Teoria das Estruturas II - Gabriel Trindade Caviglione

ACESSE AQUI O SEU LIVRO NA VERSÃO DIGITAL PROFESSOR Me Gabriel Trindade Caviglione Teoria das Estruturas II FICHA CATALOGRÁFICA C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ Núcleo de Educação a Distância CAVIGLIONE Gabriel Trindade Teoria das Estruturas II Gabriel Trindade Caviglione Maringá PR Unicesumar 2021 300 p ISBN 9786556156422 Graduação EaD 1 Estruturas 2 Deslocamentos 3 Engenharia EaD I Título CDD 22 ed 6241707 Impresso por Bibliotecário João Vivaldo de Souza CRB 91679 Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar Diretoria de Design Educacional NEAD Núcleo de Educação a Distância Av Guedner 1610 Bloco 4 Jd Aclimação Cep 87050900 Maringá Paraná wwwunicesumaredubr 0800 600 6360 PRODUÇÃO DE MATERIAIS DIREÇÃO UNICESUMAR NEAD NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Reitor Wilson de Matos Silva ViceReitor Wilson de Matos Silva Filho PróReitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho PróReitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva PróReitor de Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff James Prestes Tiago Stachon Diretoria de Graduação e Pósgraduação Kátia Coelho Diretoria de Cursos Híbridos Fabricio Ricardo Lazilha Diretoria de Permanência Leonardo Spaine Diretoria de Design Educacional Paula Renata dos Santos Ferreira Head de Graduação Marcia de Souza Head de Metodologias Ativas Thuinie Medeiros Vilela Daros Head de Tecnologia e Planejamento Educacional Tania C Yoshie Fukushima Gerência de Planejamento e Design Educacional Jislaine Cristina da Silva Gerência de Tecnologia Educacional Marcio Alexandre Wecker Gerência de Produção Digital Diogo Ribeiro Garcia Gerência de Projetos Especiais Edison Rodrigo Valim Supervisora de Produção Digital Daniele Correia Coordenador de Conteúdo Flávio Augusto Carraro Designer Educacional Jociane Karise Benedett Curadoria Rafaela Benan Zara Revisão Textual Sarah Longo Carrenho Cocato Editoração Piera Consalter Paoliello Ilustração André Azevedo Realidade Aumentada Maicon Douglas Curriel Fotos Shutterstock Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária Reitor Wilson de Matos Silva A UniCesumar celebra os seus 30 anos de história avançando a cada dia Agora enquanto Universidade ampliamos a nossa autonomia e trabalhamos diariamente para que nossa educação à distância continue como uma das melhores do Brasil Atuamos sobre quatro pilares que consolidam a visão abrangente do que é o conhecimento para nós o intelectual o profissional o emocional e o espiritual A nossa missão é a de Promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária Neste sentido a UniCesumar tem um gênio importante para o cumprimento integral desta missão o coletivo São os nossos professores e equipe que produzem a cada dia uma inovação uma transformação na forma de pensar e de aprender É assim que fazemos juntos um novo conhecimento diariamente São mais de 800 títulos de livros didáticos como este produzidos anualmente com a distribuição de mais de 2 milhões de exemplares gratuitamente para nossos acadêmicos Estamos presentes em mais de 700 polos EAD e cinco campi Maringá Curitiba Londrina Ponta Grossa e Corumbá o que nos posiciona entre os 10 maiores grupos educacionais do país Aprendemos e escrevemos juntos esta belíssima história da jornada do conhecimento Mário Quintana diz que Livros não mudam o mundo quem muda o mundo são as pessoas Os livros só mudam as pessoas Seja bemvindo à oportunidade de fazer a sua mudança Aqui você pode conhecer um pouco mais sobre mim além das informações do meu currículo Olá eu sou o Gabriel Sou engenheiro civil e mestre em Engenharia de Estruturas Assim como muitos procu rei fazer Engenharia pois tinha afeição por Matemática e Física Além disso gostava muito de Engenharia de Tráfego ficava maravilhado com a cidade de São Paulo e com as avenidas de mão única de Curitiba e Maringá passava horas rabiscando e pensando soluções para minha cidade Londrina Durante a graduação descobri a paixão por ensinar e pelas grandes obras e estruturas suas técnicas executivas e as soluções estruturais por trás dos grandes nomes da arquitetura Tive a opor tunidade de fazer estágio em um escritório de cálculo estrutural o que direcionou minha carreira Formado trabalhei com execução de préfabrica dos porém com a crise econômica procurei me espe cializar e encarei o desafio do mestrado em Engenha ria de Estruturas na UEM Hoje atuo como professor universitário e continuo prestando serviços na área de estruturas e fundações Uma curiosidade sobre mim é que já fui atleta de natação na juventude competia defendendo Londrina Conquistei várias medalhas nos nados livre e peito Tam bém participei ativamente do grupo de jovens da minha igreja Aprendi muito com o esporte de desempenho e com a liderança na igreja Atualmente descobri na cor rida de rua um hobby saudável e relaxante O benefício principal é manter a cabeça no lugar depois de um dia inteiro de engenharia Quando identificar o ícone de QRCODE utilize o aplicativo Unicesumar Experience para ter acesso aos conteúdos online O download do aplicativo está disponível nas plataformas Google Play App Store Ao longo do livro você será convidadoa a refletir questionar e transformar Aproveite este momento PENSANDO JUNTOS EU INDICO Enquanto estuda você pode acessar conteúdos online que ampliaram a discussão sobre os assuntos de maneira interativa usando a tecnologia a seu favor Sempre que encontrar esse ícone esteja conectado à internet e inicie o aplicativo Unicesumar Experience Aproxime seu dispositivo móvel da página indicada e veja os recursos em Realidade Aumentada Explore as ferramentas do App para saber das possibilidades de interação de cada objeto REALIDADE AUMENTADA Uma dose extra de conhecimento é sempre bemvinda Posicionando seu leitor de QRCode sobre o código você terá acesso aos vídeos que complementam o assunto discutido PÍLULA DE APRENDIZAGEM Professores especialistas e convidados ampliando as discussões sobre os temas RODA DE CONVERSA EXPLORANDO IDEIAS Com este elemento você terá a oportunidade de explorar termos e palavraschave do assunto discutido de forma mais objetiva TEORIA DAS ESTRUTURAS II A sociedade se utiliza diariamente de diversas obras de Engenharia Muitas vezes nem percebemos o impacto dessas obras no nosso dia a dia Você conseguiria imaginar como era a vida antes de construírem as estradas Como as pessoas cruzavam os rios sem as pontes Como os médicos tratavam dos pacientes sem as construções especializadas os hospitais Como as indústrias produziam sem edifi cações que atendessem às suas especificações Como as pessoas assistiam a shows e espetáculos antes dos teatros Como era a vida antes das grandes hidrelétricas Certamente essas obras não existiriam sem a construção civil É nossa função como engenheirosas construílas garantindo segurança e estabilidade à sociedade Como uma engenheiroa civil sabe quantos metros uma ponte pode suportar quantos e quais veículos podem transitar sobre ela com segurança Para responder essas questões fazse necessário entender como se comportam tanto estrutura como material OA engenheiroa precisa entender como se desenvolvem os esforços dentro de uma estrutura e como o formato e geometria dela influenciam em sua resistência e suas deformações Uma vez entendido o comportamento da estrutura passamos a entender como o material empregado se comporta quais níveis de tensões ele suporta de maneira se gura como ocorre sua ruptura quais fatores influenciam em sua resistência O trabalho doa engenheiroa é conciliar o comportamento do material e da es trutura a fim de dimensionar um sistema estrutural seguro e resistente feito com um material que suporte com segurança tais esforços Convido você a observar as estruturas à sua volta Será que todas possuem a mes ma solução estrutural A estrutura de uma casa é igual à de um prédio A estrutura de uma ponte rural é igual à estrutura de um viaduto movimentado na cidade Evi dentemente a solução estrutural deverá se adequar a cada caso Existem diferentes soluções para diferentes níveis de cargas e vãos Você conseguiria calcular os esforços nessas estruturas que observou O equilíbrio de qualquer estrutura pode ser verificado pelas equações fundamentais de estática isto é o somatório de todas as forças agindo sobre o corpo é nulo Em estruturas isostáticas o número de restrições reações e o número de equações de equilíbrio são iguais dessa forma é possível descobrir as incógnitas as reações de apoio Já em estruturas hiperestáticas temos mais reações do que equações de equilíbrio de tal forma que não é possível calculálas apenas pelas equações da estática Por isso essas estruturas também são chamadas de estaticamente indeterminadas Como podemos calcular as reações de apoio nessas estruturas Nesta disciplina entenderemos mais sobre o comportamento e os métodos de cálculo de estruturas complexas que chamamos de hiperestáticas que correspondem à maior parte das soluções estruturais usadas em projetos Conversaremos sobre soluções estruturais que geralmente são empregadas para vãos e esforços considerados grandes Você também aprenderá sobre algumas abordagens computacionais envol vidas nos softwares atuais de análise estrutural e os possíveis problemas oriundos da confiança excessiva neles Conheceremos também as análises feitas com cargas móveis usadas em pontes e passarelas Como futuroa engenheiroa civil você será responsável pela estabilidade dessas estruturas logo você precisará entender seu comportamento para fazer o correto dimensionamento projeto e execução delas para que sejam seguras e atendam às referências normativas utilizadas no Brasil Daí a necessidade de uma análise estrutural correta que represente bem a estrutura a ser executada Lembrese de que qualquer erro relacionado à estrutura de uma edificação pode ocasionar em sinistros e danos graves É evidente que analisar estruturas não é uma tarefa tão simples e que teremos mui to a aprender para poder projetar uma estrutura real Mas tenho certeza de que ao final desta disciplina você entenderá muito melhor como as estruturas funcionam e se comportam Acompanhará situações práticas que lhe permitirão aplicar esses conceitos durante seu exercício profissional Vamos juntos descobrir como manter estruturas de pé APRENDIZAGEM CAMINHOS DE 1 2 4 3 5 11 71 43 101 GRAU DE HIPERESTATICIDADE 6 155 ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS MÉTODO DAS FORÇAS TEOREMAS E PRINCÍPIOS MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS PROCESSO DE CROSS 129 7 181 8 207 FUNDAMENTOS DO PROJETO ESTRUTU RAL MODELAGEM COMPUTACIONAL DE ESTRUTURAS 9 237 CARGAS MÓVEIS EM ESTRUTURAS 1 Nesta unidade você conhecerá os conceitos iniciais das estruturas hiperestáticas Imagino que você já conheça o comportamento de estruturas isostáticas sabendo determinar as suas reações de apoio os esforços cortantes e os momentos fletores atuando na estrutura Mas e quando a estrutura tem uma reação de apoio extra Como calcular Você aprenderá a calcular e resolver estruturas exatamente nessa situação quando as equações da estática não são suficien tes para achar o valor das reações Aprenderá a avaliar o grau de estaticidade de uma estrutura interna e externamente avaliando seu comportamento em hipostática hiperestática e isostática A identificação desses comportamentos e o entendimento correto desses conceitos é muito importante para oa engenheiroa uma vez que a grande maioria das estruturas de concreto armado mol dado in loco é hiperestática Grau de Hiperestaticidade Me Gabriel Trindade Caviglione 12 UNICESUMAR Você já tentou esboçar o sistema estrutural de um estádio de futebol Já imaginou como se comporta o sistema estrutural de um edifício alto durante uma tempesta de com bastante vento Como se comporta uma ponte estaiada quando um caminhão trafega sobre ela Claro que para responder a essas perguntas precisamos de um engenheiro de estruturas que poderá mostrar como essas estruturas complexas se comportam qual é o caminho das forças e como as edificações param em pé Durante o seu futuro exercício profissional é provável que você se depare com estruturas complexas pórticos tri dimensionais treliças grelhas arcos entre tantos tipos de estruturas geralmente estaticamente indeterminadas isto é estruturas hiperestáticas E nesses casos a pergunta que você como engenheiroa precisará responder é como projetar essas estruturas de maneira segura e econômica Como avaliar o comportamento de estruturas complexas Bom para responder a isso nós precisamos entender como o material se comporta isto é o quanto de esfor ço ele é capaz de suportar e quanto desse determinado esforço está agindo na estrutura Esta disciplina focará no entendimento do comportamento de estruturas com plexas que não pode ser estimado apenas pelas equações do equilíbrio estático O desafio então é a determinação dos esforços de flexão cortante tração torção e das de formações e rotações que aparecerão na estrutura para então oa engenheiroa proceder com o projeto 13 UNIDADE 1 Tomemos por exemplo uma pequena residência em concreto armado Nada muito complicado certo Algo bem comum tradicional Quantos pilares te ríamos nessa residência Considere que abaixo de cada pilar teremos uma fundação estacas ou uma sapata um ponto de apoio Assim teríamos quan tos pontos de apoio para a estrutura dessa residência Se tomarmos uma residência com seis pilares uma casa bem pequena teríamos pelo menos seis reações de apoio à estrutura Considerando seus conhecimentos prévios em estruturas você saberia calcular os valores dessas reações de apoio Para garantir o equilíbrio das cargas na vertical o somatório das forças verticais dos momentos ao redor do eixo x e dos momentos ao redor do eixo y precisa ser zero LEET et al 2009 11 12 REALIDADE AUMENTADA Reações de Apoio em Estrutura Tridimensional Σ Σ Σ Fv Mx My 0 0 0 Aplicando as equações anteriores considerando as seis reações de apoio em posições genéricas e o carregamento qualquer qi teremos Σ Σ Σ Fv R R R R R R q Mx R y R y R y R y R i 0 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 0 0 y R y q y My R x R x R x R x R x R x q x i i i Σ Σ Σ i 0 Em que Rj corresponde à reação vertical do ponto de apoio j xj corresponde à coordenada x do ponto j yj corresponde à coordenada y do ponto j qi corresponde a um carregamento qualquer no ponto qualquer i 14 UNICESUMAR Nessa situação hipotética teríamos um sistema linear de três equações com seis incógnitas R1 R2 R3 R4 R5 e R6 ou seja tratase de um sistema impossível de se resolver A partir dessas condições não é possível calcular as reações de apoio pois temos mais reações disponíveis do que equações de equilíbrio Assim como na Figura 2 que mostra uma viga hiperestática na qual temos uma reação de apoio extra sobrando Descrição da Imagem a figura mostra uma viga hiperestática com um carregamento distribuído ao longo do comprimento e uma carga concentrada no ponto C A viga tem três apoios nos pontos B C e D A figura também mostra a substituição dos apoios por reações VB VD HD e VE Ilustra que a viga tem mais reações incógnitas do que equações de equilíbrio Figura 1 Viga hiperestática temos quatro reações de apoio frente a apenas três equações de equilíbrio Fonte o autor Mesmo uma pequena residência construída em tecnologia convencional concreto armado moldado in loco pode ter uma estrutura hiperestática e de solução indeterminada pelas equações da estática Assim o desafio é procurar outras condições para se calcular os esforços dos pilares vigas e lajes dessa residência Você pode usar o Diário de Bordo para registrar e relembrar os conceitos já vistos que podem lhe ajudar a resolver estruturas estaticamente indeterminadas Procure soluções para analisar estruturas hiperestáticas comece pensando em estruturas mais simples como a da Figura 2 15 UNIDADE 1 A primeira coisa a ser avaliada em qualquer estrutura é a sua esta bilidade e condição de vinculação Para isso precisamos avaliar se a quantidade de vínculos e se seus tipos são suficientes para evitar uma movimentação da estrutura Quando existe um número menor de vínculos do que o necessário consideramos a estrutura hipostática e portanto instável Estruturas com essas condições de estaticidade estão sujeitas ao movimento e não devem ser usadas a não ser em situações específicas em que seja prevista uma movimentação na estrutura pontes rolantes tombadores de moega pontes basculantes entre outros Descrição da Imagem a figura mostra uma ponte basculante chamada de Lindanuis A ponte é de baixa altura e não permite a passagem de embarcações A vista está em um plano horizontal Em um primeiro momento a ponte apresentase abaixada com um trem trafegando sobre ela e um barco próximo Em um segundo momento já livre do trem a ponte é elevada e o barco pode passar por ela Figura 2 Estrutura hipostática ponte basculante Lindaunis Não há restrição aos movimen tos no sentido antihorário permitindo que a ponte rotacione para a passagem dos barcos 16 UNICESUMAR Já em estruturas isostáticas temos exatamente o número de rea ções necessárias ao equilíbrio Isso significa que são estruturas estáveis que não se movimentarão quando aplicada uma força No entanto se por algum motivo algum dos vínculos vier a fa lhar a estrutura logo entrará em movimento pois não dispõe de apoios extras Esse tipo de estrutura é muito comum em estruturas préfabricadas ou metálicas pois como elas serão montadas no local é mais fácil que as vigas trabalhem biapoiadas Quando uma estrutura dispõe de reações extras ao equilíbrio ela é chamada de hiperestática também é considerada estável Por ter uma reação extra poderíamos até considerála um pouco inapropriadamente como mais estável Nessas estruturas temos mais restrições do que o necessário para estabilizar a estrutura tipi camente uma condição de estruturas de concreto moldada in loco Estruturas hipostáticas podem permanecer estáticas mas estarão sempre sob uma condição de equilíbrio instável Pode ocorrer uma situação de carregamento tal qual o próprio carregamento conseguir impedir deslocamentos na direção da liberdade da estrutura Tratase de uma forma crítica uma condição de equilíbrio instável SUS SEKIND 1980 A 17 UNIDADE 1 Uma simples maneira para classificar uma estrutura e relembrar es ses conceitos é entender a etimologia da palavra usada Por exemplo no termo isostática o prefixo iso faz alusão à ideia de igual e o sufixo estática remonta à estabilidade da estrutura Então temos um número de reações igual ao número necessário para garantir o equilíbrio a estabilidade Analogamente no termo hiperestática hiper referese a mais superior além do necessário Mais reações do que o necessário ao equilíbrio Em hipostática hipo referese a menos inferior pouco Menos reações do que o necessário ao equilíbrio A Figura 5 resume o conceito Figura 3 a Estrutura isostática à esquerda prémoldados de concreto Repare que as vigas estão apoiadas nos pilares com um dente Gerber ou seja tem a rotação livre 4 b Estrutura hiperestática à direita concreto moldado in loco Repare que todas as rotações do pórtico ficam restringidas devido à monoliticidade da estrutura Descrição da Imagem a figura mostra duas estruturas em processo constru tivo À esquerda um barracão de concreto prémoldado isostático e à direita um edifício vertical de concreto moldado in loco A estrutura prémoldada é composta por pilares dispostos na vertical sobre os quais se apoia uma linha de vigas que ficam simplesmente apoiadas sobre os pilares como peças sobre o encaixe Gerber Ao fundo é possível ver outras vigas e terças da cobertura além de um guindaste trabalhando A estrutura monolítica tem quatro pavimentos e demonstramse as formas e escoramento de um pavimento em construção são diversos pilares na vertical com suas esperas de armadura As vigas e lajes da estrutura dispostas na horizontal mostramse solidarizadas aos pilares Ao fundo é possível visualizar outro prédio em construção B 18 UNICESUMAR Percebese então que para avaliar a estabilidade de uma estrutura é fundamental entender suas con dições de vinculação Os vínculos são apoios capazes de fornecer um sistema de forças que estabilize os carregamentos agindo sobre essa estrutura impedindoa de se deformar Em uma estrutura real é impossível ter uma deformação nula geralmente temos reações de apoio após pequenas deforma ções dentro de um limite aceitável Nessas condições uma maneira mais precisa para simular esse comportamento é usando vínculos elásticos conforme a Figura 6 Figura 4 Resumo de estabilidade e estaticidade estruturas hipostática isostática e hiperestática Fonte o autor Descrição da Imagem a figura apresenta três vigas de carregamentos idênticos uma carga distribuída e uma carga con centrada no ponto C Entre as vigas temos uma hipostática à esquerda com apenas um vínculo do segundo gênero duas reações de apoio uma isostática ao centro com dois vínculos três reações de apoio uma hiperestática à direita com três vínculos dois do 1º gênero e um do 2º gênero totalizando quatro reações de apoio Figura 5 Vínculos rígidos e elásticos Fonte o autor Descrição da Imagem a imagem indica um retângulo com o texto vínculos ideais que se divide em duas opções rígidos e elásticos Em seguida estes dividemse em três tipologias 1º gênero 2º gênero e 3º gênero Abaixo temos a inscrição de reações e restrições correspondentes a cada um dos gêneros verticais 1º gênero verticais e horizontais 2º gênero e verticais horizontais e rotações 3º gênero 19 UNIDADE 1 Esses vínculos também podem ser usados para simular o comportamento de trechos de estrutura Por exemplo suponhamos que se queira analisar os efeitos da fluência deformação lenta do concreto relacionada à compressão de um pilar com relação à viga localizada na cobertura de um edifício de 25 andares Nessa situação podese calcular a deformação e carga do pilar separadamente e então escolher um valor de mola de comportamento elástico que represente esse pilar para analisar a viga Em uma situação prática você sabe como funcionam os víncu los e as reações de apoio Como são os apoios de uma estrutura de um edifício Pensando em fundações temos dois tipos básicos as sapatas fundações diretas e as estacas fundações profundas Existem vários arranjos que podem se comportar como vínculos do 1º 2º ou 3º gênero elástico ou rígido Descrição da Imagem a figura mostra duas regiões diferentes À esquerda temos os apoios do primeiro e segundo gênero rígidos e elásticos associados à sapa ta pequena e uma estaca de pequenas dimensões à direita temos apoios do três gênero rígidos e elásticos sendo associados a sapatas de grandes dimensões blocos sob duas estacas de pequeno diâmetro e uma estaca da grande diâmetro Figura 6 Vínculos e comportamento das fundações Fonte o autor Sapatas pequenas e estacas de pequeno diâmetro não são capazes de restringir rotação devem se comportar como apoios de 1º ou 2º gênero Para restringir translação no plano horizontal essas sapatas 20 UNICESUMAR e estacas precisam desenvolver certo atrito por isso é necessária certa carga gravitacional Blocos sobre estacas estacas rígidas e sapatas grandes são capazes de evitar a rotação dos pilares podendo ser consideradas como engastes Assim é necessário o bom senso doa engenheiroa ao projetar uma estrutura e escolher corretamente sua vinculação Conhecidas as condições de apoio e vinculação de uma estrutu ra poderemos avaliar sua estaticidade ou grau de hiperestaticidade Para Sussekind 1980 o grau de hiperestaticidade é exatamente a quantidade de incógnitas que não podem ser calculadas pelas equações da estática Podemos escrevêlo conforme a equação g R E ext Em que gext é o grau de hiperestaticidade externa da estrutura R é o número de reações disponíveis ao equilíbrio E é o número de equações para o equilíbrio estático no plano Σ Σ Σ Fh M Fv 0 0 0 No entanto internamente uma estrutura pode ter um comporta mento diferente de sua avaliação externa Olhando para a Ponte de Waterhoek Figura 8 formada por uma viga Vierendeel idealizada em aço podemos observar que embora a estrutura seja isostática não é possível determinar os esforços ao longo da estrutura ou seja internamente a estrutura é hiperestática 13 A 21 UNIDADE 1 Segundo Sussekind 1980 podemos escrever o grau de hi perestaticidade total de uma estrutura como a soma das hi perestaticidades internas e externas Em que gint é o grau de hiperestaticidade interna da estrutura gext é o grau de hiperestaticidade externa da estrutura A hiperestaticidade interna é comum quando temos quadros fechados e tirantes presentes na estrutura Ao fazermos um corte nas estruturas podemos reduzilas a isostáticas e substituir seus esforços internos por forças que atuam nesse corte Figura 8 Na presença de tirantes temos uma nova incógnita o esforço de Figura 7 a Ponte de Waterhoek 8 b esforços em estruturas internamente hiperestáticas Fonte Wikimedia Com mons 2021 online e adaptada de Sus sekind 1980 Descrição da Imagem a figura mostra a Ponte Waterhoek com posta por vigas Vierendeel bia poiadas às margens Ao fundo é possível observar algumas casas e vegetação rasteira Vigas Vieren deel são compostas por quadros associados horizontalmente isto é uma associação de duas vigas horizontais com vários pilares ao logo do comprimento dela À direi ta vemos o esquema estático de uma estrutura com dois quadros mostrando que não é possível de terminar os esforços internos do quadro pelas equações da está tica agindo estes como incógni tas Cada quadro tem três incógni tas momento fletor cortante e esforço normal Temos ainda um arco atirantando em que não é possível determinar o esforço de tração do tirante pelas equações da estática em que ele age como uma incógnita para o problema B 14 22 UNICESUMAR tração no tirante ou seja uma incógnita extra No caso de quadros temos como incógnitas os esforços de momento fletor esforço normal e esforço cortante Ou seja três incógnitas extras por quadro Outro efeito importante a ser considerado ao avaliar a hiperestaticidade de uma estrutura são os conectores de suas barras O tipo de conexão entre as barras determinará quais esforços serão transmitidos nas ligações Figura 8 Rótula e suas propriedades na transmissão de esforços Fonte o autor e Shutterstock Descrição da Imagem a figura exemplifica o comportamento da rótula um elemento de ligação que permite a rotação transmitindo apenas esforços normais e de corte A figura é composta por quatro ilustrações Na primeira temos o esquema estático de uma viga rotulada a viga tem dois apoios um engaste e uma rótula a figura mostra a transmissão dos esforços verticais e horizontais entre o trecho biapoiado e engastado A segunda ilustração é uma ligação de dente Gerber temos um pilar disposto na vertical com consolos em ambos os lados volumes laterais para fora da seção do pilar o lado esquerdo está livre já no lado direito temos uma viga apoiada no consolo a viga tem um corte dente Gerber em sua seção para encaixar no consolo tal ligação não permite a passagem de momentos fletores ao fundo temos outras estruturas metálicas e de concreto Na terceira ilustração temos a anatomia de um joelho humano os tendões mantêm conectados os ossos que podem deslizar um sobre o outro permitindo a rotação A quarta ilustração mostra uma mulher correndo em que é possível observar o joelho transmitindo a ideia de movimento e rotação do joelho ao correr A presença da rótula evita a transmissão de momentos fletores Assim como o joelho a rótula per mite a rotação assim no ponto onde a rótula está localizada o momento fletor precisa ser nulo Essa condição nos permite dispor de duas novas equações Momento fletor à direita da rótula nulo Mdir r 0 Momento fletor à esquerda da rótula nulo Mesq r 0 Entretanto em uma estrutura em equilíbrio as forças agindo à direita de um ponto precisam ser iguais e opostas às forças agindo à esquerda Isso equivale a dizer que M M dir r esq r assim embora a rótula adicione duas equações Mdir r 0 e Mesq r 0 uma delas é dependente da outra Ou seja na prática temos apenas uma equação nova Mr 0 KASSIMALI 2015 Esse mesmo raciocínio se aplica a pórticos se tivermos três barras se encontrando em uma rótula Figura 10 teríamos três equações de Mr 0 No entanto teremos novamente uma das equa ções linearmente dependente das demais pois o somatório dos momentos no nó precisa ser nulo M M M M dir r esq r abx r acim r 0 O número de novas equações será sempre o número de barras subtraído de 1 referente ao equilíbrio do nó 23 UNIDADE 1 r nr 1 Em que r é o número de equações adicionadas pela rótula nr é o número de barras efetivamente ligadas à rótula Caso nem todas as barras participem da ligação rotulada a regra explicada anteriormente se aplica apenas às barras que estiverem conectadas à rótula pois na região em que estiver conectada não rotulada não teremos momento fletor nulo conforme mostra a Figura 10 15 Figura 9 Rótula em Pórticos barras conectas à rótula Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra dois pórticos com rótulas ligeiramente diferentes Eles têm um engaste à esquerda um apoio do primeiro gênero ao centro e um engaste à direta Na situação 1 à esquerda temos uma rótula que fica posicionada à direita do nó enquanto no pórtico da direita na situação 2 a rótula está sobre o nó Neste nó chegam três barras de tal forma que na situação 1 apenas duas delas estão em contato com a rótula enquanto na situação 2 as três estão em contato com a rótula Essa situação é exemplificada por um detalhe na rótula na situação 1 é possível observar que duas barras se deformam conjuntamente enquanto na situação 2 as três barras podem rotacionar livremente independentemente das outras Considerando os efeitos de hiperestaticidade externa expressos na equa ção efeitos de hiperestaticidade interna expressos na equação e equa ções extras adicionadas pelas rótulas expressas na equação temos a equação geral que exprime o grau de hiperestaticidade total da estrutura 24 UNICESUMAR g R g E r int Em que R é o número de reações gint é o grau de hiperestaticidade interna da estrutura E é o número de equações da estática r é o número de equações de equilíbrio adicionadas pelas rótulas Já em treliças planas a análise de estaticidade envolve outras condições de contorno pois não temos momentos fletores agindo sobre a estrutura apenas esforços normais Nesse cenário cada barra da treliça terá uma incógnita seu esforço normal Além dos esforços nas barras também precisamos determinar as reações de apoio Kassimali 2015 sugere que para avaliar o equilíbrio das barras e dos vínculos devemos avaliar as forças agindo sobre cada nó de tal forma que se ΣFh 0 e ΣFv 0 o nó deve estar em equilíbrio Assim teremos duas equações de equilíbrio por nó A Figura 11 exemplifica o conceito 16 Figura 10 Equilíbrio dos nós em uma treliça plana Fonte o autor Descrição da Imagem a imagem representa uma treliça do tipo Bowstring banzo inferior horizontal e banzo superior em arco sob dois apoios A treliça tem ao todo 12 nós Como cada nó tem uma rótula o equilíbrio da treliça se dá pelo equi líbrio de cada nó Na imagem temos então as equações de equilíbrio para cada nó bem como as forças agindo sobre eles 25 UNIDADE 1 Comparando as incógnitas reações de apoio e esforço normal em cada barra com as equações de equi líbrio ΣFh 0 e ΣFv 0 em cada nó temos a equação do grau de hiperestaticidade de uma treliça g R b n 2 Em que R é o número de reações b é o número de barras n é o número de nós Se a equação resultar em um valor negativo temos mais equações do que reações portanto um sistema hipostático Se a equação resultar em um valor nulo temos exatamente o mesmo número de reações e equações portanto um sistema isostático Se a equação resultar em um valor positivo temos mais reações do que equações de equilíbrio portanto um sistema hiperestático 17 Figura 11 Resumo das condições de estaticidade Fonte o autor Descrição da Imagem a imagem apresenta dois quadros resumindo as condições de estaticidade À esquerda temos a regra geral comparando o número de equações de equilíbrio representado por E e o número de reações repre sentado por R Caso RE temos uma estrutura hiperestática caso RE temos uma estrutura isostática e caso RE temos uma estrutura hipostática No quadro à esquerda temos um resumo das equações já apresentadas para vigas e pórticos usamos a equação 16 e para treliças planas a equação 17 Será que essas equações conseguem descrever o comportamento de todas as estruturas Muitas vezes temos situações que precisam ser analisadas com mais cautela Por isso para sua formação é muito mais importante entender os conceitos e desenvolver um olhar crítico para o comportamento estrutural do que aplicar fórmulas cegamente Agora aplicaremos esses conceitos a alguns exemplos e tentaremos avaliar o comportamento e grau de estaticidade das estruturas Observe a Figura 13 Temos nela três pórticos de comportamentos estruturais distintos O pórtico 1 tem uma reação vertical em A e uma reação vertical em B assim duas incógnitas frente 26 UNICESUMAR a três equações de equilíbrio portanto consideramos como hipostático Ainda com relação ao pórtico 1 é possível observar que caso ele receba um carregamento horizontal a estrutura deve se movimentar O pórtico 2 por sua vez tem duas reações em A e uma reação em B totalizando três reações de apoio frente a três equações de equilíbrio temos uma estrutura isostática O pórtico 3 tem duas rea ções de apoio em A e três reações de apoio em B totalizando cinco reações frente a 3 equações de equilíbrio Assim o pórtico 3 é uma estrutura considerada g 5 3 2 duas vezes hiperestática isto é existem duas reações a mais do que o necessário para equilibrar o pórtico Figura 12 Três pórticos de diferentes graus de estaticidade Fonte o autor Descrição da Imagem temos três pórticos apresentados à esquerda o pórtico 1 ao centro o pórtico 2 e à direita o pór tico 3 O pórtico 1 tem apenas reações verticais em seus dois apoios A e B O pórtico 2 tem duas reações em A vertical e horizontal e uma reação em B vertical O pórtico 3 tem duas reações em A vertical e horizontal e três reações em B vertical horizontal e rotação Abaixo de cada pórtico temos a classificação de cada um quanto à sua estaticidade pórtico 1 é hipostático pórtico 2 é isostático pórtico 3 é hiperestático Na Figura 14 temos outros exemplos do grau de estaticidade de estruturas Na viga 1 temos cinco reações de apoio frente a três equações de equilíbrio e uma equação referente à rótula portanto é uma estrutura uma vez hiperestática No arco 1 temos três apoios cada um com duas reações totalizando seis incógnitas Quanto às equações temos duas rótulas e as três da estática portanto cinco equações ao todo assim caracterizamos a estrutura como hiperestática No pórtico 1 temos seis reações de apoio frente a três equações de equilíbrio Como a rótula é compartilhada pelas três barras temos duas equações que também podem ser consideradas no cálculo ficam então seis reações frente a cinco equações portanto é uma estrutura uma vez hiperestática Na treliça 1 temos 31 barras e cada barra tem uma incógnita que é seu esforço normal além das quatro reações de apoio Temos ainda 16 nós considerando duas equações por nó teremos uma estrutura com três graus de hiperestaticidade É possível observar a hiperestaticidade nos quadros que têm duas diagonais dois graus e no apoio extra um grau No pórtico 2 temos oito reações de apoio frente a três equações de equilíbrio e duas equações das rótulas totalizando três graus de hiperestaticidade para a estrutura 27 UNIDADE 1 Figura 13 Outros exemplos de grau de hiperestaticidade das estruturas Fonte o autor Descrição da Imagem na figura temos cinco esquemas estático de estruturas A viga 1 tem três apoios do primeiro gênero e um apoio do segundo gênero entre o primeiro e segundo apoio temos uma rótula logo abaixo temos a conta para obtenção do grau de hiperestaticidade g 531 1 vez hiperestática À direita da viga temos os arcos 1 são dois arcos triarticulados justapostos suas rótulas estão posicionadas nos pontos centrais do arco Os apoios são do segundo gênero abaixo temos o cálculo do grau de estaticidade g 632 1 vez hiperestática Abaixo temos dois pórticos o pórtico 1 apresenta duas barras verticais como pilares uma barra horizontal e duas barras inclinadas como uma cobertura Esse pórtico tem um apoio do terceiro gênero primeiro pilar um apoio do primeiro gênero segundo pilar e um apoio do segundo gênero conectado por uma barra horizontal e uma rótula que engloba três barras Temos ainda o cálculo do grau de hiperestaticidade g 632 1 vez hiperestática À direita temos o pórtico 2 composto por três barras verticais e duas barras horizontais Esse pórtico tem dois engastes nas barras verticais externas e um apoio do segundo gênero na barra central as barras verticais conectam os topos das horizontais e no final da barra central temos uma rótula que engloba três barras Abaixo temos o cálculo do grau de hiperestaticidade da estrutura g 32332 3 vezes hiperestática A treliça 1 abaixo dos demais esquemas tem dois apoios do primeiro gênero e um apoio do segundo gênero Tratase de uma treliça de banzos paralelos cujas extremidades terminam em barras diagonais no sentido de baixo para cima todos módulos têm um montante e uma diagonal com exceção de dois módulos próximos ao apoio do segundo gênero nos quais temos duas diagonais Abaixo temos o cálculo do grau de hiperestaticidade g 31 barras 4 reações de apoio 2 vezes 16 nós 3 vezes hiperestática A aplicação das equações para a obtenção do grau de hiperestaticidade pode mascarar o comportamento real da estrutura Por isso é muito importante avaliar o comportamento da estrutura além do resul tado das contas Por exemplo no pórtico 1 da Figura 15 temos uma estrutura oito vezes hiperestática na vertical e sem restrição alguma na horizontal isto é hipostática Ao avaliar as vigas 1 e 2 da Figura 28 UNICESUMAR 15 ambas são duas vezes hiperestáticas no entanto o trecho AB da viga 2 está livre para rotacionar assim é localmente hipostático Outra situação interessante é a viga 3 em que temos quatro reações de apoio três horizontais e uma vertical mas a configuração desses apoios permite que a estrutura rotacione ao redor do ponto B portanto estamos diante de uma estrutura hipostática Figura 14 Exemplo de estruturas hipostáticas que demandam atenção as linhas em azul claro mostram possíveis movimen tações que não estão restringidas pela estrutura Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra cinco estruturas distintas três vigas um pórtico e uma treliça A viga 1 e a viga 2 estão no canto esquerdo superior da figura ambas têm um apoio do segundo gênero ponto A na viga 1 e ponto E na viga 2 um apoio do primeiro gênero ponto C um engaste ponto D extremidade direita e uma rótula ponto B ao todo 213 6 reações A única diferença entre as vigas é a posição do apoio do segundo gênero na viga 1 o apoio está no ponto A assim a rótula fica entre os apoios A e C dando suporte ao trecho AB Já na viga 2 o apoio está no ponto E assim a rótula fica em balanço e o trecho AB fica sem apoio permitindo que haja rotação representada por uma linha azul pontilhada Embaixo de cada viga temos o cálculo da estaticidade g 631 2 embora a viga 1 seja hiperestática a viga 2 é hipostática Na viga 3 na extremidade inferior esquerda da figura temos uma viga ABC sendo que temos um apoio do segundo gênero no ponto B e dois apoios do primeiro gênero em A e C Os apoios do primeiro gênero estão rotacionados a 90 e 90 de tal forma que restringem apenas deslocamentos horizontais Nessa configuração os apoios não conseguem restringir a rotação da barra representada por uma linha azul pontilhada A figura ainda mostra o cálculo do grau de hiperestaticidade embora g 43 1 é uma estrutura hipostática À direita temos o pórtico 1 que tem cinco pilares barras verticais e duas vigas a viga superior liga a cabeça de todos os pilares enquanto a viga inferior conecta pontos intermediários dos três pilares centrais assim temos a formação de dois quadros Todos os pilares se apoiam em apoios do primeiro gênero Temos o cálculo da estaticidade g 563 8 mas como não há nenhuma restrição horizontal na estrutura é considerada como hipostática A figura mostra ainda a treliça 1 apoiada em dois vínculos do segundo gênero situados nas extremidades A treliça é composta por um banzo inferior horizontal seis módulos banzo superior central horizontal dois módulos e o banzo superior nas extremidades é inclinado dois módulos de cada lado Os módulos centrais CDEJI e DEKJ não têm diagonais enquanto os módulos da extremidade têm duas diagonais BCIH e EFLK assim os módulos centrais são quadros instáveis e podem se deslocar conforme a linha pontilhada ilustrada em azul O cálculo da estaticidade é de g 21 barras 2 vezes 12 nós 4 reações de apoio 1 vez mas é uma treliça hipostática 29 UNIDADE 1 Por fim temos a treliça 1 da Figura 15 Ao analisála teremos 21 barras 12 nós e quatro reações de apoio assim é uma estrutura que poderia ser considerada uma vez hiperestática No entanto ao imaginarmos o comportamento dela podemos observar que não temos travamentos nos quadros CDJI e EDJK eles podem se movimentar livremente Observe que os quadros BCHI e EFLK são hiperestáticos e compensam a falta de travamento dos quadros CDJI e EDJK escondendo a hiposestaticidade da estrutura É importante que você como futuroa engenheiroa busque en tender o comportamento da estrutura Mais do que calcular os nú meros em uma fórmula você é responsável por interpretálos dar significado a eles Nesta pílula de aprendizagem aplicaremos alguns conceitos já aprendidos sobre grau de hiperestaticidade trazendo a importância de oa engenheiroa desenvolver um olhar atento à estrutura capaz de identificar seu comportamento Segundo Kassimali 2015 ao avaliarmos um problema estrutural no espaço temos seis graus de liberdade isto é três deslocamentos e três rotações Figura 16 Assim para garantir a estabilidade de uma estrutura no espaço precisamos considerar Σ Σ Σ Σ Σ Σ Fx Mx Fy My Fz Mz 0 0 0 0 0 0 Nessas condições temos seis equações de equilíbrio para avaliar a estaticidade da estrutura no espaço No caso específico de grelhas não temos cargas atuantes no plano XY portanto o problema fica reduzido a Σ Σ Σ Fv Mx My 0 0 0 De tal maneira que a estaticidade de uma grelha pode ser calculada pelas equações que já foram citadas considerando também três equações de equilibro embora sejam equações diferentes Por exemplo ao analisar a grelha 1 Figura 16 temos três reações Mx My e Fv em D e duas reações em E e A Fve e Fva assim quanto ao grau de hiperestaticidade teremos g 5 3 2 vezes hiperestática Quanto à grelha 2 teremos três reações em A Mx My e Fv e uma única reação no apoio de primeiro gênero Fvd portanto teremos g 4 3 1vez hiperestática 18 19 30 UNICESUMAR Em treliças espaciais Figura 16 o processo de cálculo é semelhante ao de treliças planas Figu ra 11 ou seja será verificado o equilíbrio do nó só que a verificação ocorrerá nas três direções ΣFx 0 ΣFy 0 e ΣFz 0 de tal forma que teremos três equações por nó g R b n 3 Em que R é o número de reações b é o número de barras n é o número de nós Por exemplo ao se observar a treliça espacial da Figura 16 notamse oito reações de apoio dois apoios do tipo móvel com reações verticais em z e dois apoios do tipo fixo com restrições a translações na vertical e horizontal reações em x y e z A treliça tem 24 barras cada uma com um esforço normal a ser calculado e tem 10 nós cada nó com três condições de equilíbrio Então o grau de hiperestaticidade da treliça é g 8 24 3 10 32 30 2 vezes hiperestática Figura 15 Exemplo de estruturas espaciais para análise de hiperestaticidade Fonte o autor Descrição da Imagem a imagem ilustra três estruturas a grelha 1 está à esquerda a grelha 2 ao centro e uma treliça es pacial à direita As grelhas são estruturas formadas pela associação de vigas no plano horizontal Na figura consideramos o plano horizontal como sendo o plano xy A grelha 1 é formada por duas vigas cruzadas entre si ACE e BCD ortogonalmente temos dois apoios do primeiro gênero e um apoio do terceiro gênero temos ainda uma carga distribuída na vertical para baixo Na grelha 2 temos uma viga balcão em formato de L Esta viga tem um engaste e um apoio do primeiro gênero ambos suportando uma carga pontual vertical para baixo na extremidade da viga À direita temos uma treliça espacial com dois apoios do primeiro gênero e dois apoios do segundo gênero translações em z em x e em y dispostos em um formato retangular no plano horizontal Em cada face desse retângulo temos um módulo de treliça plana disposta na vertical no ponto mais alto os quatro lados são unidos por uma pirâmide No topo dessa pirâmide temos uma barra hori zontal sustentada por outras duas inclinadas estas barras sustentam uma caga P concentrada vertical para baixo projetada horizontalmente para fora do corpo da treliça Temos então a treliça espacial representada com 10 nós e com 24 barras As barras ao fundo estão representadas por linhas pontilhadas e as próximas estão em linhas cheias 110 31 UNIDADE 1 Justamente por nossas estruturas estarem dispostas em três dimensões no espaço é necessário avaliar sua estabilidade nessas condições Mesmo que um pórtico ou viga seja hiperestática ao fazer a análise bidimensional ela pode ser instável lateralmente isto é hipostática na direção transversal Esse efeito também é muito comum em treliças as quais precisam estar travadas e contraventadas lateralmente para que possam suportar os esforços para os quais foram projetadas sem que sofram com instabilidades laterais A Figura 18 mostra uma ponte composta por duas treliças isostáticas planas que Descrição da Imagem a figura mostra o porto de Hamburgo É possível observar quatro guindastes marítimos brancos em um plano mais próximo ao fundo é possível observar outros dois conjuntos de guindastes cada um com seis guindastes de coloração vermelha e azul Ao fundo é possível observar uma ponte e uma linha de transmissão de eletricidade Esses guindastes são formados por treliças espaciais de aço eles podem rotacionar seu braço para fazer o içamento das cargas No oceano mas próximo ao cais temos dois navios um carregado e outro praticamente vazio com apenas três containers visíveis Figura 16 Porto de Hamburgo exemplo de treliças espaciais Fonte Pixabay 2018 online 32 UNICESUMAR estão contraventadas O contraventamento é feito nos banzos superiores e inferiores da treliça para que quando carregada ela não se mova lateralmente perdendo sua resistência concebida no projeto Figura 17 Treliças planas isostáticas contraventadas para evitar instabilidade lateral Fonte adaptada de Leet et al 2015 Descrição da Imagem a figura mostra esquematicamente a estrutura de uma ponte metálica É possível observar duas treliças biapoiadas dispostas na vertical O tabuleiro está no banzo inferior das treliças e é formado por quatro longarinas que são vigas dispostas paralelas ao eixo longitudinal da ponte travadas por cinco transversinas dispostas transversalmente alinhadas aos nós das treliças No banzo inferior e superior temos estruturas de contraventamento destacadas em cor o restante da figura é preto e branca essas estruturas estão em um formato de X conectando os nós da treliça diagonal mente no plano horizontal tanto no banzo superior quanto no banzo inferior Longarina Contraventamento cruzado da corda inferior todos os painéis Treliça Chapa de piso assentada em longarinas não mostradas Transversinas Balancim Diagonal da treliça Treliça Contraventamento cruzado da corda inferior todos os painéis Contraventamento do portal 33 UNIDADE 1 O conceito de contraventamento e estabilidade lateral é válido para todas as estruturas A análise o projeto e o dimensionamento podem ser feitos no plano bidimensional mas é necessário entender o processo construtivo e considerar como a estrutura estará disposta no espaço O grau de hiperestaticidade de uma estrutura depende da concepção estrutural que oa engenheiroa teve sobre ela Como já visto uma estrutura hipostática é instável e não deve ser projetada mas as estruturas isostáticas e hiperestáticas são es táveis Então como escolher entre hiperestática e isostática Para você poder escolher a melhor concepção para a sua estrutura é fundamental entender as vantagens e desvantagens do uso de cada uma Em estruturas isostáticas o processo de cálculo é bem mais simples do que em estruturas hiperestáticas Antigamente as contas eram todas realizadas peloa engenheiroa calculista e o processo de cálculo de uma estrutura isostática seria mais rá pido do que de uma hiperestática No entanto hoje em dia com o uso de computadores a preocupação com o tempo de cálculo deixou de existir mas ainda assim uma estrutura hiperestática pode ser de interpretação mais complexa principalmente para uma engenheiroa inexperiente Uma vantagem significativa do uso das estruturas hiperestáticas é a possiblidade de homogeneizar os esforços Em um projeto es trutural grandes esforços significam grande consumo de materiais então quando o projetista consegue deixar os valores mais próximos uns dos outros ao logo da estrutura ele tende a economizar material A Figura 19 mostra o diagrama de momento fletor de uma viga isostática e uma viga hiperestática Na viga isostática o valor do momento fletor positivo é muito su perior ao da viga hiperestática pois a continuidade da viga permite a homogeneização dos momentos Outro efeito significativo da continui dade em estruturas é a redução de suas deformações e deslocamentos 34 UNICESUMAR Esse efeito ocorre também em pórticos grelhas e treliças geralmente estruturas hiperestáticas terão os esforços mais distribuídos entre suas barras e vínculos de tal forma que sua magnitude tende a ser menor Contudo cada caso deve ser analisado separadamente pelo projetista juntamente com seu carregamento específico das condições de con torno do projeto Assim em um aspecto geral quando um projetista estiver com problemas de deformações excessi vas ou valores muito grandes de momentos ele pode optar por aumentar o grau de hiperestaticidade da estrutura Outra vantagem do uso de estruturas hiperestáticas é a possiblidade de redistribuição dos esforços no caso de falha de algum elemento Na execução de uma estrutura nem sempre as cosias ocorrem como planejado por isso esse é um ponto muito importante a se considerar Suponhamos que uma obra foi construída próxima a uma adutora de água No caso dessa adutora apresentar algum vazamento e comprometer a fundação da residência os vín culos da estrutura falhariam Nesse cenário uma estrutura isostática entraria em colapso ao passo que uma estrutura hiperestática pode tentar em função da sua rigidez e resis Figura 18 Otimização dos momentos com a continuidade da viga a hiperestaticidade da estrutura permite que ela apresente menores deformações e menores momentos máximos quando comparada à viga isostática Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra o diagrama de momento fletor de duas vigas horizontas as vigas têm quatro vãos e cinco apoios A viga mostrada acima é isostática e descontínua portanto o diagrama de momento fletor é apenas positivo representado para baixo de formato parabólico de diferentes intensidades A viga abaixo é hiperestática com continuidade assim apresenta picos de momentos negativos sobre os apoios centrais representados para cima com isso os valores de momento negativo representados para baixo são menores em comparação à viga anterior 35 UNIDADE 1 tência disponível redistribuir os esforços para outros apoios que não foram comprometidos Existem outros diversos cenários que podem ocorrer por exemplo a excentricidade na execução dos pilares e das fundações colisões falhas de concretagem recalques do solo excesso de sobrecarga enfim são diversas situações que podem provocar o colapso da estrutura No caso de uma estrutura hiperestática ainda que a estrutura venha a romper esperase que seja com deformações mais lentas capazes de serem visualizadas antes do colapso e de menor magnitude Por fim a principal vantagem de estruturas isostáticas é a possibilidade de préfabricação Esse tipo de concepção estrutural é adequado para préfabricados e estruturas metálicas isto é estruturas montadas no local São estruturas de execução muito rápida e a conexão entre os elementos é feita de maneira a simplificar a montagem por isso costumam ser isostáticas Geralmente as estruturas hiperestáticas são usadas para estruturas moldadas in loco processo executivo mais lento mas que garante a solidarização da estrutura Existem ligações de prémoldados e préfabricados que garantem a continuidade das estruturas mas são ligações que costumam demorar mais tempo para ser executadas e dessa maneira acabam perdendo a vantagem competitiva desses sistemas construtivos Entretanto é evidente que cada obra precisa de uma avaliação minuciosa para avaliar qual sistema construtivo e concepção estrutural é mais adequada A Tabela 1 traz um quadro comparativo do uso de estruturas isostáticas e hiperestáticas ISOSTÁTICAS HIPERESTÁTICAS Processo de cálculo Simples Complexo Deformações Maiores Menores Redistribuição dos esforços em caso de falhas Não permite Permite Continuidade e homogeneização dos esforços pro vável economia Pode permitir geralmente não Permite Préfabricação Permite Pode permitir geralmente não Tabela 1 Comparativo do uso de estruturas isostáticas e hiperestáticas Fonte o autor Como a estaticidade da estrutura influencia na concepção e decisões do projeto estrutural Em um escritório de projetos como oa enge nheiroa utiliza esses conceitos a fim de conceber a melhor estrutu ra Quais são as considerações mais importantes ao se utilizar um software de projeto estrutural Confira o podcast intitulado Estrutu ras hiperestáticas e isostáticas no dia a dia do projeto estrutural para entender um pouco mais desse assunto 36 UNICESUMAR Os conceitos de grau de hiperesta ticidade e estabilidade são funda mentais na formação de qualquer engenheiroa Mesmo aqueles que optam por se especializar na execu ção de obra precisam ter a capaci dade de olhar para uma estrutura e visualizar seu comportamento Esse conceito não se aplica apenas às es truturas de concreto definitivas mas também é aplicado à montagem de andaimes ao transporte vertical de cargas às treliças da grua ou seja às estruturas provisórias Aqueles que optam por trabalhar com projetos muitas vezes traba lham muito com softwares moder nos e tendem a confiar neles Se oa engenheiroa negligenciar os conceitos básicos de estabilidade na modelagem de uma estrutura pode incorrer em erros que muitas vezes não são apontados pelos softwares Para tanto você como engenhei roa precisa olhar para a estrutura perguntando como ela se comportará O cálculo do grau de hiperestaticida de é um grande aliado pois permite com uma conta simples categorizar o tipo de comportamento da estrutura Procure sempre avaliar as condições de vinculação da estrutura seja du rante a modelagem dos apoios de um projeto ou durante a fixação de um parabolt OA engenheiroa precisa visualizar como será a transmissão dos esforços entre os elementos 37 Nesta unidade conversamos sobre diversos aspectos de estruturas hiperestáticas Você viu como analisar e avaliar a estabilidade de uma estrutura Aprendeu as diferenças nos comportamentos de estruturas hiperestáticas e isostáticas e em quais situações cada uma se adequa melhor Conheceu o conceito de grau de hiperestaticidade e como aplicálo em vigas pórticos e treliças considerando rótulas e estaticidades internas Esses conteúdos expandiram seu conhecimento sobre estruturas e a fim de fixálos à sua baga gem conceitual fomentando sua formação profissional sugiro que você faça um mapa mental resumindo os assuntos aqui estudados relembrando e descrevendo cada detalhe já apresentado 38 1 Complete as lacunas da conceituação a seguir Estruturas são aquelas que apresentam a mesma quantida de de necessárias ao equilíbrio isto é o número de incógnitas é ao número de equações de equilíbrio a Hiperestática forças maior b Hipostática forças maior c Isostáticas reações igual d Isostática reações menor e Pseudostática reações aparentemente igual 2 Determine o grau de hiperestaticidade do pórtico a seguir Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra um pórtico composto por dois pilares que nascem em apoios do segundo gênero pontos A e B O pilar que nasce no ponto A tem 4 m de comprimento enquanto o pilar que nasce no ponto B é mais curto com 2 metros O ponto B está 2 metros acima do ponto A assim a barra que conecta esses pilares está disposta horizontalmente A barra horizontal tem um pequeno balanço para o lado esquerdo e para o lado direito é continua ao pilar Logo à direita da conexão viga ao pilar temos uma rótula conectando uma barra hori zontal a outro apoio do segundo gênero Temos ainda um carregamento distribuído vertical para baixo aplicado na viga até a rótula e um carregamento vertical para cima de carga concentrada entre a rótula e o outro apoio 39 a 1 b 0 c 1 d 2 e 3 3 Treliças se constituem por barras vinculadas umas às outras por rótulas resultando em uma estrutura de grande eficiência estrutural por trabalhar apenas a compressão Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da estaticidade da treliça da figura Fonte o autor Descrição da Imagem na figura temos uma treliça com um apoio do segundo gênero lado esquerdo e outro do primeiro gênero lado direito A treliça tem o banzo inferior disposto horizontalmente enquanto os banzos superiores têm trechos horizontais centro inclinados 13 do vão e quase horizontais próximos aos apoios Ao todo são cinco módulos apenas o módulo central é composto por uma diagonal dupla totalizando 22 barras e 12 nós a g 1 hipostática b g 0 isostática c g 2 hiperestática d g 0 hipostática e g 1 hiperestática 40 4 Os pórticos são sistemas estruturais obtidos pela conexão rígida entre vigas e pilares São estruturas utilizadas para combater esforços horizontais e verticais A respeito dos pórticos hiperestáticos avalie o comportamento dos pórticos 1 e 2 ilustrados a seguir Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra dois pórticos 1 à esquerda e 2 à direita Os pórticos são pratica mente idênticos a única distinção entre eles é a posição da rótula A nomenclatura dos nós segue da esquerda para direita de cima para baixo O pórtico é composto por duas vigas barras horizontais sendo que a viga superior ABC está deslocada à esquerda da viga inferior DEF e por dois pilares barras verticais sendo que um deles EC nasce na viga inferior e outro GDB nasce em um apoio de segundo gênero G A viga inferior se apoia em um dos pilares D e em um engaste F deslocado à direita do pilar que nasce na viga Formase também um quadro BCDE No pórtico 1 a rótula está na junção do pilar da esquerda com a viga superior B ligando três barras uma delas em balanço No pórtico 2 a rótula está na junção da viga inferior com um pilar que nasce na viga E ligando três barras uma delas apoiada no engaste Ambos os pórticos são hiperestáticos e apresentam mesmo grau de hiperestaticidade pelas formulações no entanto um deles apresenta um trecho que localmente é hipos tático Assinale a alternativa que apresenta corretamente o grau de hiperestaticidade dos pórticos e a explicação sobre qual trecho é considerado hipostático a 2 O pórtico 2 é hipostático pois o quadro BCDE pode se abrir em função das solici tações b 2 O trecho AB do pórtico 1 é hipostático pois pode rotacionar livremente em reação ao ponto B c 3 A afirmação é equivocada ambos pórticos são hiperestáticos em todas as regiões d 3 O trecho EF do pórtico 2 é hipostático pois o engaste em F impede a rotação do quadro BCDE e 3 O trecho AB do pórtico 1 é hipostático pois pode rotacionar livremente em reação ao ponto B 41 5 Trabalhando no controle de qualidade de projeto você foi convidadoa a avaliar um proje to estrutural de uma residência unifamiliar Retirouse um trecho desse projeto que está representado na figura a seguir A viga V4 tem seção de 12x30 e atravessa a residência de fora a fora Entre os eixos E e F o projetista previu um rebaixo de 30 cm na viga 12x30 r30 justamente para passagem do esgoto sanitário e do pluvial Esse desnível quebra a conti nuidade da viga e não permite a passagem de momentos fletores dos trechos DE para EF Os demais trechos BC CD DE são contínuos entre si permite a passagem de momentos Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra a planta de formas de baldrames e blocos de uma residência Temos seis eixos verticais A B C D E F e apenas um eixo horizontal não nomeado o qual coincide com a viga V4 A viga V4 seção 12x30 linhas pretas cheias disposta horizontalmente vai do eixo B ao eixo F apoiada no pilar P8 P9 P10 P11 e P12 retângulos em linhas vermelhas coincidentes com os eixos A figura mostra um rebaixamento para a viga V4 seção 12x30 r30 linhas pontilhadas entre os eixos E pilar P11 e F pilar P12 onde é possível notar a passagem do esgoto pluvial e sanitário representados por verticais linhas pontilhadas em azul e verde É possível observar blocos de fundação em cada pilar representados por linhas pretas de menor espessura A figura registra ainda cotas das formas em diversos pontos de interesse Considerando que apenas o pilar P8 consegue restringir movimentos verticais e horizon tais enquanto os demais restringem apenas movimentos verticais e desconsiderando eventuais transmissões de momento entre vigas e pilares pede que se faça o esquema estático da viga para avaliar as afirmações a seguir I A viga é hipostática pois não é capaz de suportar esforços horizontais uma vez que não tem restrições II A viga é hiperestática duas vezes sendo que essa solução ajuda a homogeneizar os momentos e economizar no detalhamento dela III A viga é hiperestática três vezes sendo que essa solução ajuda a homogeneizar os momentos e economizar no detalhamento dela IV Embora seja hiperestática localmente o trecho EF é isostático 42 Estáão corretas apenas as afirmativas a Está correta a afirmativa I b Está correta a afirmativa II c Estão corretas as afirmativas II e IV d Estão corretas as afirmativas III e IV e Estão corretas as afirmativas I II e IV 6 Imagine que em uma conversa informal seu amigo Eng João que estava executando uma obra pediulhe um conselho João explicou para você que embora ele já houvesse contratado projeto estrutural e geotécnico ele encontrou muitos problemas de recal que nas edificações vizinhas Com medo do comportamento do solo da região ele está procurando soluções que possam minimizar eventuais danos no caso de as fundações falharem Aponte para seu colega quais soluções estruturais podem ser adotadas nessa situação indique quais termos e soluções ele deve solicitar ao projetista 2 Nesta segunda unidade você aprenderá sobre os princípios e teo remas básicos que utilizamos para resolver estruturas hiperestá ticas Conheceremos o Princípio dos Trabalhos Virtuais que pela conservação de energia permite que calculemos a deformação de uma estrutura Conheceremos também o Teorema de Castigliano e o Princípio da Superposição dos Efeitos Você entenderá a apli cabilidade e limitação desses métodos para solução de estruturas Aplicaremos a superposição dos efeitos e as condições de compati bilidade para a resolução de estruturas hiperestáticas Por fim esse conteúdo é a base conceitual para os Métodos dos Deslocamentos e o Método das Forças que usamos na solução de estruturas assim é importante que você acompanhe os conceitos ministrados nesta unidade Espero que aproveite Bons estudos Teoremas e Princípios Me Gabriel Trindade Caviglione 44 UNICESUMAR Você já se perguntou como uma estrutura hiperestá tica se comporta Quais são suas deformações Qual é a distribuição dos esforços e das reações dentro de um edifício Como podemos calcular as reações de apoio se a estrutura é hiperestática Quais são os princípios gerais que regem as estruturas Para garantir a segurança de uma estrutura é necessário entender seu comportamento e calcu lar seus esforços corretamente Para uma enge nheiroa projetar uma estrutura corretamente elea precisa ser capaz de determinar os esforços críticos em cada elemento estrutural Para entender esses conceitos quero convidá loa a acompanhar uma situação hipotética Ima gine que você e Aline ajudarão João a transportar sua mudança Eles precisam carregar uma mesa muito comprida e pesada Você que não queria nem ajudar começa a refletir em que ponto eu devo me posicionar para carregar menos peso Tentemos responder essa pergunta com outras novas perguntas e algumas reflexões A distribui ção do carregamento depende exatamente do quê Da força de cada pessoa Da posição em que cada pessoa se encontra Da rigidez e deformações da mesa Como podemos resolver esse problema Quais conceitos de teoria das estruturas podem ser apli cados nessa história De início faremos o diagrama de corpo livre da mesa investigando seu comportamento estru tural Ao observar a Figura 1 podemos perceber que não é possível determinar a força que cada pessoa exerce pois temos uma reação sobrando No caso em que a mesa é carregada por apenas duas pessoas é fácil observar que cada uma car regaria metade do peso No caso de duas pessoas carregarem a mesa e uma delas não ter força su 45 UNIDADE 2 ficiente para suportála a mesa viria ao chão Já quando temos três pessoas carregando a mesa caso um dos amigos não consiga suportar o carregamento ele pode simplesmente aliviar a força exercida e automaticamente outra pessoa acabará sobrecarregada Se a mesa for constituída de um tampo muito fino flexível ele pode se deformar e não ser capaz de redistribuir o esforço ou até mesmo romper Com isso conseguimos observar que no caso de uma mesa sendo carregada a carga de cada pessoa depende da força de cada pessoa e da rigidez da mesa Analogamente em uma estrutura hiperestática a reação de apoio depende da rigidez do apoioviga Figura 1 Transporte de uma mesa com três pessoas situação análoga a uma viga hiperestática com carregamento distri buído Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra duas situações em que se carrega uma mesa À esquerda com apenas duas pessoas posicionadas nos pontos A e C a mesa se comporta como uma viga biapoiada que está representada exatamente abaixo Como a mesa está biapoiada o peso dela deve se dividir igualmente entre as duas reações de apoio Já na situação à esquerda temos três pessoas carregando a mesa nas posições A B ao centro e C Analogamente embaixo temos a representação de uma viga contínua com três apoios Nessa situação qual seria a distribuição de cargas para cada reação Outra consideração importante é a posição em que cada pessoa está isto é a distância entre elas Caso a pessoa do centro na posição B esteja mais deslocada à esquerda ela aliviará a pessoa em A e carregará a pessoa em C e viceversa Dessa forma é possível perceber que naturalmente o apoio central ficará mais carregado Agora que sabemos que as reações dependem da distância da força de cada um e da rigidez da mesa podemos apresentar uma solução conceitualmente Para avaliarmos o valor de carga de cada pessoa poderíamos remover a pessoa em B deixando a viga biapoiada o que causaria uma deformação na mesa no ponto B para baixo Então avaliemos o quanto de força a pessoa precisa fazer em B para ter uma deformação para cima de tal forma que a soma das deformações seja nula Ao combinarmos essas duas situações teríamos uma situação análoga à inicial com três amigos carregando uma mesa porém conhecendo a força em B dessa maneira é possível calcular a força feita pelos demais amigos Usando o seu Diário de Bordo procure descrever matematicamente os conceitos que foram citados anteriormente Como podemos calcular a deformação no centro da viga Você se lembra da 46 UNICESUMAR equação diferencial da elástica Qual é o valor da deformação no centro Qual força pontual causaria a mesma deformação mas com sentido oposto Sugiro que faça desenhos e esquemas mostrando os conceitos e ideias envolvidas no cálculo Figura 2 Resumo do conteúdo revisto Fonte o autor Descrição da Imagema figura mostra um resumo do conteudo Iniciase com um questionamento Como calcular reações em hiperestáticas grifado em azul com texto em negrito que é encaminhado por uma seta à classificação de estaticidade hipostática isostática e hiperestática grifado em azul Com uma outra seta indicase que faltam equações em estruturas hipe restáticas O que remete à nova pergunta Como conseguir mais sublinhado e grifado em amarelo Abaixo temos uma viga com 4 apoios e uma articulação Gerber Encaminhase para Garantindo que as deformações nos apoios sejam nulas o que pode ser resolvido pelo principio dos trabalhos virutais pela equação diferencial da elástica ou por resistência dos materiais 47 UNIDADE 2 Um dos princípios mais úteis para a solução de estruturas é o Princípio da Superposição dos Efeitos BEER JONHSTON 2011 Esse princípio é válido para as condições da viga de EullerBernoulli isto é no campo das pequenas deformações nas quais as seções permanecem planas após as deformações Figura 3 Nessa situação que é comum na grande maioria das estruturas que analisamos na Enge nharia Civil os efeitos das ações sobre as estruturas podem ser somados separadamente Figura 3 Seções permanecem planas após as deformações a Antes das deformações b Depois das deformações Fonte Beer e Jonhston 2011 p 158 p 234 Descrição da Imagem a figura mostra duas vigas antes situação a e depois da aplicação das forças situação b A primeira viga é ilustrada por uma vista lateral e uma rede quadriculada representando a situação antes das forças aplicadas Ao serem aplicados momentos M e M nas extremidades direita e esqueda do elemento ocorre rotação das seções ao redor de um ponto C situado acima da viga A rede quadriculada passa a representar setores de arco com encurtamento nas fibras superiores e alongamento nas inferiores mas ainda assim as seções permanecem planas apenas rotacionadas ao redor do ponto C A segunda viga tem um formato cilíndrico e sua ilustração é tridimensional Temos uma rede quadriculada ao longo da superficie desse cilindro Na situação b temos a aplicação de momentos torsores T e T nas extremidades direita e equerda do elemento então acontece a rotação das seções ocorrendo distorção nos elmentos quadriculados mas ainda assim as seções permanecem planas apenas rotacionadas ao redor do centro da peça Leet et al 2009 p 198 apontam que o Princípio da Superposição dos Efeitos determina Se uma estrutura se comporta de maneira linearmente elástica a força ou o desloca mento em um ponto específico produzido por um conjunto de cargas atuando simul taneamente pode ser avaliado pela soma superposição das forças ou deslocamentos no ponto específico produzidos por cada carga do conjunto atuando individualmente 48 UNICESUMAR De uma maneira simplista talvez até imprecisa podemos dizer que a soma dos efeitos é igual às ações dos efeitos somadas independentes como a propriedade comutativa e associativa na Matemática Isso se torna especialmente interessante quando analisamos estruturas complexas pois podemos dividilas em estruturas mais simples Ou seja podemos sobrepor uma série de análises simples para resolver uma situação mais complexa Figura 4 Princípio da Superposição dos Efeitos Fonte o autor Descrição da Imagem na figura temos uma adição de tal forma que a viga 1 somada à viga 2 é igual à viga 3 A viga 1 tem um apoio do tipo engaste à sua esquerda e uma carga P concentrada aplicada à direta próxima à extremidade livre A viga 2 tem um apoio do tipo engaste à sua esquerda e uma carga q distribuída ao longo do comprimento da viga até a extremidade livre A viga 3 é composta pela soma de ambas as vigas anteriores isto é ela é engastada e livre com uma carga distribuída q ao longo de seu comprimento e uma carga P concentrada próxima à extremidade livre Evidenciase a aplicação do Princípio da Superposição dos Efeitos Já que os efeitos podem ser somados é pos sível calcular estruturas somando os efeitos de cada carregamento separadamente bas ta compor a estrutura em função da super posição de estruturas mais simples Isso se torna especialmente interessante quando temos estruturas simples e comuns já re solvidas como as vigas notáveis As vigas notáveis são vigas com condi ções de carregamento e geometria que cos tumam se repetir frequentemente Por serem vigas frequentes muitosas engenheirosas costumam memorizar fórmulas para resol ver estruturas desse tipo Existem tabelas mais completas que trazem diversos tipos de carregamento mas na grande maioria dos casos temos vigas biapoiadas e engastadas e livres com cargas distribuídas e concentra das conforme a Figura 5 A fórmula permite que a resolução da viga seja mais ágil sob condições de contorno bem definidas 49 UNIDADE 2 Consideremos a viga biapoiada com balanço da Figura 6 Sabendo que essa viga é isostática como você faria para descobrir o momento fletor positivo no centro do vão A solução inicial seria calcular suas reações de apoio e então descobrir os esforços na estrutura pelo método dos pontos ou das seções Porém usando o Princípio da Superposição dos Efeitos é possível resolvêla de uma maneira mais prática Nós podemos observar que essa viga é uma composição de um trecho biapoiado AB e outro engastado e livre BC ambos com carga distribuída Figura 5 Vigas notáveis que são muito comuns e se repetem com frequência Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra quatro quadros cada um com uma viga notável Da esquerda para a direita descrevese o primeiro quadro se refere a uma viga engastada e livre com uma carga pontual P na extremidade nessa situação a reação de apoio Ra será igual a P e o momento será dado por P vezes o comprimento L No segundo quadro temse uma viga engastada e livre com uma carga distribuída q ao longo do seu comprimento nessa situação a reação de apoio Ra será igual a q multiplicado pelo comprimento L e o momento será dado por q vezes o quadrado do comprimento L dividido por 2 No terceiro quadro temos uma viga biapoiada com uma carga concentrada P distante a do apoio A e b do apoio B Nessa situação a reação em a RA será dada por P multiplicado pela distância b dividido pelo comprimento L e a reação em b Rb será dada por P multiplicado pela distância a dividido pelo comprimento L Ainda referente ao terceiro quadro o momento máximo será dado por P vezes a vezes b dividido pelo comprimento L No quarto e último quadro temos uma viga biapoiada com carga distribuída q ao longo do comprimento L nessa situação as reações de apoio em A e B são iguais e têm valor de q multiplicado pelo comprimento da viga dividido por 2 O momento máximo é dado por q vezes o quadrado do comprimento L dividido por 8 50 UNICESUMAR Figura 6 Exemplo de aplicação do Princípio de Superposição dos Efeitos Obtenção do momento em determinado ponto da estrutura sem a necessidade do cálculo das reações de apoio por meio da superposição dos efeitos de vigas notáveis Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra três vigas sendo que a viga 1 é mostrada como a soma das vigas notáveis viga 2 e viga 3 A viga 1 é uma viga biapoiada de 6 m com um balanço único ao lado direito de 2 m No trecho biapoiado AB temse um carre gamento distribuído de q 8 kNm e no trecho BC em balanço temse um carregamento distribuído de q 12 kNm Na viga 2 temos o trecho biapoiado isolado com carregamento de 8 kNm ao longo de 6 m de comprimento sendo que o momento máximo é dado por ql²8 que é igual a 36 kNm Na viga 3 trecho engastado e livre isolado temos o momento negativo máximo dado por ql²2 que é igual a 24 kNm Assim pela superposição dos efeitos os momentos na viga 1 podem ser descrito como a soma das vigas 2 e 3 Como o momento máximo da viga 3 está sobre o apoio é necessário deslocálo ao centro do vão por semelhança de triângulos é possível obter que o valor é exatamente a metade Assim somase 36 24 2 24k Nm Mostrando ser possí vel localizar o momento fletor máximo sem a necessidade de calcular as reações de apoio usando a superposição dos efeitos Podemos imaginar a viga como uma composição de duas vigas AB BC e resolvêlas separadamente considerando as vigas notáveis No trecho BC teríamos momento máximo de 24kNm no ponto B tracionando as fibras superiores da viga e comprimindo as inferiores M ql M M kNm ² ² 2 12 2 2 24 No trecho AB teríamos momento máximo no centro do vão 36kNm tracionando as fibras inferiores e comprimindo as superiores sentido oposto M ql M M kNm ² ² 8 8 6 8 36 Ao avaliarmos o momento atuante sobre o ponto B 24kNm devemos considerar a continuidade da viga ausência de rótula nessa situação o momento deve diminuir linearmente até o apoio A Como a variação é linear exatamente no centro do vão teremos a metade do valor desse momento Pelo Princípio da Superposição dos Efeitos é possível somar ambos os efeitos das vigas AB e BC assim M kNm 24 2 36 24 21 22 23 51 UNIDADE 2 No centro temos um momento de 24kNm tracionando as fibras superiores das vigas repare que por causa da continuidade da viga o valor do momento no centro do vão diminuiu mostrandose uma opção viável para homogeneizar os esforços e melhorar o desempenho estrutural Vale lembrar que o ponto de momento positivo máximo acaba deslocado do ponto central portanto o valor apresentado anteriormente não é o máximo O Princípio da Superposição dos Efeitos permitiu descobrirmos o valor do momento fletor de uma maneira muito mais prática Esse princípio será muito utilizado nos métodos de solução de estruturas hiperestáticas por isso é fundamental entender sua correta aplicação Agora que você entendeu o Princípio da Superposição dos Efeitos como você pode utilizálo para resolver estruturas que antes eram de resolução tão morosa e complexa Será que você pode usar esse conceito para resolver uma estrutura hiperestática Como Para uma estrutura ser considerada estática é necessário que os vínculos possam produzir um sistema de forças capaz de equilibrar as ações e o carregamento Quando procuramos determinar essas reações no apoio usamos das condições de equilíbrio da estática garantindo que o somatório de forças agindo sobre a estrutura seja nulo Em uma estrutura hiperestá tica não é possível determinar as suas reações de apoio usando apenas as equações de equilíbrio pois temos mais reações incógnitas do que equações Nessa situação é necessário usar outras condições de contorno que possam fornecer equações para a solução do sistema linear São condições que precisam ser satisfeitas para garantir compatibilidade nas deformações da estrutura que são as condições de compatibilidade A Figura 7 mostra uma barra vinculada a ambas as ex tremidades portanto hiperestática submetida a um car regamento axial A princípio não é possível determinar os esforços internos nem reações em cada extremidade da barra visto que sobram incógnitas no problema A solução dessa situação é empregar uma condição de compatibilidade em que podemos separar o problema em dois problemas simples e depois compatibilizálos pela superposição dos efeitos 52 UNICESUMAR Neste podcast conversaremos sobre os conceitos e as soluções usadas para a solução de estruturas estaticamente indetermina das É interessante que você possa ouvilo com calma acompa nhando a discussão sobre o uso dessas técnicas frente aos pro gramas e softwares computacionais utilizados hoje em dia Com os problemas isolados teremos um encurtamento na barra BC e um alongamento na barra AB e numericamente ambos precisam ser compatíveis isto é iguais Assim o problema passa a determinar os valores de P1 e P2 que satisfaçam as condições de compatibilidade d d AB BC A AB B BC P L EA P L EA 1 2 Dessa maneira é possível obter os valores de P1 e P2 já que a soma de P P P 1 2 Ou seja com as condições de compatibilidade é possível calcular uma estrutura estaticamente indeterminada P A B C La Lb P1 A B La 𝛿𝐴𝐵 B C Lb P2 𝛿𝐵𝐶 P2 P1 Descrição da Imagem a figura mostra uma barra restringida em ambos os la dos A e B com uma carga concentrada P da esquerda para a direita posiciona da no ponto central B A barra tem uma seção maior em BC trecho de compri mento Lb quando comparada ao tre cho AB de comprimento La Abaixo da barra temos uma divisão dela entre os trechos AB e BC Mostrase que parte da carga P valor de P1 será aplicada no trecho AB que provocaria um alon gamento delta AB Temos que o trecho BC estará submetido a um esforço P2 de compressão que provocaria um encurtamento delta BC na barra mas como as barras estão conectadas os valores de P1 e P2 precisam satisfazer a compatibilidade entre os deslocamen tos isto é que o encurtamento delta BC seja igual a alongamento delta AB Figura 7 Condições de compatibilidade em uma barra birestringida submetida a carregamento axial Fonte o autor 24 53 UNIDADE 2 Toda ação ou carregamento agindo sobre uma estrutura aplica a ela uma certa quantidade de energia de deformação em função da magnitude e natureza das solicitações Semelhantemente ao se deformar toda a estrutura absorve energia oriunda do carregamento na forma de esforços internos e deformação Figura 8 Energia interna de deformação Fonte adaptada de Sussekind 1980 Descrição da Imagem a figura mostra uma viga em paralelo a uma mola Ao aplicar uma força tanto na mola quanto na viga ambas se deformam absorvendo energia A viga e a mola estão representadas em seu estado deformado abaixo das anteriores Para entender esse conceito pense em uma mola quando esticada a mola alongase e absorve uma certa energia elástica em função da carga de tração Quando liberada a mola libera essa energia pre viamente absorvida para o meio externo retornando à sua posição original Imaginemos a aplicação de uma força P sobre essa mola e sobre uma estrutura qualquer O valor de P parte de zero e sofre in crementos infinitesimais até atingir o valor Pi gráfico da Figura 8 Nessa situação o trabalho realizado será a integral da força P pelo deslocamento dd ao longo da variação da força SUSSEKIND 1980 τ δ τ τ i i i i Pd PkdP kP Pi Pi 0 0 1 2 ² Em que P é a carga aplicada em questão dd é o incremento infinitesimal de deslocamento em função da carga d d kdP Na Figura 8 temos o gráfico de carga por deformação no qual podemos observar que kP i d então podemos escrever 25 54 UNICESUMAR τ δ i i P i U 1 2 Em um sistema conservativo todo o trabalho realizado será convertido em energia interna Assim temse o Teorema de Clapeyron o qual diz que a energia de deformação é metade do produto entre força e deslocamento O trabalho realizado sobre a estrutura será convertido em energia de de formação que será absorvida na forma de deformações e esforços internos Podemos então entender que a energia de deformação interna será dada pela soma da energia de deformação de cada esforço em função de seu respectivo deslocamento U Md Ndl Vdh Td int θ ϕ Em que Mdq corresponde ao momento fletor e seu respectivo deslocamento infinitesimal dq Ndl corresponde ao esforço normal e seu respectivo deslocamento infinitesimal dl Vdh corresponde ao esforço cortante e seu respectivo deslocamento infinitesimal dh Tdj corresponde ao esforço torsor e seu respectivo deslocamento infinitesimal dj Também devemos entender que o trabalho pode se converter em outras formas de energia interna além da energia elástica seja energia térmica química cinética embora para o cálculo de es truturas essas situações sejam incomuns Na realidade para a maior parte das estruturas grande parte da energia de deformação se concentrará no momento fletor vigas e no esforço normal treliças sendo razoável desprezar as demais deformações Já que o trabalho realizado por uma força externa é convertido em energia interna de deformação Equação é possível obter a deformação de pontos de interesse considerando uma carga unitária virtual aplicada nesse ponto que provoca um trabalho virtual sobre a estrutura U U P Md Ndl Vdh Td ext int i i δ θ ϕ Ao aplicarmos uma carga virtual P 1kN sobre uma estrutura submetida a um carregamento real esta sofrerá um trabalho virtual 1di que no caso de a carga ser unitária é numericamente igual à deformação da estrutura naquele ponto naquela direção 1 1 δ θ ϕ δ θ θ δ i i i Md Ndl Vdh Td Md d M x EI dx M M x EI dx 26 27 28 29 55 UNIDADE 2 Em que M é o momento relativo ao carregamento virtual unitário M x é o momento relativo ao carregamento real ao longo do comprimento x da peça EI é a rigidez à flexão da peça A Figura 9 ilustra o conceito À esquerda temos um carregamento qualquer real atuando sobre uma viga Quando a estrutura se deforma temos a realização de trabalho por esse carregamento armaze nado na forma de energia interna em função dos esforços e deformações Esse trabalho realizado é numericamente igual à situação mostrada à direita em que se impõe um deslocamento virtual igual à deformação real considerando uma carga unitária virtual aplicada no ponto e direção do deslocamento que se pretende calcular Estabelecendo a igualdade entre o trabalho realizado nas duas situações virtual e real é possível calcular o deslocamento conforme a equação Figura 9 Princípio dos Trabalhos Virtuais Fonte o autor Descrição da Imagem a figura representa uma viga em quatro situações distintas na primeira linha temos uma viga biapoiada submetida a um carregamento qx real qualquer abaixo temos as deformações reais causadas por esse carregamento à direita temos a mesma viga agora submetida a um carregamento virtual unitário ao centro da viga de cima para baixo abaixo dela temos um deslocamento virtual imposto a essa carga unitária cujo valor é igual ao da deformação real Nessa situação podemos calcular o deslocamento pelo princípio dos trabalhos virtuais A figura apresenta ainda a equação 29 De maneira resumida Soriano e Lima 2006 apontam que o uso do Princípio dos Trabalhos Virtuais PTV consiste na aplicação de uma força virtual unitária no ponto e na direção de interesse para se calcular os deslocamentos ali desenvolvidos 56 UNICESUMAR Para um melhor entendimento desses conceitos convido você para resolvermos um exercício deter minando a deformação de uma viga pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais A Figura 10 mostra uma viga biapoiada de EI 2 104 kNm ² em que se pede para determinar o deslocamento no centro do vão Figura 10 Exemplo de deformações em viga pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais à esquerda temos a Figura a referente ao carregamento real à direita temos a Figura b referente ao carregamento unitário para uso do PTV Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma viga biapoiada ABC com apoios em A e C submetida a um carregamento de 8 kNm à direta Figura 10 a temos a mesma viga mas submetida a um força virtual P barra de valor unitário no centro da viga de cima para baixo Temos então a representação do diagrama de corpo livre de ambas as vigas com suas respectivas reações de apoio bem como a indicação de uma seção fictícia de corte distante x do apoio C para cálculo dos esforços Abaixo ainda temos os momentos fletores solicitantes da estrutura à esquerda uma parábola positiva de concavidade negativa lembrando que o positivo é representado para baixo no momento fletor e à direita Figura 10 b um diagrama formado por dois triangulos Temos também as equações 210 e 211 Usando as vigas notáveis da Figura 5 podemos resolver a viga de carregamento real Figura 10 a rapidamente Temos que ambas as reações de apoio são iguais R R ql kN A C 2 6 8 2 24 Assim podemos escrever a equação dos momentos fletores no trecho BC como M x x x dir ² 24 8 2 Consultando a Figura 5 analogamente para o carregamento virtual Figura 10 b teremos R R Pb l Pa l kN A C 1 3 6 0 5 e podemos escrever a equação dos momentos fletores no trecho BC M x x dir 0 5 Para calcularmos as deformações precisamos fazer a integral do produto dos diagramas de momento ao longo do comprimento da estrutura isto é aplicar a equação Como a estrutura é simétrica temos que M M x EI dx M M x EI dx AB BC bastando resolver uma única integral e multiplicála por dois 210 211 57 UNIDADE 2 d d d d i B BC AB B BC M M x EI dx M M x EI dx M M x EI dx M M x EI dx 2 B B x x x EI dx EI x x dx EI x 2 0 5 24 4 2 12 2 2 12 3 0 3 3 0 3 3 ² ² d 2 4 2 2 10 67 5 0 0 00675 6 75 4 0 3 4 x m mm B d Assim as deformações obtidas no centro da viga foram de 675 mm o que também está de acordo com a fórmula usada na flecha imediata de vigas biapoiadas d 5 384 5 8 6 384 2 10 6 75 4 4 4 ql EI mm Será que as integrais desenvolvidas anteriormente podem ser resolvidas de uma maneira um pouco mais prática Você deve se lembrar que sim Na tentativa de otimizar o processo foram desenvolvidas tabelas para o cálculo do valor das integrais considerando diagramas de momento específicos Essas integrais ficaram conhecidas como Tabelas de KurtBeyer e facilitam muito a aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais 212 Figura 11 Tabelas de integrais para retas de comprimento L e inércia constante Fonte adaptada de Sussekind 1980 58 UNICESUMAR Para usar a tabela é muito simples basta localizar na primeira linha o diagrama de momento fletor unitário M e localizar na primeira coluna o diagrama de momentos fletores relativos ao carregamento real A tabela então apresenta a fórmula da integral já combinando ambos os diagramas Você se lembra de como usar a Tabela de KurtBeyer para fazer a combinação dos diagramas Tente refazer o exercício anterior usandoa Existem outros princípios e teoremas que são comple mentares ao Princípio dos Trabalhos Virtuais PTV São teoremas que justificam a aplicação de métodos de solução de estruturas O primeiro teorema que apresentaremos é o de Betti cujo enunciado está citado a seguir O trabalho virtual produzido por um sistema de forças em equilíbrio quando se desloca devido às deformações pro duzidas por um outro sistema de forças em equilíbrio é igual ao trabalho vir tual produzido por este segundo sistema de forças quando se desloca devido as deformações produzidas pelo primeiro sistema SUSSEKIND 1980 p 79 Isso implica dizer que matematicamente podemos escrever a situação como P P i ik k ki d d Em que Pi corresponde ao carregamento no ponto i Pk corresponde ao carregamento no ponto k dik corresponde ao deslocamento no ponto i devido à deformação causada pelo carregamento no ponto k dki corresponde ao deslocamento no ponto k devido à deformação causada pelo carregamento no ponto i 213 59 UNIDADE 2 Se aplicarmos o Teorema de Betti para a condição específica de P P i k e que sejam uma única força e unitária teremos a expressão matemática do Teorema de Maxwell P P i ik k ki ik ki d d d d 1 1 A Figura 12 exemplifica a igualdade estabelecida pelo Teorema de Maxwell em que o deslocamento unitário no ponto e na direção do esforço causado por um segundo esforço unitário é igual ao deslocamento unitário causado pelo primeiro esforço unitário no ponto e na direção do esforço SUSSEKIND 1980 214 Segundo Sussekind 1980 p 82 o Teorema de Castigliano é enunciado da seguinte maneira a derivada parcial da energia real de deformação em relação a uma das cargas aplicadas é igual a defor mação elástica segundo a direção desta carga Algebricamente pode ser representado pela equação a seguir que ao ser desenvolvida podemos obter a equação d d d U P U M M P EI dx P M M P EI dx M M P P 1 EI dx Figura 12 Teorema de Maxwell Fonte adaptada de Sussekind 1980 Descrição da Imagem a figura mostra quatro situações de uma viga biapoiada com balanço à direita Temos na primeira linha vigas que representam o estado de deformações e na linha abaixo temos o estado de caregamento É possível ob servar a igualdade do deslocamento no ponto k causado por um carregamento i ao deslocamento no ponto i devido ao carregamento k Evidenciando o Teorema de Maxwell 215 60 UNICESUMAR Em que d corresponde à deformação no ponto e direção da carga P M P corresponde ao momento fletor na estrutura com a presença da carga P M corresponde ao momento fletor na estrutura sem a presença da carga P EI corresponde à rigidez à flexão do elemento Então aplicaremos os conceitos do Teorema de Castigliano no cálculo de deformações em uma viga biapoiada Figura 13 a mesma usada como exemplo no PTV Nesse exemplo procurase a deformação no centro da viga B portanto aplicase uma carga P exatamente nesse ponto de in teresse na direção e sentido das deformações a serem calculadas Então resolvese a estrutura para o carregamento e para o carregamento acrescido da carga P Figura 13 Exemplo de deformações em viga pelo Teorema de Castigliano Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma viga biapoiada de 6 m de vão com 8 kNm de carga distribuida mesma geome tria da viga da Figura 10 A única diferença é que temos uma carga concentrada P em azul no ponto B ao centro da viga em que se pretende calcular a deformação Temos então o diagrama de corpo livre com as reações de apoio Ra e Rc e o carregamento Abaixo temos uma ilustração do diagrama de momento fletor uma parábola abaixo da linha horizontal de concavidade para cima A figura ainda mostra a equação 216 referente ao momento fletor incluindo a carga P 61 UNIDADE 2 Mas como podemos utilizar o PTV e o Teorema de Castigliano para calcular estruturas estaticamente in determinadas Como essas ferramentas podem ser úteis no cálculo estrutural Pela superposição dos efeitos temos as reações de apoio com valores de R R ql P P P A C 2 2 6 8 2 2 24 2 assim as equações do momento fletor no trecho BC ficam com o valor de M x P x x Px M x x x dir dir ² ² 24 4 2 24 4 Aplicandose o Teorema de Castigliano temos d d M M P P EI dx x x P x x Px ² ² 1 24 4 24 4 2 ² ² ³ 1 24 4 2 1 12 2 1 1 2 EI dx x x x EI dx x x EI dx EI d d d ² ³ ³ 12 2 2 2 10 12 3 2 4 1 10 67 5 0 0 3 4 4 0 3 4 x x dx x x d d 00675 6 75 m mm Observe que o resultado obtido está de acordo com os valores do Princípio dos Trabalhos Virtuais Percebese que tanto o PTV quanto o Teorema de Castigliano são excelentes ferramen tas a serem usadas para cálculo de deformações em estruturas 216 217 Em estruturas hiperestáticas temos reações extras ao equilí brio situação na qual temos mais incógnitas do que equações da estática Portanto o cálculo do valor das reações precisa de 62 UNICESUMAR outras equações além das equações da estática Nessa situação preci samos encontrar condições de compatibilidade que possam ser úteis para resolver a estrutura assim como o problema ilustrado na Figura 7 Isto é é feito o diagrama de corpo livre de uma estrutura e então procurase garantir que em determinados pontos sejam compatibili zadas as deformações com as condições de contorno A Figura 14 traz algumas condições de compatibilidade que po demos ter em estruturas Para o apoio do tipo engaste temos que as deformações verticais e horizontais precisam ser nulas nesse ponto assim como a rotação Para apoios fixos temos a restrição dos des locamentos na vertical e horizontal No caso de apoios fixos e barras contínuas podemos observar a continuidade de tal forma que o ângulo de rotação da seção é o mesmo antes e depois do apoio Figura 14 Condições de compatibilidade Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra seis condições de compatibilidade referen tes aos vínculos rígidos Na primeira linha temos um vínculo do segundo gênero mostrando que os deslocamentos horizontais devem ser nulos um vínculo do primeiro gênero mostrando que os deslocamentos verticais devem ser nulos e um vínculo do primeiro gênero mostrando que a rotação à esquerda do apoio deve ser igual à rotação à direita dele Na segunda linha temos apoios do tipo engaste o primeiro indicando que deslocamentos horizontais devem ser nulos o segundo mostrando que os deslocamentos verticais devem ser nulos e por fim o terceiro mostra que as rotações no apoio devem ser nulas formando um ângulo ortogonal entre barra e o engaste 63 UNIDADE 2 Para resolver uma estrutura hiperestática usando o PTV ou Castigliano precisamos primeiro estabelecer alguma condição de compatibilidade da estrutura que possa complementar as equações da estática Em seguida calculase a deformação da estrutura para seu carregamento e então achase o valor de reação de apoio que provoque uma deformação oposta a fim de restituir a condição de compatibilidade naquele ponto Aplicaremos esses conceitos a um exemplo a fim de tornálos mais claros A viga da Figura 15 é composta por três apoios e está submetida a um carregamento distribuído de 8 kNm Ao observar a figura fica evidente que a viga é hiperestática e que é necessária uma nova condição de compatibilidade para resolvêla Consi deramos então que no ponto B as deformações verticais precisam ser nulas uma vez que temos o apoio Pela superposição dos efeitos imaginaremos a estrutura como uma composição de uma viga biapoiada com carregamento distribuído para baixo e uma viga biapoiada com uma reação de apoio em B VB Existe um valor para VB tal qual a deformação para baixo causada pelo carregamento é balanceada pela deforma ção para cima da reação ou seja somandose ambas temos que no apoio dB 0 o deslocamento é nulo Figura 15 Princípio da superposição dos efeitos e condições de compatibi lidade para solução de uma viga hipe restática Fonte o autor Descrição da Imagema figura mostra uma viga 1 contínua com dois vãos AB de 3 metros e BC de 3 metros sobre todos temos um carregamento de 8 kNm A geometria é como a da Figura 10 porém com a adição de um apoio em B dividindoa em dois vãos de 3 metros A viga 1 pode ser obtida pela soma das vigas A e B a qual estão representadas abaixo da viga 1 Na viga A temos o diagrama de corpo livre consi derando a ausência do apoio B situação em que temos uma viga biapoiada com um deslocamento delta B em função do carrega mento 0 para baixo igual à Figura 10 e Figura 13 Nessa si tuação o deslocamento já fora calculado A viga 2 também isostática sem apoio em B é uma diagrama de corpo livre com uma força VB de cima para bai xo localizada no ponto B Com excessão das reações de apoio temos apenas a ação da força VB que representando a reação de apoio B deve produzir uma de formação vertical para cima delta B em função de VB Procurase o valor de VB para o qual as de formações satisfaçam a condição de compatibilidade isto é deslo camentos verticais nulos delta igual a 0 Dessa maneira a viga 1 é composta pela superposição dos efeitos das vigas A e B 64 UNICESUMAR Inicialmente devese calcular a deformação no centro do vão da viga A no ponto B Essa situação já foi abordada pelo PTV e pelo Teorema de Castigliano Temse que dB mm 0 6 75 Deve se então calcular o valor de VB que provoque uma deformação na viga B igual a dB VB mm 6 75 Assim é possível garantir as condições de compatibilidade dB 0 Aplicandose o PTV para o cálculo do valor de VB temos d 6 75 10 6 75 10 0 5 2 6 7 3 3 m M M x EI dx m x V x EI dx B 5 10 2 2 2 67 5 10 2 2 10 4 3 0 3 4 4 0 3 ² m EI x V x dx m V x dx B B 67 5 12 9 4 30 3 0 3 V x V V kN B B B O valor encontrado para a reação de apoio central foi de V B 30kN sendo que com a adição desse terceiro apoio as cargas nos apoios A e B diminuíram para V V kN A C 9 De cer ta forma isso responde à pergunta inicial sobre em qual região você deveria se posicionar para fazer menos força ao carregar a mesa Bom podemos dizer que nos apoios externos desen volvese uma força menor de reação portanto você fará menos força E aoà engenheiroa calculista de estrutura podemos dizer o oposto que geralmente os pilares e apoios centrais aca bam mais carregados e precisam ser dimensionados para isso Os princípios e metodologias aqui apresentados são funda mentais para a solução de estruturas hiperestáticas Alguém pode até argumentar que atualmente as contas são feitas por computadores mas isso de maneira alguma exime oa en genheiroa de sua responsabilidade profissional Assim oa engenheiroa deve conhecer o comportamento estrutural e saber as bases matemáticas envolvidas no cálculo de estruturas 218 65 UNIDADE 2 Convido você a relembrar os conceitos apresentados nesta unidade por meio da resolução de uma estrutura hiperestática usando a su perposição dos efeitos as condições de compatibilidade e o Princí pio dos Trabalhos Virtuais Assista ao vídeo acessando ao QR Code O Princípio dos Trabalhos Virtuais junto com o Teorema de Castigliano são as bases conceituais para a reso lução de estruturas pelo Método das Forças e serão muito utilizados nas nossas próximas aulas O Princípio da Superposição dos Efeitos é um grande aliado para engenheirosas calculistas e para engenheirosas de obra pois ele permite obter rapidamente os esforços em uma viga sem a necessidade de calculála por completo Reitero que esses conceitos têm a finalidade de desenvolver em você alunoa a capacidade de olhar para uma estrutura de maneira sistêmica visualizando seu comportamento estrutural habilidade imprescindível a uma boma engenheiroa 66 Nesta unidade mostramos uma abordagem para a solução de estruturas hiperestáticas Mostra mos os princípios básicos e os métodos usados para cálculo de deformações em estruturas Você aprendeu a usar o Princípio da Superposição dos Efeitos bem como suas limitações e campos de validades Conheceu o Princípio dos Trabalhos Virtuais e o Teorema de Castigliano suas bases conceituais e a aplicação desses métodos no cálculo de deformações em estruturas Você pode entender como calcular uma estrutura estaticamente indeterminada usando as Con dições de Compatibilidade e a superposição dos efeitos Ao calcular as deformações da estrutura relativas ao carregamento e o valor de força reação de apoio que provoque a mesma defor mação mas em sentido contrário garantirá assim as Condições de Compatibilidade Acredito que esses conceitos e conteúdos contribuíram um pouco para a sua formação profis sional e entendimento sobre estruturas A fim de fixálos à sua bagagem conceitual fomentando sua formação profissional sugiro que você faça um mapa mental resumindo os assuntos aqui estudados relembrando e descrevendo cada detalhe já apresentado MAPA MENTAL 68 1 O deslocamento em um ponto de uma estrutura é igual à primeira derivada parcial da energia de deformação em relação a uma ação força ou momento que atua no ponto e na direção do deslocamento O conceito expresso na afirmação anterior se refere ao a Princípio dos Trabalhos Virtuais b Teorema de Castigliano c Princípio da Superposição dos Efeitos d Método dos Deslocamentos e Teorema de Cross 2 O cálculo dos deslocamentos em estruturas é muito importante para a avaliação de suas deformações em estado limite de serviço Uma das soluções para se calcular as deformações em estruturas é usar o Princípio dos Trabalhos Virtuais Avalie as afirma ções a respeito desse princípio I O trabalho que uma força externa realiza ao deformar uma estrutura é igual à energia interna absorvida pelos esforços internos II A energia interna de um corpo é dada pela soma das energias de deformação de todos os esforços além de outras parcelas de energia III O Princípio da Superposição dos Efeitos não é válido para a aplicação do Princípio dos Trabalhos IV Para calcular um determinado deslocamento pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais devese aplicar uma carga unitária na posição e direção do deslocamento Assinale a alternativa em que se tem o julgamento correto das afirmações a Está correta apenas a afirmação I b Está correta apenas a afirmação III c Estão corretas as afirmações I II e III d Estão corretas as afirmações I II e IV e Todas estão corretas 3 Complete as lacunas do trecho referente ao Teorema de Clapeyron Considerando uma força P aplicada sobre em uma estrutura ela realiza rá um trabalho em função de suas deformações e deslocamentos Essa condição representar estruturas reais pois o processo construtivo é relativamente lento e sofre incrementos graduais à medida que se constrói Segundo o Teorema de Clapeyron nessa situação a é do produto entre força e deslocamento 69 a Incrementos lentos e graduais costuma energia de deformação metade b Incrementos rápidos não costuma energia de deslocamento dobro c Incrementos rápidos não costuma energia de deformação metade d Incrementos lentos e graduais costuma energia de deformação metade e Incrementos lentos e graduais costuma energia de deslocamento dobro 4 Em estruturas isostáticas podemos aplicar o Princípio dos Trabalhos Virtuais para obter os deslocamentos em determinados pontos Outra maneira para se obter esses deslocamentos é pelo Teorema de Castigliano Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma viga engastada e livre com 4 metros de balanço e com uma carga de 150 kN aplicada na sua extremidade Calcule a deformação na extremidade livre da viga anterior considerando E kN m 2 0 108 2 e I m 5 10 4 4 Assinale a alternativa com o valor correto a 0023 m para baixo b 0032 m para cima c 0032 m para baixo d 0053 m para direita e 0053 m para baixo 5 O Princípio dos Trabalhos Virtuais é uma ferramenta muito prática para o cálculo de deformações em estruturas Além disso é possível determinar as reações de apoio em uma estrutura hiperestática procurandose o valor da reação de apoio em que as deformações do apoio sejam compatíveis com o vínculo 70 Considerando a viga da figura anterior e que EI kN m 1 104 2 calcule a reação de apoio no ponto B a 15 kN b 20 kN c 25 kN d 30 kN e 35 kN Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma viga engastada em A e apoiada em B com 4 metros de vão sobre os quais se distribui um carregamento uniforme de 10 kNm 3 Nesta unidade você aprenderá a resolver estruturas hiperestáticas pelo Método das Forças Esse método é muito importante e muito conhecido no meio técnico sendo fundamental compreendêlo durante a sua formação como engenheiroa civil Para resolver uma estrutura pelo Método das Forças você deverá usar conceitos dos Princípios dos Trabalhos Virtuais da Superposição dos Efei tos e das Condições de Compatibilidade Nessas condições você aprenderá o procedimento usado para calcularmos as forças que restauram as condições de compatibilidade inicial da estrutura Em outras palavras resolveremos estruturas hiperestáticas Conhecer o comportamento dessas estruturas é fundamental Desejolhe bons estudos Método das Forças Me Gabriel Trindade Caviglione 72 UNICESUMAR Você já se perguntou como uma engenheiroa decide sobre o projeto de uma estrutura Quais decisões são tomadas dentro de um escritório de cálculo a fim de otimizar um projeto Como que determinada estrutura deve se comportar se removermos um de seus pilares E se adicionarmos um pilar extra Como os conceitos de resolução de estruturas podem ser usados a fim de elaborar um projeto mais consciente e de melhor qualidade Para uma concepção estrutural mais aprimorada oa engenheiroa precisa entender bastante de comportamento estrutural Muitas vezes tal percepção vem apenas de engenheirosas mais experientes e especialistas voltados ao cálculo e dimensionamento de estruturas Evidentemente é função de todos nós evitar custos desnecessários e procurar melhorar o comportamento da estrutura de uma edificação Para fazêlo não existe outra maneira senão o estudo de diversas soluções e comparação entre elas Nesse ponto a experiência pode poupar um pouco de tempo Nesse sentido o mercado tem procurado profissionais que consigam transitar entre sua função estritamente técnica cálculo de uma estrutura e uma visão global da edificação enxergando os custos a viabilidade construtiva os impactos ambientais de seu projeto etc Com o advento dos computadores e dos programas de cálculo estrutural a capacidade de uma engenheiroa de concepção estrutural se tornou mais importante do que sua capacidade de realizar as contas Por isso hoje é fundamental sempre analisar diferentes concepções estruturais visando reduzir os custos de uma edificação sem reduzir sua confiabilidade e segurança Para entendermos melhor o comportamento de estruturas quero convidáloa a se imaginar em uma situação hipotética Nessa situação você está trabalhando em um projeto estrutural auxiliando o engenheiro Luiz que ainda é um pouco inexperiente a desenvolver o projeto de uma residência em concreto armado Figura 1 Engenheiros decidindo sobre um projeto Descrição da Imagem a figura mostra uma mulher sentada apontando para um computador com uma caneta Na tela do compu tador vemos um projeto de engenharia ao lado dela um homem de pé olha também o computador aparentemente ouvindoa 73 UNIDADE 3 Ao desenvolver o projeto uma das vigas acaba por ter uma taxa de armadura muito alta em função da grande magnitude de momentos fletores positivos Visando compatibilizar o projeto com os custos previstos em fase de orçamento Luiz está procurando alguma solução para otimizar o projeto da viga e minimizar os custos Exausto da procura por uma solução ele resolve solicitar ajuda a você como podemos reduzir os esforços agindo na viga baldrame VB106 Figura 2 Viga VB106 solução para homogeneização dos momentos fletores Fonte o autor Descrição da Imagem na figura temos a viga VB106 em um projeto estrutural uma prancha de formas À esquerda temos na Figura 2 a uma viga biapoiada de seção 14x50 com seu esquema estático desenhado abaixo mostrando um vão de 6 m e um carregamento de 8 kNm resultando em um momento positivo grande À direita temos na Figura 2 b a mesma viga porém com a adição de um apoio no centro representado pelo bloco B02 nessa situação temos a representação do esquema estático da viga e o seu diagrama de momento fletor com momentos positivos e negativos mais homogeneizados Você prontamente lembrase que vigas hiperestáticas tendem a ter menores esforços pois a conti nuidade permite que esses momentos tenham valores mais homogêneos Então você sugere a adição de uma estaca estaca e bloco B02 dividindo o vão da viga ao meio Embora seja uma solução interessante ainda é preciso avaliar se a economia na viga é significativa ao ponto de se valer da execu ção de uma estaca nova Quando se tem a adição da estaca temos uma economia do aço da viga mas por outro lado gastase mais concreto na fundação bloco e estaca ou seja precisamos avaliar se o custo da fundação é maior do que o custo de uma armadura mais pesada na viga Devese avaliar também que a presença da nova estaca representada pelo apoio no ponto B modifica as reações de apoio em A B e C o que deve conduzir a fundações mais econômicas para os apoios A e C Considerando uma composição de preços unitários Luiz fez algumas contas e chegou à conclusão de que a adição de uma estaca extra só seria viável se o aço usado na viga fosse menor do que a metade da taxa atual Nessas condições considere que para haver uma redução da taxa de aço pela metade é necessário que o momento seja reduzido pelo menos pela metade 74 UNICESUMAR Se o momento fletor se reduzir à pelo menos metade então é viável o uso da estaca isto é a presença da estaca economizará aço da viga Se o momento fletor se reduzir a um valor maior do que a meta de então não é viável o uso da estaca isto é é mais barato fazer a viga com uma taxa de aço maior Assim avalie a viga com um apoio central novo e determine quanto a presença desse apoio pode reduzir nos esforços da viga analisando se é ou não viável a utilização da estaca Como a presença desse apoio extra deve influenciar no comporta mento da viga Será que os momentos fletores aumentarão E as reações no apoio como ficam Com o apoio extra qual é a estática classificação da viga Conseguimos resolver ela pelos conceitos já aprendidos na unidade referente ao Princípio dos Trabalhos Virtuais Para saber como essa viga se comportará na presença de um apoio extra precisamos resolver um problema hiperestático Utilizaremos o Método das Forças para resolver a viga hiperestática Nesse método estamos procurando as forças referente às reações de apoio que possam restituir o deslocamento que a viga teria se fosse isostática A ideia então é remover um dos apoios da estrutura transformandoa em isostática Então imaginemos o comportamento da viga calculan do qual seria a deformação dela caso o apoio removido não existisse Vamos então superpor essa viga isostática com o carregamento real frente à mesma viga isostática porém com uma força que representa a reação do vínculo removido O problema reside em calcular o valor da força que provoque uma deformação igual à deformação da viga com carregamento real recuperando a condição de compatibilidade do apoio Uma vez que você souber o valor das reações extras o proble ma fica reduzido a um problema isostático e é possível calcular as demais reações e esforços internos Com os momentos fletores é possível comparar seus valores máximos frente aos valores da viga biapoiada e então avaliar se a redução foi significativa ou não Caso a redução seja maior do que os 50 estabelecidos pelo engenheiro Luiz devese fazer a adição da fundação no projeto caso a redução seja menor do que os 50 a adição não deve ser feita A solução de adição de uma estaca é apenas uma das soluções que podemos adotar Quais outras ideias você acredita que poderiam re duzir o esforço na viga Registre essas ideias no seu Diário de Bordo Procure desenvolver em si mesmoa a capacidade de conceber es 75 UNIDADE 3 truturas mais econômicas Será que se mexermos na posição dos apoios A e C conseguimos evitar a adição de uma estaca e ainda assim reduzir os esforços Imagine o diagrama de momento fletor esboceo Será que consigo conceber uma grelha para aliviar esse esforço presente na viga Será que é possível engastar a minha viga nas estacas Quais efeitos isso teria perante o diagrama de momento fletor Sugiro você que faça desenhos e esquemas mostrando os conceitos e ideias envolvidos no cálculo Procure detalhar como você pode calcular o valor do momento fletor nessas situações Buscando resolver a situação apresentada pelo engenheiro Luiz você precisa calcular uma viga hiperestática O cálculo de estruturas hiperestáticas envolve a obtenção de outras equações que somadas às equações de equilíbrio da estática permitem resolver a estrutura Uma das soluções mais usadas em estruturas é o Método das Forças Esse método se baseia na conservação de energia em que o trabalho causado por uma ação e sua respectiva deformação na estrutura é convertido em energia interna Esse método é válido para a viga de EullerBernoulli situação em que os deslocamentos e deformações são pequenos e na qual as seções permanecem planas após as deformações A aplicação do método precisa respeitar as leis constitutivas dos materiais e as condições de equilíbrio básicas Tendo em mente essas condições de contorno é possível aplicar o método das forças para obter as reações de apoio de estruturas hiperestáticas Para tanto no Método das Forças a abordagem é obter os valores de forças atuantes cujos deslo camentos associados recuperem as condições de compatibilidade com os vínculos Para entendermos melhor consultemos o pórtico três vezes hiperestático da Figura 3 Nessa situação são necessárias três equações extras além das de equilíbrio Σ Σ Σ F F M H V 0 0 0 para determinar seu comportamento Imaginemos que a Figura 3 a possa ser representada como a Figura 3 b uma 76 UNICESUMAR vez que não há alteração alguma do ponto de vista estático SUSSEKIND 1980 Rompese alguns dos vínculos da estrutura liberando três deslocamentos correspondentes a três incógnitas de forças a serem determinadas Figura 3 Condições equivalentes de estaticidade em pórtico três vezes hiperestático Fonte Sussekind 1980 p 107 Descrição da Imagem a figura mostra dois pórticos planos À esquerda um pórtico três vezes hiperestático apoiado por dois engastes nos pontos A e B À direita um pórtico isostático com apoio fixo em A e móvel em B ambos acrescidos de X1 X2 e X3 incógnitas que garantem a condição de compatibilidade estática dos pórticos Dessa maneira é possível reduzir a estrutura hiperestática numa dada estrutura isostática chamada de sistema principal na qual introduzimos esforços X X 1 2 e X3 para preservar a compatibili dade estática Conforme Sussekind 1980 podemos entender que a estrutura hiperestática H é dada pela superposição do sistema principal com carregamento 0 com hiperestático X1 1 com hiperestático X2 2 e com hiperestático X3 3 77 UNIDADE 3 Figura 4 Estrutura hiperestática e sistema principal usado na sobreposição dos efeitos Fonte adaptada de Sussekind 1980 Descrição da Imagem a figura descreve o sistema principal de um pórtico com dois apoios engastados conforme o pórtico da Figura 3 Agem três hiperestáticos X1 X2 e X3 referentes aos momentos dos apoios e à força horizontal Esse pórtico será dado pela superposição dos efeitos do carregamento do hiperestático X1 do hiperestático X2 e do hiperestático X3 Na figura ele é representado como um simbolo de igualdade e um colchetes somando cada um desses efeitos Os hiperestáticos estão como que mutilplicando os pórticos e seus deslocametnos unitários referentes a cada hiperestático atuante Ao sobrepor todos esses efeitos é possível escrever um sistema linear de equações de compatibilidade elástica cuja solução corresponde aos hiperestáticos que satisfizerem todas as condições simultanea mente Nesse caso temos a representação algébrica ilustrada na equação 31 d d d d d d d d d d d 10 11 1 12 2 13 3 20 21 1 22 2 23 3 30 31 1 3 0 0 X X X X X X X 2 2 33 3 0 X X d 31 78 UNICESUMAR Em que d10 d20 e d30 referemse aos deslocamentos nos pontosdireções 1 2 e 3 em função do carregamento externo que é o caso 0 X X 1 2 e X3 referemse aos hiperestáticos atuantes nos pontosdireções 1 2 e 3 valores de esforços a serem determinados d11 d22 e d33 referemse aos deslocamentos nos pontosdireções 1 2 e 3 em função do carregamento dos hiperestáticos atuando na posição 1 2 e 3 X X 1 2 e X3 respectivamente d12 e d13 correspondem ao deslocamento no pontodireção 1 em função do carregamento na posição 2 e 3 X X 2 3 d23 corresponde ao deslocamento no pontodireção 2 em função do carrega mento na posição 3 d21 e d31 correspondem ao deslocamento no pontodireção 2 e 3 em função do carregamento na posição 1 X1 d32 corresponde ao deslocamento no pontodireção 3 em função do carrega mento na posição 2 Note que pelo Teorema de Maxwell as deformações são recíprocas isto é d d 12 21 d d 13 31 e d d 23 32 Nesse cenário se calcularmos os valores dos deslocamentos d d d d d d d d d 10 20 30 11 22 33 12 13 23 poderemos resolver a estrutura localizando seus hiperestáticos e entendendo seu comportamento Esses deslocamentos podem ser obtidos pelo princípio dos trabalhos virtuais combinando cada carregamento no sistema principal com uma carga unitária virtual Esses valores podem ser obtidos pela integração mas costuma ser mais prático usar as tabelas de KurtBeyer citadas na Unidade 2 Foi apresentado o caso de uma estrutura com grau de hiperestaticidade 3 mas generi camente podemos escrever a equação representando a aplicação do Método das Forças para qualquer estrutura com n graus de hiperestaticidade Na equação 33 temos a representação do mesmo sistema de equações em formato matricial d d 0 0 X d d d d d d d d 10 11 1 12 2 1 20 21 1 22 2 2 0 0 X X X X X X j j j j d d d d i i i ij j X X X 0 1 1 2 2 0 32 33 79 UNIDADE 3 Em que di0 referese ao deslocamento no ponto i em função do carregamento externo que é o caso 0 X j referese ao hiperestático j dij referese ao deslocamento no ponto i em função do carregamento na posição j referente ao hiperestático X j Note que pelo Teorema de Maxwell d d ij ji portanto a matriz será simétrica A solução de estruturas hiperestáticas com n graus de hiperestaticidade estará em um sistema linear de uma matriz quadrada n por n Dessa forma o método pode ser aplicado em qualquer tipo de estrutura desde que sejam avaliadas corretamente as condições de compatibilidade estática na elaboração do sistema principal SORIANO LIMA 2006 Nesse sentido podemos definir um roteiro para a aplicação do método 1 Escolher os vínculos e apoios a serem removidos a escolha dos vínculos é um processo muito importante pois definirá o sistema principal sobre o qual serão calculados o carregamento real e os hiperestáticos Segundo Sussekind 1980 p 112 devemos escolher um sistema principal que acarrete uma obtenção não trabalhosa dos coeficientes di0 e dij 2 Elaborar os sistemas de carregamento nessa etapa devese elaborar os sis temas de equações de compatibilidade separando os casos de carregamento externo e casos de carregamento referente aos hiperestáticos 3 Determinar os coeficientes di0 e dij estes são calculados usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais e as tabelas de KurtBeyer e considerando que pelo Teorema de Maxwell a matriz do sistema linear deve ser simétrica de tal forma que d d ij ji a Os deslocamentos di0 são obtidos pela combinação do carregamento exter no com um carregamento unitário no ponto em que se pretende calcular o deslocamento b Os deslocamentos di0 são obtidos pela combinação do carregamento das reações hiperestáticas com um carregamento unitário no ponto em que se pretende calcular o deslocamento 4 Resolver sistema linear de posse de todos os coeficientes escrevese o sistema linear e procuramse os valores que satisfazem todas as equações simultaneamente Uma vez resolvido o sistema temos os valores das rea ções hiperestáticas e o restante da estrutura pode ser resolvido usando as equações de equilíbrio Encontrase então as demais reações de apoio e os esforços ao longo da estrutura 80 UNICESUMAR Para exemplificar a aplicação do método avaliemos a viga da Figura 5 considerada 1 vez hiperestática Incialmente é interessante observar a estrutura para entender seu comportamento tratase de uma viga contínua com um balanço apenas no lado esquerdo não há simetria geométrica esperamse momentos negativos sobre os apoios B e C e positivos nos vãos BC e CD esperase também um maior carregamento sobre os apoios B e C Para resolver essa estrutura é necessário escolher o vínculo a ser rompido Apenas para fins didáticos escolhemos a reação vertical em C assim temos o sistema principal conforme a Figura 5 Figura 5 Exemplo de viga para aplicação do Método das Forças Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma viga hiperestática com três apoios B C e D Temos uma carga distribuída de 12 kNm no trecho BD e uma carga concentrada de 8kN em A em balanço à esquerda do apoio B Temos a viga hiperestática representada pela letra H o caso de carregamento externo 0 e o carregamento 1 referente à reação Vc removida Da compatibilidade dos deslocamentos temos a equação na qual é possível escrever as condições de com patibilidade pela superposição dos efeitos agindo na viga Dessa maneira o próximo passo para a resolução da estrutura é a obtenção dos valores de d10 e d11 sendo que para tanto devese separar os carregamentos d d 10 11 0 VC 34 81 UNIDADE 3 A Figura 6 mostra o sistema principal da viga conforme carregamento externo e carregamento hipe restático Vc No caso do carregamento externo a Figura 6 já mostra os valores de reações de apoio que podem ser obtidos pelo equilíbrio dos momentos ao redor do ponto B Σ Σ M VD VD kN Fv VB B 0 7 12 7 2 8 2 0 39 71 0 39 71 12 7 8 ² 0 52 29 VB kN Para o caso de carregamento unitáriohiperestático as reações podem ser obtidas pelas vigas notáveis biapoiada com carga pontual Temos também o registro dos valores de momento fletor em cada uma das situações que devem ser obtidos pelo Método das Seções para podermos usar as integrais ao determinar os valores das deformações 35 Figura 6 Exemplo de viga casos de carregamento 0 e 1 Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra o sistema principal com a combinação dos diagramas para aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais referente à viga da Figura 5 À esquerda temos a combinação do carregamento para obter a deformação em C representado por duas vigas o caso do carregamento representado pelo 0 já retirado o apoio C e o caso do carregamento unitário representado por 1 com uma força virtual unitária para baixo de um kN no ponto C no qual se pretente calcular a deformação A figura já registra suas reações de apoio e diagramas de momentos fletores À direita temos a combinação da reação de apoio Vc representada por duas vigas acima o caso 1 referente ao carregamento da reação de apoio nesse caso considerada unitária pois será multiplicada por VC e abaixo o caso do carregamento unitário no ponto C em que se deseja obter as deformações A figura também ilustra as reações de apoio e os diagramas de momento fletor Agora obteremos as equações de momentos fletores em cada trecho para então calcular os desloca mentos d10 e d11 Para calcular o deslocamento d10 combinaremos o carregamento externo 0 com uma força unitária em C 1 Como não temos momento fletor no trecho AB referente à carga uni tária 1 não é necessário calcular esse momento no caso do carregamento externo 0 uma vez que quando multiplicado por zero este terá seu valor anulado Já para o trecho BC x1 variando entre 0 e 4 Combinando o carregamento externo 0 com força unitária 1 temos 82 UNICESUMAR M x x x x M x x x M x 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 8 2 52 29 12 2 6 44 29 16 0 428 0 428 6 44 29 16 1 1 1 1 1 2 1 0 4 x M x M x dx x x x dx BC 2 568 18 956 6 848 2 568 4 18 956 3 1 3 1 2 1 0 4 1 4 1 3 x x x dx x x 6 848 2 185 26 1 2 0 4 x Para o trecho DC x2 variando entre 0 e 3 temos M x x x M x x M x M x dx x DC 2 2 2 2 2 2 2 2 2 39 7 6 0 571 0 571 6 39 7 3 426 22 67 3 426 4 22 2 2 2 0 3 2 3 2 2 0 3 2 4 x x dx x x dx x 67 3 134 65 2 3 0 3 x Aplicandose o PTV para obter d10 temos EI M x M x dx M Mdx M Mdx EI AD BC DC d d 10 1 1 10 185 26 134 65 319 91 Agora fazse necessário determinar o valor de d11 Para tanto temos as equações a seguir M x x M x x M x x M x BC BC DC DC 1 1 1 1 2 2 2 0 428 0 428 0 571 0 571 0 428 2 11 11 1 x EI M M dx M M dx EI x BC BC BC CD CD CD d d 0 4 1 2 0 3 2 0 428 0 571 0 571 x dx x x dx EId11 1 2 0 4 2 2 0 3 1 3 0 4 0 1836 0 3265 0 1836 3 0 3 x dx x dx x 265 3 6 855 2 3 0 3 x De posse dos valores de d10 e d11 montamos o sistema linear e procuramos a solução para ele d d 10 11 0 319 91 6 855 0 319 91 6 855 46 67 46 V V Vc C C 7kN 36 37 38 39 310 83 UNIDADE 3 Assim o valor da reação Vc é de 467 kN Para resolver os outros apoios da estrutu ra podemos aplicar as equações de equilíbrio considerando agora o valor da for ça Vc Dessa forma tomando o somatório dos momentos com relação ao ponto B teremos ΣM V V kN B D D 0 12 7 2 4 46 7 7 8 2 13 03 ² e tomando o somatório dos esforços ver ticais ΣFv Va V kN A 0 8 12 7 46 7 13 0 0 32 27 A partir desses valores de reação é possível calcular os esforços em cada um dos pontos M kNm M kNm ESQ B ESQ C 8 2 16 8 6 32 27 4 12 4 2 14 93 Para obter o momento máximo positivo devese obter a equação do esforço no trecho e procurar seu máximo local em que a derivada primeira é igual a zero Nesse ponto o momento é máximo A Figura 7 mostra a viga com suas reações de apoio e diagramas de momento fletor Repare que o diagrama de momento fletor está compatível com a previsão de picos de momento negativo sobre os apoios B e C e sobre os momentos positivos nos trechos BC e DC 311 Figura 7 Exemplo de viga diagrama de momentos fletores e reações de apoio Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma viga hiperestática resolvida com os valores das reações de apoio B C e D res pectivamente 323 kN 467 kN e 130 kN Abaixo da viga temos desenhado o diagrama de momento fletor no qual vemos dois picos negativos sobre os apoios B e C bem como momentos positivos nos trechos BC e CD 84 UNICESUMAR Ainda exemplificando o uso do Método das Forças analisemos a viga baldrame a ser resolvida para o engenheiro Luiz Dessa vez a resolução será por meio das tabelas de KurtBeyer já mostradas nas unidades anteriores A Figura 8 ilustra a viga a ser resolvida Tratase de uma viga uma vez hiperes tática com três apoios simetria de geometria carregamento e rigidez Esperamse maiores esforços no apoio central da viga sobre o qual se espera um momento negativo que deve homogeneizar e distribuir melhor os momentos Resolver estruturas hiperestáticas pelo método das forças pode ser bastante cansativo Prin cipalmente usando as integrais Lembrese de que você pode usar as tabelas de KurtBeyer para resolver estruturas de maneira mais prática Figura 8 Exemplo de viga baldrame três apoios simétrica Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma viga hiperestática com três apoios Temos que essa viga pode ser elaborada pela superposição dos efeitos do caso 0 de carregamento externo e caso 1 de carregamento da reação de apoio VB 85 UNIDADE 3 Sempre que você precisar confe rir o resultado de algum exercí cio pode recorrer ao programa FTOOL Tratase de um software educacional desenvolvido pelo professor Luiz Fernando Martha da PUC do Rio de Janeiro TECGRAF Esse programa está apto a resolver estruturas bidimensio nais tanto isostáticas quanto hiperestáticas O software tem uma interface extremamente intuitiva e é de fácil utilização A sua versão gratuita pode ser baixada acessando o QR Code Para reduzirmos essa viga a uma viga isostática em um sistema princi pal precisamos romper um dos vínculos poderia ser o apoio A B ou C Tanto faz Apenas deve se atentar para o fato de que a escolha do apoio deve influenciar na facilidade ou dificuldade de solução do exercício Removeremos o apoio B de tal forma que teremos o sistema principal já ilustrado na Figura 8 Observando o diagrama de momentos fletores da figura podemos aplicar as tabelas e obter os deslocamentos d10 e d11 EI LMM EI LMM d d 10 11 2 5 12 2 5 12 3 36 1 5 135 2 1 3 2 1 3 3 1 5 1 5 4 5 30 10 11 VB EI EI kN d d Com o valor de reação VB já é possível determinar a reação em A e C ΣM Vc Va Vc kN A 0 6 3 30 8 6 3 9 e então calcular o momento fletor máximo positivo e negativo da sua estrutura 312 Analisemos o pórtico da Figura 9 adaptada de Sussekind 1980 Te mos dois graus de hiperestaticidade ou seja duas reações extras ao equilíbrio Tratase de uma estrutura assimétrica com uma variação na rigidez barra CD Antes de iniciarmos a resolução procure prever o comportamento da estrutura 86 UNICESUMAR A fim de facilitar a solução da estrutura adotaremos rótulas no ponto C e D aplicandose momentos M1 e M2 sendo esses os hiperestáticos a serem calculados Assim na Figura 9 podemos ver que o pórtico H é dado pela combinação do sistema principal com o carregamento 0 e com os carregamentos hipe restáticos 1 e 2 O próximo passo é escrever o sistema principal isto é as equações de compatibilidade q q q q q q 10 11 1 12 2 20 21 1 22 2 0 0 M M M M Figura 9 Exemplo de pórtico duas vezes hiperestático Fonte adaptada de Sussekind 1980 Descrição da Imagem a figura mostra um pórtico ABCD duas vezes hiperestático Para a elaboração do sistema hiperestático do pórtico foram liberados os engastamentos da viga pilar adicionandose rótulas e momentos M1 e M2 hiperestáticos Dessa maneira o sistema principal fica composto pelo caso 0 sob efeito do carregamento externo caso 1 sob efeito do hiperestático M1 em C e caso 2 sob efeito do hiperestático 2 São mostrados também a aplicação dos hiperestáticos e seus respectivos diagramas de momentos fletores 313 87 UNIDADE 3 Então obteremos os valores das rotações no ponto 1 e 2 referente ao caso de carregamento 0 1 e 2 Mas atenção Como o EI não é constante ao longo da estrutura é necessário inserilo no cálculo tre cho a trecho Incialmente calcularemos o coeficiente q10 combinação do diagrama parabólico 0 e triangular 1 Repare que nos trechos AC e BD não há necessidade de fazer combinação q10 1 3 2 1 3 6 90 1 2 90 LMM EI EI EI O coeficiente q20 é obtido da combinação do diagrama parabólico 0 com o diagrama triangular 2 Repare que nos trechos AC e BD não há necessidade de fazer combinação q20 1 3 2 1 3 6 90 1 2 90 LMM EI EI EI A rotação no ponto 1 devido ao carregamento em 1 é dada pelo q11 combinação do diagrama 1 hiperestático M1 com o diagrama 1 carregamento unitário M 1 Em AC temos combinação de dois diagramas retangulares e em CD temos a combinação de dois diagramas triangulares q11 1 3 2 3 1 1 1 3 6 1 1 2 4 LMM EI LMM EI EI EI EI A rotação no ponto 2 devido ao carregamento em 1 é dada pelo q21 combinação do diagrama 1 hiperestático M1 com o diagrama 2 carregamento unitário M 1 Em AC temos combinação de um diagrama retangular com um triangular e em CD temos a combinação de um diagrama triangular com um triangular invertido q q 21 12 1 2 1 6 2 1 2 3 1 1 1 6 6 1 1 2 1 LMM EI LMM EI EI EI EI A rotação no ponto 2 devido ao carregamento em 2 é dada por q22 combinação do diagrama 2 hiperestático M2 com o diagrama 2 carregamento unitário M 1 Em AC CD e DB temos dois diagramas triangulares combinados q22 1 3 1 3 1 3 2 2 1 3 3 1 1 1 3 6 1 1 2 3 LMM EI LMM EI LMM EI EI EI EI De posse dos coeficientes qi0 e qij podemos escrever o sistema de equações de compatibilidade 90 4 1 0 90 1 3 0 1 2 1 2 M M M M Cujas soluções são M kNm 1 32 72 e M kNm 2 40 90 314 315 316 317 318 319 88 UNICESUMAR Você se lembra de como resolver sistemas lineares como o anterior Regra de Cramer GaussSeidel escalonamento substituição Sugiro relembrar esses processos pois são úteis para os exercícios Você também pode conferir o resultado pelo Excel ou outro software Vamos aprender como fazer O processo é simples você deve escrever a matriz em cada uma das células bem como os vetores d d 0 0 X O vetor de hiperestáticos X pode ser obtido pela multiplicação dos deslocamentos d0 com a matriz inversa dos deslocamentos d 1 equação d d d d d d 0 0 0 X X 1 0 1 0 1 1 X X X d d d d d d 0 1 Para fazer esse processo usaremos a função MATRIZINVERSO Selecione toda a matriz a ser invertida e antes de digitar a fórmula lembrese de selecionar as células que farão parte da matriz nova Ao terminar aperte CRTL Shift Enter não apenas Enter O Excel preencherá as células selecionadas Em seguida o vetor X será dado pela multiplicação MATRIZMULT Seguindo os mesmos passos você obterá os valores que satisfazem o sistema 320 Figura 10 Passo a passo da solução de sistemas com multiplicação de matrizes no Excel Fonte o autor Descrição da Imagem a imagem mostra seis passos para se resolver um sistema linear no Excel No passo 1 temos a seleção das células da matriz No passo 2 a digitação da fórmula No passo 3 o resultado do Excel No passo 4 a seleção das células No passo 5 a digitação da fórmula E no passo final o resultado 89 UNIDADE 3 Neste podcast conversaremos sobre o uso do Método das Forças na resolução de estruturas hiperestáticas Abordaremos a pertinên cia do método para a formação de uma engenheiroa civil bem como sua aplicabilidade à análise e concepção de estruturas Ficou interessado Venha participar A partir desses valores podemos calcular as reações de apoio por exemplo HB pode ser obtido pelo momento à direita do ponto D M Hb Hb kN dir D 40 9 3 13 63 Como não temos car regamento externo na direção horizontal H H kN B A 13 63 Para descobrirmos a reação VB temos o momento à direita do ponto C M V V kN dir C B B 32 7 20 6 3 6 13 63 3 61 36 Do somatório das forças agindo na vertical temos ΣFv V V kN A A 0 20 6 61 36 0 58 63 Tomando o somatório dos momentos ao redor do ponto B é possível obter o momento em A ΣM M M kNm B A A 0 58 63 6 20 6 3 0 8 18 A partir desses valores é possível traçar o diagrama de momentos fletores da estrutura ilustrado na Figura 11 Figura 11 Diagrama de momento fletor do pórtico exemplo resolvido Fonte o autor Descrição da Imagem na figura temos o diagrama de momento fletor do pórtico da Figura 11 bem como suas reações de apoio Temos um diagrama contínuo com momentos positivos no centro do vão da viga do pórtico e momentos negativos nas ligações das vigas com os pilares 90 UNICESUMAR Tentemos entender um exemplo um pouco mais complexo e moroso a resolução de uma treliça hipe restática Sempre que estivermos falando de treliças devemos relembrar que são elementos submetidos majoritariamente a esforços axiais Nesse caso não faz sentido calcular as deformações por efeitos de flexão sendo necessário avaliálas com relação aos esforços de tração e compressão das barras Considere a treliça da Figura 12 primeiramente avaliamos seu comportamento estrutural e seu grau de hiperestaticidade Por se tratar de uma treliça uma vez hiperestática assimétrica esperase uma maior reação no apoio O observase também que as barras estão a 45º uma vez que o módulo é de 10 m tanto na vertical como na horizontal Para resolver essa estrutura pelo Método das Forças o primeiro passo é escolher o apoio a ser removido Escolhese o vínculo do primeiro gênero em S Vs Nesse sentido o sistema hiperestático fica representado como na Figura 12 91 UNIDADE 3 O Método das Forças se baseia na compatibilização dos deslocamentos Nesse caso com patibilizaremos a deformação da treliça frente ao carregamento externo com a deforma ção da treliça frente a uma força X1 Escrevemos o sistema de compatibilidade conforme a equação d d 10 11 0 VS O problema agora reside em calcular os valores dessas deformações usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais Considerando que as barras das treliças trabalham majoritariamente submetidas a esforços axiais precisamos calcular a energia de deformação referente ao trabalho de deformações axiais Em barras submetidas ao esforço axial constante as deformações serão dadas pela equação Repare que é uma fórmula análoga à usada para o momento fletor di L N N EA Fazse então a combinação dos esforços para obter a deformação de cada barra e posteriormente da treliça Resolvese então a treliça para os casos 0 e 1 combinandoos com as forças unitárias Apenas para exemplificar o processo podemos obter os esforços normais na barra AB AM e AL pelo equilíbrio dos nós A e L A partir do nó L considerando os esforços normais saindo do nó temos que ΣFx NLM 0 0 e ΣFy NAL 0 0 Tomandose o nó A considerando esforços normais saindo do nó temos que ΣFy N sen N kN AM AM 0 6 0 45 6 0 707 8 485 º assim se repete o processo para os esforços horizontais ΣFx N N AB AL 0 cos 45 º portanto N kN AB 0 707 8 485 6 0 Esse processo se repete até se resolver a treliça por completo Para agilizar o processo a Figura 12 já apresenta os esforços normais que são obtidos após o término da resolução da treliça De posse desses esforços normais usamos a equação para cada barra em cada combinação Por exemplo para o cálculo de d10 na barra EF teremos dEF L N N EA EA EA 10 1 0 10 5 0 5 5 25 Para o cálculo de d11 na barra EF teremos dEF L N N EA EA EA 11 1 0 0 5 0 5 0 25 Esse processo se repete para todas as barras e esses valores de deformação são somados todos A Tabela 1 ilustra o processo Figura 12 Treliça hiperestática Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma treliça hiperestática com banzos paralelos horizontais diagonais e montantes O sistema principal da treliça é montado pela retirada do apoio e inserção da força VS composto pelo carregamento caso 0 e pelo carregamento da reação hiperestática 1 321 322 92 UNICESUMAR Tabela 1 Cálculo das deformações na treliça Fonte o autor COMB 01 L m N N LNN COMB 11 L m N N LNN BANZOS SUPERIORES 1 10 m 105 05 525 BANZOS SUPERIORES 1 10 m 05 05 025 2 10 m 90 10 900 2 10 m 10 10 100 3 10 m 225 15 3375 3 10 m 15 15 225 4 10 m 315 15 4725 4 10 m 15 15 225 5 10 m 270 10 2700 5 10 m 10 10 100 6 10 m 165 05 825 6 10 m 05 05 025 BANZOS INFERIORES 1 10 m 105 05 525 BANZOS INFERIORES 1 10 m 05 05 025 2 10 m 90 10 900 2 10 m 10 10 100 3 10 m 225 15 3375 3 10 m 15 15 225 4 10 m 300 20 6000 4 10 m 20 20 400 5 10 m 300 20 6000 5 10 m 20 20 400 6 10 m 315 15 4725 6 10 m 15 15 225 7 10 m 270 10 2700 7 10 m 10 10 100 8 10 m 165 05 825 8 10 m 05 05 025 MONTANTES 1 10 m 195 05 975 MONTANTE 1 10 m 05 05 025 2 10 m 135 05 675 2 10 m 05 05 025 3 10 m 75 05 375 3 10 m 05 05 025 4 10 m 00 10 000 4 10 m 10 10 100 5 10 m 15 05 075 5 10 m 05 05 025 6 10 m 45 05 225 6 10 m 05 05 025 7 10 m 105 05 525 7 10 m 05 05 025 DIAGONAIS 1 14 m 361 07 3621 DIAGONAL 1 14 m 07 07 071 2 14 m 276 07 2769 2 14 m 07 07 071 3 14 m 191 07 1917 3 14 m 07 07 071 4 14 m 106 07 1065 4 14 m 07 07 071 5 14 m 21 07 213 5 14 m 07 07 071 6 14 m 64 07 639 6 14 m 07 07 071 7 14 m 149 07 1491 7 14 m 07 07 071 8 14 m 233 07 2343 8 14 m 07 07 071 ΣLNN 5233 ΣLNN 302 93 UNIDADE 3 De posse do valor das deformações calculase a reação de apoio Vs 1733 kN d d d d 10 11 10 11 0 523 31 32 20 523 31 32 20 1 Vs Vs Vs EA EA 7 33 kN Agora que você já aprendeu a utilização do Método das Forças resolveremos nosso problema proposto pelo engenheiro Luiz por uma maneira menos usual Calcularemos o diagrama de momentos fletores da viga VB106 com a adição de um apoio central e então avaliaremos se a redução do momento foi significativa Inicialmente procure olhar para viga e imaginar seu comportamento Esse sempre deve ser o passo inicial de toda análise estrutural Feito isso escolheremos o vínculo a ser rompido na estrutura A solu ção mais comum seria a remoção do apoio central B no entanto a escolha de Vb como hiperestático deve retornar o valor da reação Vb Nesse sentido teríamos que calcular o momento fletor a partir de Vb Contudo já que a viga é simétrica o caminho mais curto seria liberar os momentos sobre o apoio B Figura 13 considerando um hiperestático M e a adição de uma rótula à estrutura Dessa forma a solução do problema já nos retorna a resposta que estamos procurando 323 Figura 13 Resolução de viga hiperestática pela libera ção do momento fletor sobre o apoio B Fonte o autor Descrição da Imagem a figura se refere à análise da viga VB106 Acima temos a planta de formas dos baldrames indicando sua seção e pontos de apoio conforme descritos na Figura 2 Abaixo temos o es quema estático da viga hiperestática H com vãos de 30 m e apoios A B e C Essa viga hiperestática pode ser obtida pela superposição do sistema principal 0 liberado o momento sobre o apoio B com o hiperestático M caso 1 94 UNICESUMAR A escolha do hiperestático é um processo muito importante pois ela influenciará significati vamente no volume de cálculo a ser realizado Antes de começar a resolver uma estrutura reflita bastante sobre sua escolha Imagine os diagramas de momento seriam de combinação complexa Existe uma escolha com diagramas mais simples O próximo passo é a combinação dos diagramas de momento fletor para calcular as rotações junto ao apoio B Na sequência calculamos q10 combinando dois diagramas de parábola com dois diagramas triangulares e calculamos q11 pela combinação de dois diagramas triangulares com dois diagramas triangulares q q q q 10 11 10 11 0 2 1 3 2 3 3 9 1 18 2 1 3 2 3 3 1 M EI LMM EI LMM 1 2 18 2 9 10 11 M M EI EI kNm máx q q Já que o momento máximo negativo é de 9 kNm temos de deter minar o momento máximo positivo e ele ocorre quando a derivada da equação de momento do trecho AB ou BC é nula Assim temos M x x x dM x dx x x M M máx 1 1 1 2 1 1 1 1 9 4 0 9 8 9 8 9 8 9 9 8 4 9 8 5 06 2 kNm Considerando que na viga biapoiada teríamos um momento de ql kNm ² ² 8 8 6 8 36 e na situação com o apoio central o maior valor de momento caiu para 9 kNm temos uma redução de 75 27kNm Com isso considerando a redução drástica no momento e considerando as contas de custos feitas pelo engenheiro Luiz a adoção da estaca é viável 324 325 95 UNIDADE 3 Como você já sabe estruturas hiperestáticas são excelentes opções para o projeto pois tendem a ter menores deformações esforços menos extremos além da capacidade de redistribuir os esforços Então a maior dificuldade de sua utilização é o comportamento mais complexo Esses procedimentos aqui apresentados têm o objetivo de resolver estruturas hiperestáticas calcular suas reações de apoio e esforços Enfim entender seu comportamento para que você como engenheiroa esteja aptoa para utilizálas O Método das Forças se aplica à solução de estruturas hiperestáticas seja em uma viga bal drame de vários apoios ou na Ponte RioNiterói seja em uma treliça de cobertura pequena ou na cobertura de um estádio de futebol Existem diversas situações em que conhecer o comportamento da estrutura só é possível ao se utilizar do Método das Forças Reitero também que esses conceitos têm a finalidade de desenvolver em você alunoa a capacidade de olhar para uma estrutura de maneira sistêmica visualizando seu comportamento estrutural além dos números e contas habilidade imprescindível a uma boma engenheiroa Convido você a relembrar os conceitos apresentados nesta unidade por meio da resolução de uma estrutura hiperestática e usando o Método das Forças Você também verá a aplicação desses conceitos com relação à Engenharia de Estruturas 96 Nesta unidade você aprendeu o Método das Forças para a solução de estruturas hiperestáticas Esse método é extremamente importante pois permite determinar os esforços em estruturas estaticamente indeterminadas e conhecer seu comportamento Ao usar as condições de compa tibilidade e da superposição dos efeitos é possível calcular as forças que garantem a condição de compatibilidade com os vínculos de uma estrutura Como vimos para calcularmos essas estruturas devemos remover um apoio ou vínculo da es trutura até que fique isostática Em seguida elaboramos as equações de compatibilidade que reconstituem a estrutura original hiperestática Calculase então os deslocamentos referentes ao caso de carregamento real e ao caso de carregamento unitário ambos combinados com uma força unitária aplicada no ponto e direção que se pretende calcular as deformações pelo PTV Assim obtémse um sistema linear de equações cujas soluções são as reações e forças agindo sobre a estrutura Prosseguese então com o cálculo dos esforços internos Espero que o entendimento desses conceitos tenha contribuído para seu crescimento pessoal e profissional garantindo que você possa compreender o comportamento de uma estrutura estaticamente indeterminada A fim de memorizar esses conceitos e conteúdos sugiro que você elabore um mapa mental estabelecendo o passo a passo para a aplicação do Método das Forças bem como um resumo dos assuntos apresentados Método das forças as incitações são forças cujos resultados associados recuperam as condições de compatibilidade ATENÇÃO NA ESCOLHA DO APOIO OU VINCULAR A SER REMOVIDO Escolher os apoios a serem removidos Separar as casos de carregamento externo e dos hiperestáticos Elaborar sistema de Equações de compatibilidade Determinar os coeficientes δ0 e δ1 Resolver carregamento externo 0 PTV Resolver carregamento hiperestático 1 PTV Resolver Sistema Linear Encontrar as reacções de apoio e Esforços Não esquecer vigas não vinculadas tabelas de KurtBieg aplicação PTV Ambas soluções podem economizar muito tempo na hora de se resolver um exercício 98 1 Qual é o primeiro procedimento a se realizar ao resolver uma estrutura pelo Método das Forças Coloque os procedimentos na ordem da execução correta do Método das Forças Elaborar os sistemas de equações de compatibilidade Encontrar as reações de apoio Escolher os apoios a serem removidos Separar em casos de carregamento real e unitário Determinar os coeficientes di0 e dij Calcular os esforços internos solicitantes Assinale a alternativa que apresenta a ordem correta dos procedimentos de cima para baixo a 3 1 4 2 5 6 b 3 5 1 2 4 6 c 5 4 1 3 2 6 d 3 6 2 1 4 5 e 4 3 1 2 6 5 2 O Método das Forças é um procedimento importante para a determinação dos esforços internos em estruturas hiperestáticas O método se baseia em diversos princípios de estruturas Avalie as afirmações a seguir sobre as bases científicas do método I O método se utiliza do Princípio dos Trabalhos Virtuais II Utilizase do princípio de reciprocidade III Deve respeitar as condições de equilíbrio e compatibilidade do sistema estrutural IV Não precisa respeitar as leis constituintes do material Assinale a alternativa em que se tem o julgamento correto das afirmações a Está correta apenas a afirmação I b Está correta apenas a afirmação III c Estão corretas as afirmações I e III d Estão corretas as afirmações II e IV e Todas estão corretas 3 A solução de vigas estaticamente indeterminada sempre foi um grande desafio para a En genharia de Estruturas Para resolvêlas usamos o Método das Forças no qual calculamos as forças que recuperam as deformações na estrutura em função das suas condições de compatibilidade Assinale a alternativa INCORRETA sobre a aplicação do Método das Forças 99 a O Método das Forças pode ser aplicado a treliças basta usar o cálculo das deformações por esforço normal isto é compressão e tração b Na aplicação do Método das Forças nas grelhas hiperestáticas as deformações são calculadas conforme esforços de flexão e torsão considerando rigidez à flexão EI e à torsão GJ c O Método das Forças não pode ser aplicado em pórticos uma vez que se tem presente o efeito de flexão torção e esforços normais atuando simultaneamente na estrutura d O Método das Forças só pode ser aplicado por causa do Princípio da Superposição dos Efeitos em que se soma o efeito do carregamento real frente à reação de apoio e O Método das Forças pode ser aplicado em qualquer tipo de estrutura desde que o cálculo das deformações esteja de acordo seus respectivos esforços 4 O Método das Forças é muito utilizado para calcular estruturas hiperestáticas pois com ele é possível determinar as reações de apoio Ao procurar o valor da reação de apoio em que as deformações do apoio sejam compatíveis com o vínculo muitas vezes é mais interessante adotar a remoção de apoios e vínculos não tão óbvios mas que podem facilitar a aplicação do método A Figura 1 que se refere ao exercício 5 e 6 mostra uma viga em que o vínculo escolhido para ser removido foi o momento hiperestático M próximo ao apoio colocandose então uma rótula permitindo a sua rotação Figura 1 Viga para exercícios 5 e 6 Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma viga engastada em A e apoiada em B com 4 metros de vão sobre os quais se distribuem um carregamento uniforme de 10 kNm Abaixo temos a solução proposta considerando a rotulação do ponto A onde teríamos o engaste e a aplicação de um hiperestático M a ser calculado 100 Considerando a viga da Figura 1 e que EI kN m 1 104 2 e aplicando o Método das Forças à estrutura pedese para assinalar a alternativa que apresenta os valores de cálculo dos coeficientes EId10 e EId11 a Eqn122eps e EId11 2 3 b EId10 30 e EId11 9 5 c EId10 90 4 e EId11 3 4 d EId10 80 3 e EId11 4 3 e EId10 1750 12 e EId11 13 7 5 Ainda sobre a viga da Figura 1 referente ao exercício anterior você deve continuar a aplicação do Método das Forças calculando o valor da incógnita e dos esforços Consi derando os valores de EId10 e EId11 obtidos no exercício anterior assinale a alternativa que contém o valor do hiperestático M e da reação de apoio VB a M 15 kNm e Vb 15 kN b M 20 kNm e Vb 15 kN c M 25 kNm e Vb 20 kN d M 15 kNm e Vb 20 kN e M 20 kNm e Vb 25 kN 4 Nesta unidade você aprenderá a resolver estruturas hiperestáticas pelo Método dos Deslocamentos Esse método é muito importante principal mente por sua fácil implementação computacional sendo fundamental compreendêlo durante sua formação como engenheiroa civil Apren deremos sobre as bases conceituais do método o qual procura desco brir o valor dos deslocamentos em determinados pontos para então entender o comportamento estrutural Serão abordados os conceitos de termos de carga reações de engastamento perfeito rigidez local Além disso você deverá relembrar alguns conceitos prévios superposição dos efeitos condições de compatibilidade e condições de equilíbrio Assim você aprenderá o procedimento passo a passo usado para calcularmos os deslocamentos que restauram as forças da condição de equilíbrio da estrutura Então entenderemos o comportamento de estruturas hiperes táticas pelo Método dos Deslocamentos Desejolhe bons estudos Método dos Deslocamentos Me Gabriel Trindade Caviglione 102 UNICESUMAR Você já deve entender um pouco sobre o comportamento de estru turas hiperestáticas saber avaliálas entender seu comportamento e até obter seus esforços Mas você consideraria viável usar o Método das Forças em estruturas muito grandes com múltiplos graus de hiperestaticidade Você já refletiu sobre como resolvêlas de ma neira mais prática Talvez até implementálas em um software que pudesse lhe auxiliar no processo de análise estrutural Como você poderia ensinar o computador a fazer as contas É muito importante entender e dominar os conceitos de análise estrutural pois eles podem permitir uma análise mais acurada e rá pida de determinada estrutura Quando uma engenheiroa avalia uma estrutura quais parâmetros são importantes As deformações Os esforços internos Calculamos as deformações pelos esforços internos será que não podemos calcular os esforços internos por meio das deformações em estruturas hiperestáticas Para o entendimento completo do comportamento de uma es trutura precisamos de todas as informações as forças agindo sobre ela os esforços causados pelas forças e suas respectivas deformações Embora sejam dependentes umas das outras todas as informações precisam ser avaliadas em um projeto estrutural daí a necessidade de calcular cada uma delas conforme as condições estáticas da estrutura Nesse sentido o trabalho de análise estrutural é fundamen tal para o dimensionamento correto de uma estrutura uma vez que fornecerá os esforços a serem utilizados nesse proces so Qualquer falha na modelagem ou interpretação errada do comportamento de uma estrutura pode promover erros no seu dimensionamento Por isso oa boma engenheiroa precisa procurar desenvolver a capacidade de enxergar os sistemas da edificação bem como o seu funcionamento e no caso do sistema estrutural o seu comportamento estrutural Para entendermos melhor o comportamento de estruturas que ro convidáloa a se imaginar em uma situação hipotética Nessa situação você está trabalhando na reforma do sistema de aqueci mento de água em um apartamento de um edifício antigo da cidade Acontece que com o novo aquecedor fazse necessária uma per furação em uma das vigas do edifício Figura 1 para passagem do exaustor de 83 mm de diâmetro Tratase de um furo de dimensões significativas e que dependendo da posição pode comprometer a integridade da viga e por consequência do edifício todo 103 UNIDADE 4 Descrição da Imagem a figura mostra a V107 em um projeto estrutural prancha de formas do pavimento tipo Temos uma viga de seção 19x40 apoiada nos pilares P19 esquerda de seção 19x108 disposto na horizontal no pilar P25 centro de seção 19x160 disposto na vertical e no pilar P20 direita de seção 19x108 disposto na horizontal Logo abaixo temos o esquema estático dela engastada no P19 esquerda apoiada no P25 centro e engastada no P20 direita submetida a um carregamento de 8 kNm com vãos simétricos de 210 cm e 330 cm Figura 1 Possibilidade de furo na viga V107 Fonte o autor Furar uma viga ou qualquer outra parte da estrutura pode ser muito perigoso e requer o acompa nhamento de perto de uma engenheiroa OA profissional deve avaliar as condições iniciais de integridade da estrutura e quais as repercussões da furação na sua resistência frente aos esforços Essa tarefa não é nada fácil uma vez que após executada a furação a responsabilidade da garantia da esta bilidade e durabilidade da estrutura recai sobre oa responsável técnico pela alteração A engenheira Lúcia é sua supervisora nesse trabalho e apesar do prazo apertado concordou em avaliar o furo com cautela para isso pediu para você informála dos diagramas de esforços da viga reconstituindo seu carregamento e condições estáticas Assim que ela tiver os esforços internos poderá decidir sobre a viabilidade do furo bem como as dimensões e os locais apropriados além de eventuais reforços e procedimentos recomendados 104 UNICESUMAR Olhando atentamente o projeto estrutural podemos imaginar um esquema estático que represente a viga V107 Os pilares P19 e P20 têm seção muito robusta de 19x108 estão dispostos de maneira a dar continuidade à viga enquanto o pilar P25 disposto numa direção transversal à viga não tem condições de dar continuidade a ela e apenas é capaz de apoiála Nesse sentido a viga de seção 19x40 está praticamente engastada nos pilares da extremidade pois eles são muito rígidos seção 19x108 Podese observar o corte da estrutura e o esquema estático na Figura 1 A fim de responder sobre os esforços da viga que é quatro vezes hiperestática precisamos encontrar os valores das reações de apoio referentes a quatro incógnitas Podemos utilizar o Método das Forças ilustrado na Unidade 3 no entanto percebese que tal processo seria demasiadamente demorado pelo grande número de incógnitas forças Por isso levantase a seguinte questão será que podemos procurar outras incógnitas além das forças de maneira a simplificar esse proble ma Ao invés de determinar as forças que reconstituem as condições de compatibilidade dos apoios podemos tentar calcular as deformações na estrutura Será que a partir das deformações podemos calcular os esforços agindo na estrutura Se soubéssemos a rotação sobre o apoio de P25 poderíamos determinar os esforços e reações Como os esforços se relacionam com as deformações Qual é a implicância da rigidez da estrutura nas deformações Quantas deformações ou deslocamentos teríamos de calcular A resposta para essas perguntas está no cálculo de estruturas hiperestáticas pelo Método dos Deslocamentos Nesse método as incógnitas são os valores dos deslocamentos que devem ocorrer em cada nó e a partir dele determinamse os esforços agindo sobre a estrutura Isso é especialmente vantajoso em estruturas com muitos graus de hiperestaticidade e poucos graus de deslocabi lidade poucos deslocamentos livres Uma vez que você souber o valor desses deslocamentos pode estimar os esforços agindo na estrutura em função da rigidez e força que cause deformação igual a esse deslocamento Assim procuramse deslocamentos cujas forças associadas correspon dam a uma condição de equilíbrio de cada nó simultaneamente Aplicado o método você poderá calcular os esforços agindo sobre a estrutura e a engenheira Lúcia será capaz de avaliar a possiblidade de furação da viga 105 UNIDADE 4 Outra opção referente ao cálculo de estruturas é utilizar o Método das Forças e outras propriedades No caso da Figura 1 temos uma viga assimétrica e isso implica em dizer que as reações de apoio não são iguais Então como você poderia resolver essa estrutura pelo método das forças Qual seria o passo a passo Quantos casos de carregamento precisaria calcular Posto isso compare com a solução do Método dos Deslocamentos Quantos deslocamentos você precisaria calcular Quais seriam eles Como poderíamos determinálos Faça esquemas e desenhos demonstrando suas ideias procure achar seus próprios caminhos detalhe como esse problema pode ser resolvido Use seu Diário de Bordo para apontar suas soluções enquanto você matuta a solução desse problema Procurando retornar com os esforços da viga para Lúcia da maneira mais rápida possível você opta por estudar e entender o Método dos Deslocamentos Nesse método as incógnitas são os deslocamentos que cada nó pode ter na estrutura ou seja suas deslocabilidades Então antes de entender o método é importante entender essas deslocabilidades As estruturas hipostáticas ou os mecanismos têm graus de liberdade isto é são possíveis direções em que determinado corpo pode sofrer translação ou rotação Esses sistemas podem se movimen tar infinitamente pois não têm qualquer restrição que os impeçam movimento de corpo rígido Já quando pensamos em estruturas hiperestáticas ou isostáticas cada nó pode ter uma movimentação limitada pois a estrutura está restringida ou seja para ocorrer um possível deslocamento de um 106 UNICESUMAR Descrição da Imagem figura mostra um pórtico biengastado nos nós A e C sendo que apenas o nó B não está vinculado e pode se deslocar através de deformações estruturais D1 na vertical D2 na horizontal e D3 rotação no nó B Figura 2 Deslocabilidades em pórtico Fonte o autor ponto é necessário que a estrutura se deforme Esses possíveis deslocamentos são as deslocabilidades da estrutura as incógnitas a serem determinadas no problema Em uma estrutura teremos as deslo cabilidades internas e externas referentes às rotações e translação Para entender corretamente esse conceito convidooa a observar o nó B da Figura 2 Repare que os nós A e C não podem se movimentar e estão totalmente restringidos pelos vínculos O nó B pode deslocar no eixo vertical horizontal e pode rotacionar temos então deslocabilidades D1 D2 e D3 Repare que para que ocorram os deslocamentos 1 e 2 as barras AB e BC precisaram se alongar e o deslocamento 3 está associado à flexão de ambas as barras No entanto as deformações relativas ao esforço de flexão são muito maiores do que as referente ao esforço axial seja de tração ou compressão Se optarmos por desprezar as deformações por esforços axiais D1 e D2 passam a ser nulos uma vez que para o nó B se movimentar precisaria movimentar junto o nó A ou C nós completamente restringidos Assim temos apenas a deslocabilidade D3 para calcular ou seja possui rotação no ponto B Sussekind 1980 resume as deslocabilidades internas de uma estrutura plana como o número de nós rígidos que ela possui sem incluir as extremidades e nós rotulados Já as deslocabilidades externas são definidas como o número de apoios do primeiro gênero que precisamos acrescentar para que todos seus nós fiquem sem deslocamentos lineares Para fixarmos esse conceito considere a Figura 3 em que temos algumas estruturas e suas deslocabilidades associadas Desprezar as deformações por forças normais e cortante Conside rando o pórtico 01 logo percebemos que todos os nós D E F e G estão conectados por rótulas e assim estão livres para rotacionar sem transmitir momentos entre as barras Nessa situação não temos deslocabilidades internas apenas externas Para avaliarmos as deslocabilidades externas do pórtico 01 precisamos saber o número de apoios de primeiro gênero a serem acrescentados para que qualquer nó da estrutura fique sem deslocamen tos lineares Se posicionarmos um apoio no nó D conseguiremos travar os nós D e E uma vez que a barra DE não pode se alongar Porém as barras EF FG e GC podem se rotacionar e flexionar de tal maneira que os pontos F e G estariam sujeitos a deslocamentos lineares Para traválos precisamos 107 UNIDADE 4 Descrição da Imagem a figura mostra dois pórticos planos À esquerda um pórtico três vezes hiperestático apoiado por dois engastes no ponto A e B À direita um pórtico isostático com apoio fixo em A e móvel em B ambos acrescidos de X1 X2 e X3 incógnitas que garantem a condição de compatibilidade estática dos pórticos Figura 3 Deslocabilidades de diferentes estruturas Fonte adaptada de Sussekind 1980 de um segundo apoio que pode ser adicionado em F ou G O pórtico 02 segue o mesmo raciocínio temos rotações nos nós C D e E portanto três deslocabilidades internas e temos duas translações em C e E portanto duas deslocabilidades externas Já a viga 01 não tem nenhuma deslocabilidade externa e apenas duas rotações sobre os nós B e C portanto dotada de duas deslocabilidades 108 UNICESUMAR No caso das grelhas teremos duas rotações por nó uma causada por momentos no plano xz e outra por momentos no plano yz Assim na grelha 01 da Figura 3 teremos duas deslocabilidades internas para cada nó rígido B e C quatro ao todo D1 D2 D3 e D4 Além de duas deslocabilidades externas referentes às deformações verticais da grelha D5 e D6 referentes aos nós B e C Ao todo teremos seis deslocabilidades para essa grelha Para resolvermos uma estrutura pelo Método dos Deslocamentos precisaremos avaliar suas con dições de deslocabilidades para então procurar determinar cada uma dessas deslocabilidades O conceito por trás do método é o equilíbrio de for ças agindo em cada nó Imaginemos que a estru tura principal é dada pela soma de uma estrutura perfeitamente travada e bloqueada sem qualquer deslocamento 0 com uma estrutura deslocada em função de cada deslocabilidade inicial 1 2 i o que se conhece por sistema hipergeométrico Segundo Sussekind 1980 na estrutura engastada travada 0 colocamos chapas rígidas e apoios fic tícios capazes de evitar quaisquer rotações e trans lações Nessa situação temos que os esforços serão transmitidos aos nós como se os nós fossem apoios perfeitos ideais E para a situação idealizada de apoios perfeitos conhecemos as reações de apoio pois são tabeladas e as principais estão registradas na Figura 4 Com relação à situação da estrutura deslocada 1 2 i aplicamos um deslocamento em dire ção a uma das deslocabilidades e avaliamos quais esforços surgirão na estrutura Para isso usamos o conceito de rigidez que corresponde à força ne cessária para causar um deslocamento unitário Se soubermos então o coeficiente de rigidez para situações comuns podemos calcular as forças que surgem na estrutura em função desse deslocamento aplicado Felizmente temos registrados os princi pais coeficientes de rigidez local na Figura 4 109 UNIDADE 4 Descrição da Imagem a figura mostra o coeficiente de rigidez local de três barras 1 engastadaengastada temos 4EIL no ponto de rotação e 2EIL no outro engaste 2 barra apoiada engastada temos 3EIL no ponto de rotação e zero no apoio 3 engastada engastada submetida a uma translação transversal de um dos apoios tal efeito provoca 6EIL² em ambos apoios À direita temos as reações de engastamento perfeito situção na qual a viga não teria rotações Estão tabelados os valores para 1 carregamento distribuído em viga biengastada provocando momentos de ql²12 e reações de ql2 2 carregamento concentrado em viga biengas tada provocando momentos de Pab²l² e Pa²bl² e reações de Pal e Pbl 3 carregamento distribuído em viga engastada apoiada provocando momentos de ql²8 e 4 carga concentrada em viga engastada apoiada provocando momentos de Pablb2l² Figura 4 Coeficientes de rigidez Local e reações de engastamento perfeito para situações mais frequentes Fonte Sussekind 1980 p 17 Na estrutura inicial isto é antes de sofrer qualquer trava ou deslocamento os esforços agindo à esquerda de um ponto de interesse são iguais aos que agem à direita Assim ao somarmos todas as estruturas do sistema hipergeométrico 012i à direita e à esquerda é necessário que o valor seja nulo para garantir a condição de equilíbrio da estrutura Teremos então que a soma dos momentos de engas tamento perfeito à direita e esquerda de um ponto de interesse é conhecida como termos de carga bi YX YZ M M 0 0 0 Em que bi0 corresponde ao termo de carga i referente à estrutura travada 0 situação submetida ao carregamento externo MYX 0 corresponde ao momento no caso 0 atuante no ponto Y devido à barra YX MYZ 0 corresponde ao momento no caso 0 atuante no ponto Y devido à barra YZ Se somarmos os termos de carga aos produtos de deslocamentos e rigidez local estaremos somando todas as forças que agem no ponto portanto esse valor precisa ser nulo Algebricamente b b 10 11 1 12 2 20 21 1 22 2 0 0 k D k D k D k D k D k D ij i ij i bi i i ij i k D k D k D 0 1 1 2 2 0 01 02 110 UNICESUMAR Em que bi0 corresponde ao termo de carga i referente à estrutura travada 0 situação submetida ao carre gamento externo k11 corresponde à rigidez do nó 1 referente ao des locamento no próprio nó 1 k12 corresponde à rigidez do nó 1 referente ao des locamento no nó 2 k21 corresponde à rigidez no nó 2 referente ao des locamento no nó 1 kij corresponde à rigidez no nó i referente ao des locamento no nó j D1 corresponde ao deslocamento 1 Di corresponde ao deslocamento no nó i Matricialmente podemos rescrever b b b 10 20 0 11 12 1 21 i j k k k k k k k D D D i ij i 22 1 1 2 0 0 0 0 Repare também que pelo Teorema de Maxwell k k 12 21 então a matriz é simétrica ao longo de sua diagonal prin cipal Se passarmos os termos de carga para o outro lado podermos escrever uma equação do tipo F k x força é igual rigidez vezes a deformação k k k k k k k D D D j i ij i 11 12 1 21 22 1 1 2 b b b 10 20 0 i k d F Ao resolver o sistema linear é possível achar os desloca mentos que satisfaçam as condições de equilíbrio de todos os nós da estrutura simultaneamente 03 04 111 UNIDADE 4 Existem algumas situações não usuais que podem não ser encontra das na Figura 4 Você consegue pensar nelas Como resolver nesse caso Sempre que encontrar uma situação não usual você pode consultar tabelas de momento de engastamento perfeito e tabelas de coeficientes de rigidez local Existem várias referências para esses valores algumas das principais tabelas foram compiladas pelo prof Libânio Miranda Pinheiro que podem ser acessadas através do QR Code Após o cálculo dos deslocamentos podemos obter os esforços ao longo da estrutura ao aplicar a superposição dos efeitos Então somaremos a estrutura na situação engastada junto a cada situação deslocada pelo produto de deslocamento e rigidez local Assim chegamos na equação M M M D M D M D i i 0 1 1 2 2 Em que M é o momento na estrutura hiperestática no ponto de interesse M1 corresponde ao momento referente ao deslocamento na direção de D1 D1 corresponde ao deslocamento 1 da estrutura Mi corresponde ao momento referente a um deslocamento na direção de Di Di corresponde ao deslocamento i da estrutura De posse dos momentos teremos o comportamento da estrutura Apenas ponderando que a equação pode se referir a outros esforços não se limita aos esforços de flexão Podemos então definir um roteiro base para a aplicação do método 1 Avaliar as deslocabilidades e elaborar sistema hipergeométrico são avaliadas as deslocabili dades internas e externas da estrutura e então aplicamse restrições a essas deslocabilidades através de chapas rígidas e apoios adicionais Com a estrutura restringida elaborase o sis tema hipergeométrico em que teremos os casos de estrutura engastada e estrutura deslocada SUSSEKIND 1980 2 Elaborar os sistemas de carregamento serão separados e resolvidos os casos de estrutura per feitamente engastada frente ao carregamento externo e casos de estrutura deslocada frente às deslocabilidades e coeficientes de rigidez de cada barra Elaboramse então as equações de equilíbrio e compatibilidade 05 112 UNICESUMAR Você entende um pouco de programação Resolver estruturas hiperestáticas pode ser bastante cansativo Você pode otimizar o processo de cálculo ou ao menos parte dele ao desenvol ver rotinas e programas para calcular as estruturas Você já imaginou o tempo que poderia economizar fazendo um programa desses 3 Determinar os coeficientes bi0 e kij Eles são calculados através de tabelas referente a situações comuns de carregamento a Os termos de carga bi0 são obtidos a partir dos momentos de engastamento perfeito agindo sobre o nó i em função do carregamento externo b Já os coeficientes de rigidez kij são obtidos pela soma dos coeficientes de rigidez local agindo sobre o nó I referente a um deslocamento j Pelo Teorema de Maxwell podemos afirmar que a matriz de rigidez do sistema deve ser simétrica de tal forma que k k ij ji 4 Resolver sistema linear de posse de todos os coeficientes escrevese o sistema li near e se procuram os valores que satisfazem todas as equações simultaneamen te Uma vez resolvido o sistema temos os valores dos deslocamentos e podemos re constituir os esforços internos em cada um dos pontos pela superposição dos efeitos M M M D M D M D i i 0 1 1 2 2 Uma das principais vantagens do Método dos Deslocamentos é que ele procura os valores dos des locamentos ao invés de procurar os valores das reações de apoio Nesse sentido ao se definir uma estrutura conectandose as barras já é possível definir suas deslocabilidades Esse efeito permite que o método seja implementado computacionalmente com grande facilidade No caso do Método das Forças isso não é tão simples pois o programa precisaria escolher qual apoio seria removido Ao passo que no Método dos Deslocamentos já estão definidos os deslocamentos a serem calculados ainda que resultem em um número grande de deslocamentos Posteriormente você estudará o Método de Análise Matricial de estruturas também conhecido como Método Direto da Rigidez que na realidade é um procedimento mais automatizado para resolver uma estrutura matricialmente baseado no Método dos Deslocamentos Esse tópico é extremamente importante pois muitos dos softwares atuais utilizam esses princípios Para fixar esses conteúdos resolveremos um exemplo aplicando o Método dos Deslocamentos à viga V107 Figura 1 sobre a qual procuramos responder se será possível ou não fazer a perfuração A primeira consideração a ser feita antes de se iniciar o cálculo é procurar entender o comportamento da viga numa análise mais subjetiva Podemos observar que a viga não é simétrica portanto teremos uma maior reação no pilar central P25 e no pilar P20 ao passo que se espera uma reação menor no 113 UNIDADE 4 Descrição da Imagem a figura mostra a viga V107 ABC engaste apoio engaste carga distribuída de 8 kNm já descrita na Figura 1 No entanto temos agora a resolução da estrutura hiperestática que pode ser composta pela soma do caso de carregamento externo caso 0 e de deslocamentos unitários caso 1 No caso do carregamento externo temos uma chapa rígida atuando sobre o apoio B o que permite imaginarmos a viga como a soma de trechos biengastados AB e BC Temos então a viga desenhada com esses trechos e seus momentos de engastamento perfefeito agindo sobre os nós No caso do giro unitário temos a rotação D1 agindo sobre o nó B que provoca esforços em A B e C todos ilustrados na figura Figura 5 Resolução da V107 Fonte o autor P19 Esperamse diagramas de momento fletor contínuo com picos de momento negativo e acredi tase que no menor vão teremos menores esforços Vamos então ao primeiro passo estabelecer o sistema hipergeométrico A viga tem apenas uma deslocabilidades que se refere à rotação sobre o pilar P25 Podemos bloquear essa deslocabilidade interna com chapas rígidas imaginando a estrutura como a Figura 5 Dessa maneira podemos escrever o sistema de equações de equilíbrio conforme a equação b10 11 1 0 k D A próxima etapa é determinar os valores dos termos de carga e coeficientes de rigidez Iniciaremos pelo único termo de carga b10 Para o trecho AB entre os pilares P19 e P25 temos os momentos de engastamento perfeito conforme a equação M ql kNm M ql AB BA 0 0 12 8 2 1 12 2 94 12 8 2 1 12 2 94 ² ² ² ² kNm 06 07 114 UNICESUMAR No trecho BC entre os pilares P25 e P20 temos os momentos de engastamento perfeito M ql kNm M ql BC CB 0 0 12 8 3 3 12 7 26 12 8 3 3 12 7 26 ² ² ² ² kNm No ponto B então agem simultaneamente os momentos M kNm BA 0 2 94 e M kNm BC 0 7 26 de tal forma que o termo de carga b10 será b10 0 0 2 94 7 26 4 32 M M kNm BA BC Para calcular a rigidez do nó avaliaremos o efeito de uma rotação no apoio B pilar P25 Dessa forma ao avaliar o trecho AB teríamos M EI L EI EI M EI L EI EI AB BA 1 1 2 2 2 10 0 952 4 4 2 10 1 904 Ao avaliar o trecho BC teríamos M EI L EI EI M EI L EI EI BC CB 1 1 4 4 3 30 1 212 2 2 3 30 0 606 Então o coeficiente de rigidez do nó B referente ao ponto do deslocamento 1 em função do deslocamento 1 é dado por k M M EI EI EI BA BC 11 1 1 1 904 1 212 3 116 Assim considerando para a viga EI kN m 1 104 ² temos um deslocamento de b10 11 1 1 1 0 4 32 3 116 0 4 32 3 116 4 32 3 116 1 k D EI D D EI 0 1 386 10 4 4 rad Com esse valor de deslocamento será possível obter o dia grama de esforços internos e a engenheira Lúcia poderá decidir sobre a viabilidade da perfuração Os esforços po dem ser obtidos por superposição dos efeitos 08 09 010 011 012 013 115 UNIDADE 4 Convido você a fixar os conceitos apresentados na aplicação do mé todo através da resolução de uma estrutura hiperestática usando o Método dos Deslocamentos É uma maneira de solidificar e enten der por completo o seu procedimento M M M D M M M D EI EI kNm AB AB AB 0 1 1 0 1 1 2 94 0 952 1 386 1 62 M M M D EI EI kNm M M BA BA BA BC BC 0 1 1 0 2 94 1 904 1 386 5 58 M D EI EI kNm M M M D BC CB CB CB 1 1 0 1 1 7 26 1 212 1 386 5 58 7 26 0 606 1 386 8 09 EI EI kNm Na Figura 6 temos ilustrados esses valores de momento fletor bem como os demais esforços que podem ser obtidos pelas condições de equilíbrio e compatibilidade da estrutura 014 A perfuração de uma viga envolve alguns conceitos específicos das normas de projeto relativas ao ma terial da estrutura além de um grande conhecimento do próprio processo executivo e da experiência doa engenheiroa Considerando que a viga tem uma altura grande em comparação ao vão e que os esforços agindo sobre ela não são de grande magnitude Lúcia decide que é possível fazer o furo Para isso ela recomenda que o furo seja localizado em uma região de baixos momentos fletores e cortantes 116 UNICESUMAR Descrição da Imagem a figura mostra a planta de formas da viga V107 apoiada no P19 P25 e P20 com vãos de 210 cm e 330 cm Abaixo da planta de formas temos o esquema estático da viga e os diagramas de momento fletor e esforço cortante calculados Indicase uma possível região para a localização dos furos referente a uma solicitação de baixa magnitude de momentos fletores e cortantes Mais abaixo temos um homem fazendo o uso de um scaner na superficie de concreto para a localização da armadura e a execução de um furo no concreto com a serra copo Figura 6 Perfuração da viga 107 Fonte adaptada de Hilti 2021 online¹ e de Shutterstock Sempre que você precisar conferir o resultado de algum exercício pode recorrer ao programa STRAIN Tratase de um software edu cacional que permite a resolução de estruturas online via internet O programa é bem simples e fácil de usar existem muitos vídeos de tutorais disponíveis também Infelizmente o software se encontra apenas em inglês mas pode ser encontrado ao se acessar o QR Code O furo deve seguir todas as recomendações da ABNT NBR 61182014 ABNT 2014 referente a estruturas de concreto armado por isso a engenheira Lúcia especificou que a perfuração não pode seccionar nenhuma barra de aço no processo pois tal evento poderia comprometer significativamente a integridade da viga Para tanto recomendou o uso de um scanner que permite identificar a posição das armaduras e o uso de uma broca serra copo diamantada com refrigeração para que o furo não provoque impacto e eventuais trincas no elemento Resolveremos agora um pórtico com duas deslocabilidades registrado na Figura 7 Inicialmente é feita uma análise preliminar da estrutura e na sequência iniciase a aplicação do método Considere o valor de EI 48000 tfm² 117 UNIDADE 4 Descrição da Imagem a figura mostra um pórtico hiperestático 5 vezes que tem duas deslocabildiades internas Essa estrutura hiperestática pode ser composta por uma estrutura rígida submetida ao carregamento externo caso 0 uma estrutura submetida à rotação D1 sobre o nó B caso 1 e uma estrutura submetida à rotação D2 sobre o nó C caso 2 Estão indicados os momentos de engastamento perfeito no caso 0 e os esforços que surgem devido às rotações D1 e D2 em todos os nós com os coeficientes de rigidez local da estrutura Figura 7 Exemplo de pórtico Fonte adaptada de Sussekind 1980 De posse do sistema hipergeométrico iniciase a reso lução calculandose a estrutura engastada sob efeito do carregamento externo Trecho BC M Pl tfm M Pl tfm BC CB 0 8 6 8 8 6 8 6 8 8 6 Trecho CD M ql tfm CD 0 8 4 6 8 18 ² ² 015 016 118 UNICESUMAR Assim os termos de carga serão b b 10 20 0 6 6 6 18 12 tfm tfm Resolvemse agora os casos de estrutura deslocada Trecho AB M EI L tfm rad M EI L AB BA 1 3 3 1 3 2 2 48 10 6 16 10 4 4 48 10 6 3 2 10 0 3 2 2 tfm rad M M AB BA Trecho BC M EI L tfm rad M EI L BC CB 1 3 3 1 3 4 4 48 10 8 24 10 2 2 48 10 8 1 2 10 2 2 48 10 8 12 10 4 3 2 3 3 2 tfm rad M EI L tfm rad M EI L BC CB 4 48 10 8 24 10 3 3 tfm rad Trecho CD M M M EI L tfm rad CD DC CD 1 1 2 3 3 0 3 3 48 10 6 24 10 Trecho EC M M M EI L tfm rad M EI L CE EC CE EC 1 1 2 3 3 2 0 4 4 48 10 6 32 10 2 2 48 10 6 16 10 3 3 tfm rad Cálculo dos coeficientes de rigidez local k M M tfm rad k k tfm rad k BC BA 11 1 1 3 12 21 3 22 32 24 56 10 12 10 M M M tfm rad CB CE CD 2 2 2 3 24 32 24 80 10 017 018 019 020 021 022 119 UNIDADE 4 Descrição da Imagem a figura mostra o diagrama de esforços internos solicitantes do pórtico estudado Temos a ilustração dos momentos das equações No apoio A 124 tfm no nó do pórtico B momento negativo de 248 tfm Em C temos 1023 na barra BC 1467 tfm na barra CD e na barra CE temos o valor de 444 tfm Figura 8 Esforços internos solicitantes do pórtico Fonte adaptada de Sussekind 1980 O sistema linear cujas incógnitas são os deslocamentos é dado por 56 10 12 10 6 12 10 80 10 12 3 1 3 2 3 1 3 2 D D D D 10 56 12 12 80 6 12 3 1 2 D D D rad D rad 1 3 2 3 0 07749 10 0 13838 10 Assim com esses valores de deslocamento é possível calcular os esforços internos da estrutura con forme equação e posteriormente ilustrar o diagrama dos momentos fletores como na Figura 8 M M M D M D AB AB AB AB 0 1 1 2 2 0 16 0 07749 0 0 13838 1 24 0 32 0 07749 0 0 1383 0 1 1 2 2 tfm M M M D M D BA BA BA BA 8 2 48 6 24 0 07749 12 0 1 1 2 2 tfm M M M D M D BC BC BC BC 0 13838 2 48 6 12 0 0774 0 1 1 2 2 tfm M M M D M D CB CB CB CB 9 24 0 13838 10 23 0 0 0 1 1 2 2 tfm M M M D M D CE CE CE CE 0 07749 32 0 13838 4 44 1 0 1 1 2 2 tfm M M M D M D CD CD CD CD 8 0 0 07749 24 0 13838 14 67 tfm 023 024 120 UNICESUMAR Conheçamos um pouco mais sobre o uso do Método dos Desloca mentos Que tal entender como ele pode ser usado no dia a dia de um escritório e qual é a sua importância na formação de uma enge nheiroa civil Venha participar Tenho certeza de que você gostará Você sabe como resolver um sistema linear como o da equação 023 A maneira mais fácil de resolver sistemas lineares simples como esses é a substituição Basicamente o valor de deslocamento D1 e D2 é linearmente dependente um do outro Então tomaremos uma das equações e isolaremos um deles escrevendo D1 em função de D2 por exemplo 56 10 12 10 6 6 12 10 56 10 3 1 3 2 1 3 2 ³ D D D D Seguindo o raciocínio esse valor será substituído na outra equação para localizar o valor de D2 12 10 80 10 12 12 10 6 12 10 56 10 3 1 3 2 3 3 2 ³ D D D 80 10 12 1 286 2571 43 80000 12 12 1 286 77 3 2 2 2 2 D D D D 428 57 1 38383 rad A partir desse valor é possível então encontrar D1 e resolver o sistema linear Essa solução é especialmente prática para sistemas lineares pequenos de duas ou três variáveis Quando estamos lidando com sistemas maiores convém usar o escalonamento da matriz Convido você a pesquisar sobre o assunto 025 026 121 UNIDADE 4 Conhecer o comportamento de estruturas hiperestáticas é fun damental para qualquer engenheiroa que queira ter sucesso no mercado de trabalho haja vista que são excelentes opções de projeto que tendem a ser mais econômicas Portanto é funda mental entender os conceitos envolvidos nos métodos de cálculo estrutural ainda que realizados por um computador pois é oa engenheiroa quem deve validálos aproválos ou reproválos O Método dos Deslocamentos estudado nesta unidade pode ser aplicado a qualquer estrutura hiperestática e é de fácil imple mentação computacional inclusive mesmo quando oa engenhei roa não queira usar um software comercial de análise estrutural Esse método também utiliza conceitos importantíssimos para um bom entendimento do comportamento estrutural As reações de engastamento perfeito por exemplo representam o maior valor de reação que poderia surgir na estrutura situação de rotação nula Então entre apoios de vigas continuamente apoiadas o maior valor de momento negativo é limitado a ql² 12 O valor de momento provavelmente estará entre os valores do momento de engastamento perfeito obtido à direita ² ql 12 dir e à esquerda ² ql 12 esq do apoio Esse conceito também será empregado no Método de Cross Os coeficientes de rigidez local permitem um entendimento mais completo do comportamento estrutural Por exemplo o coeficiente de rigidez à flexão é sempre acompanhado pelo termo EI L ou seja um maior comprimento implica em uma menor rigidez portanto uma região mais fácil de rotacionar O entendimento desses conceitos tem a finalidade de de senvolver em você alunoa a capacidade de olhar para uma estrutura de maneira sistêmica visualizando seu comporta mento estrutural além dos números e das contas 122 Nesta unidade você conheceu o uso do Método dos Deslocamentos para a solução de estruturas hiperestáticas Quando pensamos em soluções computacionais para Engenharia de Estruturas muitos dos programas comerciais atuais se utilizam de conceitos ou modificações no Método dos Deslocamentos pois esse é um método de fácil implementação computacional Ele permite determi nar os deslocamentos em estruturas estaticamente indeterminadas e conhecer seu comportamento estrutural especialmente em situações com um grau de hiperestaticidade elevado e deslocabili dades baixas Ao usar as condições de equilíbrio e a superposição dos efeitos é possível calcular os deslocamentos cujas forças associadas garantem a condição de equilíbrio dos nós de uma estrutura A primeira etapa a ser realizada ao se avaliar uma estrutura é obter seus graus de liberda des ou seja suas deslocabilidades referentes a cada nó Cada nó pode se movimentar de maneira limitada em função das deformações das barras que se conectam com ele Cada deslocabilidade desse nó é uma incógnita a ser determinada Procuramse os valores de deslocamentos cujas forças somadas garantem o equilíbrio do nó Estabelecese o sistema hipergeométrico em que todas as deslocabilidades da estrutura são travadas e contidas Nessa situação resolvese a estrutura para o carregamento externo imaginando travas perfeitas calculando as reações de engastamento perfeito A partir da estrutura travada bloqueada resolvemse os demais casos de carregamento Liberando cada um dos deslocamentos é possível avaliar as forças que esses deslocamentos unitários provocam ao longo da estrutura usando os coeficientes de rigidez local de cada barra Com os termos de carga e coeficientes de rigidez local é possível calcular os valores de deslocamentos e posteriormente estimar os esforços por superposição dos efeitos Acredito que o entendimento desses conceitos e a aplicação do Método dos Deslocamentos contri buíram para seu desenvolvimento acadêmico Tenho certeza de que terá facilidade na obtenção dos esforços de qualquer estrutura hiperestática que encontrar em suar jornada profissional Reitero a importância desses conceitos na sua formação enquanto engenheiroa civil e por isso convidooa a produzir um mapa mental sobre o assunto sumarizando os conceitos já apresentados Método dos deslocamentos as deslocabilidades e elaborar sistema hipergeométrico Avaliar as deslocabilidades e elaborar sistema hipergeométrico Separar os casos de estrutura engastada e estrutura deslocada Elaborar sistema de Equações de compatibilidade Determinar os coeficientes P0 e k ij Resolver estrutura engastada 0 TAB ENG PERFEITO Resolver estrutura deslocada1 TAB RIG LOCAL Resolver Sistema Linear Encontrar DESLOCAMENTOS reações de apoio e Esforços Sistema hipergeométrico β0 D1 k ij D2 k ij 0 124 1 Coloque os procedimentos na ordem da execução correta do Método dos Desloca mentos Resolver o sistema linear obter os deslocamentos Determinar as deslocabilidades da estrutura e elaborar o sistema hipergeométrico com os diversos casos de carregamento Calcular as reações e os esforços Resolver os casos 0 1 2 calculando os coeficientes β e K Assinale a alternativa que apresenta a ordem correta dos procedimentos de cima para baixo a 3 1 4 2 b 1 2 4 3 c 4 1 3 2 d 3 2 1 4 e 4 3 1 2 2 As estruturas hiperestáticas permitem que ocorra uma redistribuição maior das ten sões devido à rigidez da estrutura Nesse sentido são consideradas estruturas mais seguras Esse tipo de estrutura pode ser calculado pelo Método dos Deslocamentos Sobre o Método dos Deslocamentos avalie as afirmações a seguir I Utiliza condições de compatibilidade para avaliar os valores das reações de apoio sendo os deslocamentos as incógnitas do método II Utilizase do Princípio da Superposição dos Efeitos III Constitui na substituição dos vínculos e das restrições por forças em que se visa determinar o valor impondo que o deslocamento nesse ponto seja nulo IV Constitui na aplicação de restrições nos nós livres para se determinar os valores dos deslocamentos gerando um sistema hipergeométrico Avalie as afirmações sobre o Método dos Deslocamentos e assinale a alternativa que apre senta todas as afirmações corretas a Está correta apenas a afirmação I b Está correta apenas a afirmação III c Estão corretas as afirmações I e III d Estão corretas as afirmações I II e IV e Todas estão corretas 125 Descrição da Imagem a figura mostra um pórtico com um pilar inclinado AC apoiado sobre um apoio fixo em A um engaste em B e a viga horizontal CDE tem um apoio móvel que bloqueia deslocamentos verticais em E Figura 1 Viga para o exercício 3 Fonte o autor 3 Imagine que você está trabalhando em um projeto de expansão de uma indústria e deve projetar um pipeline industrial uma estrutura que serve de suporte a tubos e sistemas essenciais ao funcionamento da indústria Em função da compatibilização desses tubos a estrutura tem um formato diferenciado com um pilar inclinado con forme a figura a seguir Para poder projetar essa estrutura você precisa determinar suas deslocabilidades Assinale a alternativa que apresenta o número de deslocabilidades internas di e externas de a di 2 de 0 b di 1 de 1 c di 3 de 0 d di 2 de 1 e di 3 de 1 4 Observe as vigas apresentadas na figura a seguir A viga 01 tem dois engastes e um apoio central enquanto a viga 02 tem três apoios Ambas são hiperestáticas e têm com portamentos distintos Considerando os métodos que você já conhece para resolução de estruturas hiperestáticas Método das Forças e Deslocamentos discorra sobre qual método deve ser usado na resolução de cada viga e por quê 126 Descrição da Imagem a figura mostra duas vigas a viga 01 engastada nas extremidades A e C com um apoio central B e a viga 02 com um apoio fixo e dois apoios móveis Ambas submetidas a um carregamento distribuído Figura 2 Viga 01 e viga 02 para o exercício 4 Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma viga biengastada nas extremidades A e D com dois apoios centrais B e C submetida a um carregamento distribuído de 6 kNm A estrutura seis vezes hiperestática com duas deslocabilidades internas pode ser composta pela soma da estrutura travada engastada submetida ao carregamento externo caso 0 com a estrutura submetida ao giro unitário D1 e D2 agindo em B e C respectivamente Figura 3 Viga para exercícios 5 6 e 7 Fonte o autor 5 Considere a viga da Figura 3 referente a uma estrutura seis vezes hiperestática com apenas duas deslocabilidades em B e em C Essa viga será usada como referência para os exercícios 5 6 e 7 VIGA 01 VIGA 02 Você precisa encontrar os esforços internos da viga e para tanto optou por resolvêla pelo Método dos Deslocamentos considerando as rotações em B e C como incógnitas Sabendo que a viga tem EI kN m 1 104 ² pedese para assinalar a alternativa que contenha os valores dos termos de carga b10 e b20 127 a b10 12 0 kNm e b20 5 5 kNm b b10 6 0 kNm e b20 3 5 kNm c b10 2 0 kNm e b20 8 0 kNm d b10 8 0 kNm e b20 4 5 kNm e b10 7 0 kNm e b20 5 0 kNm 6 Ainda em relação à viga da Figura 3 assinale a alternativa que apresenta os valores dos coeficientes de rigidez local k11 k k 12 21 e k22 a k kNm rad k k kNm rad 11 4 12 21 4 2 33 10 3 0 10 e k kNm rad 22 3 0 104 b k kNm rad k k kNm rad 11 4 12 21 4 3 6 10 0 8 10 e k kNm rad 22 1 5 104 c k kNm rad k k kNm rad 11 4 12 21 4 3 0 10 2 5 10 e k kNm rad 22 1 33 104 d k kNm rad k k kNm rad 11 4 12 21 4 1 5 10 0 5 10 e k kNm rad 22 6 2 104 e k kNm rad k k kNm rad 11 4 12 21 4 3 0 10 0 5 10 e k kNm rad 22 2 33 104 7 Assinale a alternativa que apresenta os valores corretos para os deslocamentos D1 e D2 a D rad 1 1 33 10 4 e D rad 2 1 0 10 4 b D rad 1 2 33 10 4 e D rad 2 2 0 10 4 c D rad 1 2 33 10 4 e D rad 2 2 0 10 4 d D rad 1 6 0 10 4 e D rad 2 1 0 10 4 e D rad 1 0 25 10 4 e D rad 2 4 0 10 4 8 De posse dos deslocamentos esboce os diagramas de momento fletor da viga em questão MEU ESPAÇO 5 Nesta unidade você aprenderá a resolver estruturas hiperestáticas pelo método proposto pelo professor Hardy Cross Esse método tem por objetivo balancear os momentos atuantes em um nó e ficou posteriormente conhecido como Pro cesso de Cross Esse procedimento permite uma solução iterativa e rápida de um sistema hiperestático complexo por isso é muito importante que você como engenheiroa conheça sua metodologia de aplicação Você conhecerá as etapas do processo que permite uma rápida obtenção dos esforços da estrutura Serão abordados os conceitos de momento de engastamento perfeito coeficiente de rigidez local coeficientes de ponderação de carga e as condições de equilíbrio do método Alguns desses você já conhece pois o processo é baseado no Método dos Deslocamentos Entenderemos o passo a passo para a aplicação do processo iterativo até compensar os momentos atuantes na estrutura Com esse processo poderemos entender o comportamento estrutural de um pórtico ou viga hiperes tática permitindo seu entendimento e posterior dimensionamento Existem várias situações em que uma engenheiroa precisará conhecer o comportamento de uma estrutura hiperestática e o Processo de Cross é uma ferramenta muito prática para a obtenção dos esforços Desejolhe bons estudos Processo de Cross Me Gabriel Trindade Caviglione 130 UNICESUMAR Você já sabe como determinar os esforços de uma estru tura hiperestática Claro que a aplicação do Método das Forças e do Método dos Deslocamentos é bastante traba lhosa mas você já é capaz de entender o comportamento da estrutura e obter seus esforços Essa condição é fun damental para se fazer o projeto e dimensionamento de qualquer estrutura uma vez que precisamos dos esforços Você já conhece até alguns softwares que podem ser usados para a obtenção dos esforços em estruturas bidi mensionais Mas como você faria se precisasse conferir algum resultado desses softwares de maneira expedita As soluções que você conhece permitem resolver essas estruturas de maneira prática e rápida Lembrese de que oa engenheiroa é oa responsá vel técnicoa pela garantia da estabilidade das edificações perante a sociedade Ainda que os softwares possam nos ajudar é responsabilidade sua validar os resultados ob tidos pela modelagem computacional Nesse sentido ao avaliar uma estrutura existe alguma expectativa quanto ao diagrama dos momentos fletores Será que com os momentos de engastamento perfeito podemos de alguma forma estimar os valores em determinados trechos As respostas para as últimas perguntas são sim e um sim com veemência OA engenheiroa já deve ima ginar o comportamento estrutural de uma edificação antes mesmo de fazer sua modelagem Com o tempo e a experiência oa profissional adquire um senso crítico que possibilita avaliar os esforços e entender se a modelagem foi feita corretamente Essa habilidade é muito importante para quem quer desenvolver proje tos estruturais de maneira precisa e ágil pois permite localizar erros logo na fase de modelagem Para tentarmos resolver esse problema podemos ima ginar que os momentos de trechos da estrutura tivessem o mesmo valor dos momentos de engastamento perfeito No caso real esperamse algumas rotações portanto te ríamos valores que seriam menores ou maiores a depen der das da direção das rotações reais mas já poderia ser considerada uma estimativa inicial desses valores 131 UNIDADE 5 Imagine que você como uma engenheiroa recémformadoa conseguiu um trabalho em um escritório renomado de cálculo estrutural na cidade de Curitiba Muito contente com a concor rida vaga você pretende se dedicar e produzir um bom trabalho O engenheiro Gustavo colega muito experiente que trabalha há 15 anos nesse escritório precisa detalhar as vigas e os pilares de estrutura aporticada Figura 2 No entanto após modelar a estrutura no computador ele desconfia que os valores de momentos estejam incorretos Gustavo prometeu ao engenheiro Tadeu responsável pelo andamento da obra liberar as pranchas no dia seguinte pela manhã a fim de que pudessem fazer o orçamento e encomenda do aço a ser usado na estrutura Gustavo tem uma reunião agora pela manhã e está preocupado em fazer o detalhamento pelo programa uma vez que desconfia que os esforços estejam equivocados Diante dessa situação você propôs ajudar seu colega conferindo e verificando os esforços Você tem algumas horas para avaliar o problema e direcionar seu colega à solução visto que Gustavo deve retornar da reunião antes do almoço Descrição da Imagem a figura mostra um homem analisando os esforços de uma estrutura no computador Figura 1 Análise estrutural de um tabuleiro de ponte 132 UNICESUMAR Descrição da Imagem a figura mostra uma resi dência contemporânea vista de diferentes ângulos Na imagem está destacada a presença do pórtico a ser estudado À direita temos o esquema estático do pórtico ABCDE cujos apoios são engastes D e E temos uma junção rígida de três barras no nó B ao centro e uma de duas barras no nó A à esquerda No nó C à direita temos uma conexão do tipo fixa Os pilares têm altura de 3 m O vão à esquerda AB tem 45 m de comprimento e o vão à direita BC tem 30 m de comprimento Os trechos DABE têm 2EI e o trecho BC tem EI A figura mostra um detalhe do nó B mostrando a rotação do nó relativa ao equilíbrio dos momentos agindo em cada barra Abaixo ainda temos o diagrama de momentos fletores obtidos pela análise do engenheiro Gustavo Figura 2 Estrutura aporticada a ser projetada pelo enge nheiro Gustavo Fonte o autor 133 UNIDADE 5 Em um olhar preliminar na estrutura e em seus esforços solicitantes é difícil apon tar algum erro de vinculação da estrutura pois o diagrama de fletor é contínuo nos nós e transmite esforços aos apoios engastados Você resolve conferir as dimensões lançadas no programa os vãos as alturas as seções e o carregamento da estrutura referente à carga de alvenaria às lajes e ao vento E conclui que está tudo ok Diante dessas constatações iniciais fazse necessário estabelecer algum modelo simpli ficador para verificar manualmente a magnitude dos esforços atuantes no pórtico Levante algumas hipóteses de como você poderia fazer isso Quais conceitos empregaria na análise Quais métodos poderia usar para resolver uma estrutura em um período tão escasso Para resolver essa situação sua cabeça começa a levantar uma série de questio namentos e ideias será que é possível produzir em poucas horas algum resultado suficientemente preciso para validar uma simulação computacional Quais são as chances de um computador errar no cálculo Seria possível um erro se o progra ma tiver algum vírus ou estiver corrompido Preciso conferir esse modelo neste nível de profundidade Chegar até os valores dos esforços Em quais situações os resultados precisariam ser conferidos Será que esta é uma delas Será que essa conferência não é um teste para avaliar suas capacidades técnicas Como posso estimar os momentos nesse pórtico Posso usar as condições de engastamento perfeito É razoável dividir os momentos igualmente nas barras dos nós Qual é o papel da rigidez na distribuição dos momentos atuantes sobre a estrutura Responder essas perguntas não é tarefa simples muito menos num prazo tão curto e tendo em vista a responsabilidade envolvida Tal situação demanda uma solução rápida e confiável Embora seja estressante esse problema pode ser resolvi do sem grandes dificuldades Observemos atentamente o nó B da Figura 2 Como poderíamos recompor os momentos agindo nele Se o nó fosse completamente fixo isto é situação de engastamento perfeito teríamos os momentos de engastamento perfeito agindo em cada barra Cada barra teria um valor diferente de momento e o equilíbrio se daria em um valor intermediário o qual não conhecemos À medida que liberamos o nó para rotacionar poderemos ver a compensação desses momentos conforme a rigidez de cada barra as barras mais rígidas tende riam a absorver maiores momentos Nesse cenário a estrutura se deformaria até encontrar o valor de momento no nó que se equilibrasse com todas as barras O Procedimento de Cross é um conjunto de operações iterativas que permite por aproximações estimar esse momento de equilíbrio Você consegue visualizar isso ocorrendo na estrutura Tente imaginar o comportamento da estrutura nessas condições Procure desenhar esses efeitos Faça esquemas que lhe permitam inferir sobre as rotações se serão no sentido horário ou antihorário Se forem no sentido horário o valor do momento deve aumentar ou diminuir E se forem no antihorário Para registrar suas ideias utilize seu Diário de Bordo 134 UNICESUMAR Para poder ajudar seu colega Gustavo você decidiu consultar seus estudos da graduação para relembrar como se faz a compensação dos momentos pelo Méto do de Cross Você lembra que era um mé todo prático e ágil que permitia encon trar os momentos em determinados nós da estrutura de maneira iterativa Vamos então aprender como usar esse método A fim de resolver o problema do pór tico precisaríamos determinar o com portamento do nó B seja sua rotação ou os esforços ali atuantes Inicialmente seria interessante analisar uma estrutu ra mais simples para entender melhor seu comportamento antes de tentarmos resolver o pórtico Por isso considerare mos a viga 107 da Figura 3 que inclusive já foi resolvida na unidade anterior 135 UNIDADE 5 Observe que a viga é engastada em A e em C e que portanto a única deslocabilidade da estrutura é a deslocabilidade interna referente à rotação no ponto B uma vez que nos demais é nula Procuraremos entender o efeito dessa rotação para o comportamento da estrutura Se a viga fosse simétrica com vão de 280 cm para esquerda e direita teríamos um mesmo carregamento atuante em ambos os lados Nesse cenário não haveria nenhuma tendência de rotação e os momentos seriam iguais ao momento de engastamento perfeito das tabelas 523 kNm Se aplicássemos os momentos de engastamento perfeito em uma estrutura assimétrica teríamos valores diferentes pois em estruturas assimétricas teremos assimetria nas reações e esforços Nesse Descrição da Imagem a figura mostra duas vigas de engastes em A e C nas extremidades e um apoio móvel em B ao centro Sobre ambas as vigas atua um carrega mento de 8 kNm Na viga ilustrada à esquerda temos uma situação assimétrica com um vão AB de 210 cm e um vão BC de 330 cm A viga da direita é uma viga simétrica de vão ABBC280 Essa viga foi idealizada hipotetica mente para ilustrar o comportamento estrutural Na viga simétrica não existe uma tendência de rotação na viga no ponto sobre o apoio B justamente por ser simétrica Assim sobre os nós A B à direita B à esquerda e C age o mesmo valor de momento Abaixo da viga temos a representação da ausência de rotação e os momentos de engastamento perfeito Na viga assimétrica por sua vez existe uma tendência de rotação Na figura temos a hipótese de uma rotação D1 no sentido horário ou D2 no sentido antihorário Logo percebese que a tendência principal é no sentido horário de D1 já que o trecho BC tem um vão maior Acima das rotações temos os mo mentos de engastamento perfeito atuando situação com rotação nula Nessa situação o momento à esquerda do nó B é 294 e à direita é de 726 kNm Sabendo dessa tendencia de rotação esses momentos serão redistri buídos conforme a rigidez de cada barra até um valor de equilíbrio Abaixo temos o resultado dos momentos fletores agindo sobre a viga Observase que no nó B o momento efetivamente atuante sobre o nó é 558 kNm Figura 3 Entendendo o comportamento da V107 Fonte o autor 136 UNICESUMAR sentido haveria uma tendência de rotação da viga sobre o apoio B Conseguimos observar claramente que é mais provável a rotação D1 do que a rotação D2 inclusive o que foi obtido na resolução do problema Por quê Ocorre que o trecho BC é maior que o trecho AB e por tanto é menos rígido terá maiores deflexões Essa tendência de rotação estaria aumentando os esforços do momento fletor em BA e diminuin do em BC o sistema se deformaria até encontrar um equilíbrio que pudesse homogeneizar os esforços à esquerda 294 kNm e à direita 726 kNm Repare que o valor de equilíbrio 558 kNm é menor do que o momento de engastamento perfeito do trecho BC 726 kNm e maior do que o momento de engastamento do trecho BA 294 kNm Considerando apenas dois momentos agindo sobre o nó podemos entender que o valor de momento de equilíbrio estará entre os valores do momento de engastamento perfeito de cada lado O ponto de equi líbrio não será exatamente no meio mas será ponderado pela rigidez de cada barra levando em consideração esse efeito de rotação A ideia central do Processo de Cross é fazer a distribuição da diferença entre os momentos de engastamento perfeito 294 kNm 726 kNm ponderan doa pela rigidez de cada barra para atingir esse ponto de equilíbrio O processo de distribuição dos momentos foi desenvolvido por Hardy Cross no início dos anos 1930 Esse método se baseia no equi líbrio dos momentos aplicados pelas barras ao nó os quais devem somar zero pois o nó está em equilíbrio Em várias situações a apli cação desse método elimina as equações e sistemas lineares usados no Método das Forças e dos Deslocamentos LEET et al 2009 Segundo Leet et al 2009 inicialmente consideraremos restrições temporárias como chapas rígidas aplicadas sobre os nós impedindoos de rotacionar Nessa situação temos uma estrutura completamente rígi da e composta por extremidades fixas e ao aplicarmos o carregamento nessa estrutura teremos momentos nas barras e nas chapas rígidas Lentamente retirase a chapa de um dos nós permitindo que ele possa rotacionar e assim redistribuir os momentos das barras aplicados sobre a chapa Esses momentos serão distribuídos conforme a rigidez à flexão de cada barra À medida em que se retira os demais travamen tos a estrutura pode se deformar e os momentos serão redistribuídos nó a nó até que se tenha o equilíbrio de todos os momentos LEET et al 2009 A Figura 4 traz uma interpretação física para o processo matemático de Cross ou seja a redistribuição dos momentos citada 137 UNIDADE 5 Entendidas as condições e ideias básicas do processo então retomaremos o estudo do pórtico da Figura 2 No nó B temos três momentos agindo referente ao efeito de carregamento de cada barra MBA MBE e MBC Se fizermos o equilíbrio dos momentos atuantes podemos escrever a equação M M M M M M M M BA BE BC BA BE BC 0 Genericamente ΣM M i Descrição da Imagem a figura mostra o modelo físico de White Gergely e Sexsmith Mostra uma viga com quatro apoios e uma carga centrada no vão central com relação a suas etapas no Processo de Cross Sobre os apoios são colocados marcadores que registram a rotação Na primeira etapa do método ao sofrer carregamento não ocorrem rotações pois os nós estão fixados e portanto surgem momentos nos apoios centrais Abaixo temos a segunda etapa do método em que se permite a rotação de um dos nós No caso a figura mostra a rotação do nó e a redistribuição desse momento aos nós adjacentes Na terceira linha permitese a rotação de outro nó e com isso a redistribuição do momento aos adjacentes Esse processo se repete indefinidadamente mas na figura na quarta linha já é apresentada a condição de equilíbrio Figura 4 Interpretação física para o Processo de Cross Fonte adaptada de White Gergely e Sexsmith 1976 apud MARTHA 2010 11 12 138 UNICESUMAR Em que Mi corresponde ao momento de cada barra conectada ao nó rígido Segundo Sussekind 1980a p 181 pelo Método dos Desloca mentos e pela definição de rigidez podemos escrever cada um dos momentos em função da rigidez local de cada barra e sua rotação j j j j K K K M M K K K BA BE BC BA BE BC Genericamente M K M K i i j j Σ Σ Em que Ki corresponde à rigidez local de cada barra conectada ao nó rígido j corresponde à rotação do nó Nesse sentido se multiplicarmos a equação pela rigidez da barra BA KBA teremos o momento agindo na barra BA MBA Enten demos então que o momento M agindo no nó será subdivido em várias parcelas Mi para cada barra em função da rigidez local de cada barra Ki j K M K K M M K K i i i i i i Σ Σ Ou seja o momento atuante em cada barra Mi será proporcional à rigidez local daquela barra Ki perante a rigidez do nó SKi considerando as três barras Essa proporção entre a rigidez local e a rigidez do nó gi i i K K Σ será chamada de coeficiente de pondera ção dos momentos ou coeficiente de distribuição dos momentos Da equação Sussekind 1980a p 182 conclui uma cargamomento aplicada num nó de uma estrutura totalmente indeslocável irá se 13 14 15 139 UNIDADE 5 distribuir entre as diversas barras concorrentes neste nó segundo parcelas proporcionais à rigidez neste nó de cada uma das barras Para aplicarmos o procedimento consideraremos inicialmente a condição da estrutura perfeita mente engastada travada por chapas rígidas permitindo comportamento engastado aos trechos Nessa situação os carregamentos devem solicitar os momentos de engastamento perfeito Figura 5 nó a nó Sobre determinado nó teríamos então a solicitação de diversos momentos de engastamento perfeito Mi conforme as barras ali concorrentes Para garantir o equilíbrio desse nó o somatório dos momentos precisa ser nulo ΣMi 0 Dessa forma os valores extras à soma ΣMi 0 deverão ser redistribuídos com sinal contrário no nó conforme o coeficiente de ponderação dos momentos a fim de reestabelecer ΣMi 0 Essa redistribuição desses momentos no nó provoca esforços em outros nós e esse esforço preci sa também ser equilibrado Para barras engastadasengastadas um momento aplicado no ponto A provoca um momento de metade dessa magnitude em B onde ainda não ocorreu a redistribuição Isso pode ser observado no coeficiente de rigidez local da Figura 5 Dessa maneira o nó B precisa ser reequilibrado e influencia seus demais nós adjacentes Esse processo será repetido até que todos os nós estejam equilibrados ou que a diferença residual desses momentos seja muito pequena ao ponto de poder ser desprezada Descrição da Imagem a figura mostra o coeficiente de rigidez local de 3 barras 1 engastadaengastada temos 4EIL no ponto de rotação e 2EIL no outro engaste 2 barra apoiada engastada temos 3EIL no ponto de rotação e zero no apoio 3 engastada engastada submetida a uma translação transversal de um dos apoios tal efeito provoca 6EIL² em ambos apoios À direita temos as reações de engastamento perfeito situção na qual a viga não teria rotações Estão tabelados os valores para 1 carregamento distribuído em viga biengastada provocando momentos de ql²12 e reações de ql2 2 carregamento concentrado em viga biengas tada provocando momentos de Pab²l² e Pa²bl² e reações de Pal e Pbl 3 carregamento distribuído em viga engastadaapoiada provocando momentos de ql²8 e 4 carga concentrada em viga engastadaapoiada Figura 5 Coeficientes de rigidez local e reações de engastamento perfeito para situações mais frequentes Fonte Sussekind 1980a p 17 140 UNICESUMAR Podemos então definir um roteiro base para a aplicação do método SUSSEKIND 1980a LEET et al 2009 1 Consideramse os nós perfeitamente rígidos e portanto são solicitados conforme os mo mentos de engastamento perfeito de cada barra M M M AB AC i O valor desses momentos será rebalanceado conforme a rigidez local de cada barra calculamse então os coeficientes de ponderação do momento gi i i K K Σ que são escritos junto a cada nó A soma desses coe ficientes deve ser igual a 10 2 Permitese a rotação de um dos nós de maneira a redistribuir os esforços A diferença entre os momentos de engastamento perfeito atuantes é redistribuída conforme o coeficiente de ponderação de cada barra Analisase então o efeito do momento redistribuído para nós adjacentes Bloqueiase o nó 3 Permitese a rotação de outro nó adjacente ao anterior liberase a rotação de um dos demais nós avaliando a diferença entre os momentos de engastamentos perfeitos atuantes e o momento redistri buído com relação ao nó anterior Havendo desequilíbrio a diferença é distribuída para cada barra conforme o coeficiente de ponderação O procedimento é realizado para todos nós da estrutura 4 Repetição do processo após a análise de todos os nós ainda pode ocorrer discrepância entre os momentos por isso o processo se repete até que haja convergência dos resultados isto é até que a diferença dos momentos seja considerada sem importância frente à magnitude dos esforços geralmente considerase uma tolerância de 001 A principal vantagem do Processo de Cross é a sua praticidade que permite a solução de um problema complexo sem equação complexas pelo processo iterativo O método pode ser equacionado quase que graficamente escrevendo os cálculos na própria estrutura como apoio O pórtico que foi apresentado está travado horizontalmente e portanto tem apenas deslo cabilidades internas rotações Se o pórtico tivesse deslocabilidades externas você poderia resolvêlo pelo Processo de Cross Ou seria necessário fazer alguma adaptação Repare que a citação de Sussekind 1980b se refere a uma estrutura indeslocável isto é com apenas rotações sem deslocamentos O Processo de Cross trata apenas dos momentos sendo necessário fazer uma adaptação para considerar esses deslocamentos Agora que você já conhece os conceitos e as bases do Processo de Cross que tal aplicálo em uma estrutura hiperestática A solução de exercícios ajuda a fixar e memorizar o processo bem como pro voca o entendimento e análise estrutural Convido você a analisar a viga da Figura 6 Tratase de uma viga hiperestática com um engaste e três graus de hiperestaticidade além de duas deslocabilidades internas Como é uma estrutura fixa podemos usar o Processo de Cross O primeiro passo seria ima 141 UNIDADE 5 ginar a estrutura como rígida fixa e calcular os momentos de engastamento perfeito e os coeficientes de ponderação dos momentos Descrição da Imagem a figura mostra uma viga com apoios em A B C e com um engaste em D O trecho AB tem uma inércia de 3EI Trechos AB e CD têm 45 m de comprimento e o trecho BC tem 30 m de comprimento A viga está submetida a um carrega mento de 8 kNm Abaixo dela temos representada a aplicação do processo Na primeira viga temos a indicação dos momentos de engastamento perfeito e os coeficientes de ponderação do momento para cada barra Na segunda viga mais abaixo temos o processo de cálculo com os valores propriamente ditos Na aplicação do método a partir do ponto B por exemplo escrevese o oposto do valor da diferença de momento abaixo no caso 2025 6 1425 Estes 1425 serão redistribuídos conforme a rigidez de cada barra O fator de ponderação de rigidez de cada barra é escrito sobre o nó na viga Assim sabese quanto será redistribuído para cada barra 855570 De posse desses valores fazse a avaliação da estabilidade do nó passandose uma reta O valor do momento redistribuído 570 influencia o nó adjacente com sua metade 285 É feito então o equilíbrio do nó C e assim suces sivamente À direita temse representado o método compacto em que se escreve apenas o valor do momento a ser redistribuído de cada barra pulando as etapas indermediárias Figura 6 Viga 01 exemplo para exercício Fonte o autor 142 UNICESUMAR Para o trecho AB e BC referente ao nó B temos K EI L EI EI K EI L EI EI K K BA BC i BA 3 3 3 4 5 2 4 4 3 1 3333 Σ K EI EI EI K K K EI BC ba BA BA BC 1 333 2 3 3333 2 1 g 333 2 0 60 1 333 1 333 2 EI EI K K K EI EI bc BC BA BC g EI 0 40 Para o trecho BC e CD referente ao nó C temos K EI L EI EI K EI L EI EI K K CB CD i 4 4 3 0 1 333 4 4 4 5 0 889 Σ CB CD cb CB CB CD K EI EI EI K K K 1 333 0 889 2 222 1 3 g 33 1 333 0 889 0 60 0 889 EI EI EI K K K EI cd CD CB CD g 1 333 0 889 0 40 EI EI Os momentos de engastamento perfeito da viga são M ql kNm M ql kNm M BA BC CB ² ² ² ² 8 8 4 5 8 20 25 12 8 3 0 12 6 ql kNm M ql kNm M q CD DC ² ² ² ² 12 8 3 0 12 6 12 8 4 5 12 13 5 ll kNm ² ² 12 8 4 5 12 13 5 Lembrese de que sempre estamos avaliando a rigidez do nó referente a cada barra Para avaliar a rigidez do nó estamos considerando sempre a rotação no próprio nó ou seja usaremos apenas com os coeficientes K EI L 4 engastadoengastado ou K EI L 3 engastadoapoiado referente à Figura 5 Repare também que quando sobra momento em um nó K EI L 4 sempre será distribuída a metade desse valor aos adjacentes K EI L 2 salvo se a rotação for livre valor nulo 0 16 17 18 143 UNIDADE 5 O próximo passo n 2 referese a liberar um dos nós permi tindo a distribuição dos momentos entre as barras que se co nectam a esse nó em função da rigidez Liberaremos o nó B e posteriormente o nó C Na primeira interação no nó B temos ΣM M M i BA BC 0 0 0 6 0 20 25 14 25 assim temos que re distribuir 1425 kNm sentido oposto para equilibrar o nó sendo que 60 gba serão para a barra AB e 40 gbc para a barra BC Mi M M kNm M kNm AB BC g 0 60 14 25 8 55 0 40 14 25 5 70 Repare que se fizermos o equilíbrio do nó agora somando esses va lores redistribuídos os valores em módulo dos momentos à es querda serão iguais aos da direita do nó 20 25 8 55 6 0 5 70 Com o passo n 3 avaliase a distribuição de momentos no nó C em que temos MCB 6 0 MCD 13 5 e a influência da redistribuição do nó B que será M kNm BC 2 0 40 14 25 2 2 85 dessa forma ΣM M M M i CB CD BC 0 0 0 2 6 0 13 5 2 85 10 35 Então esses 1035 kNm serão distribuídos entre as barras CB e CD sendo 60 gcb para a barra CB e os restantes 40 gcd para o trecho CD Mi M M kNm M kNm CB CD g 0 60 10 35 6 21 0 40 10 35 4 14 Novamente podemos reparar que se fizermos o equilíbrio do nó agora incluindo esses valores redistribuídos na soma teremos igualdade entre os valores em módulo dos momentos à es querda e direita do nó 6 0 2 85 6 21 13 5 4 14 No vamente a redistribuição de momentos C deve influenciar os nós vizinhos tal qual M M kNm DC CD 2 4 14 2 2 07 e M M kNm BC CB 2 6 21 2 3 10 Nesse sentido o nó B sai da sua condição de equilíbrio e se inicia o quarto passo processo iterativo e repetitivo até que os valores de momento se aproximem convergindo para um resultado Na Figura 6 temos registro desse processo bem como os esforços internos da viga Podemos observar também um registro mais compacto menos detalhado que é comumente usado quando se utiliza o método 19 110 144 UNICESUMAR Agora que já conseguimos desenvolver melhor a aplicação do Pro cesso de Cross tentaremos resolver o problema do pórtico pro posto pelo engenheiro Gustavo O pórtico está ilustrado na Figura 7 e podemos notar que ele não é simétrico com vãos diferentes e com diferentes rigidezes Para resolvêlo aplicaremos o Método de Cross em que o primeiro passo seria a determinação dos coefi cientes de rigidez local e dos momentos de engastamento perfeito M ql kNm M kNm M ql AB AD BA ² ² ² ² 12 7 4 5 12 11 8125 0 12 7 4 5 ² ² 12 11 8125 8 7 3 0 8 7 875 0 kNm M ql kNm M BC BE Na sequência os coeficientes de rigidez local e os coeficientes de ponderação das barras do nó A K EI L EI EI K EI L EI EI K AB AD 4 4 2 4 5 1 778 4 4 2 3 2 667 Σ i K K EI K Ki K K K EI AB AD AB i AB AB AD 4 445 1 778 2 667 g Σ EI EI K Ki K K K EI AD i AD AB AD 1 778 0 400 2 667 2 667 g Σ EI EI 1 778 0 600 Na sequência os coeficientes de rigidez local e os coeficientes de ponderação das barras do nó B Vamos conhecer um pouco mais sobre o uso do Processo de Cross Bem como outras contribuições dele para a Engenharia Você co nhecerá um pouco sobre sua aplicação em condições práticas de Engenharia Civil Participe 111 112 145 UNIDADE 5 K EI L EI EI K EI L EI EI K BA BC BE 4 4 2 4 5 1 778 4 3 3 1 000 4 EI L EI EI Ki K K K EI K Ki BA BC BE BA i 4 2 3 2 667 5 445 Σ Σ g K K K K EI EI EI EI BA BA BC BE 1 778 1 0 2 667 1 778 0 326 1 000 1 0 2 667 gBC i BC BA BC BE K Ki K K K K EI EI EI Σ 1 778 0 184 2 667 1 0 2 66 EI K Ki K K K K BE i BE BA BC BE g Σ 7 1 778 0 490 113 146 UNICESUMAR Descrição da Imagem a figura mostra a resolução do pórtico da Figura 2 pelo método compacto Temos o registro do processo completo todas iterações sobre os nós A e B Abaixo temos indicado o diagrama de momento fletor obtido pelo ftool cujos resul tados são muito próximos aos resultados obtidos pelo método Figura 7 Pórtico do engenheiro Gustavo exemplo para exercício Fonte o autor 147 UNIDADE 5 De posse dos valores dos coeficientes de ponderação dos momentos e dos momentos de engasta mento perfeito podemos prosseguir para o segundo passo liberando o nó B e redistribuindo seus momentos Analisando os momentos que agem sobre o referido nó temos ΣMi M M M m kNm BA BC BE 0 0 11 8125 7 875 0 3 9375 Esse momento será dividido proporcionalmente conforme a rigidez de cada barra M m kNm M kNm M BA BA AB g 3 9375 0 326 1 284 1 284 2 0 642 BC BC BE BE m kNm M m g g 3 9375 0 184 0 724 3 9375 0 490 1 929 kNm Fazemos agora a compatibilização do nó A já considerando o efeito do nó B Tomando o somatório dos momentos temos ΣMi M M M m kNm AB AB AD 0 0 11 8125 0 642 0 12 454 Esse momento será dividido proporcionalmente conforme a rigidez de cada barra M m kNm M kNm AB AB BA g 12 454 0 4 4 982 4 982 2 2 491 M m kNm AD AD g 12 454 0 6 7 472 O processo então repetese até haver a convergência dos resultados no equilíbrio de todos os nós M m kNm M kNm M BA BA AB B g 2 491 0 326 0 812 0 812 2 0 406 C BC BE BE m kNm M m g g 2 491 0 184 0 458 2 491 0 490 1 221 0 406 0 4 0 162 0 162 2 0 0 kNm M m kNm M AB AB BA g 81 0 406 0 6 0 244 0 081 0 32 kNm M m kNm M m AD AD BA BA g g 6 0 026 0 026 2 0 013 0 081 0 184 kNm M kNm M m AB BC gBC 0 015 0 081 0 490 0 040 0 0 kNm M m kNm M m BE BE AB AB g g 13 0 4 0 005 0 005 2 0 002 0 0 kNm M kNm M m BA AD gAD 13 0 6 0 008 kNm 114 115 116 117 118 148 UNICESUMAR Com a convergência dos resultados é possível estabelecer os momentos fletores atuantes na estrutura e compor seu diagrama de esforços internos Na Figura 7 temos um registro compacto do Processo de Cross bem como os diagramas já citados Na sequência você discutirá com o engenheiro Gustavo as implicações desses resultados tão diferentes em termos de magnitude do referido na Figura 2 Depois de resolver o pórtico você conseguiu perceber que os valores dos momentos são significativamente inferiores aos obtidos pelo engenheiro Gustavo ao usar um programa Resta agora avaliar qual das duas soluções é mais próxima da realidade Após o fim da reunião Gustavo lhe procura para saber do andamento da análise Você explica a situação e ele julga prudente conferir o carregamento lançado no software Foi estabelecido um carregamento de 5 kNm para cargas acidentais e de 2 kNm para cargas permanentes Ao abrir o software ele percebe que ao invés de lançar 527 kNm ele lançou um carregamento muito maior 52025 kNm e justamente por causa desse erro de digitação é que os momentos estavam exacerbados Ele agradeceu muito pela sua ajuda que possibilitou encontrar o erro pois ele ainda terá tempo útil para entregar o detalhamento ao engenheiro Tadeu Essas situações são mais comuns do que se pensa Muitas vezes erros simples podem comprometer um projeto Por isso o software e as análises numéricas nunca poderão substituir a experiência e o bom senso de uma engenheiroa Sempre procure avaliar os resultados para além de passivamente aceitálos O Método de Cross é fundamental para resolver estruturas é um dos métodos básicos e clássicos será sempre útil Além do próprio método o estudo permitiu entender conceitos muito importantes na modelagem e dimensionamento de uma estrutura A compreensão das condições de equilíbrio de um nó da compatibilização das deformações do conceito e da influência da rigidez frente ao compor tamento estrutural Esses conceitos procuram desenvolver em você alunoa a capacidade de olhar para a estrutura de uma edificação e ver além do material e concreto visualizando seu comportamento estrutural Essa habilidade é fundamental em laudos periciais e em processos de recuperação estrutural O Processo de Cross passa agora a somar ao seu conjunto de ferramentas de solução de es truturas hiperestáticas O que permite que você como engenheiroa possa projetar e construir essas estruturas sem problemas Isso se torna particularmente interessante visto que essas são estruturas que costumam ser mais econômicas e menos deformáveis 149 Você viu como utilizar o Processo de Cross para resolver uma estrutura hiperestática Pelo método utilizase o momento de engastamento perfeito de cada barra em determinados nós de interesse como uma estimativa inicial para determinar o momento que realmente agirá sobre a estrutura Na situação de engastamento perfeito não teríamos rotações nos nós o que não representa a realidade assim quando os nós rotacionarem encontrarão um momento de equilíbrio Para encontrar esse momento de equilíbrio o Processo de Cross toma a diferença dos momentos agindo em cada barra e distribui conforme um coeficiente de ponderação relativo à rigidez de cada barra Esse processo se repete até que haja convergência dos valores A compreensão desses conceitos possibilita a aplicação do processo em várias situações úteis ao engenheiro sendo muito importante entendêlo e aplicálo corretamente Considero que essa é uma ferramenta muito útil ao entendimento do comportamento estrutural que facilita a obtenção dos esforços em estruturas hiperestáticas Sabendo da importância desse procedimento convido você a elaborar um mapa mental sobre o assunto registrando os conceitos apreendidos nesta unidade bem como as ideias referentes a esse assunto Baseado no método PDS deslocamentos Utilização e os conceitos de PDS deslocamentos Propriedades de rigidez locais Proposto de casos Se você está de acordo se você está de acordo Propriedade se você está de acordo se você está de acordo etc 151 1 Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas da afirmação a seguir sobre o Processo de Cross usado para solução de estruturas hiperestáticas A ideia básica desse processo é a de que como os nós de uma estrutura devem estar em a soma dos aplicados pelas extremidades das barras que chegam a um nó deve ser a Equilíbrio momento nula b Desequilíbrio normal diferente de zero c Compatibilidade momento diferente de zero d Igualdade esforço cortante nula e Desequilíbrio esforço cortante nula 2 O Método de Cross também conhecido por Processo de Cross foi idealizado e desenvolvido por Hardy Cross em 1932 e introduzido no Brasil pelo professor Cândi do Holanda de Lima em 1941 Também é conhecido como Método de Distribuição de Momentos Coloque as afirmações a seguir na ordem de aplicação do método Bloqueiase o nó e se repete o processo de redistribuição no próximo nó Repetese o processo até atingir a precisão necessária Considerase que todos os nós são perfeitamente fixos e portanto são solicitados com os momentos de engastamento perfeito Aplicamse esses momentos nos nós Calculase o momento de engastamento perfeito de cada barranó então se calcula o coeficiente de ponderação dos momentos conforme a rigidez de cada barra Permitese a rotação um dos nós redistribuindo o momento para barrasnós adja centes de acordo com o coeficiente de ponderação dos momentos Assinale a alternativa que contém a ordem correta de execução do Método de Cross de cima para baixo a 1 2 3 4 b 2 3 1 4 c 3 1 2 4 d 3 2 1 4 e 4 2 1 3 152 3 O Método de Cross é um processo destinado a resolver estruturas hiperestáticas vigas contínuas e pórticos deslocáveis e não deslocáveis por meio de aproximações sucessivas e de fácil execução por se resolver apenas com as quatro operações fun damentais Tendo isso em mente considere a viga da Figura 1 a qual será usada nos exercícios 3 e 4 q 15 kNm A EI 150 m B 2EI C 450 m 600 m yab ybc A B C Ɵ1 Ɵ1 4EI L 3EI L a b Descrição da Imagem a figura mostra uma viga ABC com apoios em A e B e com um engaste em C O vão AB tem EI de rigidez à flexão e 150 m de comprimento O vão BC tem 2EI de rigidez a flexão e 450 m de comprimento Ambos estão submetidos a um carregamento de 15kNm Abaixo temos a indicação dos coeficentes de ponderação do momento para cada barra Figura 1 Viga para os exercícios 3 e 4 Fonte o autor Pedese para determinar o coeficiente de ponderação gab e gbc a 023 e 077 b 132 e 032 c 033 e 066 d 066 e 033 e 053 e 047 4 Considerando a viga do exercício 3 Figura 1 pedese para calcular o momento fletor sobre o apoio B e a reação de apoio A 153 a Mb 1539 kNm e Va 099 kN b Mb 2209 kNm e Va 499 kN c Mb 2347 kNm e Va 506 kN d Mb 422 kNm e Va 099 kN e Mb 2531 kNm e Va 099 kN 5 Considere a viga da Figura 2 referente a uma estrutura seis vezes hiperestática com apenas duas deslocabilidades em B e em C Essa viga será usada como referência nos exercícios 5 e 6 Descrição da Imagem a figura mostra uma viga ABCD com dois apoios centrais B e C e dois engastes nas extremidades A e D Ambos estão submetidos a um carregamento de 6kNm O vão AB tem comprimento de 20 m o vão BC tem comprimento de 40 m e o vão CD tem 30 m de comprimento Figura 2 Viga para exercícios 5 e 6 Fonte o autor Você precisa encontrar os esforços internos da viga e para tanto optou por resolvêla pelo Método dos Deslocamentos considerando as rotações em B e C como incógnitas Sabendo que a viga tem EI kN m 1 104 ² pedese para assinalar a alternativa que contenha os valores dos coeficientes de ponderação de carga de momentos g g ab bc e g g bc cd 154 a 0 333 0 670 e 0 125 0 775 b 0 670 0 333 e 0 429 0 571 c 0 333 0 667 e 0 325 0 675 d 0 818 0 182 e 0 217 0 783 e 0 500 0 500 e 0 333 0 667 6 Ainda considerando a viga da Figura 2 assinale a alternativa que apresenta os valores dos momentos fletores sobre o apoio B e C a M kNm M kNm A B 6 67 7 17 b M kNm M kNm A B 8 95 12 06 c M kNm M kNm A B 4 31 9 87 d M kNm M kNm A B 5 53 5 53 e M kNm M kNm A B 3 25 19 85 6 Nesta unidade você conhecerá o Método Direto da Rigidez usado como uma ferramenta para a análise matricial de estruturas Essa metodologia se baseia no Método dos Deslocamentos e permite uma solução rápida e precisa de estruturas complexas principal mente no âmbito computacional o qual permite a programação do método Você conhecerá as etapas do método bem como seu processo de aplicação e os conceitos base dele Com essa ferra menta você será capaz de entender e prever o comportamento de estruturas hiperestáticas complexas Caso se interesse pelo assunto poderá até desenvolver alguma rotina para a resolução de estruturas Existem diversas situações em que o uso desse método facilita o entendimento do comportamento estrutural por isso é fundamental que uma engenheiroa o conheça e saiba aplicálo corretamente Análise Matricial de Estruturas Me Gabriel Trindade Caviglione 156 UNICESUMAR Você já se perguntou como é o processo de produção de um projeto estrutural Como grandes escritórios de renome conseguem dar vazão e obter esforços em estruturas complexas Acredito que sim e que inclusive saiba que a resposta é pelo uso de softwares de projeto Os softwares para análise e projeto estrutural são ferramentas muito im portantes pois permitem aoà engenheiroa investir mais tempo na análise da concepção estrutural do que no cálculo propriamente dito Você já se perguntou quanto custa a licença de uso desses softwares Será que esses valores são acessíveis aosàs engenheirosas Você conhece alguns dos softwares comerciais usados em Engenharia de Estruturas Como será que esses softwares fazem esses processamen tos tão precisos Os softwares usados na Engenharia de Estruturas geralmente são muito custosos justamente por facilitarem muito o trabalho e dia a dia doa engenheiroa de estruturas Existem diversos softwares mas muitos deles não concorrem entre si pois são específicos para determinadas funções Existem softwares para análise estrutural para dimensionamento para detalhamento e eles se dividem ainda conforme as normas de cada país e conforme o material empregado Conversando com seu velho amigo do Ensino Médio Pedro que se formou em Engenharia da Computação você decide expor sua revolta quanto ao alto preço de um software específico para análise e dimensionamento de treliças metálicas planas Calmamente seu amigo lhe indaga mas o que exatamente esse software faz Você prontamente responde sobre as contas e verificações do processo de dimensionamento de uma estrutura metálica e ainda se gaba que desenvolveu uma planilha para verificar os resultados do software Quanto ao processo de análise você não se sente tão seguro assim Logo percebese um pouco desorientado não sabe explicar ao certo como é feita a análise estrutural Sabe que o software se utiliza do Método dos Deslocamentos e da rigidez axial de cada barra Você começa a refletir e percebe que as inclinações das barras tornam o problema ainda mais complexo Pedro ao ver o seu desespero aponta que talvez ele possa lhe ajudar desenvolvendo o programa Inclusive ele ainda sugere que se o programa ficar bom vocês pode riam até vendêlo e fazer algum dinheiro Contudo salienta que você precisa explicar o processo para a implementação computacional 157 UNIDADE 6 Depois de você gastar certo tempo estudando acaba conhecendo o Método Direto da Rigidez que é usado na análise matricial de estruturas que se baseia no Método dos Deslocamentos O processo consiste em aplicar o Método dos Deslocamentos para todos os nós da estrutura e posteriormente compatibilizar seus deslocamentos e condições de vinculação Para isso dividese a estrutura em vários elementos conectados por um nó final e inicial Representase matricialmente o comportamento de cada barra com seu carregamento e com sua rigidez Como as barras estão conectadas o nó final de uma barra é o inicial de outra barra e é necessário compatibilizar o comportamento de todos os nós considerando as forças agindo sobre eles as rigidezes de cada barra e as condições de vinculação Procure descrever a solução do problema elabore um esquema com um passo a passo mos trando o que deve ser implementado no programa para se resolver uma estrutura pelo Método dos Deslocamentos Pense na generalização do método considerando as equações relativas a cada ponto de interesse Procure generalizar o problema descrevendoo por matrizes análise matricial de estruturas Tente descrever essas ideias e conceitos no seu Diário de Bordo Figura 1 Desenvolvimento de um programa para análise de estruturas Descrição da Imagem a figura mostra uma moça que conversa com um rapaz e ela aponta para uma das três telas de com putador à frente dos dois mostrando um código 158 UNICESUMAR Você logo percebe que esse tipo de análise pode ser implementado em um programa computacional e chama seu amigo para conversar Explica para ele a ideia inicial como representar o Método dos Deslo camentos de maneira matricial nó a nó em uma estrutura permitindo o cálculo de suas deformações e a consideração das condições de vinculação Pedro entusiasmado com a ideia já monta um fluxograma com os processos necessários Percebe que do ponto de vista computacional as operações com matrizes são relativamente simples e que existem muitas subrotinas em bibliotecas que ele já conhece e poderia utilizar Ele explica então que é capaz de resolver o problema da programação e estruturação do software mas ressalta que no caso da comercialização seria interessante uma equipe externa validar o mesmo Caso o software fique bemfeito e ganhe mercado vocês podem ganhar um dinheiro razoável com essa ideia A ideia de desenvolver um software para cálculo de estruturas é muito desafiadora Como outros engenheiros deverão usar o programa fazse necessário que ele esteja funcionando perfeitamente Por isso você precisa entender em profundidade a análise matricial de estruturas pelo Método da Rigidez Você já teve contato com algum software de Engenharia de Estruturas Que tal pesquisar para ver o preço e a cotação dos principais softwares Você pode começar pelo TQS EBERICK SAP CYPECAD STRAP entre outros Muitos deles inclusive têm licenças gratuitas para estudantes 159 UNIDADE 6 Soriano 2005 e Martha 2010 apontam que o Método da Rigidez Direta é baseado no Método dos Deslocamentos Na realidade podese entender o método como uma generalização do Método dos Deslocamentos buscando determinar os deslocamentos em diversos pontos da estrutura não apenas em alguns específicos Leet et al 2009 descreve que o processo consiste em dividir a estrutura em diversos elementos imagi nandoa com seus nós restringidos impedidos de deslocar Quando essa estrutura fica submetida a um carregamento externo surgem forças nos nós que representam esse carregamento Essas cargas buscam representar o efeito do carregamento sobre o nó chamamos então de vetor de cargas nodais Os valores desses carregamentos podem ser obtidos pelas tabelas de engastamento perfeito citadas nas unidades anteriores Cada nó estará sujeito a uma deformação axial transversal e rotação sendo os deslocamentos associados a essas deformações e as incógnitas a serem determinadas semelhantemente ao Método dos Deslocamentos Cada nó terá então três desloca mentos associados no plano no espaço seriam seis deslocamentos Figura 2 Viga secionada para análise matricial Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma viga biapoiada dividida em vários elementos Um dos elementos é analisado com uma maior profundidade Observamse setas indicando as deformações nos nós inicial e final da barra 160 UNICESUMAR Esses deslocamentos provocam forças e momentos ao longo da estrutu ra e portanto fazse necessário descrever seu comportamento através dos coeficientes de rigidez local que também podem ser consultados nas tabelas das unidades anteriores Assim é possível escrever as forças e deformações atuantes em um elemento por meio de uma associação de equações para cada nó que matricialmente fica descrita como F k d LOCAL i Em que F é o vetor de cargas nodais que são as forças agindo sobre os nós do elemento que representam os carregamentos contínuos k LOCAL i é a matriz de rigidez local do elemento i que descreve o efeito forças e momentos de cada deformação em cada nó e direção d são os deslocamentos do elemento nos nós iniciais e finais A equação referese ao comportamento de uma das barras da estrutu ra descrevendo os deslocamentos dos nós iniciais e finais Entretanto em uma viga pórtico ou treliça essa barra teria um comportamento conectado ao restante da estrutura geralmente duas ou mais barras se conectam a um nó Por isso além do comportamento local de cada barra é necessário fazer a compatibilização desses nós com as barras adjacentes Escrevese então o sistema de rigidez local F k d LOCAL i para cada elemento i e posteriormente é feita sua compatibilização confor me sua conectividade com outras barras De posse de todas as matrizes locais escrevese o sistema de rigidez local que representa matricialmente o comportamento da estrutura como um todo LEET et al 2009 F k d GLOBAL i Em que F é o vetor de cargas nodais globais que são as forças agin do sobre os nós da estrutura são obtidos pela soma das forças agindo em cada nó 11 12 161 UNIDADE 6 k GLOBAL é a matriz de rigidez global que repre senta o comportamento da estrutura como um todo d são os deslocamentos dos nós Dessa maneira é possível encontrar os deslocamentos que satisfazem todas condições de equilíbrio em si multaneamente ou seja é possível resolver a estrutura A fim de entender melhor a aplicação do método analisaremos uma barra de treliça submetida a um esfor ço axial conforme a Figura 3 Por ser uma barra de treliça os deslocamentos transversais e as rotações podem ser desprezados uma vez que temos apenas esforços axiais Procuramos então os deslocamentos e as suas respecti vas forças associadas nos nós iniciais e finais da barra A força provocada no nó inicial i da barra em função de deformações no nó inicial i e final j é dada l Pl EA N l EA N EA l EA l i j i i i j u u u u Analogamente a força provocada no nó final j em fun ção de deformações no nó inicial i e final j é dada por N EA l EA l j i j u u Em que Ni e N j correspondem à força normal atuante no nó inicial i e final j da barra ui e uj correspondem à deformação axial da bar ra no nó inicial i e final j da barra EA l é a rigidez local para esforços normais 13 14 162 UNICESUMAR As equações e podem ser escritas matricialmente o que se gundo Leet et al 2009 corresponde à matriz de rigidez local das treliças F k d N N EA l EA l EA local i j l EA l i j u u Em que F e k local referemse à força e matriz de rigidez con forme os eixos xy ou seja eixos locais da barra É interessante relembrar que essas deformações axiais são con forme o eixo x ou seja no sentido longitudinal à peça Treliças geralmente são compostas por várias barras com inclinações dife rentes cujos deslocamentos precisam ser compatibilizados nos nós Figura 3 Deformações axiais em barras de treliça Fonte adaptada de Leet et al 2009 p 689 Descrição da Imagem a figura mostra uma barra submetida a um esforço axial Em a temos a imposição de um desloca mento ui no nó inicial i com uma restrição no nó final j A deformação axial da barra provoca uma força Nii aplicada no ponto inicial i e uma força Nij aplicada no nó final j Em b temos a imposição de um deslocamento uj no nó final j com uma restrição no nó inicial i A deformação axial da barra provoca uma força Nij aplicada no ponto inicial i e uma força N jj aplicada no nó final j Em c temos a superposição dos efeitos que permite escrever N N N i ii ji e N N N j jj ij Em d temos a projeção dos deslocamentos e forças nos eixos globais xy 15 163 UNIDADE 6 Para poder analisar o comportamento de várias barras conjuntamente é necessário que os deslocamentos causados pelas deformações axiais este jam em um mesmo sistema de coordenadas Por isso é necessário fazer a decomposição vetorial das forças e deslocamentos das equações e Podemos escrever as componentes vertical e horizontal das forças atuantes nos nós iniciais i e finais j N N N N sen N N N N sen ix i iy i jx j jy j cos cos q q q q Matricialmente N N N N sen sen ix iy jx jy cos cos q q q q 0 0 0 0 N N F T F i j global T local Quanto aos deslocamentos consideraremos a imposição de um deslo camento em x e outro em y nos nós iniciais e finais Na Figura 3 os des locamentos impostos são representados por dix azul e diy roxo no nó inicial i e no nó final j são representados por djx azul e djy roxo Em cinza claro temos a posição final da barra após o deslocamento imposto e em pontilhado a posição prévia ao deslocamento Então escreveremos o encurtamento ou alongamento da barra em função do deslocamento imposto Assim teríamos uma deformação axial que seria dada por υ θ θ υ θ θ i ix ix j jx jx d d sen d d sen cos cos Matricialmente υ υ θ θ θ θ i j ix iy jx jy sen sen d d d d cos cos 0 0 0 0 d T D local global 16 17 18 19 164 UNICESUMAR Com as deformações e forças representadas em função do sistema global podemos escrever a matriz de rigidez local em função dos eixos globais xy Substituiremos a equação na F k d F k T local local D global Multiplicando em ambos os lados por T T temos F T k T D T T local global T global local global F k T D T T global T local k T k T Como F F T global T e já que F k D global podemos inferir que o termo T k T T local se refere à matriz de rigidez global já transformada para os sistemas de eixos globais xy Assim podemos escrever k T k T k global T local global cos cos q q q q 0 0 0 0 sen sen EA l EA l EA l EA l cos cos q q q q sen sen 0 0 0 0 Multiplicando as matrizes é possível obter a matriz de rigidez generalizada para treliças conforme um sistema de eixos globais xy F k D N N N N global ix iy jx jy EA L sen sen sen sen sen s cos² cos cos² cos cos ² cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ en sen sen sen sen sen se ² cos² cos cos² cos cos ² cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ n ix iy jx jy ² θ υ υ υ υ O processo é análogo para vigas e para pórticos Precisamos descrever o seu comportamento em função dos deslocamentos nos nós iniciais e finais As matrizes de rigidez à flexão são um pouco mais com plexas de se obter portanto serão apenas apresentadas OA alunoa que se interessar pela dedução pode consultar o Capítulo 18 de Leet et al 2009 p 716 Para vigas temos deformações transversais e rotações assim a sua matriz de rigidez fica 110 111 112 113 165 UNIDADE 6 V M V M EI l EI l EI l EI l EI i i j j 12 6 12 6 6 ³ ² ³ ² l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI ² ² ³ ² ³ ² ² 4 6 2 12 6 12 6 6 2 ² l EI l EI l i i j j 6 4 δ θ δ θ Para os pórticos temos três graus de liberdade deformações axiais transversais e rotações e sua ma triz de rigidez local fica como a equação Ressaltase que no caso dos pórticos pode ser necessária a rotação da matriz pois no caso da ligação vigapilar a deformação axial do pilar estará na direção da deformação transversal da viga e viceversa Ou seja as matrizes terão uma interação diferente direção a direção N V M N V M EA l EA l i i i j j j 12 6 12 6 6 4 6 2 EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l ³ ² ³ ² ² ² EA l EA l EI l EI l EI l EI l EI l ³ ² ³ ² ² 12 6 12 6 6 2 6 4 EI l EI l EI l i i i j j ² υ δ θ υ δ θj No caso dos apoios não temos deformações para calcular uma vez que já são conhecidas e seu valor é nulo Nesse sentido convém remover as equações relacionadas a esse deslocamento Para solucionar esse problema podese excluir as linhas e colunas relacionadas a esse deslocamento diminuindo a ordem da matriz Outra solução é adicionar um número muito grande no termo da diagonal da matriz referente a esse deslocamento Essa proposta é uma aproximação na qual com uma grande rigidez esperase que o deslocamento no ponto seja próximo a zero Figura 4 Endereçamento dos nós e condições de vinculação Fonte o autor Descrição da Imagem tratase de uma matriz de rigidez global em que as colunas representam o efeito e as linhas repre sentam onde se aplica a força ou deslocamento imposto A figura mostra ainda um apoio que restringe o deslocamento seis Dessa maneira é feito a remoção da linha e coluna seis 114 115 166 UNICESUMAR Um ponto importante para se ter em mente ao resolver uma estrutura pela análise matricial é o tama nho das matrizes Seja para escrevêlas no caderno ou para alocar uma variável é importante saber o tamanho do problema As matrizes são compostas por equações de deslocamentos rigidezes e forças Basicamente essas equações buscam representar o comportamento de cada deslocabilidade da estrutura Por exemplo quando pensamos em treliças temos apenas deformações axiais uma no início e outra no final do elemento Teríamos então matrizes locais de 4x4 dois deslocamentos projetados em duas direções quatro ao todo Se uma treliça tiver 10 nós ela terá uma matriz global de ordem 10x220x20 uma vez que cada nó tem dois deslocamentos horizontal e vertical No caso de vigas temos dois deslocamentos por nós portanto uma matriz de rigidez local de ordem 4x4 Em um problema com quatro nós teríamos 4x2 incógnitas portanto uma matriz de ordem 8x8 No caso de pórticos a matriz de rigidez local é 6x6 pois cada nó tem três deslocabilidades e temos dois nós por barra Generalizando treliças k k vigas k LOCAL GLOBAL n n 4 4 2 2 LOCAL GLOBAL n n LOCAL k pórti k k 4 4 2 2 6 6 cos GLOBAL n n 3 3 O tamanho das matrizes do Método Direto da Rigidez pode deixar qualquer uma atordoadoa Para isso não acontecer mais reco mendo que relembre algumas operações básicas de matrizes Nesta pílula conversaremos sobre o método ratificando seu processo de aplicação e reforçaremos alguns conceitos de matrizes Não deixe de participar Outra situação a ser abordada é o endereçamento dos nós e a montagem da matriz de rigidez global Cada elemento terá um nó inicial e final os deslocamentos desses nós serão obtidos em função da rigidez de cada barra que chega ao nó Se um determinado nó conecta três barras teremos três forças agindo ali e analogamente a rigidez do nó será a soma desses efeitos em cada barra uma vez que o deslocamento seria o causado pelas três forças Por isso quando montamos o sistema de matrizes globais avaliamos como todos os elementos da estru tura e seus respectivos nós se comportam conjuntamente isto é somando as rigidezes e forças ali agindo Então consideraremos a Figura 5 para entendermos o endereçamento dos nós As matrizes de rigidez são como tabelas em que temos os efeitos causados nas colunas referentes ao aplicado nas linhas Por exemplo tomemos o efeito de deformação vertical causada em A d1 pFigura 5a devido a um momento aplicado em D d8 pFigura 5a logo podemos perceber que o valor é nulo L8C1 ou seja não existe influência 116 167 UNIDADE 6 entre esses nós Já observarmos o deslocamento na vertical em B d3 pFigura 5a em função de uma carga aplicada em B na vertical d3 pFigura 5a vemos que este depende da rigidez k k E E 33 33 01 02 L3C3 oriunda dos elementos 1 e 2 Se tomarmos a deformação vertical em C d5 pFigura 5a em função de uma rotação em C d6 pFigura 5a veremos que ela depende de k k E E 65 65 02 03 L6C5 Já na situação de uma numeração aleatória dos nós isso pode ficar mais confuso Observe que todos os termos de rigidez ficam dispersos Figura 5b É muito importante se atentar que independentemente da notação usada os resultados devem ser numericamente iguais pois o comportamento depende da estrutura e não dos nomes que damos aos nós Posto isso observaremos o deslocamento na vertical em B d2 pFigura 5b devido a uma carga vertical no mesmo ponto d2 pFigura 5b Veremos que agora o valor estará em outra posição na matriz L2C2 k k E E 22 22 01 02 No caso de um efeito na vertical em A d1 pFigura 5b causado por uma rotação em D d4 pFigura 5B teremos o valor nulo L4C1 Já no caso de um efeito vertical em C d6 pFigura 5b para uma rotação ou momento em C d3 pFigura 5b temos uma localização L3C6 referente ao valor de k k E E 36 36 02 03 novamente soma das rigidezes dos elementos 02 e 03 Figura 5 Endereçamento dos nós Fonte o autor Descrição da Imagem a figu ra mostra o endereçamento dos nós e a montagem da matriz de rigidez global em uma análise matricial de es truturas 168 UNICESUMAR Repare que somente os nós adjacentes influenciarão no comportamento do nó analisado Então quando tomamos uma estrutura nomeada ordeiramente o nó 2 deve receber influência de forças aplicadas na barra 1 e 2 referente aos nós adjacentes 1 e 3 No nó 3 devemos ter influência dos nós 2 e 4 e assim sucessivamente Dessa maneira podemos observar que os efeitos sobre o nó final do elemento atual sempre serão superpostos aos efeitos dos nós iniciais do próximo elemento de tal forma que teremos uma matriz como a da Figura 6 Figura 6 Superposição dos efeitos e endereçamento dos nós em numerações ordeiras Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra a montagem da matriz de rigidez global em uma análise matricial de estruturas ilus trando a suporposição da rigidez e dos vetores de cargas nodais Após elaborarmos o sistema global de equações considerando a matriz de rigidez global e os vetores de forças nodais podemos calcular os deslocamentos da estrutura basta resolver o sistema linear global Assim é possível entender o comportamento da estrutura ao determinar seus esforços e suas deformações Agora que temos os conceitos e bases matemáticas do método estabeleceremos um procedimento básico um roteiro padrão para aplicálo LEET et al 2013 MARTHA 2010 169 UNIDADE 6 1 Separação dos elementos e numeração dos nós Devese separar a estrutura em diversos elementos como nós ini ciais e finais A numeração desses nós deve seguir uma ordem lógica pois ajudará na elaboração da matriz de rigidez global Imaginase que os nós estão restringidos como no Método dos Deslocamentos 2 Elaboração da matriz de rigidez local e vetor de cargas nodais locais Imaginando os nós totalmente restringidos os carregamentos dis tribuídos continuamente ao longo da barra serão substituídos por forças nodais equivalentes nos nós iniciais e finais Elaborase a matriz de rigidez global conforme o tipo de elemento estrutural vigas treliças pórticos Identificamse as condições de vinculação e restrição dos deslocamentos Avaliamse também a conectividade dos nós e necessidade de rotação com relação aos eixos globais 3 Elaboração do sistema global de rigidez Escrevese o vetor de cargas nodais global somandose as forças atuantes nos nós que são comuns a dois elementos Analogamente compatibilizamse as rigidezes relativas aos nós a fim de escrever a matriz de rigidez global Ao escrever a matriz de rigidez global é necessário ter atenção ao endereçamento da matriz Com o vetor de cargas nodais e a matriz de rigidez global temos o sistema global de rigidez basta então aplicar as condições de vinculação a Podese excluir do sistema linhas e colunas referentes ao deslocamento restringido b Ou se pode adicionar um número muito grande à matriz de rigidez o que provocaria um deslocamento próximo a zero 4 Solução do sistema global e cálculo dos esforços Conferidas as etapas anteriores de análise é possível determinar os deslocamentos relativos aos nós do sistema global de rigidez A partir desses deslocamentos é possível obter os esforços e reações de apoio como no Método dos Deslocamentos 170 UNICESUMAR Para fixar esses conceitos convido você a acompanhar um exemplo resolvido referente à Figura 7 Como de praxe faremos uma análise preliminar prévia ao cálculo imaginando o comportamento da estrutura Tratase de uma viga com três apoios cujo vão é maior no trecho à direita BC 40 m com isso esperase uma reação maior no apoio central em relação aos apoios laterais Esperase também um momento negativo sobre o apoio B Nem sempre é possível ordenar os deslocamentos em ordem crescente Muitas vezes te mos diferentes barras chegando em um mesmo nó de tal forma que é inevitável desrespei tar a numeração Por isso é importante saber fazer o endereçamento de cada deslocamento na matriz de rigidez Lembrese de que o método se baseia no Método dos Deslocamentos e por isso a nomenclatura dos termos da matriz de rigidez é a mesma kij Em que kij referese à rigidezao efeito no nó i coluna devido a uma cargaum deslocamento aplicadao em j linha Sempre que surgir alguma confusão relembre os conceitos do Método dos Deslocamentos Procure também analisar a estrutura pensando se o deslocamento j pode causar algum efeito em i Figura 7 Viga 01 com três apoios e carga distribuída Fonte o autor Descrição da Imagem tratase de uma viga contínua com três apoios A B e C O vão AB é de 30 m e o vão BC é de 40 m Temse uma carga atuante de 10 kNm distribuída ao longo do com primento de ambos os vãos Rigidez à flexão constante Abaixo temos a viga separada em dois elementos elemento 01 correspondente ao vão AB e ele mento 02 correspondente ao vão BC 117 171 UNIDADE 6 Tratase de uma estrutura relativamente simples que poderia ser resolvida pelo Processo de Cross rapidamente No entanto para fins didáticos demonstraremos a aplicação do Método da Rigidez Di reta O passo inicial seria a avaliação de cada elemento da estrutura a conectividade dos nós iniciais e finais bem como seus carregamentos e condições de vinculação A nomenclatura dos nós e elementos segue o apresentado na Figura 7 Lembrese de que uma nomenclatura ordenada pode facilitar na hora dos cálculos Que tal tentar resolver a estrutura pelo Processo de Cross visto na unidade anterior Trata se de um método aproximado e de aplicação muito prática Relembre os conceitos e tente descobrir o valor do momento negativo agindo sobre o nó B Com a estrutura separada por elementos você deve analisar elemento por elemento elaborando sua matriz de rigidez local vetor de cargas nodais e sua respectiva conectividade Vamos então fazêlo para o elemento 01 de comprimento 30 m ligado pelo nó inicial i A e nó final j B As forças agindo sobre o nó i e j serão então V ql R R kN M kNm V ql i A E A A i A E j B E 01 01 01 3 8 11 25 0 5 8 2 18 75 2 8 11 25 01 R R kN M ql kNm B B j B E ² Repare que conforme a tabela de reações de engastamento perfeitos ver Unidades 4 e 5 o carregamento distribuído de 10 kNm provocaria uma reação vertical para cima em A de 3 8 3 10 3 8 11 25 ql kN e em B de 5 8 5 10 3 8 18 75 ql kN além de um momento de ql kNm ² ² 8 10 3 8 11 25 Assim podemos substituir o carregamento distribuído por esses vetores nodais com seus sinais opostos uma vez que são ações As reações de apoio Ra e Rb induzem forças agindo em sentido vertical para cima nesses nós são valores desconhecidos a serem determina dos Consideramos que metade da reação de B seja aplicada no elemento 01 e que a outra metade seja no elemento 02 Quanto à rigidez você deve consultar a matriz de rigidez relativa ao comportamento de vigas o qual permite escrever 118 172 UNICESUMAR k EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI LOCAL E 01 12 6 12 6 6 4 6 ³ ² ³ ² ² ² ³ ² ³ ² ² ² l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l E 2 12 6 12 6 6 2 6 4 I l EI ³ ² ³ ² ² ² 12 3 6 3 12 3 6 3 6 3 4 3 6 3 2 3 12 3 6 3 12 3 6 3 6 3 2 3 6 3 4 3 ³ ² ³ ² ² ² EI 0 444 0 667 0 444 0 667 0 667 1 333 0 667 0 667 0 444 0 667 0 444 0 667 0 667 0 667 0 667 1 333 Ainda podemos escrever que os deslocamentos verticais atuantes sobre os nós serão nulos em fun ção da presença dos apoios A e B Os demais deslocamentos nesse caso específico as rotações serão determinados ao se resolver o problema δ θ δ θ i A i A j B i B 0 0 Assim para o elemento 01 teremos F k d Ra Rb E 01 11 25 0 18 75 2 11 25 EI 0 444 0 667 0 444 0 667 0 667 1 333 0 667 0 667 0 444 0 667 0 444 0 667 0 667 0 667 0 667 1 333 0 0 q q i A j B Esse processo deve ser repetido para o elemento 02 de comprimento 40 m em que teremos as se guintes forças nodais V ql R R kN M ql kNm V i B E B B i B E j C E 02 02 5 8 2 25 2 8 20 ² 02 02 3 8 15 0 ql R R kN M kNm C C j C E Matriz de rigidez local k EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI LOCAL E 02 12 6 12 6 6 4 6 ³ ² ³ ² ² ² ³ ² ³ ² ² ² l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l EI l E 2 12 6 12 6 6 2 6 4 I l EI ³ ² ³ ² ² ² 12 4 6 4 12 4 6 4 6 4 4 4 6 4 2 4 12 4 6 4 12 4 6 4 6 4 2 4 6 4 4 4 ³ ² ³ ² ² ² EI 0 188 0 375 0 188 0 375 0 375 1 000 0 375 0 500 0 188 0 375 0 188 0 375 0 375 0 500 0 375 1 000 119 120 121 122 123 173 UNIDADE 6 Conforme as condições de vinculação ficam restritas as deformações na vertical nos nós B e C porém liberadas as rotações nos mesmos pontos δ θ δ θ i B i B j C i C 0 0 Assim para o elemento 02 teremos F k d Rb Rc E 02 25 2 20 15 0 EI 0 188 0 375 0 188 0 375 0 375 1 000 0 375 0 500 0 188 0 37 5 0 188 0 375 0 375 0 500 0 375 1 000 0 qi B 0 qj C Agora que temos o comportamento dos elementos 01 e 02 descritos matricialmente nas equações e fazse necessário compatibilizálos Antes de dar início ao processo podemos observar que apenas o nó B tem influência de ambas as barras de tal forma que o nó A e C permanecerão como nas matrizes de rigidez local No nó B teremos a soma das forças agindo sobre o ponto e a soma da rigidez referente à barra 01 e barra 02 dessa forma escrevese o sistema global F k d Ra Rb Rb GLOBAL 11 25 0 25 2 18 75 2 20 11 25 15 0 0 444 0 667 0 4 Rc EI 44 0 667 0 667 1 333 0 667 0 667 0 444 0 667 0 444 0 1 88 0 667 0 375 0 188 0 375 0 667 0 667 0 667 0 375 1 333 1 00 0 0 375 0 500 0 188 0 375 0 188 0 375 0 375 0 500 0 3 775 1 000 0 0 0 q q q A B C Considerando que os deslocamentos dA dB e dC são nulos em função dos apoios temos apenas as in cógnitas qA qB e qC Ou seja podemos reduzir o sistema linear excluindo as linhas e colunas 1 3 e 5 referentes aos deslocamentos restringidos Dessa forma o problema fica simplificado conforme equação 124 125 126 174 UNICESUMAR 0 8 75 0 1 33 0 67 0 0 67 2 33 0 50 0 0 50 1 0 EI q q q q q q A B C A B C EI 1 2 50 5 00 2 50 Assim com os valores de rotações nos pontos A B e C podemos visualizar o com portamento da estrutura uma vez que a partir deles é possível obter as reações de apoio e os esforços internos solicitantes ambos ilustrados na Figura 8 11 25 0 44 0 0 67 0 44 0 0 67 0 0 0 11 Ra A B C q q q 25 0 67 2 5 0 67 5 0 9 58 43 75 0 44 0 Ra Ra kN Rb 0 67 0 632 0 0 292 0 19 0 0 375 43 75 q q q A B C Rb 0 67 2 5 0 30 5 0 0 375 2 50 44 49 15 0 Rb kN Rc 0 0 0 188 0 0 375 0 188 0 0 375 15 0 3 q q q A B C Rc 75 5 0 0 375 2 50 15 90 Rc kN Figura 8 Viga 01 resolvida reações de apoio e diagrama de momentos fletores Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra o diagrama de momentos fletores da viga da Figura 7 Tratase de uma viga continua com três apoios A B e C O diagrama mostra as reações de apoio Ra 96kN Rb 445 kN e Rc 159kN Os momentos fletores têm os valores de 46 kNm no trecho AB 127 kNm no trecho BC e 1630 kNm sobre o apoio B 127 128 175 UNIDADE 6 Como você sabe a maioria dos computadores analisa estruturas atra vés de uma abordagem matricial assim como essa que nós mostramos na resolução do exercício anterior Acredito que você conseguiu ter uma boa noção de como se faz a análise matricial das estruturas e entender o que acontece por de trás de um computador Durante sua formação como engenheiroa é muito importante que você desenvolva um senso crítico questionador Procure sem pre entender as considerações e cálculos de todos os programas que usar justamente para poder avaliálos E lembrese de que quando tratamos de estruturas os erros podem provocar grandes prejuízos Dificilmente os programas erram as contas mas é importante en tender suas considerações para saber suas limitações e aplicabilidade dos resultados apresentados Esse é um tema muito sensível e que será debatido em maior profundidade nas próximas unidades O Método da Rigidez Direta e o uso de análise matricial para a solução de estruturas é uma ferramenta poderosíssima para lidar com estruturas complexas É um tipo de análise inviável manualmente mas que numa implementação computacional é muito prática Embora seja um conteúdo de caráter mais teórico a grande maioria dos softwares se utilizam desse método e é importante ter isso em mente na hora de fazer a modelagem da estrutura É necessário que oa engenheiroa entenda o que são os eixos locais de cada peça e o programa faz a conversão dessas coordenadas para o sistema global Também é preciso saber as considerações e axiomas básicos do méto do para não incorrer em resultados que não representem a realidade Segundo Martha 2010 o método é usado na grande maioria dos softwares no dia a dia dos escritórios Claro que muitas vezes oa enge nheiroa não precisa se deparar com os detalhes da aplicação do método mas é fundamental reconhecer os erros e as limitações do programa Conversemos um pouco mais sobre a análise matricial de estruturas Você sabia que outros métodos podem ser empregados nesse tipo de análise In clusive o Método dos Elementos Fini tos muito conhecido baseiase nesse tipo de análise Conheçamos um pou co sobre outros métodos também 176 Aprendemos como utilizar a análise matricial de estruturas pelo Método da Rigidez Direta Esse método se baseia na aplicação do Método dos Deslocamentos para todos os nós da estrutura É feita uma divisão da estrutura em vários elementos menores barras conectadas por nós iniciais e finais Escrevese o comportamento de cada uma desses elementos matricialmente transfor mando o carregamento no vetor de cargas nodais equivalente e descrevendo a rigidez de cada nódeslocamento com uma matriz de rigidez local Elaborase o sistema global considerando o vetor de cargas nodais da estrutura e a matriz global de rigidez somandose as rigidezes e cargas de cada nó relativas aos elementos isolados Nos apoios os deslocamentos são nulos e por isso já são conhecidos e deixam de ser incóg nitas do problema Assim podese excluir as linhas e colunas referentes a esse deslocamento ou adicionar um número muito grande na matriz de rigidez para obter um deslocamento muito próximo a zero Resolvendo o sistema linear é possível obter os valores dos deslocamentos e posteriormente os esforços e as reações de apoio Esses conceitos são as bases para a solução de estruturas complexas e por muitas vezes será necessário que você como engenheiroa compreenda corretamente o processo de análise ma tricial de estruturas realizado por um software Convido você a procurar relembra os conceitos citados anteriormente elaborando um mapa mental para fixação dessas ideias registradas nesta unidade Julgue seu próprio aprendizado Caso não tenha entendido algum dos conceitos retorne e retome o estudo A análise matrical de estruturas Separar a estrutura em elementos numerar o ordenamento dos nós e respectivos deslocamentos da estrutura Escrever a Matriz de rigidez LOCAL k vetor de cargas nodais local F de cada elemento Avaliar corretividade e restrições Escrever o Sistema de rigidez GLOBAL F k considerando os efeitos dos apoios e interações entre as rigidezes de cada barra Reservar Sistema de Equações e determinar os esforços e reações de apoio MATRIZ RIGIDEZ PVIGAS MATRIZ RIGIDEZ PPORTICOS MATRIZ RIGIDEZ P TRELIÇAS 178 1 Em estruturas hiperestáticas temos uma quantidade de apoios e vínculos que é maior do que o necessário para o equilíbrio Por isso nessas estruturas as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar o comportamento estrutural A análise matricial de estruturas pelo Método da Rigidez Direta procura determinar os desloca mentos de vários nós permitindo resolver esse tipo de estrutura Assinale a alternativa que apresenta o tratamento dos vínculos na matriz de rigidez utilizada no método a Os apoios são pontos em que a rigidez é muito baixa justamente por terem deslo camentos nulos Assim nos apoios a matriz de rigidez global é dividida por um valor muito grande b Nos apoios temos forças atuando que reconstituem as condições de deslocamento calculase então a deformação da estrutura sem o apoio e qual seria a reação neces sária para provocar deslocamento oposto a este c Como nos vínculos os deslocamentos são conhecidos e iguais a zero Podese remover do sistema linear as linhas e colunas referentes a determinado deslocamento d Como nos vínculos os deslocamentos são conhecidos e iguais a zero Removemse do sistema linear as linhas e colunas referentes aos deslocamentos livres nós não vinculados e Não é necessário fazer nenhum tipo de tratamento na matriz de rigidez apenas con siderar as reações de apoio como cargas nodais 2 Julgue as afirmações sobre o vetor de cargas nodais equivalentes para o elemento 01 da estrutura a seguir 179 I No nó inicial o vetor de cargas nodais é dado por Ra Ma 39 42 25 II No nó final a reação Rb deve ser considerada apenas pela metade pois a outra metade está sob influência do elemento 2 III No nó final temos apenas forças verticais visto que o momento é nulo IV No nó final o vetor de cargas nodais é dado por Rb 2 39 42 25 Assinale a alternativa que apresenta todas as afirmações corretas a Está correta apenas a afirmação I b Está correta apenas a afirmação IV c Todas as afirmações estão corretas d Estão corretas as afirmações I e IV e Estão corretas as afirmações I II e IV 3 Ainda com relação à viga do exercício anterior Figura 1 assinale a alternativa que apresenta a ordem tamanho da matriz de rigidez local considerando o compor tamento de viga e da matriz de rigidez global considerando a distribuição dos elementos como na figura a 4x4 8x8 b 2x4 6x12 c 4x4 4x4 d 6x6 12x12 e 2x2 8x8 4 Complete as lacunas do texto a seguir em função dos conhecimentos sobre o Método Direto da Rigidez Figura 1 Viga para exercício 2 e 3 Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma viga ABCD com dois engastes nas extremidades A e D além de um apoio fixo no ponto B e uma rótula em C O vão AB tem 65 m BC tem 45 m e CD tem 40 m No vão ABC temos uma carga distribuída de 12 kNm e no vão CD temos uma carga concentrada de 50 kN atuando exatamente no centro do vão distando 2 m de C ou D Abaixo temos a representação do elemento 01 com seu carregamento e vetor de cargas nodais equivalentes Vi Mi Vj Mj 180 A análise matricial de estruturas pelo método da rigidez direta se baseia no método dos deslocamentos em que as incógnitas são Nesse sentido o processo de aplica ção do método é semelhante ao método dos deslocamentos no entanto a solução é feita de interesse A estrutura é dividida em diversos elementos compostos por nós iniciais e finais com seu comportamento sendo descrito Posterior mente compatibilizase o comportamento de todas as barras pela Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas a Deslocamentos apenas para os nós por equações diferenciais ordinárias condições de contorno b Deslocamentos para todos nós matricialmente matriz de rigidez global c Forças apenas para os nós por equações diferenciais parciais matriz de rigidez global d Forças para todos nós pela equação diferencial da elástica condições de contorno e Ângulos dos planos principais de tensão apenas para os nós pela carga crítica de Euler matriz de cargas nodais 5 Considere a viga ilustrada a seguir Pedese para resolvêla pela análise matricial de estruturas usando o Método Direto da Rigidez Figura 2 Viga para exercício 5 Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma viga biengastada nas extremidades A e D com dois apoios centrais B e C submetida a um carregamento distribuido de 6 kNm 6 Tente desenvolver uma planilha no Excel para resolver vigas de até quatro elementos como na atividade proposta pelo seu amigo Pedro Considere uma numeração ordeira nos nós como temos até quatro elementos teríamos cinco nós com 10 deslocamentos Portanto você precisará de quatro matrizes locais 4x4 e uma matriz global de 10x10 Use os exercícios resolvidos no livro de exemplo 7 Nesta unidade aprenderemos sobre o uso de softwares na Enge nharia de Estruturas Você conhecerá a aplicação dos métodos das estruturas hiperestáticas em programas e rotinas de cálculo com putacional Serão apresentados os principais softwares de análise estrutural bem como os conceitos básicos para seu uso os princi pais elementos de modelagem computacional e a sua aplicação na representação do comportamento de estruturas Nos dias atuais a grande maioria dos projetos são feitos com o auxílio computacional e você como engenheiroa precisa saber como operálos a fim de identificar e evitar os principais erros Ficou interessadoa Tenho certeza de que esses conceitos serão um grande aprendizado Modelagem Computacional de Estruturas Me Gabriel Trindade Caviglione 182 UNICESUMAR Você já imaginou como era o processo de análise estrutural de uma grande estrutura na década de 50 ou 60 Os engenheiros realmente faziam todos as contas e todos os cálculos na mão Hoje em dia temos muitos softwares para nos auxiliar mas será que nossas estruturas estão mais seguras em função disso O que é preciso para projetar uma estrutura Uma engenheiroa ou um software moderno É inegável que os computadores e os programas de cálculo estrutural trouxeram grandes avanços à Engenharia de Estruturas mas não podemos esquecer de quem realmente é o responsável técnico oa engenheiroa civil Antigamente osas engenheirosas não tinham opção de recorrer a algum software e as contas precisavam ser feitas à mão Quando muito eram auxiliadosas por tabelas e uma régua de cálculo Figura 1 A falta de ferramentas modernas não necessariamente implicou em projetos inseguros ou limitados pelo contrário ao se avaliar estruturas históricas é comum ficarmos impressionados com a magnitude e engenhosidade dos construtores Figura 1 Régua de cálculo usada por engenheirosas para facilitar as contas Descrição da Imagem a figura mostra uma régua de cálculo e diagramas de esforços internos Nesse sentido devemos respeitar nossos anciãos e aprender com eles Não podemos simplesmente apagar a Engenharia e nossos estudos para nos submetermos a simplesmente pilotar um software Precisamos entender as novas tecnologias e programas para usálos ao nosso favor como uma ferramenta auxiliar O avanço dos softwares permite aosàs engenheirosas atuais agilidade no processo de cálculo Dessa maneira podem investir maior tempo no processo de concepção e análise estrutural obtendo estruturas mais econômicas Nesse contexto imaginese procurando um estágio na área de Engenharia de Estruturas Como requisito da vaga você deve saber operar determinado software Essa é uma situação muito comum Visando otimizar os processos os contratantes preferem candidatosas que já tenham certa familia 183 UNIDADE 7 ridade com determinado software que estão acostumados a usar Você prepara seu currículo mas não tem pleno domínio no software apenas alguma noção básica que aprendera na faculdade Enquanto aguarda sua entrevista você começa a refletir sobre o assunto Se oa engenheiroa é que faz o projeto por que uma vaga exige conhecimento em um determinado software Não seria mais correto exigir conhecimento em análise estrutural Não seria mais proveitoso conhecer os modelos teóricos e principais erros comuns em modelagem estrutural Evidentemente sob uma ótica prática e comercial precisamos do conhecimento operacional de um software para dar vazão aos projetos e ao volume de cálculos Contudo todoa engenheiroa entende ou deveria entender a responsabilidade civil associada à sua profissão Nesse sentido elea não pode cometer erros nem de cálculo nem de análise Pense em como você deverá se portar na entrevista quais conceitos você conhece sobre esse assunto Quais perguntas relacionadas ao uso de softwares podem vir à tona na entrevista Tente responder os questionamentos utilize seu Diário de Bordo para avaliar o papel do computador em um projeto estrutural Se quiser esboce itens interessantes para se ter em um currículo específico para essa vaga Diante de sua entrevista você aponta que tem conhecimentos básicos no software mas que está dispos to a estudar e se aprimorar no uso dessa ferramenta uma vez que oa engenheiroa é o responsável técnico Após ouvir suas palavras o entrevistador lhe pergunta se você acha que seria possível fazer algum projeto sem o uso de softwares sugerindo que são parte essencial no processo Nessa situação com uma pergunta complicada você resolve emitir sua opinião é possível mas é inviável pelo uso demasiado de tempo no processo manual 184 UNICESUMAR O entrevistador ainda lhe pergunta é possível que um software venha a errar suas contas Novamente com receio da resposta esperada você responde que é difícil um computador errar a conta em si praticamente impossível no entanto podem acon tecer erros no processo de inserção dos dados para que o computador faça a conta E para avaliar esses erros é importante conhecer a análise estrutural ser capaz de fazer algumas contas e hipóteses simplificadoras a fim de validar o comportamento Diante da sua resposta o entrevistador libera você da entrevista Na semana seguinte você recebe um telefonema convidandoo para participar da equipe jus tamente por entender que softwares são ferramentas extremamente úteis mas que não podem substituir uma engenheiroa e sua expertise Existem diversos softwares que podem auxiliar oa engenheiroa no dia a dia São ferramentas muito úteis que podem poupar tempo significativo É importante que você como engenheiroa tenha em mente que os softwares não são capazes de substituir uma engenheiroa que devem apenas ajudáloa na tomada de decisões De uma maneira simplificada Nobrega 2015 sugere que um projeto estrutural con siste nas fases de Concepção estrutural e levantamento das ações Modelagem e análise estrutural Dimensionamento e verificação dos elementos Desenho e detalhamento Alguns softwares são usados apenas em etapas específicas do projeto enquanto outros podem ser usados para várias etapas Por exemplo no âmbito de análise estrutural destacamse o SAP STRAP ABAQUS ADINA e ANSYS que são soft wares de elementos finitos que permitem simular diversos tipos de materiais São programas muito completos com diversas opções de análises O SAP e o STRAP são softwares muito práticos usados plenamente na modelagem de problemas da Engenharia Civil Já o ABAQUS é muito usado para simulações numéricas de ensaios acadêmicos O ANSYS é o software mais completo dos três e permite a simulação de diversos problemas é uma ferramenta muito específica e muito poderosa usada tanto na academia quanto em projeto O ANSYS ADINA e o ABAQUS são usados em diversas áreas não apenas para fins estruturais No âmbito de projeto temos alguns softwares que são integrados executando o pro cesso completo a análise estrutural o dimensionamento e o detalhamento inclusive conforme as normas de determinado material O TQS EBERICK CYPECAD são os principais softwares de projeto de estruturas de concreto no Brasil O TecnoMetal STRAP e Tekla são muito utilizados para a verificação de estruturas metálicas 185 UNIDADE 7 Os softwares de análise costumam apresentar recursos mais avançados na área de análise enquanto os softwares comerciais procuram acelerar o processo de produção de projetos Além disso os programas de análise estrutural são mais genéricos não dependem de normas e padrões de projeto específicos de cada região Nos dias atuais os softwares em BIM ganharam bastante mercado e apresentam um futuro promissor Na realidade o BIM Building Information Modeling é uma técnica de projeto em que um determinado elemento tem uma série de características associada a ele além de sua representação no projeto ASBEA 2013 Tratase de um modelo virtual completo não apenas de geometria e textura para visualização mas de uma construção virtual equivalente Por exemplo em um projeto tradicional uma viga V201 é representada por linhas e sua seção é indicada em forma de texto mas são elementos desconectados Já em BIM a V201 tem uma série de informações associadas consumo de concreto áreas de formas rigidez a flexão classe de resistência do concreto armaduras entre muitos outros que podem ser levados em consideração Alguns softwares de análise estrutural se encaixam no conceito de BIM mas não são todos que têm interoperabilidade com as principais plataformas Existem também alguns softwares que são desenvolvidos com essa funcionalidade como é o caso do Revit Structure do TQS e do Tekla Strucutre Nesta disciplina aternosemos aos softwares puramente usados no processo de análise estrutural isto é SAP STRAP e os educacionais Ftool e STRIAN mas muitos dos princípios aqui apresentados são genéricos Os processos de cálculo e dimensionamento serão vistos posteriormente nas disciplinas específicas de cada material em que serão abordados os critérios normativos e softwares relacionados A principal técnica usada pelos softwares de análise estrutural é a análise matricial de estruturas em que se separa a estrutura em diversos elementos e se compatibiliza o comportamento dos nós des ses elementos Na Unidade 6 já abordamos a análise matricial pelo Método Direto da Rigidez Nesta unidade apenas introduziremos a análise matricial pelo Método dos Elementos Finitos MEF Este método é muito usado nas Engenharias em geral e está associado à resolução de problemas complexos O Método dos Elementos Finitos serve para resolver qualquer problema físico não apenas para a Enge nharia de Estruturas Consiste basicamente em adotar uma função aproximadora para a equação diferen cial ordinária ou parcial que representa o problema físico A tendência é que nos pontos iniciais e finais da função o valor seja exato pois corresponde às condições de contorno do problema Daí a necessidade de discretizar o problema em vários elementos menores a fim de se garantir precisão no método ASSAN 2003 Por que desenvolver um software apenas para análise estrutural sendo que seria possível desenvolver um software completo para todas as etapas do projeto 186 UNICESUMAR No caso da Engenharia de Estruturas o problema físico que se procura resolver é o comportamento estrutural isto é as deformações e forças atuantes sobre determina do corpo As deformações e forças atuantes são obtidas pelos teoremas de energia e trabalho virtual e serão esti madas por uma função aproximadora Figura 2 Análise em elementos finitos em uma peça mecânica Fonte o autor elaborado com software SAPCSI Descrição da Imagem a figura mostra uma peça mecânica sendo avaliada pelo Método dos Elementos Finitos Segundo Soriano 2005 os elementos finitos de barra terão os mesmos comportamentos esperados em vigas treliças e pórticos Já para os elementos finitos lami nares Paiva Lins e Sampaio 2012 apontam que eles podem ser definidos como placa casca ou membrana São definidos como elementos de placa plate os ele mentos laminares planos que recebem carregamento na direção perpendicular ao plano do elemento Já os ele mentos de chapa ou membrana membrane são ele mentos submetidos apenas a esforços paralelos ao plano do elemento não suportando esforços transversais Os elementos de casca shell englobam as solicitações dos elementos de placa e chapa ou seja são capazes de absorver esforços no seu plano e perpendicular a ele 187 UNIDADE 7 Além dos elementos de barra e laminares temos os elementos tridimensionais ou os elementos só lidos Neles os esforços podem agir de quaisquer direções que eles são capazes de absorver Conhe cer os elementos é muito importante para poder usar o correto a fim de representar determinado comportamento estrutural Isto é ao se representar o comportamento de lajes submetidas apenas ao carregamento vertical recomendase usar os elementos de placa Já quando procurase representar vigas paredes pilares consoles e blocos de fundação seções de descontinuidade do concreto recomendase usar elementos do tipo chapa ou membrana pois estão sujeitos a esforços no plano do elemento Agora no caso de paredes de reservatório lajes submetidas a esforços axiais utilizamos elementos do tipo casca que trabalham com esforços na transversal e no plano do elemento Assim como se faz necessário compreender o comportamento correto do elemento estrutural para se fazer a modelagem é importante entender outros aspectos Nas rotinas de cálculo computacional os elementos podem ser inseridos inclinados e com diferentes condições de conectividade Nesse sentido é mais fácil representar o comportamento dos elementos através de eixos locais e depois rotacionálos conforme suas condições de conectividade Por isso quando estiver elaborando um modelo computacional de determinada estrutura é importante se atentar ao sentido de inserção dos elementos pois ele ditará a direção dos eixos locais Esse tipo de problema é especialmente importante nos elementos de área Caso a direção dos eixos locais não esteja padronizada é possível que o operador se confunda ao observar os resultados Um exemplo é ilustrado na Figura 4 Figura 3 Tipos de elementos estruturais Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra os esforços e deformações em elementos finitos de pórticos vigas e treliças em analogia ao elemento de casca placa e chapa 188 UNICESUMAR Aconselhase então que os elementos sejam inseridos sempre da esquerda para a direita e de baixo para cima dessa maneira os eixos locais dos elementos serão sempre os mesmos Recomendase que os elementos estejam próximos ao ponto de origem do modelo 000 Isso ocorre pois as condições de geometria do elemento são calculadas conforme as coordenadas iniciais e finais do mesmo Nesse sentido números muito grandes podem induzir erros numéricos Por exemplo o cálculo do comprimento dos elementos é feito pelo Teorema de Pitágoras pela dife rença das coordenadas dos nós iniciais e finais Consideraremos dois elementos idênticos um elemento que se inicia no nó 3180 e finaliza no nó 6140 e outro que se inicia no nó 1 10 3 18 n 0 e finaliza no nó 1 10 6 14 n 0 Quando fazemos a diferença de coordenadas dos dois nós percebemos que o comprimento de ambas as barras é 2 960000 No entanto se repetirmos essa conta na calculadora ou no próprio Excel considerando n16 veremos o resultado nulo Curiosamente isso ocorre por causa de um limite de precisão na alocação das variáveis Embora cada programa tenha sua própria forma de lidar com as variáveis geralmente as coordenadas são armazenadas em variáveis de precisão dupla double armazenadas em 64 bits o que permite precisão em operações com números até a ordem 16 Figura 4 Eixos globais e locais em software de análise estrutural Fonte o autor elaborado com o software SAPCSI Descrição da Imagem a figura mostra os eixos locais e globais de barras e elementos do tipo shell e a possivel falha na interpretação dos resultados mostrados 189 UNIDADE 7 Esse é um problema que não é tão preocupante atualmente pois dificilmente as coordenadas serão tão grandes a ponto de incorremos num erro de aritmética com ponto flutuante mas é sempre bom relembrar a boa prática de manter o modelo próximo ao ponto de origem 000 Para oa engenheiroa que pretende trabalhar com cálculo estrutural é fundamental conhecer alguns conceitos básicos de programação e de cálculo numérico justamente para conhecer as li mitações das ferramentas computacionais Outro problema relacionado à precisão dos resultados é o tamanho dos elementos principalmente em elementos laminares e sólidos Essencialmente o Método dos Elementos Finitos é uma aproximação para a equação diferencial da elástica e o comportamento de cada elemento é compatibilizado com o seguinte pelos nós Assim os valores obtidos nó a nó são confiáveis ao passo que os intermediários são estimativas Então recomendase que os elementos não sejam maiores do que 50 cm e em regiões em que se fazem necessários valores mais precisos devem ser de 25 cm Para evitar erros no processo de modelagem estrutural num computador Caviglione 2019 re comenda que oa engenheiroa procure desenvolver o modelo aos poucos sempre processando a estrutura e verificando os valores de seus esforços e comportamento estrutural passo a passo até desenvolver a estrutura completa Dessa maneira é mais rápido localizar determinado erro e garantir que o comportamento do modelo esteja dentro do previsto peloa engenheiroa Um dos erros mais comuns no uso de softwares é a respeito de uma má restrição e vinculação da estrutura E em sua grande maioria os programas não têm mensagens de aviso para estruturas mal vinculadas sendo responsabilidade doa engenheiroa avaliála Daí a importância dos conceitos de nossa primeira unidade em que você aprendeu como avaliar a estaticidade de uma estrutura Você se lembra desses conceitos Uma estrutura hipostática possui menos reações do que o necessário ao equi líbrio e não tem condições de permanecer estável por isso o programa não deveria conseguir calcular Uma ferramenta muito importante nesse sentido é a visualização das deformações Embora não seja possível calcular uma estrutura hipostática alguns softwares conseguem resolver o problema por Faça a conta proposta na calculadora verifique se o resultado da expressão realmente é zero Faça também no Excel considerando n1 2 3 aumentando até o valor de 16 Compare os resultados com o comprimento real A partir de qual valor de n o comprimento calculado perde precisão e deixa de ser 296 190 UNICESUMAR técnicas numéricas e podem retornar um resultado não condizente com a realidade Nesse cenário ao visualizar as deformações teríamos uma configuração de deslocamentos de grande magnitude e de comportamento duvidoso A Figura 5 mostra um reservatório A análise estrutural pelo SAP retornou um aviso de zeros na diagonal da matriz de rigidez Como se sabe na diagonal os valores são sempre não nulos pois se aplicarmos uma força sobre determinado nó teremos uma deformação nesse mesmo nó No caso da diagonal matriz ser nula isso não poderia ocorrer portanto tratase de um erro considerável O programa continuou resolvendo o problema atribuindo valores pequenos não nulos à matriz Nessa situação as deformações e esforços acabaram convergindo dentro do esperado e portanto o aviso não representou um problema No entanto reforço que sempre é responsabilidade doa engenheiroa decidir sobre a validade do modelo Figura 5 Aviso software SAP estrutura instável ou mal vinculada perda de precisão nos cálculos Fonte adaptado de Ca viglione 2019 Descrição da Imagem a figura mostra a modelagem de um reservatório em software computacional e uma mensagem de erro no software indicando a diagonal nula da matriz de rigidez Em estruturas hiperestáticas o excesso de reações também pode modificar os esforços e comporta mento da estrutura Principalmente na modelagem com elementos do tipo casca em que eventuais apoios no sentido horizontal podem fazer esses elementos trabalharem a flexão no plano do elemento Cabe aoà engenheiroa avaliar se isso representa ou não a realidade do modelo Outro ponto a se trabalhar com modelagem de elementos laminares é que se deve evitar efeitos pontuais assim como os apoios devem ser admitidos ao longo de uma face ou região da estrutura As análises já apresentadas neste estudo se referem às hipóteses básicas da viga de EullerBernoulli Nessas hipóteses os deslocamentos e as deformações são pequenos a viga é esbelta com comprimento 191 UNIDADE 7 muito maior que sua seção o material está dentro dos limites de seu com portamento elástico e linear Essas hipóteses representam o comportamento de grande parte dos elementos estruturais mas existem certas situações em que podemos ter comportamentos diferentes comportamentos não lineares Você sabe o que quer dizer um comportamento elásticolinear E um comportamento plástico Em um material elástico as deformações são reversíveis já em um material plástico as deformações são irreversíveis E um comportamento elástico não linear A linearidade está relacionada à proporcionalidade entre tensão e deformação em um material não linear essa proporção tem valores diferentes para cada nível de carregamento Observe a Figura 6 para entender melhor o conceito Figura 6 Diagrama de tensão e deformação do concreto conceitos de elástico deformações recuperáveis e de linearnão linear Fonte adaptada de Beer et al 2015 p 74 Descrição da Imagem a figura mostra o diagrma de tensõa e compressão do concreto Temos um gráfico e as tensões são representadas por uma linha curva No trecho positivo primeiro quadrante referente a esforços de tração temos um pequeno trecho linear se guido de uma curva e da ruputra por tração representado em rosa No trecho negativo terceiro quadrante temos um trecho linear de comportamento elástico com deformações recuperáveis seguidas de um longo trecho curvo no qual temos deformações não recu peraveis de natureza plástica Podemos ter não linearidades físicas referentes ao comportamento do mate rial conforme ilustrado na Figura 6 Essa situação ocorre quando os esforços solicitantes ultrapassaram a faixa de comportamento linear do material e nesse sentido a análise elástica não representa o comportamento real Como 192 UNICESUMAR exemplos podemos citar as rótulas plásticas nas estruturas de concreto problemas de ancoragem da armadura no concreto e a plastificação da seção em estruturas Além do material podemos ter esse comportamento nos apoios e vínculos da estrutura Como discutimos na Unidade 1 os apoios podem ter comportamento elástico molas em função de deformações no solo porém a partir de certo nível de tensões esse comportamento deixa de ser linear Um ponto importante quando fizer essas análises é a necessidade de zerar o comportamento da tração em estruturas diretamente apoiadas no solo pois uma sapata usa apenas compressão para estabilizar o giro Além das não linearidades físicas relacionadas ao material temos a não linearidade geométrica re lacionada às condições de geometria inicial da estrutura Nas hipóteses básicas do método entendemos que as deformações são tão pequenas que podemos fazer as análises considerando que a estrutura ainda não se deformou Ou seja a movimentação dos carregamentos não impacta no resultado dos esforços Ao observar a Figura 7 é possível compreender que nem sempre isso é valido Repare que o desloca mento horizontal D movimenta a carga P e portanto teremos um momento adicional na base do pilar M P À medida que temos o momento adicional devemos ter maiores valores de deformação e portanto novamente maiores esforços Esses esforços adicionais são denominados de segunda ordem Esse é o caso específico de instabilidade geométrica da seção envolvendo a flambagem dos pilares mas existem diversas situações em que temos não linearidades geométricas Em todos os casos oa enge nheiroa precisa ter condição de avaliar o campo de validade das teorias e hipóteses simplificadoras para saber se deve ou não proceder com uma análise mais complexa porém mais próxima da realidade L Figura 7 Não linearidade geométrica qualquer pertubação horizontal provoca um deslocamento da carga P e por consequência um momento adicional nessa situação a superposição dos efeitos não representa bem o comportamento da estrutura Fonte Leet et al 2009 p 199 Descrição da Imagem a figura mostra a não linearidade geométrica em pilares condição básica de instabilidade À esquerda temos a figura a com um pilar AB submetido a uma carga P de com pressão No centro temos a situação b na qual uma força H horizontal provoca uma deformação horizontal delta linha À direita temos a sitação c que é a atuação simultânea das duas forças 193 UNIDADE 7 Uma solução para contornar esse problema é realizar uma análise iterativa na qual se calcula o esforço e na sequência atualizamse as propriedades do material ou a geometria da barra para avaliar seu esforço novamente Esse é um processo moroso mas que permite representar o comportamento da estrutura com maior precisão Duncan e Chang 1970 apresentam técnicas para aproximar o comportamento não linear do material Podese fazer iterações su cessivas ou se pode fazer incrementos sucessivos para representar o comportamento do elemento Figura 8 Ambos os processos também são usados para avaliação de não linearidades geométricas mas no geral o processo de iterações sucessivas é o mais comum Sempre que se tratar de análises iterativas as técnicas empregadas no processo nu mérico precisam ser bem avaliadas e os critérios de erro e convergência bem definidos para evitar perda de precisão e acurácia nas contas Figura 8 Processo de iterações e incrementos sucessivos para representação do com portamento não linear do solo Fonte adaptada de Duncan e Chang 1970 Descrição da Imagem a figura apresenta dois gráficos de tensão deformação À es querda a temos o processo de aproximação por iterações sucessivas à direita b o processo de aproximação por incrementos sucessivos Na Figura 8a no processo de iteração sucessiva o comportamento curvo é representado por retas tal qual cada iteração mudase a angulação da reta para representar o gráfico Já na Figura 8b está registrado o processo de incrementos sucessivos nesse processo adicionamse vários incrementos de segmentos de reta que tentam representar a curva Com o uso de softwares para cálculo estrutural osas engenheirosas passaram a dedicar mais tempo à concepção e análise estrutural Antes dos computadores os cálculos eram feitos à mão com o auxílio de réguas de cálculo e esse processo demorava semanas se não meses 194 UNICESUMAR Hoje em dia podemos resolver um pórtico tridimensional complexo em mi nutos temos um luxo que osas engenheirosas antigosas não tiveram testar várias concepções estruturais Então tornase possível procurar concepções estruturais que sejam mais econômicas e eficientes Como os programas têm se tornado cada vez mais acessíveis é natural que aumente a concorrência na área de projetos Nesse sentido a capacidade de concepção e otimização estrutural pode ser um grande diferencial frente a um cliente Conheceremos então algumas maneiras de otimizar uma estrutura e combater determinado esforço Lembro você de que esse é um tema muito amplo e que serão apresentadas apenas algumas considerações iniciais Para se obter um projeto econômico precisamos de menores valores de esforços A ideia então é procurar condições de geometria e rigidez que pos sam diminuir os valores extremos dos esforços Esse processo é chamado de homogeneização dos esforços Conceberemos uma viga biapoiada para um trecho estruturado de 100 m conforme a Figura 9 Considere que você pode escolher a posição dos pilares sobre os quais a viga se apoiará Qual seria a melhor posição a fim de diminuir os valores extremos do momento fletor Para resolver esse pro blema precisamos imaginar como seria o comportamento da viga conforme diferentes distâncias entre esses apoios Relembrando os momentos fletores nas vigas notáveis temos M ql bal b ² 2 para o momento fletor no balanço e M ql ql ql ql vão v b v b ² ² 8 2 4 8 2 2 2 para o momento fletor no vão Procuramos então a proporção entre vão e balanço l l v b em que os momentos sejam iguais em módulo M M vão bal M M ql ql ql ql ql l l l l vão bal v b b v b v b v ² ² ² ² ² ² 8 2 2 8 8 2 2 2 b v b l l 2 83 Em que lv é o comprimento do vão lb é o comprimento dos balanços Ou seja se o comprimento do vão for 283 vezes o comprimento do balanço teremos uma condição de esforços mais uniforme mais homogeneizada con forme mostra a Figura 9 Por exemplo se precisamos estruturar um compri 11 195 UNIDADE 7 mento de 10 m submetido a um carregamento uniforme de q kN m 3 0 em que temos a liberdade para escolher a posição dos pilares qual seria a geometria ótima Considerando a relação anterior l l v 2 83 b e o comprimento total de l tot 10 0m podemos escrever l l l l l l l l l l v b tot b b tot b tot b tot 2 2 83 2 4 83 1 4 83 0 207 03 20 70 2 1 2 1 2 0 20703 l l l l l l l l l tot b v tot b tot v tot v l l l tot v tot 0 5860 58 60 Assim podemos então escrever l l m b tot 20 70 2 07 e o vão l l m v tot 58 60 5 86 1 2 3 q 30 kNm A B lb lb lv ltot lv 2lb 1000 cm momento fetor 2380 800 cm cm 100 cm 100 191 191 713 713 716 207 cm 207 cm 586 cm lb 2070 ltot lb 2070 ltot lv 5860 ltot 1568 1568 300 300 400 cm cm cm Mvão Mbal lv 283lb Figura 9 Homogenização dos momentos em viga biapoiada com dois balanços Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra três vigas com proporções dieferentes entre lb comprimento do balanço e lv comprimento do vão Na viga 01 os balanços são de 10 m e o vão é de 80 resultando em um momento positivo de grande intensidade 2300 kNm Na viga 03 os balanços têm 30 m e o vão é de 40 m dessa maneira temse um momento negativo de grande intensidade 1568 kNm Na viga 02 com 207 m de balanço e 586 m de vão temos uma proporção de momentos positivos e negativos que são de mesma magnitude 715 kNm 12 196 UNICESUMAR Repare no exemplo numérico que essa solução consegue reduzir significativamente os momentos fletores e as deformações da estrutura Em uma si tuação real talvez seja mais interessante trabalhar com números inteiros para evitar erros no processo de execução da estrutura De qualquer maneira es sas proporções são muito interessantes e são valores úteis para se ter em mente Cada arranjo estrutural terá uma configuração específica que promove a homogeneização dos momentos Quanto mais pró ximo a essa proporção específica teremos estruturas com esforços mais homogêneos Evidentemente nem sempre é possível fazêlo por ser necessário respeitar as imposições arquitetônicas Tente estabelecer essa proporção para ou tras geometrias de vigas com três apoios quatro apoios com e sem balanços Use al gum software para testar várias geometrias Anote esses valores para quando estiver participando de um projeto real No exemplo proposto procurouse otimizar o mo mento fletor mas em algumas outras situações pode ser interessante homogeneizar os esforços nor mais nos pilares para aliviar as fundações diminuir a deformação horizontal em uma estrutura submetida ao esforço de vento alavancar uma viga para servir de apoio a outra viga entre tantas outras Enfim existem várias situações em que pode ser necessário homogeneizar os esforços de uma estrutura A concepção estrutural é uma parte muito im portante do projeto estrutural a maior parte dos custos pode ser alterada nessa etapa Como já men cionado esse processo demanda certo conheci mento e experiência doa engenheiroa 197 UNIDADE 7 Nesta pílula abordaremos um pouco desse assunto aprofundando em algumas situações de projeto que podem promover economia significativa nos projetos A Figura 10 mostra o resultado da otimi zação dos esforços de uma grelha no software TQS referente a um projeto de minha autoria Convidolhe a assistir Tenho certeza de que será muito valioso para seu exercício profissional a concepção inicial b concepção otimizada Figura 10 Otimização dos momentos em uma grelha a Concepção incial b Concepção otimizada Fonte o autor elaborada com o software TQSTQS informática Descrição da Imagem a figura mostra os momentos fletores em um pórtico espacial À esqueda Figura 10 a temos os esfor ços da concepção inicial as vigas V110 e V111 têm momentos fletores máximos positivos de 86 tfm e 288 tfm e os momentos fletores máximos negativos são de 126 tfm e 259 tfm Ambas estão representadas abaixo do pórtico com seus respectivos diagramas de momentos fletores e estimativa do consumo de aço para a armadura principal À direita Figura 10 b temos os esforços da concepção otimizada as vigas V110 e V111 têm momentos fletores máximos positivos de 148 tfm e 122 tfm e os momentos fletores máximos negativos são de 207 e 1180 tfm Ambas estão representadas abaixo do pórtico com seus respectivos diagramas de momentos fletores e estimativa do consumo de aço para a armadura principal Observase o efeito da otimização na economia do aço na armadura principal 198 UNICESUMAR Esse é um processo iterativo em que se faz a concepção e análise estrutural procurando estruturas mais econômicas Com o exercício profissional você deve ganhar experiência e o processo passa a ser mais intuitivo Em estruturas hiperestáticas esse processo é inviável para ser feito manualmente justamente pela morosidade em seu cálculo sendo viável apenas pelo uso de softwares de cálculo estrutural Os preconceitos e as barreiras quanto ao uso de softwares têm caído com a popularização das novas tecnologias Nesse cenário a sociedade é levada a confiar cada vez mais nos computadores e programas que estão cada vez mais avançados De fato muitas das conquistas humanas não seriam possíveis sem os computadores O processo de reentrada do ônibus espacial os sistemas de posicionamento por satélite o cálculo de interceptação dos mísseis do sistema de defesa antiaérea israelense Iron Dome os veículos autônomos e as inteligências artificiais são apenas exemplos de grandes passos que percorremos com o auxílio dos computadores Figura 11 Space Shuttle Discovery pousando o processo de reentrada na atmosfera é totalmente automático e o pouso é também é guiado pelo computador Fonte NASA 2021 online e Wikipedia 2021 online Descrição da Imagem a figura mostra o ônibus espacial Discovery pousando em uma pista de aeroporto Sai fumaça preta das rodas traseiras que tocaram a pista o trem de pouso frontal ainda não tocou a pista e está inclinado para cima Ao fundo há uma vegetação rasteira e à frente da pista há indicações de pouso Acima temos uma foto do computador de bordo IBM AP101S usado para os cálculos de trajetória do ônibus 199 UNIDADE 7 O advento dos programas permitiu aoà engenheiroa investir mais tempo na análise estrutural do que no cálculo estrutural propriamente dito trazendo maior economia e qualidade ao projeto Contudo é prudente ter cautela nem tanto pelos programas e computadores mas pelo seu mal uso como no caso das colisões de veículos autônomos dos ataques cibernéticos e da manipulação de usuários pelos algoritmos das redes sociais O uso demasiado dos softwares e programas faz surgir alguns questionamentos éticos que também se referem à área de análise estrutural As análises computacionais sempre serão consideradas mais confiáveis e precisas que as huma nas É só alimentar o programa com os dados de entrada e aguardar o resultado Ou existem situações em que o ser humano precisa resolver algo além do software Existem efeitos que o software não conhece Isto é alguma condição que extrapole os limites de análise do computador e bases teóricas do modelo utilizado no programa A compra de um software avançado de cálculo pode substituir a capacidade técnica e experiên cia profissional de uma engenheiroa O software pode se responsabilizar por um projeto Conforme aponta Emkin 1998 a aquisição e o uso errôneo de softwares de análise estrutural por leigos ou por engenheirosas sem a devida experiência são um risco real para a sociedade O risco é de se confundir o cálculo estrutural com a análise Um computador pode muito bem calcular uma estrutura mas nunca será capaz de analisála avaliar seu risco estabilidade possíveis problemas executivos e muito menos concebêla Convido você a assistir a estes vídeos ao acessar os QR Codes o primeiro vídeo relata o processo de reentrada do ônibus espacial totalmente controlado por um computador de bordo apenas o pouso foi feito pelo piloto o qual segue as instruções dos computadores Está em inglês mas é possível adicionar legenda em português pelo player do YouTube O segundo vídeo narra a história do acidente do Air France 447ZCP que veio a cair no oceano após diversas falhas entre elas a falta de treinamento dos pilotos em altas altitudes sem o piloto automático um excesso de confiança no computador 200 UNICESUMAR Cabe aoà engenheiroa verificar se os cálculos feitos pelo com putador correspondem à realidade isto é se as condições de carregamento vinculação modelagem e os valores obtidos pela análise são válidos ou não Caso oa engenheiroa não perceba determinado erro e continue a análise pode fazêla com valores errados que não correspondem à realidade e deve incorrer em um erro de projeto que pode ser grave Figura 12 Figura 12 Diferenças entre modelo numérico computacional e estrutura real efetivamente executada deformações exageradas Fonte pxhere e do autor Descrição da Imagem a figura mostra à esquerda uma ponte metálica em arco treliçado executada sobre um rio e à direita o modelo em elementos finitos com cores do amarelo ao roxo representando esforços no modelo O objetivo da figura é evidenciar que existem diferenças entre elas Os softwares devem ser compreendidos como uma ferramenta de cálculo de desenho e detalhamento nunca como uma solução completa capaz de substituir oa engenheiroa e a sua experiên cia profissional Entendese que apenas engenheirosas podem fazer Engenharia e que os computadores são capazes de fazer apenas contas préprogramadas por isso somente osas enge nheirosas podem ser responsáveis pelo projeto EMKIN 1988 Acontece que muitosas engenheirosas jovens encantadosas com avanços tecnológicos acabam adquirindo softwares complexos 201 UNIDADE 7 para de alguma forma suprir sua própria inexperiência São impelidosas a acreditar que seus projetos estarão mais seguros pelo programa usar MEF análises de segunda ordem não linearidades físicas e outras análises avançadas mas isso é mera ilusão pois análises de maior complexidade não necessariamente significam maior nível de segurança à estrutura uma vez que os parâmetros empregados na análise precisam corresponder ao real na prática Essa tentação acomete osas engenheirosas diariamente e muitas vezes até osas experientes podem esquecer de detalhes banais por confiar excessivamente nos softwares Por isso o ideal é que as simulações numéricas sejam elaboradas em ordem crescente de complexidade até o limite de necessidade do problema ou até o limite de conhecimento doa engenheiroa Dessa maneira oa engenheiroa não avaliará análises em que não tem a devida capacidade técnica ou gastará energia desnecessária para resolver um problema simples DELLAVANZI 2017 Antes de iniciar a modelagem computacional é importante que você como engenheiroa procure prever e estimar o comporta mento da estrutura por modelos simplificados usando a análise como um processo de refinamento e verificação dos cálculos MULINA ALVES CAVIGLIONE 2019 Neste podcast conversaremos um pouco sobre os avanços nos softwares de análise estrutural Serão abordados as principais inovações facilidades e os pe rigos para oa engenheiroa Entenderemos o uso des sas ferramentas no dia a dia de uma engenheiroa Agora que você entendeu um pouco sobre como funciona o processo de modelagem de estruturas em um computador convido você a modelar algumas estruturas no computador Tente representar a estrutura de sua casa de uma ponte em sua cidade enfim procure aplicar os conceitos aqui elucidados A modelagem e análise estrutural por computadores é uma das partes mais aplicadas da disciplina de estruturas hiperes táticas no dia a dia de escritórios de cálculo estrutural As técnicas aqui apresentadas são de extrema importância para o desenvolvimento dessas análises Além das técnicas o entendimento das limitações do software é fundamental OA engenheiroa precisa saber interpretar os números além de fazer as contas Esse raciocínio crítico não se cria do dia para noite e se faz necessária vontade de aprender além da experiência Esse raciocínio crítico que é capaz de perceber possíveis incon gruências entre a obra e o projetadoplanejado é uma habilidade fundamental para oa engenheiroa ainda que você planeje trabalhar com execução de obras 202 Vimos a importância das boas práticas ao se desenvolver um modelo computacional bem como a recomendação de manter os elementos finitos pequenos processar a estrutura gradualmente e principalmente procurar modelos analíticos simplificados que possam servir de estimativa para os esforços computacionais e confrontálos Conhecemos também as técnicas de homogeneização dos esforços e suas respectivas proporções que são valores interessantes para se memorizar OA engenheiroa deve zelar para não confiar demais nos softwares deve sempre procurar con frontar o software com a técnica para entender o que está acontecendo além dos números Nesse sentido o uso de modelos simplificados é um grande aliado useo sem moderação E um ponto muito importante é que apesar dos avanços tecnológicos do software é oa engenheiroa que faz o projeto portanto elea é quem deve dimensionar e se sentir seguro com as soluções estruturais encontradas Um software de última geração não pode substituir uma engenheiroa experiente A compreensão desses conceitos é fundamental para sua formação profissional Considero esta parte da disciplina especialmente importante para aquelesas que almejam trabalhar com projeto estrutural Entendendo a importância desse assunto convido você para elaborar um mapa mental referente ao assunto que estudamos Qualquer dúvida consulte seu livro e reveja os conceitos 204 1 O desenvolvimento e a popularização de computadores permitiram o crescimento de softwares de Engenharia usados na análise estrutural O Método dos Elementos Fini tos MEF foi um dos métodos que mais se popularizou Assinale a alternativa correta sobre o MEF a O MEF corresponde a uma técnica usada para dimensionamento de estruturas em concreto armado que permite usar o procedimento de diversas normas b O MEF é um método numérico para solução de problemas físicos Na Engenharia Civil ele é utilizado na análise estrutural uma das etapas recorrentes no projeto de estruturas c O MEF é um método computacional de projeto de estruturas permite que oa enge nheiroa modele a estrutura e que o programa detalhe a estrutura completa emitindo as pranchas d O MEF e o BIM são sinônimos ambos são usados na análise estrutural e integração de projetos de Engenharia e O MEF é um método analítico utilizado para se analisar estruturas prémoldadas Para estruturas monolíticas usamos o Método dos Elementos de Contorno MEC 2 Uma estrutura pode ter um comportamento não linear mesmo que ela seja constituída por um material que obedeça à Lei de Hooke A partir de valores grandes de desloca mentos a deflexão lateral de um membro pode trazer como consequência o apareci mento de momentos fletores adicionais em virtude da presença de um esforço normal Assinale a alternativa que apresenta um exemplo de não linearidade geométrica a Os modelos de mola não conseguem representar a interface sapatasolo que só pode trabalhar a compressão sem mobilizar tensões de tração b Quando uma viga de concreto armado atinge seu momento de fissuração a seção resistente passa a fissura e portanto o valor de sua inércia deixa de ser a inércia da secção total c No caso de elementos com grande carga de compressão essencialmente pilares quaisquer deslocamentos horizontais provocam efeitos de segunda ordem aumen tando o momento nesses elementos d Com o passar do tempo a força de protensão aplicada em uma peça de concreto tende a diminuir pelo alongamento e relaxamento do aço Esse fenômeno é conhecido como perda de protensão e Em uma situação próxima à ruptura do concreto não são válidas as análises lineares 205 3 Você foi chamadoa para ajudar em um projeto de um muro de arrimo para uma al tura de 40 m Em função da altura que é considerada elevada você precisa conceber uma estrutura que seja capaz de suportar o esforço do empuxo de solo sem grandes movimentações e com um custo viável Tendo isso em mente você gostaria de usar um tirante no arrimo Qual seria a melhor altura para posicionar esse tirante Escolha uma das alternativas e justifique sua resposta Fique livre para modelar a estrutura no Ftool Considere os pilares com seção 15x30 e E 25000 MPa 400m 8400 kNm 400m 8400 kNm 8400 kNm 8400 kNm 8400 kNm 2100 kNm 2100 knm 3150 kNm 3150 knm 4200 kNm 4200 knm 150m 100m 250m 300m 200m 200m a engastado e livre b tirante à 40m d tirante à 25m c tirante à 30m e tirante à 20m Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra cinco situações de análise Da esquerda para a direita temos situação a muro engastado e livre com carregamento triangular na horizontal situação b muro engastado e apoiado na sua extemidade superior 40 m da base com mesmo carregamento situação c muro engastado e apoiado sendo que o apoio se situa a 30 m da base situação d muro engastado e apoiado com o apoio situado a 25 m da base situação e muro engastado e apoiado com o apoio a 20 m da base no meio do muro Todos os muros estão submetidos a esforços triangulares horizontais com maiores valores na base 8 Nesta unidade você conhecerá um pouco sobre os principais siste mas estruturais os fundamentos do projeto estrutural as principais normas referentes a ele e outras complementares bem como os conceitos relacionados e sua aplicação em estruturas Veremos exemplos de estruturas icônicas e seu comportamento uma opor tunidade de entendermos os princípios de projetuais das gran des obras Atualmente a maioria dos projetos é feita com auxílio computacional mas apenas os conceitos e princípios de projetos podem conduzir o projeto a uma estrutura econômica e soluções efetivamente aplicáveis O objetivo é ter uma visão geral dos siste mas estruturais para posteriormente entender suas especificidades Fundamentos do Projeto Estrutural Me Gabriel Trindade Caviglione MEU ESPAÇO 208 UNICESUMAR Você já se imaginou fazendo o projeto de uma estrutura im portante Por exemplo uma ponte uma escola ou um hos pital Já contemplou os riscos envolvidos Quantas pessoas usariam essa edificação diariamente Caso algo dê errado quais são os danos envolvidos Quais materiais e técnicas de execução você poderia empregar Esses materiais são seguros para a fabricação de estruturas Como você faria para garantir a segurança na estrutura Quais metodologias de cálculo utilizaria Não seria interessante conversar com alguém que já fez um projeto semelhante para poder enten der os conceitos envolvidos no projeto estrutural Essas perguntas são muito importantes e agora que você já tem uma boa noção de análise estrutural é possível começar a fazêlas Nesta unidade você deve entender a conexão entre análise estrutural e dimensionamento que são duas etapas fundamentais no processo de um projeto estrutural Além de saber calcular os esforços na estrutura e saber fazer seu dimensionamento fazse necessário en tender algumas outras questões importantes Esses questionamentos envolvem os tipos de sistemas estruturais que podem ser utilizados os materiais que podem ser empregados o tratamento a ser dado para a segurança estrutural Enfim esses são os fundamentos do projeto estrutural isto é os conceitos e ideias que serão empregados em um projeto Para entender essa situação com bastante clareza considere a seguinte situação você está cursando Enge nharia Civil e nas suas férias resolve visitar o sítio do seu avô Seu Getúlio tem uma propriedade de tamanho médio que é cortada por um pequeno rio cuja extensão é de uns 60 m O rio tem pouca profundidade e costuma ser atravessado a pé mesmo Nos meses de inverno seu avô se incomoda de se molhar e queria construir uma pequena ponte rural Seu avô comentou que um dos vizinhos seu Antônio havia construído uma ponte de madeira que enverga quando ele passa por ela Figura 1 Ele também disse que possui um conjunto de tábuas de boa qualidade que sobraram do desmanche de um celeiro 209 UNIDADE 8 Ciente de que o processo não é tão simples quanto seu avô propõe e que você ainda está aprendendo engenharia você já começa a levantar alguns questionamentos A ponte é para passar quantas pessoas Passará al gum animal ou trator Qual é a largura ideal dela Quais valores de carregamento usaria nas análises Qual é a madeira que estava no celeiro Será que realmente está em bom estado Pode ser colocada próxima à água Qual é a resistência dela Quais são os outros materiais disponíveis Que solução estrutural podemos usar para um vão de 60 m Quais tipos de soluções estru turais existem Como é a ponte feita pelo seu Antônio É o mes mo vão O quanto ela se deforma Ela está segura Quanto deve ser considerado de folga na relação entre carregamento e resistência Quais outros efeitos podem ocorrer O rio pode transbordar Quais os níveis máximos e míni mos do rio A água exerce algum esforço sobre os pilares da ponte Figura 1 Ponte sobre o rio construida pelo seu Antônio Fonte Pixabay 2018 online Descrição da Imagem a figura mostra uma pequena ponte rural de madeira atravessando um rio de dimensões pequenas As vegetações são rasteiras e o dia está ensolarado é possível ver o reflexo da ponte no rio 210 UNICESUMAR Ciente de que essas perguntas não são tão simples de serem resolvidas você decide estudar um pouco o assunto para poder ajudar efetivamente seu avô Você deve resolver cada um dos problemas propostos pelas perguntas citadas antes de começar a construir Convido você a refletir e listar todas as perguntas que precisam ser respondidas em um projeto estrutural extrapole pense além da ponte Escreva seus pensamentos no seu Diário de Bordo Uma das pontes mais interessantes do ponto de vista estrutural é a ponte autoportante de Leonardo da Vinci Tratase de uma ponte que pode ser construída sem qualquer tipo de travamento parafuso ou ligação sua estrutura é em arco simples de formato autoportante e os esforços são transferidos por contato Caso queira entender mais sobre o assunto pode assistir ao vídeo acessando o QR Code Tente reproduzir a ponte em sua mesa com suas canetas 211 UNIDADE 8 Qual projeto é responsável por definir a largura da ponte as dimensões dos cômodos das janelas a altura da edificação É o projeto arquite tônico que estabelecerá as dimensões ideais a serem utilizadas Nessa etapa também é definido o escopo da edificação isto é o seu uso No caso da ponte do seu avô ele mesmo respondeu que não pretende passar com um trator por ela mas que seria interessante se ele pudesse passar a cavalo Tendo isso em mente é necessária uma largura mínima de 10 m Quanto pesa um cavalo Existem cavalos mais leves que outros Qual seria um valor bem representativo E a correnteza do rio ela é capaz de empurrar os pilares Quanta força ela aplica nos pilares Essa etapa é o levantamento das cargas e embora seja uma ponte vicinal em uma propriedade rural ela não pode ser feita de maneira rudimentar Imagine que você projetou a ponte pensando em um cavalo de 400 kg e que ele engordou e agora pesa 500 kg A sua ponte ainda estaria segura Repare que essa etapa de levantamento das cargas precisa de uma padronização para que o projeto seja equivalente em níveis de segurança Qual seria o sistema estrutural ideal para essa situação Será que poderia trabalhar com uma treliça de madeira Um arco em pedras argamassadas Uma viga reta em concreto armado Essa etapa é a de concepção estrutural Você como engenheiroa deve escolher o sis tema estrutural mais adequado à ponte levando em conta os materiais empregados e o desempenho estrutural do sistema Como é a ponte feita pelo seu Antônio É o mesmo vão O quanto ela se deforma Ela está segura Quanto se deve considerar de folga entre so licitação e resistência Essa discussão da segurança em estruturas é muito importante É fácil perceber que embora seu Antônio trafegue pela ponte todo dia considerandoa segura seu avô a considera frágil e insegura Ou seja uma estrutura não pode ter um critério de segurança subjetivo é necessário que ela seja segura os usuários não devem precisar de coragem para atravessar sua ponte Assim é necessário padronizar algumas consi derações sobre os carregamentos e sobre a segurança usada na estrutura Qual é a resistência da madeira do celeiro Ela ainda está em boas condições Nessa etapa você faria o dimensionamento conforme o material específico Nesse caso deveria consultar a norma referente ao projeto de estruturas de madeira para saber como o material se comporta frente ao carregamento e frente às condições de umidade Inicialmente é muito importante desenvolver uma visão sistêmica do processo e entender a importância de cada projeto e responsabili dade de cada projetista Algumas situações podem ser diferentes com 212 UNICESUMAR relação às nomenclaturas e regras aqui apresentadas mas essencialmente o conceito deve ser o mesmo A Arquitetura é responsável por conceber e utilizar os espaços determinar as dimensões e formas compatíveis com o uso da edificação posicionar diferentes elementos arquitetônicos a fim de garantir uma harmonia estética e funcional da edificação Essencialmente os demais projetos devem procurar se ajustar à arquitetura embora em algumas situações isso não seja possível Nóbrega 2015 aponta que oa arquitetoa deve preconceber os demais sistemas da edificação em sua arquitetura O ideal é que já imagine o sistema estrutural hidrossanitário a prevenção de incêndio o sistema elétrico lógico o arrefecimento e a calefação bem como demais situações específicas de cada projeto A arquitetura deve reservar o espaço para os elementos de cada siste ma para os pilares vigas lajes descidas de água pluvial tubulação de esgoto calhas quadro de distribuição etc Também é responsável por gerenciar e prever as condições de compatibilização O projeto estrutural seria o segundo na lista de prioridade Deve respeitar a arquitetura e de veria ser respeitado pelos demais Ele é o responsável por determinar as dimensões dos elementos estruturais seus materiais constitutivos arranjos e técnicas executivas que possam garantir con dições mínimas de estabilidade e segurança aos usuários da edificação Os projetos de fundações e contenções ficam responsáveis por garantir apoio aos pilares e estabilidade aos maciços de terra Os projetos hidrossanitários ficam responsáveis pelas tubulações em geral suas especificações dimensões e posições O projeto elétrico por sua vez fica responsável pela avaliação das cargas elétricas na edificação dimensionamento dos eletrodutos conduítes tomadas e demais equi pamentos elétricos Ambos os projetos costumam evitar as interferências com o estrutural mas existem situações que fogem desse cenário e que devem ser avaliadas caso a caso Por exemplo para passagem de uma tubulação pode ser necessário atravessar uma viga ou pode ser necessário passar o eletroduto pela laje ou ainda uma abertura vertical em uma laje para criação de um shaft Figura 2 Exemplo conceitual de fluxo de projeto Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra um fluxograma de projetos A partir das informações iniciais é elaborado o anteprojeto arquitetônico na sequência é feito o anteprojeto estrutural e os complementares nessa etapa podem ser feitas modificações no projeto arquitetônico e são geradas as informações mais precisas sobre as quais se faz planejamento orçamento e iniciase a etapa de projeto Seguindo elaboramse o projeto arquitetônico e demais projetos complementares 213 UNIDADE 8 Engel 2001 aponta que de uma maneira simplificada o flu xo de um projeto de uma edificação segue uma ordem lógica Inicialmente é feito o projeto arquitetônico o qual já deve prever e reservar algum espaço para os demais sistemas Na sequência é feito o projeto estrutural em que se determinam as dimensões dos elementos estruturais Caso os elementos não estejam de acordo com o espaço reservado peloa arqui tetoa pode ser necessária alguma alteração na arquitetura Na próxima etapa os projetos hidrossanitários e elétricos serão desenvolvidos os respectivos responsáveis técnicos analisarão se existem soluções viáveis para aquela deter minada geometria Pode ser necessária alguma alteração no projeto estrutural para permitir a passagem de algum eletroduto ou alguma tubulação Em alguns casos podem ser necessárias alterações no projeto arquitetônico também Com todos os projetos compatibilizados é possível fazer a aprovação nos órgãos competentes e iniciar a execução Você conseguiria imaginar todos os sistemas de uma edificação Quais são as interferências entre eles Para ajudar nesse processo de compatibili zação é muito comum utilizar softwares BIM que ajudam na integração dos projetos Tendo em vista esse fluxo geral da produção de um projeto estrutural compreenderemos mais a fundo as ideias e os conceitos usados na elaboração de sistema estrutural De uma maneira simplificada temos quatro tipos de estrutu ra ou quatro sistemas estruturais ilustrados na Figura 3 Temos as estruturas de forma ativa cujo formato combate a solicitação exemplos são os arcos e cabos Temos as estruturas de vetor ativo em que um conjunto de vetores estabiliza as solicitações como por exemplo as treliças 214 UNICESUMAR Figura 3 Principais sistemas estruturais Fonte adaptada de Engel 2001 p 137 p 178 e p 217 Descrição da Imagema figura mostra os principais sitemas estruturais utilizadosTemos o sistema de forma ativa representado por um arco no qual o formato da estrutura conduz as verticais por compressão no arco até os apoios Logo abaixo temos uma treliça que corresponde ao sistema de vetor ativo em que um conjunto de forças deve estabilizar as forças solicitantes novamente os esforços são apenas de tração e compressão Abaixo temos o sistema de massa ativa no qual a inércia combate a solicitação pelo esforço de flexão Por fim temos a figura da superfície ativa em que a estrutura funciona como uma placa os esforços são transmitidos por esforços axiais na placa aos apoios As estruturas compostas pelo sistema de massa ou seção ativa são as mais utilizadas nas edificações comuns Os esforços solicitantes são resistidos por uma seção robusta surgindo esforços de flexão Figura 3 As vigas as lajes e os núcleos rígidos de edifícios são os principais exemplos que se utilizam desse sistema O sistema de superfície ativa é formado por uma estrutura do tipo placa uma espécie de empena ou laje submetida a esforços axiais Esse tipo de sistema estrutural é muito utilizado em abóbodas e cúpulas Esses são os principais sistemas estruturais empregados 215 UNIDADE 8 nas edificações e portanto é importante entendermos eles com maior profundidade Estruturas de forma ativa são estruturas muito eficientes pois seu formato induz apenas esforços de compressão ou tração que são os de menores deformações Segundo Pereira 2013 os arcos romanos representam as primeiras estruturas de forma ativa seu formato em arco permitia que as pedras trabalhassem apenas a compressão Os romanos construíram diversas pontes aquedutos e edificações usando os arcos a associação de arcos evidenciando sua eficiência estrutural Atualmente existem diversas estruturas em arco e até hoje é uma das formas mais confiáveis em Engenharia de Estruturas por exemplo a Hoover Dam e a Ponte da Amizade foram construídas no formato de um arco vide Figura 4 Figura 4 Exemplos de sistemas de formas ativas Fonte Wikimedia Commons 2009a 2006a online Pixabay 2017 online e Mantel 2013 online Descrição da Imagem a figura mostra diversas estuturas de forma ativa Temos a Hoover Dam uma barragem de concreto no formato de arco A Ponte da Amizade que liga Brasil ao Paraguai a qual se apoia em um arco de concreto Temos a Ponte do Brooklyn a qual é um sistema de ponte pensil e estaiada E temos o Parque Olímpico de Munique que é uma estrutura tensionada A B C D 216 UNICESUMAR No caso do arco temos o efeito de solicitação à compressão mas se o arco fosse espelhado teríamos solici tações à tração Quando temos uma solicitação à compressão de grande magnitude é necessário um elemen to muito robusto para que não haja instabilidade no elemento no en tanto em elementos submetidos à tração esse efeito não é importante Assim elementos submetidos à tra ção são mais eficientes que é o caso de estruturas com cabos Quando um cabo horizontal fica submetido a um carregamento vertical uniforme ele se deforma numa configuração chamada de catenária permitindo resistir a um esforço vertical por for ças de tração Esse efeito é observado nas pontes pênsis em que os cabos da ponte têm esse formato caracte rístico da catenária que é um refle xo do diagrama de momento fletor Como exemplos dessas estruturas de forma ativa temos a ponte do Brooklyn e a cobertura do Parque Olímpico de Munique Figura 4 que são estruturas sustentadas por cabos submetidos à tração As estruturas de vetor ativo também trabalham apenas a esfor ços normais porém nesse caso um conjunto de vetores estabilizará o esforço solicitante Essas estruturas são representadas principalmente pelas treliças e suas variedades de composição as barras retas e as ró tulas nas extremidades provocam apenas esforços de compressão A B C D Figura 5 Exemplos de sis temas de vetor ativo Fon te Shutterstock Wikimedia 2018 2017 2012 online Descrição da Imagem a figura mostra diversas estuturas de forma ativa Temos a Casa do Comércio em Salvador em que temos treliças vermelhas em balanço se apoiando nos núcleos centrais de concreto do edifício Temos os pilares do aerporpoto de Frankfurt o qual tem ramificações imi tando uma árvore Temos a Ponte dos Deuses que é formada por treliças com altura variáveil sobre um grande rio Por fim temos o aeroporto de Kansai o qual tem uma estrutura tubular treliçada na fachada 217 UNIDADE 8 tração Na Figura 5 temos a Casa do Comércio em Salvador na Bahia cuja estrutura do pavimento é uma treliça biapoiada com balanços temos a Ponte dos Deuses que é uma ponte cantiléver treliçada Temos também o aeroporto de Stuttgart cujo pilar tem ramificações e se assemelha a uma árvore e o aeroporto de Kansai com uma treliça espacial O sistema de massa ativa é o mais utilizados em estruturas e também é o mais desen volvido em termos de técnicas justamente pelo seu amplo uso Basicamente a grande maio ria dos edifícios e das residências cuja solução estrutural seja reticulada trabalha com o sistema de massa ativa Utilizase uma estrutura robusta capaz de vencer os esforços traba lhando por flexão Como exemplos listamos o MASP a Ponte RioNiterói e o Hospital Sara Kubsticheck ilustrados na Figura 6 A B C D Figura 6 Exemplos de sistemas de massa ativa Fonte Wikimedia Commons 2009b online Shutterstock Reis 2021 online e Senado Federal 2015 online Descrição da Imagem a figura mostra diversas estuturas de forma ativa Temos o MASP o qual tem uma viga de concreto de seção vazada pintada de vermelho a qual suspende o restante do edifício À direita temos vigas de seção caixão as quais são comparadas com ossos pneumáticos os quais têm a seção vazada Temos a Ponte RioNiterói a qual tem uma variação de seção ao longo do vão Por fim temos o Hospital Sarah Kubistcheck o qual tem vigas vierendel como solução estrutural 218 UNICESUMAR Uma das dificuldades desse sistema é que com o aumento dos vãos fa zemse necessárias seções com maior inércia o que implica em seções com pesos maiores Como se pode perceber para vãos muito grandes a estrutura fica muito pesada e in viável Rebbelo 2000 aponta que osas engenheirosas se inspiraram nas estruturas presentes na natureza para resolver esse problema A ideia é copiar a estrutura óssea dos pás saros que têm ossos pneumáticos ou seja são ossos com vazios inter nos justamente para aliviar o peso e permitir que o animal voe Figura 6 Nesse sentido as estruturas de grandes vãos são construídas com vazios internos que otimizam o uso do material a um peso próprio muito menor são chamadas de seções cai xão A Ponte RioNiterói e as vigas de cobertura do MASP foram cons truídas com caixão perdido Uma das vantagens da seção caixão é a sua grande resistência à torção situação muito presente em viadutos curvos Os sistemas de superfície ativa são compostos por placas e membra nas isto é são elementos de superfí cie que estão submetidos majoritaria mente a esforços axiais Esse sistema é uma extensão do sistema de forma ativa para o âmbito de superfícies aqui entram as cúpulas as abóbadas as superfícies paraboloides hiperbó licas membranas de tensoestruturas os edifícios de alvenaria estrutural de paredes de concreto entre outros A B C D Figura 7 Exemplos de sistemas de superífice ativa Fonte Almeida 2013 online Wikimedia Commons 2019 online Pixabay 2015 onli ne e Lulko 2013 online Descrição da Imagem a figura mostra diversas estuturas de superfície ativa A figura mostra o Museu do Olho uma torre construída no formato de um olho Mostra também o Congresso Nacional com duas torres verticais idênticas e duas conchas uma com a abertura para cima e outra com a abertura para baixo Temos a Ópera de Tenerife que tem um formato de arco e casca Por fim temos o Palácio dos Esportes que é uma cúpula apoiada em pilares em formato V 219 UNIDADE 8 São estruturas autoportantes cujas superfícies têm um com portamento que permite o transporte dos esforços aos apoios Temos como exemplo a Capela Cistina o Museu do Olho e as cúpulas do Congresso Nacional alguns ilustrados na Figura 7 Segundo Engel 2001 os sistemas ainda podem ser clas sificados quanto à sua destinação ou seja se o sistema tem o objetivo de estruturar um edifício alto entendemos ele como um sistema vertical ou do tipo de altura ativa Se o sistema tem por objetivo estruturar uma ponte ou alguma edificação majoritariamente horizontal referimonos a ele como um sistema horizontal ou vão ativo Edifícios altos pre cisam garantir sua estabilidade contra efeitos horizontais que possam provocar algum desaprumo e eventual tombamento ou colapso da edificação Por isso os sistemas verticais de edifícios altos envolvem uma estrutura de contraventamento O contraventamento da edificação pode ser feito por diversas estratégias cujo objetivo final é enrijecer a estrutura travan do os pilares e vigas dentro de deslocamentos aceitáveis Na realidade aumentada acompanhe o exemplo da estru tura da estátua do Cristo Redentor no Rio de Janeiro É uma escultura muito bonita no alto do Corcovado em concreto armado mas poucas pessoas imaginam sua estrutura por dentro Dentro do Cristo temos treliças de concreto armado que são sistemas verticais de vetor ativo usados para comba ter a pressão que os ventos fazem sobre os braços do Cristo Em sistemas horizontais temos várias soluções para pon tes que precisam vencer grandes vãos Na Figura 8 temos diversos tipos de pontes Observe que eles acabam se ins pirando nos sistemas estruturais já citados para estabilizar a ponte Por exemplo as pontes em arco e as pontes pênsis são sistemas de forma ativa em que o arco e a catenária do cabo são as formas mais eficientes de se estruturar a ponte As pontes estaiadas são exemplos de sistemas de vetor ativo em que os estais tabuleiro e mastro formam um sistema de vetores capazes de estabilizar a estrutura Já as pontes em vigas retas combatem os esforços por flexão como um sis tema de massa ativa As pontes em caixão perdido seguem a mesma ideia são estruturas de massa ativa porém devido ao trecho em vazio é uma estrutura mais leve REALIDADE AUMENTADA Sistema Estrutural do Cristo Redentor 220 UNICESUMAR PONTE PÊNSIL FORMA ATIVA PONTE ESTAIADA VETOR ATIVO SEÇÃO CAIXÃO MASSA ATIVA Figura 8 Principais tipos de pontes e seus sistemas Estruturais Fonte adaptada de Pexels 2018 online e Wikimedia 2014 2006b online Descrição da Imagem a figura mostra os principais sitemas estruturais utilizados em pontes À esquerda temos a ponte do tipo pênsil exemplificada pela ponte Golden Gate logo abaixo temos o caminho das forças estas saem do tabuleiro sobem pelos pendurais aos cabos que as transportam aos mastros para por fim descerem às fundações Ao centro temos o exemplo de uma ponte estaiada em Teresina logo abaixo está ilustrado o caminho das forças surgem forças de compressão nos tabuleiros e forças de tração nos estais inclinados por fim as cargas descem pela torre às fundações À direita temos a Ponte RioNiterói exemplo de massa ativa solução de seção caixão na qual as cargas vão pelo tabuleiro aos pilares à fundação A figura mostra ainda que o formato do diagrama de momento fletor é espelho da variação de inérica na viga e da catenária da ponte pênsil Observe na Figura 8 que a concepção estrutural busca imitar os esforços solicitantes Se observarmos a catenária da ponte pênsil podemos visualizar que é próxima ao formato do momento fletor solicitante Da mesma maneira a variação da seção na ponte de caixão perdido é parecida com o diagrama de momento fletor espelhado Essa concepção procura otimizar o uso do material e é uma excelente solução estrutural O processo de projeto estrutural deve ser padronizado pois as estruturas precisam ser seguras para a sociedade independentemente da subjetividade de quem fez o projeto Por isso existem normas e códigos com recomendações que devem ser seguidas pelos engenheiros Seguir uma norma de projeto não necessariamente implica em garantia de segurança pois existem situações e efeitos que podem estar omissos Entretanto em todos os casos é importante observar as normas pois a não observância de seus critérios implica em insegurança e em caso de litígio costuma ser interpretada como negligência doa profissional 221 UNIDADE 8 No âmbito do projeto estrutural a norma geral é a ABNT NBR 8681 ações e segurança nas estrutu ras procedimento ABNT 2003 Ela estabelece a condições básicas de segurança de uma estrutura as verificações a serem empregadas na análise bem como as ações atuantes sobre cada tipo de edificação Consideramse ações permanentes aquelas que atuam na maior parte da vida útil da estrutura com valores constantes ou praticamente constantes são efeitos que agirão sobre a estrutura praticamente sempre O peso próprio dos elementos estruturais Figura 9a é o principal exemplo esse carregamento sempre agirá pois se dá em função dos próprios elementos estruturais O peso dos revestimentos e elementos construtivos permanentes empuxos de solo não removíveis peso de equipamentos são exemplos de ações permanentes diretas As cargas de protensão recalques de fundação e retrações na estrutura são consideradas ações permanentes indiretas Neste podcast conversaremos um pouco sobre a aplicação des ses sistemas estruturais em projeto de estruturas Entenderemos como esses conceitos se correlacionam e qual é a importância deles para os critérios normativos de desempenho e segurança da estrutura de uma edificação A B C Figura 9 Exemplo de ações em estruturas a Ação permanente peso próprio de uma aduela seção caixão b Ação variável vento em uma árvore e c Ação exepcional incêndio do edificio Joelma Fonte Figuras a e b Shutterstock e Figura c Wikipedia 2017 online Descrição da Imagem a figura mostra exemplos de ações em estrutras Temos o içamento de uma duela de concreto eviden ciando o peso próprio Temos uma árvore retorcida pelo vento evidenciando a força do vento uma ação variável E o incêndio no Edifício Joelma evidenciando uma ação excepcional 222 UNICESUMAR Já as ações variáveis são aquelas cuja ocorrência e intensidade têm grande variabilidade São exemplos a pressão oriunda do vento Figura 9b as forças devido à movimentação de veículos o mobiliário e uso do ambiente pelos habitantes as vibrações causadas por equipamentos a dilatação e contração causadas pela variação de temperatura As ações acidentais são as ações variáveis que atuam nas construções em função de seu uso As ações excepcionais são aquelas que não são decorrentes do uso normal da edificação mas sim de situações não convencionais excepcionais de baixa probabilidade de ocorrência tais como uma explosão um incêndio Figura 9c uma colisão A estrutura projetada precisa ter certo nível de segurança em relação a essa situação mas por ser uma situação improvável de ocorrer os fatores de ponderação serão diferentes para esses efeitos O levantamento das cargas das ações atuantes em estruturas faz parte do processo de análise estru tural e também precisa de certo nível de padronização Considere a Figura 10 A partir dela surgem certos questionamentos qual é o peso de cada pessoa Qual é a lotação máxima do ambiente Quantas pessoas em média por m² estariam nesse ambiente E a mobília quanto pesa A B Figura 10 Ações acidentais em um escritório Descrição da Imagem a figura mostra pessoas conversando em um escritório ao redor de uma mesa de reunião Ao fundo uma janela de grande abertura À direita temos a mesma figura com indicação dos carregamentos em função das pessoas que usam o ambiente Perceba que responder essas perguntas é um pouco difícil justamente por existir uma variação nos carregamentos e certa subjetividade na escolha de um valor de carregamento equivalente Por isso ao se projetar estruturas devese seguir as recomendações da ABNT NBR 6120 ações para o cálculo de estruturas de edificações ABNT 2019 que trata exatamente das cargas a serem consideradas 223 UNIDADE 8 Nesse caso Figura 10 um escritório conforme a Tabela 10 da norma ABNT 2019 devese usar 30 kNm² referente à sobrecarga de utilização Outra situação importante é o caso do projeto de pontes em que as cargas são móveis e tran sitam sobre a estrutura É importante então escolher um conjunto de forças que representem os veículos os quais transitarão sobre a ponte No Brasil devese seguir a ABNT NBR 7188 carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre ABNT 1982 e a ABNT NBR 7189 cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias ABNT 1985 Essas normas visam padronizar o uso dos carregamentos para que diferentes engenheirosas de diferentes formações possam obter níveis de segurança semelhantes em seus projetos Outra ação importante no projeto e dimensionamento de estruturas é a ação do vento Figura 9b O vento ao transitar próximo a uma estrutura implicalhe uma pressão que pode ser tanto de sucção quanto de sobrepressão Essa pressão depende da altura em que se faz a análise das condições de vizi nhança do edifício da velocidade dos ventos da região onde será construída a edificação Além disso existem outros fatores que influenciam como a rugosidade da superfície a aerodinâmica do edifício e podemos ter efeitos dinâmicos na estrutura Ou seja estimar o valor real desse carregamento é uma tarefa complexa que demanda certas análises experimentais Nesse sentido após muitas pesquisas elaborouse a ABNT NBR 6123 forças devida ao vento em edificações ABNT 1988 a qual serve de base para a estimativa do carregamento do vento nas edificações Essa norma deve sempre ser consultada para avaliar os efeitos do vento nas edificações ela cobre grande parte da geometria de nossas construções mas podem existir certas situações em que não seja possível utilizála sendo necessário fazer algum ensaio para entender o comportamento do edifício mediante ação do vento De posse dos carregamentos oriundos das ações sobre a estrutura a próxima etapa é a análise estru tural Nesse ponto surgem questionamentos sobre em quais situações a estrutura deverá ser analisada Ao fazer o projeto de uma estrutura devemos imaginar as situações a que ela poderá estar submetida durante sua vida útil considerando todas as ações pertinentes Essencialmente procuramos simular situações extremas situações de ruína ou de inutilização da edificação para garantir com certo nível de segurança uma distância saudável dessas condições Essas situações limites são os estados limites últimos ELU referentes à ruína e ao colapso estru tural e os estados limites de serviço ELS referentes à inutilização da edificação seja por vibrações deformações ou até mesmo danos excessivos Na avaliação do estado limite último procuramos determinar a ruptura prever o colapso dos elementos estruturais e então estabelecese um valor de carregamento o qual seria considerado seguro Já na avaliação do estado limite de serviço avaliamos situações nas quais a estrutura ainda ficaria estável porém perderia suas funcionalidades por ter deformações excessivas pela dificuldade em movimentar as esquadrias vibrações ou recalques Da mesma maneira estabelecese um valor de deslocamento limite aceitável Essa diferença entre o esforço solicitante e o resistido entre a deformação estrutural e a de formação limite engloba o conceito de segurança Ao projetarmos uma estrutura sempre se faz necessária uma margem de segurança pois existem incertezas nas ações e resistências imprecisões nos modelos de cálculo e podemos ter falhas construtivas 224 UNICESUMAR Outro aspecto a ser levado em consideração é a variabilidade tanto das resistências quanto das solicitações Se tomarmos uma estrutura de um edifício de múltiplos pavimentos a resistência do concreto em cada ponto será diferente Da mesma maneira se tomarmos um conjunto de pessoas que frequentam um museu teremos diferentes medidas de peso para cada pessoa Ou seja os valores têm certa variabilidade e portanto demandam uma análise estatística Para simplificar esse problema usamos uma aborda gem semiprobabilística na qual ao invés de analisarmos a probabilidade de ocorrer determinado evento usamos um valor com uma determinada probabilidade de ocorrer o evento Por exemplo ao invés de calcularmos a proba bilidade de os veículos pesarem mais do que os valores considerados em projeto escolheremos os valores tais quais sua probabilidade de ocorrência seja conhecida e aceitável Para isso utilizamos então os valores caracte rísticos que são aqueles cuja probabilidade de não serem ultrapassados é de 95 ou seja apenas 5 dos valores serão maiores e ultrapassarão os valores característicos Para entender melhor esse cenário pensaremos na resistência do concreto moldado in loco da Figura 11 Não é possível saber a resistência de cada um dos pontos da estrutura de concreto é simplesmente inviável Por isso fazse uma amostragem e durante a concretagem da estrutura são moldados corpos de prova CP Esses CPs serão submetidos ao ensaio de compressão simples após os 28 dias de cura Suponhamos que sejam feitos 20 CPs cada um deles teria um valor de resistência diferente Como escolheremos um valor de resistência com base nesses 20 CPs que possa representar a estrutura com certa segurança Se escolhermos a média existe 50 de chance de termos valores de resistência me nores ou maiores Por isso o ideal é considerar no projeto um valor de resistência inferior no qual a gran de maioria dos valores seja superior O valor usado é chamado de característico e tem 95 de chance de os valores de resistência serem superiores a ele 225 UNIDADE 8 Figura 11 Abordagem semiprobabilística na aplicação do método dos fatores de segurança parciais Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra a distribuição normal de frequência das resistências e das solicitações Acima temos a curva das resistências e uma figura de corpos de prova de concreto evidenciando que há diferentes valores de resistência para cada corpo de prova Na curva representase a a resistência característica valor que em 95 dos casos a resistência será maior Ao centro temos a distribuição normal de frequência das solicitações e à direta temos ícones representando diferentes tipos de móveis mostrando a variabildiade nas solicitações Na curva está indicada a solicitação característica valor que em 95 dos casos a solicitação será menor Temos abaixo a sobreposição de ambas as curvas indicando que os valores caracteristicos de resistências devem ser reduzidos por fatores gama m e ainda assim devem ser superiores às solicitações características majoradas por gama f 226 UNICESUMAR Esse exemplo é análogo para a solicitação em que o valor característico representa uma probabilidade de ser maior que os demais em 95 dos casos Figura 11 Lembrando que no caso da solicitação se essa for de intensidade menor do que a considerada no projeto estaremos a favor da segurança A ruptura da estrutura ocorreria nas situações em que a curva das solicitações for maior que a curva de resistências ou seja a probabilidade dessa ocorrência corresponde à intersecção de ambos os gráficos Para evitar essa ocorrência adicionamos fatores de segurança parciais minorando a resistência característica e majorando a solicitação característica para obtenção dos valores de cálculoprojeto Esse processo é interessante pois permite um tratamento mais específico para o coeficiente de ponderação de cada material e solicitação Especialmente porque pelos materiais serem diferentes eles precisam de coeficientes diferentes assim como as ações solicitantes No fim basta garantir que a solicitação de cálculo seja menor ou igual à resistência de projeto Os coeficientes de majoração das cargas podem ser obtidos pela consulta à ABNT NBR 8681 2003 enquanto os coeficientes de minoração das resistências são obtidos nas normas específicas de cada material Além dos conceitos já observados é necessário avaliar a possibilidade de simul taneidade das ações isto é quais as ações poderão agir sobre a estrutura simultaneamente Para entender melhor observe o reservatório de água da Figura 12 quais as ações que podem ocorrer sobre essa estrutura De início temos ações permanentes relativas ao peso próprio da estrutura ações variáveis referentes ao armazenamento de água efeitos relativos ao vento que inclusive podem se inverter Agora pode existir uma situação em que ocorra o vento e o reservatório esteja cheio E uma situação em que vente mas o reservatório esteja vazio Qual delas é mais desfavorável à estrutura Figura 12 Reservatório de água em concreto armado Descrição da Imagem a figura mostra um reser vatório elevado cílindrico construído em concreto armado para reservar água 227 UNIDADE 8 Para resolver essa situação fazemos uma análise na qual combinamos as ações que podem atuar simultaneamente sobre a estrutura No caso das ações combinadas a ABNT NBR 8186 2003 estipula coeficientes específicos conforme o tipo de combinação que se procura representar Temos três tipos de combinações para estado limite último e três para estado limite de serviço Combinações últimas normais Combinações últimas especiais ou de construção Combinações últimas excepcionais Combinações quase permanentes de serviço Combinações frequentes de serviço Combinações raras de serviço A combinação última normal se refere a situações em que a estrutura estará submetida a condições convencionais Nessa combinação são agregadas as cargas permanentes e cargas variáveis normais isto é aquelas que têm uma probabilidade grande de ocorrência A ob tenção da solicitação de projetocálculo é dada pela expressão conforme ABNT NBR 8681 2003 item 5131 F F F F d ELU CUN gi gi k q q k j qj k Σ Σ γ γ ψ 1 0 Em que é a solicitação de cálculo no estado limite último considerando a combi nação última normal ggi é o coeficiente de ponderação das ações permanentes obtido na Tabela 1 da norma Fgi k são os valores das ações permanentes gq é o coeficiente de ponderação das ações variáveis obtido na Tabela 4 da norma Fq k 1 é a ação variável principal y0j é o coeficiente de redução das ações variáveis secundárias obtido na Tabela 6 da norma Fqj k são as ações variáveis secundárias A combinação frequente de serviço é utilizada para situações em que as cargas atuarão na maioria das situações Nessa combinação inserimos as ações permanentes e uma parcela reduzida das ações variáveis correspondentes ao percentual frequente e quase permanente A obtenção da solicitação de projetocálculo é dada pela expressão conforme ABNT NBR 8681 2003 item 5152 F F F F d ELS FREQ gi k q k j qj k Σ Σ y y 1 1 2 Fd ELU CUN 11 12 228 UNICESUMAR Em que é a solicitação de cálculo no estado limite de serviço considerando a combinação frequente de serviço Fgi k são os valores das ações permanentes y1 é o coeficiente de redução da ação variável principal para o valor frequente obtido na Tabela 6 da norma Fq k 1 é o valor da ação variável principal y2j é o coeficiente de redução das ações variáveis para o valor quase permanente obtido na Tabela 6 da norma Fqj k são as ações variáveis secundárias Esses coeficientes estão ilustrados na Tabela 1 no entanto para as demais combinações e para uma avaliação e um entendimento mais completo da situação é importante consultar e aprender a manusear a ABNT NBR 8681 2003 Na norma também estão listadas as demais combinações e especificidades que podem ser necessárias a determinados projetos A leitura deste material não dispensa a consulta à referência normativa bem como a consulta às normas específicas de cada material Ações permanentes consideradas separadamente Extraídas da Tabela 1 da ABNT NBR 8681 Comb Tipo de ação Efeito Desfa vorável Favorá vel Nor mal Peso próprio de estruturas metálicas 125 100 Peso próprio de estruturas prémoldadas 130 100 Peso próprio de estruturas moldadas no local 135 100 Elementos construtivos industrializados paredes e fachadas pré moldadas gesso acartonado 135 100 Elementos construtivos industrializados com adições in loco 140 100 Elementos construtivos em geral e equipamentos paredes de alvenaria e seus revestimentos contrapisos 150 100 Fd ELS FREQ 229 UNIDADE 8 Comb Tipo de ação Desfavorável Efeito Desfa vorável Favorá vel Nor mal Ações truncadas cujo valor máximo é limitado por um dispositivo físico ex reservatórios 120 000 Efeitos de temperatura dilatação contração 120 000 Ação do vento 140 000 Ações variáveis em geral 150 000 Tipo de ação ψ0 ψ1 ψ2 Cargas aci den tais Locais que não há predominância de pesos e equi pamentos fixos nem muitas pessoas 05 04 03 Locais que há predominância de pesos e equipa mentos fixos ou muitas pessoas 07 06 04 Bibliotecas arquivos depósitos oficinas e garagens 08 07 06 Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 06 03 0 Temp Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 06 05 03 Cargas Mó veis Passarelas de pedestres 06 04 03 Pontes rodoviárias 07 05 03 Pontes ferroviárias não especializadas 08 07 05 Tabela 1 Coeficientes de ponderação para combinações das ações Fonte adaptada de ABNT 2003 Valores dos fatores de combinação ψ0 e de redução ψ1 e ψ2 para as ações variáveis Extraídos da Tabela 6 da ABNT NBR 8681 Ações variáveis consideradas separadamente Extraídas da Tabela 4 da ABNT NBR 8681 230 UNICESUMAR Além das normas citadas o projeto estrutural dependerá das normas específicas de cada material pois cada um tem suas próprias características que influenciarão no projeto e na técnica executiva empregada Nesta disciplina abordamos apenas a parte referente à análise estrutural os conceitos de dimensionamento serão vistos em disciplinas específicas para esses materiais Então para cada material oa engenheiroa deverá consultar a norma específica referente àquela estrutura Entre as normas vigentes citamse as principais ABNT NBR 155752 edificações habitacionais desempenho Parte 2 requisitos para os siste mas estruturais ABNT NBR 6122 projeto e execução de fundações ABNT NBR 6118 projeto de estruturas de concreto procedimento ABNT NBR 8800 projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios ABNT NBR 14762 dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio ABNT NBR 7190 Projeto de estruturas de madeira ABNT NBR 7187 Projeto de pontes de concreto armado e de concreto protendido Que tal aplicar valores numéricos ao exemplo do reservatório e tentarmos calcular quais se riam os esforços de cálculo Os pilares desse reservatório ficam submetidos à compressão de N pp 320kN referente ao peso próprio Com relação à água temos uma compressão de N água 120kN e com relação ao vento um esforço que pode ser de tração ou de compressão de N vento 80kN Consultando as Tabelas 4 e 6 da ABNT NBR 8681 2003 e considerando a água como variável principal temos F F F F F d gi gi k q q k j qj k d Σ Σ γ γ ψ 1 0 1 35 320 1 2 120 1 4 0 6 80 643 2 kN Consultando as Tabelas 4 e 6 da ABNT NBR 8681 2003 e considerando o vento como variável principal temos F kN d 1 35 320 1 4 80 1 2 0 80 120 659 2 Dessa maneira o valor crítico de compressão é 6592 kN O valor crítico de tração ocorreria com reservatório vazio juntamente com vento atuante Percebese que não chega a inverter o esforço solicitante F kN d 1 0 320 1 40 80 0 208 13 14 15 231 UNIDADE 8 De posse desses conceitos fica mais fácil ajudar seu avô Getúlio na construção da ponte Você já conheceu os principais sistemas estruturais utilizados e sabe em quais situações cada um deles se adapta melhor Entendeu um pouco sobre a importância de garantir as condições mínimas de segurança em uma estru tura Conheceu a filosofia de projeto as verificações usadas nos estados limites últimos e de serviço e a importância das referências normativas Pode consultar as normas para tentar levantar o carregamento a ser colocado na análise da ponte Contudo claro como você está aprendendo é importante consultar uma engenheiroa que possa lhe acompanhar nos processos validando suas considerações Os fundamentos do projeto estrutural envolvem conceitos muito interessantes e que são extremamente importantes para a forma ção de uma engenheiroa Uma das maneiras mais interessantes de aprender é se inspirar em grandes obras da engenharia Muitas estruturas icônicas têm sistemas estruturais relativamente simples e de fácil entendimento evidenciando a genialidade de seus auto res Nesta pílula mostraremos algumas obras icônicas e as soluções estruturais empregadas Espero que você goste e que inspire seus futuros projetos O entendimento desses conceitos é fundamental para o projeto da estrutura de uma edificação OA engenheiroa deve ser capaz de entender e aplicar os conceitos de cada sistema estrutural em muitas situações isso pode conduziloa a concepções mais econômicas O uso de uma seção caixão uma viga vierendel ou viga vagonada é apenas um exemplo de situações em que é possível explorar o ma terial de maneira mais eficiente Além disso o dia a dia de uma engenheiroa envolve seguir diversos critérios normativos e por isso você precisa conhecêlos e entender por que os seguir As estruturas precisam ter mínimos padrões de cálculo executivos que precisam ser seguidos para garantir à sociedade que todas as estru turas tenham um mínimo nível de segurança e confiabilidade O levantamento dos carregamentos atuantes sobre as estruturas é de extrema importância e pre cisa seguir as recomendações normativas pois ele balizará as análises estruturais no dia a dia de um escritório Por isso é importante saber aplicar corretamente as normas e obter os valores corretos de sobrecarga de utilização conforme o uso da edificação pois é razoável que restaurantes escolas escri tórios e residências tenham diferentes usos e portanto diferentes carregamentos Tratandose de edifícios altos e estruturas muito leves a ação do vento tem efeitos significativos sobre a edificação e portanto precisa ser considerada Por isso é importante fazer o levantamento dos carregamentos causados pela pressão dinâmica do vento Coberturas metálicas de quadras barracões e indústrias são tão leves que o efeito do vento pode inverter o esforço solicitante Nesse sentido um bom projeto e por consequência uma obra segura e econômica só pode ser atin gida mediante a observância dos critérios normativos e do entendimento do comportamento estrutural 232 Nesta unidade vimos os principais sistemas estruturais e contemplamos algumas de suas apli cações O sistema de forma ativa por exemplo corresponde a uma solução estrutural na qual a forma da estrutura conduzirá os carregamentos aos apoios como por exemplo os cabos e arcos Já o sistema de vetor ativo é composto majoritariamente pelas treliças a solução estrutural é um conjunto de vetores que são capazes de transmitir os esforços às fundações O sistema de massa ativa é o mais comum nas estruturas usuais nele os esforços são resistidos por um sistema robusto com inércia suficiente para combater o momento fletor Existem diversos exemplos e soluções que podem ser utilizadas em sistemas de massa ativa Vimos como o uso de seções caixão o uso de vigas vierendel e vigas I de seção variável podem aumentar a eficiência es trutural desse sistema e como os engenheiros se inspiraram na natureza para chegar a tais soluções estruturais Esse é um dos principais sistemas e precisa ser muito bem entendido e compreendido Você também aprendeu um pouco sobre os critérios básicos de segurança empregados em um projeto conheceu alguns critérios das normas mais importantes no dimensionamento de estruturas Não se esqueça delas elas são padronizações importantes para a garantia da qualidade da estrutura É importante entender esses conceitos e reter os conhecimentos aqui relacionados Caso você tenha dificuldades sugiro investir algum tempo para estudar e compreender os fundamentos do projeto estrutural Considero esses conceitos essenciais na formação de um engenheiro princi palmente aqueles que não pretendem trabalhar com estruturas pois é necessário entender o processo e as bases conceituais de uma estrutura Para ajudar no entendimento do assunto proponho que você construa um mapa mental Tente fazêlo com os conceitos que lembrar da unidade sem consultar o livro nesta etapa Na sequência consulte o livro e tente resgatar conceitos dos quais você não se lembrava O mapa mental é uma ferramenta didática muito interessante que pode funcionar como um resumo esquemático Procure registrar os detalhes que você julgar importante relembre as obras que são exemplos quais são as normas pertinentes quais as ações envolvidas para retornar e consultálo quando sentir necessidade FUNDAMENTOS DO PROJETO ESTRUTURAL 234 1 Uma das etapas da análise e do projeto de uma estrutura é o levantamento do carre gamento isto é oa engenheiroa avalia o uso da edificação bem como quais ações poderão atuar sobre a estrutura durante sua vida útil para que ela esteja segura Nesse processo é fundamental entender a natureza das ações para avaliar seu carregamen to Sabendo disso pedese para assinalar um exemplo de ação permanente em um reservatório de água a Ação do vento b Recalques de fundação c Golpe de aríete da bomba na tubulação d O peso próprio da água no reservatório e Dilatação térmica devido aos dias quentes 2 É muito comum que no projeto estrutural apareçam conflitos com a arquitetura du rante a fase de concepção Nesse sentido o projeto estrutural deve sempre procurar respeitar o arquitetônico mas existem situações em que isso não é possível e que pode ser necessário fazer alterações na arquitetura Imagine que você está diante da seguinte situação ao trabalhar na concepção da estrutura de uma residência percebeu que não há espaço suficiente para um dos pilares Figura 1 Se você fizer o pilar na vertical será necessário diminuir a esquadria do segundo pavimento Se posicionar o pilar na horizontal será necessário ter um ressalto com relação à parede no pavimento inferior O pilar não pode ser quadrado por motivos de insuficiência estrutural Figura 1 Concepção estrutural pilar maior do que o espaço reservado pela arquitetura Fonte o autor MAPA MENTAL 235 Como você se portaria a Posicionaria o pilar no sentido vertical pois é o que provoca o menor impacto na ar quitetura A mudança no tamanho da esquadria é quase desprezível b Posicionaria o pilar no sentido horizontal pois não seria necessário alterar a arquitetura e o ressalto na parede pode ser facilmente escondido com algum móvel ou detalhe de arquitetura de interiores c Faria uma variação da seção transversal no pilar No pavimento inferior ele ficaria na vertical e no pavimento superior seria posicionado na horizontal Essa situação não traz nenhum prejuízo à estrutura d Colocaria oa arquitetoa responsável a par da situação já apresentando para elea as possíveis soluções Elea deve escolher o que seria melhor para o projeto O ideal seria marcar uma reunião e registrar a solução adotada e Nenhuma das alternativas anteriores se encaixa na solução do problema 3 Considere um pórtico referente ao projeto de um barracão em concreto armado mol dado in loco onde não há concentração de pessoas ou pesos fixos Sabendo que os pilares estão submetidos a um esforço de compressão de Npp 50 kN relativo ao peso próprio um esforço de vento de Nv 90 40 kN e Nv 90 65 kN e um esforço re lativo à sobrecarga acidental de Nsc 32 kN Assinale a alternativa que apresenta os valores máximos de compressão e tração a serem usados no dimensionamento desse pilar combinações últimas normais a 1491 kN 1410 kN b 410 kN 1372 kN c 1523 kN 410 kN d 1245 kN 325 kN e 1491 kN 1523 kN 4 O emprego adequado dos sistemas estruturais traz uma grande economia à edificação Para isso oa engenheiroa precisa conhecer muito bem os sistemas e conseguir as similar seu comportamento Pesquise sobre a estruturação das edificações a seguir e assinale a alternativa que apresenta um sistema estrutural do tipo massa ativa a Ponte da Amizade BRPY b Museu Brasileiro de Escultura e Ecologia c Cobertura Tensionada Hebraica d Ponte Pênsil Golden Gate e Casa do Comércio SESCBA 236 5 Segundo Engel 2001 as estruturas de forma ativa distribuem as cargas por esforços de tração em cabos e compressão em arcos em função do formato próximo ao caminho das forças O uso desse sistema estrutural tem algumas vantagens e desvantagens Assinale a alternativa que apresenta uma vantagem a Elementos trabalham a tração e compressão possuindo alta eficiência estrutural e menores deformações b Grandes esforços horizontais nos apoios difíceis de serem ancorados c Por serem estruturas leves ficam sujeitas a ações do vento podendo sofrer com processos de vibração d Utilizamse de esforços de flexão para vencer vãos horizontais e São sistemas de peso próprio elevado que se tornam inviáveis para grandes vãos 6 Uma das maneiras de se aprender sobre os sistemas estruturais é avaliar edificações já construídas procurando compreender seu comportamento e quais soluções foram adotadas peloa engenheiroa e arquitetoa Não sei se você já parou para observar as estruturas à sua volta pensar em seu comportamento estrutural suas ligações seus esforços etc Para ajudar no entendimento do emprego de estruturas sugiro que você faça uma pesquisa sobre uma estrutura icônica da Arquitetura ou Engenharia de sua escolha Aproveite para entender a importância da obra e apresentar seu comporta mento estrutural o caminho das forças e classificar o sistema estrutural a Escolha a obra caracterizandoa em relação às suas dimensões e à sua importância Se possível selecione e imprima uma foto b Classifique o sistema estrutural descrevendo seu comportamento principais esforços e o caminho das forças Se possível faça um croqui ou esquema ilustrativo desenhando sobre a foto 9 Nesta unidade aprenderemos sobre a análise e o comportamento de estruturas hiperestáticas e isostáticas submetidas a carrega mentos móveis Você aprenderá a traçar as linhas de influência de determinado esforço sobre a estrutura e como determinar os valores máximos e mínimos desses esforços atuantes nela Veremos o conceito de envoltória de esforços região que engloba a variação dos esforços atuantes na estrutura durante sua vida útil O correto entendimento desses conceitos lhe permitirá avaliar o comporta mento de pontes e estruturas submetidas a carregamentos móveis O objetivo é ter uma visão ampla do comportamento estrutural mediante essas cargas para fazer a análise estrutural Cargas Móveis em Estruturas Me Gabriel Trindade Caviglione 238 UNICESUMAR Descrição da Imagem a figura mostra um pórtico de uma ponte rolante Ao fundo vemos barracões na cor verde Figura 1 Ponte rolante na fábrica de préfabricados Figura 1 Ponte rolante na fábrica de préfabricados Você já se perguntou quais considerações e peculiaridades estão relacionadas ao projeto de uma ponte Como é feita a análise estrutural de um viaduto com um caminhão passando a 100 kmh sobre ela Quais aspectos são di ferentes das análises estáticas Quais são semelhantes Quais considerações podemos fazer para analisar uma estrutura submetida a um carregamento móvel com segurança Repare que na realidade todas as estruturas estão submetidas a cargas móveis Quando um aluno transita sobre a laje de uma escola a análise estrutural é como uma carga móvel Em vez de imaginarmos todos os possíveis trajetos de cada usuário da edificação por simplificação tra tamos com uma sobrecarga de utilização por m² Em outras palavras os conceitos relacionados às cargas móveis são extremamente úteis em uma vasta gama de estruturas embora sejam associados principalmente a pontes e ferrovias Nessas estruturas fica evidente a necessidade dessa análise pois a função da edificação é permitir a movimentação das cargas Para podermos responder essas perguntas e entender melhor esse problema quero convidálo a se imaginar em uma situação hipotética Considere que você está trabalhando em uma empresa de préfabricados que quer expandir sua produção com um pórtico rolante Figura 1 239 UNIDADE 9 O pórtico rolante será usado para transportar materiais na área externa da fábrica e por isso deve aumentar a produtividade da empresa já que hoje o transporte é feito com o caminhão Munck Diante desse cenário seu chefe Reginaldo precisa de uma avaliação da viabilidade financeira do empreendimento Ele lhe pede que faça uma análise do comportamento do pórtico considerando que esta é uma carga móvel para saber se há a necessidade de alguma estrutura de fundação e seus eventuais impactos financeiros Você deve então entender o problema e avaliar quais esforços estariam agindo sobre as vigas e pilares Posteriormente poderá fazer uma estimativa de custo de instalação da ponte rolante Neste ponto surgem diversos questionamentos sobre o comportamento da estrutura mediante essa carga móvel Por exemplo qual é a velocidade de movimentação das cargas como ela influencia as análises estruturais Qual a posição do trem de içamento é mais crítica para a viga para os pilares para o momento fletor para o esforço cortante O cabo deve impor esforços horizontais à viga E a frenagem ou aceleração do trem Como podemos fazer todas essas análises de maneira prática e rápida sem nos envolver em cálculos desnecessários Ciente de que essas perguntas não são tão simples para serem resolvidas você decide estudar um pouco o assunto para poder ajudar o seu chefe Você deve resolver cada um dos problemas propostos pelas perguntas citadas para poder fazer uma avaliação de viabilidade técnicoeconômica Nesse sentido convido você a procurar as respostas para esses questionamentos com base em seus conhecimentos já adquiridos Aponte como considerar esse carregamento ele pode ser pontual ou deve ser distribuído Quais valores considerar de cargas de frenagem e aceleração A viga pode ser considerada biapoiada ou está engastada no pilar E o restante da estrutura Uma solução viável seria a análise estática da carga em várias posições da viga simulando diferen tes momentos do movimento para saber qual é o mais crítico Podemos até elaborar um gráfico da influência da posição da carga Mas e os efeitos dinâmicos como considerálos Será que em uma análise mais complexa essa abordagem seria viável Você pode usar o Diário de Bordo para registrar suas considerações referentes a esse problema 240 UNICESUMAR Descrição da Imagem a figura mostra um veículo transitando sobre uma ponte Acima temos a representação estática do problema a viga ABCDE com apoios em B C e D Balanços AB e DE de 20 m vãos BC e CD de 40 m No esquema estático ainda está representada a posição x da carga F e P além da seção de análise S situada no trecho CD Figura 2 Esquema estático de viga Fonte o autor Determinar os esforços atuantes em estruturas é um desafio por si só Veja a grande quantidade de métodos que você aprendeu nesta disciplina ape nas para descobrir os esforços em estruturas estaticamente indeterminadas Agora imagine tudo isso com uma carga móvel Para entender esse processo primeiro consideraremos uma viga mais simples ilustrada na Figura 2 Temos uma ponte sobre a qual deve transitar um veículo de cargas P 30 kN e F 50kN distantes entre si por 10 m A viga tem três apoios vãos de 40 m e balanços de 20 m Conforme o veículo for se movimen tando da esquerda para a direita teremos diferentes reações de apoio em B C e D diferentes valores de momento fletor e esforços cortantes Precisamos então entender o comportamento da estrutura para saber qual será a posição crítica desse carregamento móvel com relação a cada esforço Antes de iniciar as contas e análises é sempre importante observar a estrutura com um olhar atento a fim de tentar prever seu comportamento Analisaremos a viga com relação à seção S Quando as cargas estão no trecho BC a reação em D é de tração e a viga fica alavancada portanto no trecho CD na seção S esperase um momento fletor negativo Essa mesma situação se repete quando o carregamento está no trecho DE provavelmente em maior intensidade provocando momento fletor negativo 241 UNIDADE 9 Descrição da Imagem a figura mostra o momento fletor atuante na viga conforme cada posição da carga É possível ob servar a influência da variação da posição sobre a seção S analisada Na posição 1 as cargas F e P se encontram à direita do apoio AB e provocam um momento positivo em S de 102 kNm e um esforço cortante negativo de 81 kN Já na posição II a carga se encontra à direita do apoio B percebemse valores muito pequenos de momento fletor registrandose o valor negativo de 38 kNm de momento sobre S e de 180 kN de cortante Com a carga que está sobre o vão BC na situação III o momento fletor em S é de 143kNm e o cortante de 71kN Figura 3 Esforços internos conforme movimentação da carga Fonte o autor em CD Já quando a carga está no trecho CD temos a presença de momento fletor positivo na seção S Quanto às reações de apoio podemos perceber que a movimentação da carga pode provocar alguns efeitos de tração nas reações em função do comportamento de alavanca Por exemplo quando o carregamento está posicionado no balanço AB temos um grande efeito de compressão provavelmente o maior no apoio B e um efeito de tração em D Como a viga é simétrica esse efeito deve se repetir quando a carga estiver no trecho DE com intensidade diferente pois o carregamento não é simétrico e se movimenta da esquerda para a direita Já para o apoio em C esperase que o maior valor de compressão ocorra quando o caminhão es tiver passando sobre o apoio Podem surgir esforços de tração quando o veículo estiver nos balanços A partir desse entendimento inicial da estrutura podemos seguir para uma análise aprofunda da Como podemos determinar os esforços atuantes conforme as diferentes posições da carga A solução mais simplista é a de fazer a análise em várias posições isto é obter as reações diagramas de momentos fletores e esforços cortantes para cada situação Essa abordagem está ilustrada na Figura 3 para cinco posições diferentes das cargas 242 UNICESUMAR Você conseguiria imaginar um engenheiro aplicando essa abordagem de resolução de uma estrutura complexa como uma ponte com várias faixas de tráfego Acredita que o processo seja feito dessa maneira Embora essa abordagem seja trabalhosa e gere um grande volume de dados para análise ela permite entender o comportamento da estrutura de maneira muito clara Inclusive podemos observar que as previsões do comportamento se manifestaram As maiores reações de compressão em B e D ocorrem quando a carga está nos balanços AB e DE respectivamente enquanto as reações de tração surgem quando a carga está nos vãos CD e BC res pectivamente Os momentos fletores positivos na seção S ocorrem quando a carga está sobre o trecho CD ou quando está no trecho AB já os momentos fletores negativos ocorrem quando a carga está no trecho BC ou DE Dessa maneira é possível avaliar a situação e prosseguir ao dimensionamento da estrutura para o momento fletor da seção que se analisa Mas será que não seria possível descobrir essas posições críticas de uma maneira mais prática e objetiva Sem haver a necessidade de avaliar cinco vezes ou mais a mesma viga Se observarmos atentamente os esforços atuantes na seção S poderemos entender a influência da posição sobre o momento fletor e esforço cortante da estrutura A Tabela 1 registra os valores dos esforços conforme as posições do carregamento Podemos registrar que o momento fletor máximo positivo é de 521 kNm quando a carga está na posição IV trecho CD e que o momento fletor máximo negativo é de 412 kNm quando a carga está na posição V trecho DE POSIÇÃO ESFORÇO I II III IV V Q S esq kN 81 18 71 389 344 Q S dir kN 111 M SkNm 162 36 143 521 412 Tabela 1 Esforços internos em função da posição do carregamento Fonte o autor Semelhantemente temos o esforço cortante cujo valor máximo positivo é de 389 kN e ocorre quando a carga está na posição IV trecho CD O máximo negativo é de 344 kN e ocorre quando a carga está na posição V trecho DE Diante desses valores registrados na Tabela 1 poderíamos traçar um gráfico 243 UNIDADE 9 Descrição da Imagem a figura mostra o momento fletor atuante na viga conforme cada posição da carga É possível ob servar a influência da variação da posição sobre a seção S analisada Observase que quando a carga está posicionada na extremidade à direita da viga temos a maior influência de cortante e fletor negativo sobre a seção S 0625 e 0750 ambos valores se encontram sobre o ponto E Enquanto a maior influência positiva para o fletor é de 08125 e para o cortante 05937 ambos situados no ponto S dos esforços atuantes na seção S conforme a posição da carga varia Esse gráfico nos permite concluir qual seria a posição crítica da carga para a análise e o dimensionamento da seção S Na realidade essa proposta de se elaborar um gráfico corresponde ao conceito da linha de influência com exceção de que no caso da linha de influência os valores das ordenadas são adimensionais Segundo Sussekind 1980a é importante entender que a linha de influência e os diagramas de esforços são coisas diferentes Para traçarmos essa linha podemos usar a regra de MüllerBreslau resolvendo esse problema de uma maneira mais prática e rápida O traçado da linha de influência de um determinado efeito elástico esforço apoio temperatura pode ser feito pelo método cinemático ou regra de MüllerBreslau Nesse método imaginase uma ruptura do vínculo relativo ao esforço no ponto que se pretende avaliar Por exemplo no caso de um apoio imaginase a estrutura sem o apoio no caso do momento fletor imaginase a estrutura articulada sem continuidade e no caso do cortante imaginase a estrutura cortada sem transmissão de esforços cortantes Posteriormente aplicase um deslocamento na estrutura referente ao efeito elástico que se analisa No caso do fletor aplicase uma rotação no caso do cortante e dos apoios aplicase um deslocamento Após a aplicação desses deslocamentos a estrutura se desloca ou se deforma e o formato que ela adquire é o formato da linha de influência SUSSEKIND 1980a Nesse momento quero que você se concentre em entender o conceito por isso convidoo a observar as linhas de influência da viga analisada na Figura 4 Depois entenderemos como obter essas linhas Lembran do que quanto maior o valor das ordenadas no gráfico maior o efeito elástico em função daquela posição Se você observar atentamente a figura deve perceber que as posições de maior influência hS M 0 8125 no momento fletor positivo na seção S corresponde ao trecho CD assim como na Figura 3 e Tabela 1 Da mesma maneira o trecho de maior influência no momento fletor negativo hE M 0 7500 na seção S corresponde ao trecho DE assim como nas observações anteriores Figura 4 Linha de influência para a viga analisada Fonte o autor 244 UNICESUMAR O traçado das linhas de influência de uma estrutura pode ser desafiador em alguns casos No entanto você como fu turoa engenheiroa civil precisa estar preparadoa para esses desafios a fim de projetar estruturas estáveis seguras e confiáveis Nesta pílula convido você a acompanhar o desenvolvimento de um exemplo de aplicação desses conceitos Analogamente para os esforços de cortante temos o mesmo efeito Ainda observando a figura é possível perceber que as posições de maior influência hS Q 0 8125 no esforço cortante positivo na seção S correspondem ao trecho SD assim como na Figura 3 e Tabela 1 Da mesma maneira o trecho de maior influência no esforço cortante negativo hE Q 0 6250 na seção S corresponde ao trecho DE assim como nas observações anteriores Ou seja para sabermos a maior influência positiva sobre determi nado efeito elástico posicionamos a carga no trecho de maior valor positivo da linha de influência Como representamos o positivo para baixo representamos a carga abaixo da viga Do mesmo modo a maior influência negativa sobre determinado efeito elástico ocorre quando a carga está sobre o ponto de maior valor negativo da linha de influência geralmente representado acima da viga Uma vantagem com relação ao uso da linha de influência é que rapidamente é possível localizar as posições críticas para as cargas e de maneira objetiva uma vez que é possível comparar os valores numéricos da linha Então se quisermos fazer a análise na posição crítica basta posicionarmos as cargas móveis nos pontos de maior ordenada no gráfico das linhas de influência O método cinemático ou a regra de MüllerBreslau são usados no traçado das linhas de influência de uma estrutura O método pode ser demonstrado pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais e nos permite entender sua aplicação em uma profundidade maior Para isso peço que você considere a viga da Figura 5 em que temos um carregamento unitário P em uma coordenada genérica qualquer 245 UNIDADE 9 Descrição da Imagem a figura mostra uma viga biapoiada com dois balanços submetida a uma carga P unitária em posição genérica Abaixo temos a linha de influência Repare que se rompermos o vínculo do apoio em A e aplicarmos um deslocamento unitário à estrutura oposto à direção positiva da reação teremos a configuração que se mostra abaixo da viga na Figura 5 Quando rompemos o apoio A a viga se torna hipostática e fica suscetível a se deslocar Nesse cenário a aplicação da força não gera nenhuma deformação na estrutura apenas um movimento de corpo rígido uma vez que a estrutura se tornou hipostática portanto um mecanismo que pode se movimentar Alguns autores se referem a essa estrutura hipostática como uma cadeia cinemática daí o nome de método cinemático SUSSEKIND 1980b p 87 Então avaliaremos a deformação na estrutura pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais considerando o balanço de energia interna e externa da estrutura U U V P V V ext int VA A P A P P A d d d d 0 1 1 0 Figura 5 Linha de influência da reação Va para uma carga unitária em x com P1 Fonte Sussekind 1980b p 86 11 246 UNICESUMAR Como a estrutura se tornou um mecanismo ou uma cadeia cinemá tica não temos esforços internos atuantes sobre ela tal qual Uint 0 Outro ponto é que o deslocamento dVA é unitário assim como a força P aplicada sobre a estrutura Isso implica que o deslocamento em P dP seja igual à reação Va Essa situação específica é válida dentro das condições de contorno do PTV ou seja viga de EullerBernoulli e análises para deformações e deslocamentos pequenos Então implica dizer que qualquer que fosse a posição da carga P a ordenada da cadeia cinemática é igual à influência daquela carga sobre o apoio que no caso de P1 teríamos dP VA No caso citado a carga foi tida como unitária daí dP VA mas perceba que se a carga não fosse unitária teríamos P V P A d ou seja basta multiplicar a ordenada da linha de influência na posição da carga pelo valor da carga para obtermos a reação de apoio Leet et al 2009 aponta que de posse dos valores da linha de influência é possível obter os esforços pela simples multiplicação entre as ordenadas da linha e os valores da carga No caso de carregamentos distribuídos fazemos a soma ao longo do comprimento conforme ilustrado na equação E P q x dx i i i i l h h Em que E representa o esforço referente à linha de influência de deter minado esforço elástico Pi corresponde ao carregamento pontual i posicionado sobre a linha de influência q x i corresponde à carga distribuída ao longo do comprimento l conforme x hi corresponde ao valor da ordenada da linha de influência no ponto i Diante do exposto podemos enunciar o método de MüllerBreslau SUSSEKIND 1980b p 86 Para se traçar a linha de influência de um efeito elás tico E esforço ou reação procedese da seguinte forma a rompese o vínculo capaz de transmitir o efeito E cuja linha de influência se deseja determinar b na seção onde atua E atribuise à estrutura no 12 247 UNIDADE 9 Descrição da Imagem a figura mostra o traçado e cálculo da linha de influência para o momento fletor cortante e para o apoio em estruturas isostáticas sentido oposto ao de E positivo uma deformação unitária absoluta no caso de rotação de apoio ou relativa com caso de esforço simples que será tratada como pequena deformação c a elástica obtida é a linha de influência de E Com os conceitos apresentados você pode facilmente observar que a obtenção da linha de influência é muito útil pois permite entender corretamente o comportamento da estrutura Essencialmente segui remos o enunciado do método aplicandoo às vigas isostática da Figura 6 Na avaliação do momento fletor na seção S devemos a romper o vínculo capaz de transmitir o esforço momento fletor ou seja articular a viga rótula Na sequência aplicamos uma rotação unitária b à direita e esquerda da rótula o que provoca uma configuração nova da cadeia cinemática como ilustrada na Figura 6 Quanto ao esforço cortante romperemos o vínculo estrutural que transmita esse esforço a e substituiremos por um vínculo do primeiro gênero literalmente cortando a estrutura Na sequên cia aplicase um deslocamento oposto ao sentido positivo do cortante b e a configuração final do mecanismo está ilustrada na Figura 6 Já para o apoio o raciocínio é análogo ao cortante Removemos o vínculo a e aplicamos um deslocamento oposto ao sentido positivo da reação b o que provoca uma configuração como da Figura 6 No caso de um engaste o raciocínio é análogo ao do fletor Figura 6 Esquema de linhas de influência para vigas isostáticas típicas Fonte o autor Na sequência devese obter os valores c de ordenadas das linhas de influência que em estruturas isostáticas não é tarefa complexa pode ser obtida por simples semelhança de triângulos e considerando alguns conceitos básicos de Trigonometria Considerando a linha de influência do momento fletor ilustrada na Figura 6 podemos obter o valor de h1 e esse valor permite determinar as ordenadas ao longo da viga Segundo Sussekind 1980a como o método é válido apenas para pequenas deformações e pequenos deslocamentos podemos 248 UNICESUMAR confundir o arco de bcd q q 1 2 com a própria distância bd Nesse sentido podemos entender que tan q q 1 2 1 1 logo o cateto adjacente é igual ao cateto oposto sb bd l x Assim a partir da semelhança dos triângulos abd asc que podemos escrever conforme abd asc bd sc ab as l x l x x l x l h h 1 1 Em que x é a distância do apoio até a seção analisada S l é o comprimento do vão h1 é o valor da ordenada da linha de influência Com relação à linha de influência do esforço cortante ilustrada também na Figura 6 podemos obter o valor de h1 e h2 por semelhança dos triângulos acd cbs Lembrando que o deslocamento provocado é unitário temos que h h 1 2 1 0 assim é possível escrever acd cbs ad bs dc sc l x x l x l 1 0 1 0 1 2 2 1 2 1 1 h h h h h h l x l Em que x é a distância do apoio até a seção analisada S l é o comprimento do vão h1 é o valor da ordenada da linha de influência no ponto 1 h2 é o valor da ordenada da linha de influência no ponto 2 Já para a linha de influência relativa ao apoio Figura 6 o processo é muito pareci do com a linha de influência do cortante só que teremos um deslocamento unitário no apoio Podemos estabelecer uma semelhança de triângulos abc cde para os demais pontos conforme ilustrado na Figura 6 o que permite escrever abc cde bc cd de ab l x x l 1 0 1 1 h h 13 14 15 249 UNIDADE 9 Descrição da Imagem a figura mostra uma viga biapoiada com um balanço AB de 20 m e um vão BSC de 8 m À distância de 30 m de B temos a seção S a ser analisada Abaixo temos o traçado e cálculo da linha de influência para o momento fletor cortante para a seção de análise S considerando uma carga pontual móvel de 120 kN Podemos obter os valores da linha na seção S pelas equações e h h h h 1 2 1 2 3 8 3 8 1 875 2 3 2 1 875 3 1 25 x l x l Relembremos como traçar a linhas de influência em estruturas isostáticas Você conseguiria obter os valores dos esforços máximos e mínimos de cortante e fletor na seção S a partir da linha de influência Figura 7 Exemplo de linha de influência em uma estrutura isostática Fonte o autor 16 250 UNICESUMAR Segundo Süssekind 1980b p 87 embora esses conceitos te nham sido ilustrados em uma estrutura isostática tais propostas também são válidas para aplicação em estruturas hiperestáticas Repare que quando rompemos uma estrutura isostática elas passam a ser hipostáticas e comportamse como cadeias ci nemáticas nesse caso a sua configuração após a aplicação do deslocamento é o formato da própria cadeia cinemática ou seja terá uma configuração de uma poligonal formada por retas No caso de estruturas hiperestáticas quando rompemos os vínculos dos efeitos elásticos seu grau de hiperestaticidade é diminuído em uma vez ou seja a estrutura ainda tem um comportamento estático isostático ou hiperestático não de mecanismo Então quando se aplica o deslocamento na estrutura a configuração da linha de influência é curva pois reflete a deformação estrutural h h 1 2 8 3 8 0 625 3 8 0 375 l x l x l Para obtermos os valores dos esforços basta fazer uma simples mul tiplicação da carga posicionada na região de maior influência Assim M kNm M kNm S S 12 1 875 22 5 12 1 25 15 0 Q kN Q kN S S 12 0 625 7 5 12 0 375 4 5 17 18 19 Esses conceitos podem ser observados conceitualmente na Figura 8 251 UNIDADE 9 Descrição da Imagem a figura mostra algumas linhas de influência Em estruturas hiperestáticas o for mato das linhas é curvo já em estruturas isostáticas ou trechos isostáticos o formato é linear Figura 8 Exemplo conceitual de linhas de influência em estruturas isostáticas e hiperestáticas Fonte o autor 252 UNICESUMAR É possível sabermos intuitivamente a posição crítica de uma carga para determinado efeito elástico sem a linha de influência Com atenção e experiência as análises estruturais ficam claras e muitosas engenheirosas têm condição de prever esse comportamento Tente você também Escolha algumas vigas e estime as posições críticas Confira sua resposta Na viga 01 vemos que embora a viga seja hiperestática o trecho ABC é isostático então um corte ou uma articulação teria um comportamento idêntico ao comportamento de uma linha de influência de estrutura isostática Na viga 02 a linha de influência do apoio C é obtida ao se retirar o apoio e aplicar um deslocamento para baixo Repare que a linha adquire um formato curvo que a deformação sai com 90 do apoio D e que nos demais apoios a rotação é livre Na viga 03 aplicamos uma rótula em S e uma rotação dessa maneira a configuração da linha de influência é curva nos apoios A e D por serem engastes temos uma deformação na horizontal Na viga 04 para os cortantes em S e Z temos um comportamento isostático ao passo que se estivermos avaliando o cortante em X teremos um trecho de comportamento hiperestático ABCX e um trecho de comportamento isostático XDE Na viga 05 ABS tem comportamento isostático e SCD tem com portamento hiperestático Na viga 06 temos o comportamento hiperestático Podemos então resumir As linhas de influência de estruturas isostáticas são compostas por trechos retos As linhas de influência de estruturas hiperestáticas por sua vez são compostas por trechos curvos Considerando os conceitos já apresentados podemos então estabelecer um roteiro para aplicação do método cinemático a regra de MüllerBreslau SUSSEKIND 1980b 1 Romper o vínculo do esforço que se pretende avaliar No caso do momento fletor colocase uma articulação rótula rompendo a continuidade da barra No caso do esforço cortante substituise a continuidade por uma ligação que não transmita corte mas transmita flexão No caso dos apoios removese o apoio No caso de isostáticas a aplicação dessa etapa torna a estrutura em uma cadeia cinemática isto é estruturas hipostáticas no caso de hiperestáticas o grau de hiperestaticidade da estrutura é reduzido em 1 2 Impor um deslocamento unitário no ponto de interesse Para o momento fletor imprime se uma rotação unitária na rótula Para o esforço cortante impõese um deslocamento à esquerda e à direita da seção de análise e a soma de ambos resulta em um deslocamento unitário Para o apoio impõese um deslocamento unitário 253 UNIDADE 9 3 Configuração deslocada Com o deslocamento unitário apli cado a configuração da estrutura deslocada corresponde à linha de influência a Em estruturas isostáticas ao se realizar a ruptura do vínculo que se analisa a estrutura passa a ser hipostá tica como um mecanismo em que quando se aplica o deslocamento a estrutura se desloca Essa nova condição da estrutura na configuração deslocada cor responde à linha de influência Como não há defor mação apenas deslocamentos a linha é representada por uma reta e seu cálculo é mais simples b Em estruturas hiperestáticas ao se realizar a ruptura do vínculo que se analisa a estrutura passa a ser menos hiperestática na pior situação atua como uma estru tura isostática Quando se aplica o deslocamento a estrutura se deforma Essa nova condição da estrutura na configuração deformada corresponde à linha de influência Como há deformação a linha é represen tada por uma curva e seu cálculo é um pouco mais complexo 4 Cálculo das ordenadas após o desenho da linha de influência prosseguese com a determinação dos valores das suas ordena das para cada ponto de interesse geralmente os máximos 5 Obtenção dos esforços internos com os valores das ordenadas das linhas de influência é possível obter o esforço na seção analisada pela simples multiplicação da ordenada pela carga móvel E P q x dx i i i i h h Durante esse processo de vese escolher os pontos ou regiões de maior influência sobre a seção em análise pois eles representarão os valores máximos e mínimos A título de exemplo mostraremos como se faz a aplicação em uma estrutura hiperestática a qual após a ruptura do vínculo ainda teria um comportamento estrutural e estaria sujeita a deformações e não deslocamentos Para tanto considere a viga hiperestática da Figura 9 em que temos também o sistema principal com os hiperestáticos X1 e X2 Então escreveremos as condições de compatibilidade da estrutura hiperestática SUSSEKIND 1980b 254 UNICESUMAR Descrição da Imagem a figura mostra a viga ABCD hiperestática de quatro apoios submetida a um carregamento unitário P que transita sobre a viga Abaixo temos o sistema hiperestático com os momentos hiperestáticos X1 e X2 sobre os apoios B e C com rótulas P1 A B C D X1 X2 Temos que os hiperestáticos serão descritos pelas rigidezes multiplicadas pelos seus respectivos deslocamentos conforme a equação X X k k k k 1 2 11 12 21 22 10 20 d d Observando essas expressões podemos perceber que os coeficientes kij depen dem apenas da configuração de sistema principal adotado e não dependem do carregamento P e que os coeficientes di0 são função do carregamento P1 Então multiplicaremos ambos pela linha de influência de P1 h carga transitória sobre a estrutura que é nossa incógnita η η δ η δ η η δ η δ X k k X k k 1 11 10 12 20 2 21 10 22 20 Dessa maneira como procuramos obter os valores da linha de influência dos hiperestáticos hX1 e hX2 precisamos conhecer as linhas de influência para os deslocamentos d1o e d20 di0 SUSSEKIND 1980b Então procuraremos obter as linhas de influência dos deslocamentos Para chegarmos nos valores de d1o e d20 precisamos considerar combinação de P1 com X11 e de P1 com X21 lembrando que a posição de P é variável Porém pelo teorema de BettiMaxwell temos que o deslocamento em Figura 9 Sistema principal e hiperestático para um carregamento unitário percorrendo a viga Fonte Sussekind 1980b p 203 110 111 255 UNIDADE 9 uma seção genérica S devido a uma carga unitária X11 é numericamente igual ao deslocamento em X1 devido a uma carga P1 aplicada em uma seção genérica S matematicamente P P i ik k ki ik ki SX XS d d d d d d 1 1 Isso nos permite concluir que a linha de influência η δ 10 para o deslocamento d10 é igual à elástica do sistema principal carregado com X11 Da mesma maneira a linha de influência η δ 20 para o deslocamento d20 é igual à elástica do sistema principal carregado com X21 SUSSEKIND 1980b Segundo Sussekind 1980b podemos então generalizar a linha de influência em estruturas hiperestáticas como sendo a soma da linha de influência no sistema principal isostático com as linhas de influência dos hiperestáticos h h h E E E X i i 0 Σ Em que hE representa a linha de influência do esforço E para estrutura hiperestática hE0 representa a linha de influência do esforço E para o sistema principal E X i i h representa a linha de influência do esforço E para o hiperestático Xi Conforme aponta Sussekind 1980b p 206 em estruturas hiperestáticas podemos então achar a linha de influência da seguinte forma 1 separando a estrutura em um sistema principal de preferência reduzindoa a trechos biapoiados 2 obtendo o diagrama de esforços para o sistema principal e hiperestático 3 calculando a ma triz d e k d 1 e por fim 4 obtendo a linha de influência dos hiperestáticos As linhas de influência são ferramentas muito importantes para o dimensiona mento de estruturas pois permitem a obtenção dos valores extremos Contudo é importante ressaltar que em um projeto complexo como de uma ponte ou edifício nem sempre os extremos das linhas de influência representam os valores extremos que atuarão sobre a estrutura Isso ocorre pois devemos ter carregamentos de outra natureza que atuarão conjun tamente na estrutura No caso de uma ponte além da carga móvel temos a atuação do carregamento permanente referente ao peso próprio da estrutura e seus revesti mentos Dessa maneira o esforço máximo deve ser obtido considerando a atuação de ambos os esforços concomitantemente Assim como a situação da ponte um reservatório uma escola são exemplos de estruturas que estão submetidas a diversos 112 113 256 UNICESUMAR tipos de carregamentos ações portanto precisamos analisálos conjuntamente Para isso usamos as combinações de ações como já mostrado na unidade anterior e estabelecemos um gráfico chamado de envoltória Na realidade Leet et al 2009 aponta que a envoltória é um conceito matemá tico que envolve os valores máximo e mínimo de determinada grandeza Quando aplicamos esse conceito aos esforços teremos uma região de esforços que ficam compreendidos pelos máximos e mínimos previstos na utilização da estrutura Então o traçado da envoltória é feito ao procurar os valores máximos e mínimos de cada esforço em cada trecho de interesse da estrutura Tratando de uma estrutura submetida a diferentes carregamentos seriam avaliadas diversas combinações a fim de obter os valores extremos Semelhantemente quando temos uma carga móvel seriam avaliadas diversas posições da carga a fim de obter os valores máximos positivos e máximos negativos Então sistematizaremos esses conceitos organizando sua análise com um passo a passo prático para obtenção das envoltórias de esforços atuantes em uma estrutura 1 Análise do carregamento permanente é realizado o traçado dos diagramas de esforços internos da estrutura na condição de carregamento permanente Nessa etapa definemse também os pontos de interesse da análise 2 Traçado da linha de influência para todos os pontos de interesse Nessa etapa fazse a análise das cargas móveis são traçadas linhas de influência para todos os pontos interessantes da estrutura Geralmente fazse uma análise espaçada ao longo da estrutura de forma a cobrila integralmente na análise Nessa etapa também são resolvidos outros eventuais casos de carregamento estático 3 Superpor os casos de carregamento fazse a soma ou combinação dos casos de carregamento permanente e carregamento móvel podem existir outros São obtidos os casos extremos de valores tanto maiores positivos quanto maiores negativos Recomendase elaborar uma tabela para o cálculo da envoltória 4 Traçado da linha de envoltória é feita a representação gráfica da linha de envoltória Para esse conceito de envoltórias ficar bem registrado convido você a acompanhar o traçado da envoltória de solicitações da viga da Figura 10 Tratase de uma viga com um carregamento permanente de 150 kNm com vão de 60 m e um balanço de 20 m Sobre a viga deve transitar um trem tipo invertível da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda com cargas pontuais de 25 kN e 40 kN espaçadas por 3 m e uma carga de multidão de 50 kNm 257 UNIDADE 9 Descrição da Imagem a figura mostra uma viga biapoiada ABCD submetida a um carregamento permanente de 1500 kNm e a um carregamento móvel o qual tem uma carga de 25 kN inicial e uma carga final de 40 kN espaçadas por 30 m além de uma carga de multidão de 50 kNm A viga tem vão ABC de 60 m e um balanço CD de 20 m Descrição da Imagem a figura mostra o momento fletor e esforço cortante da análise referente ao carregamento permanente atuante sobre a viga da Figura 10 Temse o momento fletor nos pontos A B C D com os valores de 0 525 30 e 0 respecti vamente Quanto aos esforços cortantes temse 40 5 50 30 e 0 referentes aos pontos A B C à esquerda C à direita e D Aplicando então o roteiro usado para obtenção da envoltória de esforços o primeiro passo seria a análise dos carregamentos permanentes Você pode realizálo sem grandes dificuldades chegando nos resultados ilustrados na Figura 11 Figura 10 Exemplo de viga para o traçado da envoltória de esforços Fonte o autor Figura 11 Exemplo de viga com análise de carregamento permanente Fonte o autor Na sequência devese definir os pontos de interesse a serem analisados e traçar suas respectivas linhas de influência Nesse exemplo traçaremos as linhas de influência do ponto A B C e D para os esforços de momento fletor e de esforço cortante Os resultados estão ilustrados na Figura 12 Também posi cionaremos o trem tipo sobre as regiões de maior influência que causam maiores esforços na seção analisada a fim de obter os valores extremos dos esforços 258 UNICESUMAR Descrição da Imagem a figura mostra algumas linhas de influência na viga ABCD À esquerda temos a linha de influência do momento fletor e à esquerda a linha de influência do esforço cortante Temse a ilustração de linhas de influência para o ponto A B C e D a fim de se representar a envoltória dos esforços Então procedemos com os cálculos dos esforços das cargas móveis Para a linha de influência do ponto A avaliando o esforço cortante e o fletor teremos M M Q kN Q A máx A máx A máx B má 0 0 40 1 25 0 5 5 6 2 67 5 x kN 40 0 333 5 2 0 333 2 15 0 No ponto B temos M kNm M B máx B máx 25 0 40 1 5 5 1 5 6 2 82 5 40 1 0 5 1 0 2 2 45 40 0 5 3 2 30 25 0 5 0 5 kNm Q kN Q B máx B máx 3 2 40 0 5 5 0 3333 2 2 25 42 kN Já para o ponto C teremos M M kNm Q C máx C máx DIR C máx 0 40 2 0 5 0 2 0 2 2 90 0 1 40 5 1 2 50 0 0 1 kN Q Q Q DIR C máx ESQ C máx ESQ C máx 40 25 0 5 5 1 6 2 5 0 3333 2 2 69 2 kN Figura 12 Exemplo de viga com linhas de influência Fonte o autor 114 115 116 259 UNIDADE 9 Por fim o esforço no ponto D M M Q kN Q D máx D máx D máx B máx 0 0 40 1 40 0 Fazse então a soma dos esforços das cargas móveis e dos esforços do carregamento permanente ponto a ponto Para os pontos A temos os esforços de cortante e flexão M M M M Q Q A máx A per A máx A per A máx A per 0 0 0 0 0 0 67 5 40 107 5 15 40 25 kN Q Q kN A máx A per No ponto B M M kNm M M B máx B per B máx B per 82 5 52 5 135 45 52 5 7 5 30 5 25 25 42 5 30 kNm Q Q kN Q Q B máx B per B máx B per 4kN Já no ponto C M M kNm M M kNm Q C máx C per C máx C per D 0 30 30 90 30 120 IR C máx DIR C per DIR C máx DIR C per Q kNm Q Q 50 30 80 0 30 30 0 50 50 kNm Q Q kNm Q Q ESQ C máx ESQ C per ESQ C máx ESQ C per kNm 69 2 50 119 2 No ponto D teremos M M M M Q Q D máx D per D máx D per D máx D 0 0 0 0 2 5 0 0 per D máx D per kN Q Q 0 40 40 0 0 0 Essas somas também podem ser feitas com o auxílio de uma tabela como registrado na Tabela 2 PONTO Permanente Carga Móvel Envoltória M i per kNm M kNm i máx M kNm i máx M kNm i env M M i máx i per M kNm i env M M i máx i per A 00 00 00 00 00 B 525 450 825 75 1350 C 300 900 00 1200 300 D 00 00 00 0 0 117 118 119 120 121 260 UNICESUMAR Descrição da Imagem a figura mostra a envoltória de esforços para o momento fletor e para o esforço cortante atuante sobre a estrutura conforme calculado anteriormente e registrado na Tabela 2 A região entre os valores máximos e mínimos está representada por uma hachura em verde representando a faixa de trabalho da estrutura Q i per kNm Q kNm i máx Q kNm i máx Q kNm i env Q Q i máx i per Q kNm i env Q Q i máx i per A 400 150 675 250 1075 B 50 254 300 304 188 C 500 300 692 00 00 500 1192 500 300 800 D 00 00 400 00 400 Tabela 2 Envoltória de esforços Fonte o autor Ao final a envoltória deve ser representada graficamente como na Figura 13 A região compreendida entre a linha de envoltória superior e a linha de envoltória inferior corresponde aos esforços aos quais a viga estará submetida ou seja temos os extremos de seu comportamento ao longo de sua vida útil coloquialmente a faixa de trabalho da viga Esse gráfico é especialmente importante pois permite que oa engenheiroa conheça diretamente os esforços máximos e mínimos que serão usados no dimensionamento estrutural do elemento Figura 13 Exemplo de vigas com envoltória de esforços Fonte o autor 261 UNIDADE 9 As linhas de influência e envoltória são ferramentas muito impor tantes para o desenvolvimento de projetos de estruturas subme tidas a carregamento móvel Elas permitem aoà engenheiroa localizar rapidamente as regiões críticas no momento de fazer a análise e dimensionamento de uma estrutura Conversemos um pouco sobre o uso dessa ferramenta e a sua aplicação na análise estrutural Espero que você acompanhe As linhas de influência são ferramentas muito importantes na análise de estruturas submetidas a cargas móveis Esses conceitos são muito aplicados em projetos de pontes rodoviárias ferroviárias e passarelas pois permitem um entendimento prático e rápido do comportamento estrutural Nos escritórios de cálculo estrutural utilizamse diversos softwares de análises e a grande maioria resolve cargas móveis pelas linhas de influência Poucos softwares fazem a análise testando todas as posições possíveis justamente por ser muito moroso Isso tudo demonstra a importância do método de MüllerBreslau e demais conceitos de análise estrutural para a formação de uma engenheiroa civil 262 Nesta unidade aprendemos sobre o comportamento de estruturas mediante a presença de um carregamento móvel Você pôde entender como a troca de posição da carga influencia no comportamento e nos esforços atuantes na estrutura Vimos a importância do conceito de linha de influência e como ele poupa tempo na hora de se realizar os cálculos da análise estrutural O principal método para o traçado da linha de influência é o de MüllerBreslau em que se rompe o vínculo estrutural no ponto de análise referente ao esforço que se pretende avaliar e aplicase um deslocamento unitário Como a estrutura isostática perdeu continuidade passa a ser hipostática dessa maneira a configuração deslocada da estrutura representa a linha de influência para esse determinado esforço Você também acompanhou que esse método é universal e que também podem ser aplicados em estruturas hiperestáticas porém nesse caso a estrutura permanecerá pelo menos isos tática portanto deve se deformar ao invés de deslocar Como se espera uma deformação percebese que o formato do gráfico da linha de influência deixa de ser reto em uma estrutura hiperestática Além disso acompanhou como obter os esforços e posições críticas de uma car ga móvel referente à sua linha de influência Por fim foi apresentado o conceito de envoltória de esforços que seriam os valores máximos e mínimos de determinado esforço referente às solicitações que são esperadas durante a vida útil da edificação Esses conceitos são de extrema importância no exercício profissional Além de saber fazer as contas é fundamental entender o conceito de linha de influência e envoltória de esforços entender sua aplicação e condições de contorno para poder aplicálo na resolução de problemas A fim de guardar esses conceitos convido você a tentar relembrar os assuntos discutidos nesta unidade Procure fazêlo sem consultar o livro apenas com os conceitos que você se lembrar Se você não conseguir se lembrar de todos os detalhes não se preocupe é perfeitamente normal retorne à unidade e relembre Procure fazer um mapa mental esquematizando os conceitos ele servirá de resumo para futuras consultas ao livro didático Essa ferramenta permite a compreensão dos conceitos e fixação do conteúdo simultânea à construção do mapa Procure registrar os detalhes que você julgar importante ilustre os conceitos desta unidade para quando sentir necessidade retornar e consultálos CARGAS MÓVEIS 264 1 As linhas de influência são ferramentas muito úteis para oa engenheiroa pois per mitem analisar uma estrutura de maneira simplificada e prática Para aplicação correta desse conceito é necessário conhecêlo Assinale a alternativa que corresponde ao conceito correto de linha de influência a É um procedimento utilizado para analisar estruturas hiperestáticas permitindo en contrar as suas reações de apoio e traçar os seus diagramas de esforços solicitantes com base nos deslocamentos da estrutura b O deslocamento em um ponto de uma estrutura é igual à primeira derivada parcial da energia de deformação em relação a uma ação força ou momento que atua no ponto e na direção do deslocamento c Representa a região de trabalho da estrutura isto é um gráfico com os esforços má ximos e mínimos aos quais cada trecho da estrutura estará submetido d Situação de máxima eficiência estrutural conceito análogo ao de catenária é a linha na qual temos apenas esforços de tração ou compressão em uma estrutura e Representa a variação de um determinado efeito elástico por exemplo uma reação de apoio um esforço cortante ou um momento fletor em uma seção específica da estrutura à medida que uma carga concentrada unitária a percorre 2 O uso de envoltórias de casos de carregamento permite aoà engenheiroa analisar múltiplas condições às quais a estrutura poderá estar submetida de uma maneira si multânea e simplificada Isso simplifica bastante o volume de análises e torna a tomada de decisão mais clara e precisaPara se traçar o diagrama das envoltórias de esforços é necessário se utilizar das linhas de influência de cargas móveis portanto para fazer essas análises é importante entender ambos os conceitos Julgue as alternativas a seguir sobre o traçado de envoltórias de esforços I Para obtenção de linhas de influência devese cortar a estrutura para o efeito que se procura analisar para então aplicar uma deslocamentorotação unitárioa II Linhas de influência não são válidas para estruturas hiperestáticas Para elas é pre ciso usar outro método III A aplicação das envoltórias de esforços deve seguir a seguinte ordem análise do carregamento permanente linhas de influência da carga móvel para todos os pontos de interesse composição da envoltória pela superposição dos efeitos IV As envoltórias de esforços também podem ser usadas nos casos de carregamentos puramente estáticos não necessariamente precisam estar envolvidas em um carre gamento móvel Pode ser necessário avaliar múltiplos casos de carregamentos para determinar o caso ou a combinação que será usadoa no carregamento V O uso de envoltória de esforços mediante obtenção das linhas de influência caiu em desuso com o surgimento dos programas de computador 265 Descrição da Imagem a figura mostra uma viga com três apoios uma rótula sobre um deles e um engaste à di reita A seção de análise é a seção A situada entre os apoios centrais À esquerda dessa seção temos uma rótula Assinale a alternativa em que se tem o julgamento correto das afirmações a Está correta apenas a afirmação I b Está correta apenas a afirmação III c Estão corretas as afirmações I II e III d Estão corretas as afirmações III e V e Estão corretas as afirmações I III e IV 3 As linhas de influência são traçadas pelo método cinemático conhecido também como Princípio de MüllerBreslau que foi formulado no final do século XIX Fonte o autor Avalie a viga anterior e escolha a alternativa que melhor corresponde ao formato da linha de influência do momento fletor na seção A considerando a aplicação do método ante riormente citado Descrição da Imagem a figura mostra a viga com várias linhas de influência para seção A uma em cada alternativa Fonte o autor 266 4 As linhas de influência são instrumentos muito importantes para determinar os es forços de cargas móveis em estruturas Com essa ferramenta é possível determinar a posição crítica do carregamento móvel e o valor dos esforços de maneira prática Sabendo disso avalie a linha de influência abaixo do momento fletor na seção A para um trem tipo de uma carga pontual de 36 kN para baixo Descrição da Imagem a figura mostra a linha de influência em uma viga com três apoios B C e D e um engaste E A seção S de análise do momento fletor está entre os dois primeiros apoios B e C No balanço à esquerda 1 temos um valor de 01515 da linha de influência No ponto S o valor é de 04646 Fonte o autor Assinale a alternativa que apresenta a posição da carga e o valor máximo do momento fletor positivo e negativo na seção S a Carga em B M B 5 45 kNm Carga em A M A 12 34 kNm b Carga em S M S 16 73 kNm Carga em A M S 5 45 kNm c Carga em B M S 6 75 kNm Carga em C M S 8 78kNm d Carga em S M S 14 73 kNm Carga em S M S 10 50 kNm e Carga em S M A 21 35 kNm Carga em A M A 34 12 kNm 5 Um caminhão de 50 kN transportando um carregamento especial deve transitar sobre uma pequena ponte rural em uma estrada vicinal de vão de 40 m e balanços de 20 m e 10 m Como a ponte é antiga e foi construída apenas para trânsito local a fim de transpor um pequeno córrego existe uma preocupação quanto à sua integridade estrutural com a passagem dessa carga especial Nesse sentido você precisará avaliar se é necessário reforçar a ponte ou se ela já tem condições de suportar o carregamento especial 267 Para tanto você deve a O primeiro passo é avaliar a estrutura para o carregamento permanente Considere uma carga distribuída de 20 kNm representando o peso próprio da estrutura b Posteriormente devese desenhar a linha de influência de momentos fletores em vários pontos de interesse c Na sequência calcule a sua envoltória de esforços e compare com a resistência da viga atual considere que a viga da ponte suporta um momento positivo de até M R 60kNm e um momento negativo de até M R 90kNm Caso seja necessário indique os locais onde serão necessários reforços Descrição da Imagem a figura mostra uma ponte de vigas horizontais apoiada em dois pilares vicinais Um caminhão preto deve transitar sobre ela O caminhão está à esquerda abaixo dele temos a indicação de um carregamento pontual P e o esquema estático da viga apoiada em C e G Os pontos de interesse ABCDEFGH estão espaçados metro a metro ao longo do comprimento da viga Fonte o autor 268 UNIDADE 01 KASSIMALI A Análise Estrutural São Paulo Cengage Learning 2015 LEET K M et al Fundamentos da Análise Estrutural 3 ed São Paulo McGrawHill 2009 PIXABAY Sem título 2013a 1 fotografia Disponível em httpspixabaycomptphotosschlei gargalopontebasculante3275043 Acesso em 13 jul 2021 PIXABAY Sem título 2013b 1 fotografia Disponível em httpspixabaycomptphotoslindau nisponteschlei4214312 Acesso em 13 jul 2021 PIXABAY Sem título 2015 1 fotografia Disponível em httpspixabaycomptphotosbrasil riojaneiropaisagemonda4673664 Acesso em 13 jul 2021 PIXABAY Sem título 2018 1 fotografia Disponível em httpspixabaycomptphotoshambur goportoterminalguindastes3082070 Acesso em 13 jul 2021 SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural 4 ed Porto Alegre Editora 1980 v 2 WKIMEDIA COMMONS Sem título 2021 1 fotografia Disponível em httpscommons 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httpswwwhilticombrcCLSMEATOOLINSERT7127CLSCONCRETESCAN NERS7127r5042 Acesso em 16 jul 2021 UNIDADE 05 LEET K M et al Fundamentos da Análise Estrutural 3 ed São Paulo McGrawHill 2009 MARTHA L F Métodos Básicos da Análise de Estruturas Rio de Janeiro PUCRio 2010 318 p SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural método das deformações Processo de Cross 4 ed Porto Alegre Editora Globo 1980a v 3 SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural deformações em estruturas Método das Forças 4 ed Porto Alegre Editora Globo 1980b v 2 UNIDADE 06 LEET K M et al Fundamentos da Análise Estrutural 3 ed São Paulo McGrawHill 2009 MARTHA L F Métodos Básicos da Análise de Estruturas Rio de Janeiro PUCRio 2010 318 p SORIANO H L Análise de Estruturas formulação matricial e implementação computacional 2 ed Rio de Janeiro Editora Ciência Moderna 2005 UNIDADE 07 ASBEA Guia AsBEA boas práticas em BIM São Paulo AsBEA 2013 Fascículo 1 Disponível em httpwwwasbeaorgbruserfilesmanuaisa607fdeb79ab9ee636cd938e0243b012pdf 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projeto estrutural de obras ferroviárias Rio de Janeiro ABNT 1985 ABNT ABNT NBR 6123 força devido ao vento em edificações Rio de Janeiro ABNT 1988 271 ABNT ABNT NBR 8681 ações e segurança nas estruturas procedimento Rio de Janeiro ABNT 2003 ABNT ABNT NBR 6120 ações para o cálculo de estruturas de edificações Rio de Janeiro ABNT 2019 ALMEIDA M Sem título 2013 1 fotografia Disponível em httpswwwflickrcomphotos marinelson10146367864 Acesso em 11 ago 2021 ENGEL H Sistemas Estruturais Barcelona Editorial Gustavo Gilli 2001 LULKO M Sem título 2013 1 fotografia Disponível em httpswwwflickrcomphotoslu lek11420370036 Acesso em 11 ago 2021 MANTEL M Sem título 2013 1 fotografia Disponível em httpswwwflickrcomphotos marianomantel10354531996 Acesso em 11 ago 2021 NÓBREGA P G B da O Projeto Estrutural In NÓBREGA P G B Estrutura 2 Sl sn 2015 Disponível em httpsedisciplinasuspbrpluginfilephp1984079modfoldercontent0ProfPe trusProjEstrutpdfforcedownload1 Acesso em 10 ago 2021 PEREIRA V F Fundamentos do Projeto Estrutural Sl sn 2013 Notas de aula PEXELS Sem título 2018 1 fotografia Disponível em httpswwwpexelscomptbrfotopon tegoldengatesaofrancisco2104742 Acesso em 11 ago 2021 PIXABAY Sem título 2015 1 fotografia Disponível em httpspixabaycomptphotoscasade óperatenerifeespanha659119 Acesso em 11 ago 2021 PIXABAY Sem título 2017 1 fotografia Disponível em httpspixabaycomptphotosponte arquiteturacidaderio3038245 Acesso em 11 ago 2021 PIXABAY Sem título 2018 1 fotografia Disponível em httpspixabaycomptphotosnavega çãoangrapassarelaponte3168433 Acesso em 10 ago 2021 REBELLO Y C P A Concepção Estrutural e a Arquitetura São Paulo Zigurate Editora 2000 REIS P Filo Cordados Classe Aves Phisical Biologic 2021 Disponível em httpcfb702materia blogspotcom201109filocordadosclasseaveshtml Acesso em 11 ago 2021 SENADO FEDERAL Senado homenageia Rede Sarah Senado Notícias 12 jun 2015 Disponível em httpswww12senadolegbrnoticiasmaterias20150612senadohomenageiaredesarah Acesso em 11 ago 2021 WIKIMEDIA 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incógnitas é IGUAL ao número de equações de equilíbrio 2 D 32 3 1 2 g Temos duas reações de apoio no ponto A duas no ponto B e duas no ponto C Ao todo 32 6 incógnitas Temos três equações de equilíbrio e a rótula contribui com 1 r n equações Como apenas a barra horizontal chega à rótula teremos duas barras portanto 2 1 1 r Assim temos quatro equações portanto a estrutura é 6 4 2 vezes hiperestática 3 E Número de barras incógnitas 12 10 22 b Número de nós duas equações de equilíbrio por nó g 2 1 1 3 22 212 25 24 1 g HIPERESTÁTICA 4 E 2 3 3 3 1 3 3 g Temos duas reações em G três reações em F além de três incógnitas oriundas dos esforços no quadro Nas equações de equilíbrio temos três equações da estática e 3 1 2 r equações relativas à rótula No pórtico 1 ao se aplicar uma força vertical para baixo em A percebese claramente que o trecho tende a rotacionar Mesmo que a estrutura esteja restringida e hiperestática o trecho BA é hipostático e pode se movimentar 5 C Inicialmente devese fazer a interpretação cautelosa do texto Esse desnível quebra a continuidade da viga e não permite a passagem de momentos fletores dos trechos DE para EF Os demais trechos BC CD DE são contínuos entre si permitem a passagem de momentos significa que sobre o P11 teremos uma rótula Considerando que apenas o pilar P8 consegue restringir movimentos verticais e horizontais enquanto os demais restringem apenas movimentos verticais significa que P8 é um apoio do segundo gênero duas reações e que P9 P10 P11 e P12 são apoios do primeiro gênero uma reação 274 Assim o esquema estático da viga fica como na figura a seguir Descrição da Imagem a figura mostra a planta de formas de baldrames e blocos idêntica à figura do enun ciado da questão e abaixo temos o esquema estático da viga Na planta de formas temos seis eixos verticais A B C D E F e apenas um eixo horizontal não nomeado o qual coincide com a viga V4 A viga V4 seção 12x30 linhas pretas cheias disposta horizontalmente vai do eixo B ao eixo F apoiada no pilar P8 P9 P11 e P12 retângulos em linhas vermelhas coincidentes com os eixos A figura mostra um rebaixamento para a viga V4 seção 12x30 r30 linhas pontilhadas entre os eixos E pilar P11 e F pilar P12 onde é possível notar a passagem do esgoto pluvial e sanitário representados por linhas verticais pontilhadas em azul e verde É possível observar blocos de fundação em cada pilar representados por linhas pretas de menor espessura A figura registra ainda cotas das formas em diversos pontos de interesse O esquema estático mostra que o pilar P8 deve ser interpretado como um apoio do segundo gênero e os P9 P10 P11 e P12 como apoio do primeiro gênero Mostra ainda um corte esquemático demonstrando que no trecho rebaixado P11 a P12 não ocorre a transmissão de momentos com os demais trechos assim Mr0 ou seja devese considerar uma rótula no apoio P11 Fonte o autor Teremos então seis reações incógnitas três equações de equilíbrio e uma equação da rótula 2 1 1 1 1 1 3 2 g portanto a viga é duas vezes hiperestática mas se avaliar mos o trecho EF separadamente perceberemos que é uma viga biapoiada sem continuidade portanto isostática 6 João deve procurar explicar suas preocupações para o projetista e este de posse de todos os dados poderá encontrar a solução mais completa mas a primeira coisa a ser pensada em uma situação dessas é aumentar o grau de hiperestaticidade da estru tura para no caso de um apoio falhar ela conseguir redistribuir esses esforços Para fazêlo é preciso 275 Aumentar o número de fundações disponíveis dessa maneira a estrutura terá mais opções de redistribuição de carga Garantir continuidade e rigidez nas vigas baldrame para que essas consigam transportar os esforços às fundações Enrijecer as vigas e pilares fazendoos trabalhar como pórticos diminuindo assim os efeitos de eventuais recalques sobre a estrutura João deve pedir a seu projetista que aumente o grau de estaticidade da estrutura tornandoa mais hiperestática UNIDADE 02 1 B Esta afirmação se refere ao Teorema de Castigliano a derivada parcial da energia real de defor mação em relação a uma das cargas aplicadas é igual à deformação elástica segundo a direção dessa carga É compreendido mais facilmente na equação U P 2 D A afirmação I é considerada verdadeira pois estamos considerando a conservação de ener gia nesta situação o trabalho externo é transferido como energia interna para a estrutura A afirmação I é considerada verdadeira pois a energia interna se subdivide em diversas formas de energia entre elas a energia de deformação Já afirmação III não pode ser considerada verdadeira pois o Princípio de Superposição dos Efeitos é usado para aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais e este não o invalida A afirmação IV deve ser considerada verdadeira pois para aplicar o PTV usamos uma carga virtual unitária no ponto e direção que se pretende calcular o deslocamento 3 D Considerando uma força P aplicada sobre incrementos lentos e graduais em uma estrutura ela realizará um trabalho em função de suas deformações e deslocamentos Essa condição costuma representar estruturas reais pois o processo construtivo é relativamente lento e sofre incre mentos graduais à medida que se constrói Segundo o Teorema de Clapeyron nessa situação a energia de deformação é metade do produto entre força e deslocamento 4 C 4 4 3 3 8 4 5 5 0 0 0 150 150 1504 1 0032 32 210 510 310 310 L M dx x dx x M x m cm EI 276 5 A O cálculo das deformações no apoio B removido para o carregamento é 4 4 4 4 4 4 0 0 0 0 5 ² 1 1 5 5 ³ 32 10 4 M x x M dx x dx x dx cm EI EI EI δ O cálculo do valor da reação B que provoca a mesma deformação é 4 4 4 4 3 2 4 0 0 0 0 1 1 2133 3210 ² 3 10 Vbx M Vbx M dx x dx Vbx dx Vb EI EI EI EI δ 2 3 32 3210 213310 150 02133 Vb Vb kN UNIDADE 03 1 B 3 Elaborar os sistemas de equações de compatibilidade 5 Encontrar as reações de apoio 1 Escolher os apoios a serem removidos 2 Separar em casos de carregamento real e unitário 4 Determinar os coeficientes iδ 0 e δij 6 Calcular os esforços internos solicitantes 2 C A afirmativa I é verdadeira pois o Método das Forças depende dos trabalhos virtuais A afirma tiva II é falsa pois o Princípio da Reciprocidade não está relacionado ao Método das Forças A afirmativa III é verdadeira pois o Método das Forças deve respeitar as condições de equilíbrio e compatibilidade A afirmativa IV é falsa pois o Método das Forças deve respeitar as leis cons titutivas dos materiais 3 C O Método das Forças pode ser aplicado em qualquer tipo de estrutura desde que sejam con sideradas suas peculiaridades por isso a alternativa C deve ser considerada como incorreta 277 4 D CASO 0 COMBINAÇÃO DE CARREGAMENTO REAL Temos um diagrama de momento fletor em formato de parábola de ² 8 20 ql kNm com binado com um diagrama triangular de valor 1 kNm assim pela tabela de KurtBeyer temos 10 1 1 80 2014 3 3 3 M ML δ CASO 1 COMBINAÇÃO DE CARREGAMENTO VIRTUAL Temos um diagrama de momento fletor em formato triangular combinado com o mesmo dia grama ambos com valores máximos de 1 kNm assim pela tabela de KurtBeyer temos 11 1 1 4 114 3 3 3 M ML δ Descrição da Imagem a figura mostra uma viga engastada em A e apoiada em B com 4 metros de vão sobre os quais se distribuem um carregamento uniforme de 10 kNm Abaixo temos a solução proposta consideran do a rotulação do ponto A onde teríamos o engaste e a aplicação de um hiperestático M a ser calculado Figura 1 Viga resolvida para exercícios 5 e 6 Fonte o autor 5 B De posse dos valores de 10 80 3 EI δ e 11 4 3 EI δ podemos determinar o valor do hiperestático M Considerando as equações de compatibilidade 10 10 11 11 0 M M δ δ δ δ Dessa forma o valor de M será 80 3 43 20 EI EI M kNm Com o valor do momento no ponto A é possível achar o valor da reação VB Considerando o equilíbrio dos momentos a partir do ponto A temos 20 1044 2 4 0 60 4 15 B B V V KN Repare que o valor coincide com o resolvido no exercício 5 da aula anterior 278 UNIDADE 04 1 A 3 Resolver o sistema linear obter os deslocamentos 1 Determinar as deslocabilidades da estrutura e elaborar o sistema hipergeométrico com os diversos casos de carregamento 4 Calcular as reações e os esforços 2 Resolver os Casos 0 1 2 calculando os coeficientes β e K 2 D A afirmação I é verdadeira pois o Método dos Deslocamentos tem por incógnitas os desloca mentos de determinados pontos da estrutura A afirmação II é verdadeira pois o Método dos Deslocamentos é baseado na superposição dos efeitos A afirmação III é falsa pois os vínculos permanecem na aplicação do método A afirmação IV é verdadeira pois a estrutura é imobilizada travada e então aplicamse deslocamentos sobre os nós os quais serão calculados 3 D Rotações em C e D representam duas deslocabilidades internas e o nó E pode se movimentar verticalmente sendo necessário um apoio para estabilizar esse deslocamento linear portanto uma deslocabilidade externa Figura 1 Descrição da Imagem a figura mostra um pórtico com deslocalidades internas em C e D e com uma desloca bilidade externa em E referente ao deslocamento vertical Figura 1 Resolução para o exercício 3 Fonte o autor 4 A viga 01 embora seja quatro vezes hiperestática tem apenas uma deslocabilidade de tal forma que se espera que seja mais prático resolvêla pelo Método dos Desloca mentos A viga 02 pode ser resolvida pelo Método das Forças ou dos Deslocamentos pois tem um grau de hiperestaticidade e uma única deslocabilidade Assim qualquer uma da solução escolhida deverá repercutir em quantidade de trabalho semelhante 279 A Figura 2 exemplifica o conceito Descrição da Imagem a figura mostra duas vigas a viga 01 engastada nas extremidades A e C com um apoio central B e a viga 02 com um apoio fixo e dois apoios móveis Ambas submetidas a um carregamento distri buido Abaixo temos as reações de apoio de cada viga Na viga 01 temos Ha Va Ma Vb Hc Vc Mc 7 reações portanto uma estrutura quatro vezes hiperestática Na viga 02 temos Ha Va Vb e Vc quatro reações sendo que temos apenas um grau de hiperestaticidade Abaixo temos ainda as deslocabilidades associadas em que para ambas as vigas temos apenas uma deslocabilidade interna D1 sobre o apoio B Figura 2 Resolução da viga 01 e da viga 02 para o exercício 4 Fonte o autor 5 B CASO 0 CARREGAMENTO TRECHO AB 0 0 ² 62² ² 62² 2 2 12 12 12 12 AB BA ql ql M kNm M kNm TRECHO BC 0 0 ² 64² ² 64² 8 8 12 12 12 12 BC CB ql ql M kNm M kNm TRECHO CD 0 0 ² 63² ² 63² 45 45 12 12 12 12 CD DC ql ql M kNm M kNm COEFICIENTES BETA TERMOS DE CARGA 0 0 10 0 0 20 20 80 6 80 45 35 BA BC CB CD M M kNm M M kNm β β 280 6 E CASO 1 GIRO UNITÁRIO 104 ² EI kN m TRECHO AB 4 1 4 2 210 10 2 AB EI M kNm rad L 4 1 4 4 410 210 2 BA EI M kNm rad L TRECHO BC 4 1 4 4 410 10 4 BC EI M kNm rad L 4 1 4 2 210 0510 4 CB EI M kNm rad L TRECHO CD 1 1 0 0 CD DC M kNm rad M kNm rad COEFICIENTES DE RIGIDEZ 1 1 4 4 4 11 210 10 310 BA BC k M M kNm rad 1 1 4 4 21 0510 0 0510 CB CD k M M kNm rad CASO 2 GIRO UNITÁRIO TRECHO AB 2 2 0 0 AB BA M kNm rad M kNm rad TRECHO BC 4 2 4 2 210 0510 4 BC EI M kNm rad L 4 2 4 4 410 10 4 CB EI M kNm rad L TRECHO CD 4 2 4 4 410 13310 3 CD EI M kNm rad L 281 4 2 4 2 210 06710 3 DC EI M kNm rad L COEFICIENTES DE RIGIDEZ 2 2 4 4 12 21 0 0510 0510 BA BC k M M kNm rad k 2 2 4 4 4 22 10 13310 23310 CB CD k M M kNm rad 7 B 10 11 1 12 2 20 21 1 22 2 0 0 k D k D k D k D β β Portanto temos o sistema linear 4 4 1 2 4 4 1 2 60 310 0510 0 35 0510 23310 0 D D D D Em que as raízes para o problema são 4 1 23310 D rad e 4 2 2010 D rad Portanto corresponde à alternativa B 8 Os esforços podem ser obtidos em cada ponto pela seguinte equação 0 1 2 1 2 M M M D M D assim no ponto A referen te ao lado da barra AB teremos 0 1 2 1 2 AB AB AB AB M M M D M D 4 4 4 4 20 10 23310 010 210 033 MAB kNm Resolvese assim para todas as barras Resumidamente apresentamse esses valores junto ao gráfico dos momentos fletores 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 20 210 23310 010 210 666 80 110 23310 0510 210 666 80 0510 23310 1010 210 717 45 0010 23310 13310 21 BA BC CB CD M kNm M kNm M kNm M 4 4 4 4 4 0 716 45 0010 23310 06710 210 316 DC kNm M kNm 282 UNIDADE 05 1 A A ideia básica desse processo é a de que como os nós de uma estrutura devem estar em EQUI LÍBRIO a soma dos MOMENTOS aplicados pelas extremidades das barras que chegam a um nó deve ser NULA 2 E 4 Bloqueiase o nó e se repete o processo de redistribuição no próximo nó Repetese o pro cesso até atingir a precisão necessária 2 Considerase que todos os nós são perfeitamente fixos e portanto são solicitados com os momentos de engastamento perfeito Aplicamse esses momentos nos nós 1 Calculase o momento de engastamento perfeito de cada barranó então se calcula o coe ficiente de ponderação dos momentos conforme a rigidez de cada barra 3 Permitese a rotação um dos nós redistribuindo o momento para barrasnós adjacentes de acordo com o coeficiente de ponderação dos momentos 3 E Para o trecho AB engastadoapoiado 3 3 15 20 kab EI L EI EI Para o trecho BC engastadoengastado Descrição da Imagem a figura mostra o diagrama de momentos fletores da viga bem como as reações de apoio e uma tabela com o cálculo dos esforços em cada ponto Figura 3 Resolução da viga para o exercíco 8 diagrama de esforços e tabela de supeposição dos efeitos Fonte o autor 283 4 42 45 178 kbc EI L EI EI Assim temos 20 053 20 178 γab 178 047 20 178 γbc 4 A Calculando os momentos de engastamento perfeito para a estimativa inicial ² 8 1515² 8 422 ² 12 1545² 12 2531 AB BC M ql kNm M ql kNm A diferença entre esses valores é de 2109 kNm assim 53 desse valor vai para o trecho AB e 47 para o trecho BC 1 1 422 210905294 422 1117 1539 2531 210904706 2531 993 1539 BA BC M kNm M kNm Descrição da Imagem a figura mostra a aplicação do Processo de Cross Sobre o apoio B temos os coeficientes de ponderação da barra BA e BC O valor do desequilíbrio de B será 42225312109 assim 1117 serão dis tribuídos para a barra BA e 993 serão distribuídos para BC Por fim o nó deve se estabilizar em 1539 Abaixo temos o diagrama de momentos fletores resultando em 1540 Figura 1 Resolução para o exercício 4 Fonte o autor 284 Quanto à reação de apoio RA para obtêla podemos fazer o equilíbrio do momento em B 0 154 1515² 2 15 0 10 Mb kNm Va Va kN 5 B Calculando os coeficientes de rigidez local de cada barra 4 4 2 2 4 4 4 1 4 4 3 133 AB BC CB CD K EI L K K EI L K EI L Dessa maneira calculase o coeficiente de ponderação dos momentos 2 0667 3 1 0333 3 1 0429 233 133 0571 233 AB AB BC BC AB BC CB CB CD CD CB CD K ab K K K bc K K K cb K K K cd K K γ γ γ γ Σ Σ Σ Σ Vide Figura 2 6 A Inicialmente calcularemos os momentos de engastamento perfeito como estimativa inicial do processo 285 UNIDADE 06 1 C Nos apoios os deslocamentos são nulos e por isso já são conhecidos e deixam de ser incógni tas do problema Assim podese excluir as linhas e colunas referentes a esse deslocamento ou adicionar um número muito grande na matriz de rigidez para obter um deslocamento muito próximo a zero 2 E I Verdadeira 2 1265 2 39 i V A Ra ql Ra Ra kN Descrição da Imagem a figura mostra a aplicação do Método de Cross na viga Os momentos são redistribuídos e são apresentadas as iterações do processo Abaixo temos os valores resultantes do processo e o diagrama de momento fletor da viga Figura 2 Resolução para o exercício 6 Fonte o autor 286 ² 12 1265² 12 4225 i M A Ma ql Ma Ma kNm II Verdadeira III Falsa pois temos um momento atuando no nó que será transmitido pela barra ABC embora não tenhamos reações de engastamento pois é um apoio do segundo gênero IV Verdadeira 2 2 2 1265 2 2 39 Vj B Rb ql Rb Rb kN ² 12 1265² 12 4225 M j B ql kNm 3 A Utilizase a matriz de rigidez de vigas a qual tem dois deslocamentos no nó inicial e dois desloca mentos no nó final ao todo temos quatro deslocamentos portanto a matriz local é da ordem 4x4 12 ³ 6 ² 12 ³ 6 ² 6 ² 4 6 ² 2 12 ³ 6 ² 12 ³ 6 ² 6 ² 2 6 ² 4 i i i i j j j j V EI l EI l EI l EI l M EI l EI l EI l EI l V EI l EI l EI l EI l M EI l EI l EI l EI l δ θ δ θ Quanto à matriz de rigidez global teremos quatro nós na estrutura cada um com dois deslo camentos assim teremos uma matriz 8x8 4 B A análise matricial de estruturas pelo método da rigidez direta baseiase no método dos deslo camentos em que as incógnitas são DESLOCAMENTOS Nesse sentido o processo de aplicação do método é semelhante ao Método dos Deslocamentos no entanto a solução é feita PARA TODOS NÓS de interesse A estrutura é dividida em diversos elementos compostos por nós iniciais e finais com seu comportamento sendo descrito MATRICIALMENTE Posteriormente compatibilizase o comportamento de todas as barras pela MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL 5 Para resolver a estrutura ela será dividida em três elementos primeiro elemento com 20 m segundo elemento com 40 m e terceiro elemento com 30 m Faremos então a elaboração da matriz de rigidez local de cada elemento 287 Para o elemento 01 teremos os seguintes carregamentos nodais equivalentes 2 62 2 60 ² 12 62² 12 30 2 62 2 60 ² 12 62² 12 30 A A B B V ql kN M ql kNm V ql kN M ql kNm Somando as reações de apoio a estes teremos 01 01 01 01 60 30 60 2 30 E i A A E i A A E i B B E i B V R M M V R M Como todos os elementos têm EI constante podemos isolar essa variável da conta resultando assim nos seguintes valores 12 ³ 12 2³ 15 6 ² 6 2² 15 4 4 2 20 2 2 2 10 EI l EI EI EI l EI EI EI l EI EI EI l EI EI Dessa maneira escrevemos a matriz de rigidez local do elemento 01 01 6 15 15 15 15 3 15 20 15 10 6 2 15 15 15 15 30 15 10 15 20 i A E i A j B j B Ra Ma F k d EI Rb δ θ δ θ Semelhantemente para o elemento 02 temos 02 02 02 02 12 2 80 12 2 80 E i B B E i B E i C C E i C V R M V R M 12 ³ 12 4³ 01875 6 ² 6 4² 0375 4 4 4 10 2 2 4 05 EI l EI EI EI l EI EI EI l EI EI EI l EI EI 288 Dessa maneira escrevemos a matriz de rigidez local do elemento 02 02 12 2 01875 0375 01875 0375 80 0375 10 0375 050 12 2 01875 0375 01875 0375 80 0375 050 0375 10 i B B E i B j C C j C R F k d EI R δ θ δ θ Semelhantemente para o elemento 03 temos 03 03 03 03 9 2 45 9 2 45 E i C C E i C E i D D E i D V R M V R M 12 ³ 12 3³ 0444 6 ² 6 3² 0667 4 4 3 1333 2 2 3 0667 EI l EI EI EI l EI EI EI l EI EI EI l EI EI Dessa maneira escrevemos a matriz de rigidez local do elemento 03 03 9 2 0444 0667 0444 0667 45 0667 1333 0667 0667 9 2 0444 0667 0444 0667 45 0667 0667 0667 1333 i C C E i C j D D j D R F k d EI R δ θ δ θ Elaborase então a matriz de rigidez global 6 15 15 15 15 20 15 20 15 10 18 15 15 16875 1125 01875 0375 60 15 10 1125 300 0375 0500 21 01875 037 35 90 45 Ra Ma Rb EI Rc Rd Mc 1 1 2 2 3 3 4 4 5 0632 0292 0444 0667 0375 0500 0292 2333 0667 0667 0444 0667 0444 0667 0667 0667 0667 1333 δ θ δ θ δ θ δ θ Considerando que em A e D temos um engaste 1 1 4 4 δ θ δ θ 0 e que em B e C temos apoios do primeiro gênero 2 3 δ δ 0 podemos limitar o sistema linear a 289 2 2 4 3 3 60 30 05 233 10 35 05 233 20 EI rad kNm θ θ θ θ Repare que os valores encontrados de deslocamentos são equivalentes aos calculados na Unidade 4 e não poderiam ser diferentes pois essencialmente o Método Direto da Rigidez é apenas uma generalização do Método dos Deslocamentos As reações de apoio podem ser obtidas pelas próprias equações do sistema linear 6 15 15 15 15 20 15 20 15 10 18 15 15 16875 1125 01875 0375 60 15 10 1125 300 0375 0500 21 01875 037 35 90 45 Ra Ma Rb EI Rc Rd Mc 0 0 0 233 1 5 0632 0292 0444 0667 0 0375 0500 0292 2333 0667 0667 20 0444 0667 0444 0667 0 0667 0667 0667 1333 0 EI 25 0333 21375 22458 7667 3167 A A B C D D V kN M V kN V kN V kN M kN Fonte o autor 6 Você deve montar sua própria planilha no Excel Recomendase que faça por partes incialmente para vigas com dois elementos posteriormente com três até chegar na viga de quatro elementos Devese montar as matrizes locais de cada elemento e posteriormente a matriz global considerando a interação entre os nós Lembrese das operações com matrizes usadas para resolver sistemas lineares UNIDADE 07 1 B O Método dos Elementos Finitos é utilizado para representar diversos problemas físicos dentre eles a análise estrutural Tratase de um método de análise estrutural aplicandose tanto a estruturas de concreto aço madeira e também a problemas de geotecnia A solução do problema diferencial é obtida por uma aplicação numérica a uma função aproximadora nos elementos discretizados O MEF em si não faz o projeto 290 apenas a análise estrutural cabendo ao engenheiro o processo de detalhamento O BIM é uma técnica de projeto não apenas estrutural em que o programa enten de determinado elemento com suas respectivas propriedades podendo integrar às análises diversas avaliações 2 C No caso de elementos com grande carga de compressão essencialmente pilares quaisquer deslocamentos horizontais provocam efeitos de segunda ordem aumen tando o momento nesses elementos As demais alternativas se referem a problemas de não linearidade física 3 Observando os diagramas de momento fletor e as deformações referentes à análise da estrutura podemos entender que a posição do tirante influencia a distribuição dos esforços e o comportamento estrutural do muro Quanto mais próximo à base maior é a reação no tirante À medida que o tirante se aproxima da base diminui o valor dos momentos fletores positivos mas quando passa certo ponto começa a aumentar o momento fletor negativo no tiranteapoio Semelhantemente temos uma região consi derada ótima para as menores deformações do muro Entendese que a melhor posição para o tirante seria aquela que pudesse satisfazer todas essas situações simultanea mente Entre as apresentadas a situação d é a que mais se destaca tirante a 25 m Fonte o autor 291 UNIDADE 08 1 B Os recalques de edificações permanecem agindo durante grande parte da vida útil da estrutura com pouca ou nenhuma variação em sua magnitude e são exemplos de ações permanentes indiretas O peso da água não entra nessa situação pois o nível da água é variável e pode ser removida 2 D OA arquitetoa deve ser informadoa sobre a situação É elea que pode aprovar qualquer alteração no projeto arquitetônico portanto a decisão deve ser delea O uso de uma variação brusca na seção de pilares é muito problemático e pode ocasionar em problemas sérios a uma edificação OA engenheiroa até pode usar esse recurso em situações muito especiais mas não deve ser usada por não haver continuidade na peça 3 C Para descobrir os valores máximos de compressão e tração atuantes faremos as combinações últimas normais Para o maior esforço de compressão consideraremos a ação do vento como variável principal e posteriormente a sobrecarga como variável principal depois os valores de cálculo serão comparados adotandose o maior No caso dos esforços de tração consideraremos apenas o vento como ação variável já que o efeito da sobrecarga é benéfico Considerando o vento como variável principal consultando a equação e os coeficientes da Tabela 1 temos 1 13550 1440 1506032 1523 dF kN Considerando a sobrecarga como variável principal consultando a equação e os coeficientes da Tabela 1 temos 2 13550 1532 1406040 1491 dF kN O maior esforço de compressão usado no projeto será de 1523 kN Considerando o peso próprio ponderado pelo seu coeficiente em condição desfavorável frente à ação variável do vento teremos Descrição da Imagem a figura mostra o diagrama de esforço fletor no muro de arrimo juntamente com as reações de apoio para as situações citadas na figura do exercício Em suma temos alterações no diagrama Na ausência de apoios situação a o diagrama resulta em grandes valores de esforços 2240 kNm na presença do apoio situação b c d e e o momento fletor se inverte agindo valores postivos À medida que a posição do apoio desce temos valores de menor intensidade nos diagramas e maiores reações de apoio no tirante Na situação d temos momento na base de 406 kNm momento positivo de 192 kNm momento negativo sobre o apoio de 118 kNm no apoio a reação é de 734 kN Quanto às deformações não são apresentandos valores mas a deformação do muro engastado e livre é significativamente superior aos demais sendo que nessa situação temos a menor deformação 292 3 10050 14 65 0 410 dF kN Portanto alternativa C 4 B O Museu Brasileiro de Escultura e Ecologia é um exemplo de estrutura de massa ativa que vence os vãos por flexão por uma estrutura robusta Você pode conhecer mais do projeto no canal da FAUUSP no YouTube que tem uma série sobre a obra 5 A A grande vantagem do sistema de forma ativa é que o formato da estrutura faz com que os elementos trabalhem comprimidos ou tracionados como nos arcos e pontes penseis 6 Você é livre para escolher qualquer outra obra desde que preencha os requisitos A e B Apresentaremos apenas um exemplo a Residência Hélio Olga tratase de uma obra de uma residência de 220 m² construída em madeira nos anos 1990 O grande desafio do projeto era a inclinação do terreno de aproxima damente 100 Isso dificultava muito a execução de uma obra pesada e encareceria muito se fossem adotados sistemas de contenção b O sistema estrutural é de vetor ativo com as vigas e lajes sendo de massa ativa Assim a so lução adotada foi construir em madeira por ser um material leve com cabos de aço formando um sistema estrutural treliçado em que o carregamento dos pisos e das lajes é transmitido aos pilares por vigas Então a carga é suspendida pelos tirantes de aço diagonais para descer por compressão nos outros montantes e pilares até se encontrar com os apoios na fundação Descrição da Imagem a figura apresenta uma residência em madeira de formato moderno A residência é construída em um formato de triângulo escalonado invertido ficando apoiada apenas pela ponta O sistema estrutural é de vetor ativo Figura 1 Casa Hélio Olga e o caminho das cargas e comportamento estrutural Fonte adaptada de LIMA A I et al 293 UNIDADE 09 1 E As linhas de influência são gráficos que representam o efeito da posição de uma carga sobre determinado esforço elástico perante uma estrutura são muito importantes para determinar os esforços críticos As demais alternativas referemse a outros conceitos 2 E I Correta II Falsa Linhas de influência podem ser usadas em hiperestáticas III Correta IV Correta V Falsa Os conceitos de linha de influência são usados até hoje inclusive por computadores 3 B Inicialmente posicionamos uma rótula na seção A hipoteticamente rompendo a estrutura para o esforço que se pretende analisar Aplicase então uma rotação unitária nesse ponto A configuração deslocada da estrutura deve ser como a da figura a seguir Descrição da Imagem a figura mostra a linha de influência resultante da aplicação do método de Müller Breslau em A Fonte o autor 4 B Posicionando a carga sobre o ponto A temos o valor do momento fletor máximo negativo 36 01515 545 MS máx neg kNm Posicionando a carga sobre o ponto S temos o valor do momento fletor máximo positivo 3604646 1673 MSmáx pos kNm 294 5 a Avaliandose o comportamento da estrutura mediante o carregamento permanente e estático podemos chegar nos seguintes valores de momento fletor de cada ponto de interesse Descrição da Imagem a figura mostra os momentos fletores para o carregamento permanente atuante na viga ABCDEFGH No ponto A e H temos momento fletor nulo No ponto B e G temos momento fletor de valor 10 kNm Em C o momento é de 400 kNm em D é de 25 kNm em E é 150 kNm em F é 125kNm Fonte o autor b Devese elaborar a linha de influência do momento fletor para cada ponto de in teresse Como esses pontos foram posicionados a cada metro temos oito pontos de interesse portanto oito linhas de influência a serem desenhadas Esse processo pode ser feito com o auxílio do software FTOOL A figura a seguir mostra as linhas de influência para cada ponto de interesse 295 Descrição da Imagem a figura mostra os momentos fletores para o carregamento permanente atuante na viga Fonte o autor 296 Repare que nas linhas de influência dos pontos A e H os valores são nulos portanto o momento fletor nesses pontos também é nulo para qualquer posição da carga Considerando a linha de influência em B para o momento fletor máximo negativo em B temos a carga posicionada em A 1050 50 0 B máx B máx M kNm M kNm Considerando a linha de influência em C para o momento fletor máximo negativo em C temos a carga posicionada em A 2050 100 0 C máx C máx M kNm M kNm Considerando a linha de influência em D para o momento fletor máximo negativo em D temos a carga posicionada em A 1550 75 MD máx kNm Considerando a linha de influência em D para o momento fletor máximo positivo em D temos a carga posicionada em D 07550 375 MD máx kNm Considerando a linha de influência em E para o momento fletor máximo negativo em E temos a carga posicionada em A 1050 50 ME máx kNm Considerando a linha de influência em E para o momento fletor máximo positivo em E temos a carga posicionada em E 1050 50 ME máx kNm Considerando a linha de influência em F para o momento fletor máximo negativo em F temos a carga posicionada em H 07550 375 MF máx kNm Considerando a linha de influência em F para o momento fletor máximo positivo em F temos a carga posicionada em F 07550 375 MF máx kNm Considerando a linha de influência em G para o momento fletor máximo negativo em G temos a carga posicionada em H 297 1050 50 0 G máx G máx M kNm M c Para traçar a envoltória de esforços somaremos os efeitos de carregamentos permanentes com os valores máximos e mínimos de momentos fletores para cada ponto de interesse Para os pontos A e H os momentos fletores são nulos então sua soma será nula Já nos demais pontos teremos diferentes valores por exemplo no ponto B 50 10 60 0 10 10 B máx B per B máx B per M M kNm M M kNm Já no ponto C 100 40 140 0 40 40 C máx C per C máx C per M M kNm M M kNm No ponto D teremos 75 25 775 375 25 35 D máx D per D máx D per M M kNm M M kNm No ponto E teremos 50 15 35 50 15 65 E máx E per E máx E per M M kNm M M kNm No ponto F teremos 375 125 25 375 125 50 F máx F per F máx F per M M kNm M M kNm No ponto G teremos 50 10 60 0 10 10 G máx G per G máx G per M M kNm M M kNm Esses valores são representados na figura e tabela para melhor visualização do leitor Observan doos podemos perceber que os momentos solicitantes negativo em C e positivo em E ultra passarão a resistência da viga portanto são regiões em que é necessário o reforço estrutural PON TO Perma nente Carga móvel Envoltória Mi per kNm Mi máx kNm Mi máx kNm Mi env kNm i máx i per M M Mi env kNm i máx i per M M A 00 00 00 00 00 B 100 500 00 600 100 C 400 1000 00 1400 400 298 D 25 750 375 775 350 E 150 500 500 350 650 F 125 375 375 250 500 G 100 500 00 600 100 H 00 00 00 00 00 Resistência 90 MR kNm 60 MR kNm Tabela 1 Envoltória de esforços Fonte o autor Descrição da Imagem a figura mostra uma ponte de vigas horizontais apoiada em dois pilares vicinais Um caminhão preto deve transitar sobre ela O caminhão está à esquerda Abaixo dele temos a indicação de um carregamento pontual P e o esquema estático da viga apoiada em C e E Os pontos de interesse ABCDEFGH estão espaçados metro a metro ao longo do comprimento da viga Há uma marcação em formato oval na cor vermelha na face superior do ponto C da viga e na parte inferior do ponto E indicando a necessidade de reforço em relação ao momento máximo negativo e positivo respectivamente Acima da viga é apresentada a envoltória de esforços com os valores máximos e mínimos de momento fletor para cada um dos pontos de interesse Fonte o autor MEU ESPAÇO MEU ESPAÇO