Dimensionamento de Estruturas de Concreto Protendido sob o Método dos Estados Limites

Concreto Protendido e Pontes Metodo dos Estados Limites ELU Michael Leone Madureira de Souza michaelmadureiraanimaeducacaocombr 1 57 Sumario 1 Introducao 2 Dimensionamento a Flexao Simples Concreto Armado 3 Dimensionamento Secoes Retangulares Armadura Ativa 2 57 1 Introducao 2 Dimensionamento a Flexao Simples Concreto Armado 3 Dimensionamento Secoes Retangulares Armadura Ativa 3 57 Introducao Conceitos Vigas de secao transversal retangular podem ser dimensionadas no Estado Limite Ultimo sob solicitacoes normais Os procedimentos sao validos para secoes com armadura ativa armadura passiva ou ambas Inicialmente a formulacao adotara a hipotese de uma secao apenas com armadura ativa Apos o equilıbrio e com a deformada devidamente posicionada tornase facil o calculo das deformacoes dos materiais incluindose as das armaduras passivas As deformacoes permitem a obtencao das tensoes e com elas o equilıbrio final da secao com a proporcao de armaduras ativas e passivas escolhida pelo projetista Em geral sao utilizados os seguintes materiais concretos classe C25 C30 C35 e C40 armaduras ativas CP190 e CP210 e armadura passiva CA50 4 57 Introducao Conceitos Figure Diagramas TensaoDeformacao concreto 5 57 Introducao Conceitos Figure Diagramas TensaoDeformacao aco para protensao 6 57 Introducao Conceitos Figure Valores de tensao do aco para protensao 7 57 Introducao Conceitos Figure Tabela de aco para protensao 8 57 Introducao Conceitos Figure Diagramas TensaoDeformacao aco passivo 9 57 Introducao Conceitos Figure Valores de tensao do aco passivo 10 57 1 Introducao 2 Dimensionamento a Flexao Simples Concreto Armado 3 Dimensionamento Secoes Retangulares Armadura Ativa 11 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Serao considerados apenas os domınio 2 e domınio 3 de deformacao no caso da flexao simples Pretendese que no dimensionamento a flexao a ruptura por acao do momento fletor ocorra antes de rupturas do tipo fragil tais como as que ocorrem por acao do cisalhamento ou deficiˆencia de ancoragem Na ruptura a flexao simples esperase que a situacao de deformacao plastica excessiva da armadura ocorra antes da ruptura na regiao comprimida do concreto 12 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Dimensionamento a flexao simples Figure Ilustracao dos domınios 2 e 3 de deformacao do concreto armado 13 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Relacao entre os domınios linha neutra e deformacoes Domınio II kx 0 0259 εs 10ooo e εc 0 35ooo Domınio III kx 0259 0628 εs 10ooo 207ooo e εc 35ooo Domınio IV kx 0628 1 εs 207ooo 0 e εc 35ooo 14 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Figure Domınios de ELU de uma secao transversal NBR61182014 15 57 Dimensionamento a Flexao Simples Notacoes para o dimensionamento a flexao simples de uma secao retangular de concreto vigas e lajes b e h largura ou base e altura total da secao de concreto d e d distˆancias dos centros de gravidade das armaduras de tracao As e de compressao As as faces do concreto mais proximas d hd altura util da secao c d d distˆancia entre centros de gravidade das armaduras de compressao e tracao εc εs e ε s deformacoes especıficas da secao aos nıveis da fibra mais comprimida do concreto da armadura de tracao e da armadura de compressao Dd1 forca resultante das tensoes de compressao do concreto Zd1 forca resultante das tensoes de tracao na armadura inferior armadura simples Deve atender Zd1 Dd1 Dd2 forca resultante das tensoes de compressao da armadura superior Zd2 segunda parcela da forca resultante das tensoes de tracao na armadura inferior parcela da armadura dupla Deve atender Zd2 Dd2 16 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Figure Ilustracao do dimensionamento a flexao simples com armadura de compressao 17 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Dimensionamento com armadura simples A s 0 e As As1 Solicitacao DMF deve ser igual a ResistˆenciaMSd MRd A forca do concreto e dado pelo somatorio integral das suas tensoes de compressao Dd1 085 fcd08xb kN A forca na armadura e dada pela area de aco projetada Zd1 As fyd Dd1 kN O momento resistente e dado pelo binario MRd1 Zd1 z onde z representa o braco de alavanca calculado por z d 08x 2 Portanto MRd1 085 fcd08xbz 18 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Figure Ilustracao do dimensionamento a flexao simples com armadura simples 19 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Dimensionamento com armadura dupla A s 0 e As As1 As2 Solicitacao DMF deve ser igual a ResistˆenciaMSd MRd1 MRd2 Forca na armadura de compressao e dada por Dd2 A s f yd kN onde f yd e a tensao no aco correspondente ao nıvel de deformacao especıfica ε s Segunda parcela da forca na armadura Zd2 As2 fyd Dd2 kN O momento resistente adicional MRd2 Zd2 c Acrescimo na armadura inferior As2 MRd2 c fyd Armadura de compressao superior A s MRd2 c f yd 20 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Figure Ilustracao do dimensionamento a flexao simples com armadura dupla 21 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Como o dimensionamento esta limitado aos domınios 2 e 3 e necessario verificar a profundidade da linha neutra x x εc d εs εc cte adimensional kx x d kx εc εc εs 22 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Tomando os limites para proporcionar o comportamento dutil x d 045 kx kxLim 045 para concretos com fck 50 MPa x d 035 kx kxLim 035 para concretos com 50 fck 90 MPa Estabelecendo mais uma constante adimensional kz z d 04x kz z d z d d d 04 x d kz 104kx 23 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Serao apresentados dois metodos de dimensionamento a flexao simples em secoes retangulares de concreto 1 com o fator kmd do Prof B E Diaz 2 com fator kII A vantagem do dimensionamento com o fator kmd e que as tabelas independem da resistˆencia fck do concreto Por outro lado no dimensionamento com o fator kII o numero de operacoes numericas envolvidas e menor 24 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos 1 Dimensionamento com fator kmd Dado o momento solicitante igual ao resistente MSd MRd 085 fcd 08xbz Aplicase Md Md d2 d2 Entao Md 085 fcd 08 x d b z d d2 Logo Md 085 fcd 08kx bkz d2 Adotase kmd como uma combinacao das demais constantes kmd 08508kx kz Portanto temse que Md kmd fcd bd2 Dessa forma podese ober kmd em funcao dos condicoes especıficas do elemento estrutural analisado kmd Md fcd bd2 25 57 Dimensionamento a Flexdo Simples 1 Dimensionamento com fator king Apos calcular kmg em funado de My b d e fg podese determinar kx kz mediante visualizacdo nas tabelas de dimensionamento ou analiticamente Para calcular k k de forma analitica devese proceder da seguinte forma Kina 085 08k k kma 085 08k 1 04k k2 25ky36765 kind 0 yla8s Resolvendo a eq de 2 grau ky os kxtim Entdo k 104k onde zkd Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos 1 Dimensionamento com fator kmd Finalmente para o calculo da armadura temse que Md Zd1 z Md As fyd z Md As fyk γs kz d Portanto As Md γs fyk kz d 27 57 Dimensionamento a Flexdo Simples 1 Dimensionamento com fator kina passo a passo Dados Mg fra b e d Ma 8 knd Fb 1 1 Zhe V 085 b ky Og Ky Lim c kp 104k d zkd Ma s e A 24 Syke d Dimensionamento a Flexdo Simples 2 Dimensionamento com fator kj Dado o momento solicitante igual ao resistente Msa Mra 085 fea 08xDz Sek x Bp Entdo My 085 08bd ntao Vf he d d M 085 fe 0 8k k Tomando y7 14 e reorganizando bo ee M 085 f0 8 ky k Definese entdo ky Vba ky Apos calcular ky em fungdo de M b e d podese determinar ky kz mediante visualizacdo nas tabelas de dimensionamento ou analiticamente Dimensionamento a Flexdo Simples 2 Dimensionamento com fator kj Para calcular k k de forma analitica devese proceder da seguinte forma 85 fe 0 8k k ky je tae ee 2 03469k 104k 72038 ke 25k kj 0 Sek 7 2038 k Resolvendo a eq de 2 grau ky 125415625 com ck fox em kNm Entdo k 104k onde zkd Para o calculo da armadura temse que Svk M Vf Myp Askzd As Vf s Zz Ss fk Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos 2 Dimensionamento com fator kII Adotando α γ f γs fyk kz A armadura e estimada por As α M d 31 57 Dimensionamento a Flexdo Simples 1 Dimensionamento com fator kj passo a passo Dados My fea b d Atencao MMy M a kar bd 2 2 b ky 125 415625 at kyzim com fox em kNm7 ck c k104k Ve s d a Fok ke aM A e As 7 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos 33 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Exemplo Suponha uma viga com altura de 40 cm e 15 cm de base executada com concreto C20 e armadura CA50 Calcule a armadura positiva para um momento solicitante de projeto de 50 kNm adotando que a altura util seja da ordem de 35 cm 34 57 Dimensionamento a Flexdo Simples Dados h04 m fcx 20 MPa fix 500 MPa Mg 50 kNm d035 me b015 m 1 Dimensionamento por King Ma 50 Ses EE Se 1 2 kd Fy d2 30000140150352 Kna 0190 2 Kind 20190 112 pfr 085 085 b k Gg me k0321 ky 0321 ketim 045 ok c ke 104k 1040321 k 0871 d zkd 0871035 z0305m Ma 50115 5 A 2s 9 0003772 As fusked 5000000871035 m As 38 cm Dimensionamento a Flexdo Simples 2 Dimensionamento por ky M 5014 a kn 5 015035 7 ku 4409 2 b k 125 15625 220384 Sek 72038 44097 ky 125 415625 2 ky 0321 20000 7M ky 0321 ketim 045 ok c ke 104k 1040321 k 0872 d ga 2B 0000003693 a fyxkz 5000000872 aM 0000003693 5014 5 e Ay gg As 00008768 As 38 cm Dimensionamento a Flexao Simples Armadura Passiva As armaduras sao descritas em forma de numero de barras de uma determinada bitola As barras a serem utilizadas como armaduras em concreto armado sao fornecidas em comprimentos de cerca de 11 metros nos diˆametros bitolas em milımetros de acordo com a NBR 7480 A armadura entao e calculada em funcao da area da barra escolhida Aφ de acordo com o numero de barras nφ nφ As Aφ As nφ φ D As 5φ 16mm onde D indica o diˆametro da barra em milımetros mm Ex As 38 cm2 com φ 125 mm nφ As Aφ 38 1223 31 As 4φ 125mm 37 57 Dimensionamento a Flexao Simples Conceitos Exercıcio Estime a armadura positiva da viga para o mesmo cenario do exemplo anterior porem agora com um momento solicitante de projeto de 65 kNm 38 57 1 Introducao 2 Dimensionamento a Flexao Simples Concreto Armado 3 Dimensionamento Secoes Retangulares Armadura Ativa 39 57 Dimensionamento Armadura Ativa Conceitos 40 57 Dimensionamento Armadura Ativa Definicoes 41 57 Dimensionamento Armadura Ativa Definicoes 42 57 Dimensionamento Armadura Ativa Definicoes 43 57 Dimensionamento Armadura Ativa Definicoes A metodologia de calculo no caso de armaduras ativas de protensao segue a mesma logica da utilizada no calculo da armadura passiva Porem neste dimensionamento sera sempre necessario verificar em qual Domınio ou Estadio a peca se encontra para que seja possıvel a partir dos diagramas tensao x deformacao obter as tensoes atuantes nas armaduras A partir das equacoes de compatibilidade εpd 1kx kx εcd ou εcd kx 1kx εpd Domınio II εpd 1 e 0 εcd 035 Domınio III e IV εcd 035 e 0 εpd 1 Entao εpd εpi εpd 44 57 Dimensionamento Armadura Ativa Definicoes Exemplo Calcule a area de armadura ativa da viga retangular ilustrada abaixo sabendo que foram utilizados aco CP190 concreto C30 prealongamento de εpi 055 Sabese que o momento fletor solicitante de calculo e da ordem de 1250 kN OBS Considere apenas a armadura ativa As 0 45 57 Dimensionamento Armadura Ativa Dados h10 m fcx 30 MPa fpyx 1900 MPa Mg 1250 kNm d092 m b030 m e Aé 055 Dimensionamento por kinq My 50 me Kind 0230 a na fab 30000140300922 md 702 iV Te 7 a 4 3 b ky 08 08 k040 e Verificacdo da deformacdo do aco Dominio Ill 035 1k 10403 AEnd cqd 035 pd ed 93 AEnqg 0518 1 Ok e Entdo a deformagao total da armadura ativa é dada por Epd AEpi AEpg 055 0518 Enq 1068 Dimensionamento Armadura Ativa Relembrando Figure Diagramas TensaoDeformacao aco para protensao 47 57 Dimensionamento Armadura Ativa c Para o aco CP190 0743 εpd 4 σpd 148650967εpd 0743 σpd 14865096710680743 1503 MPa d kz 104kx 1040403 kz 0839 e Area de armadura passiva Ap Ap Md σpd kz d 1250 1503103 0839092 00010775m2 Ap 108 cm2 cordoalhas c 7 fios de 152mm Ap 8φ152mm f Carga axial na armadura passiva Ntd Ntd1 Ap σpd 108 cm2 1503 kNcm2 Ntd 1623 kN Ntd2 Msd kz d 1250 kNm 0839092 m Ntd 1619 kN ok g Carga axial no concreto Ncd Ac σcd Ncd 1621 kN ok Ac b08x b08kx d 03080403092 0089m2 εcd 035 σcd 085 fyk 14 085 30000 14 18214 kNm2 E se tivesse armadura passiva 48 57 Dimensionamento Armadura Ativa Passiva Definicoes E se tivesse armadura passiva Nesse caso adicionase a armadura passiva ao projeto sendo necessario determinar a deformacao especıfica εsd com a seguinte equacao de compatibilidade εsd ds x dp x εpd onde ds e dp indicam a altura util da armadura passiva e ativa respectivamente A equacao final de carga de tracao seria dada por Ap σpd As σsd Ntd A proporcao adequada entre as armaduras passiva e ativa sera aquela que atender ao concreto estrutural escolhido respeitando os nıveis a Protensao Parcial b Protensao Limitada e c Protensao Completa 49 57 Dimensionamento Armadura Ativa Passiva Definicoes Exemplo Calcule a area de armadura ativa da viga retangular ilustrada abaixo sabendo que foram utilizados aco CP190 concreto C30 prealongamento de εpi 055 Sabese que o momento fletor solicitante de calculo e da ordem de 1250 kN OBS Considere agora armadura passiva e ativa 50 57 Dimensionamento Armadura Ativa Passiva O calculo e iniciado a partir do projeto somente considerando armadura ativa Nao sera repetido novamente e apenas serao utilizados seus dados finais a Calculase a deformacao na armadura passiva com ds 1004 096 m εsd ds x dp x εpd 0960403092 0920403092 0518 εsd 0556 1 Ok b Para o aco CA50 0207 εsd 1 σsd 435 MPa Como deve existir o equilıbrio das forcas horizontais na secao Ntd Ncd 1621 kN entao Ap σpd As σsd Ntd Ap 1503 kNcm2 As 435 kNcm2 1621 51 57 Dimensionamento Armadura Ativa Passiva Tomando arbitrariamente 75 da armadura ativa exemplo anterior temse Ap 81 cm2 Entao 811503 kNcm2 As 435 kNcm2 1621 As 93 cm2 As 5φ16 mm 52 57 Dimensionamento Armadura Ativa Conceitos Exemplo Estime a armadura de protensao de uma secao retangular submetida a um momento fletor total de calculo Md 8800 kNm considerando bw 07 m dp 155 m fck 30 MPa aco CP190 e σpt 1000 MPa Adote por simplicidade Ep 195 GPa 53 57 Dimensionamento Armadura Ativa Dados h07 m fcx 30 MPa fpyx 1900 MPa Mg 8800 kNm dy 155 m b070 m 6t 1000 MPa e E 195 GPa Dimensionamento por kinq Ma 8800 kad kind 0244 2 knd Fy 30000140701552 Kn 0 2 Kina 20244 a 085 085 b ky 0434 ky 08 08 k043 e Verificacdo da deformacgdo do aco Dominio Ill 035 1k 10434 AEpa ze Ecd 0434 035 Apq 0456 1 e Considerando ot 1000 MPa e E 195 GPa Opt 1000 Epa 795000 9513 e Entdo a deformacao total 4 0456 0513 0969 Dimensionamento Armadura Ativa Relembrando Figure Diagramas TensaoDeformacao aco para protensao 55 57 Dimensionamento Armadura Ativa c Para o aco CP190 0743 εpd 4 σpd 148650967εpd 0743 σpd 14865096709690743 1498 MPa d kz 104kx 1040434 kz 0826 e Area de armadura passiva Ap Ap Md σpd kz d 8800 1498103 0826155 0004588m2 Ap 459 cm2 cordoalhas c 7 fios de 152mm Ap 32φ152mm f Carga axial na armadura ativa Ntd Ntd1 Ap σpd 459 cm2 1498 kNcm2 Ntd 6876 kN Ntd2 Msd kz d 8800 kNm 0826155 m Ntd 6873 kN ok g Carga axial no concreto Ncd Ac σcd Ncd 6861 kN ok Ac b08x b08kx d 07080434155 0377m2 εcd 035 σcd 085 fyk 14 085 30000 14 18214 kNm2 56 57 Dimensionamento Armadura Ativa Passiva Entretanto a esmagadora maioria de vigas protendidas possuem secao transversal T como a ilustrada abaixo Nesse caso como fica o dimensionamento 57 57