Lista de Exercícios Econometria I - Equações de Diferenças e Soluções

Lista 1 Econometria I 1 Enders 2010 Capítulo 1 Considere a equação em diferenças 𝑦𝑡 𝑐 𝜙𝑦𝑡1 com uma condição inicial 𝑦0 João resolveu esta equação a diferenças com interação retroativa 𝑦𝑡 𝑐 𝜙𝑦𝑡1 𝑐 𝜙𝑐 𝜙𝑦𝑡2 𝑐 𝑐𝜙 𝑐𝜙2 𝑐𝜙𝑡1 𝜙𝑡𝑦0 Maria resolveu esta equação somando a solução particular e a homogênea e obteve 𝑦𝑡 𝑐 1 𝜙 𝜙𝑡 𝑦0 𝑐 1 𝜙 a Mostre que as duas soluções são idênticas para 𝜙 1 b Mostre que para 𝜙 1 a solução de João é equivalente a 𝑦𝑡 𝑐𝑡 𝑦0 2 Enders 2010 Capítulo 1 Encontre a solução homogênea para cada um dos itens abaixo a 𝑦𝑡 𝑐 15𝑦𝑡1 05𝑦𝑡2 𝜀𝑡 b 𝑦𝑡 𝑐 𝑦𝑡2 𝜀𝑡 c 𝑦𝑡 𝑐 2𝑦𝑡1 𝑦𝑡2 𝜀𝑡 d 𝑦𝑡 𝑐 𝑦𝑡1 025𝑦𝑡2 025𝑦𝑡3 𝜀𝑡 22 Encontre a solução particular das equações anteriores 3 Enders 2010 Capítulo 1 A taxa de inflação segue o seguinte processo 𝜋𝑡 005 07𝜋𝑡1 06𝜋𝑡2 𝜀𝑡 Suponha que nos períodos 0 e 1 a taxa de inflação tenha sido de 10 e 11 respectivamente Encontre as soluções particular homogênea e geral para a taxa da inflação 4 Enders 2010 Capítulo 1 Considere o seguinte processo estocástico 𝑦𝑡 𝑐 𝜙𝑦𝑡2 𝜀𝑡 a Encontre a solução homogênea e determine as condições de estabilidade b Encontre a solução particular 5 Enders 2010 Capítulo 1 considere a equações a diferenças estocástica abaixo 𝑦𝑡 08𝑦𝑡1 𝜀𝑡 05𝜀𝑡1 Suponha que a condição inicial seja 𝑦0 0 e 𝜀0 𝜀1 0 Suponha que 𝜀1 1 Determine os valores de 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4 𝑒 𝑦5 6 Enders 2010 Capítulo 2 Considere a seguinte equação em diferenças 𝑦𝑡 𝑐 075𝑦𝑡1 0125𝑦𝑡2 𝜀𝑡 a Encontre as soluções homogênea e particular da equação 7 Enders 2010 Capítulo 2 Considere a equação a diferenças estocástica de segunda ordem 𝑦𝑡 15𝑦𝑡1 05𝑦𝑡2 𝜀𝑡 a Encontre as raízes da equação característica b Mostre que as raízes de 1 15𝐿 05𝐿2 são recíprocos da sua resposta na parte a 2 a yzao15 yz1 05 yz2 Ez A redução homogênea tem fórmula yzAzt Para determinarmos a equação característica substituímos esta solução tentativa Azt 15 Azt1 05 Azt20 Dividindo por Azt2 denominamos α2 13α 05 0 As raízes características são α11 α205 A resolução completa é A1 A205 b yzao yz2Ez A redução homogênea tem formulário yzAzt A redução tentativa será Azt Azt2 0 A α2 1 α11 a21 A resolução completa tem parâmetro A1 A2 1 t c yz ao 2y01 yz2 Et Substituindo para resolução tentativa Azt 2Azt1 Azt20 Dividindo por Azt2 α2 2α 1 α11 α21 A resolução completa é A1 Az I 1 a Para a11 termo general dominante ao aoa1t as tgo ao1a1 a1t go ao1a1 Cancelando a1t go de cada sde e dividindo por ao 1 a1 a12 a1t1 11a1 a1t1a1 Multiplicando em cada de cima por 1a1 obtémos 1 a1 1 a1 a12 a1t1 1 a1t O que equivale a 1 a1t 1 a1t Como as duas expressões não iguais por redução das duas são idênticas b Quando a 1 A resolução de Jacobi pode ser escrita yz ao 10 11 12 1t1 go ao t go Para usarmos a método do Máxima dominar ordem solução homogênea A redução geral por parte fórmula é yz ao t A Para eliminar a constante arbitrária dominar impor uma condição inicial Para I0 go a0 t então A go logo a métodos entrega yz ao t go 2 yz ao yz1 025 yz2 025 yz3 Ez Substituindo a redução tentativa na homogênea Azt Azt1 025 Azt2 025 Azt3 0 Azt3 α3 α2 025 α 0250 As raízes são α11 α205 e α3 05 A resolução homogênea completa A1 A2 05t A3 05t 3 A equação homogênea é πt 07 π t1 06 π t2 0 Com a solução tentativa toma Azt 07 Azt1 06 Azt2 0 ou α2 07 α 06 0 α11 α2 05 A redução homogênea é πt A1 1αt A2 05t Para encontrarmos a redução particular usamos a redução tentativa πt b Σ bi Ei ti que por máxima substitugas b b0 Ei b1 Ei 2 05 07 b b0 Ei 1 06 b b0 Ei 1 Ez Pagando os coeficientes b 005 07 b 06 7 b 16 b0 1 b1 07 b0 07 b2 07 b1 06 b0 105 Logo b i 07 b i1 06 b i2 5 So armenamos que todas as funçoes reais de E0 encontramos a reduzçao y11 y203 y3024 y40192 y501536 6 A equaçao homogenea in gyz075yz1 0125yz2 Com a reducao tomos AoE 075AoE1 0125AoE2 0 A equaçao caracteristica e a2 075 01250 a105 a2025 e A pode ser qualquer constante arbitraria A soma completa da soluçao homogenea e gyz A105E A2 025E A soluçao particular tem o formato gyz bo ai E z1 bo a0 1 075 0125 8003 Para acharmos substituimos a soluçao particular ao e 1 e 1 e 075 ao E 1 a1 E 2 0125 ao E 2 a1 E 3 E Umindo cof descend ao1 a1075 e todos os ai subsequentes não tãoque 2i 075 at 1 0125 at 2 para I0 e I1 01 16 E0 07 E1 b2 E2 A1 A2 011 16 E 1 07 E0 b0 E1 A1 12 A2 05 4 a A equação homóloga tem potenate y z A zE equação caracteristica tem potenate A zE a2 A zE2 0 Logo d2 a2 Ao terço não potenate a1 a2 a2 a2 A correçao ao tralidade é que a2 seja menor que a unidade em valor absoluto 6 Utilizar um a solução tomaria yz b bi E z1 para uso ele tem que salvores b bE b1 E z1 a0 a2 b b0 Ez2 E unindo os coeficientes b a0 a2 b b a01 a2 b01 b11 b2 a2 b0 b2 a2 b3 a0 b1 b30 Tomar potante que b1 a212 se i é par e 0 se i é impar 7 a A equação homógena é yz 15 y z1 05 yz2 0 Substituindo soluçoes tomaria yz A zE tomar A zE 15 A zE1 05 A zE2 0 A equação caracteristica é constante a2 15a 05 0 d2 1 d2 05 y z A1 A2 051 6 1 15 L 05 L2 1 L 1 05 L 0 A se soluções não L 1 e L 05 2 logo em soluçoes reais necessarias dona a