Lista de Exercícios DTFT - Análise e Síntese de Sinais

DTFT PDS Lista de Exercícios Aula 2 PROF VIVIANA RAQUEL ZURRO Caderno Aula 2 1 Eng Viviana Zurro MSc Sumário DTFT 2 Equação de análise 2 Equação de síntese 2 Progressões geométricas 2 Referências 17 Caderno Aula 2 2 Eng Viviana Zurro MSc DTFT Equação de análise 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑥𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛 1 Equação de síntese 𝑥𝑛 1 2𝜋 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝜋 𝜋 𝑒𝑗𝜔𝑛𝑑𝜔 2 Progressões geométricas 𝑆 𝑎𝑞𝑛 𝑛0 𝑎 1 𝑞 𝑞 1 3 𝑆 𝑞𝑘 𝑚 𝑘𝑛 𝑞𝑛 1 𝑞𝑚𝑛1 1 𝑞 𝑞 1 4 Na equação geral 4 se 𝑚 o termo 𝑞𝑚𝑛1 𝑞 0 sempre que 𝑞 1 Tabela 1 Pares de transformadas OPPENHEIM e SCHAFER 2012 Sequência Transformada de Fourier 1 𝛿𝑛 1 2 𝛿𝑛 𝑛0 𝑒𝑗𝜔𝑛0 3 1 𝑛 2𝜋𝛿𝜔 2𝜋𝑘 𝑘 4 𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑎 1 1 1 𝑎𝑒𝑗𝜔 5 𝑢𝑛 1 1 𝑒𝑗𝜔 𝜋𝛿𝜔 2𝜋𝑘 𝑘 6 𝑛 1𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑎 1 1 1 𝑎𝑒𝑗𝜔2 7 𝑟𝑛𝑠𝑒𝑛𝜔𝑝𝑛 1 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑝 𝑢𝑛 𝑟 1 1 1 2𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑝𝑒𝑗𝜔 𝑟2𝑒2𝑗𝜔 8 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑐𝑛 𝜋𝑛 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 𝜔 𝜔𝑐 0 𝜔𝑐 𝜔 𝜋 Caderno Aula 2 3 Eng Viviana Zurro MSc 9 𝑥𝑛 1 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑀 12 𝑠𝑒𝑛𝜔2 𝑒𝑗𝜔𝑀2 10 𝑒𝑗𝜔0𝑛 2𝜋𝛿𝜔 𝜔0 2𝜋𝑘 𝑘 11 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛 𝜙 𝜋𝑒𝑗𝜙𝛿𝜔 𝜔0 2𝜋𝑘 𝑘 𝜋𝑒𝑗𝜙𝛿𝜔 𝜔0 2𝜋𝑘 1 Determine a DTFT do seguinte sinal 𝑥𝑛 2𝑛𝑠𝑒𝑛 𝜋 4 𝑛𝑢𝑛 Resolução Usando a equação de análise 𝑋ⅇ𝑗𝜔 𝑥𝑛ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛 2𝑛𝑠𝑒𝑛 𝜋 4 𝑛 𝑢𝑛 ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛 Devido a 𝑢𝑛 o sinal só existe para 𝑛 0 então podemos escrever 𝑋ⅇ𝑗𝜔 2𝑛𝑠𝑒𝑛 𝜋 4 𝑛 𝑢𝑛 ⅇ𝑗𝜔𝑛 𝑛 2𝑛𝑠𝑒𝑛 𝜋 4 𝑛 𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛0 Trabalhando com a equação de Euler 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑒𝑗𝛼 𝑒𝑗𝛼 2𝑗 𝑠𝑒𝑛 𝜋 4 𝑛 𝑒𝑗𝑛𝜋4 𝑒𝑗𝑛𝜋4 2𝑗 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 2𝑗 2𝑛𝑒𝑗𝑛𝜋4 2𝑛𝑒𝑗𝑛𝜋4𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛0 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 2𝑗 2𝑛𝑒𝑗𝑛𝜋4𝑒𝑗𝜔𝑛 2𝑛𝑒𝑗𝑛𝜋4𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛0 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 2𝑗 2𝑛𝑒𝑗𝑛𝜋4𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛0 2𝑛𝑒𝑗𝑛𝜋4𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛0 Caderno Aula 2 4 Eng Viviana Zurro MSc 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 2𝑗 21𝑒𝑗𝜋 4 𝑒𝑗𝜔 𝑛 𝑛0 21𝑒𝑗𝜋 4 𝑒𝑗𝜔 𝑛 𝑛0 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 2𝑗 1 2 𝑒𝑗𝜋 4 𝑒𝑗𝜔 𝑛 𝑛0 1 2 𝑒𝑗𝜋 4 𝑒𝑗𝜔 𝑛 𝑛0 5 Aplicando a série geométrica 𝑎𝑘 𝑘0 1 1 𝑎 Na equação 5 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 2𝑗 𝑎𝑛 𝑛0 𝑏𝑛 𝑛0 Onde 𝑎 1 2 𝑒𝑗𝜋 4 𝑒𝑗𝜔 e 𝑏 1 2 𝑒𝑗𝜋 4 𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 2𝑗 1 1 𝑎 1 1 𝑏 𝑿ⅇ𝒋𝝎 𝟏 𝟐𝒋 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 ⅇ 𝒋𝝅 𝟒 ⅇ𝒋𝝎 𝟏 𝟏 𝟏 𝟐 ⅇ𝒋𝝅 𝟒 ⅇ𝒋𝝎 2 Problema 233 do livro texto Um sistema LIT é definido pela seguinte equação de diferenças 𝑦𝑛 2𝑥𝑛 4𝑥𝑛 1 2𝑥𝑛 2 a Determine a resposta ao impulso do sistema b Determine a resposta em frequência do sistema c Desenhe o gráfico de amplitude e fase do sistema d Para a seguinte entrada do sistema determine a saída 𝑦1𝑛 usando resposta em frequência 𝑥1𝑛 1 𝑒𝑗05𝜋𝑛 𝑛 e Para a seguinte entrada do sistema determine a saída 𝑦2𝑛 usando convolução discreta 𝑥2𝑛 1 𝑒𝑗05𝜋𝑛𝑢𝑛 𝑛 f Compare 𝑦1𝑛 e 𝑦2𝑛 e verifique para quais valores de 𝑛 elas são iguais Resolução a Resposta ao impulso esta função sai diretamente da equação de diferenças Caderno Aula 2 5 Eng Viviana Zurro MSc 𝒉𝒏 𝟐𝜹𝒏 𝟒𝜹𝒏 𝟏 𝟐𝜹𝒏 𝟐 b Resposta em frequência 𝐻ⅇ𝑗𝜔 2 4ⅇ𝑗𝜔 2ⅇ𝑗2𝜔 2ⅇ𝑗𝜔 2 2ⅇ𝑗𝜔 4ⅇ𝑗𝜔 2ⅇ𝑗𝜔 2ⅇ𝑗2𝜔 2ⅇ𝑗𝜔 𝐻𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔 2 𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 2 𝐻𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔2 𝑐𝑜𝑠𝜔 2 4𝑒𝑗𝜔1 𝑐𝑜𝑠𝜔 Considerando a equação de Euler 𝑒𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜔 6 𝑒𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜔 7 Isolando na equação 6 𝑗𝑠𝑒𝑛𝜔 𝑒𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 8 E substituindo na equação 7 𝑒𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑒𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑒𝑗𝜔 𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔 2𝑐𝑜𝑠𝜔 9 Por identidade trigonométrica 𝑐𝑜𝑠2𝛼 1 2𝑠𝑒𝑛2𝛼 10 Considerando 𝜔 2𝛼 𝑐𝑜𝑠𝜔 1 2𝑠𝑒𝑛2𝜔2 11 2𝑠𝑒𝑛2𝜔2 1 𝑐𝑜𝑠𝜔 12 Portanto 𝐻𝑒𝑗𝜔 4𝑒𝑗𝜔1 𝑐𝑜𝑠𝜔 4𝑒𝑗𝜔2𝑠𝑒𝑛2𝜔2 𝑯ⅇ𝒋𝝎 𝟒ⅇ𝒋𝝎𝟏 𝒄𝒐𝒔𝝎 𝟖ⅇ𝒋𝝎𝒔ⅇ𝒏𝟐𝝎 𝟐 c Trabalhando no ambiente matemático Scilab SCILAB ENTREPRISES 2017 Caderno Aula 2 6 Eng Viviana Zurro MSc Diagrama de amplitude Figura 1 Gráfico de amplitude em função da frequência Caderno Aula 2 7 Eng Viviana Zurro MSc Diagrama de fase Figura 2 Gráfico de fase em função da frequência d Determinar 𝑦1𝑛 usando a resposta em frequência 𝑥1𝑛 1 ⅇ𝑗05𝜋𝑛 𝑛 𝑥1𝑛 ⅇ𝑗0𝑛 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 𝐻𝑒𝑗𝜔 8𝑒𝑗𝜔𝑠𝑒𝑛2𝜔 2 Definindo 𝑯ⅇ𝑗𝜔 para 𝜔 0 e para 𝜔 𝜋 2 𝐻ⅇ𝑗0 8ⅇ0𝑠ⅇ𝑛20 0 Caderno Aula 2 8 Eng Viviana Zurro MSc 𝐻 ⅇ𝑗𝜋 2 8ⅇ𝑗𝜋 2𝑠ⅇ𝑛2𝜋 4 A saída deste sistema é 𝑦1𝑛 𝐻ⅇ𝑗𝜔𝑥1𝑛 𝐻ⅇ𝑗0ⅇ𝑗0𝑛 𝐻 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 0 ⅇ𝑗0𝑛 8sⅇ𝑛2 𝜋 4 ⅇ𝑗𝜋 2ⅇ𝑗𝜋 2𝑛 Como sⅇ𝑛2 𝜋 4 1 2 𝒚𝟏𝒏 𝟖 𝟐 ⅇ𝒋𝝅 𝟐𝒏𝟏 𝟒ⅇ𝒋𝝅 𝟐𝒏𝟏 𝒏 Usando Scilab Figura 3 sinal de saída do sistema e Determinar 𝑦2𝑛 usando convolução discreta 𝑥2𝑛 1 𝑒𝑗05𝜋𝑛𝑢𝑛 𝑛 Caderno Aula 2 9 Eng Viviana Zurro MSc 𝑦2𝑛 ℎ𝑘𝑥2𝑛 𝑘 𝑘 ℎ𝑘 1 𝑒𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑢𝑛 𝑘 𝑘 𝑦2𝑛 ℎ𝑘 1 𝑒𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑛 𝑘 Como o sistema é causal 𝒚𝟐𝒏 𝟎 𝒏 𝟎 𝒉𝒌 𝟏 ⅇ𝒋𝝅 𝟐𝒏𝒌 𝒏 𝒌𝟎 𝒏 𝟎 f Comparando 𝑦1𝑛 e 𝑦2𝑛 Considere 𝑛 0 𝑦2𝑛 ℎ𝑘 1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑘0 ℎ𝑘 1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑘𝑛1 O primeiro termo da equação pode ser escrito como ℎ𝑘 1 ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑘0 ℎ𝑘 𝑘0 ℎ𝑘ⅇ𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑘0 Como 𝑒𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑒𝑗𝜋 2𝑘𝑒𝑗𝜋 2𝑛 ℎ𝑘 𝑘0 ℎ𝑘𝑒𝑗𝜋 2𝑘 𝑘0 𝑒𝑗𝜋 2𝑛 𝐻𝑒𝑗0 𝐻 𝑒𝑗𝜋 2 𝑒𝑗𝜋 2𝑛 𝑦2𝑛 𝐻𝑒𝑗0 𝐻 𝑒𝑗𝜋 2 𝑒𝑗𝜋 2𝑛 ℎ𝑘 1 𝑒𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑘𝑛1 Lembrando que 𝑦1𝑛 𝐻𝑒𝑗0𝑒𝑗0𝑛 𝐻 𝑒𝑗𝜋 2 𝑒𝑗𝜋 2𝑛 Como ℎ𝑘 1 𝑒𝑗𝜋 2𝑛𝑘 𝑘𝑛1 é zero para 𝑛 2 ℎ𝑛 0 𝑛 2 Então 𝒚𝟏𝒏 𝒚𝟐𝒏 𝒏 𝟐 Caderno Aula 2 10 Eng Viviana Zurro MSc 2 Para a equação linear com coeficientes constantes calcule a resposta ao impulso ℎ𝑛 𝑦𝑛 3 4 𝑦𝑛 1 1 8 𝑦𝑛 2 2𝑥𝑛 1 Resolução Aplicando DTFT aos dois lados da equação 𝑌𝑒𝑗𝜔 3 4 𝑌𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔 1 8 𝑌𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗2𝜔 2𝑋𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔 Trabalhando com a equação 𝑌𝑒𝑗𝜔 1 3 4 𝑒𝑗𝜔 1 8 𝑒𝑗2𝜔 2𝑋𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔 Portanto a função do sistema será 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔 1 3 4 𝑒𝑗𝜔 1 8 𝑒𝑗2𝜔 Como o denominador é um sistema de segunda ordem isolaremos os dois polos do mesmo 𝑎 𝑒𝑗𝜔 1 3 4 𝑎 1 8 𝑎2 0 1 𝑎𝑏1 𝑎𝑐 1 𝑎𝑐 𝑎𝑏 𝑎2𝑏𝑐 1 𝑎𝑐 𝑏 𝑎2𝑏𝑐 𝑐 𝑏 3 4 𝑐𝑏 1 8 𝑐 1 2 𝑏 1 4 1 3 4 𝑎 1 8 𝑎2 1 𝑎 1 4 1 𝑎 1 2 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔 1 1 4 𝑒𝑗𝜔 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 Resolvendo por frações parciais 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝐴 1 1 4 𝑒𝑗𝜔 𝐵 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 𝐴 1 1 4 𝑒𝑗𝜔 𝐵 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔 1 1 4 𝑒𝑗𝜔 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 𝐴 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 𝐵 1 1 4 𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔 Caderno Aula 2 11 Eng Viviana Zurro MSc 𝐴 𝐴 1 2 𝑒𝑗𝜔 𝐵 𝐵 1 4 𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔 Reorganizando a equação 𝐴 𝐵 𝐴 2 𝐵 4 𝑒𝑗𝜔 2𝑒𝑗𝜔 Da equação anterior 𝐴 𝐵 0 𝐴 2 𝐵 4 2 𝐴 8 𝐵 8 Portanto 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 8 1 1 4 𝑒𝑗𝜔 8 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 Para achar a resposta ao impulso aplicamos a transformada inversa Usando a Tabela1 a linha 4 diz 𝑎𝑛𝑢𝑛 ℱ 1 1 𝑎𝑒𝑗𝜔 Então 𝒉𝒏 𝟖 𝟏 𝟒 𝒏 𝒖𝒏 𝟖 𝟏 𝟐 𝒏 𝒖𝒏 3 Um sistema LIT responde à seguinte equação de diferenças 𝑦𝑛 1 2 𝑦𝑛 1 𝑥𝑛 2𝑥𝑛 1 𝑥𝑛 2 Determine a resposta em frequência 𝐻𝑒𝑗𝜔 do sistema Resolução Aplicando DTFT aos dois lados da equação 𝑌𝑒𝑗𝜔 1 2 𝑌𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 2𝑋𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗2𝜔 Trabalhando com a equação 𝑌𝑒𝑗𝜔 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔1 2𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗2𝜔 Portanto a função do sistema será Caderno Aula 2 12 Eng Viviana Zurro MSc 𝑯ⅇ𝒋𝝎 𝒀ⅇ𝒋𝝎 𝑿ⅇ𝒋𝝎 𝟏 𝟐ⅇ𝒋𝝎 ⅇ𝒋𝟐𝝎 𝟏 𝟏 𝟐 ⅇ𝒋𝝎 4 Um sistema LIT tem a seguinte função de sistema 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗3𝜔 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 3 4 𝑒𝑗2𝜔 Determine a equação de diferenças que caracteriza esse sistema Resolução 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗3𝜔 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 3 4 𝑒𝑗2𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 3 4 𝑒𝑗2𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 1 2 𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗3𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 1 2 𝑌𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔 3 4 𝑌𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗2𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 2 𝑋𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗3𝜔 Para achar a equação de diferenças aplicamos a transformada inversa 𝒚𝒏 𝟏 𝟐 𝒚𝒏 𝟏 𝟑 𝟒 𝒚𝒏 𝟐 𝒙𝒏 𝟏 𝟐 𝒙𝒏 𝟏 𝒙𝒏 𝟑 5 Calcule a transformada de Fourier do seguinte sinal 𝑥𝑛 𝑢𝑛 2 𝑢𝑛 6 Resolução O sinal pode ser definido da seguinte maneira Caderno Aula 2 13 Eng Viviana Zurro MSc 𝑥𝑛 𝑢𝑛 2 𝑢𝑛 6 𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 3 𝛿𝑛 4 𝛿𝑛 5 𝛿𝑛 6 Como 𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑥𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 𝑛 𝑿ⅇ𝒋𝝎 𝜹𝒏ⅇ𝒋𝝎𝒏 𝟔 𝒏𝟐 ⅇ𝟐𝒋𝝎 ⅇ𝟑𝒋𝝎 ⅇ𝟒𝒋𝝎 ⅇ𝟓𝒋𝝎 ⅇ𝟔𝒋𝝎 6 Problema 234 do livro texto Considere um sistema LIT definido pela seguinte resposta em frequência 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 125𝑒𝑗𝜔 1 08𝑒𝑗𝜔 a Determine a equação de diferenças definida por 𝑥𝑛 e 𝑦𝑛 b Determine a resposta ao impulso ℎ𝑛 Caderno Aula 2 14 Eng Viviana Zurro MSc c Se a entrada do sistema é 𝑥𝑛 cos 02𝜋𝑛 determine a saída 𝑦𝑛 Resolução a Equação de diferenças 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 125𝑒𝑗𝜔 1 08𝑒𝑗𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 1 08𝑒𝑗𝜔𝑌𝑒𝑗𝜔 1 125𝑒𝑗𝜔𝑋𝑒𝑗𝜔 𝑌𝑒𝑗𝜔 08𝑒𝑗𝜔𝑌𝑒𝑗𝜔 𝑋𝑒𝑗𝜔 125𝑒𝑗𝜔𝑋𝑒𝑗𝜔 Aplicando transformada inversa 𝑦𝑛 08𝑦𝑛 1 𝑥𝑛 125𝑥𝑛 1 𝒚𝒏 𝒙𝒏 𝟏 𝟐𝟓𝒙𝒏 𝟏 𝟎 𝟖𝒚𝒏 𝟏 b Resposta ao impulso Primeiro método por divisão de polinômios 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 045𝑒𝑗𝜔 1 08𝑒𝑗𝜔 1 045𝑒𝑗𝜔 1 1 𝑎𝑒𝑗𝜔 𝑎 08 Da Tabela 1 usaremos os pares de transformada 1 2 e como 𝑎 1 o par 4 𝛿𝑛 𝐹 1 𝛿𝑛 𝑛0 𝐹 𝑒𝑗𝜔𝑛0 𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑎 1 𝐹 1 1 𝑎𝑒𝑗𝜔 Aplicando transformada inversa a 𝐻𝑒𝑗𝜔 ℎ1𝑛 𝛿𝑛 045𝛿𝑛 108𝑛𝑢𝑛 Como 𝛿𝑛 𝑛0𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑛0 ℎ1𝑛 𝛿𝑛 04508𝑛1𝑢𝑛 1 Segundo método usando a equação original 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 125𝑒𝑗𝜔 1 08𝑒𝑗𝜔 1 1 08𝑒𝑗𝜔 125𝑒𝑗𝜔 1 08𝑒𝑗𝜔 Caderno Aula 2 15 Eng Viviana Zurro MSc Aplicando os mesmos pares de transformadas do método anterior ℎ2𝑛 08𝑛𝑢𝑛 12508𝑛1𝑢𝑛 1 A figura a seguir mostra ℎ1𝑛 e ℎ2𝑛 Elas são exatamente iguais portanto 𝒉𝒏 𝒉𝟏𝒏 𝒉𝟐𝒏 c Saída 𝑦𝑛 Sendo o sinal de entrada 𝑥𝑛 cos 𝜔𝑛 cos 02𝜋𝑛 𝜔 02𝜋 Será necessário deixar 𝐻𝑒𝑗𝜔 na forma polar 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑒𝑗𝜔𝐻𝑒𝑗𝜔 Para isso trabalharemos com números complexos deixar a calculadora em radianos para fazer este cálculo se não tiver a opção radianos passar o ângulo para graus 𝑒𝑗02𝜋 1 02𝜋 1800 𝜋 𝛼 02𝜋 Por regra de três 𝛼 360 𝐻𝑒𝑗02𝜋 1 125𝑒𝑗02𝜋 1 08𝑒𝑗02𝜋 1 125 02𝜋 1 08 02𝜋 1 12536𝑜 1 0836𝑜 Resolvendo os números complexos do numerador e do denominador 12536𝑜 101127 𝑗07347 1 12536𝑜 101127 𝑗07347 001127 𝑗07347 Caderno Aula 2 16 Eng Viviana Zurro MSc Passando para coordenadas polares 1 12536𝑜 07348190878𝑜 Passando o ângulo para radianos 1800 𝜋 90878𝑜 𝛽 𝛽 90878𝑜 𝜋 1800 0505𝜋 1 12536𝑜 073481𝑒𝑗0505𝜋 Trabalhando da mesma forma para o denominador 1 08360 05878553121𝑜 058785𝑒𝑗0295𝜋 𝐻𝑒𝑗02𝜋 073481𝑒𝑗0505𝜋 058785𝑒𝑗0295117𝜋 073481 058785 𝑒𝑗0505𝜋𝑗0295117𝜋 125𝑒𝑗021𝜋 𝐻𝑒𝑗02𝜋 𝐻𝑒𝑗02𝜋𝐻𝑒𝑗02𝜋 125𝑒𝑗021𝜋 𝑦𝑛 𝐻𝑒𝑗02𝜋cos 02𝜋𝑛 𝐻𝑒𝑗02𝜋 𝒚𝒏 𝟏 𝟐𝟓𝒄𝒐𝒔 𝟎𝟐𝝅𝒏 𝟎 𝟐𝟏𝝅 7 Um sistema LIT é definido pela seguinte resposta em frequência 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 125𝑒𝑗𝜔 1 02𝑒𝑗𝜔 025𝑒2𝑗𝜔 Determine a resposta ao impulso Resolução 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 125𝑒𝑗𝜔 1 02𝑒𝑗𝜔 025𝑒2𝑗𝜔 Trabalhando com o denominador 𝐷 1 02𝑒𝑗𝜔 025𝑒2𝑗𝜔 1 𝑎𝑒𝑗𝜔1 𝑏𝑒𝑗𝜔 1 𝑏𝑒𝑗𝜔 𝑎𝑒𝑗𝜔 𝑎𝑏𝑒2𝑗𝜔 1 02𝑒𝑗𝜔 025𝑒2𝑗𝜔 𝑎 𝑏 02 𝑎𝑏 025 Trabalhando com o sistema de equações 𝑎 041 e 𝑏 061 𝐷 1 041𝑒𝑗𝜔1 061𝑒𝑗𝜔 Caderno Aula 2 17 Eng Viviana Zurro MSc 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 125𝑒𝑗𝜔 1 041𝑒𝑗𝜔1 061𝑒𝑗𝜔 Aplicando frações parciais 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝐴 1 041𝑒𝑗𝜔 𝐵 1 061𝑒𝑗𝜔 𝐴1 061𝑒𝑗𝜔 𝐵1 041𝑒𝑗𝜔 1 041𝑒𝑗𝜔1 061𝑒𝑗𝜔 Trabalhando com o numerador 𝐴1 061𝑒𝑗𝜔 𝐵1 041𝑒𝑗𝜔 1 125𝑒𝑗𝜔 𝐴 061𝐴𝑒𝑗𝜔 𝐵 041𝐵𝑒𝑗𝜔 1 125𝑒𝑗𝜔 𝐴 𝐵 1 061𝐴 041𝐵 125 Trabalhando com o sistema de equações 𝐴 082 e 𝐵 182 𝐻𝑒𝑗𝜔 082 1 041𝑒𝑗𝜔 182 1 061𝑒𝑗𝜔 Como 𝑎 1 no denominador usaremos o par 4 da Tabela Pares de transformadas da página 3 do formulário 𝑎𝑛𝑢𝑛 𝐹 1 1 𝑎𝑒𝑗𝜔 𝑎 1 ℎ𝑛 082041𝑛𝑢𝑛 182061𝑛𝑢𝑛 𝒉𝒏 𝒖𝒏𝟏 𝟖𝟐𝟎 𝟔𝟏𝒏 𝟎 𝟖𝟐𝟎 𝟒𝟏𝒏 Referências OPPENHEIM A V SCHAFER R W Digital Signal Processing New Jersey PrenticeHall 1975 OPPENHEIM A V SCHAFER R W Processamento em Tempo Discreto de Sinais 3 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e Sistemas 2a ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 SCILAB ENTREPRISES Scilab Scilab 2017 Disponivel em httpwwwscilaborg