Testes de Hipótese em Estatística

Slide 1 Copyright 2004 Pearson Education Inc Capítulo 7 Testes de Hipótese 71 Visão Geral 72 Fundamentos dos Testes de Hipótese 73 Testes sobre Proporções 74 Testes sobre uma Média σ desconhecido 75 Testes sobre uma Variância 71 Visão Geral Definições e idéias iniciais Em estatística uma hipótese é uma afirmação sobre uma propriedade da população Um teste de hipótese ou teste de significância é o procedimento padrão usado para se testar uma afirmação sobre uma propriedade da população Se sob uma suposição a probabilidade de ocorrer um determinado evento é excepcionalmente pequena o evento seria raro concluimos que a suposição provavelmente não é correta Slide 2 Copyright 2004 Pearson Education Inc Exemplo Estamos interessados em avaliar a suposição de mais da metade dos peixes de uma determinada espécie é fêmea Com o intuito de testar essa suposição retiramos uma amostra aleatória de 100 peixes Se por exemplo verificamos que somente 5 desses peixes são do sexo feminino mesmo sem usar um teste estatístico intuitivamente seriamos levados a pensar que das duas uma Ou um evento extremamente raro ocorreu como obra do acaso ou a amostra provê uma forte evidência contra a suposição de que a maioria dos peixes da população é do sexo feminino Dada uma afirmação identificar as hipóteses nula e alternativa e expressar ambas em forma simbólica Dada uma afirmação e uma amostra calcular o valor da estatística de teste Dado um nível de significância identificar os valores críticos Dado um valor da estatística de teste calcular o valor de P Estabelecer a conclusão do teste de hipótese de maneira simples clara e com uso de termos que não sejam estritamente técnico Identificar os erros do tipo I e II e ser capaz de apontar a probabilidade de se cometer o erro do tipo I no teste de hipótese Objetivos da Seção Slide 3 Copyright 2004 Pearson Education Inc 73 Fundamentos dos Testes de Hipótese Componentes de um Teste de Hipótese Hipótese Nula H0 A hipótese nula inclui o valor assumido como sendo o parâmetro populacional Ela deve ser uma afirmativa quanto a uma igualdade Testase a hipótese nula diretamente Rejeitase H0 ou falhase em rejeitar não rejeitase H0 Hipótese Alternativa H1 A hipótese alternativa denotada por H1 é uma afirmação de que o parâmetro tem um valor que difere de alguma forma daquele indicado na hipótese nula Observação importante Somente a hipótese alternativa poderá vir a ser suportada ao final de um teste de hipótese Portanto se há interesse em se corroborar ou dar suporte a uma afirmação ela deve estar fraseada de tal forma que ela se torna a hipótese alternativa Slide 4 Copyright 2004 Pearson Education Inc das duas expressões simbólicas tome como alternativa H1 aquela que não contém qualquer igualdade de maneira que ela terá os símbolos ou ou Tome como hipótese H0 a expressão simbólica em que o parâmetro em consideração é igual ao valor fixo que está sendo considerado Seqüência sugerida para identificar H0 and H1 início identifique a afirmação a ser testada e procure expressála de forma simbólica identifique a forma simbólica que deve ser verdadeira se a afirmação original é falsa Exemplo Identificando as hipóteses nula e alternativa nos seguintes casos a A proporção de fêmeas é maior que 50 H0 H1 b O peso médio é de no mínimo 25 kg H0 H1 A variância é menor que 2 cm2 H0 H1 p05 μ25 μ25 σ 22 σ 22 p05 Slide 5 Copyright 2004 Pearson Education Inc A estatística de teste é um valor calculado a partir dos dados da amostra e é usado para a tomada de decisão sobre se a hipótese nula deve ou não ser rejeitada Estatísticas de Teste z p p pq n t xμ sn Estatística de teste para proporções χ 2 n1s2 σ 2 Estatística de teste para médias Estatística de teste para variâncias Slide 6 Copyright 2004 Pearson Education Inc Exemplo Em uma pesquisa foi coletada uma amostra de 880 mexilhões aleatoriamente e 56 mostraram ser fêmea Encontre o valor da estatística de teste para a afirmação de que a maioria dos mexilhões ou seja mais de 50 é fêmea H 0 p05 p05 z p p pq n 05605 0505 880 356 Solução a afirmação é e a contrária a ela é a hipótese nula seria a hipótese alternativa seria a estatística de teste é p05 H 1 p05 Interpretação Sabemos de nossos estudos prévios que um escore z de 356 é excepcionalmente elevado Portanto o resultado amostral de 56 é significativamente maior que 50 proporções amostrais excepcionalmente altas Região Crítica Área de α 005 usada como critério para a identificação de proporções excepcionalmente altas p056 ou Valor crítico Proporção amostral Estatística de teste p056 ou z356 Slide 7 Copyright 2004 Pearson Education Inc Região Crítica A região crítica ou região de rejeição é o grupo de valores da estatística de teste que levam à rejeição da hipótese nula Veja por exemplo a área vermelha da figura anterior Nível de Significância O nível de significância α é a probabilidade de que a estatística de teste caia na região crítica se a hipótese nula for realmente verdadeira Esse valor corresponde ao mesmo α introduzido na seção que trata dos intervalos de confiança Valores usuais de α são 005 001 e 010 Valor Crítico Um valor crítico é qualquer valor que separa a região crítica dos valores da estatística de teste que não levam à rejeição da hipótese nula Na figura anterior o valor crítico é 1645 Testes Unicaudais Unilaterais e Bicaudais Bilaterais As caudas de uma distribuição são as regiões extremas limitadas pelos valores críticos Slide 8 Copyright 2004 Pearson Education Inc Teste Bilateral H0 H1 α é dividido igualmente em duas caudas de regiões críticas Testes Unilaterais H0 H1 α é alocado inteiramente em uma das causas H0 H1 rejeita H0 rejeita H0 rejeita H0 rejeita H0 não rejeita H0 não rejeita H0 não rejeita H0 Slide 9 Copyright 2004 Pearson Education Inc Valor de P O valor de P valor de probabilidade é a probabilidade de ser obtida uma estatística de teste tão ou mais extrema que aquela observada na amostra se a hipótese nula é assumida como sendo verdade A hipótese nula é rejeitada se o valor de P é muito pequeno como por exemplo 005 ou menos início tipo do teste unilateral a direita unilateral a esquerda bilateral direita esquerda P é a área a esquerda da estatística de teste P é a área a direita da estatística de teste P é duas vezes a área a direita da estatística de teste P é duas vezes a área a esquerda da estatística de teste A estatística de teste está à direita ou a esquerda Exemplo Determne se o caso se trata de um teste unilateral à esquerda à direita ou bilateral Encontre o valor de P e tire uma conclusão a partir do teste de hipótese a Um nível de significância de α 005 é usado para teste a afirmativa de que p025 e a estatística de teste para a amostra é z118 R A afirmativa é p025 então o teste é unilateral à direita O valor de P é a área a direita da estatística de teste z118 Com o auxílio da tabela de z vemos que a área que corresponde a P é 01190 O valor de P é superior ao nível de significância α 005 então a hipótese nula não é rejeitada b O nível de significância α 005 é usado para testar a afirmativa de que p 025 e a estatística de teste para a amostra é z234 R A afirmativa p 025 indica que o teste é bilateral A estatística de teste z234 está a direita Dado que é um teste bilateral o valor de P será duas vezes a área a direita de z234 Com o auxílio da tabela vemos que P 2 x 00096 00192 Como P é menor que a rejeitamos a hipótese nula Slide 10 Copyright 2004 Pearson Education Inc Decisões e Conclusões em Testes de Hipótese Método tradicional Rejeitase H0 se a estatística de teste cai na região crítica Não se rejeita H0 se a estatística de teste não cai na região crítica Método do valor de P Rejeitase H0 se P α onde α é o nível de significância como por exemplo 005 Não se rejeita H0 se P α Mostrar o valor de P Ao invés de usar o nível de significância ex 005 para se tomar a decisão mostrase o valor de P e o leitor pode apreciar mais precisamente o valor que motivou a decisão do pesquisador Slide 11 Copyright 2004 Pearson Education Inc Escrevendo sobre a conclusão final A afirmativa original contém a condição de igualdade Rejeitase Ho Rejeitase Ho Há evidências que levam à rejeição de H0 e portanto os dados corroboram a hipótese de que afirmativa original Não há evidência suficiente para rejeitar H0 de tal forma que não há suporte para a hipótese de que afirmativa original Há evidências suficientes para rejeitarmos a hipótese de que afirmativa original Não há evidências suficientes para rejeitarmos a hipótese de que afirmativa original Não A afirmação original tornase H1 Sim A afirmação original tornase H0 Sim Sim Não Não único caso em que a afirmativa original é rejeitada único caso em que se dá suporte para a afirmativa original Slide 12 Copyright 2004 Pearson Education Inc Um Erro do tipo I ocorre quando rejeitamos a hipótese nula quando ela é verdade A probabilidade de ocorrer esse erro é α alfa Um Erro do tipo II ocorre quando falhase em rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa A probabilidade de ocorrer esse erro é β beta cujo cálculo é mais elaborado do que o da probabilidade de ocorrer um erro do tipo I O Poder de um teste de hipótese é a probabilidade de rejeitarmos uma hipótese nula quando ela é de fato falsa O poder é a probabilidade 1 β verdadeiro estado da natureza Decisã o Decidimos por rejeitar H0 Decidimos por não rejeitar H0 A hipótese nula é verdadeira A hipótese nula é falsa decisão correta decisão correta Erro do Tipo I Erro do Tipo II Controlando os Erros do Tipo I e II Para qualquer α fixo um aumento no tamanho amostral n provoca um decréscimo de β Para qualquer n fixo um decréscimo em α provoca um aumento em β e viceversa Para diminuir ambos α e β o tamanho amostral n deve ser aumentado Slide 13 Copyright 2004 Pearson Education Inc 73 Testando afirmativas sobre proporções Requisitos para a aplicação do teste 1 As observações amostrais provêm de uma amostra aleatória simples 2 Todas as condições já estudadas anteriormente para experimentos binomiais devem ser de novo válidas 3 A condição np 5 e nq 5 devem ser satisfeitas para que a distribuição binomial possa ser aproximada com uma normal com µ np e σ npq z p p pq n estatística de teste Exemplo Em um exemplo anterior vimos que em uma pesquisa foram coletados 880 mexilhões aleatoriamente e que 56 deles eram fêmeas A afirmativa principal a ser avaliada era de que a maioria dos mexilhões ou seja mais de 50 é fêmea p 05 Vamos avaliar o problema usando o método tradicional com um α de 005 e também a partir do cálculo detalhado do valor de P np 88005 440 5 nq 88005 440 5 H0 p 05 H1 p 05 α 005 p056 z p p pq n 05605 0505 880 356 O teste é unilateral para a direita A região crítica a direita tem área 005 Com o auxílio da tabela vemos que z 1645 é o valor crítico Se usarmos o método tradicional e basearmos nossa decisão somente no valor crítico poderíamos parar aqui e rejeitar H0 pois a estatística de teste 356 é mais extrema que o valor crítico 1645 Isto indica que a estatística de teste cai na região crítica Portanto há evidência suficiente contra H0 e a favor da afirmativa de que a maioria dos mexilhões é fêmea Podíamos também seguir em diante e verificar que para valores de z310 ou maiores o valor de P à direita é 00001 Como esse valor é inferior a α 005 há evidências que levam à rejeição de H0 e que portanto dão suporte à afirmação de que a maioria dos mexilhões é fêmea Slide 14 Copyright 2004 Pearson Education Inc a 10 dos peixes coletados são juvenis b dos 216 peixes coletados 54 foram classificados como juvenis Atenção em alguns casos a proporção amostral já é dada diretamente e em outros casos ela deve ser calculada p010 p542160 25 p Exemplo Ao avaliar a granulometria de 580 amostras de uma região estuarina um pesquisador encontrou que 152 delas poderiam ser classificadas como sendo do tipo A Resultados encontrados em trabalhos pretéritos levam à hipótese de que ¼ das amostras deveria ser do tipo A Use um nível de significância α de 005 para testar essa hipótese H0 p 025 H1 p 025 α 005 px n p152580 p0262 z p p pq n 0262025 025075 580 0671 O teste é bilateral As regiões críticas a direita e a esquerda contêm em conjunto uma área de 005 Com o auxílio da tabela vemos que os valores críticos de z são 196 e 196 Se usarmos o método tradicional e basearmos nossa decisão somente nos valores críticos poderíamos parar aqui Não rejeitaríamos H0 pois a estatística de teste 0671 não é mais extrema que qualquer um dos valores críticos Portanto a estatística de teste não cai na região crítica Não há evidências suficientes contra H0 Podíamos também seguir em diante e verificar que como o teste é bilateral o valor de P é duas vezes a área à direita da estatística de teste 0671 Como o auxílio da tabela verificamos que P 2 x 02574 05028 Como a estatística de teste da amostra faz parte dos 50 valores mais extremos não podemos dizer que ela é parte de um caso raro Portanto não podemos rejeitar H0 pois o valore de P não é excepcionalmente baixo Não há evidências suficientes contra a hipotese de que a proporção de casos do tipo A é de 025 74 Testando afirmativas sobre médias σ desconhecido Requisitos para a aplicação do teste de hipótese 1 A amostra é uma aleatória simples 2 Uma ou ambas as condições são satisfeitas A população é normalmente distribuída ou n 30 t x μ sn estatística de teste Slide 15 Copyright 2004 Pearson Education Inc Exemplo Uma dada instituição de pesquisa alega que o comprimento médio do espadarte capturado na pesca de espinhal tem comprimento médio inferior a 986 cm Resultados anteriores indicam que a distribuição dos comprimentos é aproximadamente normal É realizada uma coleta aleatória de 12 indivíduos os quais tem comprimento médio de 9839 cm e desvio padrão de 0535 Use um nível de significância α para testar a hipótese de que a amosta proveio de uma população que tem comprimento médio inferior a 986 cm H0 µ 986 H1 µ 986 α 005 n12 x98 39 s0535 t x μ sn9839986 053512 1360 O teste é unilateral a esquerda A região crítica a esquerda contém uma área de 005 Com o auxílio da tabela de Student vemos que para 11 n1 graus de liberdade o valor crítico de t é 1796 Se usarmos o método tradicional e basearmos nossa decisão somente no valor crítico poderíamos parar aqui Não rejeitaríamos H0 pois a estatística de teste 1360 não é mais extrema que o valor crítico Portanto a estatística de teste não cai na região crítica Não há evidências suficientes contra H0 Não há evidências que suporte a hipótese de que a amostra provém de uma população com média inferior a 986 cm Ao contrário do que ocorre com a tabela z no caso de t o valor exato de P não pode ser estimado com precisão Podemos ver que para 11 graus de liberdade o valor da estatística de teste que encontramos está entre valores de t tabelados que correspondem a alfas de 010 a 025 Podemos estimar que P está entre esses dois valores mas não podemos dar maiores detalhes De qualquer forma vemos que P não é excepcionalmente pequeno e a conclusão seria a mesma Não há evidências suficientes para rejeitarmos H0 e portanto não há evidências suficientes para suportar a hipótese de que a amostra proveio de uma população que tem média de comprimento inferior a 986 cm Valores exatos de P poderiam ser obtidos com recursos computacionais 75 Testando afirmativas sobre variâncias ou desvios padrões χ 2 n1s2 σ 2 estatística de teste Requisitos para a aplicação do teste de hipótese 1 A amostra é uma aleatória simples 2 A população tem obrigatoriamente uma distribuição normal Slide 16 Copyright 2004 Pearson Education Inc Exemplo Alguns estudos mostraram que distância em quilômetros entre a posição de cardumes da espécie A e a Ilha Ravena segue uma distribuição normal Uma amostra aleatória de 13 distâncias mostrou ter um desvio padrão de 5184 km2 Use um nível de significância α de 005 para testar a hipótese de que o desvio padrão populacional é de 225 km2 H0 σ 225 H1 σ 225 α 005 n13 s2225 χ 2 n1s2 σ 2 13151 84 225 2765 O teste é bilateral Cada uma das regiões críticas a esquerda e a direita contém a metade do nível de significância α 005 Com o auxílio da tabela de qui quadrado vemos que para 12 n1 graus de liberdade o valor crítico a esquerda χ 2 E é 4404 e o valor crítico a direita χ 2 D é 23337 Se usarmos o método tradicional e basearmos nossa decisão somente nos valores críticos poderíamos parar aqui Rejeitaríamos H0 pois a estatística de teste 2765 é mais extrema que um dos valores críticos Portanto a estatística de teste cai na região crítica Há evidências suficientes contra H0 Há evidências que suportam a hipótese de que a amostra provém de uma população com variância diferente de 225 km2 Assim como no caso da tabela tStudent o valor de P não pode ser estimado com precisão a partir de uma tabela de quiquadrado Recursos computacionais podem ser usados para essa fim rejeita σ 2225 rejeita σ 2225 não rejeita σ 2225 dados amostrais Slide 17 Copyright 2004 Pearson Education Inc Lógica por trás dos testes de hipótese Se sob determinada suposição a probabilidade de se obter a amostra observada é excepcionalmente pequena concluímos que a suposição inicial é provavelmente incorreta Quando formos testar uma afirmativa estruturamos uma hipótese que contém uma igualdade Comparamos então a hipótese com os resultados amostrais e chegamos em uma das seguintes conclusões Se os resultados amostrais podem facilmente ocorrer se a suposição inicial hipótese nula é verdade atribuimos a pequena discrepância entre a amostra e a hipótese como sendo obra do acaso no processo aleatório de amostragem Se os resultados amostrias não podem ocorrer facilmente quando a suposição inicial hipótese nula é verdade atribuimos a grande discrepância entre a hipótese e os dados amostrais ao fato de que a hipótese nula provavelmente não é verdadeira