Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos

wwwgrupogencombr Luiz Fernando Martha Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos EDITORA O GEN Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan Roca LTC Atlas Forense Método Forense Universitária e o Curso Fórum GENIO GEN Informação Online é o ambiente virtual de aprendizagem do GEN Grupo Editorial Nacional wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Introdução Exemplo de solução de um pórtico plano A B Material Módulo de elasticidade E 2 108 kNm2 Seção transversal todas as barras Área A 0005 m2 Momento de inércia I 00005 m4 Desprezamse deformações por cisalhamento Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Exemplo de solução de um pórtico plano HA VA MA HB VB A B Componentes de reações de apoio indicadas com sentidos positivos Apoio A HA VA e MA Apoio B HB e VB Grau de hiperestaticidade g 2 g número de incógnitas do problema do equilíbrio es tático excedentes em relação ao número de equações de equilíbrio Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Exemplo de solução de um pórtico plano A B H 0 B θA 0 0 H A 0 V A 0 V B Condições de compatibilidade externas Apoio A 0 H A 0 V A A 0 θ deslocamentos e rotação nulos no apoio A Apoio B 0 H B 0 V B deslocamentos nulos no apoio B Configuração deformada mostrada com um fator de amplificação da escala para os deslocamentos igual a 1000 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Exemplo de solução de um pórtico plano A B H 0 B θA 0 Condições de compatibilidade externas selecionadas θA 0 rotação nula no apoio A 0 H B deslocamento horizontal nulo no apoio B Configuração deformada mostrada com um fator de amplificação da escala para os deslocamentos igual a 1000 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Grupos de condições matemáticas e físicas que o modelo estrutural deve atender Condições de equilíbrio Global Qualquer porção isolada nó barra etc Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações Compatibilidade externa com respeito aos vínculos de apoio Continuidade interna entre barras e no interior de barras Condições sobre o comportamento dos materiais Leis constitutivas relações tensões vs deformações Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Ideia básica Determinar dentro do conjunto de soluções do modelo estrutural que satisfazem as condições de equilíbrio qual das soluções faz com que as condições de compatibilidade também sejam satisfeitas Metodologia Superpor uma série de soluções estaticamente determinadas isostáticas casos básicos que satisfazem as con dições de equilíbrio da estrutura para obter uma solução final que também satisfaz as condições de compatibilidade Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Estrutura auxiliar utilizada nos casos básicos Sistema Principal SP Estrutura estaticamente determinada isostática obtida da estrutura original pela eliminação de vínculos redun dantes para estabilidade estática θA 0 H 0 B Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Incógnitas Hiperestáticos são os esforços associados aos vínculos eliminados na criação do Sistema Principal θA 0 H 0 B X1 X2 X1 MA reação momento associada à restrição A 0 θ X2 HB reação horizontal associada à restrição 0 H B Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Metodologia A B H 0 B θA 0 X1 X2 A solução do problema pelo Método das Forças recai em encontrar os valores X1 e X2 que fazem com que junta mente com o carregamento aplicado θA 0 e H 0 B Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Superposição de casos básicos Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SP hiperestáticos X1 e X2 com valores nulos Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SP hiperestáticos X1 e X2 com valores nulos δ10 rad 1364 10 3 10 δ m 10 115 2 3 20 δ δ20 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Caso 0 Solicitação externa carregamento isolada no SP hiperestáticos X1 e X2 com valores nulos Termos de carga Deslocamentos e rotações nas direções dos vínculos eliminados na criação do SP provocados pela solicitação ex terna carregamento δ10 rotação no ponto e na direção de X1 provocada pela solicitação externa atuando no SP no caso 0 δ20 deslocamento horizontal no ponto e na direção de X2 provocado pela solicitação externa atuando no SP no caso 0 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP δ11 radkNm 10 0 1152 3 11 δ mkNm 10 0 6997 3 21 δ δ21 X1 1 x X1 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Caso 1 Hiperestático X1 isolado no SP Coeficientes de flexibilidade Deslocamentos e rotações nas direções dos vínculos eliminados na criação do SP provocados pelos hiperestáticos com valores unitários δ11 rotação no ponto e na direção de X1 provocada pelo hiperestático X1 atuando no SP no caso 1 com valor unitário δ21 deslocamento horizontal no ponto e na direção de X2 provocado pelo hiperestático X1 atuando no SP no caso 1 com valor unitário Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP δ12 mkN 6 1180 10 3 22 δ δ22 x X2 X2 1 radkN 10 0 6997 3 12 δ Observe que o valor de δ12 e δ21 é igual Isto não é coincidência Os coeficientes δij e δji sendo i e j índices de hipe restáticos sempre serão iguais Isso será demonstrado pelo Princípio das Forças Virtuais Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Caso 2 Hiperestático X2 isolado no SP Coeficientes de flexibilidade Deslocamentos e rotações nas direções dos vínculos eliminados na criação do SP provocados pelos hiperestáticos com valores unitários δ12 rotação no ponto e na direção de X1 provocada pelo hiperestático X2 atuando no SP no caso 2 com valor unitário δ22 deslocamento horizontal no ponto e na direção de X2 provocado pelo hiperestático X2 atuando no SP no caso 2 com valor unitário Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Equações finais Cada caso básico satisfaz condições de equilíbrio modelo estrutural isostático mas não satisfaz algumas con dições de compatibilidade da estrutura original pois o SP tem vínculos que foram eliminados As equações finais do método são equações de compatibilidade expressas em termos dos hiperestáticos Essas equações recompõem por meio da superposição dos casos básicos as condições de compatibilidade da estrutu ra original violadas O Método das Forças tem este nome porque as incógnitas hiperestáticos são forças ou momentos O método também é chamado de Método da Compatibilidade porque as equações finais são de compatibilidade Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Equações finais Somatório das rotações no nó A δ10 δ11 X1 δ12 X2 0 Somatório dos deslocamentos horizontais no nó B δ20 δ21 X1 δ22 X2 0 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Solução do sistema final de equações de compatibilidade 10 11 1 12 2 20 21 1 22 2 0 0 X X X X δ δ δ δ δ δ 1364 103 01152 103 X1 06997 103 X2 0 1152 103 06997 103 X1 61180 103 X2 0 X1 1339 kNm X2 1729 kN O sinal de X1 é positivo pois tem o mesmo sentido antihorário do que foi arbitrado para X1 1 no caso 1 e o sinal de X2 é negativo pois tem o sentido contrário da direita para a esquerda ao que foi arbitrado para X2 1 no caso 2 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Solução final 1339 kNm 1729 kN Os valores encontrados para X1 e X2 fazem com que θA 0 e H 0 B Dessa forma obtevese a solução correta da estrutura porque além de satisfazer as condições de equilíbrio que sempre são satisfeitas nos casos 0 1 e 2 o modelo estrutural satisfaz as condições de compatibilidade Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Determinação dos esforços internos finais A solução da estrutura não termina na obtenção dos valores dos hiperestáticos X1 e X2 Após isso ainda é neces sário obter os diagramas de esforços internos e os deslocamentos da estrutura Existem duas alternativas para isso A Calculase uma estrutura isostática o Sistema Principal com o carregamento aplicado simultaneamente aos hiperestáticos com os valores corretos encontrados como se fossem forças e momentos aplicados B Utilizase a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos esforços internos ou deslocamen tos finais Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças A Calculase uma estrutura isostática o Sistema Principal com o carregamento aplicado simultaneamente aos hiperestáticos com os valores corretos encontrados como se fossem forças e momentos aplicados kNm M Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Determinação dos esforços internos finais B Utilizase a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos esforços internos ou deslocamen tos finais Embora a primeira opção possa parecer mais simples a segunda opção é a que vai ser utilizada na maioria das soluções O motivo para isso é que no cálculo dos valores dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade pelo Princípio das Forças Virtuais é necessário o conhecimento dos diagramas de esforços internos dos casos básicos 0 1 e 2 Portanto como os diagramas de esforços internos dos casos básicos já estarão disponíveis os esforços in ternos finais da estrutura hiperestática original são obtidos por superposição dos esforços internos dos casos básicos O mesmo se dá para obtenção dos deslocamentos Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Determinação dos esforços internos finais por superposição dos diagramas de esforços internos dos casos básicos 0 1 1 2 2 N N N X N X Diagrama de esforços normais axiais 0 1 1 2 2 Q Q Q X Q X Diagrama de esforços cortantes 0 1 1 2 2 M M M X M X Diagrama de momentos fletores M0 diagrama de momentos fletores provocado pela solicitação externa atuando no SP no caso 0 M1 diagrama de momentos fletores provocado pelo hiperestático X1 atuando no SP no caso 1 com valor unitário M2 diagrama de momentos fletores provocado pelo hiperestático X2 atuando no SP no caso 2 com valor unitário Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr EDITORA Método das Forças Diagrama de momentos fletores 0 1 1 2 2 M M M X M X com X1 1339 kNm e X2 1729 kN kNm M Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Copyright LTC Livros Técnicos e Científicos Editora LTDA Reprodução proibida wwwgrupogencombr