Conceitos de Supremo e Ínfimo em Conjuntos Limitados

53 Supremo e ínfimo em subconjuntos de um corpo K Os conceitos de supremo e ínfimo são similares Para conjuntos limitados temse a seguinte definição 531 Definição Seja X um subconjunto de um corpo K Dizse que X é um conjunto limitado i X é limitado superiormente e se b K tal que x X Neste caso X a b e b é chamado uma cota superior de X iii X é inferiormente e se a K tal que x X Neste caso X a e a é chamado uma cota inferior de X 532 Exemplos Verificar quais dos seguintes conjuntos são limitados inferiormente eou superiormente X 1 3 5 7 Z 3 n N Y 1 n n N Solução i 1 é uma cota inferior de X Logo X é limitado inferiormente Além disso 7 é uma cota superior de X Logo X é limitado superiormente Portanto X é um conjunto limitado ii Z 36912 3n Ou seja 3 é uma cota superior de Z Logo Z é limitado superiormente O conjunto Z não tem cota inferior Ele não é limitado inferiormente Portanto o conjunto Z não é limitado iii Y 1 1 2 1 3 Veja que 0 1 n N Logo X é um conjunto limitado pois 0 é uma cota inferior e 1 é uma cota superior 533 Proposição Em um corpo K são equivalentes i O conjunto dos números naturais não é limitado superiormente ii Dados a b K a b 0 a N tal que a b iii Dado qualquer a 0 n N tal que 0 n a Prova i ii Seja a b N a 0 Como N não é limitado superiormente n N tal que n b Segue que a b ii iii Em ii tornando a 0 em t 1 emse que n N tal que a b Logo 1 a iii i Seja b b 0 Então b 0 Por iii a N tal que a 12 Logo n b nenhum elemento de K é cota superior de N 534 Definição Seja X K um conjunto limitado superiormente Um elemento b K é dito supremo de X se valem S1 Para qualquer e X temse x b S2 Se e K sc x X então sc Em outras palavras dizse que o supremo de X é menor das cotas superiores de X Denotase b sup X Observação 1 Veja que dado um número positivo e muito pequeno temse b sup X b sup x X 0 x b A seguir uma visualização geométrica desta caracterização do supremo x X bε b X X K