Condições Básicas da Análise Estrutural

Equilíbrio e compatibilidade Teoria das Estruturas II Condições básicas da análise estrutural O cálculo na análise estrutural corresponde à determinação dos esforços internos das reações de apoios dos deslocamentos e rotações e das tensões e deformações Condições básicas da análise estrutural Uma vez feitas considerações sobre a geometria da estrutura as cargas e solicitações as condições de suporte ou ligação com outros sistemas e as leis constitutivas dos materiais a análise estrutural passa a ser um procedimento matemático de cálculo que só se altera se as hipóteses e simplificações adotadas forem revistas ou reformuladas Condições básicas da análise estrutural Condições matemáticas que o modelo estrutural tem de satisfazer para representar adequadamente o comportamento da estrutura real condições de equilíbrio condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações condições sobre o comportamento dos materiais que compõem a estrutura leis constitutivas dos materiais Exemplo 1 três barras articuladas Timoshenko Gere 1994 Barras feitas de material com módulo de elasticidade E e seções transversais com área A Condições de equilíbrio São aquelas que garantem o equilíbrio estático de qualquer porção isolada da estrutura ou desta como um todo No exemplo o equilíbrio tem de ser garantido globalmente em cada barra isolada e em cada nó isolado N1 esforço normal na barra vertical N2 esforço normal nas barras inclinadas 𝑭𝒀 𝟎 𝑵𝟏 𝟐𝑵𝟐 cos 𝜽 𝑷 Condições de equilíbrio Na equação de equilíbrio mostrada no slide anterior foi considerada a hipótese de pequenos deslocamentos que considera a geometria original da estrutura indeformada esse tipo de análise é chamada de análise de primeira ordem Podese observar que não é possível determinar os valores dos esforços normais N1 e N2 Estrutura hiperestática Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações São condições geométricas que devem ser satisfeitas para garantir que a estrutura ao se deformar permaneça contínua sem vazios ou sobreposição de pontos e compatível com seus vínculos externos As condições de compatibilidade não têm relação alguma com as propriedades de resistência dos materiais da estrutura consideradas nas leis constitutivas dos materiais Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações As condições de compatibilidade podem ser divididas em Condições de compatibilidade externa referemse aos vínculos externos da estrutura e garantem que os deslocamentos e deformações sejam compatíveis com as hipóteses adotadas com respeito aos suportes ou ligações com outras estruturas Condições de compatibilidade interna garantem que a estrutura ao se deformar permaneça contínua no interior dos elementos estruturais barras e nas fronteiras entre os elementos estruturais Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações No exemplo 1 as condições de compatibilidade externa são garantidas automaticamente quando só se admite uma configuração deformada para a estrutura que tenha deslocamentos nulos nos nós superiores Ainda sobre o exemplo 1 as condições de compatibilidade interna devem garantir que as três barras continuem ligadas pelo nó inferior na configuração deformada Mantendose a hipótese de pequenos deslocamentos podese considerar que o ângulo entre as barras após a deformação da estrutura não se altera Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações θ θ D1 θ θ d1 D1 d2 Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações Relações de compatibilidade entre os alongamentos das barras da estrutura e o deslocamento vertical do nó inferior D1 deslocamento vertical do nó inferior d1 alongamento da barra vertical d2 alongamento das barras inclinadas 𝒅𝟏 𝑫𝟏 𝒅𝟐 𝑫𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações Do slide anterior resulta a seguinte equação de compatibilidade entre os alongamentos das barras A introdução da equação de compatibilidade acrescentou duas novas incógnitas ao problema d1 e d2 sem relacionálas às incógnitas anteriores N1 e N2 Essas quatro incógnitas ficam relacionadas através da consideração do comportamento do material que compõe a estrutura sem que isso introduza novas incógnitas 𝒅𝟐 𝒅𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽 Leis constitutivas dos materiais O modelo matemático do comportamento dos materiais em nível macroscópico é expresso por um conjunto de relações matemáticas entre tensões e deformações chamadas leis constitutivas A teoria da elasticidade Timoshenko Goodier 1980 estabelece que as relações da lei constitutiva são equações lineares com parâmetros constantes Nesse caso dizse que o material trabalha em regime elásticolinear Leis constitutivas dos materiais O comportamento do material é considerado elástico quando ao se descarregar a estrutura o material não apresenta deformação residual alguma O comportamento é considerado linear quando existe proporcionalidade entre tensões e deformações Nem sempre é possível considerar esse comportamento simplificado para os materiais Procedimentos modernos de projeto baseiamse no estado limite último quando o material não apresenta mais comportamento elásticolinear Leis constitutivas dos materiais No exemplo 1 o material considerado apresenta comportamento elásticolinear As barras estão submetidas apenas à esforços axiais de tração As tensões σx e as deformações εx que aparecem nesse caso são normais às seções transversais das barras na direção do eixo local x na direção axial da barra Leis constitutivas dos materiais A lei constitutiva que relaciona tensões normais e deformações normais é a conhecida lei de Hooke E módulo de elasticidade longitudinal do material σx tensão normal na seção transversal da barra εx deformação normal na direção longitudinal da barra 𝝈𝒙 𝑬𝜺𝒙 Leis constitutivas dos materiais Em uma análise com pequenos deslocamentos a tensão normal associada a um esforço axial é dada pela razão entre o valor do esforço e a área da seção transversal e a deformação normal é a razão entre o alongamento da barra e seu comprimento original Leis constitutivas dos materiais Para a barra vertical Para as barras inclinadas 𝑵𝟏 𝑨 𝑬 𝒅𝟏 𝑳 𝑵𝟐 𝑨 𝑬 𝒅𝟐 𝑳 cos 𝜽 Leis constitutivas dos materiais Podese perceber então que surgiram novas equações sem que surgissem novas variáveis para o problema temos então um sistema de quatro equações e quatro incógnitas resultando na solução única do problema Leis constitutivas dos materiais Para materiais que são solicitados ao efeito do cisalhamento e que trabalham no regime elásticolinear a lei constitutiva que relaciona tensões cisalhantes com distorções de cisalhamento é dada por G módulo de cisalhamento ou módulo de elasticidade transversal do material τ tensão de cisalhamento γ distorção de cisalhamento 𝝉 𝑮𝜸