Cálculo Diferencial e Integral II: Equações Diferenciais - Material Teórico

Cálculo Diferencial e Integral II Equações Diferenciais Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Esp Clovis Jose Serra Damiano Revisão Técnica Profª Me Edmila Montezani Revisão Textual Profª Esp Márcia Ota 5 Vamos iniciar os nossos estudos abordando sobre o assunto equações diferenciais Trata se de um curso de integração só que ao invés de integrarmos uma função iremos integrar uma equação 1 Introdução 2 Definições e Terminologia 3 Problemas do valor inicial 4 Método da Separação de Variáveis Ao terminar essa unidade você deverá ser capaz de identificar e calcular uma equação diferencial pelo método de separação de variáveis Para ajudálo realize a leitura dos textos indicados acompanhe e refaça os exemplos resolvidos Não deixe de assistir também à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos Finalmente e o mais importante fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo de realização e envio Nesta Unidade estudaremos as equações diferenciais Leia com atenção a parte teórica e não deixe de fazer os exercícios propostos que ajudarão você a sedimentar esses novos conhecimentos Organize o seu tempo de estudos e esteja atento aos prazos de entrega das atividades propostas Equações Diferenciais Introdução Classificação das Equações Diferenciais Método da Separação de Variáveis 6 Unidade Equações Diferenciais Contextualização A Lei de Torricelli diz que se drenarmos um tanque como o da figura 1 a taxa em que a água sai é uma constante vezes a raiz quadrada da profundidade da água x A constante dependerá do tamanho do buraco da drenagem No exemplo vou assumir que o valor da constante seja 1 2 Figura 1 Um tanque na forma de um cilindro circular reto cujo raio mede 5 pés e sua altura 16 pés que estava inicialmente cheio de água está sendo drenado a uma taxa de 05 x pés3min Determinar a equação diferencial que modela esse fenômeno Expectativa de resposta O aluno deverá chegar na seguinte fórmula 50 0 16 dx x dt x π O problema foi modelado em uma equação diferencial É possível resolvêla pelo método de separação de variáveis 1 2 1 50 x dx dt π Integrase os dois lados 1 2 1 50 x dx dt π 7 O resultado dessas integrações 1 2 50 x t C π Achamos uma solução geral Agora vamos encontrar uma solução particular que atenda à condição inicial 0 16 1 2 16 0 50 8 x C C π Portanto a solução particular é 1 2 1 2 8 4 50 100 t x t ou x π π 8 Unidade Equações Diferenciais Introdução As equações diferenciais modelam os fenômenos físicos e químicos e são uma extensão natural do Cálculo I Vamos pensar em um problema estático com uma variável desconhecida 5 3 P x x Vamos supor que essa equação modelo o preço de uma corrida de táxi Se a bandeirada custa 5 e o preço por quilômetro rodado é 3 podemos calcular quanto pagaremos pela corrida em qualquer tempo desde que tenhamos esses dados Isso é um exemplo de um problema estático Mas nesta unidade iremos estudar quantidades que estão variando com o tempo Derivada por definição é a taxa de variação 0 0 lim f x o x f x x f x x Assim veremos integração só que ao invés de integrarmos uma função iremos integrar uma equação Temos f x dx F x C Com a seguinte propriedade F x f x Em grande parte as leis do universo são descritas como relações de certas quantidades em relação ao tempo Vamos pensar em um problema simples conhecido como modelo de crescimento populacional de Malthus Pt população em tempo t P t k P t taxa de crescimento constante Entendese essa taxa de crescimento constante apenas a diferença entre a natalidade e a mortalidade Portanto 0 P t kP t P t kP t 9 Observe que Pt é uma função desconhecida e também é a variável do problema Estamos em busca de uma solução que se traduz em dizer a cada tempo t qual é a população Para isso é preciso resolver a equação diferencial 0 P t kP t Qual é a função que tem a propriedade de que sua derivada é k vezes ela mesma É a função exponencial portanto uma solução para a equação é kt P t Ce O C é o P0 ou seja indica a população inicial Com isso nós conseguimos modelar o problema Agora é preciso entendêlo Se a taxa de crescimento for maior do que zero a população irá crescer infinitamente Se a taxa de crescimento for menor do que zero significa que a população irá acabar em um determinado tempo Pense no que está escrito Se a taxa de crescimento for positiva significa que o número de nascimentos é maior que o número de mortes Se a taxa de crescimento for negativa implica que morrem mais pessoas do que nascem portanto essa população vai acabar Existem outros modelos de crescimentos populacionais que levam em conta outros fatores externos que torna o problema a ser resolvido mais complexo O foco desta unidade será como resolver algumas equações diferenciais O cálculo já nos ensinou que a derivada de uma função fx é uma outra função encontrada por uma regra apropriada dy f x ou dx Se a função y e01x2 é diferenciável e sua derivada 01 2 02 x y ou dy xe dx Vamos substituir e01x2 pelo símbolo y no lado direito da derivada 02 dy xy dx Suponha que a equação acima seja apresentada a você e te perguntassem Qual é a função representada por y Estamos diante de um problema básico deste curso como resolver essa equação para a desconhecida função yfx Definição Uma equação que contenha as derivadas ou os diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes é chamada de equação diferencial 10 Unidade Equações Diferenciais Classifi cação das Equações Diferenciais Por Tipo Se uma equação contiver somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável independente ela será chamada de equação diferencial ordinária EDO Exemplos 2 2 3 6 0 x dy y e dx d y dy y dx dx Por Ordem A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada na equação 3 2 2 2 2 3 x d d se y y e d gundaor dy dy primeir x dx aor d m dem e Portanto temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem Solução de uma Equação Diferencial Ordinária Toda função β definida em um intervalo I tem pelo menos n derivadas contínuas nesse intervalo as quais quando substituídas em uma equação diferencial ordinária de ordem n reduzem a equação a uma identidade é denominada uma solução da equação diferencial no intervalo Equações Diferenciais de Primeira Ordem e Soluções Uma equação diferencial de primeira ordem é uma equação do tipo dy dx f x y sendo que fxy é uma função de duas variáveis definida em uma região do plano xy É chamada equação de primeira ordem por envolver apenas a primeira derivada dy dx Uma solução da equação dy dx fx y é uma função derivável y yx definida em um intervalo de valores de x possivelmente infinitos tal que 11 d y x f x y x dx A solução geral de uma equação de uma equação diferencial de primeira ordem é uma solução que contém todas as possíveis soluções A solução geral sempre contém a constante arbitrária Em geral uma equação diferencial é aquela que contém uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas Vamos tomar um exemplo Digamos que y seja a função desconhecida de x y xy Uma função f é chamada solução de uma equação diferencial se a equação é satisfeita quando y fxe suas derivadas são substituídas na equação Quando se pede a solução de uma equação diferencial o que se pede são todas as possíveis soluções da equação Algumas delas são muitos mais simples de resolver que aquelas da forma y f x Isso quer dizer qual é a função que quando derivada dá fx Esse caso é simples de resolver bastando achar a primitiva da função Exemplo 5 y x A solução geral é dada por 6 6 x y C Contudo resolver equações diferenciais nem sempre é uma tarefa tão fácil uma vez que não exista uma técnica sistemática que resolva todas as equações diferenciais Quando aplicamos equações diferenciais nem sempre estamos em busca de soluções gerais Em muitos problemas é preciso encontrar uma solução particular que atenda a uma condição do tipo yt0 y0 que é chamada condição inicial Achar uma solução de uma equação diferencial que atenda à condição inicial é chamada de problema do valor inicial Quando se impõe uma condição inicial olhase para uma família de curvassolução e escolhe se uma que passe pelo ponto t0 y0 Isso corresponde à medida do estado de um sistema a um tempo t0 e ao uso do problema do valor inicial para prever o comportamento futuro do sistema Vou deixar um pouco de lado a linguagem formal para que possamos entender melhor esse conceito Para tanto vamos pensar em três questões 12 Unidade Equações Diferenciais 1 O que é uma equação diferencial 2 O que é solução de uma equação diferencial 3 Como se pode resolver equações diferenciais Vamos começar entendendo o que é uma equação 2 6 x Temos uma sentença matemática que declara que se multiplicarmos o número x por 2 obteremos o número 6 A solução dessa equação é encontrar o valor do x que torne a sentença verdadeira Há vários tipos de equação por exemplo 2 1 1 8 2 32 x x As equações que são do tipo 0 y y Temos um exemplo de uma equação diferencial que envolve a derivada e uma função desconhecida e a própria função Achar uma função que torne essa sentença verdadeira é achar a solução de uma equação diferencial O problema consiste em achar uma função que resolva a equação todavia nem sempre encontramos uma única solução Uma equação diferencial poderá ter infinitas soluções O nosso segundo questionamento é o que é solução de uma equação diferencial Portanto vamos resolver alguns exercícios para poder compreendêla Verifique se a função y C3x é solução da equação diferencial y 3y A pergunta a ser feita para resolver o problema é a seguinte Qual é a função cuja derivada é o triplo dela Foi fornecida a função y C3x e queremos saber se ela é solução da equação diferencial Nosso primeiro passo é derivar a função y e usaremos a regra da cadeia 3 3 3 3 3 x x x y Ce y Ce Ce Como y Ce3x então 3 y y Como a derivada de y é igual ao triplo de y concluímos que y Ce3x é solução da equação diferencial y 3y 13 Vamos resolver outro exemplo Veja se a função y Ccosx é solução da equação diferencial y ytgx 0 Vamos seguir os mesmos passos y Ccosx y Csenx Substituindo na ED 0 Csenx Ccosx tgx Lembrese que cos sen x tgx x 0 cos 0 sen x Csenx Ccosx x Csenx Csenx Conclusão yCcosx é solução da equação diferencial y ytgx 0 Existem vários tipos de equações diferenciais e técnicas distintas para resolvêlas Nesta unidade nós vamos trabalhar a técnica conhecida como método da separação de variáveis Antes de iniciar o assunto propriamente dito vamos relembrar Notação de derivadas 2 2 dy y dx d y y dx Suponha que tenhamos a seguinte situação 2 y x Qual é a função que derivada dá 2x Posso escrever da seguinte forma 2 2 dy xdx y x C 14 Unidade Equações Diferenciais Se integrar os dois lados é possível achar o valor de y 2 2 dy x dx dy xdx Portanto achamos uma família de soluções que vão se diferenciar uma das outras conforme a constante arbitrária C assuma valores diferentes Método da Separação de Variáveis p y dy q x dx O processo para a resolução de uma equação diferencial utilizando esse método consiste em 3 passos 1 Separar as variáveis agrupando cada uma delas em um lado da equação 2 Integrar ambos os lados da equação para achar a solução geral 3 Se houver especificada uma condição inicial aplicar para obter uma solução particular do problema Exemplo Ache a solução da equação diferencial y 4xy2 que atenda à condição inicial y0 1 Nosso primeiro passo é colocar a função na notação de Leibniz 2 4 dy xy dx Colocar o que é x de um lado e y do outro 2 4 dy y xdx 15 Próximo passo consiste em integrar os dois lados da função 2 2 1 2 2 4 4 4 1 2 1 2 dy xdx y y dy xdx y x C x C y Multiplicando por 1 2 1 2x C y Essa é a solução geral Temos que buscar agora uma solução específica que atenda à condição inicial 0 1 y Substituindo 2 1 2 0 1 1 1 C C C A solução particular é dada por 2 2 1 2 1 1 2 1 x y x y 16 Unidade Equações Diferenciais Para concluir basta inverter ambos os membros da equação para que y fique em função de x 2 1 2 1 y x Trocando Ideias Achar as soluções de equações diferenciais exige que saibamos derivar e integcrar funções Portanto faça uma revisão desses assuntos Exercício de Aplicação Ache a solução da equação diferencial y 3x2y que atenda à condição inicial y0 3 Vamos começar o exercício seguindo os passos anteriores 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 3 3 3 dy x y dx dy x dx y dy x dx y dy x dx y x ln y C ln y x C Nosso próximo passo é isolar o y Para isso vamos usar a propriedade dos logaritmos log log C B e A C B A lny y 17 Retomando Vou tirar do módulo 3 3 3 loge x C lny x C y x C y e Essa expressão é o mesmo que x3 C y e e Observe que eC é um número uma constante que chamarei de C Portanto a solução geral da ED é 3 x y C e Agora temos que calcular a solução particular que atenda à condição inicial 3 0 0 3 3 y C e Como qualquer número elevado a zero é um 3 C Portanto a solução particular que atende à condição inicial é 3 3 x y e O estudo das equações diferenciais é análogo ao do cálculo integral No cálculo quando computamos uma primitiva ou integral indefinida usamos uma única constante de integração C Da mesma forma quando estivermos resolvendo uma equação diferencial de primeira ordem Fxyy0 obteremos uma solução contendo uma única constante arbitrária Uma solução que contenha uma constante arbitrária representa um conjunto de soluções ou família de soluções Isso significa que uma equação diferencial tem um número infinito de soluções A solução que não depende de parâmetros arbitrários é chamada de solução particular 18 Unidade Equações Diferenciais Frequentemente nos interessamos por problemas em que se busca uma solução que satisfaça a determinadas condições que são chamadas de condições iniciais O assunto relacionado a equações diferenciais é muito extenso portanto vou me fixar na resolução demais alguns exercícios envolvendo a técnica de separação de variáveis Exercícios de Aplicação 1 Resolva 1 x dy ydx 0 Nosso primeiro passo será colocar cada tipo de variável em um membro da equação 1 dy dx y x Separada as variáveis devese integrar ambos os lados da equação 1 1 1 1 1 1 1 1 ln x C ln x C c dy dx y x dy dx y x ln y ln x C y e y e e y x e Como ec é uma constante vou chamála de C 1 y c x 2 Resolva a equação diferencial 2 1 x dy y e dx 19 Primeiro passo separar as variáveis O que é y fica de um lado o que é x fica do outro lado 2 2 1 1 x x dy y e dx dy e dx y Separadas as variáveis vamos integrar ambos os lados da igualdade 2 2 1 1 1 1 tg x x x dy e dx y dy e dx y y e C A equação tg 1 x y e C fornece y como uma função implícita de x Quando 2 2 xe C π π é possível explicitar y como uma função de x calculando a tangente em ambos os lados tgtg 1 x x y tg e C y tg e C 3 Resolva a equação 2 1 1 dx x x y dy Seguindo os mesmos passos começamos separando as variáveis Vou fazer no passo a passo Variável por variável 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y dy dx x x y dy dx x dy x dx y x 20 Unidade Equações Diferenciais Separamos as variáveis Agora temos de integrar cada lado da equação 2 1 1 dy x dx y x Preste atenção Vou reescrever as integrais para facilitar o seu cálculo 2 1 1 1 1 1 1 dy xdx y x tg y x ln x C Vamos ver uma aplicação do que aprendemos A Lei de Torricelli diz que se drenarmos um tanque como o da figura 1 a taxa em que a água sai é uma constante vezes a raiz quadrada da profundidade da água x A constante dependerá do tamanho do buraco da drenagem No exemplo vou assumir que o valor da constante seja 1 2 Figura 1 Um tanque na forma de um cilindro circular reto cujo raio mede 5 pés e sua altura 16 pés que estava inicialmente cheio de água está sendo drenado a uma taxa de 3 05 x pés min Determinar uma fórmula para a profundidade e para a quantidade de água no instante t e determinar qual o tempo necessário para o tanque ser esvaziado 21 Solução O volume de um cilindro reto é dado por 2 V πr h Portanto o volume de água no tanque Figura 1 é 5 2 25 V x x π π Derivando obteremos 25 dV dx dt π dt A taxa de variação do volume em função do tempo é fornecida 05 25 dx x π dt Temos agora o problema do valor inicial ou seja a profundidade da água no instante zero é de dezesseis pés Temos a seguinte situação 50 0 16 dx x dt x π O problema foi modelado em uma equação diferencial É possível resolvêla pelo método de separação de variáveis 1 2 1 50 x dx dt π 22 Unidade Equações Diferenciais Integrase os dois lados 1 2 1 50 x dx dt π O resultado dessas integrações 1 2 50 x t C π Achamos uma solução geral Agora vamos encontrar uma solução particular que atenda à condição inicial 0 16 1 2 16 0 50 8 x C C π Portanto a solução particular é 1 2 2 1 2 8 4 50 100 4 100 t x t ou x t x π π π O volume é 2 25 25 4 100 V x t V π π π Com essas equações é possível determinar em um instante t a profundidade da água O exercício também quer saber em quanto tempo o tanque estará vazio O tanque estará vazio quando V 0 Substituindo na equação acharemos um tempo aproximado de 400π minutos que dá aproximadamente 21 horas 23 Material Complementar Explore Para aprofundar seus estudos assista aos seguintes vídeos httpswwwyoutubecomwatchvy36S9e006h8 httpswwwyoutubecomwatchvFCAdNrbkRc httpswwwyoutubecomwatchvI182ZGNpLzM 24 Unidade Equações Diferenciais Referências DEMANA Franklin D WAITS Bert K FOLEY Gregory D KENNEDY Daniel PréCálculo 2 ed São Paulo Pearson 2013 BOULOS PréCálculo São Paulo Makron Books 19992001 FLEMMING Diva Marília GONCALVES Miriam Buss Cálculo A funções limite derivação integração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 STEWART James Cálculo 6 Ed São Paulo Cengage Learning 2010 THOMAS JR George B Et Al Cálculo de George B Thomas Jr 12 ed São Paulo AddisonWesley 2003 GUIDORIZZI Hamilton Luiz Em curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 20012002 Universidade Cruzeiro do Sul UNICID Universidade Cidade de S Paulo UNIFRAN Universidade de Franca UDF Centro Universitário Módulo Centro Universitário