Inversão de Matrizes em Álgebra Linear

ÁLGEBRA LINEAR André Ricardo Rocha da Silva Por exemplo para N 3 Aqui o número N1 representa o inverso do número N de modo que qualquer número multiplicado por seu inverso será igual à unidade Esse conceito também pode ser estendido para as matrizes com a devida adaptação Com efeito se A for uma matriz quadrada e B for outra matriz quadrada de mesmo tamanho então a verificação de uma relação do tipo AB BA I onde I é a matriz identidade implica necessariamente que B é a matriz inversa de A Desse modo você pode fazer a seguinte identificação B A1 Logo AA1 A1A I No entanto vale a pena fazer a seguinte ressalva diferentemente dos escalares não existe a relação para matrizes ou seja não é possível dividir algo um escalar ou mesmo uma matriz por uma matriz Para exemplificar como o conceito de matriz inversa pode ser visto con sidere a matriz A dada por cuja matriz inversa é a B pois Inversão de matrizes 2 Para o caso de uma matriz quadrada do tipo 2 2 é possível desenvolver uma solução geral para se determinar sua inversa Sejam a b c e d os ele mentos de uma matriz A e sejam x y z e t os elementos da matriz inversa de A que são em princípio desconhecidos A fim de se determinar os elementos dessa matriz inversa a partir do conhecimento dos elementos de A é necessário que a seguinte relação seja verificada A relação anterior conduz a um conjunto de quatro equações a quatro variáveis x y z e t pois os elementos a b c e d são supostamente conhecidos a partir de uma dada matriz A Logo ax cy 1 bx dy 0 az ct 0 bz dt 1 A partir das duas primeiras equações determinase x e y por exemplo basta isolar a variável x na primeira equação e substituir na segunda obtendose a variável y que depois pode ser substituída na primeira equação a fim de se obter x Desse modo A partir das duas últimas equações determinamse z e t por exemplo basta isolar a variável z na terceira equação z cta e substituir na quarta bcta dt 1 obtendose a variável t que depois pode ser substituída na terceira equação a fim de se obter z Desse modo 3 Inversão de matrizes Como o fator é comum a todos os elementos da matriz inversa você pode fatorálo na montagem da matriz inversa de maneira que No exemplo inicial proposto os elementos da matriz A eram a 3 b 5 c 1 e d 2 e portanto pelo resultado anterior a matriz inversa ficaria que é exatamente a matriz B inicialmente considerada como sendo a matriz inversa de A Uma consequência direta desse resultado para uma matriz do tipo 2 2 é que a matriz inversa existe somente se o denominador ad bc for diferente de 0 Observe que a quantidade ad bc nada mais é que o determinante da matriz A Caso contrário se ad bc 0 a matriz inversa não existe pois todos os elementos da matriz inversa estariam divididos por 0 Nesse sentido dizse que a matriz é invertível Se uma matriz A admite a existência de uma matriz inversa A1 então A1 é única não havendo outra matriz inversa para A Existem algumas propriedades envolvendo as matrizes inversas que valem a pena ser conhecidas Propriedade 1 Se uma matriz A contém uma inversa A1 então a inversa da matriz inversa é a própria matriz A A11 A Inversão de matrizes 4 No exemplo apresentado você viu que Então calculando a inversa dessa matriz A1 que é exatamente a matriz A Propriedade 2 Considere duas matrizes A e B ambas invertíveis então a inversa do produto entre elas AB será igual ao produto das inversas de B e A B1A1 AB1 B1A1 Por exemplo para as matrizes as respectivas matrizes inversas são Já o produto entre as matrizes A e B é Então a matriz inversa desse produto é 5 Inversão de matrizes Mas o produto da matriz inversa de B B1 com a matriz inversa de A A1 também resulta em Logo nesse exemplo verificase a validade da expressão AB1 B1A1 Propriedade 3 Se A é uma matriz quadrada então o produto de n vezes ela mesma será igual a An Além disso se a matriz inversa de A existe então a matriz An também contém uma inversa que é dada por An1 A1n Por exemplo para n 2 e a matriz cuja inversa é você tem que o quadrado de A é e a inversa dessa matriz é dada por No entanto o quadrado da matriz A1 é que é exatamente igual a A21 Logo verificase explicitamente que A21 A12 Inversão de matrizes 6 Matriz ortogonal Uma matriz A é dita ortogonal se sua matriz transposta é igual à sua matriz inversa AT A1 Assim como A1A AA1 I para uma matriz ortogonal vale também ATA AAT I Um bom exemplo de matriz ortogonal surge na física envolvendo a rotação de corpos rígidos ou sistemas de referência no plano Nesse caso a matriz de rotação é dada por A matriz transposta de R obtida trocando a primeira linha pela primeira coluna e a segunda linha pela segunda coluna é Então efetuando o produto entre R e RT você tem em que se empregou a identidade trigonométrica sen2θ cos2θ 1 Similarmente Embora o resultado obtido para encontrar a matriz inversa de uma matriz do tipo 2 2 7 Inversão de matrizes seja muito útil e relativamente fácil de ser construído desenvolver o mesmo procedimento que conduziu a esse resultado para obter a matriz inversa de matrizes de tamanhos maiores pode ser algo extremamente trabalhoso Outro método que você pode utilizar para encontrar a matriz inversa de matrizes de qualquer tamanho envolve apenas operações elementares sobre linhas A ideia básica é perfilar lado a lado uma matriz A que se quer determinar a inversa e a matriz identidade I ambas de mesmo tamanho da seguinte maneira AI Se você multiplicar essa relação por A1 pela esquerda você tem Observe atentamente que essa operação fez com que no lado esquerdo aparecesse a matriz identidade mas principalmente do lado direito surge a matriz inversa de A Portanto se você executar operações elementares entre linhas tal como multiplicar uma linha por uma constante ou somar uma linha com outra linha de modo a transformar a matriz A do lado esquerdo em uma matriz identidade então a matriz resultante que aparece no lado direito após esse processo é essencialmente a matriz inversa de A IA1 Como um primeiro exemplo sobre esse método considere novamente a matriz A dada no exemplo inicial deste capítulo Fazendo o perfilamento entre A e I você tem Agora você deve efetuar algumas operações elementares sobre essa matriz 2 4 a fim de transformar o bloco 2 2 do lado esquerdo em uma matriz identidade Inversão de matrizes 8 Para isso multiplique toda a segunda linha por 3 3 1 20 1 3 60 3 E a nova segunda linha fica Então some os elementos da primeira linha com os da segunda um a um mantendo a mesma ordem 3 51 0 3 60 3 0 11 3 Esses resultados vão compor a nova segunda linha Multiplique a segunda linha por 1 1 0 11 3 0 11 3 E a nova segunda linha fica Note que a segunda linha do lado esquerdo já tem a aparência da segunda linha de uma matriz identidade Agora multiplique a segunda linha por 5 e depois some com a primeira linha 5 0 11 3 3 51 0 3 06 15 E a nova primeira linha fica Por fim divida toda a primeira linha por 9 Inversão de matrizes E a nova primeira linha fica Observe que do lado esquerdo apareceu a matriz identidade Portanto do lado direito dessa relação você tem exatamente a matriz inversa de A Esse resultado para a matriz inversa de certamente já era esperado pois ele já foi obtido de outra maneira no início desta seção No entanto exatamente por já ser um resultado conhecido você pode desenvolver a aplicação desse método de obtenção da matriz inversa com mais segurança A partir deste ponto você já tem condições de empregar o método de inversão de matrizes para matrizes maiores que uma do tipo 2 2 Essa é a grande vantagem desse método Então para um segundo exemplo de uso do método considere a seguinte matriz quadrada do tipo 3 3 Para você encontrar C1 é necessário perfilar a matriz C com a matriz identidade de mesmo tamanho Multiplique a primeira linha por 1 e some com a última linha 1 1 2 31 0 0 1 0 80 0 1 0 2 51 0 1 E a nova terceira linha fica Inversão de matrizes 10 Agora multiplique a primeira linha por 2 e some com a segunda linha 2 1 2 31 0 0 2 5 30 1 0 0 1 32 1 0 E a nova segunda linha fica Multiplique a segunda linha por 2 e some com a terceira linha 2 0 1 32 1 0 0 2 51 0 1 0 0 15 2 1 E a nova terceira linha fica Multiplique a última linha por 1 1 0 0 15 2 1 0 0 15 2 1 E a nova terceira linha fica Aqui você já conseguiu obter a última linha de uma matriz identidade do tipo 3 3 do lado esquerdo Agora o próximo passo é transformar a segunda linha do lado esquerdo na segunda linha de uma matriz identidade Então multiplique a terceira linha por 3 e some com a segunda linha 3 0 0 15 2 1 0 1 32 1 0 0 1 013 5 3 11 Inversão de matrizes E a nova segunda linha fica que no lado esquerdo já corresponde à segunda linha da matriz identidade do tipo 3 3 Agora resta transformar apenas a primeira linha Para isso multiplique a última linha por 3 e some com a primeira linha 3 0 0 15 2 1 1 2 31 0 0 1 2 014 6 3 E a nova primeira linha fica Por fim multiplique a segunda linha por 2 e some com a primeira linha 2 0 1 013 5 3 1 2 014 6 3 1 0 040 16 9 E a nova primeira linha fica Observe que finalmente a matriz que aparece do lado esquerdo é a matriz identidade do tipo 3 3 Portanto a matriz inversa de C é dada por Em princípio você pode obter a matriz inversa desde que ela exista de uma dada matriz quadrada de qualquer tamanho por meio desse método Inversão de matrizes 12 Sistemas lineares com uma equação matricial Todo sistema de equações lineares contém naturalmente uma estrutura matri cial Para que você perceba isso considere um sistema do tipo 2 2 qualquer A estrutura do lado esquerdo dessas duas equações lineares é tipicamente igual àquela que envolveria o produto entre duas matrizes uma matriz qua drada do tipo 2 2 para os coeficientes aij em que i j 1 2 e outra matriz coluna do tipo 2 1 para as variáveis xj em que j 1 2 Dessa forma você pode escrever Similarmente as constantes bi em que i 1 2 que aparecem do lado direito das equações lineares anteriores também podem ser postas em um formato matricial mais especificamente como uma matriz coluna do tipo 2 1 Com efeito o sistema de equações lineares pode ser substituído por uma representação em forma de equação matricial do tipo AX B em que a matriz A é denominada de matriz dos coeficientes a matriz X é a matriz das variáveis e a matriz B é a matriz das constantes 13 Inversão de matrizes Uma vez estabelecida a relação entre sistemas de equações lineares e ma triciais você pode encontrar a solução de tais sistemas por meio das matrizes Veja como isso é possível se a matriz dos coeficientes A é quadrada e admite a existência de uma inversa A1 então você pode determinar a matriz das variáveis por multiplicar a equação matricial do sistema por A1 pela esquerda em que I é a matriz identidade Portanto a solução do sistema será dada pela matriz das variáveis X calculada por meio da relação X A1B Assim tornase necessário saber calcular a matriz inversa associada à matriz dos coeficientes a fim de se obter a solução do sistema Um sistema de equações lineares contém uma única solução quando a matriz dos coeficientes do sistema for invertível Sistemas lineares com matriz inversa Para que você coloque em prática os resultados da seção anterior e portanto consiga resolver um sistema de equações lineares por meio da matriz inversa dos coeficientes considere o seguinte sistema do tipo 2 2 Nesse caso é fácil reconhecer a matriz dos coeficientes Inversão de matrizes 14 enquanto que a matriz das variáveis é e a matriz das constantes é A fim de se determinar X por meio da equação matricial X A1B é necessário calcular a matriz inversa de A Então perfilando a matriz A e a matriz identidade do tipo 2 2 você obtém Primeiro multiplique a primeira linha por 3 e some com a segunda linha 3 1 11 0 3 20 1 0 53 1 E a nova segunda linha fica Divida a segunda linha por 5 E a nova segunda linha fica Agora multiplique a segunda linha por 1 e some com a primeira linha 1 0 135 15 1 11 0 1 025 15 E a nova primeira linha fica 15 Inversão de matrizes Multiplique a primeira linha por 1 1 1 025 15 1 025 15 E a nova primeira linha fica Observe que você já tem do lado esquerdo uma matriz identidade do tipo 2 2 Logo a matriz inversa de A é dada por Por fim para você determinar a matriz X basta calcular o produto matricial A1B Logo a solução desse sistema é dada por em que x 1 e y 5 ANTON H BUSBY R C Álgebra linear contemporânea Porto Alegre Bookman 2006 612 p ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2012 786 p Leitura recomendada CRISPINO M L 320 questões resolvidas de álgebra linear Rio de Janeiro Ciência Moderna 2012 352 p Inversão de matrizes 16