Análise de Posição e Deslocamento em Mecanismos

Análise Cinemática Mecanismos 2 Permite determinar a partir das dimensões dos elos e da posição de um deles a posição de todos os demais elos Posição e Deslocamento Mecanismos 3 A posição é o local ocupado por um corpo rígido ou ponto material em determinado instante No caso de movimentos planos a posição pode ser definida em termos de um referencial cartesiano A 34 ou 3i 4j B 23 ou 2i 3j C 23 ou 2i 3j D 52 ou 5i 2j Posição e Deslocamento Mecanismos 4 A posição pode ser definida por meio de um vetor posição 𝑅𝐴 𝑅𝑋 2 𝑅𝑌 2 Definição de seno e cosseno 𝑅𝑋 𝑅𝐴 cos 𝜃 Teorema de Pitágoras 𝑅𝑌 𝑅𝐴 sin 𝜃 𝜃 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑅𝑌 𝑅𝑋 Deslocamento Mecanismos 5 O deslocamento de um ponto e a mudança da sua posição e pode ser definido como a distancia em linha reta entre a posição inicial e a final do ponto que se moveu no sistema de referência 𝑅𝐵𝐴 𝑅 𝑅𝑂𝐵 𝑅𝑂𝐴 𝑅𝐵 𝑅𝐴 Deslocamento Mecanismos 6 No caso de um corpo rígido o deslocamento pode ser dado como a translação de dois pontos digamos P e Q ou como a translação de um ponto P ou Q e a rotação digamos θ 𝑅𝑃 𝑅𝑃2 𝑅𝑃1 𝑅𝑄 𝑅𝑄2 𝑅𝑄1 𝜃 𝜃2 𝜃1 Análise de Posição e Deslocamento Mecanismos 7 São três as principais metodologias que permitem analisar e estudar a posição e o deslocamento nos mecanismos Os métodos analíticos baseiamse na dedução de expressões analíticas que traduzem a posição e configuração geométrica dos mecanismos São imprescindíveis quando a análise de um mecanismo exige o estudo de várias fases do seu movimento Os métodos gráficos baseiamse na interpretação geométrica do mecanismo em análise e na sua posterior resolução gráfica O inconveniente é dado pelo fato de serem válidos apenas e exclusivamente para a posição em que são traçados Análise de Posição e Deslocamento Mecanismos 8 Os métodos numéricos fornecem a descrição do movimento dos mecanismos por aproximações sucessivas geralmente pelo metodo de NewtonRaphson Método Gráfico Mecanismos 9 A partir da posição do ponto A elo motor determinar a posição do ponto B com uso de régua graduada compasso e transferidor Método Gráfico Mecanismos 10 Passos 1 desenhar o elo 1 terra sobre o eixo x e conforme escala 2 desenhar o ponto 02 origem na junta dos elos 1 e 2 3 desenhar o elo 2 manivela conforme o ângulo dado 30 e segundo escala Método Gráfico Mecanismos 11 Passos 4 ajustar o compasso com o tamanho do elo 3 em escala e desenhar uma circunferência com centro no ponto A 5 ajustar o compasso com o tamanho do elo 4 em escala e desenhar uma circunferência com centro no ponto O4 6 traçar os elos 3 e 4 aos pontos onde as circunferências de conectam 7 medir os ângulos 𝜃3 e 𝜃4 com o transferidor Método Analítico Mecanismos 12 𝐶1 𝐴𝑥 𝐶2 cos 𝜃2 𝐴𝑦 𝐶2 sin𝜃2 𝐶2 2 𝐴𝑥 2 𝐴𝑦 2 Definição da variável primária independente 𝜃2 O2 A Ax Ay Método Analítico Mecanismos 13 Escrever as variáveis secundárias dependentes em função da primária 𝜃3 e 𝜃4 ou Bx e By 𝐶1 A 𝐵𝑥 𝐴𝑥 B 𝐵𝑦 𝐴𝑦 𝐶3² 𝐵𝑥 𝐴𝑥 2 𝐵𝑦 𝐴𝑦 2 Equação 1 Método Analítico Mecanismos 14 𝐶1 𝐶4² 𝐶1 𝐵𝑥 2 𝐵𝑦 2 Equação 2 B O4 𝐶1 𝐵𝑥 𝐵𝑦 Método Analítico Mecanismos 15 𝐶4² 𝐶1 𝐵𝑥 2 𝐵𝑦 2 Equação 2 𝐶3² 𝐵𝑥 𝐴𝑥 2 𝐵𝑦 𝐴𝑦 2 Equação 1 Abrindo os produtos subtraindo a Eq 2 da 1 e usando 𝐶2² 𝐴𝑥 2 𝐴𝑦 2 𝐶3² 𝐵𝑥 2 2𝐴𝑥𝐵𝑥 𝐴𝑥 2 𝐵𝑦 2 2𝐴𝑦𝐵𝑦 𝐴𝑦 2 𝐶4² 𝐶1 2 2𝐶1𝐵𝑥 𝐵𝑥 2 𝐵𝑦 2 𝐶3 2 𝐶4 2 𝐶2 2 𝐶1 2 2 𝐴𝑥 𝐶1 𝐵𝑥 2𝐴𝑦𝐵𝑦 Isolando Bx 𝐵𝑥 𝐶1 2 𝐶2 2 𝐶3 2 𝐶4 2 2 𝐴𝑥 𝐶1 𝐴𝑦𝐵𝑦 𝐴𝑥 𝐶1 Método Analítico Mecanismos 16 𝐶4² 𝐶1 𝐵𝑥 2 𝐵𝑦 2 Equação 2 Substituindo a Eq 3 na 2 𝐶4² 𝐶1 𝑆 𝐴𝑦𝐵𝑦 𝐴𝑥 𝐶1 2 𝐵𝑦 2 𝐵𝑥 𝑆 𝐴𝑦𝐵𝑦 𝐴𝑥 𝐶1 Equação 3 𝑆 𝐶1 2 𝐶2 2 𝐶3 2 𝐶4 2 2 𝐴𝑥 𝐶1 𝐶1 𝑆 ² 2 𝐶1 𝑆 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐶1 𝐵𝑦 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐶1 2 𝐵𝑦 2 𝐵𝑦 2 𝐶4² 0 Método Analítico Mecanismos 17 𝐶1 𝑆 ² 2 𝐶1 𝑆 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐶1 𝐵𝑦 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐶1 2 𝐵𝑦 2 𝐵𝑦 2 𝐶4² 0 1 𝐴𝑦2 𝐴𝑥 𝐶1 2 𝐵𝑦 2 2 𝐶1 𝑆 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐶1 𝐵𝑦 𝐶1 𝑆 ² 𝐶4² 0 𝑎𝐵𝑦 2 𝑏𝐵𝑦 𝑐 0 𝐵𝑦 𝑏 𝑏² 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎 1 𝐴𝑦2 𝐴𝑥 𝐶1 2 𝑏 2 𝐶1 𝑆 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐶1 𝑐 𝐶1 𝑆 ² 𝐶4² By pode ter duas soluções Método Analítico Mecanismos 18 𝐵𝑦 𝑏 𝑏² 4𝑎𝑐 2𝑎 P E se Δ b² 4ac for 0 R Como neste caso não há significância física para valores imaginários valores imaginários para uma coordenada o caso Δ 0 indica que os elos não se conectam para o ângulo de entrada θ2 dado ou para nenhum outro θ2 Para dois valores reais de By quando eles forem substituídos nas equações as variáveis secundárias são obtidas Método Analítico Mecanismos 19 𝜃3 tan1 𝐵𝑦 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝐴𝑥 𝜃4 tan1 𝐵𝑦 𝐵𝑥 𝐶1 Método Analítico Mecanismos 20 O que signifca By ter duas soluções Método Analítico Mecanismos 21 𝜃3 tan1 𝐵𝑦 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝐴𝑥 𝜃4 tan1 𝐵𝑦 𝐵𝑥 𝐶1 𝐴𝑥 𝐶2 cos 𝜃2 𝐴𝑦 𝐶2 sin𝜃2 𝐵𝑦 𝑏 𝑏² 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑎 1 𝐴𝑦2 𝐴𝑥 𝐶1 2 𝑏 2 𝐶1 𝑆 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝐶1 𝑐 𝐶1 𝑆 ² 𝐶4² 𝑆 𝐶1 2 𝐶2 2 𝐶3 2 𝐶4 2 2 𝐴𝑥 𝐶1 𝐵𝑥 𝑆 𝐴𝑦𝐵𝑦 𝐴𝑥 𝐶1 Métodos Numéricos Mecanismos 22 Seja f a função cuja raiz se deseja encontrar Por exemplo 𝑓 𝑆 𝐶2 cos 𝜃2 𝐶3 cos 𝜃3 𝐶4 cos 𝜃4 𝐶1 0 𝐶2 sin 𝜃2 𝐶3 sin 𝜃3 𝐶4 sin 𝜃4 0 onde 𝑆 𝐴 𝐵 é o vetor das variáveis dependentes Objetivo obter ҧ𝑆 de modo que 𝑓 ҧ𝑆 0 Métodos Numéricos Mecanismos 23 Metodo de NewtonRaphson 𝑓 𝑆1 𝑆1 𝑆2 𝑓 𝑆1 𝑆2 𝑓 𝑆1 𝑓 𝑆1 𝑆1 𝑓 𝑆1 0 Métodos Numéricos Mecanismos 24 Limitações 1 Existência relacionado com o alcance da variável Métodos Numéricos Mecanismos 25 Limitações 2 Unicidade número de soluções Qual o valor inicial apropriado Métodos Numéricos Mecanismos 26 Limitações 3 Intervalo de aplicação movimento dos elos Posições Limite Mecanismos 27 Limites do manivelabalancim Alinhamento do elo motor C1 com a biela C3 Posições Limite Mecanismos 28 Limites do manivelabalancim Alinhamento do elo motor C1 com a biela C3 𝐶4² 𝐶1² 𝐶2 𝐶3 2 2𝐶1 𝐶2 𝐶3 cos 𝜃𝑚𝑖𝑛 𝜃𝑚𝑖𝑛 cos1 𝐶1² 𝐶2 𝐶3 2 𝐶4² 2𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4² 𝐶1² 𝐶3 𝐶2 2 2𝐶1 𝐶3 𝐶2 cos 𝜃𝑚𝑎𝑥 𝜃𝑚𝑎𝑥 cos1 𝐶1² 𝐶3 𝐶2 2 𝐶4² 2𝐶1 𝐶3 𝐶2 𝜋 Posições Limite Mecanismos 29 Limites do duplo balancim Limites tanto para o elo motor C2 como para o seguidor C4 Posições Limite Mecanismos 30 Limites do duplo balancim Limites da entrada alinhamento do seguidor C4 com a biela C3 𝐶3 𝐶4 2 𝐶1² 𝐶2 2 2𝐶1𝐶2 cos 𝜃𝑚𝑖𝑛 𝜃𝑚𝑖𝑛 cos1 𝐶1² 𝐶2 2 𝐶3 𝐶4 2 2𝐶1𝐶2 𝐶3 𝐶4 2 𝐶1² 𝐶2 2 2𝐶1𝐶2 cos 𝜃𝑚𝑎𝑥 𝜃𝑚𝑎𝑥 cos1 𝐶1² 𝐶2 2 𝐶3 𝐶4 2 2𝐶1𝐶2 Posições Limite Mecanismos 31 Limites do duplo balancim Limite da saída alinhamento do elo motor C3 com a biela C3 𝐶4² 𝐶1² 𝐶2 𝐶3 2 2𝐶1 𝐶2 𝐶3 cos 𝜃𝑙𝑖𝑚4 𝜃𝑙𝑖𝑚4 cos1 𝐶1² 𝐶2 𝐶3 2 𝐶4² 2𝐶1 𝐶2 𝐶3 Referências Mecanismos 32 NORTON R Cinemática e dinâmica dos mecanismos Porto Alegre AMGH 2010 791 p Notas de aula do Prof Alexandre Maier Eurich Fateb Dom Bosco Notas de aula do Prof Jorge Luiz Erthal UFPR