Definição de Ínfimo e Supremo em Conjuntos Limitados

535 Definição Seja Y K um conjunto limitado superiormente Um elemento a K é dito ínfimo de Y se valem 11 Para qualquer y Y temse y b 12 Se c K e c y y Y então c a Em outras palavras dizse que o ínfimo de Y é a maior das cotas inferiores de Y Denotase a inf Y Observação 2 Veja que dado um número positivo e muito pequeno temse a inf Y y Y a y y Y a y ε A seguir uma visualização geométrica desta caracterização do supremo O supremo e o ínfimo de um conjunto X são sempre elementos de X Não Já sabemos que o supremo e o ínfimo de X podem pertencer ou não pertencer a X 536 Exemplos i X 2 5 7 9 sup X 9 e inf X 2 Nota Observe que neste caso o supremo de X é o elemento máximo de X e o ínfimo de X é seu elemento mínimo Sempre que um conjunto X tem elemento máximo esse elemento é o supremo De forma análoga sempre que X tem elemento mínimo esse elemento é o ínfimo ii Y 2 4 6 8 inf Y 2 mas sup Y já que o mesmo é limitado superiormente iii Z 1 2 3 4 5 N Logo inf Z 1 e sup Z 0 Note que neste caso o supremo não pertence ao conjunto analisado iv W 1 12 13 14 Facilmente se pode visualizar que sup W 1 Qual o ínfimo de W Um bom candidato é o zero De fato 11 n N tal que 1n 0 ou seja 0 é cota inferior de W 12 Pela item iii da Proposição 423 𝑒 N 0 𝑒 ou seja 0 é a maior das cotas inferiores Portanto inf W 0 Note que neste caso o ínfimo não pertence ao conjunto analisado Nos exemplos acima supremo eou ínfimo não pertencem ao conjunto Porém em todos os exemplos o supremo e o ínfimo eram números racionais Esta observação induz a uma pergunta Todo subconjunto limitado de números racionais possui supremo ou ínfimo em ℚ Não Existem subconjuntos limitados de números racionais cujo supremo não é um número racional Para provar esta afirmação se faz necessária o resultado a seguir que é uma descoberta dos pitagóricos