Tópicos Integradores I - Unidade I: Conceitos de Cinemática e Vetores

UNIDADE I Tópicos Integradores I Engenharias 2 Sumário Para início de converSa 2 cinemática 3 Posição velocidade e aceleração 3 velocidade média 4 velocidade inStantânea 4 aceleração média 6 o que significa uma aceleração de 10 ms² 7 aceleração inStantânea 7 movimento retilíneo uniformemente variado mruv 8 velocidade como uma função do tempo 8 Posição em função do tempo 9 velocidade com uma função da posição 9 Grandeza eScalar e Grandeza vetorial 13 vetor 13 operações vetoriais 14 adição de vetoreS 14 regra do paralelogramo 15 regra da construção de polígonos 15 Subtração de vetoreS 16 lei doS SenoS e lei doS coSSenoS 17 lei do ParaleloGramo 17 notação vetorial carteSiana 17 Soma de vetoreS rePreSentação carteSiana 19 cinética 25 equação do movimento coordenadaS carteSianaS 26 movimento de PartículaS Sob a ação de forçaS 26 1 Todos os direitos reservados Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito do Grupo Ser Educacional Edição revisão e diagramação Equipe de Desenvolvimento de Material Didático EaD Junior Elias Arcanjo da Silva Tópicos Integradores I Engenharia Unidade 1 Recife Grupo Ser Educacional 2019 Grupo Ser Educacional Rua Treze de Maio 254 Santo Amaro CEP 50100160 Recife PE PABX 81 34134611 2 tóPicoS inteGradoreS i unidade i Para início de converSa Olá querido a aluno a Seja bemvindo a à nossa disciplina de Tópicos Integradores I Esse é o nosso primeiro encontro desta nova jornada de estudos aqui você vai receber orientações para que no futuro seu trabalho seja bem executado Desejo que você tenha um excelente aproveitamento com o estudo do nosso guia Con to com seu comprometimento nesta nova jornada acadêmica e acredito que ao final da nossa disciplina você terá total domínio do assunto estudado Podemos começar orientaçõeS da diSciPlina Nesta disciplina você terá a oportunidade de revisar na unidade I os conceitos estudados na disciplina Física Geral e Experimental Revisaremos a cinemática das partículas as operações vetoriais e finalizare mos com a cinética das partículas Na unidade II continuaremos com o estudo da cinética de uma partícula com a apresentação do Princípio do Trabalho da Conservação da Energia Mecânica o Princípio do Impulso e por fim apresentaremos o Princípio da Conservação do Momento Linear Na unidade III estudaremos as colisões e iniciaremos o estudo dos corpos sólidos Analisaremos o mo vimento de rotação de um corpo sólido em torno de um eixo fixo e estudaremos a cinética de um corpo sólido com a definição de Torque e a formulação da Segunda Lei de Newton para o movimento de rotação Por fim na unidade IV apresentaremos os conceitos de pressão e densidade e estudaremos os líquidos em equilíbrio analisando a pressão que eles exercem e a força com que atuam sobre os corpos sólidos neles imerso Finalizaremos esta unidade com o estudo dos líquidos em movimento apresentaremos a formulação da lei de vazão e da equação de Bernoulli Então você terá ao longo do guia vários recursos disponíveis para facilitar seu aprendizado Caso você queira fazer alguma pesquisa utilize a nossa Biblioteca Virtual esta é uma maneira de agregar novos conhecimentos 3 Assista às videoaulas e as webconferências elas vão ajudar a esclarecer possíveis dúvidas Ao final da nossa unidade acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA e responda as atividades Caso tenha alguma dúvida não perca tempo e pergunte ao seu tutor Vamos dar início aos nossos estudos Então nessa unidade teremos a oportunidade de revisar alguns dos conceitos físicos que estudamos na disciplina de física geral e experimental Estudaremos a cinemática escalar as operações vetoriais e a cinética A cinemática é o ramo da mecânica que descreve o movimento independente de suas causas Já na cinética a variação do movimento da partícula é analisado a partir das forças que atuam no corpo sendo a força o agente físico responsável pela variação do movimento cinemática Caroa aluno a neste momento iremos analisar o movimento em si e sua variação sem nos preocupar mos com o que gerou esse movimento ou o que gerou a variação Estudaremos a posição do corpo ao longo do tempo mediremos a velocidade do mesmo analisaremos se a velocidade está aumentando ou se ela está diminuindo Concentramos nossa atenção na cinemática da partícula Consideraremos que partícula é qualquer objeto pontual ou qualquer objeto que se comporte como um corpo pontual isto é suas dimensões não serão relevantes para a resolução do problema Para compreender a cinemática precisamos entender alguns conceitos básicos como posição deslocamento velocidade e aceleração Posição velocidade e aceleração Prezado a para simplificar a nossa discursão vamos limitar nossa análise ao movimento em uma só dimensão Por exemplo o movimento de um carro em linha reta ao longo de uma estrada ou o movimento de queda de uma maçã madura na cabeça de um jovem estudante de física sentado à sombra de uma macieira Para descrever o movimento precisamos em primeiro lugar de um referencial que no caso unidimensio nal é simplesmente uma reta orientada em que se escolhe a origem O a distância da partícula até o referencial em um dado instante t é a posição da partícula Quando a partícula muda sua posição ela realiza um deslocamento Quando esse deslocamento acontece ele leva um tempo para acontecer Essa demora ou intervalo de tempo necessária para esse deslocamento também é importante Isso porque o deslocamento e o intervalo de tempo definem a rapidez do movimento A rapidez de um movimento é a velocidade desse corpo Na maioria dos movimentos analisados a rapidez da partícula não é constante assim podemos também estudar como a rapidez velocidade da partícula está variando ao longo do tempo A taxa de variação da velocidade em relação ao tempo é chamada de aceleração 4 velocidade média Vejamos a velocidade média de um corpo é definida como a razão entre o deslocamento da partícula e a variação do intervalo de tempo decorrido Traduzindo para a linguagem da física e da matemática o que dissemos foi que Ou Essa é a forma mais simples de medir a rapidez da partícula A velocidade no SI Sistema Internacional de Unidades é dada em metros por segundo ms A velocidade média determina a distância percorrida pela partícula em cada unidade de tempo Por exemplo a velocidade de 5 ms indica a que o corpo per corre a distância de 5 m em um 1 segundo e uma velocidade de 80 kmh indica que o corpo percorre uma distância de 80 km em 1 hora assim em 25 h ele percorreria a distância de 200 km fique atento Quando analisamos o deslocamento de uma partícula e calculamos a sua velocidade média não estamos afirmando que a partícula possui uma velocidade constante mas que estamos determinando uma velocidade constante que permite a partícula realizar o mesmo deslocamento no mesmo intervalo de tempo velocidade inStantânea Acredito que nesse momento você deve estar se perguntando como calcular a velocidade atual de uma partícula Então a velocidade atual de uma partícula ou melhor a velocidade instantânea de uma partícula é de termina tomando valores cada vez menores de t Assim podemos determinar a velocidade instantânea como ou Ou seja a velocidade instantânea ou simplesmente velocidade é a derivada com relação ao tempo da função posição 5 Observe que t ou dt é sempre positivo desta forma quem define o sentido da velocidade é o sinal do x ou dx Por exemplo se a partícula está se movendo para a direita movimento progressivo figura 1 a velocidade é positiva ao passo que se ela está se deslocando para a esquerda a velocidade é negativa movimento retrógrado fique atento Frequentemente o termo velocidade escalar média é usado A velocidade escalar mé dia é sempre uma grandeza positiva e é definida como a distância total percorrida por uma partícula xT dividido pelo tempo decorrido ou seja exemPlo Quando t 0 a partícula está em A Em quatro segundos ela percorre o trajeto até B depois em outros seis segundos ela segue até C Determine a velocidade média e a velocidade escalar média da partícula no intervalo de 0 a 10 s A origem da coordena está em O 6 Solução Sistema de coordenada A coordenada de posição entendese da origem fixa O até o carro positiva para a direita Velocidade média A velocidade média da partícula é dada por Sendo a posição final e a posição inicial isso significa que para calcular a velocidade média não precisa mos nos preocuparmos com a trajetória mas apenas com sua posição no início e no final do movimento Logo ATENÇÂO A posição inicial da partícula é negativa porque o ponto A está à esquerda da origem Velocidade escalar média A velocidade escalar média da partícula é dada por Como é a distância total percorrida pela partícula a velocidade escalar média depende da trajetória da partícula Sendo a distância do ponto A ao ponto B mais a distância do ponto B até o ponto C ou seja 7114762127 m Logo aceleração média Estudante se conhecemos a velocidade de uma partícula em dois pontos a aceleração média da partí cula durante um intervalo de tempo t é defino como Nesse caso t representa a variação da velocidade durante o intervalo de tempo t ou seja A unidade de aceleração no SI é o ms² metro por segundo ao quadrado 7 o que significa uma aceleração de 10 ms² Se uma partícula possui uma aceleração de 10 ms² isso significa que a cada segundo a sua velocidade está variando em 10 ms Por exemplo se uma partícula parte do repouso com aceleração de 10 ms² decorrido um segundo sua velocidade será de 10 ms decorrido mais um segundo sua velocidade será de 20 ms ou seja a cada segunda a velocidade está variando em 10ms Agora se uma partícula inicia seu movimento com uma velocidade de 12 ms e uma aceleração constante é de 2ms² decorrido 1 segundo sua velocidade será de 10 ms mais um segundo será de 8 ms mais um segundo será de 6 ms e assim sucessivamente Observe que nesse segundo exemplo a variação da velocidade foi de 2ms a cada segundo fica a dica Quando a aceleração da partícula é negativa não podemos afirmar que a velocidade da partícula está diminuindo movimento retardado mas que a variação da velocidade é negativa Uma partícula tem sua velocidade diminuída quando a aceleração e a veloci dade têm sinais opostos Veja o quadro resumo abaixo Movimento Acelerado e Movimento Retardado Movimento acelerado progressivo a0 v0 Movimento acelerado retrógrado a0 v0 Movimento retardado retrógrado a0 v0 Movimento retardado progressivo a0 v0 aceleração inStantânea A aceleração instantânea no tempo t é determinado tornandose valores cada vez menores de t e cor respontentes valores cada vez menores de De maneira que ou 8 Assim podemos definir que a aceleração é a taxa de variação temporal da velocidade Em alguns proble mas de cinemática a velocidade é uma função da posição ou seja Nesse caso precisamos eliminar o da equação acima Fazendo uso da regra da cadeia podemos escrever Como é a velocidade instantânea da partícula podemos reescrever a equação da aceleração da seguinte forma Embora tenhamos produzidos três importantes equações cinemáticas perceba que a equação não é independente das equações fica a dica Se uma relação é conhecida entre quaisquer duas das quatros variáveis a v x e t uma terceira variável pode ser então obtida usandose uma das equações cinemáti cas e visto que cada equação relaciona três variáveis movimento retilíneo uniformemente variado mruv Caro a aluno a nesse conteúdo usaremos as equações cinemáticas para determinar funções que nos permitam descrever o movimento de um corpo com aceleração constante Quero deixar claro que o pro cedimento que iremos desenvolver nesse momento poder ser aplicado em qualquer problema ou seja o procedimento não é exclusivo para análise de movimentos com aceleração constante mas as equações que iremos obter serão exclusivas para o MRUV Considerando que conhecemos a aceleração cada uma das três equações da cinemática e pode ser integrada para se obter fórmulas que relacionam a v x e t velocidade como uma função do tempo Integrando supondo que incialmente quando t 0 9 Integrando em ambos os lados da equação anterior temos Posição em função do tempo Integrando supondo que inicialmente quando t 0 Integrando ambos os lados da equação acima e substituindo o obtemos velocidade com uma função da posição Integrando supondo que inicialmente 10 Integrando ambos os lados da equação anterior obtemos exemPlo Neste exemplo inicialmente o carro movese ao longo de uma estrada reta com velocidade de 35 ms Se os freios são aplicados e a velocidade do carro é reduzida a 10 ms em 15 s determine a desaceleração constante do carro e o seu deslocamento SOLUÇÃO Sistema de coordenada A coordenada de posição estendese da origem fixa O até o carro positiva para a direita Aceleração 11 Deslocamento O deslocamento da partícula pode ser determina pela equação de Torricelli que é utilizada apenas em problemas em que a aceleração é constante Você também poderia resolver esse problema usando a equação horária da posição para o MRUV exemPlo O carro da figura abaixo movese em uma linha reta de tal maneira que por um curto período sua velo cidade é definida por v 06t² t ms onde t está em segundos Determine sua posição e aceleração quando t 3s Quando t 0 s 0 Solução Sistema de coordenada A coordenada de posição estendese da origem fixa O até o carro positiva para a direita 12 Posição Visto que v ft a posição do carro pode ser determinada a partir de v dxdt pois essa equação rela ciona v x e t Observe que s 0 quando t 0 temos Aceleração Visto que vft a aceleração é determinada a partir de a dvdt pois essa equação relaciona a v e t ATENÇÃO as fórmulas para a aceleração constante não podem ser usadas para solucionar esse proble ma porque a aceleração é uma função do tempo 13 Grandeza eScalar e Grandeza vetorial Praticando Meu querido a estudante vamos analisar o seguinte problema Então qual a aceleração do corpo com massa de 5 kg que está sobre uma superfície com atrito µc 02 e sob ação de duas forças com intensidades de 12 N e 20 N Fica claro que será impossível resolver esse problema pois ele está incompleto Sem conhecer as dire ções e os sentidos das forças não teremos como aplicar a segunda lei de Newton para a resolução do problema Assim podemos observar que algumas grandezas físicas só possuem sentido completo quando definimos seu módulo sua direção seu sentido e sua unidade Essas grandezas são chamadas de gran dezas vetoriais Por outro lado quando afirmamos que a massa do bloco é 5 kg temos o entendimento completo da grandeza massa Isso significa que algumas grandezas podem ser completamente especifi cas quando definimos seu módulo e sua unidade Essas grandezas são chamadas de grandezas escalares Assim em resumo temos Grandeza escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser completamente especificada por seu módulo intensidade e sua unidade São grandezas escalares massa tempo com primento etc Grandeza vetorial é qualquer quantidade física que requer uma intensidade um sentido uma direção e sua unidade de medida para sua completa descrição São grandezas vetoriais velocidade força momento etc De uma forma geral meu caro a quando trabalhamos com grandezas escalares precisamos ter um cui dado especial com suas unidades para não somarmos grandezas com unidades diferentes E quando trabalhamos com grandezas vetoriais precisamos considerar não só o módulo e a unidade mas também a direção e o sentido de cada grandeza Para auxiliar nas operações com grandezas vetoriais vamos iniciar o estudo dos vetores e da matemática vetorial vetor Para a representação de uma grandeza vetorial utilizamos os vetores O vetor é um ente matemática caracterizado por possuir um módulo intensidade uma direção e um sentido Graficamente um vetor é representado por um segmento de reta orientado indicado por uma letra em negrito ou por uma letra sobre o qual colocamos uma seta 14 Lembrese que o uso dos vetores nos auxilia nas operações matemáticas com grandezas vetoriais operações vetoriais Multiplicação de um vetor por um escalar Se um vetor é multiplicado por um escalar positivo sua intensidade é alterada por essa quantidade Se o escalar for um número positivo maior que 1 o vetor será ampliado Se o escalar for positivo entre 0 e 1 a intensidade será reduzida Quando multiplicado por um escalar negativo além da mudança da intensida de ele também mudará o sentido do vetor fica a dica A multiplicação de um escalar por um vetor não altera a direção do vetor Tudo bem até agora meu caro a aluno a Caso você precise de ajuda sinalize o seu tutor ele vai te ajudar no que for preciso Vamos continuar com nossos estudos adição de vetoreS Estudante frequentemente é necessário se trabalhar com combinações de quantidades vetoriais Note que para se somar escalares primeiro devemos verificar se eles têm a mesma unidade e então simples mente somamos os números Quando somamos vetores devemos considerar tanto a magnitude quanto a orientação de cada quantidade vetorial Para a soma de vetores podemos utilizar a regra do paralelogra mo ou a regra da construção de polígonos 15 regra do paralelogramo Para ilustrar a regra do paralelogramo na adição de vetores os vetores A e B figura abaixo são somados para formar um vetor resultante R A B usando o seguinte procedimento 1º Desenhe os vetores com suas origens em um mesmo ponto mantendo suas intensidades sentidos e direções originais 2º A partir da extremidade de A desenhe uma linha paralela ao vetor B e na sequência desenhe uma nova linha a partir da extremidade de B paralela ao vetor A Essas duas linhas se cruzam e formam um paralelogramo 3º A diagonal desse paralelogramo com mesma origem dos vetores A e B e extremidade no vértice opos to represente o vetor resultante R A B regra da construção de polígonos A regra da construção de polígonos é muito útil quando devemos somar mais de dois vetores Para somar os vetores A B e C usando a Regra da construção de Polígonos devemos usar o seguinte procedimento 1º Desenhe o vetor A mantendo módulo direção e sentido originais e na extremidade de A desenhe o vetor B também mantendo suas características iniciais e na sequência desenho o vetor C mantendo seu módulo direção e sentido 2º O vetor com a origem na origem do primeiro vetor e sua extremidade na extremidade do último vetor é o vetor soma ou vetor resultante R A B C 16 PalavraS do ProfeSSor Meu caro a estudante a regra da construção de polígonos é chamada de construção de triângulos quando a soma é apenas de dois vetores Você também pode usar a lei do paralelogramo para somar mais de dois vetores para isso você soma os dois primeiros vetores e a resultante deles você soma com o terceiro e a resultante deles soma com o quarto e assim por diante Subtração de vetoreS Para subtração de vetores podemos usar a lei do paralelogramo ou a regra da construção de polígonos para isso você deve transformar a operação de subtração em uma operação de soma de vetores Assim o vetor diferença D A B deve ser escrito como D A B O vetor B é o vetor oposto ao vetor B ou seja o vetor com mesmo módulo mesma direção e sentido oposto a B Procedimento para calcular a diferença entre D A B dois vetores utilizando a regra da construção de polígonos 1º Desenhe o vetor A mantendo módulo direção e sentido originais e na extremidade de A desenhe o vetor B que tem o mesmo módulo e mesma direção do vetor B mas o sentido é o oposto ao de B 2º O vetor com a origem no início do primeiro vetor e sua extremidade no fim do segundo vetor é o vetor resultante D A B ou seja o vetor D A B Propriedades das operações Vetoriais Comutativa A ordem em que os vetores são somados não altera a soma ou seja A B B A Associativa A soma dos vetores não é alterada pela associação dos vetores de diferentes formas ou seja A B C A B C 17 fica a dica Agora que já sabemos representar graficamente o vetor soma e o vetor diferença es tamos prontos para determinar o módulo a direção e o sentido desses vetores resul tantes Para isso usamos a lei dos senos a lei dos cossenos a lei do paralelogramo e o fato que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º lei doS SenoS e lei doS coSSenoS A lei dos senos e dos cossenos são duas relações matemáticas que nos permite relacionar os ângulos internos dos triângulos com as medidas nos seus lados Lei dos senos Em um triângulo qualquer a razão entre a medida de um lado do triângulo e o seno do ângulo interno oposto a esse lado é constante ou seja Lei dos cossenos O quadrado da medida e um dos lados de triângulo qualquer é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles nominalmente lei do ParaleloGramo O quadrado da medida da diagonal de um paralelogramo qualquer é igual à soma dos quadrados dos dois lados adjacentes mais o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles nominalmente 18 notação vetorial carteSiana Ângulo diretor É possível representar um vetor em termos de vetores cartesianos unitários Eles são chamados de vetores unitários porque possuem módulo 1 e são usados para determinar as direções cartesianas x e y respectivamente Assim podemos notar o vetor como um vetor cartesiano da forma onde Ax e Ay são as componentes ortogonais do vetor A ou seja são as projeções do vetor A sobre os eixos x e y respectivamente Como essas componentes formam um triângulo retângulo podemos deter minar suas intensidades a partir das razões trigonométricas do triângulo retângulo da seguinte forma No intuito de simplificar seu estudo alguns alunos decoram algumas fórmulas sem entender o seu real significado que resulta em erros na resolução de problemas Um bom exemplo é decorar que a onde na realidade ele precisa entender que a componente do vetor A na direção do cateto adjacente do ângulo diretor é igual ao módulo de vezes o cosseno do ângulo diretor e a componente do vetor que está da direção do cateto oposto ao vetor diretor é igual ao módulo de vezes o seno do ângulo diretor Triângulo diretor A direção de um vetor pode ser dada através de seu triângulo diretor Nesse caso o vetor pode ser escrito na forma cartesiana do seguinte modo 19 Onde as componentes ortogonais do vetor são obtidas das razões de proporcionalidade entre os lados correspondentes dos triângulos semelhantes abc e AxAyA Se você ficou com alguma dúvida na representação dos vetores cartesianos a partir do seu triângulo diretor assista a web conferência da UNIDADE I utilize seu material de estudo e principalmente não esqueça do seu tutor ele pode te ajudar no que for preciso Soma de vetoreS rePreSentação carteSiana Módulo e Direção do Vetor resultante Para determinar o módulo a direção e o sentido do vetor resultante usamos as se guintes equações Módulo do vetor resultante A direção e o sentido do vetor resultante PalavraS do ProfeSSor Meu caro a agora que você aprendeu com a aplicação dos conceitos estudados até aqui recomento que acompanhe a resolução dos exemplos a seguir para que você aprenda realmente não terá outra opção a não ser praticar 20 exemPlo Determine a intensidade da força e a intensidade da força resultante de se estiver direcionada ao longo do eixo y positivo Solução Utilizando a regra dos paralelogramos traçamos uma reta com início na extremidade do vetor F e paralela ao vetor força de intensidade 200 N e na sequência desenhamos uma nova reta com origem na extremi dade do vetor com intensidade de 200 N e paralela ao vetor F A interseção das retas estará sobre o eixo y pois o problema afirma que a resultante das forças está sobre esse eixo Com o paralelogramo formado encontramos os ângulos internos e utilizamos a lei dos senos para determinar a intensidade do vetor resultante e do vetor F Se você observar apenas o lado esquerdo do paralelogramo verá um triângulo com os ângulos de 45 e 30 Como a soma dos internos é igual a 180 o terceiro ângulo será de θ 75 21 Aplicando a lei dos senos para determinar o módulo de F temos e Aplicando novamente a lei dos senos para determinar a intensidade da força resultante temos exemPlo O anel mostrado na figura está submetido a duas forças F1 e F2 Se for necessário que a força resultante tenha intensidade de 1 kN e seja orientada verticalmente para baixo determine a a intensidade de F1 e F2 desde que Ɵ 30 e b as intensidades de F1 e F2 se F2 for mínima 22 Solução Letra a Utilizando a regra da construção de triangulo você deve desenhar o vetor F1 com sua origem na extremidade do vetor F2 mantendo módulo direção e sentido O vetor resultante tem origem no início do vetor F2 e sua extremidade a fim do vetor F1 Como a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º o ângulo entre F2 e F1 é 130 Já que a intensidade do vetor resultante é 1 kN podemos determinar as inten sidades de F1 e F2 usando a lei dos senos e Letra b Observando a figura ao lado você pode concluir que a força F2 será mínima se o ângulo entre F1 e F2 for igual a 90 E usando as razões trigonométricas do triângulo retângulo temos e 23 Determine as componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre a lança mostrada na figura Expresse cada força como um vetor cartesiano Solução Na figura b temos o desenho das componentes do vetor F1 nas direções x e y A componente F1x pode ser deslocada verticalmente para cima para formar um triângulo retângulo regra da construção de triângulos no intuito de ser usada a definição de seno e de cosseno na determinação das intensidades das componentes de F1 Como é cateto adjacente ao ângulo de 30 você pode escrever que Já F1x é o cateto oposto ao ângulo de 30 assim podemos escrever que Nota1 O sinal de menos foi utilizado na equação acima porque a direção da componente horizontal de F1 aponta no sentido negativo do eixo x Para determinar as componentes de F2 iremos usar a semelhança de triângulos Agora F2x pode ser deslo cado de maneira a formar um triangulo retângulo semelhante ao triangulo diretor 5 12 15 24 Nota1 O sinal de menos foi utilizado na equação acima porque a direção da componente vertical de F2 aponta no sentido negativo do eixo y exemPlo A ponta de uma lança O na figura a está submetida a três forças coplanares e correntes Determine a intensidade e a direção da força resultante Solução Cada força deve ser decomposta em suas componentes x e y figura b Somando as componentes x temos O sinal negativo indica que a resultante na direção x atua para a esquerda E somando as componentes y temos A força resultante figura c tem intensidade 25 A direção do vetor resultante é dada por Esse ângulo é medido com relação ao eixo negativo de x no sentido horário É comum a direção do ângulo ser determinado com relação ao semieixo x positivo no sentido antihorário Nesse caso θ 180 378 1422 cinética Bom meu caro a aluno a cinética é o ramo da dinâmica que trata da relação entre a variação do movimento de uma partícula e as forças que causam esta variação A base para a cinética são as leis de Newton em especial a sua segunda Lei que afirma que quando uma força resultante atua sobre uma partícula a partícula acelerará na direção da força com uma intensidade que é diretamente proporcional a força resultante Se a massa da partícula é m a segunda lei do movimento de Newton pode ser escrita em forma mate mática como É importante lembrar que essa é uma equação vetorial assim se mais de uma força atua sobre uma partí cula a força resultante é determinada por uma soma vetorial de todas as forças que atuam sobre a partícu la A unidade de força no SI é Newton N Newton postulou mais duas leis de movimento Vamos a elas Primeira Lei Todo corpo permanece em estado de repouso ou movimento retilíneo e uniforme a menos que atuem sobre ele uma força resultante diferente de zero Segunda lei A toda ação existe sempre uma reação igual em módulo e direção mas sentido contrário fica a dica Fica a dica na determinação das forças que atuam em um corpo é importante que você entenda que as força de ação e reação sempre possuem o mesmo módulo a mesma direção e o sentido oposto Além disso a forças de ação e reação sempre atuam em corpos diferentes ou seja se o corpo A exerce uma força sobre o porco B de módulo F direção horizontal e no sentido da direita para a esquerda isso significa que o corpo B exercerá sobre o corpo A uma força com módulo F direção horizontal e sentido da esquerda para direita Logo a força Normal não pode ser a reação da força Peso pois elas atuam sobre o mesmo corpo e sua direção e módulo não são necessariamente iguais 26 equação do movimento coordenadaS carteSianaS Como a equação do movimento é uma equação vetorial precisamos determinar o sistema de coordenas para a análise do movimento da partícula Nessa disciplina utilizaremos o sistema de coordena retangular O sistema de coordenada retangular é um sistema fixo com três direções ortogonais que chamaremos de x y e z A direções x y e z serão representadas pelo versores Assim podemos escrever a equação do movimento da seguinte forma Uma vantagem em se usar um sistema de coordenada retangular é o fato de que suas componentes são independentes ou seja a componente x da aceleração depende exclusivamente da componente x da força resultante assim como as demais componentes Isso nos permite transformar a equação vetorial acima em três equações escares como representado abaixo leitura comPlementar Caro a aluno a com intuito de aprofundar o entendimento das leis de Newton suge rimos a leitura complementar do livrotexto do professor Hugh D Young Curso de Física Básica vol 01 ed Pearson Education do Brasil capítulos 4 e 5 Livro disponível da Biblioteca Virtual da Pearson movimento de PartículaS Sob a ação de forçaS Para determinarmos a velocidade e a trajetória de uma partícula precisamos resolver a equação Em um problema real é preciso conhecer a função força ou seja a expressão matemática que descreve a dependência da força com as variáveis do problema como a posição a velocidade o tempo etc A partir da força determinamos a aceleração e como auxílio das equações da cinemática determinamos a veloci dade e a posição trajetória da partícula Se você caro aluno a entender este ponto já terá ganho o dia 27 exemPlo A caixa mostrada na figura a repousa sobre uma superfície horizontal para a qual o coeficiente de atrito cinético é 03 Se a caixa está sujeita a uma força de 400 N como mostrado determine a velocidade da caixa após 3 s partindo do repouso SOLUÇÃO Podemos utilizar a equação do movimento para determinarmos a aceleração da caixa a partir das forças que agem sobre a caixa e a velocidade da caixa pode então ser determinada utilizandose a cinemática Diagrama de corpo livre A construção do diagrama de corpo livre é uma etapa essencial para resoluções de problema de cinética O diagramada consiste em desenhar o contorno do corpo analisado sem as informações ao seu redor e sem riqueza de detalhes indicando todas as forças que atuam no corpo como respectivos valores e dire ções ver figura b O peso da caixa é P mg 50981 4095 N A força de atrito tem uma intensidade Fat µcNc e atua para a esquerda visto que ela se opõe ao movimento da caixa Como a componente da vertical da força F é menor que o peso da caixa a aceleração da caixa será na direção horizontal positiva Temos duas incógnitas a saber Nc e a Equação do movimento Utilizando os dados do diagramada de corpo livre Solucionando a equação 2 para Nc e substituindo o resultado na equação 1 obtemos 28 Cinemática Como a aceleração é constante podemos utilizar a equação horárias do MRUV para determinarmos a velocidade em t 3s Observe que a velocidade inicial é 0 pois a partícula parte do repouso assim temos v v0 at v 0 51853 v 156 ms exemPlo Um projétil de 10 kg é disparado para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de 50 ms Deter mine a altura máxima que ele atingirá se a resistência atmosférica for medida como FD 000v² N onde v é a velocidade escalar do projétil a qualquer instante medida em ms Solução Diagrama de corpo livre Além da força peso a força FD também tende a retardar o movimento para cima do projétil elas atuam para baixo como mostra o diagramada de corpo livre Equação do movimento 29 Cinemática Aqui a aceleração não é constante visto que FD depende da velocidade Como podemos relacionar a aceleração à posição utilizando Separando as variáveis e integrando percebemos que z0 0 v0 50 ms positivo para cima e em z h v 0 temos PalavraS do ProfeSSor Finalizamos o nosso primeiro encontro e espero que você tenha aproveitado todas as informações aqui apresentadas com muita responsabilidade Em breve teremos outro momento para aprendermos muitos conteúdos importantes para sua formação Até o próximo encontro