Análise de Sensibilidade em Pesquisa Operacional II

Pesquisa Operacional II 5 Análise de sensibilidade Faculdade de Engenharia Eng Celso Daniel Engenharia de Produção Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Interpretação econômica do problema dual Cada variável wi do dual está diretamente relacionada com a restrição i do problema primal O valor ótimo desta variável wi recebe diversas denominações entre elas PreçoSombra Shadow Price PreçoDual DualPrice Portanto cada restrição i possui um PreçoSombra wi Cada variável wi do dual está diretamente relacionada com a restrição i do problema primal O valor ótimo desta variável wi recebe diversas denominações entre elas PreçoSombra Shadow Price PreçoDual DualPrice Portanto cada restrição i possui um PreçoSombra wi Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira PreçoSombra O PreçoSombra para o recurso i wi mede o valor marginal deste recurso em relação o lucro total Isto é a quantidade que o Lucro Total Z poderia ser melhorado caso a quantidade do recurso i bi puder e for aumentado a uma quantidade igual à unidade Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Interpretação econômica do problema dual Cada variável de folga restrição do dual está diretamente relacionada com uma determinada variável original do problema primal Este valor é chamado de Custo Reduzido Portanto cada variável do problema original possui um determinado Custo Reduzido Cada variável de folga restrição do dual está diretamente relacionada com uma determinada variável original do problema primal Este valor é chamado de Custo Reduzido Portanto cada variável do problema original possui um determinado Custo Reduzido Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Custo Reduzido O Custo Reduzido de uma variável é o total que o seu coeficiente na função objetivo deve melhorar para que ela deixe de ser zero na solução ótima Ou quanto a função objetivo irá piorar para cada unidade que ela aumente a partir de zero O Custo Reduzido só se aplica a variáveis que na solução ótima são zero Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Análise de sensibilidade As quantidades informadas pelas grandezas Preço Sombra e Custo Reduzido refletem as conseqüências de alterações unitárias Alterações diferentes da unidade provocaram conseqüências proporcionais Entretanto estes valores só podem ser garantidos dentro de intervalos Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Intervalos de validação do PreçoSombra e do Custo Reduzido O Custo Reduzido também possui intervalos nos quais ele é válido A análise de sensibilidade determina estes intervalos em que o Custo Reduzido e o PreçoSombra são válidos Existe uma outra razão para estabelecer estes intervalos o problema da certeza dos coeficientes Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Análise de sensibilidade A análise de sensibilidade serve também para amenizar a hipótese de certeza nos coeficientes e constantes Em uma análise de sensibilidade queremos responder basicamente a três perguntas Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da função objetivo Qual o efeito de uma mudança numa constante de uma restrição Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira A pergunta Qual o efeito de uma mudança num coeficiente de uma restrição também parece importante de ser respondida e é Entretanto a análise de sensibilidade geralmente não responde à esta pergunta A quantidade de coeficientes é muito grande Análise de sensibilidade Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Análise de sensibilidade Existem dois tipos básicos de análise de sensibilidade Estabelece limites inferiores e superiores para todos os coeficientes e constantes LindoExcel Hipótese de uma alteração a cada momento Verifica se uma ou mais mudanças em um problema alteram a sua solução ótima Mais complicado Pode ser feito através da alteração do problema e sua nova resolução Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Consideremos o seguinte problema de PL 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Max 2 sa 2 3 6 5 5 5 0 Z x x x x x x x x x Análise de sensibilidade Realizaremos a análise de sensibilidade utilizando o software Lindo Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Lindo Relatório de resposta Valor Ótimo da Função Objetivo Valor das Variáveis Originais Solução Ótima Valor das Variáveis de Folga ou Excesso Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Lindo Relatório de resposta Valores das variáveis do problema dual Custo Reduzido Variáveis de folgaexcesso do dual Se uma variável do problema original for maior do que zero o valor da variável do dual relacionada será zero isto é o valor do Custo Reduzido será zero Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Lindo Relatório de resposta Variações de incremento e decremento as quais cada coeficiente da função objetivo isoladamente pode ter sem que a solução ótima valores finais de x1 e x2 se altere Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Análise de sensiblidade 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Max 2 sa 2 3 6 5 5 5 0 Z x x x x x x x x x 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Max 12 2 sa 2 3 6 5 5 5 0 Z x x x x x x x x x E se mudarmos um coeficiente da função objetivo Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Lindo Relatório de resposta A solução ótima não mudou já que o coeficiente permaneceu dentro do intervalo de variação do coeficiente O valor da função objetivo alterou Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Max 2 sa 2 3 6 5 5 5 0 Z x x x x x x x x x 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Max 14 2 sa 2 3 6 5 5 5 0 Z x x x x x x x x x E se mudarmos um coeficiente da função objetivo Análise de sensiblidade Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Lindo Relatório de resposta A solução ótima foi mudada Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira OU Até quanto estamos dispostos a pagar por uma unidade adicional de recurso PreçoSombra de uma restrição mede o quanto o valor ótimo da função objetivo varia por unidade de acréscimo no lado direito da restrição Lindo Relatório de resposta Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Max 2 sa 2 3 6 5 5 5 0 Z x x x x x x x x x 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Max 2 sa 2 3 7 5 5 5 0 Z x x x x x x x x x E se mudarmos os termos independentes das restrições Análise de sensiblidade Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Lindo Relatório de resposta Se mudarmos o lado direito da 1a restrição para 7 a função objetivo sofrerá uma variação de 042857143 Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Lindo Relatório de resposta Variações de incremento e decremento as quais cada constante das restrições isoladamente podem ter sem que os valores dos PreçosSombra Dual Price se alterem Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Lindo Relatório de resposta das duas otimizações Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Max 2 sa 2 3 6 5 5 5 0 Z x x x x x x x x x 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Max 2 sa 2 3 10 5 5 5 0 Z x x x x x x x x x Análise de sensiblidade Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Lindo Relatório de resposta Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Max 2 sa 2 3 6 5 5 5 0 Z x x x x x x x x x 1 2 1 2 1 2 2 1 2 Max 2 sa 2 3 11 5 5 5 0 Z x x x x x x x x x Análise de sensiblidade Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Lindo Relatório de resposta Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Mudanças simultâneas em coeficientes A análise de sensibilidade só é valida quando apenas um dos coeficientes é alterado isoladamente Porém existem situações que podemos utilizar a análise de sensibilidade feita pelo ExcelLindo para garantir que a solução ótima não se altere Esta regra é conhecida como Regra de 100 Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Mudanças simultâneas em coeficientes Caso 1 Quando todas as variáveis cujos coeficientes da função objetivo se alterarem tiverem Custo Reduzido diferentes de zero Neste caso a solução ótima permanece inalterada desde que todos os coeficientes alterados permaneçam dentre dos limites permitidos Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Mudanças simultâneas em coeficientes Caso 2 Quando pelo menos uma das variáveis cujos coeficientes da função objetivo se alteram tem Custo Reduzido com valor igual a zero Neste caso devemos calcular uma razão entre a alteração do coeficiente e a variação permitida para todas as variáveis que tiverem seus coeficientes alterados Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Mudanças simultâneas em coeficientes Para cada variável com coeficiente alterado calcule se 0 se 0 j j j j j j j c c I r c c D onde cj valor original do coeficiente cj variação do coeficiente Ij incremento permitido do coeficiente Dj decremento permitido do coeficiente Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Mudanças simultâneas em coeficientes Caso mais de uma alteração seja feita simultaneamente a solução ótima permanecerá constante se 1 jr 1 jr Isto não significa dizer que se a solução ótima tem que se alterar significa apenas que a regra não pode garantir que ela permanecerá constante Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Mudanças simultâneas em coeficientes Se existir apenas uma alteração a solução ótima será inalterada se rj 1 Isto tem o mesmo significado da regra original significando que o numerador da razão alteração no coeficiente é menor que o denominador alteração máxima permitida Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Exemplo da regra do 100 Será que a solução ótima se manterá se mudarmos o coeficiente de x1 para 50 e o de x2 para 45 1 1 2 2 10 20 15 20 c I c I 1 2 2 1 5 2 1 2 15 2 3 3 5 10 1 2 1 2 Max Z 40 30 20 5 21 0 0 x x s a x x x x x x x Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Exemplo 1 1 2 2 10 20 15 20 c I c I 1 1 1 2 2 2 10 05 20 15 075 20 c r I c r I 05 075 125 jr Logo este não é um acréscimo permitido Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Análise de sensibilidade solução degenerada A solução de um problema de Programação Linear algumas vezes apresenta uma anomalia conhecida como degeneração Uma solução de um PL é dita degenerada quando o valor de incremento ou decremento de uma restrição é igual a zero A presença de degeneração altera a interpretação da análise de sensibilidade em um certo número de maneiras Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Quando a solução ótima é degenerada O valor do Custo Reduzido pode não ser único O valor de incremento e decremento dos coeficientes da função objetivo são ainda validos De fato os valores podem se alterar substancialmente acima deste valores sem que a solução ótima se altere O valor do PreçoSombra Shadow Price e seus intervalos podem continuar sendo interpretados da mesma maneira contudo podem não ser únicos Análise de sensibilidade solução degenerada Pesquisa Operacional II Profa Dra Lilian Kátia de Oliveira Referências Bibliográficas LACHTERMACHER G Pesquisa operacional na tomada de decisão modelagem em Excel 2ª edição revista e atualizada Editora Campus 2004 HILLIER F S Introdução à pesquisa operacional Rio de Janeiro Editora Campus 1988