Método Direto da Rigidez na Análise Matricial de Estruturas

ANÁLISE MATRICIAL DAS ESTRUTURAS Nesta AULA você conhecerá o Método Direto da Rigidez usado como uma ferramenta para a análise matricial de estruturas Essa metodologia se baseia no Método dos Deslocamentos e permite uma solução rápida e precisa de estruturas complexas principalmente no âmbito computacional o qual permite a programação do método Você conhecerá as etapas do método bem como seu processo de aplicação e os conceitos base dele Com essa ferramenta você será capaz de entender e prever o comportamento de estruturas hiperestáticas complexas Caso se interesse pelo assunto poderá até desenvolver alguma rotina para a resolução de estruturas O que é matriz de rigidez local Representa a relação entre força e deslocamento de uma barra da estrutura sendo que a força atua na direção do eixo longitudinal da barra É possível empregar o método da Rigidez em programas computacionais para automatizar as inúmeras operações matriciais que requerem grande capacidade de armazenamento memória grande velocidade de processamento A Numeração Ordemira dos nós 2 Elaboração da matriz de rigidez local e vetor de cargas nodais locais Imaginando os nós totalmente restringidos os carregamentos distribuídos continuamente ao longo da barra serão substituídos por forças nodais equivalentes nos nós iniciais e finais Elaborase a matriz de rigidez global conforme o tipo de elemento estrutural vigas treliças pórticos Identificamse as condições de vinculação e restrição dos deslocamentos Avaliamse também a conectividade dos nós e necessidade de rotação com relação aos eixos globais Assim é possível escrever as forças e deformações atuantes em um elemento por meio de uma associação de equações para cada nó que matricialmente fica descrita como F kLLOCAL d Em que F é o vetor de cargas nodais que são as forças agindo sobre os nós do elemento que representam os carregamentos contínuos kLLOCAL é a matriz de rigidez local do elemento i que descreve o efeito forças e momentos de cada deformação em cada nó e direção d são os deslocamentos do elemento nos nós iniciais e finais treliças k144LOCAL k2n2nGLOBAL vigas k144LOCAL k2n2nGLOBAL pórticos k166LOCAL k33n3nGLOBAL 3 Elaboração do sistema global de rigidez Escrevese o vetor de cargas nodais global somandose as forças atuantes nos nós que são comuns a dois elementos Analogamente compatibilizamse as rigidezes relativas aos nós a fim de escrever a matriz de rigidez global Ao escrever a matriz de rigidez global é necessário ter atenção ao endereçamento da matriz Com o vetor de cargas nodais e a matriz de rigidez global temos o sistema global de rigidez basta então aplicar as condições de vinculação a Podese excluir do sistema linhas e colunas referentes ao deslocamento restrigido b Ou se pode adicionar um número muito grande à matriz de rigidez o que provocaria um deslocamento próximo a zero kglobal cdot d F 4 Solução do sistema global e cálculo dos esforços Conferidas as etapas anteriores de análise é possível determinar os deslocamentos relativos aos nós do sistema global de rigidez A partir desses deslocamentos é possível obter os esforços e reações de apoio como no Método dos Deslocamentos ELM 01 ELM 02 Com a estrutura separada por elementos você deve analizar elemento por elemento elaborando sua matriz de rigidez local vetor de cargas nodais e sua respectiva conectividade Vamos então fazêlo para o elemento 01 de comprimento 30 m ligado pelo nó inicial i A e no final j B As forças agindo sobre o nó i e j são então coeficiente de rigidez local kLOCAL 12EI l³ 6EI l² 12EI l³ 6EI l² EI Ainda podemos escrever que os deslocamentos verticais atuantes sobre os nós serão nulos em função da presença dos apoios A e B Os demais deslocamentos nesse caso específico as rotações serão determinados ao se resolver o problema Esse processo deve ser repetido para o elemento 02 de comprimento 40 m em que teremos as seguintes forças nodais VB 5q l 8 RB 2 25 RB 2 kN MB q l2 8 20kNm VC 3q l 8 RC 15 RC kN MC 0 kNm Matriz de rigidez local kLOCAL beginbmatrix 12EI l3 6EI l2 12EI l3 6EI l2 6EI l2 4EI l 6EI l2 2EI l 12EI l3 6EI l2 12EI l3 6EI l2 6EI l2 2EI l 6EI l2 4EI l endbmatrix beginbmatrix 0188 0375 0188 0375 0375 1000 0375 0500 0188 0375 0188 0375 0375 0500 0375 1000 endbmatrix Conforme as condições de vinculação ficam restritas as deformações na vertical nos nós B e C porém liberadas as rotações nos mesmos pontos deltaB 0 hetaB hetaC 0 Assim para o elemento 02 teremos Fel kd beginbmatrix 25 RB 2 20 15 RC 0 endbmatrix EI beginbmatrix 0188 0375 0188 0375 0375 1000 0375 0500 0188 0375 0188 0375 0375 0500 0375 1000 endbmatrix beginbmatrix hetaB 0 hetaC endbmatrix kglobal d F Agora que temos o comportamento dos elementos 01 e 02 descritos matricialmente nas equações e fazse necessário compatibilizálos Antes de dar início ao processo podemos observar que apenas o nó B tem influência de ambas as barras de tal forma que o nó A e C permanecerão como nas matrizes de rigidez local No nó B teremos a soma das forças agindo sobre o ponto e a soma da rigidez referente à barra 01 e barra 02 dessa forma escrevese o sistema global FGLOBAL kd 1125 Ra 0 25 Rb 2 1875 Rb 2 20 1125 15 Rc 0 0444 0667 0444 0667 0667 1333 0667 0667 0444 0667 0444 0188 0667 0375 0188 0375 0667 0667 0667 0375 0375 0188 0500 0375 1000 126 Considerando que os deslocamentos δA δB e δC são nulos em função dos apoios temos apenas as incógnitas θA θB e θC Ou seja podemos reduzir o sistema linear excluindo as linhas e colunas 1 3 e 5 referentes aos deslocamentos restringidos Dessa forma o problema fica simplificado conforme equação Assim com os valores de rotações nos pontos A B e C podemos visualizar o comportamento da estrutura uma vez que a partir deles é possível obter as reações de apoio e os esforços internos solicitantes ambos ilustrados na Figura 8 F extlocal kd 1125 Ra 0 0 0 25 Rb 2 1875 Rb 2 20 1125 EI 15 Rc 0 Considerando que os deslocamentos deltaA deltaB e deltaC são nulos em função dos apoios temos apenas as incógnitas hetaA hetaB e hetaC Ou seja podemos reduzir o sistema linear excluindo as linhas e colunas 1 3 e 5 referentes aos deslocamentos restrigidos Dessa forma o problema fica simplificado conforme equação Assim com os valores de rotações nos pontos A B e C podemos visualizar o comportamento da estrutura uma vez que a partir deles é possível obter as reações de apoio e os esforços internos solicitantes ambos ilustrados na Figura 8 A ELM 01 B ELM 02 C 300 cm 400 cm q 10 kNm 96 kN 46 kNm 163 kNm 127 kNm 445 kN 159 kN MUITO OBRIGADA Prof Amanda Soares engcivilunicesumar engamandasoares UniCesumar