e 05 s34 007364007698718693 k 35 a35 4996003197442046e 05 s35 007369003701916135 k 36 a36 4725004725004725e 05 s36 00737372870664114 k 37 a37 4475474400286431e 05 s37 007378204181041427 k 38 a38 42452029206996094e 05 s38 007382449383962127 k 39 a39 4032258064516129e 05 s39 007386481642026643 k 40 a40 38349440098174566e 05 s40 00739031658603646 Tabela 1 Índice k termo geral ak e soma parcial ak da série do exercício 5 para k de 1 até 40 8 Termo de iteração k Termo geral da série ak 1 4k 14k 4 Soma parcial k 41 a41 3651767455448437e 05 s41 007393968353491909 k 42 a42 34814092744743074e 05 s42 007397449762766382 k 43 a43 3322700691121744e 05 s43 007400772463457504 k 44 a44 31746031746031745e 05 s44 007403947066632108 k 45 a45 3036191401505951e 05 s45 007406983258033614 k 46 a46 29066387629345423e 05 s46 007409889896796548 k 47 a47 2785204991087344e 05 s47 007412675101787636 k 48 a48 26712255582861418e 05 s48 007415346327345922 k 49 a49 2564102564102564e 05 s49 007417910429910024 k 50 a50 24632968765395605e 05 s50 007420373726786564 k 51 a51 23683213338385752e 05 s51 007422742048120402 k 52 a52 22787348464132712e 05 s52 007425020782966815 k 53 a53 21941372652273127e 05 s53 007427214920232042 k 54 a54 2114164904862579e 05 s54 007429329085136904 k 55 a55 20384866275277233e 05 s55 007431367571764431 k 56 a56 1966800409094485e 05 s56 007433334372173526 k 57 a57 1898830320522558e 05 s57 007435233202494049 k 58 a58 18343238682221733e 05 s58 00743706752636227 k 59 a59 1773049645390071e 05 s59 00743884057600766 k 60 a60 17147952534467386e 05 s60 007440555371261107 k 61 a61 1659365458648613e 05 s61 007442214736719756 k 62 a62 1606580553948975e 05 s62 007443821317273705 k 63 a63 15562749003984063e 05 s63 007445377592174103 k 64 a64 15082956259426848e 05 s64 007446885887800046 k 65 a65 14625014625014625e 05 s65 007448348389262548 k 66 a66 14187617047840645e 05 s66 007449767150967332 k 67 a67 13769552764926195e 05 s67 007451144106243825 k 68 a68 13369698914380448e 05 s68 007452481076135263 k 69 a69 12987012987012988e 05 s69 007453779777433964 k 70 a70 12620526023524661e 05 s70 007455041830036316 k 71 a71 12269336474283471e 05 s71 007456268763683745 k 72 a72 11932604648942772e 05 s72 00745746202414864 k 73 a73 11609547692021918e 05 s73 007458622978917842 k 74 a74 11299435028248587e 05 s74 007459752922420666 k 75 a75 1100158422812885e 05 s75 00746085308084348 k 76 a76 10715357250010715e 05 s76 007461924616568481 k 77 a77 1044015701996158e 05 s77 007462968632270478 k 78 a78 10175424315193943e 05 s78 007463986174701998 k 79 a79 992063492063492e 06 s79 007464978238194062 k 80 a80 9675297031618871e 06 s80 007465945767897224 Tabela 2 Índice k termo geral ak e soma parcial ak da série do exercício 5 para k de 40 até 80 9 Termo de iteração k Termo geral da série ak 1 4k 14k 4 Soma parcial k 81 a81 9438948878652874e 06 s81 00746688966278509 k 82 a82 9211156552816772e 06 s82 007467810778440372 k 83 a83 8991512012660049e 06 s83 007468709929641637 k 84 a84 877963125548727e 06 s84 007469587892767186 k 85 a85 8575152637716951e 06 s85 007470445408030958 k 86 a86 8377735330585436e 06 s86 007471283181564017 k 87 a87 8187057898873462e 06 s87 007472101887353905 k 88 a88 8002816991581037e 06 s88 007472902169053063 k 89 a89 782472613458529e 06 s89 007473684641666521 k 90 a90 7652514616302917e 06 s90 007474449893128152 k 91 a91 74859264582584745e 06 s91 007475198485773978 k 92 a92 7324719463244557e 06 s92 007475930957720302 k 93 a93 7168664334461204e 06 s93 007476647824153748 k 94 a94 7017543859649123e 06 s94 007477349578539713 k 95 a95 6871152154793316e 06 s95 007478036693755193 k 96 a96 6729293962477457e 06 s96 00747870962315144 k 97 a97 6591784000421874e 06 s97 007479368801551482 k 98 a98 64584463561445655e 06 s98 007480014646187097 k 99 a99 6329113924050633e 06 s99 007480647557579502 k 100 a100 6203627881585151e 06 s100 007481267920367661 k 101 a101 6081837201381793e 06 s101 007481876104087799 k 102 a102 5963598196607905e 06 s102 00748247246390746 k 103 a103 584877409694928e 06 s103 007483057341317155 k 104 a104 5737234652897303e 06 s104 007483631064782445 k 105 a105 5628855766199847e 06 s105 007484193950359065 k 106 a106 5523519144517355e 06 s106 007484746302273516 k 107 a107 5421111978489027e 06 s107 007485288413471365 k 108 a108 5321526639562357e 06 s108 007485820566135322 k 109 a109 522466039707419e 06 s109 007486343032175029 k 110 a110 5130415153194196e 06 s110 007486856073690348 k 111 a111 5038697194453402e 06 s111 007487359943409794 k 112 a112 49494169586822676e 06 s112 007487854885105662 k 113 a113 48624888162757225e 06 s113 007488341133987289 k 114 a114 4777830864787386e 06 s114 007488818917073768 k 115 a115 4695364735932687e 06 s115 007489288453547362 k 116 a116 46150154141514835e 06 s116 007489749955088777 k 117 a117 4536711065945632e 06 s117 007490203626195371 k 118 a118 4460382879266356e 06 s118 007490649664483298 k 119 a119 43859649122807014e 06 s119 007491088260974527 k 120 a120 4313393950896323e 06 s120 007491519600369616 Tabela 3 Índice k termo geral ak e soma parcial ak da série do exercício 5 para k de 80 até 120 10 Termo de iteração k Termo geral da série ak 1 4k 14k 4 Soma parcial k 121 a121 4242609374469674e 06 s121 007491943861307063 k 122 a122 41735530291647885e 06 s122 007492361216609979 k 123 a123 4106169108468563e 06 s123 007492771833520825 k 124 a124 404040404040404e 06 s124 007493175873924866 k 125 a125 3976206381016e 06 s125 007493573494562968 k 126 a126 3913526713733348e 06 s126 007493964847234341 k 127 a127 3852317554240631e 06 s127 007494350078989766 k 128 a128 3792533260516695e 06 s128 007494729332315818 k 129 a129 37341299477221806e 06 s129 00749510274531059 k 130 a130 36770654076394712e 06 s130 007495470451851355 k 131 a131 36212990323888985e 06 s131 007495832581754594 k 132 a132 35667917421637584e 06 s132 007496189260928811 k 133 a133 35135059167439636e 06 s133 007496540611520486 k 134 a134 3461405330564209e 06 s134 007496886752053543 k 135 a135 341045509112736e 06 s135 007497227797562656 k 136 a136 33606215805675417e 06 s136 007497563859720713 k 137 a137 3311872400180166e 06 s137 007497895046960731 k 138 a138 32641763177479796e 06 s138 007498221464592507 k 139 a139 32175032175032174e 06 s139 007498543214914258 k 140 a140 31718240525761555e 06 s140 007498860397319515 k 141 a141 3127110799789858e 06 s141 007499173108399494 k 142 a142 308333641666975e 06 s142 007499481442041162 k 143 a143 3040474800544853e 06 s143 007499785489521216 k 144 a144 29985007496251872e 06 s144 007500085339596178 k 145 a145 2957389925946956e 06 s145 007500381078588773 k 146 a146 29171188200837797e 06 s146 007500672790470782 k 147 a147 28776647175284315e 06 s147 007500960556942535 k 148 a148 28390056666553107e 06 s148 0075012444575092 k 149 a149 28011204481792718e 06 s149 007501524569554018 Tabela 4 Índice k termo geral ak e soma parcial ak da série do exercício 5 para k de 120 até 140 11