Filtros Digitais IIR e FIR: Características, Vantagens e Aplicações - Aula 6

PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS AULA 6 Profª Viviana Raquel Zurro 2 CONVERSA INICIAL Filtros digitais são sistemas desenvolvidos para realizar o processamento de sinais digitais Os filtros IIR e FIR possuem características específicas as quais permitem que sejam usados em diferentes aplicações Os músicos têm usado filtros por milhares de anos para dar forma aos sons de sua arte de várias formas Por exemplo a evolução das dimensões físicas de um violino constitui uma evolução no projeto de filtros A escolha da madeira o tipo de corte os filetes a geometria da ponte e tudo que afete a ressonância está relacionado com a filtragem que o corpo do instrumento impõe às cordas vibrantes Quando você pensa sobre isso tudo é filtro Smith 2007 Na citação Smith fala das nuances que as características do corpo do violino impõem aos sons emitidos pelas cordas ao vibrarem Nesse caso o corpo do violino atua como um filtro analógico que atenua alguns componentes de frequência e ressalta outros Os filtros digitais são linhas de algoritmos matemáticos que podem ser implementadas em sistemas de software eou hardware e que servem para processar sinais digitais Em relação aos filtros analógicos eles têm vantagens e desvantagens Eis suas vantagens os filtros digitais apresentam fase linear com os analógicos porém é impossível obter uma fase perfeitamente linear devido à variabilidade dos componentes reais transístores capacitores CIs etc também são dotados de repetitividade pois é possível repetir várias vezes o mesmo algoritmo copiando as linhas de programa o desempenho do filtro independe das condições de temperatura e umidade bem como do envelhecimento dos componentes um único filtro pode processar vários sinais os dados podem ser armazenados a resposta em frequência do filtro é de mais fácil modificação e podem ser empregados em sinais de frequência muito baixa sinais biológicos sinais de temperatura etc Agora suas desvantagens são limitados quanto à velocidade 3 o as etapas de conversão analógicodigital AD e digitalanalógica DA e o próprio processamento fazem com que sua velocidade de resposta seja inferior à dos filtros analógicos o quanto mais complexo o algoritmo mais lento o filtro o os filtros analógicos têm resposta instantânea pode haver perda de informação pelo comprimento finito dos números digitais e erros próprios do processo de quantização TEMA 1 PROJETO DE FILTROS IIR No primeiro tópico serão apresentados os filtros digitais IIR os Filtros de Resposta Infinita ou Infinite Impulse Response IIR os quais são também conhecidos como filtros recursivos pois a realimentação implementada acaba produzindo sua recursividade Apresentam uma resposta em frequência muito melhor do que a dos filtros FIR estudados mais adiante mas não apresentam fase linear o que pode acarretar problemas em alguns sistemas que precisem dessa fase Durante o projeto é necessário verificar a estabilidade do filtro já que ele pode apresentar instabilidade por causa da realimentação A Figura 1 apresenta um diagrama de blocos básico de um filtro IIR recursivo Figura 1 Diagrama de blocos básico de um filtro IIR 11 Especificações do filtro Os filtros IIR podem ser projetados por meio de diferentes métodos Porém muitas vezes o projeto do filtro é baseado em filtros analógicos que são usados como protótipos Os filtros passa baixas FPB passa altas FPA passa faixa FPF e rejeita faixa FRF analógicos são usados como modelo para o digital já que sua base matemática é similar Para especificar o filtro o espectro do sinal a ser processado deverá ser conhecido e sua faixa de frequência será especificada de acordo com a do sinal que será processado 4 Geralmente o filtro IIR é projetado como um circuito analógico para então ser convertido em sistema digital conversão essa comumente feita pelo método de transformação bilinear O filtro calculado de tal forma é estável mas pode haver instabilidades porque as palavras digitais têm comprimento finito As especificações de resposta em frequência de um FPB são apresentadas na Figura 2 Milivojević 2009 cujos parâmetros são 𝜔𝑝 frequência de corte da banda passante 𝜔𝑠 frequência de corte da faixa de rejeição 𝛿1 máximo ripple da banda passante 𝛿2 mínimo ripple da banda passante e 𝛿𝑠 magnitude da faixa de rejeição Figura 2 Diagrama de tolerância de um FPB a e especificações da resposta em frequência do FPB b Fonte Oppenheim Schafer 2012 A Figura 3 mostra as especificações de outros tipos de filtros Figura 3 Especificações de resposta em frequência para filtros FPA a FPF b e FRF c a b c a b 5 Um sinal em tempo contínuo pode ser processado digitalmente como indica a Figura 4 O sinal analógico 𝑥𝑎𝑡 entra em um conversor analógicodigital representado pelo bloco 𝐶𝐷 contínuodiscreto 𝐻𝑒𝑗𝜔 é a resposta em frequência do filtro digital que irá processar o sinal O bloco 𝐷𝐶 representa o conversor digitalanalógico que converterá o sinal digital processado em um sinal analógico 𝑦𝑎𝑡 Figura 4 Diagrama de fluxo de um sistema de filtragem em tempo discreto de um sinal em tempo contínuo 12 Projeto de filtro por invariância ao impulso O filtro projetado em tempo contínuo precisa passar para tempo discreto por meio de algum método O projeto de filtro por invariância ao impulso consiste em tirar amostras da resposta ao impulso em tempo contínuo em intervalos de tempo prédeterminados de modo a constituir a resposta ao impulso em tempo discreto ℎ𝑛 𝑇𝑑ℎ𝑐𝑛𝑇𝑑 1 Em que ℎ𝑛 é a resposta ao impulso em tempo discreto ℎ𝑐 é a resposta ao impulso em tempo contínuo 𝑇𝑑 é o intervalo de amostragem 𝑇𝑑 não interfere no processo de projeto do filtro mas é conveniente especificálo na definição do procedimento A relação entre as respostas em frequência em tempo contínuo e discreto é dada pela Equação 2 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝐻𝑐 𝑗 𝜔 𝑇𝑑 𝑗 2𝜋 𝑇𝑑 𝑘 𝑘 2 A banda passante dos filtros em tempo contínuo não pode ser limitada ocorrendo aliasing por interferência entre os sucessivos termos da equação 2 Porém quando a resposta do filtro aproximarse de zero para altas 6 frequências o aliasing pode ser desprezível A transformação da invariância ao impulso de tempo contínuo para tempo discreto é definida pela amostragem no domínio do tempo Essa transformação pode ser implementada como uma transformação da função do sistema e a função do sistema de um filtro causal em tempo contínuo pode ser expressa como uma expansão em frações parciais como a demonstrada pela Equação 3 𝐻𝐶𝑠 𝐴𝑘 𝑠 𝑠𝑘 𝑁 𝑘1 3 A resposta ao impulso desse sistema é dada pela Equação 4 ℎ𝑐𝑡 𝐴𝑘𝑒𝑠𝑘𝑡 𝑁 𝑘1 𝑡 0 0 𝑡 0 4 E a resposta ao impulso do filtro causal em tempo discreto será ℎ𝑛 𝑇𝑑ℎ𝑐𝑛𝑇𝑑 𝑇𝑑𝐴𝑘𝑒𝑠𝑘𝑛𝑇𝑑𝑢𝑛 𝑁 𝑘1 𝑇𝑑𝐴𝑘𝑒𝑠𝑘𝑇𝑑𝑛𝑢𝑛 𝑁 𝑘1 5 Como 𝑢𝑛 é a função degrau unitário a função do sistema de um filtro causal pode ser escrita como 𝐻𝑧 𝑇𝑑𝐴𝑘 1 𝑒𝑠𝑘𝑇𝑑𝑧1 𝑁 𝑘1 6 A seguir são apresentadas as cinco etapas do projeto do filtro digital passa baixas por invariância ao impulso 1 Escolher o período de amostragem 𝑇𝑑 e as frequências de corte da banda passante 𝜔𝑝 e da faixa de rejeição 𝜔𝑠 2 Projetar o filtro analógico 𝐻𝐶𝑠 usando as especificações de máximo ripple da banda passante 𝛿1 e mínima atenuação da faixa de rejeição 𝛿2 3 Usando frações parciais expandir 𝐻𝐶𝑠 Equação 3 4 Projetar um filtro analógico passa baixas com a especificações dos passos 1 e 2 5 Aplicar a técnica de invariância ao impulso no filtro projetado no passo 3 7 13 Transformação bilinear Outra forma de transformação de filtros analógicos em digitais é a transformação bilinear Primeiramente é necessário estabelecer as especificações e o tipo de filtro para depois transformar o analógico em digital A transformação bilinear permite que a resposta em frequência do filtro digital seja muito parecida à do filtro analógico garantindo estabilidade ao sistema A transformação bilinear é um mapeamento algébrico do eixo da frequência do plano 𝑠 em volta da circunferência de raio unitário no plano 𝑧 Esse mapeamento é não linear mas o aliasing é tão diminuído que pode ser considerado nulo Tal técnica só pode ser usada quando a deformação não linear do eixo de frequências não compromete a resposta do filtro Para que um filtro analógico seja estável seus polos devem estar no lado esquerdo do plano 𝑠 Por sua parte os filtros digitais causais são estáveis quando os polos encontramse dentro do círculo de raio unitário do plano 𝑧 Milivojević 2009 Considerando 𝑠 como 𝑠 2 𝑇𝑑 1 𝑧1 1 𝑧1 7 É possível definir 𝐻𝑧 𝐻𝑐 2 𝑇𝑑 1 𝑧1 1 𝑧1 8 Figura 5 Transformação do plano 𝑠 no plano 𝑧 usando transformação bilinear 8 Trabalhando com a equação 7 e relacionando o plano 𝑠 ao plano 𝑧 podemos dizer que para 𝜎 0 𝑧 1 𝑠 2 𝑇𝑑 1 𝑒𝑗𝜔 1 𝑒𝑗𝜔 9 𝑠 𝜎 𝑗𝛺 2 𝑇𝑑 2𝑒𝑗𝜔2𝑗𝑠𝑒𝑛𝜔2 2𝑒𝑗𝜔2𝑐𝑜𝑠𝜔2 2𝑗 𝑇𝑑 𝑡𝑎𝑛𝜔2 10 Quando 𝜎 0 𝛺 2 𝑇𝑑 𝑡𝑎𝑛𝜔2 11 Em que 𝛺 é a frequência em tempo contínuo e 𝜔 a frequência em tempo discreto 𝜔 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝛺𝑇𝑑 2 12 A relação entre as frequências em tempo contínuo e discreto da equação 12 é mostrada na Figura 6 Figura 6 Transformação bilinear frequências em tempo contínuo em relação às frequências em tempo discreto A Figura 7 mostra os efeitos da transformação bilinear na resposta de um filtro passa baixas Em 7a há a deformação da resposta em 7b o efeito da transformação da fase 9 Figura 7 Transformação bilinear da resposta em frequência de um filtro passa baixas a linha tracejada fase linear linha sólida fase resultante da transformação b a b Fonte Oppenheim Schafer 2012 TEMA 2 FILTROS BUTTERWORTH CHEBYSHEV E ELÍPTICOS Os tipos de filtros mais usados para o desenvolvimento de filtros analógicos em tempo contínuo são o Butterworth o Chebyshev e os elípticos Esses protótipos são utilizados para o desenvolvimento de filtros digitais passando o sistema do plano 𝑠 tempo contínuo para o plano 𝑧 tempo discreto Para cada tipo de filtro existem características determinadas para os padrões de polos e zeros bem como magnitudes de resposta em frequência Devido a isso a escolha do filtro dependerá da aplicação para a qual ele vai ser empregado Baptista Afonso 2006 21 FPB Butterworth Em tempo contínuo a fórmula de ganho de filtro Butterworth é a mostrada pela seguinte equação 𝐻𝑐𝑗𝛺2 1 1 𝛺 𝛺𝑐2𝑁 13 Usando a Equação 11 que relaciona 𝛺 com 𝜔 e substituindo na Equação 13 𝐻𝑒𝑗𝜔 2 1 1 𝑡𝑔𝜔 2 𝑡𝑔𝜔𝑐 2 2𝑁 14 10 A Figura 8 mostra as características de um filtro passa baixas Butterworth de ordem 6 Figura 8 FPB Butterworth de ordem 6 localização dos polos no plano 𝑠 a resposta em frequência com amplitude em escala logarítmica b com amplitude em escala linear c e atraso de grupo d a b c d Fonte Oppenheim Schafer 2012 Todo filtro tem uma resposta em amplitude e uma resposta em fase A resposta em fase determina como ele vai se comportar para cada componente do sinal de acordo com sua frequência O atraso de grupo mostrado na Figura 8d é a derivada da resposta em fase e a função atraso de grupo representa uma medida da linearidade da resposta em fase 22 FPB Chebyshev Existem dois tipos de filtros Chebyshev O tipo 1 é o mais comum Sua característica principal é apresentar ripple na banda passante e ter uma região de rejeição plana Sua resposta em frequência é definida pela Equação 15 𝐻𝑗𝛺2 1 1 ℰ2𝐶𝑛2𝛺𝛺𝑝 𝑛 123 15 11 Na qual ℰ constante 1 que controla o ripple na banda passante 𝐶𝑛 polinômio de Chebyshev de ordem 𝑛 𝛺 frequência 𝛺𝑝 frequência de corte Figura 9 Resposta em frequência de um filtro passa baixas Chebyshev tipo I Fonte baseado em Mihai Mihai 2015 A Figura 10 mostra as características de um filtro passa baixas Chebyshev Tipo I de ordem 7 Figura 10 FPB Chebyshev tipo I de ordem 7 localização dos polos no plano 𝑠 a resposta em frequência com amplitude em escala logarítmica b com amplitude em escala linear c atraso de grupo d a b 12 c d Fonte Oppenheim Schefer 2012 O filtro de tipo II por sua vez também é conhecido como Chebyshev invertido por ter resposta plana na banda passante mas uma queda não tão acentuada como o de tipo I além de requerer mais componentes Seu ripple aparece na faixa de rejeição e sua resposta em frequência é definida pela Equação 16 𝐻𝑠 𝐾 𝑚 𝑠2 𝑏𝑖 𝑖1 𝐷𝑠 16 Na qual 𝐷𝑠 têm raízes no círculo de raio unitário 𝑏𝑖 são constantes reais e 𝐾 é um fator de escala A Figura 11 mostra a resposta em frequência do filtro Figura 11 Resposta em frequência de filtro passa baixas Chebyshev tipo II Fonte baseado em Berljafa 2017 A Figura 12 mostra as características de um filtro passa baixas Chebyshev tipo II de ordem 7 13 Figura 12 FPB Chebyshev tipo II de ordem 7 localização dos polos no plano 𝑠 a resposta em frequência com amplitude em escala logarítmica b com amplitude em escala linear c e atraso de grupo d a b c d Fonte Oppenheim Schafer 2012 23 FPB elíptico No filtro elíptico também conhecido como filtro Cauer a queda na frequência de corte é mais acentuada mas o ripple aparece tanto na banda passante como na faixa de rejeição A Figura 13 mostra a resposta em frequência aproximada desse filtro Figura 13 Resposta em frequência de um filtro passa baixas elíptico Fonte baseado em Khaliel 2012 14 Figura 14 FPB elíptico de ordem 6 localização dos polos no plano 𝑧 a resposta em frequência com amplitude em escala logarítmica b com amplitude em escala linear c e atraso de grupo d a b c d Fonte Oppenheim Schafer 2012 24 Transformações em frequência Quando trabalhamos em tempo contínuo é bastante comum projetar um filtro passa baixas para depois por meio de manipulações algébricas chegar ao filtro desejado FPA FPF FRF Quando é necessário projetar um filtro em tempo discreto geralmente se projeta o filtro em tempo contínuo e posteriormente ele é transformado em discreto O método que vai ser apresentado neste tópico funciona tanto com a transformação bilinear como com a invariância ao impulso Nesse caso será projetado um FPB em tempo discreto para depois aplicando transformações algébricas transformálo no filtro desejado Esse processo é similar à transformação bilinear usada para transformar sistemas de tempo contínuo e sistemas de tempo discreto e a Tabela 1 mostra as transformações a partir de um FPB 15 Tabela 1 Transformações a partir de um FPB com frequência de corte 𝜃𝑝 para FPA FPF e FRF Tipo de filtro Transformações Fórmulas FPB 𝑍1 𝑧1 𝛼 1 𝛼𝑧1 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑝 𝜔𝑝 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑝 𝜔𝑝 2 𝜔𝑝 Frequência de corte desejada FPA 𝑍1 𝑧1 𝛼 1 𝛼𝑧1 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑝 𝜔𝑝 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑝 𝜔𝑝 2 𝜔𝑝 Frequência de corte desejada FPF 𝑍1 𝑧2 2𝛼𝑘 𝑘 1 𝑧1 𝑘 1 𝑘 1 𝑘 1 𝑘 1 𝑧2 2𝛼𝑘 𝑘 1 𝑧1 1 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝2 𝜔𝑝1 2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝2 𝜔𝑝1 2 𝑘 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜔𝑝2 𝜔𝑝1 2 𝑡𝑎𝑛 𝜃𝑝 2 𝜔𝑝1 Frequência de corte inferior desejada 𝜔𝑝2 Frequência de corte superior desejada Tipo de filtro Transformações Fórmulas FRF 𝑍1 𝑧2 2𝛼𝑘 𝑘 1 𝑧1 1 𝑘 1 𝑘 1 𝑘 1 𝑘 𝑧2 2𝛼𝑘 𝑘 1 𝑧1 1 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝2 𝜔𝑝1 2 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑝2 𝜔𝑝1 2 𝑘 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜔𝑝2 𝜔𝑝1 2 𝑡𝑎𝑛 𝜃𝑝 2 𝜔𝑝1 Frequência de corte inferior desejada 𝜔𝑝2 Frequência de corte superior desejada 16 TEMA 3 PROJETO DE FILTROS FIR POR JANELAMENTO Os filtros FIR são implementados por convolução e têm as seguintes vantagens são sempre estáveis apresentam resposta em fase linear apresentam resposta em amplitude sem distorção na banda passante e implementação eficiente quando usamos DFT As vantagens da fase linear são a implementação não envolve aritmética complexa só aritmética real existe atraso fixo entre entrada e saída sem que haja distorção de atraso e se o comprimento do filtro é 𝑁 ordem 𝑁 1 o número de operações é de ordem 𝑁2 Por outro lado a principal desvantagem desses filtros é a necessidade de uma ordem muito alta para obterse determinada resposta em frequência o que implica em operações matemáticas mais complexas tornandoos mais lentos no processamento O que determina a ordem do filtro é o número de linhas de atraso e para isso é preciso salvar determinada quantidade de amostras da entrada para poder calcular as amostras de saída Por exemplo para um filtro de décima ordem é necessário salvar 10 amostras da entrada anteriores à amostra atual Como todos os polos da função do filtro estão na origem ele é estável Para projetar esses filtros as técnicas mais usadas são o janelamento e a amostragem em frequência Considerando o método de janelamento para uma resposta ideal 𝐻𝑑𝑒𝑗𝜔 ℎ𝑑𝑛𝑒𝑗𝜔 𝑛 17 Nessa equação ℎ𝑑𝑛 é a resposta ao impulso ℎ𝑑𝑛 𝐻𝑑𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔𝑛 ⅆ𝜔 𝜋 𝜋 18 17 Observando a Equação 18 podemos ver que a resposta ao impulso é não causal e tem duração finita Então para obter um filtro causal a resposta ao impulso deverá ser truncada Portanto ℎ𝑛 ℎ𝑑𝑛 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 19 Como 𝑀 é um número finito ordem do filtro isso equivale a multiplicar ℎ𝑑𝑛 por uma janela de duração finita 𝑤𝑛 ℎ𝑛 ℎ𝑑𝑛 𝑤𝑛 20 A convolução entre a resposta em frequência ideal e o espectro da janela tornam mais visível o efeito do janelamento no domínio da frequência A Figura 15 mostra o processo de janelamento 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 2𝜋 𝐻𝑑𝑒𝑗𝜃𝑊𝑒𝑗𝜔𝜃 ⅆ𝜃 𝜋 𝜋 21 Figura 15 Processo de convolução entre espectro da janela e a resposta em frequência a aproximação típica resultante b Fonte Oppenheim Schafer 2012 31 Tipos de janelas Existem vários tipos de janela que podem ser usadas Dependendo do tipo ela influenciará na reposta em frequência do sistema portanto a escolha da janela deverá ser feita de acordo com o sinal e com o tipo de processamento que lhe será aplicado Os tipos mais comuns são os mostrados na Figura 16 em que 𝑀 é a largura da janela a b 18 Figura 16 Tipos de janelas mais usadas Cada uma das equações a seguir definem o tipo de janela Retangular 𝑤𝑛 1 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 22 Hamming 𝑤𝑛 054 046 cos2𝜋𝑛 𝑀 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 23 Hann ou Hanning 𝑤𝑛 05 05 cos2𝜋𝑛 𝑀 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 24 Blackmann 𝑤𝑛 042 05 cos2𝜋𝑛 𝑀 008 cos4𝜋𝑛 𝑀 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 25 Bartlett triangular 𝑤𝑛 2𝑛 𝑀 0 𝑛 𝑀 2 𝑀 𝑝𝑎𝑟 2 2𝑛 𝑀 𝑀 2 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 26 Essas mesmas janelas podem ser usadas para análise espectral de sinais uma vez que sua transformada de Fourier concentrase ao redor de 𝜔 0 e pode ser calculada facilmente A Figura 17 mostra os espectros de cada uma delas 19 Figura 17 Transformadas de Fourier das janelas com 𝑀 50 rectangular a Bartlett b Hanning c Hamming d e Blackmann e a b c d e Esses espectros apresentam um lóbulo principal e vários lóbulos laterais cuja amplitude é menor O tipo de janela determina o comprimento do lóbulo principal por exemplo o espectro da janela retangular apresenta um lóbulo principal mais estreito o que provoca uma transição mais abrupta Nos outros espectros podemos observar que os lóbulos laterais têm amplitudes menores mas isso gera como consequência um lóbulo principal mais largo 32 Fase linear generalizada Sistemas com fase linear são aqueles que não introduzem distorção de fase O objetivo do desenvolvimento de filtros FIR é projetar sistemas com fase linear generalizada a Equação 29 corresponde a um sistema com fase linear generalizada Todas as janelas respondem à equação 27 20 𝑤𝑛 𝑤𝑀 𝑛 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 27 Aplicando a transformada de Fourier 𝑊𝑒𝑗𝜔 𝑊𝑒𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔𝑀2 28 𝑊𝑒𝑒𝑗𝜔 é uma função par e real em 𝜔 A resposta ao impulso é simétrica em relação a 𝑀 2 então ℎ𝑑𝑀 𝑛 ℎ𝑑𝑛 portanto a resposta ao impulso janelada também será simétrica A resposta em frequência do sistema será 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝐴𝑒𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔𝑀2 29 Em que 𝐴𝑒𝑒𝑗𝜔 é função real e par de 𝜔 e a resposta terá fase linear generalizada Para a resposta ao impulso antissimétrica em relação a 𝑀 2 ℎ𝑑𝑀 𝑛 ℎ𝑑𝑛 a resposta ao impulso janelada também é antissimétrica sendo ela 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝑗𝐴𝑜𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔𝑀2 30 Em que 𝐴𝑜𝑒𝑗𝜔 é função real e ímpar de 𝜔 A resposta em frequência tem fase linear generalizada e deslocamento de fase constante de 90o A Tabela 2 mostra as características das janelas Tabela 2 Características de filtros FPB FPA FPF e FRF projetados usando janelas de comprimento 𝑁 𝑀 1 Fonte Higuti Sd 𝛥𝜔 𝜔𝑠 𝜔𝑝 largura de faixa de transição 𝑅𝑝 máximo ripple na banda passante 𝑅𝑠 mínima atenuação na faixa de rejeição 𝐿𝐿 relação entre as magnitudes do lóbulo principal e do lóbulo lateral 𝛿 desvio efetivo ao usar determinada janela 𝛿 𝛿𝜌𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 𝛿𝑠𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 21 TEMA 4 JANELA KAISER Todas as janelas estudadas até agora não são ótimas Uma janela ótima é a que tem atenuação máxima em relação a um determinado comprimento do lóbulo principal A janela Kaiser também conhecida como KaiserBessel é uma aproximação de uma janela esferoidal alongada prolatespheroidal window na qual há uma relação de energia maximizada entre o lóbulo principal e o lateral Quem controla a altura do lóbulo lateral para uma janela de comprimento determinado é o parâmetro 𝛽 sendo que a altura do lóbulo é fixa em relação ao comprimento da janela A Equação 31 define a janela Kaiser 𝑤𝑛 𝐼0 𝛽1 𝑛 𝛼 𝛼 2 𝐼0𝛽 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 31 Com 𝑀 𝑁 1 𝛼 𝑀2 e 𝐼0 a função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem zero Essa janela depende de dois parâmetros 1 O comprimento 𝑁 ou 𝑀 1 2 O parâmetro de forma 𝛽 O erro de aproximação 𝛿 é determinado pelo 𝛽 escolhido sendo 𝛿 fixo Oppenheim Schafer 2012 Figura 18 Tipo de aproximação devido à descontinuidade da resposta em frequência ideal Fonte Oppenheim Schafer 2012 22 Considerando um filtro passa baixas cujas frequências de corte são 𝜔𝑝 frequência de corte da banda passante é a frequência mais alta sendo que 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 𝛿 𝜔𝑠 frequência de corte da faixa de rejeição é a frequência mais baixa sendo que 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝛿 A largura da região de transição para o FPB é determinada por 𝛥𝜔 𝜔𝑠 𝜔𝑝 32 Definindo 𝐴 𝐴 20 𝑙𝑜𝑔10 𝛿 33 O valor de 𝛽 para alcançar um determinado valor de 𝐴 é 𝛽 01102𝐴 87 𝐴 50 05842𝐴 2104 007886𝐴 21 21 𝐴 50 0 𝐴 21 34 Da Equação 34 podemos ver que para 𝛽 0 e 𝐴 21 teremos uma janela retangular Para atingir os valores de 𝛥𝜔 e 𝐴 𝑀 devese satisfazer a seguinte equação 𝑀 𝐴 8 2258𝛥𝜔 35 A Figura 19 mostra janelas Kaiser diferentes e transformadas de Fourier de duas delas Figura 19 Janelas Kaiser para vários parâmetros a transformada de Fourier espectro de duas janelas Kaiser b a 23 b Fonte RetoGalli 2007a 2007b 41 Projeto de filtros FIR com janela Kaiser Na continuação serão mostrados alguns projetos de filtros utilizando a janela de Kaiser 411 FPB É necessário projetar um FPB com fase linear generalizada cuja resposta em frequência é dada na Equação 36 𝐻𝑙𝑝𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑀2 𝜔 𝜔𝑐 0 𝜔𝑐 𝜔 𝜋 36 O procedimento para projetar um FPB é o seguinte especificar o filtro selecionando 𝜔𝑝 𝜔𝑠 e o máximo erro de aproximação 𝛿 determinar a frequência de corte do FPB ideal 𝜔𝑐 𝜔𝑝 𝜔𝑠 2 37 determinar os parâmetros da janela Kaiser 𝛥𝜔 𝜔𝑠 𝜔𝑝 𝐴 20 𝑙𝑜𝑔10 𝛿 38 o para calcular 𝛽 e 𝑀 usamos as Equações 34 e 35 calcular a resposta ao impulso 24 ℎ𝑛 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑐𝑛 𝛼 𝜋𝑛 𝛼 𝐼0 𝛽1 𝑛 𝛼 𝛼 2 𝐼0𝛽 0 𝑛 𝑀 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 39 412 FPA É necessário projetar um FPA com fase linear generalizada cuja resposta em frequência é dada na Equação 40 𝐻ℎ𝑝𝑒𝑗𝜔 0 𝜔 𝜔𝑐 𝑒𝑗𝜔𝑀2 𝜔𝑐 𝜔 𝜋 40 A resposta ao impulso é a transformada inversa de 𝐻ℎ𝑝𝑒𝑗𝜔 𝐻ℎ𝑝𝑒𝑗𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑀2 𝐻𝑙𝑝𝑒𝑗𝜔 41 Então ℎℎ𝑝𝑛 𝑠𝑒𝑛𝜋𝑛 𝑀 2 𝜋𝑛 𝑀 2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑐𝑛 𝑀 2 𝜋𝑛 𝑀 2 42 Para projetar o filtro é necessário atender às especificações do filtro passa altas 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝛿2 𝜔 𝜔𝑠 43 1 𝛿1 𝐻𝑒𝑗𝜔 1 𝛿1 𝜔𝑝 𝜔 𝜋 44 O processo do projeto é similar ao já explicado para o filtro passa baixas 413 Generalização Os procedimentos apresentados na seção anterior podem ser aplicados a filtros de múltiplas faixas de rejeição ou de passagem Na Figura 20 é apresentado um filtro multibandas que inclui FPB FPF FRF e FPA Multiplicando a magnitude pelo fator 𝑒𝑗𝜔𝑀2 teremos a resposta ao impulso ideal mostrada na Equação 45 ℎ𝑚𝑏𝑛 𝐺𝑘 𝐺𝑘1 𝑁𝑚𝑏 𝑘1 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑘𝑛 𝑀 2 𝜋𝑛 𝑀 2 45 Em que 𝑁𝑚𝑏 é o número de faixas e 𝐺𝑁𝑚𝑏1 0 25 Figura 20 Resposta em frequência ideal de um filtro multibandas Fonte Oppenheim Schafer 2012 TEMA 5 APROXIMAÇÕES ÓTIMAS DE FILTROS FIR Mesmo sendo relativamente fácil e simples o processo de projetar filtros por janelamento esse método tem limitações Há formas de melhorar esses filtros para determinados valores de 𝑀 e existem vários algoritmos que auxiliam no processo de projeto de filtros 51 Algoritmo de Remez O algoritmo de Remez para projeto de filtros FIR de fase linear está baseado no critério de erro de Chebyshev ou minimax A minimização de Chebyshev é muito útil porque permite ao projetista explicitar os limites das bandas e o tamanho do erro para cada uma delas Os filtros podem ser desenvolvidos usando o algoritmo de Remez ou por técnicas de programação lineares o algoritmo de Remez não é tão geral quanto as abordagens de programação linear mas é muito robusto e converge rapidamente para uma solução ótima e por isso é amplamente empregado Também pode ser usado para projetar os quatro tipos de filtros de fase linear I II III e IV mas por conveniência mostraremos somente o do tipo I Selesnick Considerando o projeto de filtro de fase zero ℎ𝑒𝑛 ℎ𝑒𝑛 46 A resposta em frequência para essa reposta ao impulso é dada pela Equação 47 𝐴𝑒𝑒𝑗𝜔 ℎ𝑒𝑛𝑒𝑗𝜔𝑛 𝐿 𝑛𝐿 47 26 Para 𝐿 𝑀2 inteiro 𝐴𝑒𝑒𝑗𝜔 ℎ𝑒0 2ℎ𝑒𝑛 cos𝜔𝑛 𝐿 𝑛1 48 Sendo 𝐴𝑒𝑒𝑗𝜔 uma função real periódica par a resposta ao impulso do sistema resultante é ℎ𝑛 ℎ𝑒𝑛 𝑀 2 ℎ𝑀 𝑛 49 Cuja resposta em frequência é dada por 𝐻𝑒𝑗𝜔 𝐴𝑒𝑒𝑗𝜔𝑒𝑗𝜔𝑀2 50 52 Algoritmo de ParksMcClellan O algoritmo de ParksMcClellan é uma variação do algoritmo Remez Exchange que permite projetar o filtro por aproximação polinomial Os termos 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛 da Equação 48 podem ser escritos da seguinte maneira 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛 𝑇𝑛𝑐𝑜𝑠 𝜔 51 Em que 𝑇𝑛 é o polinômio de Chebyshev de ordem 𝑛 Reescrevendose a Equação 48 então 𝐴𝑒𝑒𝑗𝑤 𝑎𝑘𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑘 𝐿 𝑘0 𝑃𝑥𝑥𝑐𝑜𝑠 52 Em que 𝑃𝑥 é o polinômio de ordem 𝐿 𝑃𝑥 𝑎𝑘𝑥𝑘 𝐿 𝑘0 53 53 Teorema da alternância A respeito desse teorema consideremos a seguinte passagem O teorema da alternância fornece uma condição necessária e suficiente que um polinômio de uma dada ordem deve satisfazer para que ele minimize o erro ponderado máximo Oppemheim Schafer 2012 Sendo 𝐹𝑝 um subconjunto fechado proveniente da união disjunta de subconjuntos fechados no eixo real 𝑥 e 𝑃𝑥 um polinômio 𝑃𝑥 de ordem 𝑟 𝐸𝑝𝑥 𝑊𝑝𝑥𝐷𝑝𝑥 𝑃𝑥 54 𝐸𝑝𝑥 é o erro ponderado 𝑊𝑝𝑥 é uma função positiva contínua em 𝐹𝑝 e 𝐷𝑝𝑥 uma função determinada contínua em 𝐹𝑝 27 O erro máximo é definido como 𝐸 max 𝑥𝐹𝑝𝐸𝑝𝑥 55 A Figura 21 mostra um exemplo de aproximação ótima para um FPB Figura 21 Resposta de um FPB que está de acordo com o teorema da alternância para 𝐿 7 Fonte Oppemheim Schafer 2012 Tabela 3 Quatro tipos de filtros FIR com fase linear MathWorks Tipo Comprimento Resposta ao impulso I ímpar Simétrico II par Simétrico III ímpar Antissimétrico 28 IV par Antissimétrico FINALIZANDO Estudamos aqui os filtros digitais Vimos que um filtro digital é um sistema que processa sinais digitais sendo um algoritmo que usa um processador digital para executar os cálculos necessarios para diferentes tipos de filtragem de sinais Assim com os filtros analógicos a função dos filtros digitais é remover frequências não desejadas do sinal remoção de ruído ou extrair informação contida dentro do sinal digital Esses filtros podem ser classificados como IIR Resposta ao Impulso Infinita ou FIR Resposta ao Impulso Finita Vimos também que para projetar um filtro digital é necessário conhecer as características do sistema analógico para posteriormente passar o sistema para o mundo digital Os filtros analógicos são geralmente rápidos e baratos e têm uma grande faixa dinâmica em frequência e amplitude mas mesmo que os filtros digitais sejam mais lentos são muito superiores em desempenho em relação aos analógicos principalmente quando precisamos de filtros de fase linear 29 REFERÊNCIAS BAPTISTA M AFONSO E Projecto de Filtros Digitais 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