Matrizes Elementares e Operações em Álgebra Linear

ÁLGEBRA LINEAR André Ricardo Rocha da Silva Para o terceiro tipo de operação a soma de um múltiplo de uma linha com outra significa multiplicar todos os elementos de uma linha por um número e depois somar esse resultado à outra linha Por exemplo depois de multiplicar a segunda linha por 3 você pode somar esse resultado com a primeira Observe que essa operação produziu um elemento nulo na segunda coluna da primeira linha Com efeito uma matriz elementar é uma matriz quadrada que pode ser obtida a partir da matriz identidade de mesmo tamanho por meio de uma única operação elementar sobre linhas Veja a seguir alguns exemplos 1 A seguinte matriz é elementar pois foi obtida da matriz identidade por meio da multiplicação por 5 da primeira linha 5 0 0 1 2 Esta matriz é elementar pois foi obtida da matriz identidade por meio da troca entre a primeira e a segunda linha 0 1 0 1 0 0 0 0 1 3 A matriz a seguir é elementar pois foi obtida da matriz identidade por meio da multiplicação da última linha por 2 somada com a primeira linha 1 2 0 1 3 Matrizes elementares e fatoração LU Uma propriedade fundamental das matrizes elementares diz respeito ao efeito que elas causam sobre outras matrizes Se por exemplo uma matriz elementar E1 é resultado da multiplicação da primeira linha da matriz unidade por 2 então a multiplicação dessa matriz elementar à esquerda de outra qualquer de mesmo tamanho A produzirá como único efeito a multiplicação da primeira linha de A por 2 Por exemplo se E1 for dada por e a matriz A for A 2 3 1 1 então o produto E1A fica cujo resultado é igual a multiplicar por 2 a primeira linha da matriz A É possível realizar uma segunda operação elementar sobre linhas na ma triz A multiplicando o produto E1A por uma segunda matriz elementar Por exemplo para a matriz elementar E2 dada por que é uma matriz elementar produzida pela multiplicação da primeira linha da matriz identidade por 3 somada com a segunda linha Então o resultado de E2E1A é que representa simplesmente a multiplicação da primeira linha da matriz E1A por 3 e depois somada com a segunda linha Veja multiplicando a primeira linha de E1A por 3 e depois somando a segunda linha 3 4 6 12 18 12 18 1 1 11 19 Matrizes elementares e fatoração LU 4 o resultado é que é exatamente o mesmo de E2E1A Desse modo duas ou mais operações elementares realizadas sobre uma matriz A qualquer podem ser obtidas pela multiplicação sucessiva das matrizes elementares que produzem tais operações sobre linhas A aplicação sucessiva de duas operações elementares a e b respectivamente sobre uma matriz A implica uma mesma ordem de aplicação das matrizes elementares representativas dessas operações EbEaA Portanto o conceito de matrizes elementares é fundamental para a resolu ção de sistemas de equações lineares pois permite o desenvolvimento de um algoritmopadrão para a realização de operações elementares sobre as linhas da matriz dos coeficientes do sistema a fim de solucionálo Inversão de matrizes Um aspecto importante sobre as operações elementares é que a mudança gerada por uma operação pode ser desfeita por meio de outra operação elementar Considere a matriz elementar obtida da matriz identidade multiplicando a primeira linha por 5 Essa operação pode ser desfeita por meio da multiplicação da primeira linha por 15 ou seja multiplicando E1 pela matriz elementar 5 Matrizes elementares e fatoração LU Observe com atenção como a primeira matriz elementar E1 tem origem na matriz identidade I por meio de uma operação elementar então desfazer essa operação elementar implica retornar à matriz identidade E por isso a matriz elementar que desfez a operação dada por E1 foi propositalmente denotada por pois ela representa a matriz inversa de E1 De fato observe que Outro exemplo que você viu foi o da matriz elementar obtida da matriz identidade por meio da troca entre a primeira e a segunda linha Essa operação pode ser desfeita mediante a realização de uma nova troca entre a primeira e a segunda linha Logo nesse caso E2 e por isso De fato o cálculo do quadrado da matriz E2 resulta na matriz identidade Nesse caso vale a pena notar que essa matriz elementar é ortogonal pois E2 T ou seja a matriz inversa é igual à matriz transposta e também uma matriz simétrica já que E2 implica que E2 T E2 A matriz elementar do tipo 3 3 que faz a troca da primeira linha com a terceira também é uma matriz ortogonal e simétrica Matrizes elementares e fatoração LU 6 Um outro exemplo importante envolve a seguinte matriz complementar obtida da matriz identidade por meio da multiplicação da última linha por 2 somada com a primeira linha Essa mudança pode ser desfeita pela multi plicação da última linha da matriz identidade por 2 e da soma do resultado com a primeira linha Isto é a matriz elementar que representa a matriz inversa de E3 é De fato você pode verificar que Portanto para uma dada matriz elementar que representa uma operação elementar sobre a matriz identidade sua matriz inversa é simplesmente a operação elementar inversa ou seja retornase novamente à matriz identidade Toda matriz elementar contém uma matriz inversa que por sua vez também é uma matriz elementar O conceito de matriz elementar desempenha um papel fundamental na construção de uma matriz Para uma dada matriz quadrada A que possui uma inversa A1 as seguintes proposições são válidas 1 É sempre possível transformar A por meio de sucessivas aplicações de matrizes elementares em uma matriz identidade I En E2E1A I 2 Podese representar A como um produto de matrizes elementares sobre I 7 Matrizes elementares e fatoração LU Isso pode ser visto da seguinte maneira desde que A1A I então pela proposição 1 você pode identificar diretamente que A1 En E2E1 Agora a inversa de A1 é a própria matriz A A11 A Então A11 En E2E11 A Como as matrizes elementares contêm inversas vale a seguinte igualdade que se aplica ao cálculo da inversa de uma matriz resultante do produto entre outras matrizes Portanto Ou seja como a matriz inversa de uma matriz elementar também é uma matriz elementar esse resultado está de acordo com a proposição 2 vista anteriormente Além disso como a matriz A contém uma inversa o produto da inversa de matrizes elementares também possui uma inversa Os resultados fornecem duas importantes aplicações A primeira aplicação possibilita resolver sistemas de equações lineares Com efeito podese aplicar as matrizes elementares para resolver sistemas de equações lineares Isso pode ser feito utilizando a representação matricial de um sistema dada pela equação matricial AX B Matrizes elementares e fatoração LU 8 em que A é a matriz quadrada dos coeficientes X é a matriz coluna das variáveis e B é a matriz coluna das constantes Você viu que En E2E1A 1 Por isso a aplicação sucessiva de matrizes elementares no lado esquerdo dessa equação matricial e em ambos os lados dessa relação de igualdade resulta em que é a solução do sistema de equações lineares Como você pode notar essa solução depende da existência da matriz inversa dos coeficientes do sistema Agora a segunda aplicação importante é fornecer um método para deter minar quando existir a inversa de uma matriz que por tabela também auxilia na solução de um sistema linear que é a primeira aplicação Se você multiplicar pela direita a equação matricial En E2E1A I por A1 você obtém Ou seja é possível obter a matriz inversa de A por meio de sucessivas multiplicações de matrizes elementares à esquerda da matriz identidade I Dessa forma comparando os seguintes resultados En E2E1A I A1 En E2E1I você pode observar um conceito fundamental as mesmas operações ele mentares sobre linhas geradas pelo produto das várias matrizes elementares que transformam a matriz A em uma matriz identidade I também transformam a matriz identidade I na matriz inversa de A que é dada por A1 9 Matrizes elementares e fatoração LU Com efeito para que você possa encontrar a inversa de uma matriz A basta executar uma sequência de operações elementares sobre linhas que transforma A em uma matriz identidade e simultaneamente essa mesma sequência de operações elementares sobre linhas para transformar I na matriz inversa de A Para que você possa executar simultaneamente a mesma sequência de operações elementares sobre as matrizes A e I é recomendável que você perfile as matrizes A e I lado a lado da seguinte maneira AI Veja que embora as duas matrizes estejam uma do lado da outra há uma divisória simbolizada por que permite separálas de forma individual A partir dessa configuração a execução de operações elementares sobre A lado esquerdo que resultará na matriz I ocorre simultaneamente sobre I lado direito cujo resultado é a matriz A1 Para exemplificar esse processo considere a seguinte matriz Então perfilea junto à matriz I Agora a ideia é realizar operações simultâneas sobre as linhas das ma trizes A e I perfiladas que formam um tipo de matriz 2 4 de modo a transformar a matriz A no lado esquerdo em I O que resultar no lado direito será identificado como sendo A1 Matrizes elementares e fatoração LU 10 Nesse exemplo se você multiplicar a segunda linha por 2 e somar com a primeira linha 2 0 10 1 1 21 0 1 01 2 o resultado será uma nova primeira linha Veja que do lado esquerdo já apareceu a matriz identidade e por con seguinte a matriz do lado direito é necessariamente a matriz inversa de A É fácil você comprovar isso mostrando que AA1 A1A I Fatoração LU Em diversas situações evolvendo cálculos tornase útil a fatoração de um número ou mesmo a fatoração de uma expressão matemática para simplificar um cálculo Veja os dois exemplos de fatoração a seguir a b A mesma ideia vale para as matrizes O processo de fatoração de uma matriz implica escrever uma dada matriz como sendo o resultado do produto de duas ou mais matrizes A aplicação dessa técnica é especialmente útil para a resolução de sistemas de equações lineares pois fornece uma alternativa operacional direta e simples de ser executada Por isso ela também é bastante empregada em computadores para a execução de processos que envolvam muitos cálculos Um caso particular da fatoração de matrizes é a denominada fatoração LU que consiste em escrever uma dada matriz A que possui inversa como sendo o produto de outras duas matrizes L e U de modo que A LU 11 Matrizes elementares e fatoração LU A matriz U é obtida a partir da aplicação do método de eliminação de Gauss sobre A Ou seja a partir da operação elementar sobre linhas aplicadas à matriz A é possível transformála em uma matriz triangular superior U En E2E1A U Multiplicando pela esquerda os dois lados dessa relação por En E2E11 você obtém Desde que chegase finalmente à relação Aqui a matriz é uma matriz triangular inferior desde que não se tenha feito trocas de linhas na aplicação do método de eliminação Gauss para obter a matriz U Se uma matriz quadrada A pode ser reduzida à forma escalonada U por meio do método de eliminação de Gauss sem troca de linhas então essa matriz pode ser fatorada como A LU em que a matriz L é uma matriz triangular inferior Matrizes elementares e fatoração LU 12 Para você entender o procedimento de como realizar a fatoração LU para uma dada matriz considere a seguinte matriz do tipo 2 2 Aplicandose o método de eliminação de Gauss você pode multiplicar a primeira linha de A por 3 e somar com a segunda linha obtendo assim a matriz U Essa operação elementar realizada sobre A também corresponde à aplicação da matriz elementar obtida pela multiplicação da primeira linha da matriz identidade por 3 depois somada com a segunda linha Veja Com efeito a matriz L é obtida simplesmente por calcular a matriz inversa de E Nesse caso se você multiplicar a primeira linha por 3 e depois somar com a segunda linha você já tem do lado esquerdo a matriz identidade e portanto 13 Matrizes elementares e fatoração LU Logo a matriz L fica Claro que você poderia ter obtido esse mesmo resultado observando que a operação elementar sobre linhas contrárias à realizada para obter a matriz U é de multiplicar a primeira linha da matriz identidade por 3 e depois somar com a segunda linha que tem o mesmo efeito de multiplicar a primeira linha da matriz identidade por 3 e depois fazer a subtração com a segunda linha Assim onde aparece o fator 3 na matriz elementar E aparecerá o fator 3 na matriz L Desse modo a fatoração LU para a matriz A é dada por De modo geral para se fazer a fatoração LU de uma dada matriz A basta registrar as matrizes elementares que conduziram à forma escalonada U da matriz A e então calcular a matriz inversa dessas matrizes elementares cujo produto em ordem invertida delas resulta na matriz L Como você já deve ter percebido a maior parte do trabalho para fazer a fatoração LU consiste em encontrar L No entanto você pode construir a matriz L mais facilmente notando que Observe que no caso de E1 obtida pela multiplicação do primeiro ele mento da matriz identidade por 5 e cuja ação sobre outra matriz consiste em multiplicar o elemento correspondente por 5 a sua matriz inversa é obtida simplesmente dividindo por 5 o primeiro elemento Já para a matriz elementar E2 obtida pela multiplicação da primeira linha da matriz identidade por 3 que depois foi somada com a segunda linha a sua matriz inversa é obtida pela multiplicação da primeira linha da matriz identidade por 3 depois subtraída da segunda linha Em outras palavras a matriz inversa de Matrizes elementares e fatoração LU 14 uma matriz elementar corresponde exatamente à operação algébrica inversa da matriz elementar Se a ação da matriz elementar é multiplicar a matriz inversa dividirá se a ação da matriz elementar é somar uma linha a matriz inversa subtrairá uma linha Veja agora como a fatoração LU é empregada para se obter a solução de um sistema de equações lineares A representação matricial do sistema é do tipo AX B Como a matriz dos coeficientes pode ser posta na forma A LU então a equação matricial do sistema fica LUX B Agora essa equação matricial pode ser separada em outras duas LY B e UX Y Desse modo primeiro você resolve a equação matricial auxiliar LY B determinando assim a matriz Y Depois você substitui esse resultado na equação matricial UX Y determinando a matriz X e portanto resolvendo o problema A vantagem desse processo é que o formato escalonado das matrizes L e U permite uma solução direta e rápida para as matrizes Y e X respectivamente Como exemplo de resolução de um sistema de equações lineares pelo mé todo da fatoração LU considere o seguinte sistema de duas equações lineares A matriz dos coeficientes é dada por cuja fatoração LU está dada logo acima U 1 1 0 5 L 1 0 3 1 15 Matrizes elementares e fatoração LU Além disso a matriz das variáveis é e a matriz das constantes é Sendo a primeira equação matricial LY B fica Logo y1 6 e y2 7 36 25 Assim Agora usando a equação matricial UX Y Logo x2 5 e x1 x2 6 1 Portanto é a solução do sistema de equações lineares proposto Talvez para um sistema do tipo 2 2 a fatoração LU possa não parecer tão fácil de ser usada Afinal nesse caso até mesmo uma tentativa direta pode ser bemsucedida Mas o valor da fatoração LU provase para situações envolvendo conjuntos de sistemas e equações lineares de tamanho maior Matrizes elementares e fatoração LU 16 ANTON H BUSBY R C Álgebra linear contemporânea Porto Alegre Bookman 2006 612 p ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2012 786 p Leitura recomendada CRISPINO M L 320 questões resolvidas de álgebra linear Rio de Janeiro Ciência Moderna 2012 352 p 17 Matrizes elementares e fatoração LU