Inferências para Duas Amostras: Proporções e Médias

Slide 1 Copyright 2004 Pearson Education Inc Cap 8 Inferências para Duas Amostras 81 Introdução 82 Inferências sobre duas proporções 83 Inferências sobre duas médias amostras independentes 84 Inferências sobre duas médias amostras pareadas 85 Comparação de variações de duas amostras 81 e 82 Introdução e inferências sobre duas proporções As inferências nesse capítulo serão obtidas a partir de testes de hipótese Em muitas situações não há interesse na comparação de uma amostra com uma hipótese e sim na comparação de duas bases de dados diferetentes Inferências sobre duas proporções Requisitos 1 Há proporções obtidas a partir de duas amostras independentes e aleatórias 2 Para ambas as amostras as condições np5 e nq5 são atendidas Slide 2 Copyright 2004 Pearson Education Inc Notação para Duas Proporções Para a população 1 temos 1 1 1 1 1 1 1 1 ˆ 1 ˆ ˆ p p q x n p n x número de sucessos na amostra tamanho da amostra proporção de sucessos na amostra proporção de fracassos na amostra proporção de sucessos na população 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ 1 ˆ ˆ p p q n x p x n uma simbologia similar é empregada para a segunda amostra eou população Estimativa Comum de p1 e p2 A hipótese nula H0 a ser avaliada será para a igualdade entre p1 e p2 Se essa é a idéia existe um valor digamos que pode ser tomado igualmente como a melhor de p1 e p2 Esse valor comum para a proporção de sucessos e o valor correspondente da proporção de fracassos seriam 2 1 2 1 n n x x p p q 1 p Slide 3 Copyright 2004 Pearson Education Inc Note que a hipótese nula H0 corresponde sempre a igualdade entre as duas proporções o que implica que a diferença entre elas é sempre 0 se H0 é verdade A estatística de teste para duas proporções mais precisamente para a diferença entre duas proporções tanto para testes unilaterais como bilaterais é 2 1 2 1 2 1 ˆ ˆ n p q n p q p p p p z 2 1 1 2 1 0 p p H p p H 0 0 2 1 1 2 1 0 p p H p p H 0 0 2 1 1 2 1 0 p p H p p H 0 0 2 1 1 2 1 0 p p H p p H 2 1 1 2 1 0 p p H p p H 2 1 1 2 1 0 p p H p p H Essas hipóteses sobre os valores comparativos de p1 e p2 indicadas abaixo a esquerda equivalem a essas da direita estruturadas em termos de diferenças entre p1 e p2 Slide 4 Copyright 2004 Pearson Education Inc Exemplo Considere os dados referentes a contagens mostrados na tabela abaixo Use um nível de significância de 005 e elabore um teste de hipótese para avaliar a afirmativa de que a proporção de juvenis entre os machos é maior que entre as fêmeas Machos Juvenis 0120 200 24 ˆ 24 200 1 1 1 1 1 n x p x n 0105 1400 147 ˆ 147 1400 2 2 2 2 2 n x p x n 2 1 1 2 1 0 p p H p p H 0 893125 1 0106875 200 1400 147 24 2 1 2 1 p q n n x x p Adultos Proporção de juvenis Fêmeas 64 0 1400 0 893125 0106875 200 0 893125 0106875 0 0105 0120 z O teste é unilateral com cauda para direita então o valor de P é a área à direita da estatística de teste z 064 Assim o valor de P é 02611 Dado que o valor de P é maior que o nível de significância de αααα 005 não se pode rejeitar H0 Portanto os dados não contém evidências fortes o suficientes para suportar a hipótese de que a proporção de juvenis é maior entre os machos 0 0 2 1 1 2 1 0 p p H p p H ou Slide 5 Copyright 2004 Pearson Education Inc 83 Inferências sobre Duas Médias Amostras Independentes Independência de duas amostras Os valores das amostras selecionadas de uma população não são relacionadas ou emparelhadas de alguma forma com as amostras selecionadas da outra população Se os valores de uma das amostras são relacionados com os da outra amostra as amostras são dependentes Tais amostras são frequentemente denominadas de emparelhadas ou pareadas Requisitos 1 As duas amostras são independentes e e provêm de amostragens aleatórias simples 2 Uma ou ambas das seguintes condições são satisfeitas Os tamanhos das duas amostras são ambas grandes n1 30 e n2 30 ou ambas as foram selecionadas de populações que têm distribuição normal A estatística de teste para duas médias mais precisamente para a diferença entre duas médias tanto para testes unilaterais como bilaterais é 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n s n s x x t µ µ Slide 6 Copyright 2004 Pearson Education Inc Graus de liberdade Para tornar o teste mais prático podese usar o menor valor encontrado entre os graus de liberdade da primeira n1 1 e da segunda amostra n2 1 Exemplo Dados sobre as distâncias percorridas por peixes marcados foram obtidas a partir de amostragens aleatórias Na área A o tamanho amostral foi de 70 a média foi de 4185 km e o desvio padrão foi de 455 km Na área B o tamanho amostral foi de 73 a média foi de 4037 km e o desvio padrão foi de 306 km Use um nível de signficância de 005 para testar a afirmativa de que as médias das distâncias das populações são diferentes 273 2 73 30 6 70 5 45 0 403 7 418 5 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n s n s x x t µ µ Rejeitase a hipótese nula pois há evidências que suportam a hipótese de que as distâncias médias das áreas A e B são diferentes 0 0 1 0 B A B A H H µ µ µ µ ou Distâncias km B A Apesar dos diagramas de caixa indicarem que pelo menos uma das amostras tem distribuição assimétrica as amostras são ambas grandes e portanto o teste de hipótese pode ser aplicado B A B A H H µ µ µ µ 1 0 994 1 72 1 69 1 05 0 0 025 2 2 1 t t n n α α Slide 7 Copyright 2004 Pearson Education Inc 84 Inferências sobre Duas Médias Amostras Pareadas Requisitos para a aplicação do teste 1 As duas amostras são pareadas e provêm de amostragens aleatórias 2 Uma ou ambas das seguintes condições são satisfeitas O número de pares de dados é grande n 30 ou os pares de valores provêm de populações que têm distribuições aproximadamente normais Notação para amostras pareadas n s d d µd média das diferenças d da população de pares de dados média das diferenças d entre os pares de dados da amostra média de x y desvio padrão das diferenças d encontradas na amostra de pares de dados número de pares de dados na amostra A estatística de teste para a média das diferenças de amostras pareadas é n s d t d µd com n 1 graus de liberdade Slide 8 Copyright 2004 Pearson Education Inc Exemplo Um modelo oceanográfico está sendo usado para fazer previsões sobre a temperatura superficial do mar graus centígrados em 5 localizações do Oceano Atlântico Na tabela abaixo se encontram as predições de temperatura obtidas com o modelo as temperaturas de fato observadas e a diferença entre o predito e o observado Em uma avaliação prévia foi constatato que tanto as predições do modelo quanto as temperaturas observadas seguem distribuições aproximadamente normais Use um nível de significância de 005 para testar a afirmativa de que a média das diferenças é significativamente diferente de zero Previsões 18 16 12 21 22 Temperatura Observada 16 14 17 14 24 Diferenças d 2 2 5 7 2 0 393 5 4 55 0 80 n s d t d µ 0 0 1 0 d d H H µ µ 776 2 4 55 80 0 025 2 t t s d d α Como a estatística de teste calculada para a amostra não pertence à região crítica não há motivo para rejeitar a hipótese nula Portanto os dados não provêm evidências suficientes para apoiar a hipótese de que a média das diferenças não é igual a zero Amostra de dados t 0393 µd 0 µd 0 µd 0 Slide 9 Copyright 2004 Pearson Education Inc 85 Comparação das Variâncias de Duas Amostras Requisitos para a aplicação do teste 1 As duas amostras são aleatórias e independentes 2 As distribuições das duas populações de onde foram extraídas são normais Notação 2 1 1 2 1 σ n s maior valor entre as duas variâncias tamanho amostral da amostra que corresponde à maior variância variância da população da qual foi extraída a amostra que está associada à maior variância amostral 2 2 2 2 2 n σ s variância amostral tamanho da amostra e variância populacional da população que apresentou o menor valor de variância amostral Dica para facilitar a realização do teste Denomine como amostra 1 aquela que apresentou a maior variância amostral A estatística de teste para a comparação das variâncias é 2 2 2 1 s F s Os graus de liberdade do numerador é n1 1 e do denominador é n2 2 Slide 10 Copyright 2004 Pearson Education Inc Se o teste de hipótese for estruturado como indicado na página anterior todo teste unilateral terá a região crítica sempre localizada na cauda da direita Em qualquer teste de hipótese bilateral somente será necessário avaliar o valor crítico da cauda da direita Se as duas populações têm variâncias iguais então F s2 1 s2 2 será próximo de 1 porque s2 1 e s2 2 terão valores similares Se as duas populações têm variâncias radicalmente diferentes então o F calculado para a amostra terá um valor bastante elevado Isto ocorre porque o maior valor amostral de variância estará no numerador Em conseqüência do que está exposto acima um valor de F próximo de 1 será uma evidência favorável à conclusão de que σ1 σ2 Contrariamente um valor elevado de F será uma evidência contra a conclusão de que há uma igualdade entre as variâncias populacionais Comentários gerais sobre o teste de hipótese Slide 11 Copyright 2004 Pearson Education Inc Exemplo O peso do fígado de uma espécie de tubarão é o objeto de estudo de uma equipe de oceanógrafos Foram amostrados 36 tubarões amostrados na área A e outros 36 na área B Na área A o peso médio dos fígados foi de 081682 kg e a variância foi de 000005635 kg2 Na área B o peso médio dos fígados foi de 082410 kg e a variância foi de 000003250 kg2 Use um nível de significância de 005 para testar a afirmativa de que os pesos dos fígados das duas áreas tem a mesma variância Considere que as amostras provêm de populações que seguem distribuições normais 1 7338 0 00003250 00005635 0 2 2 2 1 s s F 2 2 2 1 1 2 2 2 1 0 σ σ σ σ H H 18752 05 0 0 025 1 1 2 2 1 F F n n α α Não há evidências suficientes para rejeitar a hipótese de que as duas variâncias são iguais Dados da amostra F1338 Slide 12 Copyright 2004 Pearson Education Inc Claim σσσσ1 σσσσ2 Ho σσσσ1 σσσσ2 H1 σσσσ1 σσσσ2 αααα 005 Coke Versus Pepsi 2 2 2 2 2 2 There is not sufficient evidence to warrant rejection of the claim that the two variances are equal