Tópicos Integradores I - Unidade III: Colisões e Rotação

UNIDADE III Tópicos Intregradores I Engenharias 2 Sumário ColiSõeS 3 Colisões e a conservação do momento linear 3 Colisões e a conservação da energia cinética 3 Colisões Perfeitamente inelásticas 4 movimento de rotação com aceleração constante 12 energia cinética de rotação 15 momento de inercia para um corpo rígido 16 Teorema dos eixos paralelos 18 TorQue 18 A SegundA lei de newTon PArA A roTAção 19 1 Todos os direitos reservados Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito do Grupo Ser Educacional Edição revisão e diagramação Equipe de Desenvolvimento de Material Didático EaD Junior Elias Arcanjo da Silva Tópicos Integradores I Engenharia Unidade 3 Recife Grupo Ser Educacional 2019 Grupo Ser Educacional Rua Treze de Maio 254 Santo Amaro CEP 50100160 Recife PE PABX 81 34134611 2 TÓPiCoS inTegrAdoreS i engenHAriAS unidAde 3 PArA iníCio de ConverSA Olá meu querido a aluno a Chegamos a terceira unidade da disciplina de tópicos integradores I Espero que esteja tendo uma experiência gratificante com a busca de novos conhecimentos Preparado a para iniciar mais uma etapa dessa jornada Acredito que sim orienTAçõeS dA diSCiPlinA Bemvindo a ao guia de estudo da terceira unidade da disciplina tópico integradores da sua graduação a distância EAD A finalidade deste guia de estudos é facilitar sua compreensão dos assuntos que compõem essa importante disciplina de seu curso de graduação Iniciaremos esta unidade com o estudo das colisões que representa uma aplicação da lei da conservação do momento linear que estudamos na unidade II Se você julgar necessário antes que começar a leitura deste guia faça uma pequena revisão da Lei de conservação do momento Nesta unidade também iniciaremos o estudo dos corpos sólidos ou corpos rígidos com a análise do movimento de rotação do corpo sólido em torno de um eixo fixo Definiremos a posição a velocidade e aceleração para o movimento de rotação assim como fizemos para o movimento de translação Na sequência definiremos uma importante grandeza física na análise de estruturas em equilíbrio o torque O torque no movimento de rotação é o análogo a força para o movimento de translação Lembrese Após o término de cada unidade realize as atividades avaliativas que estão disponibilizadas no Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA Caso tenha alguma dúvida consulte o seu tutor Ele está à sua disposição para ajudálo a no que for necessário Vamos começar Bons estudos 3 ColiSõeS Nessa seção concentraremos nossa atenção ao estudo das colisões Vamos iniciar Colisões e a conservação do momento linear Imagine duas partículas com velocidades opostas e aptas a realizarem uma colisão frontal No momento do choque a partícula 1 exerce uma força de contato sobre a partícula 2 durante um determinado instante de tempo t e pela terceira lei de Newton a partícula 2 também exerce a mesma força sobre a partícula 1 no mesmo intervalo de tempo Assim o impulso aplicado de uma partícula sobre a outra é igual em módulo porém em sentidos opostos Assumindo que a colisão acontece em uma dimensão dispensamos a notação vetorial Assim I12 I21 em que I12 é o impulso da partícula 1 sobre a partícula 2 e I21 é o impulso da partícula 2 sobre a partícula 1 Por meio do princípio da conservação do momento linear temos A equação acima mostra que a soma de todos os momentos antes da colisão é igual à soma de todos os momentos após a colisão Como não há aplicação de forças externas o momento linear é conservado pois as forças responsáveis pelo impulso são forças internas FiCA A diCA Na colisão entre dois carros só poderemos aplicar a conservação do momento linear para determinar o movimento imediatamente antes ou o movimento imediatamente depois da colisão se os freios não foram acionados ou seja se não existir uma força resultante externa diferente de zero Colisões e a conservação da energia cinética Para estudar e classificar as colisões é importante entender a energia cinética do sistema antes e após a colisão A energia cinética é a energia associada ao movimento de um corpo e matematicamente é dada pela equação 4 em que K é a energia cinética m é a massa do corpo e v é sua velocidade A energia cinética é dada em joule J sendo 1 J 1 kg m2 s2 Observe que a energia cinética é nula quando o corpo está parado v 0 Em um sistema conservativo a energia cinética é a mesma antes e após a colisão Combinando a de finição do momento linear p mv com a equação 40 a energia cinética pode também ser escrita como PArA reFleTir Vamos refletir sobre isso a partir do cotidiano suponha que após uma colisão frontal dois veículos parem subitamente Considerando que ambos estivessem com energia cinética antes da colisão essa energia foi convertida em outras formas de energia por exemplo energia térmica gerada pelo aquecimento da superfície de contato com os pneus durante a frenagem Nos casos em que há perda de energia cinética após uma colisão temos uma colisão inelástica Nos casos em que a perda de energia cinética é máxima temos uma colisão perfeitamente inelástica Agora imagine uma colisão frontal entre duas bolas num jogo de bilhar Durante a colisão a energia cinética é convertida em energia potencial elástica devido à deformação das bolas As bolas de bilhar são feitas de um material que reproduz uma mola durante a colisão Essa energia potencial elástica é convertida novamente em energia cinética e as bolas dão continuidade a seus movimentos Porém no instante da colisão há conversão de energia cinética em energia sonora mas em quantidade tão mínima que podemos desprezar essa perda Logo a energia cinética antes e após a colisão é conservada Esse tipo de colisão é classificado como colisão elástica Pelo teorema do trabalho e da energia cinética W K sabemos que o trabalho total realizado é zero para um sistema isolado Assim Colisões Perfeitamente inelásticas Como vimos na seção anterior em uma colisão perfeitamente inelástica a perda de energia cinética é máxima mas o momento linear é conservado Assim considerando uma colisão perfeitamente inelástica entre duas partículas 1 e 2 podemos escrever que 5 Como numa colisão perfeitamente inelástica os corpos permanecem juntos podemos reescrever a equa ção acima como Assim podemos afirmar que a velocidade final velocidade após a colisão é a média ponderada das ve locidades iniciais das partículas Colisão Elástica Na colisão elástica o momento linear e a energia cinética são conservadas Assim podemos escrever as seguintes equações para a colisão de duas partículas 1 e 2 Esses dois resultados nos permitem realizar análises muito interessantes sobre colisões elásticas unidi mensionais Vamos supor inicialmente que as partículas têm massas iguais m m1 m2 Assim e o que indica que a velocidade final da partícula 1 é igual a velocidade inicial da partícula 2 e a velocidade final da partícula 2 é igual a velocidade final para partícula 1 Ainda analisando uma colisão elástica se considerarmos que a partícula 2 está parada partícula alvo podemos considerar três situações i m1 m2 ii m1 m2 e iii m1 m2 6 Na situação i o que indica que a partícula alvo que inicialmente estava parada se move com a velocidade inicial da partícula 1 e a velocidade final da partícula 1 será 0 ou seja a velocidade inicial para partícula 2 partí cula alvo Você poderá observar esse fenômeno no brinquedo chamado pêndulo de Newton No caso ii m1 m2 podemos considerar que m1 m2 m2 e m1 m2 m2 e assim teremos o que indica que a velocidade final da partícula 1 será igual a velocidade inicial da partícula 1 com o sen tido contrário E a velocidade final da partícula 2 terá o mesmo sentido da velocidade inicial da partícula 1 mais com um valor muito pequeno pois sua velocidade é proporcional a sendo m2 m1 Para ilustrar essa situação você pode imaginar uma bola dente de leite colidindo com uma bola de boliche inicial mente parada A bola dente de leite após a colisão se deslocará no sentido oposto ao movimento inicial e a bola de boliche sofrerá um pequeno deslocamento no sentido do movimento inicial da bola dente de leite A bola de boliche sofrerá apelas um pequeno deslocamento devido ao atrito da bola com o solo numa situação ideal sem atrito a bola teria uma velocidade pequena mas constante após a colisão No caso iii m1 m2 podemos considerar que m1 m2 m1 e m1 m2 m1 e assim teremos 7 o que indica que a velocidade módulo e sentido da partícula 1 não será alterada e a partícula dois que inicialmente estava parava começa a se mover com uma velocidade igual a dobro da velocidade inicial da partícula 1 Você agora pode ilustrar essa situação jogando uma bola de boliche em uma bola bico de leite incialmente parada Após a colisão a bola bico de leite é impulsionada com uma velocidade igual ao dobro da velocidade da bola de boliche antes da colisão E a bola de boliche continua seu movimento com a mesma velocidade e no mesmo sentido PrATiCAndo EXEMPLO 1 O vagão de carga A de 15000 kg está se movendo a 15 ms sobre os trilhos horizontais quando encontra um vagãotanque B de 12000 kg que está se movendo em sua direção a 075 ms como mostra figura Se os vagões colidirem e se acoplarem determine a a velocidade de ambos os vagões logo após o acoplamento b a força média entre eles se o acoplamento acontecer em 08 s SOLUÇÃO Diagrama de corpo livre Nesse caso consideraremos os vagões como um único sistema Como F é uma força interna o momento linear do sistema é conservado Supõese que os dois vagões quando acoplados movamse a v2 na di reção x Conservação do momento linear Força F A força média de acoplamento Fmédia pode ser determinada ao se aplicar o princípio da quantidade de movimento linear a qualquer um dos vagões Como mostra a figura c ao se isolar o vagão de carga a força de acoplamento será externa ao vagão 8 Princípio do impulso SOLUÇÃO Os carros batebate a e B na figura têm cada um massa de 150 kg e estão se movendo às velocidades mostradas antes de colidirem de frente livremente Se nenhuma energia é perdida durante a colisão determine suas velocidades após a colisão SOLUÇÃO Os carros serão considerados um sistema único O diagrama de corpo livre é mostrado na figura b Conservação do momento linear Conservação da energia Visto que nenhuma energia é perdida o teorema da conservação da energia produz 9 Substituindose a Equação 1 na 2 e simplificando obtemos Resolvendo para as duas raízes Rotação Nesse momento iremos estudar o movimento de rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo ver figura 3 Para análise do movimento precisamos definir o sistema de coordenadas fixas uma linha de referência e o eixo de rotação com o intuito de definirmos as grandezas angulares deslocamento velocidade e aceleração Vamos considerar o eixo z como o eixo em torno do qual o corpo rígido executará o seu movimento Por conversão o sentido antihorário será considerado como o movimento positivo É importante que você observe que ao girar o corpo rígido o ponto P e todos os demais que formam o corpo rígido descreve trajetórias circulares com o centro sobre o eixo z e descrevem o mesmo deslocamento angular 10 Posição angular Assim como fizemos no movimento de translação precisamos iniciar o estudo do movimento de rotação definindo a posição do objeto Na realidade precisaremos escolher um ponto pertencente ao corpo rígido para analisar o seu movimento Se utilizamos o sistema de coordenada x0y o movimento do ponto P ponto pertencente ao corpo rígido poderá ser definido por meio das variáveis x e y Isso resultará em dois problemas o primeiro resultado do fato que precisaremos da informação de dois valores numéricos x e y para definir a posição e o segundo resultado do fato que pontos distintos pertencentes ao corpo rígido realizará deslocamentos x e y diferentes do deslocamento realizado pelo ponto P Isso implica que cada ponto pertencente ao corpo rígido terá uma velocidade escalar diferente e uma aceleração diferente Assim surge a pergunta como estudar o movimento de rotação do corpo rígido se os diversos pontos que o formam possuem deslocamentos x e y diferentes Para resolvermos esse problema iremos considerar o segmento OP da figura 4 Observe que durante o movimento de rotação podemos localizar o ponto P apenas com ângulo Ɵ no sistema de coordenadas x0y Além disso durante o movimento do corpo rígido todos os pontos pertencentes a ele sofrerão o mesmo deslocamento angular Ɵ Assim o ângulo que a linha OP faz com a linha OX é denominado de posição angular Quando o corpo gira no sentido antihorário adotamos o deslocamento positivo quando o movimento de rotação ocorre no sentido horário o deslocamento é negativo Podemos expressar a medida da posição angular Ɵ em radianos rad ou em graus No Sistema Internacional de Unidade SI adotamos o radiano como a unidade suplementar utilizada para expressar a medida em ângulo Fique atento O radiano 1 rad é o ângulo cujo comprimento do arco S associado a ele é igual a medida do raio R da circunferência considerada ver figura 5 De forma geral podemos determinar o ângulo Ɵ por meio da equação 11 No movimento de rotação ao se girar de um ponto 1 até um ponto 2 o corpo rígido sofrerá um desloca mento angular em radianos num intervalo de tempo dado por em que ele será positivo no sentido antihorário e negativo no sentido horário Assim podemos determinar a velocidade angular média como a razão entre o deslocamento angular e o intervalo de tempo necessário para percorrêlo ou seja PrATiCAndo EXEMPLO 3 Um disco gira com aceleração angular ωt 6t² 2t em que t está em segundos e ω está em radianos por segundo No instante t 0 uma reta de referência traçada no disco está na posição angular θ 5 rad a Obtenha uma expressão para a aceleração angular do pião αt ou seja escreva uma expressão que descreva explicitamente a variação da aceleração an gular com o tempo b Obtenha uma expressão para a posição angular do pião θt 12 c Determine a posição a velocidade angular e a aceleração angular em t 2 s SOLUÇÃO movimento de rotação com aceleração constante Caro a aluno a se você percebeu estamos repetindo os passos desenvolvidos na unidade I onde defini mos posição velocidade e aceleração para o movimento de translação A grande diferença é que estamos estudando a cinemática da rotação Nesse momento iremos desenvolver as equações da velocidade angular e da posição angular para o movimento de rotação com a aceleração constante Da definição da aceleração angular temos 13 Relação entre a cinemática angular e a cinemática escalar Como já discutimos os pontos que formam um corpo rígido possuem velocidades lineares diferentes uns dos outros mas possuem a mesma velocidade angular Por esse motivo é mais conveniente descrever o movimento circular em termos das grandezas angulares 14 Nesse momento mostraremos a relação entre as grandezas angulares e as grandezas lineares e justi ficaremos o porquê do uso da unidade radianos e não da unidade graus nas grandezas angulares Para isso analisaremos o movimento do corpo rígido que gira em torno do eixo fixo perpendicular ao plano xy com velocidade angular Todos os pontos pertencente ao corpo rígido possuem a mesma velocidade angular porém a velocidade linear difere Podemos ainda de forma intuitiva afirmar que quando mais distante o ponto está do eixo de rotação maior é sua velocidade linear figura 5 Analisando o pondo P podemos observar que ele descreve uma trajetória circular de raio r e que ao se deslocar de um ângulo em radianos ele sobre um deslocamento escalar s dado pelo comprimento do arco da circunferência de raio r Da definição do ângulo em radianos podemos relacionar esses dois deslocamentos da seguinte forma Ou Dessa forma o deslocamento escalar de cada ponto é determinado multiplicando o deslocamento angular pela distância do ponto a eixo de rotação Agora vamos derivar a equação acima Como é constante podemos escrever Observe que o lado esquerdo da equação acima é a velocidade escalar e a derivada do lado direito da equação a velocidade angular assim temos que Como a velocidade angular de cada ponto de um corpo rígido é igual podemos concluir que a velocidade linear de cada ponto é diretamente proporcional ao raio r ou seja quanto maior a distância do ponto ao eixo de rotação maior a velocidade escalar Agora vamos derivar com relação ao tempo a equação da velocidade Novamente como r é constante podemos escrever A derivada do lado esquerdo representa a aceleração tangencial e a derivada do lado direito a aceleração angular assim podemos escrever 15 Esse resultado expressa apenas parte da aceleração linear e corresponde à variação do módulo da velo cidade linear que é tangente à trajetória do ponto P conforme a figura Como o movimento do ponto material P descreve uma trajetória circular há também uma componente radial da aceleração linear dirigida ao centro da trajetória Essa parte da aceleração é responsável pela variação do módulo da velocidade linear e seu módulo é dado por De forma vetorial podemos escrever a aceleração linear como uma soma da aceleração tangencial mais a aceleração radial ou centrípeta matematicamente temos Tenha cuidado na hora de determinar o módulo da aceleração linear pois temos a soma de dois vetores ortogonais Assim o módulo da aceleração linear é dado por Ou ainda Caro a aluno a veja que o uso do ângulo em radianos nos possibilita uma forma simples e rápida de transformar as unidades escalares em unidades angulares energia cinética de rotação Durante a rotação de um corpo rígido cada partícula que compõe o corpo gira em torno do eixo fixo com a mesma velocidade angular A energia cinética da i ésima partícula durante a rotação é dada pela equa ção em que representam a velocidade e a massa da i ésima partícula respectivamente Assim a energia cinética total de um corpo rígido pode ser calculada somando as energias cinéticas de todas as n partículas existentes 16 em que a velocidade da i ésima partícula está associada com sua posição radial em relação ao eixo de rotação por meio da equação Portanto O termo entre parênteses na equação acima é chamado de momento de inércia dado no Sistema Internacional de Unidades SI em kgm² Essa grandeza representa a resistência de um corpo à variação de sua velocidade angular Assim momento de inercia para um corpo rígido Para uma distribuição contínua de massa vamos supor que uma pequena variação de massa proporcio nará uma pequena variação no momento de inércia em que R é a posição do elemento de massa em relação ao eixo de rotação do corpo rígido Neste guia de estudo trabalharemos apenas com corpos com distribuição uniforme de massa Isso significa que a densidade de massa é constante Chamando a densidade volumétrica de massa como podemos reescrever o momento de inércia como em que R é a posição do elemento de volume em relação ao eixo de rotação do corpo rígido Este elemento de volume contém uma quantidade infinitesimal de massa Observe que esta última integral é uma integral de volume Como a densidade volumétrica de massa é constante podemos escre ver também em que M e V representam a massa e o volume total do corpo Assim o momento de inércia fica escrito como 17 A equação anterior mostra que numa distribuição uniforme de massa o momento de inércia depende diretamente da sua forma geométrica A Tabela 31 indica os momentos de inércia de algumas formas geométricas comuns Os resultados apresentados mostram os momentos de inércia com o eixo de rotação passando pelo centro de massa desses sólidos FiQue ATenTo O momento de inércia de um corpo depende do eixo de rotação As equações para o cálculo do momento de inércia apresentados na Tabela 31 são os menores valores possíveis para esta grandeza Qualquer momento de inércia é calculado em um eixo diferente do apresentado nesta tabela e resultará em mo mentos de inércia maiores 18 Teorema dos eixos paralelos Os momentos de inércia calculados na seção anterior são relativos ao eixo de rotação passando pelo cen tro de massa Porém há casos em que o eixo de rotação não passa pelo centro de massa Nesta situação devemos utilizar o teorema dos eixos paralelos Assim se já conhecemos o momento de inércia com relação ao centro de massa o momento de inercia do corpo com relação a um eixo PARALELO ao eixo que passa pelo centro de massa e separado por uma distância é dado por onde é a massa do corpo e é a distância entre os eixos TorQue 19 FiQue ATenTo O torque obedece ao princípio de superposição Quando vários torques atuam sobre um corpo o torque total ou torque resultante é a soma vetorial dos torques O símbolo de torque resultante é A SegundA lei de newTon PArA A roTAção Vamos analisar o movimento da partícula de massa da figura 7 Observe que a partícula está presa a uma barra de massa desprezível cujo movimento está limitado a rotação em torno do eixo O 20 exemPlo EXEMPLO 5 A figura abaixo mostra um disco homogêneo de massa M 25 kg e raio R 20 cm monta do em um eixo horizontal fixo Um bloco de massa m 12 kg está pendurado por uma corda de massa desprezível enrolada na borda do disco Determine a aceleração do bloco em queda a tração da corda a aceleração angular do disco e a energia cinética do disco no instante t 2s A corda não escorrega e o atrito no eixo é desprezível Figura 2 Solução Precisamos em primeiro lugar desenhar os diagramas de corpo livre do bloco e do disco Como as dimen sões do bloco não são importantes o representaremos como uma partícula Assim podemos relacionar a aceleração e às forças que agem sobre o bloco por meio da segunda lei de Newton da seguinte forma Já no disco iremos relacionar a aceleração angular α ao torque que age sobre ele por meio da segunda lei de Newton para rotações Assim podemos escrever Para relacionar as duas equações usamos o fato de que a aceleração linear do bloco e a aceleração linear tangencial da borda do disco são iguais matematicamente podemos escrever 21 Substituindo a equação 4 na equação 1 temos Podemos usar o resultado da aceleração para calcular a Tração na corda e a aceleração angular do dis co Observe que a aceleração do bloco foi menor que a aceleração da gravidade como era de se esperar Se a corda for cortada a aceleração do bloco seria ou seja a aceleração da gravidade A energia cinética de rotação é dada pela equação mas precisamos primeiro determinar a velocidade angular do disco em t 2s e o momento de inércia do disco Como o movimento possui acele ração angular constante podemos utilizar a equação horária da velocidade para o movimento de rotação ou seja Assim 22 PAlAvrAS do ProFeSSor Então querido a estudante chegamos ao final de mais um encontro de sua disciplina Espero que esteja aproveitando cada informação passada aqui em seu material de es tudo pois é um momento único para nossos estudos e principalmente para sua carreira acadêmica Nos veremos em breve na sua quarta e última unidade Não esqueça de realizar suas atividades e caso precise de ajuda sinalize a seu tutor ele vai te ajudar no que for preciso Até o nosso próximo encontro