Lista de Exercícios Resolvidos - Desigualdades, Funções e Números Reais

1ª Questão Prove que 1 1 1 1 n n x x x x para todo 1 x e nN 2ª Questão Seja f R R dada por 2 f x ax bx c a 0 a Verifique que 2 2 4 b f x a x a a onde 2 4 b ac b Mostre que se a 0 então o menor valor de f x ocorre quando 2 b x a c Mostre que se a 0 então o maior valor de f x é 2 4 b f a a 3ª Questão Prove que x y x y para quaisquer x yR 4ª Questão Prove que a b a b 5ª Questão Prove que a Para quaisquer a b reais nãonegativos vale 2 a b ab com a igualdade ocorrendo se e só se a b b a 0 b 0 e c 0 8 a b a c b c abc c 4 4 4 a b c abc a b c para quaisquer a b c reais d 8 8 8 3 3 3 1 1 1 0 a b c a b c a b c a b c 6ª Questão Sejam a racional diferente de zero e x irracional Prove que ax e a x são irracionais Dê exemplo de dois irracionais x y tais que x y e xy são racionais 7ª Questão Seja 0 1 n n f x a a x a x um polinômio com coeficientes inteiros a Se um número racional p q com p e q primos entre si é tal que 0 p f q prove que p divide 0a e q divide na b Conclua que quando 1 na as raízes de f são inteiras ou irracionais c Use o resultado geral para provar que n p é irracional para todo número primo p e todo natural n d Prove que 3 2 2 é irracional 8ª Questão Sejam A B conjuntos nãovazios de números reais tais que x A e y B x y Prove que sup inf A B Prove que sup inf A B se e somente se para todo 0 dado podemse obter x A e y B tais que y x 9ª Questão Dado A R nãovazio limitado inferiormente seja A x x A Prove que A é limitado superiormente e que sup inf A A 10ª Questão Sejam B A conjuntos nãovazios de números reais Suponha que A seja limitado superiormente e que para cada x A exista um y B tal que x y Prove que nestas condições temse sup sup B A