Lista de Exercícios PDS Estruturas para Sistemas em Tempo Discreto - IIR

Estruturas para sistemas em tempo discreto PDS Lista de Exercícios Aula 5 PROF VIVIANA RAQUEL ZURRO Caderno Aula 5 1 Eng Viviana Zurro MSc Sumário ESTRUTURAS 2 Sistemas IIR 3 Referências 21 Caderno Aula 5 2 Eng Viviana Zurro MSc ESTRUTURAS Tabela 1 Pares de transformadas OPPENHEIM e SCHAFER 2012 Sequência Transformada RDC 1 1 𝛿𝑛 1 Todo 𝑧 2 2 𝑢𝑛 1 1 𝑧1 𝑧 1 3 3 𝑢𝑛 1 1 1 𝑧1 𝑧 1 4 4 𝛿𝑛 𝑚 𝑧𝑚 Todo 𝑧 exceto 0 se 𝑚 0 ou se 𝑚 0 5 5 𝑎𝑛𝑢𝑛 1 1 𝑎𝑧1 𝑧 𝑎 6 6 𝑎𝑛𝑢𝑛 1 1 1 𝑎𝑧1 𝑧 𝑎 7 7 𝑛𝑎𝑛𝑢𝑛 𝑎𝑧1 1 𝑎𝑧12 𝑧 𝑎 8 8 𝑛𝑎𝑛𝑢𝑛 1 𝑎𝑧1 1 𝑎𝑧12 𝑧 𝑎 9 9 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛𝑢𝑛 1 𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 1 2𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 𝑧2 𝑧 1 1 10 𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑛𝑢𝑛 𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑧1 1 2𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 𝑧2 𝑧 1 1 11 𝑟𝑛𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑛𝑢𝑛 1 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 1 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 𝑟2𝑧2 𝑧 𝑟 1 12 𝑟𝑛𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑛𝑢𝑛 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜔0𝑧1 1 2𝑟𝑐𝑜𝑠𝜔0𝑧1 𝑟2𝑧2 𝑧 𝑟 1 13 𝑎𝑛 0 𝑛 𝑁 1 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 1 𝑎𝑁𝑧𝑁 1 𝑎𝑧1 𝑧 0 Caderno Aula 5 3 Eng Viviana Zurro MSc Sistemas IIR 1 O diagrama de fluxo da figura na forma direta II transposta descreve um sistema LIT a Determine a função do sistema b Determine a resposta ao impulso Resolução a Função do sistema 𝐻𝑧 2 025𝑧1 1 05𝑧1 b Resposta ao impulso Método 1 Aplicando distributiva 𝐻𝑧 2 1 05𝑧1 025𝑧1 1 05𝑧1 Aplicando os pares de transformada 4 e 5 da Tabela 1 ℎ1𝑛 205𝑛𝑢𝑛 02505𝑛1𝑢𝑛 1 Método 2 Aplicando divisão longa numerador e denominador tem o mesmo grau Ordenando numerador e denominador do maior grau para o menor grau 𝐻𝑧 05 25 1 05𝑧1 Aplicando os pares de transformada 1 e 5 da Tabela 1 ℎ2𝑛 05𝛿𝑛 2505𝑛𝑢𝑛 Gráficos de ℎ1𝑛 e ℎ2𝑛 usando o software Scilab DASSAULT SYSTÈMES 2023 Caderno Aula 5 4 Eng Viviana Zurro MSc Como podemos ver as duas funções são iguais calculadas por métodos diferentes mas a função ℎ2𝑛 é mais fácil de escrever no algoritmo e requer menos cálculos que a função ℎ1𝑛 o que faz com que esse método seja mais adequado neste caso 2 Baseado no problema 625 do livro texto Um sistema LIT causal é definido pelo diagrama de fluxo da figura a seguir Esta figura representa o sistema como uma cascata de um sistema de segunda ordem em série com um sistema de primeira ordem Caderno Aula 5 5 Eng Viviana Zurro MSc a Qual é a função do sistema em cascata global b O sistema global é estável c O sistema global é de fase mínima d Desenhe o diagrama de fluxo de sinais na implementação forma direta II transposta e Escreva a equação de diferenças que representa o sistema Resolução c Função do sistema 𝐻𝑧 𝐻1𝑧 𝐻2𝑧 1 081𝑧2 1 03𝑧1 04𝑧2 1 2𝑧1 1 08𝑧1 A primeira parte do polinômio representa um sistema de segunda ordem que será dividido em dois sistemas de primeira ordem para identificar os polos e zeros Numerador 𝑁 𝑁 1 081𝑧2 1 𝑎𝑧11 𝑎𝑧1 𝑁 1 𝑎𝑧1 𝑎𝑧1 𝑎2𝑧2 1 𝑎2𝑧2 𝑎2 081 𝑎 081 𝑗09 𝑁 1 𝑗09𝑧11 𝑗09𝑧1 Denominador 𝐷 𝐷 1 03𝑧1 04𝑧2 1 𝑏𝑧11 𝑐𝑧1 𝐷 1 𝑐𝑧1 𝑏𝑧1 𝑏𝑐𝑧2 1 𝑐 𝑏𝑧1 𝑏𝑐𝑧2 𝐷 1 𝑐 𝑏𝑧1 𝑏𝑐𝑧2 1 03𝑧1 04𝑧2 𝑐 𝑏 03 𝑏𝑐 04 1 Resolvendo o sistema de equações 1 𝑏 08 𝑐 05 Caderno Aula 5 6 Eng Viviana Zurro MSc 𝐷 1 08𝑧11 05𝑧1 Portanto a função do sistema com os polos e zeros identificados fica 𝑯𝒛 𝟏 𝟎 𝟖𝟏𝒛𝟐 𝟏 𝟎 𝟑𝒛𝟏 𝟎 𝟒𝒛𝟐 𝟏 𝟐𝒛𝟏 𝟏 𝟎 𝟖𝒛𝟏 𝟏 𝒋𝟎 𝟗𝒛𝟏𝟏 𝒋𝟎 𝟗𝒛𝟏𝟏 𝟐𝒛𝟏 𝟏 𝟎 𝟖𝒛𝟏𝟏 𝟎 𝟓𝒛𝟏𝟏 𝟎 𝟖𝒛𝟏 O sistema tem zeros em 𝑧 𝑗09 𝑧 𝑗09 e 𝑧 2 e polos em 𝑧 08 𝑧 05 e 𝑧 08 d Verificando o ponto a o sistema é estável porque todos os polos estão dentro do círculo de raio unitário Isto garante a estabilidade de um sistema causal e O sistema de acordo com o ponto a não é de fase mínima devido a que tem um zero fora do círculo de raio unitário em 𝑧 2 f Para implementar o sistema na forma direta II transposta deveremos reescrever a função do sistema 𝐻𝑧 1 𝑗09𝑧11 𝑗09𝑧11 2𝑧1 1 08𝑧11 05𝑧11 08𝑧1 1 081𝑧2 1 03𝑧1 04𝑧2 1 2𝑧1 1 08𝑧1 𝑁 𝐷 Numerador 𝑁 𝑁 1 081𝑧21 2𝑧1 𝑁 1 2𝑧1 081𝑧2 162𝑧3 Denominador 𝐷 𝐷 1 03𝑧1 04𝑧21 08𝑧1 𝐷 1 08𝑧1 03𝑧1 024𝑧2 04𝑧2 032𝑧3 𝐷 1 05𝑧1 064𝑧2 032𝑧3 Caderno Aula 5 7 Eng Viviana Zurro MSc 𝐻𝑧 1 2𝑧1 081𝑧2 162𝑧3 1 05𝑧1 064𝑧2 032𝑧3 g Equação de diferenças Trabalhando com a função do sistema 𝐻𝑧 1 2𝑧1 081𝑧2 162𝑧3 1 05𝑧1 064𝑧2 032𝑧3 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧1 05𝑧1 064𝑧2 032𝑧3 𝑋𝑧1 2𝑧1 081𝑧2 162𝑧3 𝑌𝑧 05𝑌𝑧𝑧1 064𝑌𝑧𝑧2 032𝑌𝑧𝑧3 𝑋𝑧 2𝑋𝑧𝑧1 081𝑋𝑧𝑧2 162𝑋𝑧𝑧3 Aplicando transformada z inversa 𝑦𝑛 05𝑦𝑛 1 064𝑦𝑛 2 032𝑦𝑛 3 𝑥𝑛 2𝑥𝑛 1 081𝑥𝑛 2 162𝑥𝑛 3 Reescrevendo a equação 𝒚𝒏 𝒙𝒏 𝟐𝒙𝒏 𝟏 𝟎 𝟖𝟏𝒙𝒏 𝟐 𝟏 𝟔𝟐𝒙𝒏 𝟑 𝟎 𝟓𝒚𝒏 𝟏 𝟎 𝟔𝟒𝒚𝒏 𝟐 𝟎 𝟑𝟐𝒚𝒏 𝟑 3 Baseado no problema 612 do livro texto O diagrama de fluxo da figura descreve um sistema LIT Caderno Aula 5 8 Eng Viviana Zurro MSc a Determine a função de transferência b Determine a equação de diferenças que relaciona a entrada 𝑥𝑛 com a saída 𝑦𝑛 c Desenhe o diagrama de fluxo de acordo com a função de transferência obtida no ponto a d Calcule a resposta ao impulso ℎ𝑛 e Verifique se o sistema é estável f Verifique se o sistema tem fase mínima Resolução a Função do sistema 𝑤1𝑛 𝑥𝑛 𝑤2𝑛 𝑤3𝑛 𝑤2𝑛 𝑥𝑛 1 2𝑤3𝑛 𝑤3𝑛 𝑤2𝑛 1 𝑦𝑛 1 𝑦𝑛 2𝑤1𝑛 Aplicando transformada z às equações 𝑊1𝑧 𝑋𝑧 𝑊2𝑧 𝑊3𝑧 2 𝑊2𝑧 𝑧1𝑋𝑧 2𝑊3𝑧 3 𝑊3𝑧 𝑧1𝑊2𝑧 𝑧1𝑌𝑧 4 Substituindo a equação 4 na 2 𝑊1𝑧 𝑋𝑧 𝑊2𝑧 𝑧1𝑊2𝑧 𝑧1𝑌𝑧 Caderno Aula 5 9 Eng Viviana Zurro MSc 𝑊1𝑧 𝑋𝑧 𝑊2𝑧1 𝑧1 𝑧1𝑌𝑧 5 Substituindo a equação 4 na 3 𝑊2𝑧 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑊2𝑧 𝑧1𝑌𝑧 𝑊2𝑧 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑊2𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 𝑊2𝑧 2𝑧1𝑊2𝑧 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 𝑊2𝑧1 2𝑧1 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 𝑊2𝑧 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 1 2𝑧1 6 Equação 6 em 5 𝑊1𝑧 𝑋𝑧 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 1 2𝑧1 1 𝑧1 𝑧1𝑌𝑧 7 Resolvendo o termo 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 1 2𝑧1 1 𝑧1 Numerador 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑌𝑧1 𝑧1 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 𝑧2𝑋𝑧 2𝑧2𝑌𝑧 Portanto o termo fica 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 𝑧2𝑋𝑧 2𝑧2𝑌𝑧 1 2𝑧1 Voltando para a equação 7 𝑊1𝑧 𝑋𝑧 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 𝑧2𝑋𝑧 2𝑧2𝑌𝑧 1 2𝑧1 𝑧1𝑌𝑧 Aplicando denominador comum 𝑊1𝑧 𝑋𝑧1 2𝑧1 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 𝑧2𝑋𝑧 2𝑧2𝑌𝑧 𝑧1𝑌𝑧1 2𝑧1 1 2𝑧1 𝑊1𝑧 𝑋𝑧 2𝑧1𝑋𝑧 𝑧1𝑋𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 𝑧2𝑋𝑧 2𝑧2𝑌𝑧 𝑧1𝑌𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 1 2𝑧1 𝑊1𝑧 𝑋𝑧 3𝑧1𝑋𝑧 𝑧2𝑋𝑧 3𝑧1𝑌𝑧 1 2𝑧1 𝑌𝑧 2 𝑋𝑧 3𝑧1𝑋𝑧 𝑧2𝑋𝑧 3𝑧1𝑌𝑧 1 2𝑧1 𝑌𝑧1 2𝑧1 2𝑋𝑧 3𝑧1𝑋𝑧 𝑧2𝑋𝑧 3𝑧1𝑌𝑧 Caderno Aula 5 10 Eng Viviana Zurro MSc 𝑌𝑧 2𝑧1𝑌𝑧 2𝑋𝑧 6𝑧1𝑋𝑧 2𝑧2𝑋𝑧 6𝑧1𝑌𝑧 𝑌𝑧 8𝑧1𝑌𝑧 2𝑋𝑧 6𝑧1𝑋𝑧 2𝑧2𝑋𝑧 𝑯𝒛 𝒀𝒛 𝑿𝒛 𝟐 𝟔𝒛𝟏 𝟐𝒛𝟐 𝟏 𝟖𝒛𝟏 b Equação de diferenças 𝑌𝑧 8𝑧1𝑌𝑧 2𝑋𝑧 6𝑧1𝑋𝑧 2𝑧2𝑋𝑧 Aplicando transformada z inversa 𝒚𝒏 𝟖𝒚𝒏 𝟏 𝟐𝒙𝒏 𝟔𝒙𝒏 𝟏 𝟐𝒙𝒏 𝟐 c Diagrama de fluxo d Resposta ao impulso ℎ𝑛 Por divisão longa 𝐻𝑧 025𝑧1 07812 12187 1 8𝑧1 Aplicando os pares de transformadas da Tabela 1 calcularemos a resposta ao impulso aplicando a transformada inversa 𝒉𝒏 𝟎 𝟐𝟓𝜹𝒏 𝟏 𝟎 𝟕𝟖𝟏𝟐𝜹𝒏 𝟏 𝟐𝟏𝟖𝟕𝟖𝒏𝒖𝒏 e Estabilidade 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 2 6𝑧1 2𝑧2 1 8𝑧1 Caderno Aula 5 11 Eng Viviana Zurro MSc O sistema tem um polo em 𝑧 8 portanto o sistema sendo causal é instável devido a que tem um polo fora do círculo de raio unitário e a RDC não contém o mesmo f Fase mínima Considerando o numerador da função de transferência 𝑁 2 6𝑧1 2𝑧2 0 Dividindo tudo por 2 𝑁 1 3𝑧1 𝑧2 0 1 𝑎𝑧11 𝑏𝑧1 1 𝑏𝑧1 𝑎𝑧1 𝑎𝑏𝑧2 1 𝑏 𝑎𝑧1 𝑎𝑏𝑧2 𝑏 𝑎 3 𝑎𝑏 1 8 𝑎 33 𝑏 03 𝑁 1 33𝑧11 03𝑧1 O sistema tem um zero em 𝑧 33 fora do círculo de raio unitário portanto não tem fase mínima 4 Baseado no problema 610 do livro texto O diagrama de fluxo da figura descreve um sistema LIT a Escreva a equação de diferenças representada pelo diagrama de fluxo b Desenhe o diagrama de fluxo em cascata com dois sistemas de primeira ordem c Calcule ℎ𝑛 d O sistema é estável Resolução a Equação de diferenças 𝑤𝑛 𝑥𝑛 05𝑦𝑛 9 Caderno Aula 5 12 Eng Viviana Zurro MSc 𝑣𝑛 2𝑥𝑛 05𝑦𝑛 𝑤𝑛 1 10 𝑦𝑛 𝑥𝑛 𝑣𝑛 1 11 Substituindo a equação 9 na equação 10 𝑣𝑛 2𝑥𝑛 05𝑦𝑛 𝑥𝑛 1 05𝑦𝑛 1 12 Substituindo a equação 12 na equação 11 𝑦𝑛 𝑥𝑛 2𝑥𝑛 1 05𝑦𝑛 1 𝑥𝑛 2 05𝑦𝑛 2 13 Reescrevendo a equação 13 𝒚𝒏 𝟎 𝟓𝒚𝒏 𝟏 𝟎 𝟓𝒚𝒏 𝟐 𝒙𝒏 𝟐𝒙𝒏 𝟏 𝒙𝒏 𝟐 b Diagrama de fluxo em cascata A função de transferência pode ser obtida do gráfico ou da equação de diferenças Aplicando transformada z à equação de diferenças 𝑌𝑧1 05𝑧1 05𝑧2 𝑋𝑧1 2𝑧1 𝑧2 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 1 2𝑧1 𝑧2 1 05𝑧1 05𝑧2 Trabalhando com o numerador 𝑎2 2𝑎𝑏 𝑏2 1 𝑎1 𝑏 1 2𝑧1 𝑧2 1 𝑧12 1 𝑧11 𝑧1 Trabalhando com o denominador 1 05𝑧1 05𝑧2 1 𝑎𝑧11 𝑏𝑧1 1 05𝑧1 05𝑧2 1 𝑏𝑧1 𝑎𝑧1 𝑎𝑏𝑧2 Portanto 𝑎 𝑏 05 𝑎𝑏 05 𝑎 05 𝑏 1 1 05𝑧1 05𝑧2 1 05𝑧11 1𝑧1 14 Para o filtro em cascata podemos escrever 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 1 𝑧1 1 05𝑧1 1 𝑧1 1 1𝑧1 O diagrama de fluxo do sistema em cascata na forma direta II será Caderno Aula 5 13 Eng Viviana Zurro MSc c Para calcular ℎ𝑛 é conveniente usar divisão longa devido a que o numerador e o denominador têm o mesmo grau 𝐻𝑧 1 2𝑧1 𝑧2 1 05𝑧1 05𝑧2 A função de transferência fica 𝐻𝑧 2 3 𝑧1 1 05𝑧1 05𝑧2 Definindo o polinômio para facilitar o cálculo e aplicando frações parciais usando os polos calculados na equação 14 𝑃𝑧 𝑁 𝐷 3 𝑧1 1 05𝑧1 05𝑧2 3 𝑧1 1 05𝑧11 1𝑧1 𝑃𝑧 𝑁 𝐷 𝐴 1 05𝑧1 𝐵 1 1𝑧1 𝐴1 1𝑧1 𝐵1 05𝑧1 1 05𝑧1 05𝑧2 𝑁 𝐴1 1𝑧1 𝐵1 05𝑧1 3 𝑧1 𝐴 𝐴𝑧1 𝐵 05𝐵𝑧1 3 𝑧1 𝐴 𝐵 3 𝐴𝑧1 05𝐵𝑧1 𝑧1 𝐴 05𝐵 1 15 Do sistema de equações 15 𝐴 0333 𝐵 2666 𝐻𝑧 2 𝑃𝑧 𝐻𝑧 2 0333 1 05𝑧1 2666 1 1𝑧1 Aplicando os pares de transformadas da Tabela 1 calcularemos a resposta ao impulso aplicando a transformada inversa 𝒉𝒏 𝟐𝜹𝒏 𝟎 𝟑𝟑𝟑 𝟎 𝟓𝒏𝒖𝒏 𝟐 𝟔𝟔𝟔 𝟏𝒏𝒖𝒏 Caderno Aula 5 14 Eng Viviana Zurro MSc d O sistema tem dois polos um em 𝑧 05 e outro em 𝑧 1 Devido a este último polo o sistema não é estável polo no círculo de raio unitário 5 Baseado no problema 64 do livro texto O diagrama de fluxo da figura descreve um sistema LIT a Qual é a função do sistema b Escreva a equação de diferenças que representa o sistema c Determine os polos e zeros do sistema d O sistema é estável O sistema tem fase mínima e Desenhe o diagrama de fluxo em cascata f Desenhe o diagrama de fluxo na forma paralela g Determine a resposta ao impulso Resolução a Função do sistema 𝐻𝑧 2 1 4 𝑧1 1 1 4 𝑧1 3 8 𝑧2 2 025𝑧1 1 025𝑧1 0375𝑧2 b Equação de diferenças 𝐻𝑧 2 1 4 𝑧1 1 1 4 𝑧1 3 8 𝑧2 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧 1 1 4 𝑧1 3 8 𝑧2 𝑋𝑧2 1 4 𝑧1 𝑌𝑧 1 4 𝑌𝑧𝑧1 3 8 𝑌𝑧𝑧2 2𝑋𝑧 1 4 𝑋𝑧𝑧1 Aplicando transformada z inversa 𝑦𝑛 1 4 𝑦𝑛 1 3 8 𝑦𝑛 2 2𝑥𝑛 1 4 𝑥𝑛 1 Reescrevendo a equação Caderno Aula 5 15 Eng Viviana Zurro MSc 𝒚𝒏 𝟐𝒙𝒏 𝟏 𝟒 𝒙𝒏 𝟏 𝟏 𝟒 𝒚𝒏 𝟏 𝟑 𝟖 𝒚𝒏 𝟐 c Polos e zeros Para determinar os polos e zeros do sistema devemos deixar numerador e denominador da forma 1 𝑎𝑧1 𝐻𝑧 2 1 4 𝑧1 1 1 4 𝑧1 3 8 𝑧2 𝑁 𝐷 Para determinar os zeros do sistema trabalharemos com o numerador de 𝐻𝑧 𝑁 2 1 4 𝑧1 2 1 1 24 𝑧1 2 1 1 8 𝑧1 21 0125𝑧1 Este sistema tem um zero em 𝑧 0125 Para determinar os polos do sistema trabalharemos com o denominador de 𝐻𝑧 𝐷 1 1 4 𝑧1 3 8 𝑧2 O denominador é de ordem 2 portanto este sistema tem dois polos Este sistema pode ser resolvido usando a fórmula de Bhaskara ou pelo método explicado a seguir 𝐷 1 025𝑧1 0375𝑧2 1 𝑎𝑧11 𝑏𝑧1 1 𝑎𝑧11 𝑏𝑧1 1 𝑏𝑧1 𝑎𝑧1 𝑎𝑏𝑧2 1 𝑏 𝑎𝑧1 𝑎𝑏𝑧2 1 025𝑧1 0375𝑧2 16 Da equação 16 podemos deduzir que 𝑏 𝑎 025 𝑎𝑏 0375 Resolvendo o sistema de equações anterior temos que 𝑎 05 𝑏 075 Então 𝐷 1 025𝑧1 0375𝑧2 1 05𝑧11 075𝑧1 Este sistema tem um polo em 𝑧 05 e outro polo em 𝑧 075 d Estabilidade e fase mínima Este é um sistema LIT causal portanto a região de convergência da transformada z se estende do polo mais afastado da origem para fora O polo mais afastado está em 𝑧 075 como a RDC se estende a partir deste polo a mesma contém o círculo de raio unitário portanto o sistema é estável Caderno Aula 5 16 Eng Viviana Zurro MSc O zero do sistema está em 𝑧 0125 dentro do círculo de raio unitário do plano z portanto o sistema tem fase mínima e Sistema em cascata Para representar o sistema em cascata trabalharemos a função 𝐻𝑧 da seguinte maneira 𝐻𝑧 2 025𝑧1 1 05𝑧11 075𝑧1 2 025𝑧1 1 05𝑧1 1 1 075𝑧1 Resultando no seguinte diagrama de fluxo f Sistema na forma paralela Para representar o sistema na forma paralela trabalharemos a função 𝐻𝑧 de tal forma de a partir de um sistema de segunda ordem obter dois sistemas de primeira ordem em paralelo da seguinte forma 𝐻𝑧 2 1 4 𝑧1 1 1 4 𝑧1 3 8 𝑧2 2 025𝑧1 1 05𝑧11 075𝑧1 𝐻𝑧 𝐴 1 05𝑧1 𝐵 1 075𝑧1 Para resolver este problema trabalharemos com frações parciais 𝐻𝑧 𝐴 1 05𝑧1 𝐵 1 075𝑧1 𝐴1 075𝑧1 𝐵1 05𝑧1 1 05𝑧11 075𝑧1 𝐴1 075𝑧1 𝐵1 05𝑧1 1 05𝑧11 075𝑧1 2 025𝑧1 1 05𝑧11 075𝑧1 Trabalhando com os numeradores 𝐴 𝐴 075𝑧1 𝐵 𝐵 05𝑧1 2 025𝑧1 Da equação anterior podemos deduzir que 𝐴 𝐵 2 𝐴 075𝑧1 𝐵 05𝑧1 025𝑧1 𝐴 075 𝐵 05 025 Trabalhando com o sistema de equações 𝐴 𝐵 1 portanto 𝐻𝑧 1 1 05𝑧1 1 1 075𝑧1 Caderno Aula 5 17 Eng Viviana Zurro MSc Resultando no seguinte diagrama de fluxo com dois blocos na forma direta II transposta g Resposta ao impulso 𝐻𝑧 1 1 05𝑧1 1 1 075𝑧1 Aplicando o par de transformadas número 5 da Tabela 1 calcularemos a resposta ao impulso aplicando a transformada inversa 𝒉𝒏 𝟎 𝟓𝒏𝒖𝒏 𝟎 𝟕𝟓𝒏𝒖𝒏 6 Baseado no problema 612 do livro texto O diagrama de fluxo da figura descreve um sistema LIT a Qual é a função do sistema b Desenhe o diagrama de fluxo na forma direta II transposta c Escreva a equação de diferenças que representa o sistema d Determine os polos do sistema e O sistema é estável f Desenhe o diagrama de fluxo na forma paralela g Determine a resposta ao impulso Caderno Aula 5 18 Eng Viviana Zurro MSc Resolução a Função do sistema 𝐻𝑧 1 2𝑧1 3𝑧2 1 1 4 𝑧2 1 1 2 𝑧1 b Sistema na forma direta II transposta Resolvendo o numerador 𝐻𝑧 1 2𝑧1 3𝑧21 05𝑧1 1 025𝑧2 𝑁 1 2𝑧1 3𝑧2 1 1 2 𝑧1 1 05𝑧1 2𝑧1 𝑧2 3𝑧2 15𝑧3 𝑁 1 25𝑧1 4𝑧2 15𝑧3 𝐻𝑧 1 25𝑧1 4𝑧2 15𝑧3 1 025𝑧2 Resultando no seguinte diagrama de fluxo c Equação de diferenças 𝐻𝑧 1 25𝑧1 4𝑧2 15𝑧3 1 025𝑧2 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑌𝑧1 025𝑧2 𝑋𝑧1 25𝑧1 4𝑧2 15𝑧3 𝑌𝑧 025𝑌𝑧𝑧2 𝑋𝑧 25𝑋𝑧𝑧1 4𝑋𝑧𝑧2 15𝑋𝑧𝑧3 Aplicando transformada z inversa 𝑦𝑛 025𝑦𝑛 2 𝑥𝑛 25𝑥𝑛 1 4𝑥𝑛 2 15𝑥𝑛 3 Caderno Aula 5 19 Eng Viviana Zurro MSc Reescrevendo a equação 𝒚𝒏 𝒙𝒏 𝟐 𝟓𝒙𝒏 𝟏 𝟒𝒙𝒏 𝟐 𝟎 𝟐𝟓𝒚𝒏 𝟐 d Polos O denominador é de ordem 2 portanto este sistema tem dois polos Este sistema pode ser resolvido pelo método explicado a seguir 𝐷 1 025𝑧2 1 𝑎𝑧11 𝑏𝑧1 1 𝑎𝑧11 𝑏𝑧1 1 𝑏𝑧1 𝑎𝑧1 𝑎𝑏𝑧2 1 𝑏 𝑎𝑧1 𝑎𝑏𝑧2 1 0𝑧1 025𝑧2 17 Da equação 17 podemos deduzir que 𝑏 𝑎 0 𝑎𝑏 025 Resolvendo o sistema de equações anterior temos que 𝑎 05 𝑏 05 Então 𝐷 1 025𝑧2 1 05𝑧11 05𝑧1 Este sistema tem um polo em 𝑧 05 e outro polo em 𝑧 05 e Estabilidade Este é um sistema LIT causal portanto a região de convergência da transformada z se estende do polo mais afastado da origem para fora O polo mais afastado está em 𝑧 05 como a RDC se estende a partir deste polo a mesma contém o círculo de raio unitário portanto o sistema é estável f Sistema na forma paralela Para representar o sistema em cascata trabalharemos a função 𝐻𝑧 de tal forma de a partir de um sistema de segunda ordem obter dois sistemas de primeira ordem em paralelo 𝐻𝑧 1 25𝑧1 4𝑧2 15𝑧3 1 025𝑧2 Aplicando divisão longa organizando numerador e denominador de ordem maior para menor o denominador deve ser escrito da seguinte maneira 𝐷 1 025𝑧2 025𝑧2 0𝑧1 1 Caderno Aula 5 20 Eng Viviana Zurro MSc A função do sistema fica da seguinte forma 𝐻𝑧 16 6𝑧1 85𝑧1 17 1 025𝑧2 𝐻𝑧 16 6𝑧1 85𝑧1 17 1 05𝑧11 05𝑧1 Definindo o polinômio 𝑃 𝑃 85𝑧1 17 1 05𝑧11 05𝑧1 Trabalhando com frações parciais 𝑃 85𝑧1 17 1 05𝑧11 05𝑧1 𝐴 1 05𝑧1 𝐵 1 05𝑧1 𝑃 𝐴1 05𝑧1 𝐵1 05𝑧1 1 05𝑧11 05𝑧1 85𝑧1 17 1 05𝑧11 05𝑧1 Trabalhando com os numeradores 𝐴 𝐴 05𝑧1 𝐵 𝐵 05𝑧1 85𝑧1 17 Da equação anterior podemos deduzir que 𝐴 𝐵 17 𝐴 05𝑧1 𝐵 05𝑧1 85𝑧1 𝐴 05 𝐵 05 85 Trabalhando com o sistema de equações 𝐴 17 𝐵 0 portanto 𝑃 85𝑧1 17 1 05𝑧11 05𝑧1 17 1 05𝑧1 0 1 05𝑧1 Então a função do sistema fica 𝐻𝑧 16 6𝑧1 17 1 05𝑧1 Resultando no seguinte diagrama de fluxo Caderno Aula 5 21 Eng Viviana Zurro MSc g Resposta ao impulso 𝐻𝑧 16 6𝑧1 17 1 05𝑧1 Aplicando os pares de transformadas da Tabela 1 calcularemos a resposta ao impulso aplicando a transformada inversa 𝒉𝒏 𝟏𝟔𝜹𝒏 𝟔𝜹𝒏 𝟏 𝟏𝟕𝟎 𝟓𝒏𝒖𝒏 Referências DASSAULT SYSTÈMES Scilab Scilab 2023 Disponivel em httpswwwscilaborg OPPENHEIM A V SCHAFER R W Digital Signal Processing New Jersey PrenticeHall 1975 OPPENHEIM A V SCHAFER R W Processamento em Tempo Discreto de Sinais 3 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e Sistemas 2a ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010