Supremo e Infimo em Corpos K - Definições e Exemplos

53 Supremo e Ínfimo em subconjuntos de um corpo K Os conceitos de supremo e ínfimo são similares Para conjuntos limitados temse a seguinte definição 531 Definição Seja X um subconjunto de um corpo K Dizse que X é um conjunto limitado i se X é limitado superior e inferiormente ii superiormente se b K tal que x b para todo x X Neste caso X b e b é chamado uma cota superior de X iii inferiormente se a K tal que x a para todo x X Nesse caso X a e a é chamado uma cota inferior de X X é limitado a b K tais que X a b 532 Exemplos Verificar quais dos seguintes conjuntos são limitados inferiormente eou superiormente X 1 3 5 7 Z 3n n N Y 1n n N Solução i 1 é uma cota inferior de X Logo X é limitado inferiormente Além disso 7 é uma cota superior de X Logo X é limitado superiormente Portanto X é um conjunto limitado ii Z 3 6 9 12 3n Odete Amanda UCSal 20231 Ou seja 3 é uma cota superior de Z Logo Z é limitado superiormente O conjunto Z não tem cota inferior Ele não é limitado inferiormente Portanto o conjunto Z não é limitado iii Y 1 12 13 14 15 1n Veja que 0 1n 1 n N Logo X é um conjunto limitado pois 0 é uma cota inferior e 1 é uma cota superior 533 Proposição Em um corpo K são equivalentes i O conjunto dos números naturais não é limitado superiormente ii Dados a b K a 0 n N tal que an b iii Dado qualquer a 0 n N tal que 0 1n a Prova i ii Sejam a b N a 0 Como N não é limitado superiormente n N tal que n ba Segue que an b ii iii Em ii tomando a 0 e b 1 temse que n N tal que an b Logo 1n a iii i Seja b K b 0 Então 1b 0 Por iii n N tal que 1n 1b Logo n b 534 Definição Seja X K um conjunto limitado superiormente Um elemento b K é dito supremo de X se valem S1 Para qualquer x X temse x b S2 Se c K e x c x X então b c Em outras palavras dizse que o supremo de X é a menor das cotas superiores de X Denotase b sup X Observação 1 Veja que dado um número positivo ε muito pequeno temse b sup X v X x b v 0 x X b ε x b A seguir uma visualização geométrica desta caracterização do supremo Odete Amanda UCSal 20231