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Engenharia de Produção ·
Álgebra Linear
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ÁLGEBRA LINEAR André Ricardo Rocha da Silva em que a e b são duas constantes Por exemplo y 2x 3 Assim sa bendo o valor da variável x é possível determinar o valor de y e com essas duas informações localizar um ponto qualquer no plano Nesse exemplo se x 1 então y 5 Se uma reta no plano é descrita por uma equação linear duas retas nesse mesmo plano serão descritas por duas equações lineares Pronto Agora você tem um sistema de duas equações lineares O sistema seguinte exemplifica isso O esboço do gráfico dessas duas retas aparece na Figura 1a Observe que essas duas retas contêm um ponto P em comum demarcando o local no plano onde elas se encontram Encontrar os valores das variáveis x e y desse ponto P significa resolver esse sistema de duas equações lineares Essa tarefa é simples nesse exemplo Igualando as duas equações de reta 3x 1 2x 5 você encontra o valor de 4 para a variável x Logo substituindo esse valor de x em qualquer uma das duas equações de reta você obtém o valor de y 13 Será que sempre é possível resolver um sistema de equações lineares A resposta é dada na Figura 1b Veja que se trata de duas retas paralelas ou seja um sistema de duas equações lineares E por isso elas não se encontram para nenhum valor de x ou y Logo não há solução para esse sistema Figura 1 Os gráficos representam a a intersecção de duas retas em um ponto P e b duas retas paralelas que não se cruzam y 0 x y 0 x a b y 2x5 y 3x1 y 2x1 y 2x4 P Sistemas lineares 2 De modo geral uma reta no plano pode ser escrita como ax by c em que a b e c são constantes Já a equação geral de um plano no espaço tridimensional comprimento largura altura pode ser escrita como ax by cz d em que a b c e d são constantes Com efeito uma equação linear de n variáveis x1 x2 xn é uma equação do tipo a1x1 a2x2 anxn b em que os coeficientes a1 a2 an e b são todos constantes Para uma reta no plano n 2 e x1 x x2 y são as variáveis e a equação linear fica a1x1 a2x2 b Por outro lado equações do tipo não são lineares pois nas equações lineares as variáveis aparecem apenas na potência 1 lembrese de que x1 x y1 1 e z1 1 e multiplicadas apenas por coeficientes constantes As variáveis não estão multiplicadas entre si nas equações lineares Dessa maneira o conjunto de mais de uma equação linear constitui um sistema de equações lineares Um exemplo de sistema de equações lineares do tipo 2 2 são duas equações para duas variáveis é A solução desse sistema pode ser obtida da seguinte maneira Resolvendo a primeira equação para y você obtém y 6 x Substituindo esse resul tado na segunda equação você terá uma equação apenas para a variável x 3x 26 x 7 logo x 1 Então y 6 1 5 3 Sistemas lineares Agora um exemplo de sistema de equações lineares do tipo 3 3 são três equações para três variáveis é A solução desse sistema demanda um pouco mais de trabalho Resolvendo a primeira equação para y você obtém y x Assim você pode reescrever a segunda equação para z como uma função apenas da variável x z x 2x 3 3x 3 Substituindo esses dois resultados para y e z como funções de x na terceira equação você encontra o valor da variável x que satisfaz esse sistema 2x x 33x 3 3 logo x 1 Com efeito y 1 e z 31 3 0 Veja Ref 1 para outros exemplos É possível que dois sistemas lineares contenham o mesmo conjunto de soluções e por isso eles são denominados de sistemas lineares equivalentes Como exemplo dois sistemas de equações lineares equivalentes são Pois x 3 e y 2 é a mesma solução para ambos Contudo perceba que é mais simples resolver o segundo sistema que já fornece diretamente o valor de uma das variáveis do que resolver o primeiro Há três tipos de soluções para um sistema de equações lineares uma única solução para as incógnitas nenhuma solução para as incógnitas ou infinitas soluções para as incógnitas Um sistema de equações lineares é denominado de possível ou consis tente quando ele tem pelo menos uma solução Um sistema sem nenhuma solução é denominado de impossível ou inconsistente Sistemas lineares 4 Sistemas homogêneo e não homogêneo Os sistemas de equações lineares podem ser de dois tipos não homogêneo e homogêneo Um sistema de equações lineares não homogêneo do tipo 3 3 é dado por onde os coeficientes aij i j 123 e bn n 123 são constantes Um olhar mais atento para esse sistema de equações lineares indica que ele apresenta naturalmente uma estrutura matricial ou seja você pode reescrevêlo como um produto entre matrizes De fato ele pode ser visto como uma matriz coluna do tipo 3 1 que resulta do produto entre uma matriz dos coeficientes do tipo 3 3 pela matriz coluna das variáveis do tipo 3 1 Veja onde é a matriz dos coeficientes que aparecem multiplicando as variáveis Para o sistema de equações lineares do tipo 2 2 x y 6 3x 2y 7 1x 1y 6 3x 2y 7 5 Sistemas lineares a matriz do tipo 2 2 dos coeficientes é a11 a12 a21 a22 1 1 3 2 enquanto a matriz coluna do tipo 2 1 das constantes é b1 b2 6 7 Para o sistema de equações lineares do tipo 3 3 x y 0 x 2y z 3 2x y 3z 3 1x 1y 0z 0 1x 2y 1z 3 2x 1y 3z 3 a matriz do tipo 3 3 dos coeficientes é a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 1 1 0 1 2 1 2 1 3 enquanto a matriz coluna do tipo 3 1 das constantes é b1 b2 b3 0 3 3 Quando a matriz coluna das constantes bn é incorporada à dos coeficientes por meio de uma coluna extra perfilada ao lado da última coluna da matriz dos coeficientes a11 a12 a13 b1 a21 a22 a23 b2 a31 a32 a33 b3 Sistemas lineares 6 criase a denominada matriz aumentada ou matriz completa Você verá mais adiante neste capítulo que essa estrutura será muito útil para encontrar as soluções de um sistema de equações lineares A matriz aumentada associada com o sistema de equações lineares apresentado nesse exemplo é dada por 1 1 0 1 2 1 2 1 3 0 3 0 1 1 0 0 1 2 1 3 2 1 3 3 Para a construção da matriz aumentada as variáveis devem estar escritas na mesma ordem em cada equação e as constantes que não multiplicam variáveis devem estar sempre à direita Agora quando a matriz coluna das constates bn for nula o sistema de equações lineares resultante é denominado de homogêneo Ou seja a11x1 a12x2 a13x3 0 a21x1 a22x2 a23x3 0 a31x1 a32x2 a33x3 0 7 Sistemas lineares E como a matriz dos coeficientes não é nula em geral então uma possível solução é aquela em que Ou seja x1 x2 x3 0 que também é conhecida como solução trivial pois todas as variáveis são nulas Por exemplo um sistema linear homogêneo do tipo 2 2 pode ser cuja representação matricial é Aqui x y 0 é solução do sistema Observe atentamente que essas duas equações lineares representam retas que passam pela origem que é exatamente o ponto onde elas se cruzam Além da solução trivial um sistema linear homogêneo pode admitir infi nitas soluções Esse é o caso quando o número de variáveis é maior que o de equações Por exemplo o sistema linear homogêneo cuja representação matricial é da forma contém duas equações e três variáveis x y e z Resolvendo a primeira equação para z você obtém z 3x 2y Substituindo esse resultado na segunda equação x y 33x 2y 0 que resulta em Portanto uma vez escolhido um valor para a variável y você encontra os valores correspondentes das variáveis x e z Exatamente por haver infinitas possibilidades de escolha de valor para y que o sistema contém infinitas soluções Por exemplo se y 0 então x z 0 mas se y 1 então e Sistemas lineares 8 Resolução de sistemas de equações lineares Em situações envolvendo sistemas com apenas duas equações lineares de duas variáveis a solução pode ser obtida de forma direta A partir de uma das equações escrevese uma relação que define uma variável em função da outra e então substituise essa relação na segunda equação o que permite determinar uma das variáveis e depois a outra Esse método foi empregado na resolução dos sistemas apresentados acima No entanto já para um sistema do tipo 3 3 e sistemas de equações lineares maiores esse método é mais trabalhoso e por conseguinte suscetível a erros de cálculo nas diversas passagens Com efeito tornase necessária a utilização de um método que forneça um procedimento operacional bemdefinido a fim de que a obtenção da solução para qualquer tipo de sistema seja padronizada A chave para isso você já viu no final da primeira seção deste capítulo dado um sistema é interessante encontrar um sistema equivalente que forneça a mesma solução para o sistema original mas que seja mais fácil de ser resolvido Você verá a seguir dois métodos importantes para a resolução de sistemas de equações lineares Método de eliminação de Gauss O método de eliminação de Gauss consiste em substituir um dado sistema de equações lineares por outro equivalente que seja mais simples de ser solucio nado e que tenha a mesma solução do sistema original Isso pode ser feito por meio de três tipos de operações matemáticas que visam a eliminar variáveis Para que você entenda quais são essas operações que mantêm inalterada a solução do sistema original considere novamente o sistema do tipo 2 2 cuja solução é x 1 e y 5 As três operações elementares sobre linhas são as seguintes 9 Sistemas lineares 1 Multiplicar uma equação por uma constante Se você multiplicar a primeira equação desse sistema por então o novo sistema será Resolvendo a primeira equação para y você obtém 2y 12 2x ou seja y 6 x Substituindo esse resultado na segunda equação 3x 26 x 7 logo x 1 Então y 6 1 5 A solução original não foi alterada por essa operação elementar 2 Trocar de posição duas equações entre si Isso significa passar a primeira equação para o lugar da segunda e viceversa O novo sistema fica Daí resolvendo a segunda equação para y y 6 x Substituindo esse resultado na primeira equação 3x 26 x 7 logo x 1 e y 6 1 5 A solução original não foi alterada por essa operação elementar 3 Somar um múltiplo de uma equação a uma outra equação Essa operação é menos óbvia Primeiramente construa um novo sistema multiplicando a primeira equação por 3 operação i Agora construa outro sistema no qual a segunda equação será igual à soma das duas equações do sistema acima ou seja somase a primeira linha com a segunda do sistema Sistemas lineares 10 A segunda linha já fornece diretamente o valor da variável y y 5 Subs tituindo esse resultado na primeira equação 3x 35 18 então x 1 Portanto novamente a solução original não foi alterada por essa operação elementar Note que a aplicação das três operações fornece sistemas equivalentes pois conduz a soluções iguais Contudo é a operação iii que representa a essência do método de eliminação de Gauss pois a partir dela é possível obter um sistema equivalente em que uma das equações tenha apenas uma variável Como você já deve ter percebido as três operações acima agem apenas nos coeficientes aij e constantes bn Por isso é mais conveniente escrever a matriz aumentada do sistema para aplicar o método da eliminação de Gauss Uma vez que a matriz dos coeficientes é e a matriz da constantes é para o exemplo discutido acima então a matriz aumentada fica sendo Agora você executa as mesmas operações elementares sobre as linhas dessa matriz aumentada Primeiro passo multiplique a primeira linha por 3 3 1 1 6 3 3 18 A primeira linha da nova matriz aumentada fica Segundo passo some essa nova primeira linha com a segunda 3 3 18 3 2 7 0 5 25 A segunda linha da nova matriz aumentada fica 11 Sistemas lineares Observe que apareceu um zero no primeiro elemento da segunda linha destacado na cor verde Se você restabelecer o formato de sistema novamente Note que pela segunda linha 5y 25 então y 5 Substituindo esse resul tado na primeira equação 3x 35 18 logo x 1 como você já esperava Nessa configuração a matriz aumentada está em sua forma escalonada por linhas ou simplesmente forma escalonada pois a estrutura da matriz assemelhase à de uma escada Portanto o método de eliminação de Gauss consiste em escalonar a matriz aumentada que essencialmente significa escalonar o sistema de equações lineares de modo a obter um novo sistema equivalente cuja resolução é mais simples e possui a mesma solução do sistema original Método de eliminação de GaussJordan Embora nesse ponto você já possa resolver o sistema como anteriormente a partir do restabelecimento da forma usual do sistema a representação escalonada lhe permite avançar um pouco mais em direção à solução direta do sistema sem a necessidade de substituição do valor de uma variável em outra equação para determinar mais uma variável e assim por diante A ideia básica é continuar a fazer operações elementares sobre linhas Terceiro passo divida a primeira equação por 3 e a segunda por 5 A primeira e segunda linhas da nova matriz aumentada ficam Sistemas lineares 12 Quarto passo multiplique a primeira equação por 1 e depois some a segunda a ela 1 1 1 6 0 1 5 1 0 1 A primeira linha da nova matriz aumentada fica Nessa nova configuração a matriz aumentada está na forma escalonada reduzida por linhas Quinto e último passo restabeleça a forma usual do sistema Você já tem a solução diretamente x 1 e y 5 Esse arranjo final do sistema ou da matriz aumentada em que os valores das variáveis são obtidos diretamente sem cálculos adicionais é conhecido como método de eliminação de GaussJordan Para consolidar o seu conhecimento sobre o método de eliminação de Gauss e o método da eliminação de GaussJordan considere o seguinte exemplo envolvendo um sistema de equações lineares do tipo 3 3 x y 0 x 2y z 3 2x y 3z 3 Pelo método de eliminação de Gauss você escreve a matriz aumentada desse sistema 1 1 0 0 1 2 1 3 2 1 3 3 13 Sistemas lineares Primeiro passo multiplique a primeira linha por 1 e some o resultado com a segunda linha 1 1 1 0 0 1 2 1 3 0 3 1 3 A segunda linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 1 3 2 1 3 3 Segundo passo multiplique a primeira linha por 2 e some o resultado com a terceira linha 2 1 1 0 0 2 1 3 3 0 3 3 3 A terceira linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 1 3 0 3 3 3 Terceiro passo multiplique a segunda linha por 1 e some o resultado com a terceira linha 1 0 3 1 3 0 3 3 3 0 0 4 0 A terceira linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 1 3 0 0 4 0 Restabelecendo o formato de sistema você obtém x y 0 3y z 3 4z 0 Logo z 0 Pela segunda equação você determina a variável y 3y 0 3 então y 1 Substituindo o valor de y na primeira equação chegase ao valor da variável x x 1 Sistemas lineares 14 Agora resolvendo pelo método de eliminação de GaussJordan você escreve no vamente a matriz aumentada do sistema 1 1 0 0 1 2 1 3 2 1 3 3 Observe que os três primeiros passos são iguais aos que você fez no método de eliminação de Gauss Primeiro passo multiplique a primeira linha por 1 e some o resultado com a segunda linha 1 1 1 0 0 1 2 1 3 0 3 1 3 A segunda linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 1 3 2 1 3 3 Segundo passo multiplique a primeira linha por 2 e some o resultado com a terceira linha 2 1 1 0 0 2 1 3 3 0 3 3 3 A terceira linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 1 3 0 3 3 3 Terceiro passo multiplique a segunda linha por 1 e some o resultado com a terceira linha 1 0 3 1 3 0 3 3 3 0 0 4 0 A terceira linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 1 3 0 0 4 0 Quarto passo divida a última linha por 4 1 4 0 0 4 0 0 0 1 0 15 Sistemas lineares A terceira linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 2 1 3 0 0 1 0 Quinto passo some a terceira linha com a segunda linha 0 0 1 0 0 3 1 3 0 3 0 3 A segunda linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 0 3 0 0 1 0 Sexto passo multiplique a segunda linha por 1 3 1 3 0 3 0 3 0 1 0 1 A segunda linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 Sétimo passo multiplique a segunda linha por 1 e some com a primeira linha 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 A primeira linha da nova matriz aumentada fica 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 Oitavo e último passo restabeleça a forma usual do sistema 1x 0y 0z 1 0x 1y 0z 1 0x 0y 1z 0 Logo x 1 y 1 e z 0 é a solução do sistema de equações lineares Você já deve ter percebido que utilizar a representação da matriz aumentada do sistema torna a aplicação dos métodos de eliminação de Gauss e de GaussJordan mais eficiente pois as operações elementares com as linhas envolvem apenas os coeficientes que são números sem a presença das variáveis Sistemas lineares 16 ANTON H BUSBY R C Álgebra linear contemporânea Porto Alegre Bookman 2006 612 p ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2012 786 p Leitura recomendada CRISPINO M L 320 questões resolvidas de álgebra linear Rio de Janeiro Ciência Moderna 2012 352 p 17 Sistemas lineares
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ÁLGEBRA LINEAR André Ricardo Rocha da Silva em que a e b são duas constantes Por exemplo y 2x 3 Assim sa bendo o valor da variável x é possível determinar o valor de y e com essas duas informações localizar um ponto qualquer no plano Nesse exemplo se x 1 então y 5 Se uma reta no plano é descrita por uma equação linear duas retas nesse mesmo plano serão descritas por duas equações lineares Pronto Agora você tem um sistema de duas equações lineares O sistema seguinte exemplifica isso O esboço do gráfico dessas duas retas aparece na Figura 1a Observe que essas duas retas contêm um ponto P em comum demarcando o local no plano onde elas se encontram Encontrar os valores das variáveis x e y desse ponto P significa resolver esse sistema de duas equações lineares Essa tarefa é simples nesse exemplo Igualando as duas equações de reta 3x 1 2x 5 você encontra o valor de 4 para a variável x Logo substituindo esse valor de x em qualquer uma das duas equações de reta você obtém o valor de y 13 Será que sempre é possível resolver um sistema de equações lineares A resposta é dada na Figura 1b Veja que se trata de duas retas paralelas ou seja um sistema de duas equações lineares E por isso elas não se encontram para nenhum valor de x ou y Logo não há solução para esse sistema Figura 1 Os gráficos representam a a intersecção de duas retas em um ponto P e b duas retas paralelas que não se cruzam y 0 x y 0 x a b y 2x5 y 3x1 y 2x1 y 2x4 P Sistemas lineares 2 De modo geral uma reta no plano pode ser escrita como ax by c em que a b e c são constantes Já a equação geral de um plano no espaço tridimensional comprimento largura altura pode ser escrita como ax by cz d em que a b c e d são constantes Com efeito uma equação linear de n variáveis x1 x2 xn é uma equação do tipo a1x1 a2x2 anxn b em que os coeficientes a1 a2 an e b são todos constantes Para uma reta no plano n 2 e x1 x x2 y são as variáveis e a equação linear fica a1x1 a2x2 b Por outro lado equações do tipo não são lineares pois nas equações lineares as variáveis aparecem apenas na potência 1 lembrese de que x1 x y1 1 e z1 1 e multiplicadas apenas por coeficientes constantes As variáveis não estão multiplicadas entre si nas equações lineares Dessa maneira o conjunto de mais de uma equação linear constitui um sistema de equações lineares Um exemplo de sistema de equações lineares do tipo 2 2 são duas equações para duas variáveis é A solução desse sistema pode ser obtida da seguinte maneira Resolvendo a primeira equação para y você obtém y 6 x Substituindo esse resul tado na segunda equação você terá uma equação apenas para a variável x 3x 26 x 7 logo x 1 Então y 6 1 5 3 Sistemas lineares Agora um exemplo de sistema de equações lineares do tipo 3 3 são três equações para três variáveis é A solução desse sistema demanda um pouco mais de trabalho Resolvendo a primeira equação para y você obtém y x Assim você pode reescrever a segunda equação para z como uma função apenas da variável x z x 2x 3 3x 3 Substituindo esses dois resultados para y e z como funções de x na terceira equação você encontra o valor da variável x que satisfaz esse sistema 2x x 33x 3 3 logo x 1 Com efeito y 1 e z 31 3 0 Veja Ref 1 para outros exemplos É possível que dois sistemas lineares contenham o mesmo conjunto de soluções e por isso eles são denominados de sistemas lineares equivalentes Como exemplo dois sistemas de equações lineares equivalentes são Pois x 3 e y 2 é a mesma solução para ambos Contudo perceba que é mais simples resolver o segundo sistema que já fornece diretamente o valor de uma das variáveis do que resolver o primeiro Há três tipos de soluções para um sistema de equações lineares uma única solução para as incógnitas nenhuma solução para as incógnitas ou infinitas soluções para as incógnitas Um sistema de equações lineares é denominado de possível ou consis tente quando ele tem pelo menos uma solução Um sistema sem nenhuma solução é denominado de impossível ou inconsistente Sistemas lineares 4 Sistemas homogêneo e não homogêneo Os sistemas de equações lineares podem ser de dois tipos não homogêneo e homogêneo Um sistema de equações lineares não homogêneo do tipo 3 3 é dado por onde os coeficientes aij i j 123 e bn n 123 são constantes Um olhar mais atento para esse sistema de equações lineares indica que ele apresenta naturalmente uma estrutura matricial ou seja você pode reescrevêlo como um produto entre matrizes De fato ele pode ser visto como uma matriz coluna do tipo 3 1 que resulta do produto entre uma matriz dos coeficientes do tipo 3 3 pela matriz coluna das variáveis do tipo 3 1 Veja onde é a matriz dos coeficientes que aparecem multiplicando as variáveis Para o sistema de equações lineares do tipo 2 2 x y 6 3x 2y 7 1x 1y 6 3x 2y 7 5 Sistemas lineares a matriz do tipo 2 2 dos coeficientes é a11 a12 a21 a22 1 1 3 2 enquanto a matriz coluna do tipo 2 1 das constantes é b1 b2 6 7 Para o sistema de equações lineares do tipo 3 3 x y 0 x 2y z 3 2x y 3z 3 1x 1y 0z 0 1x 2y 1z 3 2x 1y 3z 3 a matriz do tipo 3 3 dos coeficientes é a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 1 1 0 1 2 1 2 1 3 enquanto a matriz coluna do tipo 3 1 das constantes é b1 b2 b3 0 3 3 Quando a matriz coluna das constantes bn é incorporada à dos coeficientes por meio de uma coluna extra perfilada ao lado da última coluna da matriz dos coeficientes a11 a12 a13 b1 a21 a22 a23 b2 a31 a32 a33 b3 Sistemas lineares 6 criase a denominada matriz aumentada ou matriz completa Você verá mais adiante neste capítulo que essa estrutura será muito útil para encontrar as soluções de um sistema de equações lineares A matriz aumentada associada com o sistema de equações lineares apresentado nesse exemplo é dada por 1 1 0 1 2 1 2 1 3 0 3 0 1 1 0 0 1 2 1 3 2 1 3 3 Para a construção da matriz aumentada as variáveis devem estar escritas na mesma ordem em cada equação e as constantes que não multiplicam variáveis devem estar sempre à direita Agora quando a matriz coluna das constates bn for nula o sistema de equações lineares resultante é denominado de homogêneo Ou seja a11x1 a12x2 a13x3 0 a21x1 a22x2 a23x3 0 a31x1 a32x2 a33x3 0 7 Sistemas lineares E como a matriz dos coeficientes não é nula em geral então uma possível solução é aquela em que Ou seja x1 x2 x3 0 que também é conhecida como solução trivial pois todas as variáveis são nulas Por exemplo um sistema linear homogêneo do tipo 2 2 pode ser cuja representação matricial é Aqui x y 0 é solução do sistema Observe atentamente que essas duas equações lineares representam retas que passam pela origem que é exatamente o ponto onde elas se cruzam Além da solução trivial um sistema linear homogêneo pode admitir infi nitas soluções Esse é o caso quando o número de variáveis é maior que o de equações Por exemplo o sistema linear homogêneo cuja representação matricial é da forma contém duas equações e três variáveis x y e z Resolvendo a primeira equação para z você obtém z 3x 2y Substituindo esse resultado na segunda equação x y 33x 2y 0 que resulta em Portanto uma vez escolhido um valor para a variável y você encontra os valores correspondentes das variáveis x e z Exatamente por haver infinitas possibilidades de escolha de valor para y que o sistema contém infinitas soluções Por exemplo se y 0 então x z 0 mas se y 1 então e Sistemas lineares 8 Resolução de sistemas de equações lineares Em situações envolvendo sistemas com apenas duas equações lineares de duas variáveis a solução pode ser obtida de forma direta A partir de uma das equações escrevese uma relação que define uma variável em função da outra e então substituise essa relação na segunda equação o que permite determinar uma das variáveis e depois a outra Esse método foi empregado na resolução dos sistemas apresentados acima No entanto já para um sistema do tipo 3 3 e sistemas de equações lineares maiores esse método é mais trabalhoso e por conseguinte suscetível a erros de cálculo nas diversas passagens Com efeito tornase necessária a utilização de um método que forneça um procedimento operacional bemdefinido a fim de que a obtenção da solução para qualquer tipo de sistema seja padronizada A chave para isso você já viu no final da primeira seção deste capítulo dado um sistema é interessante encontrar um sistema equivalente que forneça a mesma solução para o sistema original mas que seja mais fácil de ser resolvido Você verá a seguir dois métodos importantes para a resolução de sistemas de equações lineares Método de eliminação de Gauss O método de eliminação de Gauss consiste em substituir um dado sistema de equações lineares por outro equivalente que seja mais simples de ser solucio nado e que tenha a mesma solução do sistema original Isso pode ser feito por meio de três tipos de operações matemáticas que visam a eliminar variáveis Para que você entenda quais são essas operações que mantêm inalterada a solução do sistema original considere novamente o sistema do tipo 2 2 cuja solução é x 1 e y 5 As três operações elementares sobre linhas são as seguintes 9 Sistemas lineares 1 Multiplicar uma equação por uma constante Se você multiplicar a primeira equação desse sistema por então o novo sistema será Resolvendo a primeira equação para y você obtém 2y 12 2x ou seja y 6 x Substituindo esse resultado na segunda equação 3x 26 x 7 logo x 1 Então y 6 1 5 A solução original não foi alterada por essa operação elementar 2 Trocar de posição duas equações entre si Isso significa passar a primeira equação para o lugar da segunda e viceversa O novo sistema fica Daí resolvendo a segunda equação para y y 6 x Substituindo esse resultado na primeira equação 3x 26 x 7 logo x 1 e y 6 1 5 A solução original não foi alterada por essa operação elementar 3 Somar um múltiplo de uma equação a uma outra equação Essa operação é menos óbvia Primeiramente construa um novo sistema multiplicando a primeira equação por 3 operação i Agora construa outro sistema no qual a segunda equação será igual à soma das duas equações do sistema acima ou seja somase a primeira linha com a segunda do sistema Sistemas lineares 10 A segunda linha já fornece diretamente o valor da variável y y 5 Subs tituindo esse resultado na primeira equação 3x 35 18 então x 1 Portanto novamente a solução original não foi alterada por essa operação elementar Note que a aplicação das três operações fornece sistemas equivalentes pois conduz a soluções iguais Contudo é a operação iii que representa a essência do método de eliminação de Gauss pois a partir dela é possível obter um sistema equivalente em que uma das equações tenha apenas uma variável Como você já deve ter percebido as três operações acima agem apenas nos coeficientes aij e constantes bn Por isso é mais conveniente escrever a matriz aumentada do sistema para aplicar o método da eliminação de Gauss Uma vez que a matriz dos coeficientes é e a matriz da constantes é para o exemplo discutido acima então a matriz aumentada fica sendo Agora você executa as mesmas operações elementares sobre as linhas dessa matriz aumentada Primeiro passo multiplique a primeira linha por 3 3 1 1 6 3 3 18 A primeira linha da nova matriz aumentada fica Segundo passo some essa nova primeira linha com a segunda 3 3 18 3 2 7 0 5 25 A segunda linha da nova matriz aumentada fica 11 Sistemas lineares Observe que apareceu um zero no primeiro elemento da segunda linha destacado na cor verde Se você restabelecer o formato de sistema novamente Note que pela segunda linha 5y 25 então y 5 Substituindo esse resul tado na primeira equação 3x 35 18 logo x 1 como você já esperava Nessa configuração a matriz aumentada está em sua forma escalonada por linhas ou simplesmente forma escalonada pois a estrutura da matriz assemelhase à de uma escada Portanto o método de eliminação de Gauss consiste em escalonar a matriz aumentada que essencialmente significa escalonar o sistema de equações lineares de modo a obter um novo sistema equivalente cuja resolução é mais simples e possui a mesma solução do sistema original Método de eliminação de GaussJordan Embora nesse ponto você já possa resolver o sistema como anteriormente a partir do restabelecimento da forma usual do sistema a representação escalonada lhe permite avançar um pouco mais em direção à solução direta do sistema sem a necessidade de substituição do valor de uma variável em outra equação para determinar mais uma variável e assim por diante A ideia básica é continuar a fazer operações elementares sobre linhas Terceiro passo divida a primeira equação por 3 e a segunda por 5 A primeira e segunda linhas da nova matriz aumentada ficam Sistemas lineares 12 Quarto passo multiplique a primeira equação por 1 e depois some a segunda a ela 1 1 1 6 0 1 5 1 0 1 A primeira linha da nova matriz aumentada fica Nessa nova configuração a matriz aumentada está na forma escalonada reduzida por linhas Quinto e último passo restabeleça a forma usual do sistema Você já tem a solução diretamente x 1 e y 5 Esse arranjo final do sistema ou da matriz aumentada em que os valores das variáveis são obtidos diretamente sem cálculos adicionais é conhecido como método de eliminação de GaussJordan Para consolidar o seu conhecimento sobre o método de eliminação de Gauss e o método da eliminação de GaussJordan considere o seguinte exemplo envolvendo um sistema de equações lineares do tipo 3 3 x y 0 x 2y z 3 2x y 3z 3 Pelo método de eliminação de Gauss você escreve a matriz aumentada desse sistema 1 1 0 0 1 2 1 3 2 1 3 3 13 Sistemas lineares Primeiro passo multiplique a primeira linha por 1 e some o resultado com a segunda linha 1 1 1 0 0 1 2 1 3 0 3 1 3 A segunda linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 1 3 2 1 3 3 Segundo passo multiplique a primeira linha por 2 e some o resultado com a terceira linha 2 1 1 0 0 2 1 3 3 0 3 3 3 A terceira linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 1 3 0 3 3 3 Terceiro passo multiplique a segunda linha por 1 e some o resultado com a terceira linha 1 0 3 1 3 0 3 3 3 0 0 4 0 A terceira linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 1 3 0 0 4 0 Restabelecendo o formato de sistema você obtém x y 0 3y z 3 4z 0 Logo z 0 Pela segunda equação você determina a variável y 3y 0 3 então y 1 Substituindo o valor de y na primeira equação chegase ao valor da variável x x 1 Sistemas lineares 14 Agora resolvendo pelo método de eliminação de GaussJordan você escreve no vamente a matriz aumentada do sistema 1 1 0 0 1 2 1 3 2 1 3 3 Observe que os três primeiros passos são iguais aos que você fez no método de eliminação de Gauss Primeiro passo multiplique a primeira linha por 1 e some o resultado com a segunda linha 1 1 1 0 0 1 2 1 3 0 3 1 3 A segunda linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 1 3 2 1 3 3 Segundo passo multiplique a primeira linha por 2 e some o resultado com a terceira linha 2 1 1 0 0 2 1 3 3 0 3 3 3 A terceira linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 1 3 0 3 3 3 Terceiro passo multiplique a segunda linha por 1 e some o resultado com a terceira linha 1 0 3 1 3 0 3 3 3 0 0 4 0 A terceira linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 1 3 0 0 4 0 Quarto passo divida a última linha por 4 1 4 0 0 4 0 0 0 1 0 15 Sistemas lineares A terceira linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 2 1 3 0 0 1 0 Quinto passo some a terceira linha com a segunda linha 0 0 1 0 0 3 1 3 0 3 0 3 A segunda linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 3 0 3 0 0 1 0 Sexto passo multiplique a segunda linha por 1 3 1 3 0 3 0 3 0 1 0 1 A segunda linha da nova matriz aumentada fica 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 Sétimo passo multiplique a segunda linha por 1 e some com a primeira linha 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 A primeira linha da nova matriz aumentada fica 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 Oitavo e último passo restabeleça a forma usual do sistema 1x 0y 0z 1 0x 1y 0z 1 0x 0y 1z 0 Logo x 1 y 1 e z 0 é a solução do sistema de equações lineares Você já deve ter percebido que utilizar a representação da matriz aumentada do sistema torna a aplicação dos métodos de eliminação de Gauss e de GaussJordan mais eficiente pois as operações elementares com as linhas envolvem apenas os coeficientes que são números sem a presença das variáveis Sistemas lineares 16 ANTON H BUSBY R C Álgebra linear contemporânea Porto Alegre Bookman 2006 612 p ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2012 786 p Leitura recomendada CRISPINO M L 320 questões resolvidas de álgebra linear Rio de Janeiro Ciência Moderna 2012 352 p 17 Sistemas lineares