Método de Cross: Análise de Momentos Fletores em Estruturas

12 O processo de Cross ou método da distribuição de momentos White et al 1976 é um método relativamente sim ples para o cálculo de momentos fletores em vigas contínuas pórticos planos grelhas e até em pórticos espaciais Esse processo é baseado no método dos deslocamentos e só se emprega para estruturas sem deslocabilidades externas do tipo translação isto é ele só se aplica a estruturas com barras inextensíveis e que só tenham deslocabilidades do tipo rotação Apesar dessa limitação o método criado por Hardy Cross na década de 1930 Analysis of Continuous Frames by Distributing FixedEnd Moments Transactions ASCE Paper n 1793 vl 96 1936 ainda é utilizado para o cálculo de estruturas O trabalho de Cross teve um impacto inicial muito grande pois possibilitou a solução manual de estruturas hi perestáticas em um momento em que estruturas de concreto armado estavam se tornando muito comuns O concreto armado propicia a criação de pórticos com ligações contínuas com alto grau de hiperestaticidade A aplicação prática do processo de Cross diminuiu muito pois atualmente se usam programas de computador para a análise de estruturas que costumam utilizar o método dos deslocamentos embora alguns utilizem o processo de Cross como procedimento de análise de vigas contínuas Apesar de o uso do método da distribuição de momentos ter diminuído nas últimas décadas a sua apresentação neste livro tem um objetivo acadêmico pois ele tem um apelo intuitivo muito forte e por isso serve para uma melhor compreensão do comportamento de estruturas reticuladas à flexão Este capítulo baseiase nos livros de White Gergely e Sexsmith 1976 e de Süssekind 19773 Existem muitas outras referências clássicas para o processo de Cross que não são mencionadas Entretanto devido à sua relevância no Brasil não se pode deixar de mencionar o livro do professor Jayme Ferreira da Silva Jr Método de Cross 1967 Primeiramente será apresentada uma interpretação física do processo de Cross como introduzido de forma muito conveniente por White et al As duas seções seguintes descreverão os dois pontos básicos que fundamentam o método a distribuição de um momento aplicado em um nó de um pórtico por parcelas de momentos fletores equili brantes nas barras adjacentes Seção 122 a solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio do método dos deslocamentos para uma estrutura que só tem rotações como deslocabilidades Seção 123 Devese observar que o processo de Cross também pode ser aplicado a estruturas com deslocabilidades externas isto é com translações nodais Isso é feito com a aplicação do método dos deslocamentos mostrado nos Capítulos 10 e 11 considerando como incógnitas apenas as deslocabilidades externas Tal aplicação resulta em uma série de casos básicos sendo cada um deles resolvido pelo processo de Cross A Seção 127 utiliza essa metodologia em um exemplo com deslocabilidade externa Processo de Cross12 e312 Analise de Estruturas Conceitos e Métodos Basicos 121 INTERPRETACAO FISICA DO METODO DA DISTRIBUICAO DE MOMENTOS White Gergely e Sexsmith 1976 descreveram em seu livro um experimento fisico que serve para entender intuitiva mente o processo de Cross A Figura 121 mostra uma reproducao esquematica desse experimento pe a 4 tT 0 AEP AP Figura121 Reproducdo esquematica do experimento para interpretacdo fisica do processo de Cross descrito no livro de White Gergely e Sexsmith 1976 Pela Figura 121 o método da distribuicao de momentos pode ser entendido como a aplicacao fisica de sucessivos travamentos e liberacées de rotagdes nodais de uma viga continua com trés vaos Inicialmente a viga tem todas as suas rota6es nodais travadas Em seguida aplicase uma carga concentrada na posicao média do vao central Figura 121a Como todos os nds tém as suas rotacées artificialmente fixadas o efeito inicial da carga sé é sentido no vao central isto é os dois vaos extremos nao sofrem deformacao alguma portanto nao apresentam momentos fletores Nessa situaao os dois nds intermediarios apresentam um desequilibrio de momentos fletores que esta sendo artificialmente equilibrado por momentos externos aplicados pelas travas que fixam as rotaoes Se a rotacao do segundo no da esquerda para a direita for liberada 0 no gira até atingir o equilibrio Figura 121b Nessa situacao os momentos fletores nas segées transversais adjacentes a esse nd tém de estar em equilibrio pois a trava liberada nao pode introduzir momento externo algum O primeiro e 0 segundo vaos da viga se deformam em consequéncia da liberagao da rotacao acarretando uma modificagao na distribuicao de momentos fletores nos vaos Enquanto isso o terceiro vao permanece indeformado e sem momentos fletores No passo seguinte do processo o segundo no é travado novamente e o terceiro ndé tem sua rotacao liberada Figura 121c O resultado é uma modificagao da configuracao deformada apenas nos dois vaos adjacentes ao nd liberado 0 primeiro vao permanece com a deformagao do passo anterior e uma nova distribuicgéo de momentos fletores nos vaos afetados A repeticao desse processo de sucessivos passos de travamento de um no e liberacdo de outro acarreta uma aco modacao da viga em uma situaao na qual nao é mais necessario travar as rotades nodais pois atingese o equilibrio de momentos fletores nos nos A situacao final é mostrada na Figura 121d Podese salientar alguns aspectos importantes desse experimento em cada passo do processo iterativo apenas um no tem a rotacao liberada enquanto todos os outros tém as rotacdes fixadas e quando um nd é equilibrado pela liberacao de sua rotagao as barras adjacentes ao no se deformam implicando uma redistribuicgao de momentos fletores nas barras e afetando 0 equilibrio dos nds adjacentes apds cada passo a rotacao do né liberado é fixada com o valor acumulado dos incrementos de rotaao de todos Os passos anteriores Capitulo12 Processo de Cross e313 oequilibrio de um né que tem a sua rotacao travada so é atingido artificialmente com a aplicacao de um mo mento externo pela trava quando os momentos fletores nas sedes transversais adjacentes a um no estao em equilibrio nao é necessario travar o no nesse caso a trava liberada nao exerce momento externo algum no no Com base no experimento podese adiantar dois pontoschave do processo de Cross O primeiro é a distribuicao de momentos fletores nas barras adjacentes de um né que tem a sua rotacao liberada A proxima secao faz uma analise dessa redistribuicéo de momentos fletores O outro pontochave é 0 proprio processo iterativo e incremental de deter minacao das rotagées nodais A Secao 123 analisa a solugao incremental do sistema de equagées de equilibrio de uma viga continua Apos a analise desses dois pontoschave o processo de Cross é formalizado na Secao 124 122 DISTRIBUICAO DE MOMENTOS FLETORES EM UM NO Considere 0 quadro da Figura 122 Stissekind 19773 que tem barras inextensiveis todas com igual valor para o pa rametro de rigidez a flexao EI O portico tem um né central com a rotaao livre e um momento externo M aplicado Todos os outros nds tém suas rotagées fixas engastes Apenas uma das barras tem uma articulacdo na extremidade oposta ao no central Para analisar a distribuicaéo do momento M por momentos fletores nas barras da estrutura da Figura 122 empre gase o método dos deslocamentos Como as barras sao inextensiveis a estrutura s6 tem uma deslocabilidade a rotagao do no central Capitulo 11 O sistema hipergeométrico SH e os casos basicos da solucdo pelo método sao mostrados na Figura 123 hh lp ME f x ls Je Iq s Figura122 Aplicacdo de um momento externo em um n6 com rotacao liberada Caso 0 Momento externo Caso 1 Deslocabilidade D isolada no SH isolado no SH 2EIy 4 i1 Me 0 Di 1 d S Tots Ky 4EI 04 x Dy cA a Kp 4EIbyXe Ka 3EIs yt K3 4E i 2EI2 2EVs Figura123 Casos basicos da solucdo pelo método dos deslocamentos da estrutura da Figura 122 Na solucao mostrada na Figura 123 utilizase a seguinte notaao K coeficiente de rigidez a rotacao da barra i e314 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Os valores para rigidez à rotação de barras com EI constante foram deduzidos de duas maneiras independentes nas Seções 67 e 92 i i EI l K 4 barra sem articulação i i EI l K 3 barra com articulação na extremidade oposta à extremidade que sofre o giro A equação de equilíbrio resultante da solução pelo método dos deslocamentos para essa estrutura é 0 1 11 10 D K β Os valores do termo de carga b10 e do coeficiente de rigidez global K11 estão indicados na Figura 123 A solução dessa equação resulta no valor da deslocabilidade rotação D1 i E K M D1 A determinação dos momentos fletores finais nas barras é feita por superposição dos efeitos dos casos 0 e 1 M M0 M1D1 e M0 é nulo Com base nos valores obtidos anteriormente têmse os valores dos momentos fletores finais mostrados na Figura 124 nas seções transversais extremas das barras Esses valores estão definidos em função do parâmetro iγ de cada barra sendo iγ coeficiente de distribuição de momento da barra i O coeficiente de distribuição de momento de uma barra com relação a um nó é a razão entre o coeficiente de ri gidez à rotação da barra e o somatório dos coeficientes de rigidez à rotação de todas as barras que convergem no nó i i i K K γ 121 O somatório de todos os coeficientes de distribuição de momento de todas as barras adjacentes a um nó com respeito a esse nó é unitário i i 1 γ 122 M 0 1 2 ME γ 2 ME γ 1 ME γ 4 ME γ 3 ME γ 3 2 ME γ 2 2 ME γ Figura 124 Momentos fletores finais nas extremidades das barras da estrutura da Figura 122 Na Figura 124 observase também que a distribuição do momento externo aplicado no nó acarreta momentos fletores nas outras extremidades das barras O valor do momento fletor na outra extremidade é igual à metade do valor na extremidade adjacente ao nó equilibrado para o caso de barra sem articulação ou igual a zero para o caso de barra articulada Definese então o coeficiente de transmissão de momento da barra i 12 it coeficiente de transmissão de momento para barra com EI constante e sem articulação it 0 coeficiente de transmissão de momento para barra com extremidade oposta articulada Capitulo12 Processo de Cross e315 Para 0 caso da barra sem articulagao o valor 12 corresponde a relagao entre os coeficientes de rigidez 2EII e 4EII devidos a uma rotacdo unitaria imposta Concluise que 0 momento externo M aplicado no no é distribuido nas barras por momentos fletores nas secdes transversais adjacentes ao nd chamados de parcelas equilibrantes que sdo proporcionais aos coeficientes de distribuicao de momento no no MMe7 123 Nas segées transversais das barras opostas ao nd aparecem momentos fletores chamados de parcelas transmitidas que sao iguais ao produto das parcelas equilibrantes pelo coeficiente de transmissdo de momento de cada barra No caso de barras que tém secao transversal variavel os coeficientes de rigidez 4 rotagao nao correspondem aos valores 4EII ou 3EIl assim como o coeficiente de transmissao de momento da barra sem articulacao nao é igual a 12 Nesse caso os parametros fundamentais para os coeficientes de rigidez a flexao de uma barra isolada definidos generi camente na Secao 925 devem ser utilizados K coeficiente de rigidez a rotacao na extremidade inicial da barra tag coeficiente de transmissao de momento da extremidade inicial para a extremidade final K coeficiente de rigidez a rotacao na extremidade final da barra tga coeficiente de transmissao de momento da extremidade final para a extremidade inicial O Capitulo 6 apresenta uma metodologia baseada na analogia da viga conjugada que possibilita a determinacao desses parametros fundamentais Tal metodologia pode ser aplicada para uma barra que nao tem secao transversal constante Secao 671 123 SOLUCAO ITERATIVA DO SISTEMA DE EQUACOES DE EQUILIBRIO Conforme apresentado na Secao 121 o método da distribuicao de momentos é um processo iterativo de sucessivos passos de travamento de um né e liberac4o de outro no Esta secéo procura dar uma interpretacaéo matematica para 0 processo mostrando que constitui uma soluc4o iterativa do sistema de equacées de equilibrio do método dos des locamentos Isso é demonstrado com o auxilio de um exemplo uma viga continua com trés vaos mostrada na Figura 125 e que tem uma inércia a flexao EJ 24x10 kNm O primeiro apoio simples do 2 género esta sendo interpretado como uma articulacao na extremidade da barra e a rotacdo do no do primeiro apoio nao esta sendo considerada como incognita Sedes 1142 e 1143 Portanto a viga sé tem duas deslocabilidades que sao as rotagdes D e D das secdes transversais dos dois apoios internos je 8 pp Se 6 m Se 6 m Figura125 Viga continua com duas deslocabilidades A solugao da viga da Figura 125 pelo método dos deslocamentos resulta no seguinte sistema de equac6ées de equi librio Capitulos 10 e 11 641143EI 84EI 6D 2EI 6D 0 114 84 2EI 6D 4EI 64EI6D 0 Substituindo o valor fornecido para EI e passando os termos de carga para 0 lado direito do sinal de igual temse 25000D 8000D 50 124 8000 D 32000D 30 125 e316 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos A solução direta do sistema formado pelas Equações 124 e 125 resulta nos seguintes valores para as rotações D1 e D2 rad 2 5000 10 3 1 D rad 1 5625 10 3 2 D Uma alternativa para a solução desse sistema de equações de equilíbrio é uma solução iterativa do tipo GaussSei del Essa solução é o segundo pontochave para o método de distribuição de momentos o primeiro é a distribuição de momentos em um nó mostrada na Seção 122 A solução iterativa é iniciada admitindo um valor nulo para D2 e encon trando um valor para D1 com base na Equação 124 rad 2 0000 10 50 8000 0 25000 3 1 1 D D O segundo passo da solução iterativa consiste em utilizar esse valor encontrado para D1 na Equação 125 para de terminar um valor para D2 rad 1 4375 10 30 8000 2 0000 10 8000 3 2 2 3 D D No terceiro passo a Equação 124 é utilizada novamente com o último valor obtido para D2 para determinar um novo valor para D1 resultando em rad 2 4600 10 50 1 4375 10 8000 25000 3 1 3 1 D D A Tabela 121 indica os resultados da solução iterativa após quatro ciclos completos de passagem pelo par de Equa ções 124 e 125 Os valores exatos da solução direta também são mostrados na tabela Podese verificar que os valores obtidos pela solução iterativa são bem próximos dos valores exatos Na verdade a solução exata sempre pode ser atingi da para um determinado grau de precisão desejado bastando executar um número suficiente de ciclos Tabela 121 Solução iterativa das Equações 124 e 125 D1 rad D2 rad Valores iniciais 0 Primeiro ciclo 20000x103 14375x103 Segundo ciclo 24600x103 15525x103 Terceiro ciclo 24968x103 15617x103 Quarto ciclo 24997x103 15624x103 Valores exatos 25000x103 15625x103 O processo de solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio mostrado é uma interpretação matemática do experimento visto na Seção 121 Esse processo será ilustrado em seguida com base na Figura 126 Podese imaginar que a situação inicial designada estágio 0 corresponde a uma configuração de engastamento dos nós interiores da viga contínua da Figura 125 isto é com rotações fixadas com valores nulos No estágio 1 ocorre uma liberação da rotação D1 enquanto a rotação D2 é mantida nula Esse estágio corresponde ao resultado do primeiro passo da solução iterativa resultando no primeiro valor encontrado para D1 No estágio 2 a rotação D1 é fixada com o valor obtido no estágio anterior e a rotação D2 é liberada exatamente como no segundo passo da solução iterativa O estágio 3 corresponde a um congelamento da rotação D2 com o valor obtido no estágio anterior e uma liberação da rotação D1 No estágio 4 a rotação D1 é fixada e a rotação D2 é liberada Esse processo continua até atingir a convergência das rotações dos nós que ocorre quando os incrementos de rotação dos nós são desprezíveis Capitulo12 Processo de Cross e317 Dy T KMD DT YD DST SED DT p D DT PTD Figura126 Interpretacdo fisica da solucdo iterativa do sistema de equacdes de equilibrio da viga da Figura 125 configurac6es deformadas com fator de amplificacdo igual a 150 Devese observar que em cada estagio da solucao iterativa mostrada na Figura 126 os momentos fletores nas barras da viga poderiam ser determinados com base nos valores correntes das rotacdes D e D Isso ocorre porque conforme resumido ao final da Seao 116 uma configuracao deformada cinematicamente determinada define os es forcos internos e externos em um modelo estrutural Dessa forma podese acompanhar a evolucao da distribuicao dos momentos fletores nas barras e o desequilibrio de momentos fletores nos nds ao longo do processo A analogia da solucdo iterativa indicada na Figura 126 com o experimento mostrado na Secao 121 é evidente Em cada estagio do processo iterativo apenas um no tem a rotacao liberada O né liberado gira até atingir um estado de equilibrio O incremento de rotacao esta associado ao valor do desequilibrio de momentos fletores no nd Com o giro do né as barras adjacentes se deformam ocorrendo uma redistribuicao de momentos fletores nessas barras e afetando o equilibrio do né adjacente No estagio seguinte a rotacao do no liberado é fixada com o valor acumulado de rotagao de todos os estagios anteriores O equilibrio de momentos fletores no né fixado é alterado pela liberacao da rotacao do né adjacente O nd que tem a sua rotacao fixada artificialmente s6 fica equilibrado com a aplicacao de um momento exter no O processo iterativo continua até que a estrutura atinja uma situacao de equilibrio global na qual nao é necessario aplicar momentos externos nos nos interiores 124 FORMALIZACAO DO PROCESSO DE CROSS O método da distribuiao de momentos pode ser visto como a juncao de duas ideias apresentadas nas Sedes 122 e 123 A solucao do método segue a mesma linha do processo iterativo mostrado na secao anterior A diferenga é que as rota ges nao sao calculadas em cada estagio do processo Em vez disso é feito um acompanhamento detalhado da evolucgao dos valores dos momentos fletores nas extremidades de todas as barras Os valores dos momentos fletores nas barras sao determinados em cada estagio com base na distribuicao de parcelas equilibrantes estudada na Segao 122 Inicialmente o processo de Cross é mostrado para uma estrutura que tem apenas um no a equilibrar Em seguida na Secao 1242 o processo é formalizado com auxilio da viga continua estudada na Secao 123 1241 Processo de Cross para portico com uma deslocabilidade O processo de Cross é formulado nesta segao para um portico que sé tem uma rotacao nodal livre O objetivo é mostrar que utilizando o principio basico de distribuicéo de momento externo aplicado a um no dado pela Equacao 123 po dese determinar diretamente os valores das parcelas equilibrantes de momentos fletores nas barras sem ser necessario calcular a rotacao do no e318 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Considere o pórtico mostrado na Figura 127 que tem barras inextensíveis e rigidez à flexão EI constante para todas as barras As barras estão numeradas conforme mostra a figura e a barra 1 tem uma articulação na base 1 2 3 Figura 127 Pórtico com uma deslocabilidade interna Süssekind 19773 Os coeficientes de rigidez à rotação das três barras do exemplo com relação ao nó central nó que tem a desloca bilidade interna são 5 3 1 EI K 4 4 2 EI K e 6 4 3 EI K Utilizando a Equação 121 podese determinar os coeficientes de distribuição de momento das três barras no nó central 26 0 3 2 1 1 1 K K K K γ 44 0 3 2 1 2 2 K K K K γ e 30 0 3 2 1 3 3 K K K K γ A Figura 128 mostra o estágio inicial do processo de Cross para o pórtico estudado A figura também indica os valo res dos coeficientes de distribuição de momento das três barras com relação ao nó central Nesse estágio o nó tem a rotação fixada com valor nulo isto é o nó está completamente engastado Nessa situação as barras descarregadas não apresentam momentos fletores e a barra carregada tem momentos fletores de engastamento perfeito que são obtidos da Figura 927 Observase que os momentos fletores nas seções transversais adjacentes ao nó central não estão equilibrados No segundo estágio do processo o nó central tem a rotação liberada Figura 129 De acordo com o que foi visto na Seção 122 o momento total desequilibrante no nó com valor de 300 kNm é equilibrado por parcelas equilibran tes de momentos fletores nas três barras adjacentes ao nó Figura 128 Estágio inicial do processo de Cross para o pórtico da Figura 127 300 300 90 132 78 66 45 t 12 t 12 t 0 300 026 78 300 044 132 300 030 90 Parcelas Equilibrantes M kNm 0 Figura 129 Estágio final do processo de Cross para o pórtico da Figura 127 Capítulo 12 Processo de Cross e319 As parcelas equilibrantes indicadas na Figura 129 são proporcionais aos valores dos coeficientes de distribuição de momento e têm sentido contrário ao momento desequilibrante O sentido contrário é indicado pelo sinal contrário das parcelas equilibrantes em relação ao momento desequilibrante o que é consistente com a convenção de sinais ado tada no processo de Cross a mesma do método dos deslocamentos Também conforme visto na Seção 122 o equilíbrio do nó central acarreta um transporte de momentos fletores para os outros nós das barras As parcelas transmitidas de momentos fletores são determinadas pelos coeficientes de transmissão de momento t indicados na Figura 129 As parcelas equilibrantes e transmitidas de momentos fletores nas barras que são obtidas no segundo estágio do processo se acumulam nos momentos fletores do estágio inicial de engastamento perfeito Esse acúmulo é consistente com o acúmulo de rotações nodais que é uma característica do processo iterativo mostrado na Seção 123 Os valores finais acumulados de momentos fletores nas extremidades das barras do pórtico estudado são mostrados na Figura 1210 O diagrama de momentos fletores desenhado com ordenadas do lado da fibra tracionada também está indicado na figura Figura 1210 Diagrama final de momentos fletores para o pórtico da Figura 127 Pela análise do pórtico desta seção observase que a aplicação do processo de Cross para uma estrutura com apenas uma deslocabilidade é muito simples Os momentos fletores nas barras são determinados sem que seja ne cessário calcular rotações Essa simplicidade é mantida para o caso de mais de uma deslocabilidade conforme será visto em seguida 1242 Processo de Cross para viga com duas deslocabilidades No exemplo da seção anterior após o estágio inicial é necessário apenas um passo para equilibrar o nó e terminar o processo iterativo Isso ocorre porque só existe um nó a equilibrar Quando a estrutura tem mais de uma deslocabilidade isto é quando tem mais de um nó a equilibrar aplicase a mesma metodologia de equilíbrio nodal baseado nos coefi cientes de distribuição de momento Nesse caso entretanto as parcelas transmitidas de momentos fletores no equilíbrio de um nó acarretam o desequilíbrio de nós adjacentes já equilibrados Portanto para atingir a convergência final do processo é necessário repetir ciclos de equilíbrio nodal até que as parcelas transmitidas sejam desprezíveis Esse é justamente o processo iterativo que foi mostrado na Seção 123 A única diferença é que no processo de Cross formalizado nesta seção as rotações dos nós equilibrados não são calculadas Em vez disso os valores dos momentos fletores nas barras são determinados em cada estágio Para exemplificar a metodologia de cálculo do processo de Cross para estruturas com mais de uma deslocabilidade será feita a análise da mesma viga contínua estudada na Seção 123 Figu ra 125 A Figura 1211 indica todos os estágios dessa solução Apenas os dois nós interiores são equilibrados a primeira barra é considerada articulada na extremidade esquerda Adotase uma precisão de 01 kNm para momentos fletores isto é uma casa decimal para representar os valores dos momentos fletores e320 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Estágio 0 0 640 1140 1140 840 840 Estágio 1 0 180 320 160 Estágio 2 0 115 230 230 115 Estágio 3 0 41 74 37 Estágio 4 0 09 19 18 09 Estágio 5 0 03 06 03 Estágio 6 0 0 01 02 01 Final 0 864 864 1090 1090 715 036 064 050 050 A B C D Figura 1211 Processo de Cross para a viga contínua da Figura 125 momentos em kNm Os coeficientes de distribuição de momento estão indicados em cada nó na Figura 1211 Os cálculos desses coefi cientes para o primeiro nó são 0 36 6 4 8 3 8 3 EI EI EI γ BA e 0 64 6 4 8 3 6 4 EI EI EI BC γ Para o segundo nó temse 0 50 6 4 6 4 6 4 EI EI EI CD CB γ γ O processo mostrado na Figura 1211 inicia no estágio 0 que corresponde a uma situação de engastamento per feito Os valores dos momentos fletores iniciais nas barras são determinados com base na Figura 927 Observase que existe um desequilíbrio no primeiro nó de 640 1140 500 kNm O segundo nó tem um desequilíbrio de 1140 840 300 kNm No estágio 1 o primeiro nó é equilibrado No caso geral de uma estrutura com várias deslocabilidades não existe uma ordem preferencial para o equilíbrio dos nós qualquer nó desequilibrado pode ser o próximo a ser equilibrado Entretanto o processo converge mais rapidamente se em cada estágio o nó que tiver o maior desequilíbrio em módulo naquele instante for o nó a ser equilibrado Süssekind 19773 O equilíbrio do primeiro nó resulta nas seguintes parcelas equilibrantes 500 036 180 kNm 500 064 320 kNm Conforme mostra a Figura 1211 após o equilíbrio do nó as parcelas equilibrantes são sublinhadas para indicar que os momentos fletores acima naquele nó estão em equilíbrio somados resultam em um valor nulo O equilíbrio desse nó não transmite momento fletor para a esquerda pois a extremidade oposta da barra à esquerda é articulada A parcela transmitida para a direita é igual à metade da parcela equilibrante t 12 320 12 160 kNm Essa parcela transmitida vai se somar ao momento fletor na seção transversal à esquerda do segundo nó Como este ainda não foi equilibrado o seu desequilíbrio total é 1140 840 160 460 kNm No estágio 2 o equilíbrio do segundo nó resulta em parcelas equilibrantes iguais estas aparecem sublinhadas na Figura 1211 460 050 230 kNm As parcelas transmitidas nesse equilíbrio também são iguais 230 12 115 kNm A parcela transmitida para a direita vai para a seção transversal do engaste A única consequência é que essa par cela se soma ao momento fletor inicial na seção do engaste que absorve qualquer valor de momento fletor A parcela transmitida para a esquerda por sua vez desequilibra o primeiro nó já equilibrado Não há problema basta começar um novo ciclo de equilíbrio nodal iterando até convergir Capitulo12 Processo de Cross e321 O desequilibrio de 115 kNm no primeiro no é resolvido no estagio 3 As parcelas equilibrantes sao 4115 036 41 kNm 115 064 74kNm Esses valores sao aproximados de maneira que utilizando uma casa decimal resultam em uma soma exatamente igual a 115 kNm forcando dessa forma o equilibrio de momentos fletores conforme a precisao desejada Observase que um procedimento semelhante é feito no estagio 4 que equilibra a parcela transmitida de 37 kNm Os valores das parcelas equilibrantes de 19 kNm e 18 kNm foram obtidos de maneira a somar exatamente 37 kNm mesmo que em principio eles devessem ser iguais os dois coeficientes de distribuigao de momento no né sao iguais a 050 Com esse procedimento os momentos fletores finais do processo satisfazem 0 equilibrio com o nt mero de casas decimais especificado para a precisao No estagio 4 as parcelas transmitidas para a esquerda e para a direita sao iguais 09 kKNm Como se esta utili zando apenas uma casa decimal para representar os valores de momentos o arredondamento da metade de 19 kNm poderia ser para cima ou para baixo Optouse por arredondar para baixo porque isso faz o processo iterativo convergir mais rapidamente Observe que as diferencas de valores sao muito pequenas da ordem da precisao especificada No ultimo estagio o estagio 6 ocorre o mesmo que no estagio 4 as parcelas equilibrantes de 01 kNm e 02 kNm nfo sao iguais mas equilibram o momento desequilibrante de 03 KNm com uma casa decimal Nesse estagio a parcela transmitida para a esquerda metade de 01 kNm foi arredondada para um valor nulo a fim de que o primeiro no permaneca em equilibrio e o processo termine Devese observar que as parcelas transmitidas sempre decrescem em médulo 0 que garante a convergéncia do processo iterativo Isso se deve a dois motivos primeiro as parcelas equilibrantes decrescem em modulo em relacgao ao momento desequilibrante em cada nd pois os coeficientes de distribuicao de momento sao no maximo iguais a uma unidade em geral menores que uma unidade e segundo porque os coeficientes de transmissao de momento também sao menores que uma unidade Os valores dos momentos fletores finais nas extremidades de todas as barras mostrados no final da tabela da Figu ra 1211 sao determinados com base no acumulo soma com sinal dos momentos fletores de todos os estagios do pro cesso A Figura 1212 mostra o diagrama de momentos fletores na viga continua desenhado do lado da fibra tracionada m kNm 864 cae 715 ee 64 4 71 126 Figura1212 Diagrama de momentos fletores da viga continua da Figura 125 125 APLICAGAO DO PROCESSO DE CROSS A QUADROS PLANOS A metodologia do processo de Cross apresentada na secao anterior pode ser aplicada diretamente para porticos planos indeslocaveis sem translacdes nodais Isso é exemplificado nesta secéo com a solucéo do quadro plano mostrado na Figura 1213 O objetivo dessa solugao é obter o diagrama de momentos fletores do quadro pelo processo de Cross uti lizando uma precisao de 1 kKNm isto sem nenhuma casa decimal Todas as barras do portico sao inextensiveis e tém a mesma inércia a flexao EI para todas as se6es transversais 30 kNn EA B Dh c I lo G V 3m 10 m 10 m Figura1213 Exemplo de portico plano para solucdo pelo processo de Cross e322 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Conforme estudado no Capítulo 11 o pórtico da Figura 1213 só tem deslocabilidades internas rotações nodais As deslocabilidades do nó E não são consideradas pois o nó corresponde a uma extremidade livre de balanço A rota ção do nó F não está sendo considerada como deslocabilidade pois a barra superior da direita é interpretada com uma articulação no nó F Seções 1142 e 1143 Dessa forma o quadro tem quatro deslocabilidades internas que são as rotações dos nós A B C e D A solução iterativa do processo de Cross do quadro da Figura 1213 é mostrada na Figura 1214 que indica os coe ficientes de distribuição de momento de cada barra para cada nó a ser equilibrado No nó A somente as barras AB e AC são consideradas para a determinação dos coeficientes pois a barra AE é um balanço sem rigidez à rotação em relação ao nó A Os cálculos dos coeficientes para esse nó são 3 1 5 4 10 4 10 4 EI EI EI γ AB e 3 2 5 4 10 4 5 4 EI EI EI AC γ Para o nó B os cálculos dos coeficientes são 0 27 5 4 10 3 10 4 10 4 EI EI EI EI γ BA 0 20 5 4 10 3 10 4 10 3 EI EI EI EI γ BF e 0 53 5 4 10 3 10 4 5 4 EI EI EI EI BD γ No nó C temse 0 40 5 4 10 4 5 4 5 4 EI EI EI EI CG CA γ γ e 0 20 5 4 10 4 5 4 10 4 EI EI EI EI CD γ Finalmente os coeficientes de distribuição de momento para o nó D são 3 2 5 4 10 4 5 4 EI EI EI γDB e 3 1 5 4 10 4 10 4 EI EI EI DC γ 39 35 1 1 78 17 2 78 3 39 1 72 93 207 38 75 053 027 020 22 44 3 7 375 36 23 13 04 02 04 13 23 3 336 111 55 95 47 2 1 1 107 25 250 24 17 2 0 311 250 49 8 4 0 168 167 28 39 11 1 167 56 19 22 0 1 0 107 135 135 0 Figura 1214 Processo de Cross para o quadro plano da Figura 1213 momentos em kNm O processo de Cross mostrado na Figura 1214 é iniciado com o cálculo dos momentos de engastamento perfei to das barras carregadas Nas barras AB BF e CD os momentos de engastamento são obtidos a partir da Figura 927 Observase que os momentos fletores iniciais da barra CD são arredondados para a precisão desejada O momento de engastamento no nó A da barra EA é calculado conforme indica o detalhe no canto superior esquerdo da Figura 1214 cálculo isostático de reações de engastamento de uma barra em balanço com carga uniformemente distribuída O momento fletor dessa barra em A é negativo pois atua na extremidade da barra no sentido horário Em cada passo do processo procurase equilibrar o nó que tem o maior momento desequilibrante em módulo No estágio inicial os nós C e D têm o valor máximo em módulo de momento desequilibrante e se optou por equilibrar o nó D momento desequilibrante igual a 167 kNm no primeiro passo Considerando os coeficientes de distribuição de Capitulo12 Processo de Cross e323 momento nesse no témse como parcelas equilibrantes 111 kNm na barra DB e 56 kNm na barra DC As parcelas transmitidas sao 55 kNm arredondada para baixo para o no B e 28 kNm para o no C No passo seguinte 0 nd C é 0 que tem 0 maior momento desequilibrante em modulo 167 28 195 kNm O equilibrio desse no acarreta a transmissao de momentos para os nds A e D este passa a ficar desequilibrado novamente O proximo nd a ser equili brado é 0 né B em seguida 0 no A e assim sucessivamente até que os momentos transmitidos sejam menores do que 1 kNm a precisao desejada A Figura 1214 mostra os momentos fletores finais nas extremidades de todas as barras Os valores finais sao calcu lados superpondo os valores dos momentos de todos os estagios do processo O diagrama de momentos fletores finais desse exemplo é indicado na Figura 1215 311 336 135 on 75 NN 25 7 ee nN 250 I i 75 3 S 07 m kNm 38 Figura1215 Diagramade momentos fletores do quadro plano da Figura 1213 126 APLICACAO DO PROCESSO DE CROSS A QUADROS COM APOIO ELASTICO ROTACIONAL A consideracao de apoios elasticos em uma anilise pelo método dos deslocamentos foi tratada na Seco 117 Esta secao descreve por meio de um exemplo os procedimentos necessarios para considerar apoios elasticos em uma analise de um portico plano pelo processo de Cross Um apoio elastico rotacional entra na distribuicdo de parcelas equilibrantes de momentos quando um nd é equili brado em um estagio do processo O coeficiente de distribuigao de momento do apoio elastico que define a sua parcela equilibrante é calculado com base no seu coeficiente de rigidez rotacional Isso é explicado para 0 portico mostrado na Figura 1216 que tem dois apoios elasticos rotacionais 10 KNm g RE UA EI 24000 kNm F 7 5 10 kNm 3 S S EL 24000 kN CZF 5000 kNmrad Ec Il re a Vo 8000 kNmrad bk 3m 12 m Figura1216 Exemplo de portico plano com apoios eldsticos rotacionais A Figura 1216 indica os valores dos parametros de rigidez a flexao EI das barras do portico e os valores dos coeficien tes de rigidez rotacional dos dois apoios elasticos Observe que as barras horizontais sao mais rigidas do que as verticais e324 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos Nesse exemplo os nós estão identificados por letras Os nós equilibrados no processo de Cross são os internos A e B e os dos apoios elásticos C e D A determinação dos coeficientes de distribuição de momentos desses nós é indicada a seguir Esse cálculo considera para cada nó o coeficiente de rigidez à rotação de uma barra 4EIl ou 3EIl em que l é o comprimento da barra e o coeficiente de rigidez rotacional 12000 kNmrad ou 8000 kNrad de um apoio elástico Os coeficientes de distribuição de momentos do nó A são 7 4 3 2400012 4 100005 4 100005 AB γ 7 3 3 2400012 4 100005 3 2400012 AF γ Para o nó B têmse os seguintes coeficientes de distribuição de momentos 3 1 4 100005 4 2400012 4 100005 4 100005 BD BA γ γ 3 1 4 100005 4 2400012 4 100005 4 2400012 BC γ A seguir estão os coeficientes de distribuição de momentos do nó C 40 12000 4 2400012 4 2400012 CB γ 60 12000 4 2400012 12000 Cmola γ Finalmente os coeficientes de distribuição de momentos do nó D são 50 8000 4 100005 4 100005 DB γ 50 8000 4 100005 8000 Dmola γ A solução do processo de Cross para o pórtico com apoios elásticos segue o procedimentopadrão descrito nas seções anteriores Essa solução é mostrada na Figura 1217 e a Figura 1218 ilustra o diagrama de momentos fletores resultante Figura 1217 Processo de Cross para o quadro plano da Figura 1216 momentos em kNm Capitulo12 Processo de Cross e325 1654 7 96 K488 180 F138 M kNm ae Figura1218 Diagramade momentos fletores do quadro plano da Figura 1216 127 APLICAGAO DO PROCESSO DE CROSS A ESTRUTURAS COM DESLOCABILIDADES EXTERNAS O processo de Cross também pode ser aplicado a estruturas com deslocabilidades externas isto é com translag6es nodais Isso é feito com a aplicacao do método dos deslocamentos considerando como incdgnitas apenas as deslocabilidades exter nas O resultado é uma série de casos basicos sendo cada um deles resolvido pelo processo de Cross Siissekind 19773 Essa metodologia é explicada a seguir com base em um exemplo simples 0 portico com uma deslocabilidade ex terna mostrado na Figura 1219 O objetivo é determinar o diagrama de momentos fletores da estrutura Todas as barras sao inextensiveis e t8m a mesma inércia a flexao EI 24000 kNm 180kNm CWT 120 KN e 4m s Figura1219 Exemplo de portico plano com deslocabilidade externa para solucdo pelo processo de Cross Na aplicacao do método dos deslocamentos em conjunto com o processo de Cross para porticos com deslocabi lidades externas o numero de casos basicos é igual ao de deslocabilidades externas mais uma unidade Para 0 exemplo estudado isso é explicado com 0 auxilio da Figura 1220 180 kNm 180 kNm Di TW TW rm a 120 kN 120 kN Mw xDa Figura1220 Decomposicdo em casos basicos para a solucdo do quadro plano da Figura 1219 utilizando o processo de Cross Na Figura 1220 observase que 0 caso 0 isola a solicitagao externa para a estrutura com a deslocabilidade D impe dida e 0 caso 1 considera o efeito isolado dessa deslocabilidade Cada caso basico analisa uma estrutura indeslocavel pelo processo de Cross O caso 1 resolve o problema para um valor fixo e unitario da deslocabilidade externa como se fosse um recalque conhecido no apoio ficticio do sistema hipergeométrico A solucao desse exemplo esta indicada na Figura 1221 Na solucéo mostrada na Figura 1221 utilizamse duas casas decimais para os coeficientes de distribuigao de mo mentos uma precisao de 1 kKNm para momentos fletores no caso 0 e uma precisao de 10 kNmm para momentos fletores no caso 1 e326 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos A Figura 1221 também indica a maneira como são calculados o termo de carga b10 e o coeficiente de rigidez global K11 dessa solução Figura 1220 Depois de resolvidos os casos básicos pelo processo de Cross b10 e K11 são determina dos impondose o equilíbrio global do sistema hipergeométrico na direção horizontal Para tanto é necessário determi nar os valores das reações horizontais nos apoios Isso é feito calculandose os esforços cortantes nas barras verticais a partir dos momentos fletores resultantes do processo de Cross Seção 3734 A figura mostra o isolamento das barras verticais com a indicação dos momentos fletores e esforços cortantes atuantes nas extremidades Também são mostra das as expressões para b10 e K11 que resultam da imposição do equilíbrio global de forças horizontais Outro aspecto interessante da solução ilustrada na Figura 1221 é a determinação dos momentos fletores iniciais estágio 0 do processo de Cross do caso básico 1 Os momentos fletores do estágio 0 correspondem aos momentos de engastamento para a solicitação externa No caso 1 a solicitação externa é um deslocamento horizontal D1 1 imposto ao apoio fictício do SH Conforme comentado anteriormente nesse contexto a solicitação externa é um recalque do apoio fictício Tal solicitação provoca momentos fletores iniciais apenas nas barras verticais pois os nós superiores do pórtico têm rotações fixas estágio 0 Nessa situação inicial a barra horizontal não tem momentos fletores pois sofre apenas um movimento horizontal unitário de corpo rígido Com isso os momentos fletores iniciais na barra vertical da esquerda são iguais a 3EI32 na extremidade superior Figura 915 e zero na extremidade inferior De forma se melhante a barra vertical da direita tem momentos fletores iniciais nas duas extremidades iguais a 6EI32 Figura 910 O equilíbrio iterativo de momentos nos nós superiores do pórtico a partir dos momentos fletores iniciais nas barras verticais resulta nos momentos fletores finais do caso básico 1 Sistema Hipergeométrico Processo de Cross 1 SH Caso 0 Solicitação externa isolada no SH kNm β10 M0 β10 120 1543 2693 2453 kNm 043 057 05 05 0 240 240 0 0 0 120 120 60 129 171 64 32 32 85 16 7 9 3 4 2 1 154 154 180 180 89 154 1543 120 1543 180 89 2693 2693 β10 2693 0 K11 043 057 05 05 0 0 0 8000 16000 16000 3440 6880 1140 240 490 60 120 5590 9120 2280 4560 650 320 120 30 30 10 10 0 10 5590 7560 7560 11770 Caso 1 Deslocabilidade D1 isolada no SH 2280 x D1 M1 3EI32 6EI32 6EI32 K11 55903 193303 249203 kNmm 55903 5590 55903 7560 11770 193303 193303 Equação de equilíbrio 0 1 11 10 K D β 0 249203 2453 1 D m 9 83 10 3 1 D Momentos Fletores Finais 1 1 0 D M M M kNm M 0 99 99 254 205 254 360 1543 ΣFx 0 ΣFx 0 55903 193303 K11 Figura 1221 Solução do quadro plano da Figura 1219 utilizando o processo de Cross Continua Capitulo12 Processo de Cross e327 Equacao de equilibrio By KyD0 2453249203D0 D 4983x10 m Momentos Fletores Finais 254 MMp MD cee 99 254 2 360 99 254 kNm 0 205 wo qi Figura1221 Solucdo do quadro plano da Figura 1219 utilizando o processo de Cross Continuacdo 128 EXERCICIOS PROPOSTOS Cinco quadros planos indicados nas Figuras 1222 a 1226 sao propostos para a andlise pelo processo de Cross 24 kNm INIT 40 kNm oe TWIT aN yt E UU UE A 5 kK 4m 4 b 6 m S 6 m Sk 2 m Lm am ske 4m Figura1222 Exercicio proposto 1 Figura1223 Exercicio proposto 2 12 kNm 30 ym 30 kn 5 T TUTTI 1 RLU as 2550000 kNmrad i Dy Oet0s lente 1 fe gm s gp sle 3m 3 be 2m She 2 m Sf 4 m S 4 m 3 Figura1224 Exercicio proposto 3 Figura1225 Exercicio proposto 4 30 kKN q na mn EI 60000 kNm2 EI 60000 kKNm i t NWT 7 ee 20 kNn 9 E EI 80000 kNm 60 kNm mun 4 W fe 1 py Ste 10 m re 10 oom ake 4m ake 35m Figura1226 Exercicio proposto 5 Figura1227 Exercicio proposto 6 e328 Análise de Estruturas Conceitos e Métodos Básicos EI constante Figura 1228 Exercício proposto 7