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Engenharia de Produção ·
Álgebra Linear
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ÁLGEBRA LINEAR André Ricardo Rocha da Silva RF M P Você 14 10 12 Amiga 20 8 16 Quadro 1 Quantidade de cada produto financeiro ofertado Os números apresentados nesse quadro podem ser representados como O arranjo acima corresponde a uma matriz e cada número desse arranjo é denominado de elemento da matriz Cada linha representa o quanto de cada produto financeiro você e sua amiga ofertaram por exemplo na segunda linha é visto que sua amiga ofertou 20 fundos de renda fixa 8 fundos multi mercado e 16 planos de previdência Já cada coluna representa o quanto você e sua amiga ofertaram de cada tipo de produto financeiro por exemplo a primeira coluna mostra que você ofertou 14 fundos de renda fixa e sua amiga ofertou 20 fundos desse mesmo tipo Dessa forma uma matriz é simplesmente um agrupamento retangular de números dispostos regularmente em linhas e colunas O tamanho de uma matriz é definido pelo número de linhas e colunas que ela contém Assim uma matriz é dita ser do tipo m n leiase m por n quando ela tem m linhas e n colunas No exemplo anterior a matriz que representa o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês de janeiro é do tipo 2 3 m 2 e n 3 Consequentemente podese desenvolver uma classificação de diferentes tipos de matrizes baseada no tamanho delas Introdução ao estudo das matrizes 2 Matriz retangular É aquela na qual o número de linhas e colunas é diferente isto é m n A matriz a seguir é retangular pois é do tipo 2 3 Outro exemplo desse tipo de matriz seria o seguinte que é uma matriz do tipo 3 2 Matriz quadrada É aquela que contém o mesmo número de linhas e colunas isto é m n Esse é o caso de uma matriz do tipo 2 2 Matriz coluna É um caso particular de matriz retangular composta por uma única coluna Por isso é do tipo m 1 O exemplo a seguir mostra uma matriz coluna do tipo 3 1 Uma matriz coluna pode representar as componentes de um vetor e por isso também é conhecida por vetor coluna 3 Introdução ao estudo das matrizes Matriz linha É outro caso particular de matriz retangular pois é composta por uma única linha e por isso do tipo 1 n O exemplo a seguir mostra uma matriz linha do tipo 1 2 3 5 Uma matriz linha também pode representar as componentes de um vetor e por isso é conhecida por vetor linha Outra classificação importante de matrizes envolve os elementos da matriz Considere a matriz A dada por O elemento que aparece na intersecção da primeira linha i 1 com a segunda coluna j 2 é o número 0 Assim ele pode ser representado de forma mais geral como a12 0 Dessa maneira cada elemento da matriz é representado por uma coordenada de localização na matriz dada por aij em que o índice i indica a linha e o índice j indica a coluna em que se pode localizar um determinado elemento da matriz Neste exemplo os elementos da matriz são identificados como a11 1 a12 0 a21 6 e a22 4 Ou seja Para a matriz do tipo 2 3 dada por Introdução ao estudo das matrizes 4 os elementos da matriz são identificados como a11 1 a12 4 a13 0 a21 1 a22 2 e a23 3 Matriz diagonal Os elementos da diagonal principal de uma matriz são aqueles em que i j ou seja a11 a22 a33 etc Uma matriz quadrada em que os elementos fora da diagonal principal são todos nulos isto é aij 0 para i j é dita ser diagonal No exemplo a seguir a matriz B é diagonal pois os elementos b21 e b12 são nulos Matriz triangular Há dois tipos de matriz triangular a superior em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos ou seja e a inferior em que os elementos acima da diagonal principal são nulos ou seja Matriz escalar É uma matriz diagonal em que todos os elementos são iguais 5 Introdução ao estudo das matrizes Matriz identidade É um caso particular da matriz escalar pois todos seus elementos da diagonal principal são iguais à unidade isto é ajj 1 para i j Uma notação convencional para a matriz identidade é rotulála por I A matriz identidade do tipo 3 3 é e a matriz identidade do tipo 2 2 é Matriz transposta Dada uma matriz A do tipo 2 3 a matriz transposta de A denotada por AT é obtida pela transposição entre a primeira linha e a primeira coluna e entre a segunda linha e a segunda coluna resultando em uma matriz do tipo 3 2 A matriz transposta de A 1 0 6 4 é AT 1 6 0 4 A matriz transposta de 2 2 1 3 0 7 3 4 5 B é 2 3 3 2 0 4 1 7 5 BT Introdução ao estudo das matrizes 6 Matriz simétrica Uma matriz quadrada é simétrica quando AT A o que implica na seguinte relação entre os elementos da matriz fora da diagonal principal aij aji Por exemplo a matriz a seguir é simétrica uma vez que a12 a21 3 Em contrapartida uma matriz quadrada é antissimétrica se AT A Por exemplo é antissimétrica pois Matriz nula É aquela matriz em que todos os elementos são nulos isto é aij 0 para qualquer valor de i e j Operações com matrizes Depois de conhecidos os diferentes tipos de matrizes você aprenderá como efetuar algumas operações importantes com matrizes tais como adição subtração multiplicação por um escalar e finalmente multiplicação entre matrizes Igualdade Duas matrizes são iguais quando elas têm o mesmo tamanho e seus elementos são todos iguais Se as matrizes quadradas A e B do tipo 2 2 são iguais então aij bij 7 Introdução ao estudo das matrizes Multiplicação entre matrizes A multiplicação entre matrizes exigirá de você um pouco mais de atenção A única condição necessária para que se possa multiplicar duas matrizes A e B é que o número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B Assim se a matriz A é do tipo m n e a matriz B é do tipo p q então o produto AB entre as matrizes somente ocorre se n p Além disso o resultado final dessa multiplicação entre as matrizes A e B será uma nova matriz do tipo m q ou seja com o mesmo número de linhas da matriz A mas com o mesmo número de colunas da matriz B Em particular para o caso de duas matrizes quadradas de mesmo tamanho a matriz resultante do produto entre elas será do mesmo tamanho que elas A existência dessa relação entre o número de colunas de uma matriz com o número de linhas da outra decorre da necessidade de se envolver um mesmo número de elementos para multiplicação entre as matrizes Considere o seguinte exemplo uma matriz A do tipo 2 3 dada por e uma matriz B do tipo 3 1 dada por Como o número de colunas de A que é 3 é igual ao número de linhas de B que também é 3 essa multiplicação é possível Observe também que a multiplicação de uma matriz do tipo 2 3 A por uma matriz do tipo 3 1 B resulta em uma matriz do tipo 2 1 AB Operacionalmente a multiplicação ocorre da seguinte maneira multiplica se a primeira linha da matriz A pela coluna da matriz B elemento por elemento na ordem que estão dispostos primeiro elemento da primeira linha de A 1 com o primeiro elemento da coluna de B 2 segundo elemento da primeira linha de A 1 com o segundo elemento da coluna de B 3 e assim por diante somandose os produtos individuais desses elementos 1 2 1 3 2 1 7 cujo resultado será o primeiro elemento da matriz coluna resultante do pro duto entre A e B Repetese o mesmo procedimento para a segunda linha da matriz A multiplicandoa com a primeira coluna da matriz B cujo resultado 2 2 3 3 3 1 16 corresponderá ao segundo elemento da matriz coluna resultante do produto entre A e B Veja 11 Introdução ao estudo das matrizes Agora considere uma nova matriz A do tipo 1 2 dada por 1 3 e uma nova matriz B do tipo 2 2 dada por Nesse caso o resultado da multiplicação da matriz A pela matriz B será uma matriz do tipo 1 2 Agora para você calcular o produto AB deve multiplicar a linha da matriz A pela primeira coluna da matriz B 1 2 3 2 8 cujo resultado fornece o primeiro elemento da matriz linha resultante do produto entre A e B O segundo elemento dessa matriz é obtido pela multiplicação da linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B 1 3 3 1 6 Veja O último tipo de multiplicação de matrizes relevante é a multiplicação entre duas matrizes quadradas Considere duas matrizes do tipo 2 2 dadas por A matriz resultante do produto AB também será uma matriz quadrada do tipo 2 2 e é operacionalmente obtida como Logo Introdução ao estudo das matrizes 12 1 A multiplicação de uma matriz quadrada A pela matriz identidade I de mesmo tamanho é igual à própria matriz A Se A 3 2 1 5 então o produto AI fica sendo AI 3 2 1 5 3 2 1 5 1 0 0 1 2 Considere duas matrizes quadradas do tipo 3 3 A e B 2 1 3 1 0 1 4 2 3 1 3 0 0 5 1 2 2 2 Então o resultado produto entre elas AB é AB 2 1 1 0 3 2 2 3 1 5 3 2 2 0 1 1 3 2 1 1 0 0 1 2 1 3 0 5 1 2 1 0 0 1 1 2 4 1 2 0 3 2 4 3 2 5 3 2 4 0 2 1 3 2 AB 8 17 7 3 5 2 10 28 8 3 Se uma matriz A 3 2 1 5 multiplica uma matriz B 2 0 1 0 que contém uma coluna ou uma linha inteira com elementos nulos então o resultado será igual a uma matriz que também contém uma coluna ou uma linha inteira com elementos nulos AB 3 2 1 5 8 0 3 0 2 0 1 0 A operação de multiplicação entre matrizes apresenta algumas proprieda des importantes Considere três matrizes A B e C cujos tamanhos permitem realizar as operações de soma e multiplicação para cada situação de interesse Propriedade associativa O resultado da multiplicação da matriz A pelo produto das matrizes B e C é igual ao produto das matrizes A e B multiplicado pela matriz C ABC ABC 13 Introdução ao estudo das matrizes Propriedade distributiva À direita o resultado da multiplicação da soma das matrizes A e B pela matriz C é igual à soma dos produtos das matrizes A com C e B com C A BC AC BC À esquerda o resultado da multiplicação da matriz A pela soma das matrizes B e C é igual à soma dos produtos das matrizes A com B e A com C AB C AB AC Contudo vale a pena observar que em geral o produto entre duas matrizes não é comutativo isto é AB BA note que o produto entre dois escalares é sempre comutativo ou seja 2 3 3 2 6 Para que você entenda isso considere duas matrizes quadradas do tipo 2 2 e O produto AB é dado por O produto BA é dado por Logo quando você compara elemento por elemento em cada uma das matrizes resultantes de AB e BA por exemplo AB11 a11 b11 a12 b21 a11 b11 a21 b12 BA11 você percebe que eles são todos diferentes No entanto a partir desse tratamento geral para o produto de duas matri zes é possível extrair algumas condições particulares que possibilitam gerar AB BA Uma primeira condição surge quando uma das matrizes é a matriz identidade Por exemplo se B I então o produto entre A e I será comutativo Introdução ao estudo das matrizes 14 2 Dadas as matrizes A a11 a12 a21 a22 X x y e B b1 b2 a equação matricial AX B resulta em um sistema de duas equações lineares para as variáveis x e y Veja AX B a11 a12 a21 a22 x y b1 b2 a11x a12y a21x a22y b1 b2 Ou seja a11x a12y a21x a22y b1 b2 Um exemplo típico desse tipo de sistema é o seguinte 3x y 2 x 4y 1 onde nesse caso você pode identificar a matriz A como sendo 3 1 1 4 e a matriz B como sendo 2 1 Aplicações com matrizes Reconsidere o exemplo discutido no início deste capítulo em que você e sua amiga são agentes autônomos A matriz que representa o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês de janeiro é Para o mês de fevereiro o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga é Introdução ao estudo das matrizes 16 Portanto a quantidade de diferentes produtos financeiros que vocês ofer taram nesses dois meses é Logo você ofertou 24 fundos de renda fixa e fundos multimercado en quanto sua amiga ofertou 30 fundos de renda fixa e 22 fundos multimercados Agora considere que vocês recebem uma comissão para cada produto financeiro ofertado Para fundos de renda fixa a comissão é de R 10000 por produto ofertado Já para os fundos multimercados e os planos de previdência as comissões são respectivamente de R 12000 e R 15000 por produto ofertado Para saber o valor total que cada um de vocês receberá de comissão ao final desses dois meses basta primeiro criar uma matriz do tipo 3 1 em que cada elemento será o valor da comissão para cada produto Assim Depois você pode multiplicar o resultado da soma das matrizes A e B ou seja A B com a matriz C Portanto nesses dois meses você receberá um total de R 933000 de comissão e sua amiga receberá um total R 984000 17 Introdução ao estudo das matrizes Como exemplo adicional de multiplicação de matrizes considere uma matriz A do tipo 2 2 dada por A a11 a12 a21 a22 e a matriz identidade I também do tipo 2 2 1 0 0 1 I Então o resultado do produto AI será AI a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22 1 0 0 1 Ou seja AI A Esse resultado é válido para qualquer tipo de matriz quadrada A do tipo m m desde que a matriz identidade também tenha o mesmo tamanho Verifique também que IA A ANTON H BUSBY R C Álgebra linear contemporânea Porto Alegre Bookman 2006 ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2003 CRISPINO M L 320 questões resolvidas de álgebra linear Rio de Janeiro Ciência Mo derna 2012 Introdução ao estudo das matrizes 18
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ÁLGEBRA LINEAR André Ricardo Rocha da Silva RF M P Você 14 10 12 Amiga 20 8 16 Quadro 1 Quantidade de cada produto financeiro ofertado Os números apresentados nesse quadro podem ser representados como O arranjo acima corresponde a uma matriz e cada número desse arranjo é denominado de elemento da matriz Cada linha representa o quanto de cada produto financeiro você e sua amiga ofertaram por exemplo na segunda linha é visto que sua amiga ofertou 20 fundos de renda fixa 8 fundos multi mercado e 16 planos de previdência Já cada coluna representa o quanto você e sua amiga ofertaram de cada tipo de produto financeiro por exemplo a primeira coluna mostra que você ofertou 14 fundos de renda fixa e sua amiga ofertou 20 fundos desse mesmo tipo Dessa forma uma matriz é simplesmente um agrupamento retangular de números dispostos regularmente em linhas e colunas O tamanho de uma matriz é definido pelo número de linhas e colunas que ela contém Assim uma matriz é dita ser do tipo m n leiase m por n quando ela tem m linhas e n colunas No exemplo anterior a matriz que representa o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês de janeiro é do tipo 2 3 m 2 e n 3 Consequentemente podese desenvolver uma classificação de diferentes tipos de matrizes baseada no tamanho delas Introdução ao estudo das matrizes 2 Matriz retangular É aquela na qual o número de linhas e colunas é diferente isto é m n A matriz a seguir é retangular pois é do tipo 2 3 Outro exemplo desse tipo de matriz seria o seguinte que é uma matriz do tipo 3 2 Matriz quadrada É aquela que contém o mesmo número de linhas e colunas isto é m n Esse é o caso de uma matriz do tipo 2 2 Matriz coluna É um caso particular de matriz retangular composta por uma única coluna Por isso é do tipo m 1 O exemplo a seguir mostra uma matriz coluna do tipo 3 1 Uma matriz coluna pode representar as componentes de um vetor e por isso também é conhecida por vetor coluna 3 Introdução ao estudo das matrizes Matriz linha É outro caso particular de matriz retangular pois é composta por uma única linha e por isso do tipo 1 n O exemplo a seguir mostra uma matriz linha do tipo 1 2 3 5 Uma matriz linha também pode representar as componentes de um vetor e por isso é conhecida por vetor linha Outra classificação importante de matrizes envolve os elementos da matriz Considere a matriz A dada por O elemento que aparece na intersecção da primeira linha i 1 com a segunda coluna j 2 é o número 0 Assim ele pode ser representado de forma mais geral como a12 0 Dessa maneira cada elemento da matriz é representado por uma coordenada de localização na matriz dada por aij em que o índice i indica a linha e o índice j indica a coluna em que se pode localizar um determinado elemento da matriz Neste exemplo os elementos da matriz são identificados como a11 1 a12 0 a21 6 e a22 4 Ou seja Para a matriz do tipo 2 3 dada por Introdução ao estudo das matrizes 4 os elementos da matriz são identificados como a11 1 a12 4 a13 0 a21 1 a22 2 e a23 3 Matriz diagonal Os elementos da diagonal principal de uma matriz são aqueles em que i j ou seja a11 a22 a33 etc Uma matriz quadrada em que os elementos fora da diagonal principal são todos nulos isto é aij 0 para i j é dita ser diagonal No exemplo a seguir a matriz B é diagonal pois os elementos b21 e b12 são nulos Matriz triangular Há dois tipos de matriz triangular a superior em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos ou seja e a inferior em que os elementos acima da diagonal principal são nulos ou seja Matriz escalar É uma matriz diagonal em que todos os elementos são iguais 5 Introdução ao estudo das matrizes Matriz identidade É um caso particular da matriz escalar pois todos seus elementos da diagonal principal são iguais à unidade isto é ajj 1 para i j Uma notação convencional para a matriz identidade é rotulála por I A matriz identidade do tipo 3 3 é e a matriz identidade do tipo 2 2 é Matriz transposta Dada uma matriz A do tipo 2 3 a matriz transposta de A denotada por AT é obtida pela transposição entre a primeira linha e a primeira coluna e entre a segunda linha e a segunda coluna resultando em uma matriz do tipo 3 2 A matriz transposta de A 1 0 6 4 é AT 1 6 0 4 A matriz transposta de 2 2 1 3 0 7 3 4 5 B é 2 3 3 2 0 4 1 7 5 BT Introdução ao estudo das matrizes 6 Matriz simétrica Uma matriz quadrada é simétrica quando AT A o que implica na seguinte relação entre os elementos da matriz fora da diagonal principal aij aji Por exemplo a matriz a seguir é simétrica uma vez que a12 a21 3 Em contrapartida uma matriz quadrada é antissimétrica se AT A Por exemplo é antissimétrica pois Matriz nula É aquela matriz em que todos os elementos são nulos isto é aij 0 para qualquer valor de i e j Operações com matrizes Depois de conhecidos os diferentes tipos de matrizes você aprenderá como efetuar algumas operações importantes com matrizes tais como adição subtração multiplicação por um escalar e finalmente multiplicação entre matrizes Igualdade Duas matrizes são iguais quando elas têm o mesmo tamanho e seus elementos são todos iguais Se as matrizes quadradas A e B do tipo 2 2 são iguais então aij bij 7 Introdução ao estudo das matrizes Multiplicação entre matrizes A multiplicação entre matrizes exigirá de você um pouco mais de atenção A única condição necessária para que se possa multiplicar duas matrizes A e B é que o número de colunas da matriz A seja igual ao número de linhas da matriz B Assim se a matriz A é do tipo m n e a matriz B é do tipo p q então o produto AB entre as matrizes somente ocorre se n p Além disso o resultado final dessa multiplicação entre as matrizes A e B será uma nova matriz do tipo m q ou seja com o mesmo número de linhas da matriz A mas com o mesmo número de colunas da matriz B Em particular para o caso de duas matrizes quadradas de mesmo tamanho a matriz resultante do produto entre elas será do mesmo tamanho que elas A existência dessa relação entre o número de colunas de uma matriz com o número de linhas da outra decorre da necessidade de se envolver um mesmo número de elementos para multiplicação entre as matrizes Considere o seguinte exemplo uma matriz A do tipo 2 3 dada por e uma matriz B do tipo 3 1 dada por Como o número de colunas de A que é 3 é igual ao número de linhas de B que também é 3 essa multiplicação é possível Observe também que a multiplicação de uma matriz do tipo 2 3 A por uma matriz do tipo 3 1 B resulta em uma matriz do tipo 2 1 AB Operacionalmente a multiplicação ocorre da seguinte maneira multiplica se a primeira linha da matriz A pela coluna da matriz B elemento por elemento na ordem que estão dispostos primeiro elemento da primeira linha de A 1 com o primeiro elemento da coluna de B 2 segundo elemento da primeira linha de A 1 com o segundo elemento da coluna de B 3 e assim por diante somandose os produtos individuais desses elementos 1 2 1 3 2 1 7 cujo resultado será o primeiro elemento da matriz coluna resultante do pro duto entre A e B Repetese o mesmo procedimento para a segunda linha da matriz A multiplicandoa com a primeira coluna da matriz B cujo resultado 2 2 3 3 3 1 16 corresponderá ao segundo elemento da matriz coluna resultante do produto entre A e B Veja 11 Introdução ao estudo das matrizes Agora considere uma nova matriz A do tipo 1 2 dada por 1 3 e uma nova matriz B do tipo 2 2 dada por Nesse caso o resultado da multiplicação da matriz A pela matriz B será uma matriz do tipo 1 2 Agora para você calcular o produto AB deve multiplicar a linha da matriz A pela primeira coluna da matriz B 1 2 3 2 8 cujo resultado fornece o primeiro elemento da matriz linha resultante do produto entre A e B O segundo elemento dessa matriz é obtido pela multiplicação da linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B 1 3 3 1 6 Veja O último tipo de multiplicação de matrizes relevante é a multiplicação entre duas matrizes quadradas Considere duas matrizes do tipo 2 2 dadas por A matriz resultante do produto AB também será uma matriz quadrada do tipo 2 2 e é operacionalmente obtida como Logo Introdução ao estudo das matrizes 12 1 A multiplicação de uma matriz quadrada A pela matriz identidade I de mesmo tamanho é igual à própria matriz A Se A 3 2 1 5 então o produto AI fica sendo AI 3 2 1 5 3 2 1 5 1 0 0 1 2 Considere duas matrizes quadradas do tipo 3 3 A e B 2 1 3 1 0 1 4 2 3 1 3 0 0 5 1 2 2 2 Então o resultado produto entre elas AB é AB 2 1 1 0 3 2 2 3 1 5 3 2 2 0 1 1 3 2 1 1 0 0 1 2 1 3 0 5 1 2 1 0 0 1 1 2 4 1 2 0 3 2 4 3 2 5 3 2 4 0 2 1 3 2 AB 8 17 7 3 5 2 10 28 8 3 Se uma matriz A 3 2 1 5 multiplica uma matriz B 2 0 1 0 que contém uma coluna ou uma linha inteira com elementos nulos então o resultado será igual a uma matriz que também contém uma coluna ou uma linha inteira com elementos nulos AB 3 2 1 5 8 0 3 0 2 0 1 0 A operação de multiplicação entre matrizes apresenta algumas proprieda des importantes Considere três matrizes A B e C cujos tamanhos permitem realizar as operações de soma e multiplicação para cada situação de interesse Propriedade associativa O resultado da multiplicação da matriz A pelo produto das matrizes B e C é igual ao produto das matrizes A e B multiplicado pela matriz C ABC ABC 13 Introdução ao estudo das matrizes Propriedade distributiva À direita o resultado da multiplicação da soma das matrizes A e B pela matriz C é igual à soma dos produtos das matrizes A com C e B com C A BC AC BC À esquerda o resultado da multiplicação da matriz A pela soma das matrizes B e C é igual à soma dos produtos das matrizes A com B e A com C AB C AB AC Contudo vale a pena observar que em geral o produto entre duas matrizes não é comutativo isto é AB BA note que o produto entre dois escalares é sempre comutativo ou seja 2 3 3 2 6 Para que você entenda isso considere duas matrizes quadradas do tipo 2 2 e O produto AB é dado por O produto BA é dado por Logo quando você compara elemento por elemento em cada uma das matrizes resultantes de AB e BA por exemplo AB11 a11 b11 a12 b21 a11 b11 a21 b12 BA11 você percebe que eles são todos diferentes No entanto a partir desse tratamento geral para o produto de duas matri zes é possível extrair algumas condições particulares que possibilitam gerar AB BA Uma primeira condição surge quando uma das matrizes é a matriz identidade Por exemplo se B I então o produto entre A e I será comutativo Introdução ao estudo das matrizes 14 2 Dadas as matrizes A a11 a12 a21 a22 X x y e B b1 b2 a equação matricial AX B resulta em um sistema de duas equações lineares para as variáveis x e y Veja AX B a11 a12 a21 a22 x y b1 b2 a11x a12y a21x a22y b1 b2 Ou seja a11x a12y a21x a22y b1 b2 Um exemplo típico desse tipo de sistema é o seguinte 3x y 2 x 4y 1 onde nesse caso você pode identificar a matriz A como sendo 3 1 1 4 e a matriz B como sendo 2 1 Aplicações com matrizes Reconsidere o exemplo discutido no início deste capítulo em que você e sua amiga são agentes autônomos A matriz que representa o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga no mês de janeiro é Para o mês de fevereiro o quantitativo de produtos financeiros ofertados por você e sua amiga é Introdução ao estudo das matrizes 16 Portanto a quantidade de diferentes produtos financeiros que vocês ofer taram nesses dois meses é Logo você ofertou 24 fundos de renda fixa e fundos multimercado en quanto sua amiga ofertou 30 fundos de renda fixa e 22 fundos multimercados Agora considere que vocês recebem uma comissão para cada produto financeiro ofertado Para fundos de renda fixa a comissão é de R 10000 por produto ofertado Já para os fundos multimercados e os planos de previdência as comissões são respectivamente de R 12000 e R 15000 por produto ofertado Para saber o valor total que cada um de vocês receberá de comissão ao final desses dois meses basta primeiro criar uma matriz do tipo 3 1 em que cada elemento será o valor da comissão para cada produto Assim Depois você pode multiplicar o resultado da soma das matrizes A e B ou seja A B com a matriz C Portanto nesses dois meses você receberá um total de R 933000 de comissão e sua amiga receberá um total R 984000 17 Introdução ao estudo das matrizes Como exemplo adicional de multiplicação de matrizes considere uma matriz A do tipo 2 2 dada por A a11 a12 a21 a22 e a matriz identidade I também do tipo 2 2 1 0 0 1 I Então o resultado do produto AI será AI a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22 1 0 0 1 Ou seja AI A Esse resultado é válido para qualquer tipo de matriz quadrada A do tipo m m desde que a matriz identidade também tenha o mesmo tamanho Verifique também que IA A ANTON H BUSBY R C Álgebra linear contemporânea Porto Alegre Bookman 2006 ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2003 CRISPINO M L 320 questões resolvidas de álgebra linear Rio de Janeiro Ciência Mo derna 2012 Introdução ao estudo das matrizes 18