Atividade de Calculo 3

TRABALHO DEPENDÊNCIA DE INVERNO CÁLCULO III NOME RA NOTA 1 valor 20 pontos Determine os valores de máximo e mínimo ou pontos de sela da função descrita por 2 valor 20 pontos Determine o volume do sólido abaixo do paraboloide e acima da região delimitada por e 3 valor 20 pontos Calcule a integral iterada 4 valor 20 pontos Calcule a integral de linha ao longo do caminho e 5 valor 20 pontos Calcule a integral de linha onde a curva C é dada C FÓRMULAS 1 n n n x dx x d 1 1 1 n C n x dx x n n 1 1 1 n C n x dx x n n C x senx dx cos C senx cos x dx NOME BERNARDO MADEIRA DA SILVA MATRÍCULA 1911628 1 PRIMEIRO VAMOS ENCONTRAR AS DERIVADAS PARCIAIS DE fxy fx x 2x3 xy2 5x2 y2 6x2 y2 10x fy y 2x3 xy2 5x2 y2 2xy 2y IGUALANDO AS EXPRESSÕES ACIMA A ZERO 6x2 y2 10x 0 2xy 2y 0 DA SEGUNDA EQUAÇÃO y2x 2 0 y 0 2x 2 0 x 1 SUBSTITUINDO y 0 NA PRIMEIRA EQUAÇÃO 6x2 02 10x 0 6x2 10x 0 x6x 10 0 x 0 6x 10 0 x 106 53 ENTÃO AQUI PODEMOS DIZER QUE 00 E 530 SÃO PONTOS CRÍTICOS SUBSTITUINDO x 1 NA PRIMEIRA EQUAÇÃO 6 12 y2 101 0 6 y2 10 0 y2 4 y 2 ENTÃO TEMOS OUTROS DOIS PONTOS CRÍTICOS 1 2 E 1 2 PARA SABER SE SÃO MÁXIMOS MÍNIMOS OU PONTOS DE SELA VAMOS ANALISAR A SEGUNDA DERIVADA DE fxy 2fx2 x 6x2 y2 10x 12x 10 2fy2 y 2xy 2y 2x 2 2fxy 2fyx x 2xy 2y 2y ANALISANDO O DETERMINANTE HESSIANO H 2fx2 2fy2 2fxy2 12x 102x 2 2y2 H 24x2 24x 20x 20 4y2 24x2 4y2 44x 20 PARA 00 H00 2402 402 440 20 20 0 MÍNIMO LOCAL H53 0 24532 402 4453 20 403 MÁXIMO LOCAL PARA 1 2 H1 2 2412 422 441 20 0 PONTO DE SELA PARA 1 2 H1 2 2412 422 441 20 0 PONTO DE SELA RESUMINDO MÁXIMO LOCAL 53 0 MÍNIMO LOCAL 0 0 PONTOS DE SELA 1 2 E 1 2 2 PRIMEIRO VAMOS IGUALAR y x E x y2 y y2 y y y x y x y2 2y 0 0 x x 2 yy 2 0 ENTÃO A INTERSEÇÃO OCORRE EM 0 0 E 2 2 y 0 y 2 FAZENDO UM ESBOÇO DO GRÁFICO LOGO O INTERVALO EM y É 0 y 2 E EM x É y2 y x y ASSIM PODEMOS MONTAR A INTEGRAL DUPLA ₀² y² yy 3x² y² dx dy ₀² x³ xy²y² yy dy ₀² y³ y y² y² y3 y² yy² dy ₀² y6 3y5 4y4 4y³ dy y77 3y66 4y55 4y440² y77 y62 4y55 y40² 277 262 4 255 24 14435 3 CALCULANDO ₀π2 ₀y ₀x cosx y 3 dz dx dy DE FORMA ITERADA ₀π2 ₀y senx y 30x dx dy ₀π2 ₀y sen2x y senx y dx dy ₀π2 12 cos2x y cosx y0y dy ₀π2 12 cos3y cos2y 12 cos y dy 123 sen3y0π2 12 sen2y0π2 12 sen y0π 16 sen 3π2 sen 0 12 sen π sen 0 12 sen π2 sen 0 16 12 13 PARAMETRIZANDO O CAMINHO C1 C1 t 1 2 1 t 2t t 0 t 1 PARAMETRIZANDO O CAMINHO C2 C2 3 2 0 t 1 2 1 t 3t 2t 0 t 2t t 1 2 1 C2 2t 0 t 1 2 1 C2 2t1 2 t1 0 t 1 CALCULANDO AS DERIVADAS DESSES CAMINHOS dc1dt 1 2 1 dx dt dy 2 dt dz dt dc2dt 2 0 1 dx 2 dt dy 0 dz dt SUBSTITUINDO NA INTEGRAL PARA C1 c x2 dx y2 dy z2 dz c x2 y2 z2 dx dy dz 01 t2 4t2 t2 dt 2 dt dt 01 t2 4t2 t2 1 2 1 dt 01 t2 8 t2 t2 dt 01 8 t2 dt 8 t3301 8 1 3 83 SUBSTITUINDO NA INTEGRAL PARA C2 01 2t12 22 t12 2 0 1 dt 01 4 t2 4 t 1 4 t2 2t 12 2 0 1 dt 01 8 t2 0 12 t2 2 t 1 dt 01 9 t2 6 3 dt 9 t3301 6 t2201 3 t01 9 1 3 6 1 2 3 1 3 3 3 9 C1 C2 83 9 83 273 353 ENTÃO O RESULTADO DA INTEGRAL DE LINHA É 353 ESSA INTEGRAL DE LINHA É ESCALAR E ds sqrtdxdt2 dydt2 dzdt2 dxdt ddt 4 sin t 4 cos t dydt ddt 4 cos t 4 sin t dzdt ddt 3 t 3 SUBSTITUINDO ds sqrt4 cos t2 4 sin t2 32 dt ds sqrt16 cos2 t 16 sin2 t 9 dt como sin2 t cos2 t 1 ds sqrt16 9 dt sqrt25 dt 5 dt SUBSTITUINDO NA INTEGRAL c x y3 ds 0π2 4 sin t 4 cos t3 5 dt 4 43 5 0π2 sin t cos3 t dt 1280 0π2 sin t cos3 t dt Fazendo a substituição u cos t du sin t dt PARA t 0 cos 0 1 PARA t π2 cos π2 0 1280 10 u3 du 1280 01 u3 du 1280 u4 401 1280 4 320