Lista de Exercicios Resolvidos Sistemas LIT Convolucao e PDS

Variável independente Sistemas LIT Convolução PDS Lista de Exercícios Aula 1 PROF VIVIANA RAQUEL ZURRO Caderno Aula 1 1 Eng Viviana Zurro MSc Sumário TRANSFORMAÇÕES DA VARIÁVEL INDEPENDENTE 2 SISTEMAS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO 8 CONVOLUÇÃO 14 Método 1 20 Método 2 21 Referências 22 Caderno Aula 1 2 Eng Viviana Zurro MSc TRANSFORMAÇÕES DA VARIÁVEL INDEPENDENTE 1 Para o seguinte sinal discreto calcular a 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2 b 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2 c 𝑦𝑛 𝑥𝑛 d 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2 e 𝑦𝑛 𝑥2𝑛 f 𝑦𝑛 𝑥𝑛2 Resolução a 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥3 0 𝑛 0 𝑦0 𝑥0 2 𝑥2 0 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥1 1 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥0 0 𝑛 3 𝑦3 𝑥3 2 𝑥1 1 𝑛 4 𝑦4 𝑥4 2 𝑥2 2 𝑛 5 𝑦5 𝑥5 2 𝑥3 3 𝑛 6 𝑦6 𝑥6 2 𝑥4 4 𝑛 7 𝑦7 𝑥7 2 𝑥5 0 Caderno Aula 1 3 Eng Viviana Zurro MSc b 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2 𝑛 3 𝑦3 𝑥3 2 𝑥1 1 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥0 0 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥1 1 𝑛 0 𝑦0 𝑥0 2 𝑥2 2 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥3 3 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥4 4 𝑛 3 𝑦3 𝑥3 2 𝑥5 0 c 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑛 4 𝑦4 𝑥4 4 Caderno Aula 1 4 Eng Viviana Zurro MSc 𝑛 3 𝑦3 𝑥3 3 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 1 𝑛 0 𝑦0 𝑥0 0 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 1 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 0 d 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2 Neste caso graficamente é conveniente primeiro fazer o atraso em n2 e depois inverter 𝑛 7 𝑦7 𝑥7 2 𝑥5 0 𝑛 6 𝑦6 𝑥6 2 𝑥4 4 𝑛 5 𝑦5 𝑥5 2 𝑥3 3 𝑛 4 𝑦4 𝑥4 2 𝑥2 2 𝑛 3 𝑦3 𝑥3 2 𝑥1 1 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥0 0 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥1 1 Caderno Aula 1 5 Eng Viviana Zurro MSc e 𝑦𝑛 𝑥2𝑛 𝑛 1 𝑦1 𝑥2 1 𝑥2 0 𝑛 0 𝑦0 𝑥2 0 𝑥0 0 𝑛 1 𝑦1 𝑥1 2 𝑥2 2 𝑛 2 𝑦2 𝑥2 2 𝑥4 4 𝑛 3 𝑦3 𝑥2 3 𝑥6 0 f 𝑦𝑛 𝑥𝑛2 𝑛 2 𝑦2 𝑥 2 2 𝑥1 1 Caderno Aula 1 6 Eng Viviana Zurro MSc 𝑛 1 𝑦1 𝑥 1 2 𝑥05𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑛 0 𝑦0 𝑥02 𝑥0 0 𝑛 1 𝑦1 𝑥12 𝑥15𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑛 2 𝑦2 𝑥22 𝑥1 1 𝑛 3 𝑦3 𝑥32 𝑥15𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑛 4 𝑦4 𝑥42 𝑥2 2 𝑛 5 𝑦5 𝑥52 𝑥25𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑛 6 𝑦6 𝑥62 𝑥3 3 𝑛 7 𝑦7 𝑥72 𝑥35𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 0 𝑛 8 𝑦8 𝑥82 𝑥4 4 2 Sendo 𝑥𝑛 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 1 3𝛿𝑛 1 5𝛿𝑛 4 Determine a 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 b 𝑦𝑛 𝑥𝑛 4 Resolução Forma vetorial de 𝑥𝑛 𝑥𝑛 2 1 𝟎 3 0 0 5 Caderno Aula 1 7 Eng Viviana Zurro MSc Forma gráfica a 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 𝑦𝑛 𝑥𝑛 3 2𝛿𝑛 2 3 𝛿𝑛 1 3 3𝛿𝑛 1 3 5𝛿𝑛 4 3 𝑦𝑛 2𝛿𝑛 1 𝛿𝑛 2 3𝛿𝑛 4 5𝛿𝑛 7 b 𝑦𝑛 𝑥𝑛 4 𝑦𝑛 𝑥𝑛 4 2𝛿𝑛 2 4 𝛿𝑛 1 4 3𝛿𝑛 1 4 5𝛿𝑛 4 4 𝑦𝑛 2𝛿𝑛 6 𝛿𝑛 5 3𝛿𝑛 3 5𝛿𝑛 Caderno Aula 1 8 Eng Viviana Zurro MSc SISTEMAS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO 3 Vários sistemas são representados pelas equações a seguir Para cada um dos sistemas determinar se são Estáveis Causais Lineares Invariantes no tempo Sem memória a 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 2𝑠𝑒𝑛𝑛 b 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 3𝑢𝑛 1 c 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 3 2𝑥𝑛 3 d 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑛0 e 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 f 𝑇𝑥𝑛 𝑐𝑥𝑛 𝑑 g 𝑇𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥𝑛 1 h 𝑇𝑥𝑛 2𝑥𝑛 3 𝑢𝑛 1 Resolução a 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 2𝑠𝑒𝑛𝑛 Se a amplitude do sinal 𝑥𝑛 𝑀 sendo 𝑀 o sistema é estável devido a que a amplitude de 𝑠𝑒𝑛𝑛 é no máximo igual a 1 O sistema depende de amostras atuais de 𝑥𝑛 portanto é causal Linearidade considerando duas entradas no sistema 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 As duas entradas ao mesmo tempo aditividade e homogeneidade 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 2𝑠𝑒𝑛𝑛 Uma entrada por vez 𝑦1𝑛 𝑥1𝑛 2𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑦2𝑛 𝑥2𝑛 2𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑦𝑛 𝑎𝑦1𝑛 𝑏𝑦2𝑛 Caderno Aula 1 9 Eng Viviana Zurro MSc 𝑦𝑛 𝑎𝑥1𝑛 2𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑏𝑥2𝑛 2𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑦𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 2𝑠𝑒𝑛𝑛𝑎 𝑏 𝑻𝒂𝒙𝟏𝒏 𝒃𝒙𝟐𝒏 𝒚𝒏 Como 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑦𝑛 o sistema é não linear Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 2𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑦𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 2𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑛0 𝑻𝒙𝒏 𝒏𝟎 𝒚𝒏 𝒏𝟎 Como 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑦𝑛 𝑛0ste sistema não é invariante no tempo 𝑇𝑥𝑛 depende somente do valor atual de 𝑥𝑛 portanto é sem memória b 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 3𝑢𝑛 1 Se a amplitude do sinal 𝑥𝑛 𝑀 sendo 𝑀 o sistema é estável devido a que a amplitude de 𝑢𝑛 1 é no máximo igual a 1 O sistema depende de amostras atuais de 𝑥𝑛 portanto é causal Linearidade considerando duas entradas no sistema 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 As duas entradas ao mesmo tempo aditividade e homogeneidade 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 3𝑢𝑛 1 Uma entrada por vez 𝑦1𝑛 𝑥1𝑛 3𝑢𝑛 1 𝑦2𝑛 𝑥2𝑛 3𝑢𝑛 1 𝑦𝑛 𝑎𝑦1𝑛 𝑏𝑦2𝑛 𝑦𝑛 𝑎𝑥1𝑛 3𝑢𝑛 1 𝑏𝑥2𝑛 3𝑢𝑛 1 𝑦𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 3𝑢𝑛 1𝑎 𝑏 𝑻𝒂𝒙𝟏𝒏 𝒃𝒙𝟐𝒏 𝒚𝒏 Como 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑦𝑛 o sistema é não linear Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 3𝑢𝑛 1 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 3𝑢𝑛 1 𝑦𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 3𝑢𝑛 𝑛0 1 Caderno Aula 1 10 Eng Viviana Zurro MSc 𝑻𝒙𝒏 𝒏𝟎 𝒚𝒏 𝒏𝟎 Como 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑦𝑛 𝑛0ste sistema não é invariante no tempo 𝑇𝑥𝑛 depende somente do valor atual de 𝑥𝑛 portanto é sem memória c 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 3 2𝑥𝑛 3 Se a amplitude do sinal 𝑥𝑛 𝑀 sendo 𝑀 o sistema é estável O sistema depende de amostras atuais passadas e futuras de 𝑥𝑛 portanto é não causal Linearidade considerando duas entradas no sistema 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 As duas entradas ao mesmo tempo aditividade e homogeneidade 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 3 2𝑥𝑛 3 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑥1𝑛 3 2𝑥1𝑛 3 𝑏𝑥2𝑛 3 2𝑥2𝑛 3 Uma entrada por vez 𝑦1𝑛 𝑥1𝑛 3 2𝑥1𝑛 3 𝑦2𝑛 𝑥2𝑛 3 2𝑥2𝑛 3 𝑦𝑛 𝑎𝑦1𝑛 𝑏𝑦2𝑛 𝑦𝑛 𝑎𝑥1𝑛 3 2𝑥1𝑛 3 𝑏𝑥2𝑛 3 2𝑥2𝑛 3 𝑻𝒂𝒙𝟏𝒏 𝒃𝒙𝟐𝒏 𝒚𝒏 Como 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑦𝑛 o sistema é linear Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 3 2𝑥𝑛 3 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 3 2𝑥𝑛 𝑛0 3 𝑦𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 3 2𝑥𝑛 𝑛0 3 𝑻𝒙𝒏 𝒏𝟎 𝒚𝒏 𝒏𝟎 Como 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑦𝑛 𝑛0ste sistema não é invariante no tempo 𝑇𝑥𝑛 depende somente de valores atuais passados e futuros de 𝑥𝑛 portanto é com memória d 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑛0 Se a amplitude do sinal 𝑥𝑛 𝑛0 𝑀 sendo 𝑀 o sistema é estável Se 𝑛0 0 o sistema depende de amostras futuras portanto anticausal Se 𝑛0 0 o sistema depende de amostras passadas portanto causal A causalidade depende do sinal de 𝑛0 Linearidade considerando duas entradas no sistema 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 Caderno Aula 1 11 Eng Viviana Zurro MSc As duas entradas ao mesmo tempo aditividade e homogeneidade 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑛0 𝑏𝑥2𝑛 𝑛0 Uma entrada por vez 𝑦1𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑛0 𝑦2𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑛0 𝑦𝑛 𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑛0 𝑏𝑥2𝑛 𝑛0 𝑻𝒂𝒙𝟏𝒏 𝒃𝒙𝟐𝒏 𝒚𝒏 Como 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑦𝑛 o sistema é linear Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛𝑑 𝑥𝑛 𝑛0 𝑛𝑑 𝑦𝑛 𝑛𝑑 𝑥𝑛 𝑛0 𝑛𝑑 𝑻𝒙𝒏 𝒏𝒅 𝒚𝒏 𝒏𝒅 Como 𝑇𝑥𝑛 𝑛𝑑 𝑦𝑛 𝑛𝑑 o sistema é invariante no tempo 𝑇𝑥𝑛 é com memória a menos que 𝑛0 0 e 𝑇𝑥𝑛 𝑥𝑛 Se a amplitude do sinal 𝑥𝑛 𝑀 sendo 𝑀 o sistema é estável Não é causal porque para 𝑛 0 depende de valores futuros de 𝑥𝑛 Linearidade considerando duas entradas no sistema 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 As duas entradas ao mesmo tempo aditividade e homogeneidade 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 Uma entrada por vez 𝑦1𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑦2𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑦𝑛 𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑻𝒂𝒙𝟏𝒏 𝒃𝒙𝟐𝒏 𝒚𝒏 Como 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑦𝑛 o sistema é linear Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 Caderno Aula 1 12 Eng Viviana Zurro MSc 𝑦𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 𝑥𝑛 𝑛0 𝑻𝒙𝒏 𝒏𝟎 𝒚𝒏 𝒏𝟎 Como 𝑇𝑥𝑛 𝑛𝑑 𝑦𝑛 𝑛𝑑 o sistema não é invariante no tempo 𝑇𝑥𝑛 é com memória Para 𝑛 0 depende de outro valor de 𝑥𝑛 guardado na memória f 𝑇𝑥𝑛 𝑐𝑥𝑛 𝑑 Se a amplitude do sinal 𝑐𝑥𝑛 𝑑 𝑀 sendo 𝑀 𝑐 𝑒 𝑑 o sistema é estável O sistema é causal porque depende de valores atuais de 𝑥𝑛 Linearidade considerando duas entradas no sistema 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 As duas entradas ao mesmo tempo aditividade e homogeneidade 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑐𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑑 Uma entrada por vez 𝑦1𝑛 𝑎𝑐𝑥1𝑛 𝑑 𝑦2𝑛 𝑏𝑐𝑥2𝑛 𝑑 𝑦𝑛 𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 𝑎𝑐𝑥1𝑛 𝑎𝑑 𝑏𝑐𝑥2𝑛 𝑏𝑑 𝑦𝑛 𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 𝑐𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑑𝑎 𝑏 𝑻𝒂𝒙𝟏𝒏 𝒃𝒙𝟐𝒏 𝒚𝒏 Como 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑦𝑛 o sistema é não linear Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑐𝑥𝑛 𝑛0 𝑑 𝑦𝑛 𝑛0 𝑐𝑥𝑛 𝑛0 𝑑 𝑻𝒙𝒏 𝒏𝟎 𝒚𝒏 𝒏𝟎 Como 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑦𝑛 𝑛0 o sistema é invariante no tempo 𝑇𝑥𝑛 é sem memória porque depende somente de valores atuais de 𝑥𝑛 g 𝑇𝑥𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥𝑛 1 Se a amplitude do sinal 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥𝑛 1 𝑀 sendo 𝑀 o sistema é estável O sistema é anticausal porque depende somente de valores futuros de 𝑥𝑛 Linearidade considerando duas entradas no sistema 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 As duas entradas ao mesmo tempo aditividade e homogeneidade 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑎𝑥1𝑛 1 𝑏𝑥2𝑛 1 Caderno Aula 1 13 Eng Viviana Zurro MSc Uma entrada por vez 𝑦1𝑛 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥1𝑛 1 𝑦2𝑛 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥2𝑛 1 𝑦𝑛 𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥1𝑛 1 𝑏𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥2𝑛 1 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑎𝑥1𝑛 1 𝑏𝑥2𝑛 1 𝑻𝒂𝒙𝟏𝒏 𝒃𝒙𝟐𝒏 𝒚𝒏 Como 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑦𝑛 o sistema é linear Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥𝑛 𝑛0 1 𝑦𝑛 𝑛0 𝑠𝑒𝑛𝑛 𝑛0𝑥𝑛 𝑛0 1 𝑻𝒙𝒏 𝒏𝟎 𝒚𝒏 𝒏𝟎 Como 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑦𝑛 𝑛0 o sistema não é invariante no tempo 𝑇𝑥𝑛 é com memória porque depende somente de valores futuros de 𝑥𝑛 h 𝑇𝑥𝑛 2𝑥𝑛 3 𝑢𝑛 1 Se a amplitude do sinal 𝑥𝑛 𝑀 sendo 𝑀 o sistema é estável O sistema é causal porque depende somente de valores passados de 𝑥𝑛 Linearidade considerando duas entradas no sistema 𝑥1𝑛 e 𝑥2𝑛 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 2𝑎𝑥1𝑛 3 𝑏𝑥2𝑛 3 𝑢𝑛 1 𝑦1𝑛 2𝑥1𝑛 3 𝑢𝑛 1 𝑦2𝑛 2𝑥2𝑛 3 𝑢𝑛 1 𝑦𝑛 𝑎𝑦1𝑛 𝑏𝑦2𝑛 𝑎2𝑥1𝑛 3 𝑢𝑛 1 𝑏2𝑥2𝑛 3 𝑢𝑛 1 𝑦𝑛 2𝑎𝑥1𝑛 3 𝑏𝑥2𝑛 3 𝑎𝑢𝑛 1 𝑏𝑢𝑛 1 𝑻𝒂𝒙𝟏𝒏 𝒃𝒙𝟐𝒏 𝒚𝒏 Como 𝑇𝑎𝑥1𝑛 𝑏𝑥2𝑛 𝑦𝑛 o sistema é não linear Invariância no tempo 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 2𝑥𝑛 𝑛0 3 𝑢𝑛 1 𝑦𝑛 𝑛0 2𝑥𝑛 𝑛0 3 𝑢𝑛 𝑛0 1 𝑻𝒙𝒏 𝒏𝟎 𝒚𝒏 𝒏𝟎 Caderno Aula 1 14 Eng Viviana Zurro MSc Como 𝑇𝑥𝑛 𝑛0 𝑦𝑛 𝑛0 o sistema não é invariante no tempo 𝑇𝑥𝑛 é com memória porque depende de amostras passadas de 𝑥𝑛 𝑥𝑛 3 e futuras de 𝑢𝑛 𝑢𝑛 1 CONVOLUÇÃO 4 A entrada de um sistema é dada pelo vetor 𝑥𝑛 se a resposta ao impulso do sistema é ℎ𝑛 determine 𝑦𝑛 a 𝑥𝑛 2𝟏 3 ℎ𝑛 3𝛿𝑛 3 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 1 b 𝑥𝑛 𝟑 1 2 ℎ𝑛 𝟎 0 1 2 Resolução 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ𝑛 a 𝑥𝑛 2𝟏 3 ℎ𝑛 3𝛿𝑛 3 2𝛿𝑛 2 𝛿𝑛 1 Resolução gráfica 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Amplitude n xn 4 2 0 2 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Amplitude n hn Caderno Aula 1 15 Eng Viviana Zurro MSc 𝒚𝟓 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟑 𝟎 𝒚𝟒 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟐 𝟐 𝟑 𝟔 4 2 0 2 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Amplitude n hn 4 2 0 2 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 xn 6 1 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 hn 4 2 0 2 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 xn 6 1 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 hn Caderno Aula 1 16 Eng Viviana Zurro MSc 𝒚𝟑 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟑 𝟕 𝒚𝟐 𝟎 𝟎 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟑 𝟏𝟑 𝒚𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝟎 𝟑 𝟕 4 2 0 2 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 xn 6 1 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 hn 4 2 0 2 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 xn 6 1 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 hn 4 2 0 2 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 xn 6 1 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 hn Caderno Aula 1 17 Eng Viviana Zurro MSc 𝒚𝟎 𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝟑 𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟑 𝟑 𝒚𝟏 𝟐 𝟎 𝟏 𝟎 𝟑 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟑 𝟎 b 𝑥𝑛 𝟑 1 2 ℎ𝑛 𝟎 0 1 2 4 2 0 2 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 xn 6 1 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 hn 4 2 0 2 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 xn 6 1 4 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 hn 15 10 5 0 5 10 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Amplitude n yn Caderno Aula 1 18 Eng Viviana Zurro MSc Processo matemático n 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 hn 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y102010000 0 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 y002010030 0 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 y102013010 0 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn2 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 y202313020 3 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn3 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 y33211302000 7 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn4 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 y412210000 4 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn5 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 y522010000 4 xn 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 hn6 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 y602010000 0 Caderno Aula 1 19 Eng Viviana Zurro MSc 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 n xn 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 n hn 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 n hn Caderno Aula 1 20 Eng Viviana Zurro MSc 5 A sequência 𝑥𝑛 correspondente a um determinado sinal é processada por um sistema composto por duas etapas que têm uma resposta ao impulso ℎ1𝑛 e ℎ2𝑛 O número em realce corresponde ao valor em 𝑛 0 Determinar 𝑦𝑛 aplicando a propriedade distributiva da convolução 𝑥𝑛 1 𝟎 1 ℎ1𝑛 1 𝟏 2 ℎ2𝑛 𝟎 0 1 3 2 Resolução Para provar a propriedade distributiva este problema será resolvido de duas maneiras Aplicaremos a fórmula da convolução 𝑦𝑛 𝑥𝑘 𝑘 ℎ𝑘𝑛 𝑥𝑘 𝑘 ℎ𝑛 𝑘 Método 1 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ1𝑛 𝑥𝑛 ℎ2𝑛 𝑦1𝑛 𝑥𝑛 ℎ1𝑛 0 1 2 3 4 5 6 7 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 n yn Caderno Aula 1 21 Eng Viviana Zurro MSc 𝑦2𝑛 𝑥𝑛 ℎ2𝑛 𝑦𝑛 𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 Cálculo de 𝑦1𝑛 𝑥𝑛 1 𝟎 1 ℎ1𝑛 2 𝟏 1 𝑦12 1 1 00 00 1 𝑦11 1 1 0 1 10 1 𝑦10 1 2 01 1 1 3 𝑦11 1 0 02 11 1 𝑦12 1 0 00 12 2 𝑦1𝑛 1 1 𝟑 1 2 Cálculo de 𝑦2𝑛 𝑥𝑛 1 𝟎 1 ℎ2𝑛 2 3 1 0 𝟎 𝑦21 1 1 00 10 1 𝑦22 1 3 01 10 3 𝑦23 1 2 03 11 1 𝑦24 1 0 02 13 3 𝑦25 1 0 00 12 2 𝑦2𝑛 𝟎 1 3 1 3 2 𝑦𝑛 𝑦1𝑛 𝑦2𝑛 𝒚𝒏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 Método 2 𝑦𝑛 𝑥𝑛 ℎ1𝑛 ℎ2𝑛 ℎ𝑛 ℎ1𝑛 ℎ2𝑛 ℎ𝑛 1 𝟏 2 1 3 2 Cálculo de 𝑦𝑛 𝑥𝑛 1 𝟎 1 Caderno Aula 1 22 Eng Viviana Zurro MSc ℎ𝑛 2 3 1 2 𝟏 1 𝑦2 1 1 00 00 1 𝑦1 1 1 0 1 10 1 𝑦0 1 2 01 1 1 3 𝑦1 1 1 02 1 1 2 𝑦2 1 3 01 12 1 𝑦3 1 2 03 11 1 𝑦4 1 0 02 13 3 𝑦5 1 0 00 12 2 𝒚𝒏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 Desta forma comprovamos a propriedade distributiva da convolução Referências OPPENHEIM A V SCHAFER R W Digital Signal Processing New Jersey PrenticeHall 1975 OPPENHEIM A V SCHAFER R W Processamento em Tempo Discreto de Sinais 3 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e Sistemas 2a ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010